Презентация 1


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Теория вероятностей Лекции по математике Рекомендуемая литература Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2001 . Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по теории вероятностей. ВФ СПбГУСЭ, 2007. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Содержание Немного историиПредмет теории вероятностейОсновные понятияКлассификация событийДействия над событиямиЧастота события и её свойстваЭлементы комбинаторики * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Немного истории «Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами из теории вероятностей» П. Лаплас (1749 – 1827) * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Пьер Симон Лаплас Немного истории Начало систематического исследования случайных явлений относится к XVII веку. Уже Галилео Галилей пытался подвергнуть научному исследованию ошибки астрономических измерений. Развитие страхового дела диктовало внимательней относиться к статистике заболеваемости, смертности, несчастных случаев,…. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Немного истории Однако, вначале более подробно были изучены закономерности, проявляющие себя в азартных играх. Само слово «le hazard» в переводе с французского означает «случай». * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Предмет теории вероятностей Изучение количественных закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления (т.е. те, которые можно многократно наблюдать при неизменных условиях). * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Основные понятия Испытание – это наблюдение какого-либо явления при выполнении определённых условий, которые должны повторяться при повторении наблюдений.Событие – это возможный исход испытания. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Примеры.Испытание – подбрасывание монеты.Событие – выпадение герба.Испытание – стрельба по мишени из данного орудия при данных условиях.Событие – попадание в определённую область мишени. Основные понятия Будем обозначать различные события заглавными латинскими буквами: A, B, C,…Полная группа событий  это множество событий {A1, A2,…, An}, если в ходе испытания произойдёт хотя бы одно из них. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Пример.Испытание  подбрасывание монеты.Полная группа событий  {A1, A2}: A1  выпадение орла; A2  выпадение решки. Основные понятия Противоположные  два несовместных события, образующих полную группу. Обозначения: А и ĀРавновозможные  события, для которых есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Пример.Испытание  бросание игральной кости.События: А1  выпадение чётного и А2  выпадение нечётного числа очковявляются противоположными. События: В1  выпадение единицы и В2  выпадение двойки являются равновозможными. Частота события В ходе испытаний или наблюдений одни события появляются чаще, а другие реже. Более часто появляющиеся события являются более возможными. Хочется подобрать объективную меру, характеризующую возможность появления того или другого события. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Вероятность случайного события Под вероятностью случайного события будем понимать объективную количественную меру возможности появления этого события.Вопрос. Нельзя ли как-нибудь количественно до проведения эксперимента определить вероятность наступления интересующего нас события. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Классическое определение вероятности Рассмотрим некоторое испытание, для которого известны все возможные элементарные исходы (события).К примеру, при бросании монеты все возможные исходы: «орёл», «решка».Эти события образуют полную группу, являются равновозможными и элементарными. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Классическое определение вероятности Один возможный исход испытания благоприятен событию «орёл», а другой событию «решка». * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Классическое определение вероятности Вероятностью события A называют отношение числа благоприятных этому событию исходов к числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Классическое определение вероятности Обозначим вероятность события Aгде m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию A,n - число всех равновозможных исходов испытания. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» * Вопрос на засыпку Пример. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4. Решение. Возможные исходы испытания:(1, 1); (1, 2);… (6, 6).Общее количество возможных исходов равно 36.Благоприятные исходы: (1, 3); (2, 2); (3, 1).Ответ. P(A)=3/36=1/12. Элементы комбинаторики Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются свойства множеств, составленных из элементов некоторого конечного множества.Пусть Ω={ω1, ω2,…, ωn}  некоторое заданное конечное множество. Мощность этого множества равна количеству его элементов. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Элементы комбинаторики Подмножество будем называть упорядоченным, если важно учитывать порядок расположения его элементов.В противном случае подмножество будем называть неупорядоченным. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Примеры 1. Пусть Ω  множество, состоящее из букв {А, В, Д}. Из этих букв будем составлять словосочетания, состоящие из двух букв. При этом слова АД и ДА будут различными, несмотря на то, что они состоят из одних и тех же элементов, т.е. эти множества являются упорядоченными. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Примеры 2. Пусть Ω - множество учеников некоторого класса. Из этих учеников составляются пары для дежурства. При этом пара Петров, Иванов эквивалентна паре Иванов, Петров, т.е. порядок расположения элементов не важен. Поэтому подмножество, состоящее из двух учеников, является неупорядоченным. * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Перестановки Перестановками называют множества, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся только порядком расположения этих элементов.Количество всевозможных перестановок из n различных элементов: Pn=n! * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Pn=n! Вопрос на засыпку Сколькими способами можно расставить на полке 5 книг? * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Решение.Pn=5!=1∙2∙3∙4∙5=120 Размещения Размещениями называют множества, составленные из m элементов, которые выбирают из различных n элементов. Размещения отличаются друг от друга либо составом, либо порядком расположения элементов.Количество всех возможных размещений вычисляется по формуле: * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Размещения Преобразуем формулу для вычисления количества возможных размещений, умножив и поделив выражение на m!: * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Вопрос на засыпку В алфавите 7 букв. Сколько можно составить различных слов, состоящих из пяти не одинаковых букв? * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Решение. Сочетания Сочетаниями называют множества, составленные из m элементов, которые выбирают из различных n элементов. Размещения отличаются друг от друга составом.Количество всех возможных сочетаний вычисляется по формуле: * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Вопрос на засыпку В ящике 4 чёрных и 6 белых шаров.Наудачу было взять 3 шара.Сколько существует вариантов того, что среди выбранных шаров будет 2 чёрных шара? * © И.Р.Тимошина «Множества. Числовые функции» Решение.

Приложенные файлы

  • ppt 1581792
    Размер файла: 744 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий