Некоторые законы распределения двумерных случайных величин


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
1.

Некоторые законы распределения двумерных случайных
величин


амма
-
распределение. аспределение




(
хи
-
квадрат
)
.
Двумерное
нормальное распределение.

амма
-
распределение

амма
-
распределение случайной величины
X

называется
распределение, задаваемое плотностью вероятностей



(
š
)







(



)
š


ି





š

Ͳ

,


(8.1)


где

α и β


параметры гамма
-
распределения, а

(

)



гамма
-
функция Эйлера
или Эйлеров интеграл второго рода, определяемая формулой:



(

)



ି



ି




.


(8.2)



еречислим некоторые из
свойств

гамма
-
функции:


1.


(
ͳ
)


(
ʹ
)

ͳ

2.


(


ͳ
)




3.


(
ͳ

ʹ
)






амма
-
распределение описывает распределение суммы независимых
случайных величин, каждая
из которых распределена по показательному
экспоненциальному закону с одинаковыми параметрами. Таким образом,
гамма
-
распределени
е

является обобщением показательного закона
экспоненциального закона.


На рис. .1 показан вид кривых распределения для


Ͳ
, при


Ͳ

получаем показательное распределение, гамма
-
функции Эйлера для
значения параметра


Ͳ
.






а


б



ис. .1



амма
-
распределени
е

для




при




получаем показательное
распределение а

и гамма
-
функция Эйлера для значения параметра


Ͳ

(
б
)



Найдем
распределение суммы двух независимых величин, каждая из
которых распределена по экспоненциальному закону.


лотность распределения суммы независимых величин называют
композицией
.


Для нахождения распределения суммы двух независимых величин,
распределенных

по экспоненциальному закону
:




(
š
)



ି



š

Ͳ

(


Ͳ
)
. (8.3)


в
оспользуемся формулой

(7.22):





(


)





(
š

)

ି





(



š

)

š

.


Обозначим Y X
1
+X
2
. Каждая из величин X
1

и X
2

подчиняются

экспоненциальному закону распределения  .3. Если X
1

и X
2

не принимают
отрицательных значений, то в формуле 7.22 нижний предел интегрирования
равен 0
,
а

верхний



y
. То есть
,

вместо

формулы




(

)




(
š

)

ି



(


š

)

š



можно записать, что




(

)




ି







ି

(

ି


)

š

,




(

)




ି






š

,




(

)





ି


.


(8.4)


Вновь полученное
распределение

не является экспоненциальным.
Следовательно
,

экспоненциальное распределение не является устойчивым.
 аспределение является


устойчивым
, если композиция таких же законов
есть тот же закон вообще
говоря,

с другими параметрами.

ассмотрим теперь сумму трех случайных величин


Z= X
1
+X
2
+X
3
= Y+X
3
.



Для
нахождения распределения суммы двух независимых величин,
одна из которых 
X
)
распределена по экспоненциальному закону, а закон
распределения второй 
Y
 определяется формулой  .4 ис
п
ользуем формулу
(7.22):




(
œ
)




(

)

ି





(
œ


)

,




(
œ
)






ି






ି

(

ି

)

,




(

)










.


(8.5)



Очевидно, что рассматривая случайную величину
U
, представляющую
из себя сумму четырех случайных величи
н, каждая из которых подчиняется
экспоненциальному закону, можн
о получить

выражение для


(

)





(

)













.



ассматривая случайную величину
V
, представляющую из себя сумму
пяти

случайных величин, каждая из которых подчиняется
экспоненциальному
закону, можно получить

выражение для плотности
вероятности


(
˜
)





(
˜
)














.



Д
ля суммы k
+1 случайных величин мы получаем:



(
š
)







š


ି





š

Ͳ
.



Если
принять следующие обозначения
λ
=
1/β

и

k
=

α, то



(
š
)









š


ି





š

Ͳ
.


Это
и есть
гамма
-
распределение.


амма
-
распределение часто записывают в

следующем
виде

см.
свойства гамма
-
функции
.



(
š
)







(



)
š


ି


,


где

(


ͳ
)

-

гамма
-
функция Эйлера:



(

)



ି



ି





Ͳ


.


Можно показать, что композиция гамма
-
распределений с параметрами
β дает гамма
-
распределение с параметром β и параметром α, равным суммой
параметров α в слагаемых.

Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной
величины, подчиняющейся
гамма
-
распределению
,

равны соответственно:


M(X)=(
α
+1β,





(8.6)


и


DX  α+1β
2
.





(8.7)

аспределение



хи
-
квадрат, распределение ирсона

аспределение



с
k

степенями свободы


это распределение суммы
квадратов
k

независимых нормальных стандартных случайных величин.


усть
,
X
2
, …,
X
n



независимые стандартные нормальные величины.
Тогда случайная величина












.

(8.
8
)


имеет распределение



с
k

степенями свободы
, заданное плотностью
вероятности

рис. .2
:



(


)






(



)
(


)


ି


ି






,
Ͳ





.
(8.
9
)



ис. .2



аспределение


с различными значениями
k



Действительно, найдем плотность вероятности случайной величины
Y=X
2
, если
случайная
величина
X

подчиняется стандартному нормальному
закону распределения:




(
š
)





ି



.


(8.
10
)


Воспользуемся формулой 4.9 для нахождения плотности
распределения функции Y X
2
.

ункция Y X
2

двузначна, поэтому
существуют две обратные функции:

š

(


(

)
)





и


š

(


(

)
)




.



Вычислим производн
ые



(

)

,



(

)

и их абсолютные значени
я
|



(

)
|

и
|



(

)
|
:

|



(

)
|




(

)


=
|



(

)
|

|


(

)

|





.


Тогда для плотности вероятности случайной величины
Y

можно
записать:



(

)



(


(

)
)
|



(

)
|



(


(

)
)
|



(

)
|



(


)







(



)









(

ି



+

ି


)











ି



ି


.


(8.
11
)


Сравнив  .
11
 и  .
1
 можно сказать, что случайная величина
Y

подчиняется гамма
-
распределению с параметрами
α
-
1/2, β 2.

Так как композиция гамма
-
распределений с
параметрами β дает гамма
-
распределение с параметром β и параметром α, равным сумме параметров α в
слагаемых.

Следовательно, распределение χ
2
является гамма
-
распределением с
параметрами
α k/2
-
1, β 2:



(


)






(



)
(


)


ି


ି






,
Ͳ





.




Легко заметить, что при
k
=2

(


)

является экспоненциальным
распределением.


C увеличением числа степеней свободы
k

распределение
χ
2

стремиться
к нормальному.

ри
k
>30 распределение
χ
2

практически не отличается от
нормального.

Можно показать, что математическое ожидание и дисперсия случайной
величины, подчиняющейся распределению
χ
2

равны соответственно:


Mχ
2
)=k



(8.
12
)


и


Dχ
2
)=2k
.



(8.
13
)


Двумерное нормальное распределение

Из законов распределения системы двух случайных величин имеет
смысл специально рассмотреть нормальный закон, как имеющий наибольшее
распространение на практике.

Так как система двух случайных в
еличин изображается случайной
точкой на плоскости, нормальный закон для системы двух величин часто
называют ©нормальным законом на плоскостиª.

В общем случае плотность вероятности нормального распределения
двух случайных величин выражается формулой:



(
š


š

)









ି


š

(
ି


(


ି


)




(


ି


)
(


ି


)
ି


(


ି


)


(




ି


)
)

.
(8.14)


Иногда плотность распределения

(
š


š

)

удобно записывать в виде:



(
š


š

)










ି


š

(
ି



(


ି


)








(


ି


)
(


ି



)
ି



(


ି


)


(




)

(

ି


)
)
.


Или в виде:



(
š


š

)










ି


š
(



(

ି


)
*
(


ି


)







(


ି


)
(


ି


)





(


ି

)




+
)
.

(8.15)


Здесь



и






математические ожидания
случайных величин



и



,



и





и
х

дисперсии,



и





средн
и
е квадратич
еские

отклонени
я
, R



корреляционный момент, r


коэффициент корреляции
.

То есть двумерное
нормальное распределение зависит от пяти параметров
.

рафик двумерного
нормального распределения представлен на рис. .3.



ис. .3



Д
вумерное нормальное распределение


Если плотность двух случайных величин выражается
вышеприведенной формулой, то они называются
совместно нормальными
.

лотность вероятности имеет постоянные значения на так называемых
эллипсах постоянной плотности вероятности
:


(


ି


)






ʹ

(


ି


)
(


ି


)





(


ି


)







.

(8.16)


Значение
C>0 определяется значением плотности вероятности и
параметрами
распределения.

ентр

эллипса находится в точке с
координатами



и


.
В центре эллипса плотность распределения
вероятности равна:



(
š


š

)










ି


.

Можно показать, что:

1.

Если случ
айные величины не
коррелированы

(
т
.

е.

r
0, то







(
š


š

)



(
š

)



(
š

)
.


о определению эти величины независимы, т.

е. для двух совместно
нормальных величин некоррелированность тождественна независимости.

2.

ри любых
линейных преобразованиях совместно нормальных
величин получаются также совместно нормальные величины.

3.

аспределение суммы двух совместно нормальных величин
композиция распределений описывается нормальным
законом

с
параметрами


M=



+


,


и










ʹ






.


Вопросы

8.1

Какое распределение случайных величин называется
г
амма
-
распределением
?

8.2

Является ли устойчивым экспоненциальное распределение?

8.3

Является ли устойчивым амма
-
распределение?

8.4

Какое распределение случайных величин называется
распределением





хи
-
квадрат
?

8.5

Что такое совместно нормальные величины?

8.6

Что такое эллипс постоянной плотности?

8.7

Какому закону подчиняется распределение
суммы двух совместно
нормальных величин композиция распределений?


Литература

1.

Вентцель
,

Е.С.

Теория вероятностей
:
Учеб. для вузов. / Е.С. Вентцель.


М.: Высш. шк., 1999.


С. 1
88



1
95
.

2.

Теория вероятностей: Учеб. для вузов.


3
-
е изд., испр. /

А.В.
ечинкин, О.И. Тескин, .М. веткова и др.; од ред.

B.C. Зарубина,

А. . Крищенко.


М.: Изд
-
во М ТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.


Сер.
Математика в техническом университете; Вып. XVI, С. 165



186.

3.

игурин, В.В. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учеб.
п
особие. /

В.В. игурин, В.В. Оболонкин.


Мн.: ООО ©Новое
знаниеª, 2000.


С.
74



88.



Приложенные файлы

  • pdf 3600462
    Размер файла: 743 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий