Методичка ТЕРМЕХ Кинематика.



Федеральное агентство по образованию
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени Серго Орджоникидзе»
рггру












КАФЕДРА МЕХАНИКИ И ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ


Теоретическая механика (кинематика)

Кинематическое исследование движения точки по заданным уравнениям
движения в декартовых координатах









Методические указания и контрольные задания для студентов дневного и заочного
отделений факультета техники разведки и разработки специальностей
0807, 0902 и 0905












Москва, 2011г.

Составители Б.М.Ребрик, Г.В.Лукошков, С.Ю.Некоз












Методические указания и контрольные задания предназначены для студентов дневного и заочного отделений факультета техники разведки и разработки специальностей 0807 «Технология и техника разведки месторождений полезных ископаемых», 0902 «Подземная разработка месторождений полезных ископаемых» и 0905 «Открытая разработка месторождений полезных ископаемых» РГГРУ, а также студентов обучающихся по дистанционной системе образования.










Под редакцией профессора Б.М.Ребрика





















Введение


Теоретическая механика – одна из фундаментальных общенаучных дисциплин физико–математического цикла, на материале которой базируются такие общеинженерные дисциплины, как «Сопротивление материалов», «Прикладная механика», «Теория машин и механизмов», «Детали машин и приборов», «Механика материалов и конструкций», «Основы конструирования машин», «Механика сплошной среды» и т.д. Знание теоретической механики необходимо при изучении ряда разделов специальных дисциплин, в которых изучаются электрические машины, станки и подстанции; конструирование воздушных линий электропередач; процессы обработки металлов, дробления, измельчения и грохочения различных материалов; гравитационные методы обогащения полезных ископаемых; проблемы пылеулавливания; вопросы автоматического управления, автоматизации и комплексной механизации различных производств (в том числе и геологоразведочных) осуществление различных технологических процессов и методы управления ими; буровая и горная механика и многие другие.
Одним из основных разделов «Теоретической механики» является «Кинематика», в котором изучаются общие геометрические свойства движения точек и тел безотносительно к причинам, вызывающим это движение. Поэтому, такие физико – механические понятия как масса движущегося тела, действующие на него в данном движении силы, а также силы инерции, в данном разделе механики отсутствуют.
При рассмотрении движения различных тел, прежде всего, следует обратить внимание на разнообразие и сложность их возможных перемещений в пространстве. Любое движущееся тело может быть мысленно разбито на части и, при этом каждая часть будет двигаться отлично от всех остальных (за исключением частных случаев). Для того чтобы знать законы движения всего тела, части которого совершают различные движения, необходимо изучить законы движения этих частей. Этим и занимается раздел кинематики, изучающий законы движения материальной точки.
Предлагаемое методическое пособие является основанием, руководством и пояснением к выполнению расчетно–графической работы по кинематике точки для студентов очного и заочного отделений факультета техники разведки и разработки месторождений полезных ископаемых.
Выполнение данной работы помогает студентам закрепить полученные теоретические знания по кинематике точки и получить практические навыки по кинематическому исследованию движения точки, заданному уравнениями движения в декартовых координатах.















I. Основные понятия и определения.


К кинематическим характеристикам движения точки относятся: закон движения, заданный тем или иным способом, траектория точки, скорость и ускорение точки, радиус кривизны траектории в заданной точке, годограф скорости и др.
Траекторией точки называется линия, описываемая движущейся точкой в пространстве. Траектория может быть плоской или пространственной кривой (в частном случае прямой линией), замкнутой или уходящей в бесконечность.
Движение точки в пространстве определяется заданием закона движения. Закон (уравнения) движения точки устанавливает местоположение точки в пространстве в зависимости от времени. Другими словами, зная закон движения, можно определить положение точки в пространстве в любой момент времени.
При координатном способе задания движения перемещение точки изучается по отношению к декартовой системе координат OXYZ, условно принимаемой за неподвижную. Собственно закон движения некоторой точки М задается тремя функциями (для пространственной траектории):

x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t) (1)

или двух функций (для плоской траектории):

x = f1(t); y = f2(t) (1*)

Выражение (1) и (1*) представляют собой одновременно и параметрические уравнения траектории точки. Для получения уравнений траектории в явном виде из выражений (1) и (1*) необходимо исключить время (t).
Вектор скорости 13EMBED Equation.31415является мерой, характеризующей быстроту изменения положения точки. Вектор ускорения точки 13EMBED Equation.31415характеризует быстроту изменения вектора скорости. Таким образом, скорость точки – производная от перемещения по времени, а ускорение – производная от скорости по времени или вторая производная от перемещения от времени. Если закон движения точки определен уравнениями в декартовых координатах, то векторы скорости и ускорения определяются по их проекциям на оси декартовых координат. Так при плоской траектории движения:

13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 (2)


13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 (3)


Модули и направляющие косинусы векторов скорости и ускорения в этом случае определяются выражениями:



13EMBED Equation.31415 (4) 13EMBED Equation.31415 (5)

Если проекция скорости на ось положительна, то точка движется в направлении увеличивающихся значений данной координаты.
Для получения уравнения годографа скорости в декартовых координатах исключим из уравнений (2) параметр времени (t). График годографа скорости строится на осях Vx и Vy (x;y) и является геометрическим местом точек, характеризующих возможные значения скорости в зависимости от времени (в сущности, это – линия, описываемая концом вектора скорости при неподвижном его начале).
Полное ускорение точки 13EMBED Equation.31415 при плоском криволинейном движении и при использовании естественного способа задания движения точки складывается из двух взаимно перпендикулярных составляющих векторов:
13EMBED Equation.31415 - касательного (тангенциального) ускорения, направленного по касательной к траектории движения;
13EMBED Equation.31415 - нормального ускорения, направленного по главной нормали к центру кривизны траектории на данном участке.
Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине (модулю) и равно производной от численной величины скорости по времени:

13EMBED Equation.31415 (6)
Это ускорение равно нулю, если V=const. Кроме того, оно обращается в нуль, если скорость достигает экстремальных значений.
Нормальное ускорение 13EMBED Equation.31415характеризует изменение вектора скорости по направлению и определяется формулой:
13EMBED Equation.31415 (7)
где р – радиус кривизны траектории в данной точке.
Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении точки, а также в точках перегиба траектории и в точках, где V=0.
Таким образом, полное ускорение точки 13EMBED Equation.31415как по модулю, так и по направлению может определяться по формулам (5), а также как сумма векторов 13EMBED Equation.31415и 13EMBED Equation.31415:

13EMBED Equation.31415 (8)
Если направление 13EMBED Equation.31415и 13EMBED Equation.31415 совпадают, то движение точки ускоренное, если не совпадают – замедленное. При 13EMBED Equation.31415=const движение точки называется равнопеременным. Радиус кривизны траектории р в любой точке определяется из выражения (7):

13EMBED Equation.31415 (9)


II. Содержание расчетно-графической работы


Точка М движется в плоскости XОY. Закон движения точки задан координатным способом, уравнениями:
x = f1(t); y = f2(t),
где x и y выражены в сантиметрах, время t – в секундах.
Требуется:
Найти уравнение траектории движения точки в декартовых координатах и построить эту траекторию графически.
Определить скорость точки по величине и по направлению в функции времени.
Найти уравнение годографа скорости и построить его график.
Определить полное ускорение точки по величине и направлению в функции от времени.
Найти тангенциальное и
·нормальное ускорения точки в функции от времени.
Определить радиус кривизны траектории как функцию от времени (для любой точки траектории).
Определить начальное положение точки и направление ее движения в зависимости от времени.
Для заданных значений времени t1 и t2 найти численные значения всех кинематических характеристик, определенных ранее в общем виде как функции от времени (t). Все расчетные значения свести в таблицу следующего вида:

Vx
Vy
Wx
Wy
cos
·
cos
·
cos
·1
cos
·1
W
·
Wn
W
p
0

t1














t2















9. Построить центры кривизны траектории для значений t1 и t2 и проверить полученные значения радиусов кривизны по формулам:
13EMBED Equation.31415 (10),
где 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415

или
13EMBED Equation.31415 (11)
где 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
10.На графическом изображении траектории точки показать:
а) начальное положение точки (t=0) и направление ее движения;
б) положение точки при t= t1 и t= t2;
в) изобразить графически в масштабе 13EMBED Equation.31415 ,13EMBED Equation.31415 , 13EMBED Equation.31415 и13EMBED Equation.31415при t= t1 и t= t2.



III. Пример выполнения работы.

Даны уравнения движения точки в плоскости XОY:
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
1.Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t1 используя тригонометрическую формулу двойного угла cos2
·=1-2sin2
·. Тогда:
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
В результате получим:
13EMBED Equation.31415
Проведя преобразования, получаем следующее уравнение траектории точки (параболы):
Х=(у+1)2+1.
Графическое изображение этой параболы-траектории показано на рис.1.
2. Скорость точки определяется в соответствии с формулами (2;4)
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 (12)
13EMBED Equation.31415
(13)
13EMBED Equation.31415 (13а)




































рис.1 Траектория движения точки


3. Используя выражения (12), найдем уравнение годографа скорости.
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
тогда:
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
Окончательное уравнение годографа скорости примет вид:
13EMBED Equation.31415
График годографа скорости представляет фигуру Лиссажу с двумя петлями, расположенными симметрично по отношению к началу осей координат Vх и Vу (рис.2).



































































рис.2 Годограф скорости

4. Ускорение точки определяется по формулам (3.5):

13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
(14)
13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415

(14а)
13EMBED Equation.31415


5. Касательное (тангенциальное) ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство (13):


13EMBED Equation.31415 (15)

Определив полное (14) и тангенциальное ускорение точки, определяем нормальное ускорение по формуле (8):

13EMBED Equation.31415

6. Радиус кривизны траектории точки определится из выражения (7):
13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415


7. При t=0 исходные уравнения определяют начальное положение точки.

13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415

С увеличением t от 0 до 2 с, x увеличивается до 3, а y увеличивается до 0,41, т.е. точка движется по верхней части параболы. Максимальное значение x достигает при t=4 и равно 5, а y=1. При этом точка меняет направление движения и далее колеблется на изображенном графике параболы (рис.1). Минимальное значение y=-3 принимает при t=12, при этом x снова достигает своего максимального значения 5. Таким образом, 1
·x
·5; -3
·y
·1.

9. Для момента времени t=1, определяем численные значения всех найденных величин:

x1=1,586; y1=-0,234.

13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415


13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415


Проверка.

Проверим полученное значение радиуса кривизны траектории точки при t=1 по формуле (11), используя уравнение траектории точки x=(y+1)2+1.
Тогда:

13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415

Значение радиуса кривизны траектории при t=1 определено правильно.




IV. Требования и рекомендации по оформлению работы.

Вся работа оформляется на листах формата А4.
Титульный лист выполняется на чертежной бумаге, все надписи на титульном листе выполняются тушью чертежным либо компьютерным шрифтом, рамка обязательна (см. Приложение 1). При оформлении как титульного листа, так и текстовой части работы, допускается использование компьютера.
Текстовая часть выполняется синими или черными чернилами на листах писчей бумаги стандартного формата, аккуратно, разборчивым почерком, без исправлений и помарок.
Рисунки чертятся с использованием чертежных инструментов тушью или карандашом с соблюдением основных правил черчения и соотношения размеров. Допускается использование миллиметровой бумаги. При построении графиков возможно использование программы Microsoft Excel (2,003 и последующие).
Работа обязательно брошюруется.
Защищается выполненная полностью работа в индивидуальном порядке путем собеседования с преподавателем. При защите проверяется выполнение домашних задач и определяется степень усвоения студентом изученного теоретического материала. За неаккуратное, небрежное оформление работы оценка снижается.















































Приложение 1. оформление титульного листа


РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени «Серго Орджоникидзе»
рггру





Кафедра механики и инженерной графики







Расчетно-графическая работа
по теоретической механике №2





Кинематическое исследование движения точки по заданным
уравнениям движения в декартовых координатах




Вариант №7(9)




Выполнил: студент ___________________
(фамилия,и.,о., группа)
Проверил: профессор _________________
(фамилия, и., о.)






Москва, 2011




Приложение 2. Варианты расчетно-графической работы.


Варианты:

0
x = asink1
·t + b
y = ccosk2
·t + d

1
x = acos2k1
·t + b
y = csink2
·t - d

2
x = acos2k1
·t + b
y = ccosk2
·t - d

3
x = at + bsink1
·t
y = d + ccosk2
·t

4
x = asin2k1
·t + b
y = ccosk2
·t - d

5
x = (a + b)k1(et + e-t)
y = (c + d)k2(et - e-t)

6
x = (ek1t + 1)(a+b)
y = k2t(c + d)-

7
x = at + k1b
y = d/t + k2c

8
x = atb + 2k1
y = ct1 + 3k2

9
x = a/t + k1b
y = ct – k2d


Исходные данные:


N
a
b
c
d
k1
k2

0
1
1
1
1
1
1

1
2
1
1
1
2
1

2
1
2
1
1
1
2

3
1
1
2
1
2
2

4
1
1
1
2
1
1

5
2
2
1
1
2
1

6
2
2
2
1
1
2

7
2
2
2
2
2
2

8
1
1
2
2
1
1

9
1
2
2
1
2
1

Примечания:
для третьего варианта k1=k2=1 для всех номеров исходных данных;
все кинематические характеристики определять для t=0.45 c и t=0.95 c;
номер варианта – последняя цифра студенческого билета, номер исходных данных – предпоследняя.



































ОГЛАВЛЕНИЕ


Введение .1
Основные понятия и определения 3
Содержание расчетно-графической работы 6
Пример выполнения работы ..7
Требования и рекомендации по оформлению работы . 14
Приложение 1. Оформление титульного листа ..15
Приложение 2. варианты расчетно-графической работы ..17




























Контрольная карточка

Раздел «Теоретической механики», изучающий общие геометрические свойства движения материальных объектов безотносительно к причинам, вызывающим это движение называется.
Статика

Кинематика

Динамика
1

2

3

Вторая производная от перемещения по времени – это
Линейная скорость
Угловая скорость
Ускорение
4
5
6

Точка движется в направлении увеличивающихся значений данной координаты, если проекция скорости на ось
Положительна
Отрицательна
Равна нулю
7
8
9

Характеристикой изменения вектора скорости по направлению является
Нормальное ускорение
Касательное ускорение
Модуль ускорения
10
11
12

Нормальное ускорение не равно нулю
При прямолинейном движении точки
В точках перегиба траектории
При V
·0
13
14
15

Движение точки называется замедленным, если направление W и V
Совпадают
Не совпадают
W=const
16
17
18

Выберите правильный вариант выражения скорости точки, если ее движения задано следующими уравнениями


13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.31415





19



20




21

Траектория точки – это
Линия, описываемая концом вектора скорости точки при неподвижном ее начале
Фактическое местоположение точки
Линия, описываемая движущейся точкой в пространстве
22


23
24












13PAGE 15


13PAGE 14215






эмблема РГГРУ чбRoot EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 308990
    Размер файла: 745 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий