Транспортн логис


ЛЕКЦИЯ
Транспортное обеспечение логистики


Учебные вопросы:
Основы транспортной логистики.
Общее понятие о распределении и доставки грузов. Постановка задач.
Методы решения транспортных задач.
Сетевое моделирование транспортных задач.

Введение
Важными задачами в снабженческой, производственной и сбытовой логистики является организация и управление процессами транспортировки и распределения МР, НП, ГП между поставщиками и потребителями. Для оптимизации этих процессов могут быть применены модели экономико-математического программирования, сетевые и графические модели. Использования моделей каждого типа зависит от постановки задачи и характеристик, которые требуются оптимизировать.
13 EMBED Equation.3 1415
Вопрос 1. Основы транспортной логистики.

Под услугой транспорта следует понимать: перевозку включающую операции перемещения и хранения грузов из места происхождения в место потребления, а также операции не входящие в состав перевозочного процесса, но связанные с его подготовкой и осуществлением:
Погрузочно-разгрузочные работы (погр. выгр. перегрузка и т.д.);
Хранение грузов;
Подготовка к перевозке транспортных средств;
Предоставление перевозочных средств на условиях аренды;
Транспортно-экспидиционные и дополнительные операции, выполняемые при перевозке грузов, багажа и д.р. по обслуживанию организаций и населения;
Перегон новых и отремонтированных перевозочных средств.
!Акцент при работе транспорта должен быть сосредоточен на сокращении транспортных затрат и сокращении длительности цикла времени в цепи «снабжение-производств-сбыт»- это подчеркивает важность увеличения оборачиваемость запасов и увеличения конкурентоспособности транспортных услуг.

Требования предъявляемые к транспортировки

Надежность;
Минимальные сроки доставки;
Регулярность и гарантированность доставки;
Безопасность перевозок;
Обеспечение сохранности груза;
Наличие дополнительных услуг;
Гибкость обслуживания (приспособление к требованиям клиента);
Отлаженная система информирования документооборота;
Организация доставки «от двери до двери»;
Доступная стоимость;
Наличие необходимого погрузочно-разгрузочного оборудования и т.д.


Управление транспортировкой в логистике предполагает выполнение следующих процедур:
Выбор способа транспортировки
Выбор вида транспорта
Выбор перевозчика и логистических посредников
Оптимизация параметров транспортного процесса
Рассмотрим их подробно.

Выбор способа транспортировки

1. Прямые (унимодальные)- транспортировка одним видом транспорта.
2. Смешенные (мильтимодальные) раздельные перевозки. Два и более видов транспорта. Груз доставляется первым видом транспорта в пункт перевозки или грузовой терминал без хранения с последующей перегрузкой в другой вид транспорта. При этом имеется несколько транспортных документов, отсутствие единой тарифной ставки и последовательная схема взаимодействия участников транспортного процесса. При этом грузовладелец заключает договор со всеми перевозчиками.
3. Прямые смешанные (мультимодальные) перевозки. Грузовладелец заключает договор на весь путь следования с одним лицом (оператором). Например, экспедиторная фирма, которая действует на всем протяжении маршрута перевозки груза различными видами транспорта, освобождает грузовладельца от необходимости вступать в договорные отношения с другими транспортными предприятиями.
4. Интермодальные перевозки (бесперегрузочные) - разновидность мультимодальных перевозок. Осуществляется с использованием нескольких видов транспорта на основе бесперегрузочных технологий. Это последовательная перевозка грузов несколькими видами транспорта в одной и той же грузовой единице или транспортном средстве без перегрузки самого груза при переходе на другой вид транспорта. При этом: сокращается время нахождения грузов на перевалочном пункте, снижаются трудозатраты и расходы на погрузочно-разгрузочные работы, уменьшается потребность в перегрузочных механизмах и потери грузов, неизбежных при перегрузках; улучшается взаимодействие видов транспорта.
Интермодальные технологии:
Паромные переправы;
Трейлеры, контейнеры и пакетные перевозки;
Система река-море;
Перевозки по ж/д с разной шириной колеи;
Лихтеровозы (речное судно с небольшой осадкой загружается в лихтеровоз (баржа)-крупно тоннажное судно).

Трейлеры- перемещающиеся ж/д вагона на тележках автомобильным транспортом.










Выбор вида транспорта
Система критериев
Критерии
Ж/Д
Водный
автомобильный
воздушный

Затраты связанные
с транспортировкой
2-3
1-2
4
5

Время доставки
3
4
2
1

Надежность
2
4
1
3

Мощность
1
4
2
3

Доступность
2
4
1
3

безопасность
3
4
1
2


13-14
21-22
11
17


Сложность многокритериального подхода заключается в разнонаправленности критериев т.е. относительной важности для конкретной цели условий перевозки.


Основные задачи управления парком автомоб. подвижного состава


Эксплуатация транспортных средств
Технические обслуживания и ремонт подвижного состава

Разработка плана по эксплуатации подвижного состава
Оптимизация структуры парка
Оптимальная маршрутизация перевозок
Распределение подвижного состава по маршрутам
Организация диспетчерского управления работой
Планирование себестоимости перевозок и расчет тарифов
Планирование потребности в ГСМ, автомобильных шинах, эксплуатационных материалов.
Планирование производственной программы по обслуживанию и ремонту подвижного состава
Оперативное планируемое уравнение техническим обслуживанием и ремонтам
Планирование потребности и организация снабжения автомоб. запасными частями и материалами для обслуживания и ремонта
Планирование инвестиций в производственно-техническуюбазу.



4. Анализ эффективности транспортного процесса на основе технико-экономических показателей


1.Объём перевозок - количество тонн груза перевезенное в единицу времени:

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415-пункты сети.

2. Грузооборот- произведение массы груза на среднюю дальность их перевозки: (т.км)

13 EMBED Equation.3 1415

Энергоемкость перевозок (уменьшается при использование 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415автомобилей большой грузоподъемности):13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415-расход топлива годовой
13 EMBED Equation.3 1415-платность топлива
13 EMBED Equation.3 1415-теплотворная способность топлива
13 EMBED Equation.3 1415-годовая величина транспортной работы


Материалоемкость перевозок - оценивается количеством материалов, расходуемых при выполнение перевозок:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415-масса материалов данного вида конструкции автомобилей (кг.)
13 EMBED Equation.3 1415-коэффициент дорожных условий
13 EMBED Equation.3 1415-масса материалов данного вида наименования, расходующего в процессе эксплуатации (кг).
13 EMBED Equation.3 1415-амортизационный срок службы автомобиля, годы
13 EMBED Equation.3 1415-отношение массы деталей к массе заготовок с коэффициентом использования материалов


Металлоемкость

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415-масса автомобиля в снаряженном состояние, кг
13 EMBED Equation.3 1415-масса не металлических частей, кг
13 EMBED Equation.3 1415-масса заправки, кг
13 EMBED Equation.3 1415-коэффициент дорожных условий
13 EMBED Equation.3 1415-масса агрегатов, запасных частей и металла расходуемого за срок службы автомобиля, кг
13 EMBED Equation.3 1415-годовая величина транспортной работы

Рентабельность

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415-рентабельность перевозок
13 EMBED Equation.3 1415-балансовая прибыль
13 EMBED Equation.3 1415-затраты на перевозку

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415-доход предприятия от перевозок

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415- тариф на перевозку того или иного груза, руб/т
13 EMBED Equation.3 1415-объем перевозок i-го груза, т.


Себестоимость перевозок

Суммарные затраты за определенный период времени

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415-затраты по операциям подготовки груза к перевозки и складированию после выполнения разгрузочных работ (комплектация, пакетирование, складирования и д.р. работы по подготовке груза на складе грузополучателя)
13 EMBED Equation.3 1415- складские затраты связанные с хранением
13 EMBED Equation.3 1415- дорожные затраты (связанные со строительством и содержанием дорог)
13 EMBED Equation.3 1415-затраты, связанные с выполнением погрузочно-разгрузочных работ
13 EMBED Equation.3 1415-затраты по перемещению груза
Приведенные затраты на перевозки 13 EMBED Equation.3 1415- позволяют отнести к величине транспортной работы в сопоставимом виде годовые эксплуатационные расходы и капитальные вложения

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415-годовые эксплуатационные затраты (себестоимость) руб/ткм
13 EMBED Equation.3 1415-отраслевой коэффициент эффективности
К- используемые капитальные вложения, руб.
13 EMBED Equation.3 1415-ликвидная стоимость основных фондов, руб.
13 EMBED Equation.3 1415-годовая величина транспортной работы

Транспортные издержки и формирование цены на транспортно-логистическое обслуживание. (Издержки включают все составляющие затраты на элементарные логистические операции, из которых она состоит.) Затраты на перевозку 1т определяются:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415-полная себестоимость 1 ткм. при подвозе груза к магистрали вспомогательным видам транспорта
13 EMBED Equation.3 1415-тоже при вывозе груза с магистрального транспорта
13 EMBED Equation.3 1415-эксплуатационные затраты на 1 тонну груза на всем пути следования
13 EMBED Equation.3 1415-эксплуатационные расходы по начальным и конечным операциям на магистральном виде транспорта, отнесенные на 1т. груза
13 EMBED Equation.3 1415-эксплуатационные расходы по движенческой операции на магистральном транспорте, отнесенные на 1ткм
13 EMBED Equation.3 1415-дальность подвоза и вывоза с магистрального транспорта соответственно
13 EMBED Equation.3 1415-дальность перевозки магистральным транспортом



Основы экономики транспорта


Экономические факторы, определяющие эффективность работы транспорта

1. Расстояние - главный фактор определяющий величину транспортных расходов, т.к. от него зависит величина переменных издержек
Во-первых, величина издержек никогда не равна нулю, поскольку при любой дальности перевозок существуют постоянные расходы на прием грузов и их доставку.
Во-вторых, с увеличением дальности кривая издержек растет убывающими темпами. Чем протяжение маршрут, тем меньше в нем доля участков, приходящиеся на городские территории, и тем больше пути по магистральным (межгородские) дорогам. Последний обходится дешевле в расчете на милю, потому, что скорость движения здесь выше, а следовательно, меньше расход топлива и относительные трудозатраты. К тому же в городских зонах чаще встречаются перевалочные пункты, где происходит погрузка-разгрузка, и значит на эти участки пути приходятся дополнительные издержки грузопереработки.
2.Вес. При большой массе постоянные расходы по приемки грузов и доставки их получателю, равно как и административные расходы распределяются на дополнительные единицы груза (чем крупнее груз тем меньше транспортные расходы на единицу веса) постоянная компонента транспортных расходов распределяется на весь груз, так что чем он больше, тем меньше удельные издержки на единицу веса. Организация перевозки 1 кг обходится во столько же, что и организация перевозки 1000 кг груза. Если административные расходы в расчете на одну отправку составляют 10 руб., то при транспортировке 1 кг удельные издержки составят 13 EMBED Equation.3 1415, а при транспортировке 1000 кг составят 13 EMBED Equation.3 1415 т.о. возникает экономия за счет масштабов перевозки.
Плотность грузов. Отношение веса к объему груза (занимаемому пространству). Транспортные издержки обычно считаются на единицу веса. Емкость отдельного транспортного средства ограничено скорее свободным пространством, предназначенным для загрузки, т.е. объемом груза, нежели его весом. Если транспорт загружен полностью, то каким бы легким ни был груз больше, туда не загрузишь т.к. переменные издержки (расход топлива, трудозатраты) не зависят напрямую от веса. Чем больше плотность груза, тем дешевле обходится перевозка единицы веса, т.к. постоянные расходы распределяются на дополнительные единицы веса.
Укладистость. Хар-ка формы и габарита груза влияющих на использование полезного объема транспортного средства.
5. Грузопереработка. Для погрузки выгрузки может потребоваться специальное оборудование. Кроме этого расходы на грузопереработку зависят от способа упаковки грузов (поддоны, коробки, ящики) для их транспортировки и складирования.
6. Ответственность. Перевозчикам следует страховать груз на случай претензий со стороны грузоотправителей и получателей, в ином случае они сами несут ответственность за ущерб причиненный грузу. Или грузоотправители для уменьшения риска, а тем самым и транспортных расходов используют более лучшую защитную упаковку или принимают более строгие меры безопасности.
7. Рыночные факторы. Загруженность и сбалансированность рейсов. После доставки груза транспорт возвращается либо вновь загруженным, либо порожняком. При возвращение порожняком затраты на оплату труда, горючее, техническое обслуживание и ремонт должны быть отнесены на загруженные рейсы. Идеальная ситуация - когда удается наладить сбалансированные, т.е. равно загруженные рейсы в обоих направлениях. Но такое бывает редко из-за неравномерности спроса в центрах производства и центрах потребления. Например, производство многих товаров сосредоточенно в европейской части России, откуда их доставляют на потребительские рынки восточной части России, так что объем грузопотока в восточной части направление потребительских товаров превосходит объема грузопотока на запад. Поэтому тарифы в западном направление не много ниже. Сбалансированность зависит также от сезонного фактора-перевозки с/х продуктов во время урожая интенсивнее.









Вопрос 2.Общее понятия о распределение и доставки грузов. Постановка задачи.


Под термином транспортная задача понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для них является, правило распределения ресурсов, находящихся у –m- производителей (поставщиков) по -n- потребителям этих ресурсов.
На автомобильном транспорте наиболее часто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:

прикрепление потребителей ресурса к производителям.
привязка пунктов отправления к пунктам назначения
взаимные привязки грузопотоков прямого и обратного назначения.
отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного оборудования
оптимальное распределение объемов выпуска промышленной продукции между заводами и грузополучателями и др.
Рассмотрим экономико-математическую модель прикрепления пунктов отправления к пунктам назначения. Имеется -m- пунктов отправления груза и объемы отправления по каждому а1, а2, а3 ам. Известна потребность в грузах 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 по каждому из -n- пунктов назначения. Задана матрица стоимости доставки по каждому варианту 13 EMBED Equation.3 1415 (i- номер строки; j- номер столбца), где i=1,m; j=1,n. 13 EMBED Equation.3 1415- называют коэффициентом затрат - затраты на перевозку единицы груза от i-го поставщика j–му потребителю.

Таблица 1
поставщики
потребители
Запасы(объемы
отправления)



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·3 1415
.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

потребность
13 EMBED Equation.3 1415

..
13 EMBED Equation.3 1415



Например, в клетке (1,2) стоит число -13 EMBED Equation.3 1415- следовательно перевозка единицы груза от 1-го поставщика 2-му потребителю обойдется -13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415- денежных единиц. Задача ставится так: рассчитать оптимальный план перевозок для каждой пары «поставщик-потребтель» так чтобы:
мощности всех поставщиков были реализованы;
потребности для всех потребителей были удовлетворены;
суммарные затраты на перевозку были бы минимальны.
[(или определить, сколько груза должно быть отправлено из каждого i–го пункта отправления (от поставщика) в каждый j–й пункт назначения (до потребителя) 13 EMBED Equation.3 1415 с минимальными транспортными издержками)].
В общем виде исходные данные представлены в таблице 1
Транспортная задача называется закрытой, если суммарный объем отправленных грузов- (13 EMBED Equation.3 1415) равен суммарному объему потребности в этих пунктах назначения-(13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 (1)

Если такого равенства нет (потребности выше запасов или наоборот), задачу называют отрытой, т.е.

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (2)

Для написания модели необходимо все условия (ограничения) и целевую функцию представить в виде математических уравнений. Все грузы из i пунктов должны отправлены т.е.

13 EMBED Equation.3 1415, i=1,m (3)

Все j пункты (потребители) должны быть обеспечены грузами в плановом объеме

13 EMBED Equation.3 1415, j=1,n (4)

Суммарные объемы отправления должны равняться суммарным объемам назначения

13 EMBED Equation.3 1415 (5)

Должно выполняться условие не отрицательности переменных:
13 EMBED Equation.3 1415; i=1,m; j=1,n
Перевозки необходимо осуществлять с минимальными транспортными издержками (функция цели):

13 EMBED Equation.3 1415 (6)

В модели (3)-(6) вместо матрицы стоимости перевозок (13 EMBED Equation.3 1415) могут задаваться матрицы расстояний. В таком случае в качестве целевой функции рассматривается минимум суммарной транспортной работы. Как видно выражения (5) уравнения баланса является обязательным условием решения транспортной задачи. !Поэтому если в исходных условиях дана открытая задача, то ее необходимо привести к закрытой форме. В случае если:
потребности по пунктам назначения превышают запасы пунктов отправления, то вводится фиктивный поставщик с недостающем объемом отправления;
запасы поставщиков превышают потребности потребителей, то вводится фиктивный потребитель с необходим объемом потребления.
13 EMBED Equation.3 1415 Варианты, связывающие фиктивные пункты с реальными имеют нулевые оценки. После введения фиктивных пунктов задача решается как закрытая.
Транспортные задачи присуще следующие особенности:
распределению подлежат однородные ресурсы;
условия задачи описываются только уравнениями;
все переменные выражаются в одинаковых единицах измерения;
во всех уравнениях коэффициенты при неизвестных равны единице;
каждая неизвестная встречается только в двух уравнениях системы ограничений.
Транспортные задачи могут решатся различными методами (симплекс-метод, метод северо-западного угла, метод минимального элемента, и т.д.)


Вопрос 3. Методы решения транспортных задач


Пример 1.
Построить экономико-математическую модель следующей задачи. Имеются три поставщика и четыре потребителя. Мощность поставщика и спросы потребителей, а также затраты на перевозку единицы груза для каждой пары «поставщик-потребитель» сведены в таблицу 2.
Таблица 2
поставщики
Мощность
Посавщи-ков
Потребители и их спрос



1
2
3
4



20
110
40
110

1
60
1
2

5

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Рассчитать оптимальный план перевозок, т.е. определить, сколько груза должно быть оправлено от каждого поставщика каждому потребителю с минимальными транспортными издержками.
Решение. Построим экономико-математическую модель. Искомый объем перевози от i-го поставщика к j-му потребителю обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415 и назовем - поставкой клетки(i,j). (например,13 EMBED Equation.3 1415 искомый объем перевозки от 1-го поставщика ко 2-му потребителю или поставка клетки (1;2))
13 EMBED Equation.3 1415Заданные мощности поставщиков и спросы потребителей накладывают ограничения на значения неизвестных 13 EMBED Equation.3 1415.
Например, объем груза забираемого от 1-го поставщика, должен быть равен его мощности – 60 единицам, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415(уравнение баланса по первой строке), т.о. чтобы мощность каждого из поставщиков была реализована, необходимо составить уравнение баланса для каждой строки таблицы поставок, т.е.


13 EMBED Equation.3 1415 (7)

Аналогично, чтобы спрос каждого из потребителей был удовлетворен, уравнение баланса составляем для столбцов

13 EMBED Equation.3 1415 (8)
Объем перевозимого груза не может быть отрицателен 13 EMBED Equation.3 1415(i=1,2,3; j=1,2,3,4)
Суммарные затраты –F- на перевозку выражаются через коэффициенты затрат и поставки следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415(9)
Математическая формулировка: На множестве не отрицательных решений системы ограничений (7) и (8) найти такое решение 13 EMBED Equation.3 1415,при котором линейная функция (9) примет минимальное значение.
Для математической формулировки транспортной задачи обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415-коэффициенты затрат, 13 EMBED Equation.3 1415- мощности поставщиков, через 13 EMBED Equation.3 1415-мощности потребителей, где i=1,2,,m; j=1,2,.n, где m-число поставщиков, n-число потребителей. Тогда система ограничений примет вид:

13 EMBED Equation.3 1415, i=1,2,m (10)

13 EMBED Equation.3 1415,j=1,2,,n (11)

Система (10) включает в себя уравнение баланса по строкам, а система (11)- по столбцам поставок. Линейная функция в данном случае:

13 EMBED Equation.3 1415 (12)

Математическая формулировка в общем виде: на множестве не отрицательных (допустимых) ограничений (10) и (11) найти такое решение 13 EMBED Equation.3 1415 при котором значение линейной функции (12) минимально.
Произвольно допустимое решение 13 EMBED Equation.3 1415 с системой ограничений (10) и (11) называется распределением поставок.
В транспортной задаче примера 1 суммарная мощность поставщиков равна суммарной мощности потребителей, т. е.:

13 EMBED Equation.3 1415- такая задача называется закрытой (13)

В противном случае задача называется открытой.
Рассмотрим закрытую задачу. Решение осуществляется по шагам и каждому шагу соответствует разбиение переменных на базисные и свободные.
Число – r – базисных переменных транспортной задачи равно рангу системы линейных уравнений (максимальному числу линейно не зависимых уравнений в системе ограничений).
Теорема. Ранг – r- системы уравнений (10) и (11) при условии (13) равен m+n-1. (Доказательство см. «Исследования операций в экономике» под ред. Н. Ш. Кремера, стр. 126-128).
Основное следствие теорем: - число –r- базисных переменных закрытой транспортной задачи равно m+n-1, где m- число поставщиков, n- число потребителей.
Каждому разбиению переменных 13 EMBED Equation.3 1415 задачи на базисные и свободные соответствует базисные решения и как следствие заполнение таблицы поставок, которые называются базисными. Т. е. распределение поставок называются базисными, если переменные соответствующие заполненным клеткам можно принять за базисные переменные.
Клетки, отвечающие базисным переменным будем называть базисными, а клетки соответствующие свободным переменным – свободными. Поскольку в дальнейшем мы используем исключительно базисные распределения поставок, то термин «базисная клетка» и заполненная клетка будут считаться равнозначными.
В распределительном методе как и в симплексном будем переходить от одного базисного распределения поставок к другому в сторону невозростания целевой функции вплоть до оптимального решения. Для начала составим исходное базисное распределение поставок – так называемый опорный план.


Нахождение первоначального базисного распределения поставок методом «северо-западного» угла


Задача. Найти первоначальное базисное распределение для транспортной задачи примера 1.
Решение. Дадим переменной 13 EMBED Equation.3 1415 максимально возможное значение или, максимально возможную поставку в клетку (1,1) – «северо-западный» угол таблицы: 13 EMBED Equation.3 1415. После этого спрос 1-го потребителя будет полностью удовлетворен, в результате первый столбец поставок выпадет из последующего рассмотрения (сплошная линия заполненные клетки, пунктирные – выпавшие из последующего рассмотрения табл.3). Табл.3


Потребители

Поставщики

20
110
40
110


60
1

2

5

3





20

40






120
1

6

5

2







70

40

10


100
6

3

7

4











100

В таблице поставок найдем новый «северо-западный» угол-клетку (1,2) и добавим в нее максимально возможное значение. Учитывая, что 1-ый поставщик уже отдал 20 ед. И у него осталось 40ед. (60-20), поэтому 13 EMBED Equation.3 1415. Мощность первого поставщика полностью реализована и из рассмотрения выпадает первая строка таблицы поставок. Заполняем таблицу:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

Число заполненных клеток равно m+n-1=3+4-1=6, т. е. числу базисных переменных (смотри теорему). Эта особенность шагов метода «северо-западного» угла служит причиной того, что полученное распределение является базисным.
Недостаток этого метода состоит в том, что он построен без учета значений коэффициентов затрат.
!Данный метод допускает модификацию лишенную этого не достатка: на каждом шаге максимально возможную поставку следует давать не в «северо-западную» клетку оставшейся таблицы, а в клетку с наименьшим коэффициентом затрат. При этом распределение поставок оказывается ближе оптимальному чем распред. методом «северо-западного» угла. Такой метод называется методом наименьших затрат.
Задача. Найти методом наименьших затрат первоначальное распределение.
Решение. Находим в таблице поставок (см. таб. 2) клетки с наименьшим коэффициентом затрат. Таких две (1,1) и (2,1) с коэффициентом затрат равным 1 (табл.4).
Табл. 4


Потребители

Поставщики

20
110
40
110


60
1

2

5

3














120
1

6

5

2





20








100
6

3

7

4













Сравним максимально возможные поставки для этих клеток: для (1,1) 13 EMBED Equation.3 1415, для клетки (2,1) 13 EMBED Equation.3 1415. Т. к. они совпадают, то максимально возможную поставку даем в любую из них. Например:20 ед. в(2,1). Спрос первого потребителя удовлетворен и первый столбец таблицы поставок выпадает из последнего рассмотрения табл. 4.
В оставшиеся таблицы наименьшим коэффициентом затрат обладают две клетки 13 EMBED Equation.3 1415. Сравним максимально возможные поставки для этих клеток: для клетки (1,2) 13 EMBED Equation.3 1415; для клетки (2,4) 13 EMBED Equation.3 1415. Даем поставку в клетку (2,4) для которой максимально возможная поставка оказалась больше 13 EMBED Equation.3 1415. При этом распределении выпадает вторая строка таблицы поставок (таб. 5).
Табл.5


Потребители

Поставщики

20
110
40
110


60
1

2

5

3







40






120
1

6

5

2





20





100


100
6

3

7

4







50

40

10

Аналогично заполняем таблицу:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Сравним найденное распределение поставок с распределением по методу «северо-западного» угла. Вычислим для каждого из этих распределений суммарные затраты в денежных единицах:
по таблице 3: 13 EMBED Equation.3 1415
по таблице 5: 13 EMBED Equation.3 1415
Суммарные затраты меньше при методе наименьших затрат.
Теорема. Пусть на каждом шаге заполнение таблицы поставок возникает одна заполненная клетка, причем из рассмотрения на каждом (кроме последнего) шага выпадает либо одна строка, либо один столбец. Тогда переменные, соответствующие заполненным клеткам, можно принять за базисные (доказательство стр. 132 «Исследование операций в экономике»).
Из теоремы следует, что методы «северо-западного» угла и наименьших затрат приводят к базисным распределениям поставок, если на каждом (кроме последнего) шаге из рассмотрения выпадает либо одна строка, либо один столбец.
Рассмотрим теперь те особые случаи, когда на некотором шаге заполнения из рассмотрения выпадает одновременно и строка и столбец. И как при этом следует поступать.
Пример. Найти первоначальное базисное распределение поставок для следующей транспортной задачи табл.6:


20
10
40

30
1

3

5










30
3

3

2










10
4

1

2











Решение. Воспользуемся методом «северо-западного» угла. На первом шаге следует дать поставку равную 20 ед. в клетку (1,1). Будет удовлетворен спрос первого потребителя и выпадает 1-ый столбец. На втором шаге даем 10 ед. в клетку (1,2). При этом выпадает 1-ый поставщик и 2-ой потребитель. Продолжая заполнять клетки мы получим заполнение таблицы поставок, но число заполненных клеток окажется меньше чем число базисных переменных, равное m+n-1=3+3-1=5. Такое распределение не будет базисным и этот метод решения будет неприемлем.
Для этого нужно разбить 2-ой шаг на 2 шага. Допустим, что после поставки в клетку (1,2) из рассмотрения выпадает, например, только первая строка. Для того чтобы вывести из рассмотрения второй столбец, делаем еще один шаг: даем нулевую (фиктивную) поставку в произвольную, но не вычеркнутую клетку 2-го столбца, например, в (2,2). После этих 3-х шагов имеем таблицу 7 .
Табл.7 Табл.8


20
10
40

30
1

3

3




20

10



30
3

3

2






0



10
4

1

2












20
10
40

30
1

3

3




20

10



30
3

3

2






0

30

10
4

1

2








10








Аналогично можно допустить, что после второго шага из рассмотрения выпал только второй столбец. Тогда на третьем шаге нулевую поставку следует дать в произвольную, но не вычеркнутую клетку первой строки.
При последующем заполнении таблицы поставок используем метод «северо-западного» угла обычным способом. Получаем распределение поставок (табл. 8). Этот прием применяется также при методе наименьших затрат.


Критерий оптимальности базисного распределения поставок

Решение вопроса оптимальности базисного распределения разработан в гл. 5 (Исследования операц. в экономике) посвященный симплексному методу. Согласно ему в начале следует выразить линейную функцию задачи через не основные (свободные) переменные.
Транспортная задача – задача на минимум, поэтому оптимум достигнут тогда и только тогда когда все коэффициенты при свободных (не основных) переменных в выражении линейной функции неотрицательны. В транспортной задаче произвольная переменная 13 EMBED Equation.3 1415 отождествляется с содержимым соответствующей клетки (i,j) таблицы поставок. Коэффициент 13 EMBED Equation.3 1415 при свободной переменной 13 EMBED Equation.3 1415 в выражении линейной функции F через свободные перемещенные называется оценкой свободной клетки (i,j).
Тогда критерий оптимальности формулируется так: базисное распределение поставок оптимально тогда и только тогда, когда оценки всех свободных клеток неотрицательны.
Т. о. в первую очередь необходимо определить оценки свободных клеток для фиксированного базисного распределения поставок.
Пусть фиксировано некоторое базисное распределение поставок, при этом клетка (i,j) – свободная (переменная 13 EMBED Equation.3 1415- свободная), 13 EMBED Equation.3 1415- оценка клетки (i,j) или коэффициент при 13 EMBED Equation.3 1415 в выражении линейной функции F через свободные переменные, т. е.:

13 EMBED Equation.3 1415 (14)

где многоточием обозначены слагаемые, отвечающие свободным, переменным, отличным от 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - суммарные затраты на перевозку данного распределения поставок. Тогда из выражения (14) следует, что оценка 13 EMBED Equation.3 1415 свободной клетки (i,j) равна приращению
·F суммарных затрат на перевозку при переводе в клетку (i,j) единичной поставки (увеличение переменой 13 EMBED Equation.3 1415 от 0 до 1). Очевидно, что
·F > 0, если 13 EMBED Equation.3 1415> 0;
·F < 0, если13 EMBED Equation.3 1415<0. Последнее косвенное определение оценки свободной клетки обычно называют экономическим смыслом оценки свободной клетки.
Пример. Проверим на оптимальность первоначальное базисное распределение поставок методом наименьших затрат. Установить является ли оптимальным базисное распределение поставок найденное в задаче таб. 5 ( см. таб. 9).
Табл.9


20
110
40
110

60
1

2

5

3






60





120
1

6

5

2




20





100

100
6

3

7

4






50

40

10

Найдем, например, оценку свободной клетки (1,3). Для этого дадим (1,3) единичную поставку, при этом изменяем поставки в других, сохраняя баланс по строкам и столбцам. Будем полагать, что во всех свободных клетках, отличных от (1,3), поставка остается нулевой. Так чтобы третий потребитель получил по-прежнему сорок единиц груза, поставку в клетке (3,3) следует уменьшить на 1. Для того, чтобы поставщик отправил по-прежнему 100 единиц, поставку в клетке (3,2) увеличиваем на 1. Полученное распределение в табл. 10.
Табл.10

20
110
40
110

60
1

2

5

3






59

1



120
1

6

5

2




20





100

100
6

3

7

4






51

39

10

Найдем изменение
·F суммарных затрат при указанном перераспределении поставок. Первоначальные затраты (табл. 9).
13 EMBED Equation.3 1415
После перераспределения (табл. 10).
13 EMBED Equation.3 1415
Учитывая экономический смысл оценки свободной клетки, получаем:


·13 =
·F = Fn – Fн = 2
· (-1) + 5
· 1 + 3
· 1 + 7
· (-1) = -1

Т. к. среди клеток таблицы 9 есть клетка с отрицательной оценкой, то распределение поставок неоптимально.
Этот способ довольно громоздкий. Проанализируем решение задачи для укрощения вычислений.
При вычислении
·F многие слагаемые из FП и FН взаимно уничтожаются не влияя на значения
·F: существенны лишь коэффициенты затрат тех клеток, в которых поставка при рассматриваемом перераспределении изменится. При этом в выравнивании для
·F некоторые из них входят со знаком +, а некоторые со знаком -. Для удобства покажем это на рис. 1.
Рис. 1

На нем изображены клетки в которых будет изменена поставка. Знаком «+» обозначены клетки, в которых поставка увеличивается. Видно, что именно их коэффициент затрат войдут в выражение (15) для 13 EMBED Equation.3 1415F со знаком «+». В остальных клетках рис.1 поставка уменьшится (в них знак «-»), их коэфф. затрат войдут в (15) для 13 EMBED Equation.3 1415F со знаком «-«. Ломаное соединение клетки называется означенным циклом пересчета.
Т.о. привило 1 нахождение оценки свободной клетки звучит: для свободной клетки следует построить цикл пересчета в вершинах этого цикла расставить последовательно чередующие знаки, начина со знака «+» в свободной клетке, тогда значения оценки свободной клетки равно алгебраической сумме коэффициента затрат клеток цикла, взятых с соответствующими знаками. Аналогично находятся оценки каждой клетки.

Например, клетка (1,1)


20
110
40
110

60
1
+
2
-
5

3






60





120
1
-
6

5

2
+



19





101

100
6

3
+
7

4
-
-





51

40

9










Оценка клетки:13 EMBED Equation.3 1415

Нахождение оценок свободных клеток можно упростить.
Теорема (о потенциалах). Оценка свободной клетки не изменяется, если к коэффициентам затрат некоторой строки (столбца) таблицы поставок прибавить некоторое число. Это число, прибавляемое к коэффициентам затрат выделенной строки (столбца), будем называть потенциалом данной строки(столбца).
Правило 2 нахождение оценок сводных клеток: к коэффициентам затрат таблицы поставок в каждой строке и столбце надо прибавить такие числа (потенциалы), чтобы коэффициент затрат в заполненных клетках стали равными нулю. Полученные при этом коэффициенты затрат свободных клеток равны оценкам этих клеток.
Пример. Найти оценки свободных клеток базисного распределения поставок задачи- таблицы-5 .
Решение. Найдем оценки свободных клеток. Изменения коэффициентов затрат, можно начинать с любого столбца (строки). Потенциал строки ( столбца) избранного для начала, может быть произвольным, но можно доказать что после его фиксации потенциалы остальных столбцов(строк) будет определены однозначно. Начнем с1-го столбца. Пусть его потенциал равен 0. рядом с потенциалом в скобках записываем номер шага (поставки опускаем)

Табл.10
1

2

5

3











1

6

5

2











6

3

7

4











13 EMBED Equation.3 1415 (16)


После прибавления этого потенциала к коэффициентам затрат первого столбца коэффициент затрат заполненной клетки (2,1) не изменяется; чтобы полученный после сложения коэффициент стал равен 0, потенциал 2-ой строки таблице 10 должен быть равен -1; для обнуления коэффициента затрат (2,4) потенциала 4-го столбца должен быть равен -1 и т.д. Измененные коэффициенты затрат записываем в виде матицы(16).
Элементы матрицы оценок, соответствующие свободным клеткам таблицы поставок, равны оценкам этих свободных клеток.
Из предыдущих рассуждений вытекает, что для фиксированного базисного распределения поставок можно подобрать различные наборы поставщиков удовлетворяющих правилу 2, однако матрица оценок во всех случаях будет одинакова.

Распределительный метод решения транспортной задачи
Пример. Найти оптимальное распределение поставок задачи таблица 1.
Решение. Начнем с базисного распределения поставок полученного в задаче (таблица5). Как было установлено (см. задачу таблицу 10 и 15) данное распределение не оптимально. Учитывая результаты последней задачи (16) имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Значение 13 EMBED Equation.3 1415 найдено в задаче таблица 5. Далее поступаем так, как поступили бы, решая задачу симплексным методом: переменную 13 EMBED Equation.3 1415, коэффициент при котором отрицателе, будем переводить в основные (базисные) переменные. Переменная 13 EMBED Equation.3 1415 начинает возрастать от нуля. Как было показано ранее, перевод поставки в свободную клетку вызывает перераспределение поставок (передвижение поставок по циклу). Означенный цикл пересчета для клетки(1,3) показан на рисунке 2.











Рис.2

Увеличиваем поставку 13 EMBED Equation.3 1415в клетке(1,3), до тех пор пока поставка в одной из заполнены клеток не станет равной нулю. Эта клетка принадлежит циклу (рис2) для клетки (1,3). Если в клетку(1,3) передать поставку, равно Z, то по поставка в клетках цикла со знаком «+» увеличится на Z, а в клетках со знаком «-» уменьшится на Z. Поэтому искомая клетка находится среди клеток цикла имеющих знак «-». Более того, она имеет минимальную поставку среди таких клеток. Т.к. (рис2) 13 EMBED Equation.3 1415 то в нашем случае- это клетка(3,3), и для обнуления поставки в этой клетке по циклу следует передать 40 единиц, т.е поставка передаваемая по циклу, определяется как минимум среди поставок со знаком «-». После этого клетка(1,3) считается заполненной, а клетка(3,3) свободной,
Клетки со знаком «+» увеличивают на передаваемую поставку: клетка(3,2) равна 90 единиц, клетка(1,3) равна 40 единиц. Аналогично в клетках со знаком «-» поставка уменьшится на передаваемую поставку, например(1,2) станет равной 20 единиц. Вновь полученное распределение базисное (таблица 11).

1

2

5

3





20

40



1

6

5

2



20





100

6

3

7

4





90



10

Табл.11







13 EMBED Equation.3 1415 (17)
! Возникает вопрос об оптимальности. Найдем оценки свободных клеток (матрицу оценок) распределение поставок. Для этого подберем потенциалы, так чтобы коэффициенты затрат заполненных клеток стали = 0. Тогда матрица оценок будет (17).
Т.к.(1,1) имеет отрицательную оценку, то найденное решение не оптимально и передача поставки в(1,1) ведет к уменьшению суммарных затрат на перевозку. Означенный цикл пересчета для(1,1) приведен на рисунке 3.












Рис.3

По правилу сформулированному выше, поставка, передаваемая по циклу 13 EMBED Equation.3 1415. Передвигая эту поставку по циклу (рисунок 3), приходим к новому распределению поставок (таблица12).


1

2

5

3



10

10

40



1

6

5

2



10





110

6

3

7

4





100





Табл.12






13 EMBED Equation.3 1415(18)
Найдя матрицу оценок (18) заключаем, что оно оптимально, т. к. среди оценок нет отрицательных. Суммарные затраты:

13 EMBED Equation.3 1415
Экономия составит:
13 EMBED Equation.3 1415
Знак минус означает, что суммарные затраты уменьшились.
Замечания
Поставка, предаваемая по циклу, не может быть, ни больше минимума поставок клеток со знаком «-»
Оптимальное распределение поставок найденное в задаче, не единственное, т.к. среди оценок свободных клеток есть нулевые.


Алгоритм решения закрытой транспортной задачи

Для данного базисного распределения поставок подберем потенциалы строк и столбцов таблицы поставок, так чтобы коэффициент затрат заполненных клеток стали равны нулю. Составляем матрицу оценок.
Если оценки всех свободных клеток не отрицательны, то найденное распределение оптимально - решение закончено. Если среди оценок свободных клеток есть отрицательные, то выберем одну из них для передачи в нее поставки (для определенности можно брать, например, одну из клеток с наименьшей оценкой.).
3. Для избранной свободной клетки строится означенный цикл пересчета. Поставка Z, передаваемая по циклу, определяется как минимум среди поставок в клетках со знаком -. Найденная поставка передвигается по циклу. При этом поставка в клетках цикла со знаком + увеличивается на z, а в клетках с – уменьшается на z. Клетка, поставка в которой при этом станет = 0 будет считаться свободной (далее рассмотрим случай, когда таких клеток несколько), остальные клетки цикла – заполненными. Т. о. получено новое базисное распределение поставок.
4 Переходим к п. 1 алгоритма.
Рассмотрим особые случаи, которые могут возникнуть при решении транспортной задачи.
1. В некоторых случаях поставка, переводимая по циклу, может оказаться = 0. Это возможно тогда, когда клетка цикла со знаком – содержала нулевую поставку. В этом случае по циклу передается нулевая поставка. В результате та свободная клетка, для которой был построен цикл, становится заполненной (нулевой поставкой), а клетка с нулевой поставкой – свободной.
2. Если при переводе поставки по циклу поставка обращается в нуль сразу в нескольких заполненных клетках, то свободной из них следует считать только одну (любую), остальные клетки, поставка в которых стала = 0, следует считать заполненными нулевой поставкой.
Разберем эти случаи на примере.
Задача. Завершить решение транспортной задачи таб. 6.
Табл.13

0
1

3

3




20

10



0
3

3

2






0

30

0
4

1

2








10


Решение. Сначала установим оптимально ли распределение полученное методом «северо-западного» угла. Подберем потенциалы строк и столбцов, так чтобы коэффициент затрат заполненных клеток стали равны 0, матрица (19). Так как клетка (3,2) отрицательна, распределение не оптимально.

13 EMBED Equation.3 1415 матр.19
Переведем поставку в клетку (3,2) с отрицательной оценкой. Построим для (3,2) цикл пересчета, находим, что объем передаваемой поставки равен x3.2=min(0.10)=0. Передавая по построенному циклу нулевую поставку, приходим к новому базисному распределению (табл.14). Подбирая потенциалы к строкам и столбцам табл. 14 находим матрицу оценок распределения (20).
Т. к. (1,3) отрицательна то данное базисное распределение не оптимально. Найдем новое базисное распределение передавая постановку в (1,3) с отрицательной оценкой. Построим цикл для (1,3).









Табл. 14
1

3
-
3
+


20

10



3

3

2







30

4

1
+
2
-




0

10










13 EMBED Equation.3 1415(20)

Поставка, передаваемая в клетку(1,3):13 EMBED Equation.3 1415. При передачи по циклу 10 единиц груза станут равными нулю поставки в клетках (1,2) и (3,3). Только одна из них стала свободной напр.(3,3), а (1,2) заполнена нулевой поставкой т.о. получим базисное распред. поставок таблица 15.

1

3

3



20

0

10

3

3

2







30

4

1

2





10




13 EMBED Equation.3 1415 (21)




Определим матрицу поставок. Среди оценок свободных клеток найденного распределения нет отрицательных т.с. найденное распред.(таблица 15) оптимально.

Открытая модель транспортной задачи

Открытая транспортная задача решается сведением ее к закрытой.
Задача. Найти оптимальное распределение поставок для транспортной задачи таблица 16

Таблица 16 таблица 17

45
35
55
65

40
4
1
2
5

60
3
2
3
7

90
4
4
5
2



45
35
55
65

40
4
1
2
5

60
3
2
3
7

90
4
4
5
2

10
0
0
0
0





Решение. Суммарный спрос потребителей больше суммарной мощности поставщиков (45+35+55+65=20013 EMBED Equation.3 141540+60+90=190). Введем, фиктивного поставщика в таблицу поставок добавим, строку ( таблица 17), так чтобы задача стала закрытой. Мощность фиктивного поставщика равна 10=200-190. коэффициенты затрат этой добавленной строки определяются издержками ввиду не догрузки мощностей потребителем. Если информация об этих издержках отсутствует, то их принимают равными одному и тому же числу (например 0). Согласно теореме о потенциалах, конкретное значение этого числа не влияет на оптимальное распределение поставок.
Первоначальное распределение поставок найдем по методу наименьших затрат.

Табл. 18

45
35
55
65

40
4

1

2

5





35

5


60
3

2

3

7





10



50


90
4

4

5

2

55



35







10
0
0
0
0
10



-2

-3





0 1 0 2
Укажем последовательность заполнения таблицы поставок: x44=(10,65)=10;
x12=(40,35)=35; x34=(90,65-10)=55; x13=(45-40,55)=5; x23=(60,55-5)=50; x21=(60-50,45)=10; x31=(90-55,45-10)=35. В результате приходим к базисному распределению поставок (табл. 18). Установим оптимально ли распределение и найдем матрицу оценок (22).


13 EMBED Equation.3 1415 (22)

Распределение (таблица 18) неоптимальное т.к. есть отрицательные оценки. Переведем поставку в одну из клеток с наименьшей отрицательной оценкой(4,3)
















Поставка передаваемая по циклу равна 13 EMBED Equation.3 1415. Передвигая по циклу поставку равную 10 единиц приходим к распределению таблица 19 находим оценку свободных матриц(23)

4

1

2

5





35

5



3

2

3

7



20



40



4

4

5

2



25





65


0
0
0
10
0


0
1 13 EMBED Equation.3 1415 (23)
-2


2


-2 -1 -2 0
Т.к. оценки всех клеток не отрицательны, то распределение поставок оптимально.









13PAGE 15


13PAGE 142115



13 EMBED Equation.3 1415

Цена

Расстояние

Принцип убывания

Вес груза

Цена в расчете на кг

Эффект масштаба

плотность груза

Цена в расчете на кг

13 EMBED Equation.3 1415

2
-

3
+

7
-

5 +

базисные клетки

(1,2)

(1,3)

(3,2)

(3,3)

номера
клеток

1 +

2 -

1 -

2 +

3 +

4 -

(1,1)

(2,1)

(1,2)

(2,4)

(3,2)

(3,4)

-2(7)

-1(2)

-3(4)

0(1)

0(6)

-4(5)

-1(3)

2 -
60

3 +
50

7 -
40

5 +

(1,2)

(1,3)

(3,2)

(3,3)

(6)-2

(2)-1

(4)-3

(3)-1

(7)-3

(5)0

(1)0

(1,1)

(2,1)

(1,2)

(2,4)

(3,2)

(3,4)

-
20

+

-
20

+
100

-
10

+
90

-


+


-


+

(2,2)

(2,3)

(3,2)

(3,3)

1

-2

3 -
10

3 +
0

2 -
10

3 +

(1,2)

(1,3)

(3,2)

(3,3)

0

0

-2

-1

-1

0

1

0

-2

-2

0

(2,1)

(3,1)

(2,3)

(3,4)

(4,3)

(4,1)

-
50

+
10

+
50

-
35

-
10

+


-2

-1

-2

0

-1

-2



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Nativeі і

Приложенные файлы

  • doc 8222506
    Размер файла: 744 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий