Лаб#7КМВТ

Лабораторна робота №7
Тема: Методи комп’ютерної обробки результатів вимірювань

Завдання на лабораторну роботу:
ознайомитися з теоретичними відомостями;
за методом найменших квадратів виконати апроксимацію експериментальних даних, для чого вибрати вид апроксимуючої функції і визначити її параметри; сексти програму апроксимації даних і визначити середньоквадратичну помилку апроксимації;
скласти алгоритм і програму інтерполяції експериментальних даниза методом Ньютона; обчислити значення даних в точках 3,5; 5,5; 7,5. Під час побудови інтерполяційного полінома використати експериментальні дані в інтервалі [1-8].


7.1. Апроксимація результатів вимірювань.

Експериментальне дослідження деякого процесу проводиться шляхом вимірювання кількісних значень величин, що характеризують залежність параметрів процесу від зміни умов його протікання. Результати вимірів зазвичай записуються або у вигляді таблиць, або у вигляді точок на площині з координатами x, y. Під час прийняття рішення про характер процесу за результатами експерименту може виникнути ряд проблем.
Оскільки результати експерименту зазвичай містять похибки, то виникає задача згладжування відхилень отриманих даних, зумовлених помилками експерименту.
Може з’явитися необхідність визначити характер протікання процесу в тих точках, в яких виміри не проводилися.
Часто потрібно екстраполювати знайдену експериментальну залежність, тобто визначити її поза областю експерименту.
При випадковому спостережуваному процесі потрібно знаходити закон розподілу виміряних випадкових величин.
Перші три проблеми вирішуються шляхом апроксимації и інтерполяції отриманих експериментальних залежностей, четверта – статистичною обробкою результатів вимірювань.
Апроксимація – знаходження аналітичного виразу відомого виду, який би максимально наближав отриману експериментальну залежність. На рис. 7.1 зображена геометрична інтерпретація апроксимації.
Як видно на рис. 7.1, є ряд експериментальних точок з координатами (xi, yi), за якими встановлюють функціональну залежність y=
·(x). Очевидно, що під час апроксимації, насамперед, потрібно вирішити два питання:
1. Який вигляд функції вибрати для апроксимації?
2. Як провести апроксимаційну криву, щоб вона була найкращим наближенням експериментальних даних?



Рисунок 7.1. – Геометрична інтерпретація апроксимації

Зазвичай апроксимацію проводять аналітичними виразами найпростішого вигляду, наприклад степеневими многочленами, тригонометричними рядами, експоненціальними функціями тощо. Що ж стосується критерію найкращого наближення, то найчастіше користуються критерієм найменших квадратів. Цей критерій зручний з точки зору практики обчислень, оскільки він в багатьох випадках зводить проблему апроксимації до вирішення системи лінійних рівнянь. Крім того, в теорії ймовірності дається обґрунтування наступного факту: для того, щоб дана сукупність спостережуваних значень y1,y2,,yn була найімовірнішою, потрібно обрати апроксимуючу функцію
·(x) так, щоб сума квадратів відхилень спостережуваних значень yi від
·(x) була мінімальною:

Вираз 7.1 відображає суть методу найменших квадратів. Апроксимуюча функція y=
·(x) в загальному випадку може бути записна у вигляді y=
·(xi,a0,a1,,ai,,am), оскільки вона залежить і від деяких числових параметрів ai , що входять до неї.
Саме ці параметри потрібно визначити згідно методу найменших квадратів. Для мінімізації виразу:


його ліву частину почергово диференціюємо по коефіцієнтах аі і прирівнюємо до нуля. Отримуємо систему рівнянь з m невідомими, розв’язуючи її, визначаємо числові параметри аі і тим самим знаходимо апроксимуючу функцію y=
·(x, aі):

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Система (7.3) записана в загальному вигляді. Для пояснення, до чого зводиться апроксимація за метод найменших квадратів з обчислювальної точки зору, розглянемо конкретний приклад.
Маємо функцію, задану в точках хі:



Потрібно апроксимувати її поліномом другого степеня:



Визначимо коефіцієнти 13 QUOTE 1415, використовуючи критерій найменших квадратів,

Знаходимо часткові похідні лівої частини по коофіцієнтам 13 QUOTE 1415 і прирівнюємо їх до нуля:


Розкриємо дужки и перетворимо вирази:



Дана система називається системою нормальних рівнянь. В загальному випадку для полінома m-ї степені система буде мати вигляд:


Таким чином, в обчислювальному плані задача апроксимації полягає в формуванні розширеної матриці рівнянь і її рішення за допомогою відомих чисельних методів, що розглянуті в попередніх лабораторних роботах. Вхідними даними для складення алгоритму апроксимації за методом найменших квадратів слугують масиви експериментальних даних x[n] та y[n], де (n+1) – кількість елементів в масиві; m – степінь апроксимуючого полінома.
В спрощеному вигляді алгоритм повинен складатись з чотирьох кроків: введення експериментальних даних; обчислення необхідних сум, визначення коефіцієнтів системи (6.4); рішення отриманої системи і друк результатів (числових значень коефіцієнтів поліному аі). Більш детально алгори
·тм зображений на рис. 6.2. При обчисленні коефіцієнтів рij при невідомих (блок 6 алгоритму) використовується помічена в системі (12.4) закономірність


Вільні члени рівнянь обчислюються по формулі (блок 10 алгоритму)



13 EMBED Visio.Drawing.11 1415
Рисунок 7.2. – Граф-схема алгоритму апроксимації експериментальних даних за методом найменших квадратів


Кількість обчислень скорочено за рахунок того, що повністю обчислюється тільки 1 стрічка, остання і передостання колонки матриці системи (блоки 4 і 13 алгоритму). Дії в блоках 1,6 і 10 представленні в спрощеному вигляді. Їх потрібно реалізувати в вигляді циклічних процесів. В алгоритмі прийняті наступні позначення:
i,j – індекси, що позначають номер стрічки и колонки відповідно; e – індекс, яким позначається номер елемента в масиві х або у; ру – коефіцієнти, що заміняють відповідні суми в системі (12.4).

7.2. Інтерполяція.

Досить часто при табличному заданні залежностей виникає необхідність визначення значення функції від аргументу, що відсутній в таблиці. Ця проблема вирішується інтерполяцією (знаходженням аналітичного виразу для функції, заданої таблично таким чином, щоб значення інтерполяційної функції співпадали зі всіма табличними значеннями заданої функції).
Суть інтерполювання можна наочно продемонструвати за допомогою рис. 7.3.

Рисунок 7.3 - Геометрична інтерпретація задачі інтерполяції

Інтерполяція, на відміну від апроксимації, передбачає збіг інтерполюючої функції з заданою у вузлах інтерполяції. Як видно з рис. 7.3, таких функцій можна отримати безліч, тому, щоб отримати єдину функцію, накладають на неї додаткові обмеження. Так, при інтерполяції поліномом, його степінь не можна обирати довільно (як при апроксимації), він повинен бути на одиницю меншою від числа вузлів інтерполяції.
Найбільш відомі методи інтерполяції – методи Лагранжа, Ньютона, Гауса та ін. Розглянемо один із них, а саме інтерполяцію для таблиць з рівним кроком зміни аргументу по інтреполюючій формулі Ньютона. При цьому, для функції, заданої таблично:


інтерполяційна функція шукається в вигляді поліному зі степенем n:



Поліном вважається заданим, якщо відомі коефіцієнти аі. Їх будемо знаходити, виходячи з умови 13 QUOTE 1415. Для цього в вираз (7.5) замість х будемо почергово підставляти значення x0, x1, , xi, ,xn-1.
Отримаємо



Враховуючи, що 13 QUOTE 1415, отримуємо систему рівнянь з n невідомими (невідомі коефіцієнти поліному аі):






Розвязавши систему, знайдемо





і т.д. В загальному випадку k-ий коефіцієнт інтерполяційного полінома знаходиться по формулі


і інтерполяційний поліном запишеться у вигляді



Величина 13 QUOTE 1415 називається кінцевою різницею k-го порядку і може бути обчислена через табличні значення функуції по формулі



Але в таких складних обчисленнях немає необхідності, що слідує зі з’ясування сенсу поняття «кінцева різниця». Розглянемо табл. 7.1.

Таблиця 7.1
x
y

·y

·2y

·3y

·4y

·5y

x0
y0

·y0

·2y0

·3y0

·4y0

·5y0

x1
y1

·y1

·2y1

·3y1

·4y1


x2
y2

·y2

·2y2

·3y2



x3
y3

·y3

·2y3




x4
y4

·y4





x5
y5







В 1-й і 2-й колонках таблиці записані початкові дані, в решті колонок – кінцеві різниці різних порідків, починаючи з першого і закінчуючи п’ятим. Вони обчислюються послідовно:


_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


В загальному випадку, і-у кінцеву різницю k-го порядку можна вичислити по рекурентній формулі



Зазвичай для інтерполяції використовують не поліном виду (12.6), а поліном, отриманий заміною змінної t=(x-x0)/h:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415,

де



Таким чином, знаходження інтерполюючого поліному (7.8) в обчислювальному плані зводиться до обчислення кінцевих різниць по формулі (7.7), до n-го порідяку включно, обчисленню коефіцієнтів Сk по формулі (7.9) і нокопиченню суми доданків, рівних похідним Сk
·ky0. Початковими даними для алгоритму інтерполювання по формулі (7.8) є масив y[n], що відповідає заданим табличним значенням функції; число елементів в масиві n; значення аргументу x, для якого знаходиться значення функції; табличний крок зміни аргументу h і початкове значення аргументу в таблиці x0=a. Алгоритм інтерполяції скласти самостійно


Варіанти завдань:


№ вимірю-
вання 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Виміряні параметри 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, номер варіанту


1

2

3

4

5

6

1
0.95
0.75
9.61
0.75
0.75
3.51

2
2.07
1.82
5.45
1.92
1.80
4.49

3
3.12
1.25
6.01
1.25
1.31
3.01

4
4.01
1.50
4.02
1.50
2.12
4.01

5
5.02
2.51
2.49
2.49
2.51
2.51

6
5.98
3.49
3.49
3.49
6.25
3.49

7
7.01
2.48
2.48
2.99
2.50
2.45

8
7.99
4.01
1.01
4.01
1.42
1.64

9
9.01
3.61
1.62
6.51
1.53
1.09

10
10.12
3.25
0.81
6.89
0.81
2.05

11
11.01
4.52
1.25
9.99
0.48
0.79



Примтіка: під час інтерполяції враховувати вимірювання 1-8.
(7.1)

(7.2)

(7.3)

(7.4)


(7.5)


(7.6)


(7.7)


(7.8)


(7.9)




Рисунок 1Root Entry

Приложенные файлы

  • doc 60250
    Размер файла: 744 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий