Задания_Чернич_ДО_ЗО_1сем

Типовые задания, решения вариантов типовых заданий и литература
для самостоятельной подготовки к экзамену (зачету, тесту) по математике, 1 семестр для студентов дневной и заочной (полной и сокращенной) форм обучения инженерно-технических и экономических специальностей

Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Найти координаты вектора 13EMBED Equation.DSMT41415 если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13EMBED Equation.DSMT41415
–2
3
–1
4
–5

13EMBED Equation.DSMT414
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Проверить ортогональность векторов 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
5
4
–6
–2
3

13EMBED Equation.DSMT41415
3
–1
4
5
4

13EMBED Equation.DSMT41415
–1
7
1
3
–5

13EMBED Equation.DSMT41415
4
3
3
5
1

13EMBED Equation.DSMT41415
–7
–2
5
–1
3

13EMBED Equation.DSMT41415
–1
–2
–2
5
3


Проверить коллинеарность векторов 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
5
–3
–6
–2
–3

13EMBED Equation.DSMT41415
–2
–1
4
0
4

13EMBED Equation.DSMT41415
0
6
2
4
–5

13EMBED Equation.DSMT41415
–15
–6
3
1
–9

13EMBED Equation.DSMT41415
6
–2
–2
0
12

13EMBED Equation.DSMT41415
0
12
–1
–2
–15






Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 13EMBED Equation.DSMT41415и 13EMBED Equation.DSMT41415, как на сторонах.
13EMBED Equation.DSMT41415
5
–4
5
3
2

13EMBED Equation.DSMT41415
–4
1
2

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 13EMBED Equation.DSMT41415
и 13EMBED Equation.DSMT41415, как на сторонах.
13EMBED Equation.DSMT41415
6
–4
–5
2
3

13EMBED Equation.DSMT41415
–3
–1

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Проверить компланарность трех векторов 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
5
–8
–3
4
–3

13EMBED Equation.DSMT41415
–3
–2
5
–5
4

13EMBED Eq
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
2





Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
7
–4
–8
7
5

13EMBED Equation.DSMT41415
–3
1
4
5
–2


·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Записать уравнение плоскости с заданным вектором нормали 13EMBED Equation.DSMT41415, проходящей через точку 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
5
–6
–7
9
4

13EMBED Equation.DSMT41415
–3
3

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Записать уравнение плоскости, проходящей через точки 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
4
8
–4
6
–5

13EMBED Equation.DSMT41415
–3
–7
6
–3
6
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·0
2
8
4







Найти значение многочлена 13EMBED Equation.DSMT41415 от матрицы 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
–2
4
–3
–1
3

13EMBED Equation.DSMT41415
5
–1
4

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Решить систему по формулам Крамера или методом Гаусса.
11.1.13EMBED Equation.DSMT41415 11.2.13EMBED Equation.DSMT41415 11.3.13EMBED Equation.DSMT41415
11.4.13EMBED Equation.DSMT41415 11.5.13EMBED Equation.DSMT41415


Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Вычислить 13EMBED Equation.DSMT41415
12.1.13EMBED Equation.DSMT41415 12.2.13EMBED Equation.DSMT41415 12.3.13EMBED Equation.DSMT41415 12.4.13EMBED Equation.DSMT41415 12.5.13EMBED Equation.DSMT41415
Найти производную сложной функции 13EMBED Equation.DSMT41415 и записать ее диф-ференциал.
13.1. 13EMBED Equation.DSMT41415 13.2. 13EMBED Equation.DSMT41415
13.3. 13EMBED Equation.DSMT41415 13.4. 13EMBED Equation.DSMT41415
13.5. 13EMBED Equation.DSMT41415


Найти производную функции, заданной неявно уравнением 13EMBED Equation.DSMT41415
14.1. 13EMBED Equation.DSMT41415 14.2. 13EMBED Equation.DSMT41415
14.3. 13EMBED Equation.DSMT41415 14.4. 13EMBED Equation.DSMT41415
14.5. 13EMBED Equation.DSMT41415

Найти производную функции, заданной параметрически системой уравнений.
15.1.13EMBED Equation.DSMT41415 15.2.13EMBED Equation.DSMT41415 15.3.13EMBED Equation.DSMT41415
15.4.13EMBED Equation.DSMT41415 15.5.13EMBED Equation.DSMT41415
Вычислить предел 13EMBED Equation.DSMT41415с помощью правила Лопиталя.
16.1. 13EMBED Equation.DSMT41415 16.2. 13EMBED Equation.DSMT41415 16.3. 13EMBED Equation.DSMT41415
16.4. 13EMBED Equation.DSMT41415 16.5. 13EMBED Equation.DSMT41415

Решение типовых заданий
При решении типовых заданий 1–11 необходимо использовать методические пособия [1], [6]–[11], [13], а при решении типовых заданий 12–16 – методические пособия [2]–[5], [8]–[13].

1. Найти координаты вектора 13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Используя правила умножения вектора на число и сложения векторов, находим:
13EMBED Equation.DSMT41415

2. Проверить ортогональность векторов 13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Два вектора 13EMBED Equation.DSMT41415называются ортогональными 13EMBED Equation.DSMT41415, если угол между ними равен 13EMBED Equation.DSMT41415 Условие ортогональности: скалярное произведение векторов 13EMBED Equation.DSMT41415равно нулю, 13EMBED Equation.DSMT41415 Поскольку координаты векторов 13EMBED Equation.DSMT41415 заданы в ортонормированном базисе, то скалярное произ-ведение векторов 13EMBED Equation.DSMT41415вычисляется по формуле: 13EMBED Equation.DSMT41415

Тогда находим:
13EMBED Equation.DSMT41415
Следовательно, 13EMBED Equation.DSMT41415

3. Проверить коллинеарность векторов 13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Два вектора 13EMBED Equation.DSMT41415называются коллинеарными 13EMBED Equation.DSMT41415, если угол 13EMBED Equation.DSMT41415 между ними равен 13EMBED Equation.DSMT41415 Условие коллинеарности: существует такое число 13EMBED Equation.DSMT41415, что 13EMBED Equation.DSMT41415, т.е. координаты векторов пропорциональны, причем при 13EMBED Equation.DSMT41415 угол 13EMBED Equation.DSMT41415 при 13EMBED Equation.DSMT41415,13EMBED Equation.DSMT41415 Отметим, что векторное произведение векторов 13EMBED Equation.DSMT41415равно нулю, 13EMBED Equation.DSMT41415. Проверяем условие 13EMBED Equation.DSMT41415:
13EMBED Equation.DSMT41415 Следовательно, 13EMBED Equation.DSMT41415

4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 13EMBED Equation.DSMT41415и 13EMBED Equation.DSMT41415, как на сторонах, если 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Площадь параллелограмма выражается через модуль векторного произведения векторов: 13EMBED Equation.DSMT41415 Используя свойства линейности вектор-ного произведения, находим:
13EMBED Equation.DSMT41415
где учли, что 13EMBED Equation.DSMT41415
Отсюда, используя определение векторного произведения векторов, получим:
13EMBED Equation.DSMT41415

5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 13EMBED Equation.DSMT41415и 13EMBED Eq
·uation.DSMT41415, как на сторонах.
Решение. Площадь параллелограмма выражается через модуль векторного произведения векторов: 13EMBED Equation.DSMT41415 где векторное произведение векторов 13EMBED Equation.DSMT41415 вычисляется по формуле:

13EMBED Equation.DSMT41415
Тогда находим:
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415

6. Проверить компланарность трех векторов 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Три вектора 13EMBED Equation.DSMT41415 называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Условие компланарнос-ти: смешанное произведение векторов 13EMBED Equation.DSMT41415 равно нулю, 13EMBED Equation.DSMT41415
Поскольку координаты векторов 13EMBED Equation.DSMT41415 заданы в правом ортонормиро-
ванном базисе, то находим:
13EMBED Equation.DSMT41415
Следовательно, векторы 13EMBED Equation.DSMT41415– компланарны.

7. Записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точки 13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки 13EMBED Equation.DSMT41415 имеет вид:
13EMBED Equation.DSMT41415
Отсюда находим:
13EMBED Equation.DSMT41415

8. Записать уравнение плоскости с заданным вектором нормали 13EMBED Equation.DSMT41415, проходящей через точку 13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Уравнение плоскости с заданным вектором нормали13EMBED Equation.DSMT41415, проходящей через точку 13EMBED Equation.DSMT41415 имеет вид: 13EMBED Equation.DSMT41415
Находим:
13EMBED Equation.DSMT41415 Тогда получим:
13EMBED Equation.DSMT41415

9. Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через три точки 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415, имеет вид: 13EMBED Equation.DSMT41415 Отсюда
находим:
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415

10. Найти значение многочлена 13EMBED Equation.DSMT41415 от матрицы 13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Запишем искомое значение: 13EMBED Equation.DSMT41415 где 13EMBED Equation.DSMT41415– единичная матрица. Используя правила умножения матрицы на матрицу, находим: 13EMBED Equation.DSMT41415
Далее, используя правила умножения матрицы на число и сложения матриц,
получим:
13EMBED Equation.DSMT41415

11. Решить систему по формулам Крамера или методом Гаусса, если
13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Вычислим определитель системы:
13EMBED Equation.DSMT41415
Так как определитель системы равен нулю, то система вырожденная и, следовательно, формулы Крамера применить нельзя. Поэтому данную систему будем решать методом Гаусса. Для этого преобразуем расширенную матрицу системы к трапециевидному виду:
13EMBED Equation.DSMT41415
Отсюда следует, что полученной трапециевидной матрице соответствует система
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
эквивалентная исходной системе, и она совместная (13EMBED Equation.DSMT41415) и неопределенная (13EMBED Equation.DSMT41415), причем базисный минор
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Следовательно, 13EMBED Equation.DSMT41415 – базисные неизвестные, а 13EMBED Equation.DSMT41415– свободная неизвестная. Совершая обратный ход метода Гаусса, находим решения системы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Ответ запишем в виде вектора-решения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
12. Вычислить 13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Используя правила действия над комплексными числами, находим:
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415

13. Найти производную сложной функции и записать ее дифференциал, если
13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Используя правила дифференцирования и таблицу производных,
находим:
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
14. Найти производную функции, заданной неявно уравнением
13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Используя правила дифференцирования и таблицу производных,
находим:
13EMBED Equation.DSMT41415
Из последнего равенства выражаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13EMBED Equation.DSMT41415
15. Найти производную функции, заданной параметрически системой
уравнений
13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Запишем производную в дифференциальной форме 13EMBED Equation.DSMT41415
Используя правила дифференцирования и таблицу производных, находим дифференциалы функций:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тогда получим:
13EMBED Equation.DSMT41415
16. С помощью правила Лопиталя вычислить предел
13EMBED Equation.DSMT41415
Решение. Используя правило Лопиталя, вычисляем предел:
13EMBED Equation.DSMT41415






Литература

Дневное отделение

Корсун Л.Д., Курлович С.П., Чуркин Е.Б. Практическое пособие «Ли-
нейная алгебра и аналитическая геометрия» к домашним заданиям по
дисциплине «Высшая математика», № 2833, 2003 г.
Авакян Е.З., Авакян С.Л., Фурсин А.И. Практическое пособие «Пре-
делы» к домашним заданиям по дисциплине «Высшая математика», №
2540, 2001 г.
Авакян Е.З., Авакян С.Л. Практическое пособие с домашними задания-
ми к разделу «Дифференцирование функции одной переменной» курса
«Высшая математика», № 2217, 1997 г.
Тимошин С.И., Трюхан Н.А. Практикум к расчетно-графической работе
по дисциплине «Высшая математика», разделы «Пределы. Дифферен-
циальное исчисление функции одной переменной», № 2225, 1997 г.
Тимошин С.И., Трюхан Н.А. Практическое руководство к расчетно-
графической работе по дисциплине «Высшая математика», разделы
«Пределы. Дифференциальное исчисление функции одной перемен-
ной», № 2226, 1997 г.

Заочное отделение

Гойко В.И., Тепляков В.Г. Курс лекций «Аналитическая геометрия и
элементы линейной алгебры» по дисциплине «Высшая математика» и
«Математика» для студентов всех специальностей заочной формы обу-
чения, № 4015, 2010 г.
Великович Л.Л., Лашкевич В.И., Задорожнюк М.В. Практикум «Ли-
нейная алгебра и аналитическая геометрия» по курсам «Математика» и
«Высшая математика», № 3353, 2006 г.
Лашкевич В.И., Великович Л.Л. Практическое руководство к контроль-
ным заданиям по дисциплине «Высшая математика», разделы «Линей-
ная алгебра; векторы; аналитическая геометрия; пределы; дифферен-
циальное исчисление функции одной переменной», № 2136, 1997 г.
Лашкевич В.И., Великович Л.Л. Практикум к контрольным заданиям по
дисциплине «Высшая математика», разделы «Линейная алгебра; векто-
ры; аналитическая геометрия; пределы; дифференциальное исчисление
функции одной переменной», № 2135, 1997 г.
Великович Л.Л., Лашкевич В.И. Практическое руководство «Линей-
ная алгебра и аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление
функции одной переменной» к контрольным заданиям по курсу «Выс-
шая математика», № 2688, 2002 г.
Великович Л.Л., Лашкевич В.И. Практикум «Линейная алгебра и ана-литическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной» к контрольным заданиям по курсу «Высшая математика», № 2680, 2002 г.

Авакян Е.З., Трюхан Н.А., Иванейчик И.В. Практикум «Пределы. Диф-ференциальное исчисление функции одной переменной. Исследование
функций и построение графиков» по курсам «Математика» и «Высшая
математика», № 3480, 2007 г.
Задорожнюк М.В., Цитринов А.В., Чеховская А.М. Пособие «Элементы линейной и векторной алгебры и аналитической геометрии. Пределы. Производные» по дисциплине «Математика» для студентов всех специальностей заочной формы обучения, № 4149, 2013 г.


Составил: доцент Черниченко Ю.Д.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativebEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeaEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native3Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 74926
    Размер файла: 745 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий