ТЕР ВЕР теория и практикум


Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию РФ
Костромской государственный технологический университет







О.Р. Воронцова


ПРАКТИКУМ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В СХЕМАХ


Рекомендовано редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия для студентов
технических и гуманитарных специальностей
очной и заочной форм обучения

















Кострома
2007





УДК 519.2 (075)



Рецензенты:
д.п.н., профессор кафедры математического анализа ЯГПУ Е.И. Смирнов




Воронцова О.Р. Практикум по теории вероятностей: учебное пособие / О.Р.Воронцова. – Кострома : Изд-во КГТУ, 2007. – 45 с .


Практикум обеспечивает методическую поддержку раздела «Случайные события» и может быть использован как самоучитель, с помощью которого студент освоит технологию решения типовых задач. Пособие содержит большое количество задач для тренинга.
Практикум предназначен для студентов специальностей 280102, 280103, 030501 очной и заочной форм обучения.




УДК 519.2 (075)


ISBN ..








© Костромской государственный технологический университет








ПРЕДИСЛОВИЕ

Математику уже затем учить следует, что
она ум в порядок приводит.
М.В. Ломоносов



Практикум:
полностью обеспечивает методическую поддержку раздела «Элементы теории вероятностей»;
может использоваться как самоучитель, с помощью которого студент освоит технологию решения типовых задач;
принесет максимальную пользу, если студент будет читать его, одновременно выполняя предлагаемые задания.

В каждом разделе практикума выделены следующие логические части: «Краткая теоретическая справка», в которой излагаются основные теоретические положения; «Алгоритм решения задач» с пошаговым описанием действий; «Задачи для тренинга», где дана постановка задачи; «Технология решения задач по алгоритму», где показывается, как решить задание; «Вопросы для самоконтроля», «Рекомендуемая литература».

При работе с практикумом следует придерживаться следующей последовательности действий:
сначала ознакомиться с рубрикой «Краткая теоретическая справка»;
перейти к рубрике «Алгоритм решения задач»;
внимательно прочитать текст задачи в рубрике «Задачи для тренинга»;
приступить к рубрике «Технология решения», где пошагово показано, какие действия выполнять для достижения цели. При возникновении вопросов в процессе выполнения задачи рекомендуется вновь обратиться к рубрике «Краткая теоретическая справка».

Методика, которая положена в основу практикума, позволяет существенно ускорить процесс решения типовых примеров, достаточно быстро сформировать целостное представление о технологии работы и ее возможностях для решения задач.
Отличие данного практикума от аналогичной литературы по соответствующей тематике состоит в том, что освоение темы происходит в процессе решения задач по алгоритму действий.

Помните: удача сопутствует упорным!

Раздел 1
Элементы
комбинаторики


Общие правила комбинаторики.
Основные комбинаторные конфигурации:
размещения, сочетания, перестановки.
1.1. Общие правила комбинаторики
Для успешного решения задач с использованием классического определения вероятности необходимо знать основные правила и формулы комбинаторики.
Комбинаторика – это раздел математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным правилам, можно составить из заданных объектов.
Основные правила комбинаторики: правило суммы и правило произведения.

Правила комбинаторики
Пример

Правило суммы

Если из некоторого конечного множества
объект А можно выбрать m способами,
объект В можно выбрать n способами, то выбор А или В можно осуществить m+n способами
Сколькими способами можно выбрать одну четную или одну нечетную цифру из числа
145 678.
Решение:
В числе 145 678 три четные цифры и три нечетные. Четные цифры можно выбрать 3 способами, нечетные – тоже 3 способами.
Четную или нечетную цифры: 3+3=6 способами.

Если из некоторого конечного множества
1-й объект можно выбрать k1 способами,
2-й объект можно выбрать k2 способами,
,
n-й объект можно выбрать kn способами
то выбор или 1-го, или 2-го,, или n-го объекта (любого из объектов) можно осуществить k1+k2++kn способами
Сколько существует способов выбора одного карандаша из коробки, содержащей 5 красных, 7 синих, 3 зеленых карандаша?
Решение:
Красный карандаш можно выбрать 5 способами, синий – 7 способами, зеленый – 3 способами. Красный или синий или зеленый карандаш можно выбрать: 5+7+3=15 способами

Правило произведения

Если из некоторого конечного множества
объект А можно выбрать m способами,
объект В можно выбрать способами, то выбор пары А и В в указанном порядке можно осуществить
m
·n способами
Сколькими способами можно выбрать одну четную и одну нечетную цифру из числа
145 678.
Решение:
В числе 145 678 три четные цифры и три нечетные. Четные цифру можно выбрать 3 способами, нечетные – тоже 3 способами.
Четную и нечетную цифру:
3
·3=9 способами


Если из некоторого конечного множества
1-й объект можно выбрать k1 способами,
2-й объект можно выбрать k2 способами,
,
n-й объект можно выбрать kn способами
то выбор и 1-го, и 2-го,, и n-го объектов (всех n объектов) можно осуществить k1
·k2
·
·kn способами
В столовой имеются 4 первых блюда, 5 вторых и 3 третьих. Сколькими способами можно составить из них полноценный обед?
Решение:
Первое блюдо можно выбрать 4 способами, второе – 5 способами, третье – 3 способами. Выбор обеда из трех блюд: первое и второе и третье можно выбрать:
4
·5
·3=60 способами



Основные комбинаторные конфигурации: размещения, сочетания, перестановки

Обычно в комбинаторике рассматривается идеализированный эксперимент по выбору k элементов из n. При этом элементы:
а) не возвращаются обратно (схема выбора без возвращений);
б) возвращаются обратно (схема выбора с возвращением).

Схема выбора без возвращений

Размещение
из n элементов
по k элементам
Перестановка
из n элементов
Сочетание
из n элементов
по k элементам

Схема выбора c возвращением

Размещение
из n элементов
по k элементам с повторениями
Сочетание
из n элементов
по k элементам с повторениями




Размещения

Размещением
из n элементов
по k элементам
называют упорядоченный набор из k элементов, принадлежащих n-элементному множеству
Размещения
отличны
друг от друга или порядком элементов, или их составом
Число размещений из n элементов по k элементам обозначается и вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415

Перестановки

Перестановкой
из n элементов
называют размещение из n элементов по n
Перестановки
отличны
друг от друга порядком элементов
Число перестановок из n элементов обозначается и вычисляется по формуле

Рn=n!


Сочетания

Сочетанием
из n элементов
по k элементам
называют любой набор из k элементов, принадлежащих n-элементному множеству
Сочетания
отличны
друг от друга только составом элементов
Число сочетаний из n элементов по k элементам обозначается и вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415





















Задачи на размещения

Технология решения задачи по алгоритму на размещения


























Задачи для тренинга

На 7 сотрудников выделены 5 различных путевок. Сколькими способами их можно распределить среди сотрудников?
В группе 20 юношей и 20 девушек. Для участия в конкурсе «Студенческая весна» нужно выделить танцевальный дуэт, дуэт певцов и гимнастический дуэт (каждый из которых состоит из юноши и девушки). Сколькими способами это можно сделать, если все участники поют, танцуют и выполняют гимнастические упражнения?
Сколькими способами из 20 членов правления фирмы можно отобрать трех для замещения вакансий зам. директора по строительству, по снабжению, по кадрам?
Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1; 2; 3; 4; 5 при условии, что в каждом числе нет одинаковых цифр?


Задачи на сочетания

Технология решения задачи по алгоритму на сочетания



























Задачи для тренинга

В урне находятся 7 белых, 5 красных и 8 синих шаров. Сколькими способами из них можно выбрать 6 шаров так, чтобы среди них было 3 белых, 1 красный и 2 синих?
Из колоды в 36 карт нужно выбрать 6 карт так, чтобы среди них оказалось 4 карты черной масти и 2 карты красной масти. Сколькими способами это можно сделать?
Сколькими способами из имеющихся в магазине 12 бордовых, 15 красных и 10 розовых роз можно составить букет из 7 цветов так, чтобы в него входили 3 красных, 2 розовые и 2 бордовые розы?
Личный состав отделения милиции состоит из 10 сержантов, 7 лейтенантов и 5 капитанов. Из них нужно составить группу, в состав которой войдут 4 сержанта, 3 лейтенанта и 1 капитан. Сколькими способами это можно сделать?

Задачи на перестановки

Технология решения задачи по алгоритму на перестановки





















Задачи для тренинга


В комнате имеется 8 стульев. Сколькими способами можно разместить на них: а) 8 гостей; б) 4 гостя?
Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник произведений Д. Лондона, располагая тома в произвольном порядке?
Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «Ученик»?
В фирменном поезде «Кострома – Москва» 14 вагонов. Сколькими способами можно распределить бригаду проводников из 15 человек, если один – бригадир, а остальные должны быть по одному проводнику в вагоне?
В семье шесть человек, за обеденным столом – шесть стульев. В семье решили ужинать каждый вечер так, чтобы, хотя бы один занял новое место. Сколько дней члены семьи могут сидеть по-разному?






Задачи для тренинга по теме «Комбинаторика»

На оружейном складе имеются 10 винтовок с оптическим прицелом, 15 винтовок без оптического прицела и 12 карабинов. Сколькими способами можно выбрать 9 единиц оружия так, чтобы среди выбранных было две винтовки с оптическим прицелом, 4 винтовки без оптического прицела и 3 карабина?
Сколькими способами можно выбрать одну гласную и две согласных буквы из слова «СТУДЕНТ»?
Компания имеет 4 отдела: по производству, снабжению, менеджмента и маркетинга. Количество людей в каждом из отделов 30,8,5 и 4 соответственно. Каждый отдел собирается послать по два представителя на ежегодную встречу с директором. Сколько различных групп для встречи можно составить из числа работников компании?
В лаборатории работает 20 человек, из них 55% женщин; 6 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если женщин и мужчин должно быть поровну?
Сколькими способами из урны, содержащей 30 белых и 10 черных шаров, можно извлечь 40% всех шаров так, чтобы 2 из них были черными?
Замок у сейфа открывается, если набрана правильная комбинация из четырех цифр от 0 до 9. Преступник пытается открыть сейф и набирает шифр наудачу. Найдите наибольшее возможное число безуспешных попыток.
Абонент забыл две последние цифры номера телефона и набирает их наудачу. Каково наибольшее число безуспешных попыток абонента?
Для доступа в компьютерную сеть оператору необходимо набрать пароль из 6 цифр. Оператор забыл или не знает необходимого кода. Сколько всевозможных комбинаций он может составить для набора пароля:
а) если цифры в коде не повторяются;
б) если цифры повторяются;
в) если число- пароль нацело делиться на пять и все цифры различны.
Сколько можно составить танцевальных пар, если в клубе занимаются 10 юношей и 10 девушек одной возрастной категории?
В столовой имеются четыре первых блюда, пять вторых и три третьих. Сколькими способами можно составить их них полноценный обед?
Директор корпорации рассматривает заявления о приеме на работу 10 выпускников вуза. На одном из предприятий корпорации имеются три различных вакансии. Сколькими способами директор может заполнить эти вакансии?
Из 14 членов легкоатлетической секции нужно выбрать 4 участников для забега в эстафете 100 м, 200 м, 500 м и 1000 м (каждый участник пробегает один этап). Сколькими способами это можно сделать?
Восемь запечатанных конвертов с предложением цены поступили в агентство утренней почтой. Сколько существует различных способов очередности вскрытия конвертов с предложением цены?



Раздел 2
Теория вероятностей.
Случайные события
Основные понятия теории
вероятностей
Классификация событий
Действия над событиями
Определение вероятности
Основные теоремы вероятностей
Формула полной вероятности
Формула Байеса
Повторные независимые испытания


2.1.Основные понятия теории вероятностей Краткая теоретическая справка
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415


Элементарные события – это взаимно исключающие друг друга события, и в результате опыта обязательно произойдет одно из этих элементарных событий.
Элементарные события обозначают греческой буквой
·, снабженной при необходимости индексом, а их совокупность
· называют пространством элементарных событий.

Пример:

Стохастический эксперимент
Элементарные события
Событие

Подбрасывание монеты

·1={появление герба}

·2={появление решки}
А – {появление герба}

Бросание двух игральных кубиков

·1={1;1};
·2={1;2}

·3={2;1};;
·36={6;6}
В – {сумма выпавших чисел четная}

Покупка трех лотерейных билетов

·1={в;в;в};
·2={в;в;п}

·3={в;п;в};;
·8={п;п;п}
С – {выиграет хотя бы один билет}

Выстрел по мишени

·1={попадание}

·2={промах}
D – {промах при выстреле}




2.2. Классификация событий Краткая теоретическая справка



















2.3. Действия над событиями Краткая теоретическая справка

Над событиями вводят операции суммы, произведения, разности и отрицания.

Определение
Геометрическая интерпретация
Пример

Суммой
(объединением) событий А и В называется новое событие С=А+В, которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий: или А или В или А и В

A+B

А – {награждение победителя призом}
В – {награждение победителя денежной премией}
А+В – {награждение победителя или призом, или премией, или и тем и другим}

Произведением
(пересечением) событий
А и В называется новое событие С=А
·В, которое заключается в наступлении событий
А и В одновременно

A
·B


А – {награждение победителя призом}
В – {награждение победителя премией}
А
·В – {награждение победителя одновременно и призом и премией}


Разностью
событий А и В называется событие А\В,
которое заключается в наступлении события А и ненаступлении события В

A|B


А – {награждение победителя призом}
В – {награждение победителя денежной премией}
А\В – {награждение победителя призом без выдачи премии}


Отрицанием
события А называется событие 13 EMBED Equation.3 1415 (не А), заключающееся в ненаступлении события А
(А+13 EMBED Equation.3 1415=
·)
_
A

А – {награждение победителя призом}
13 EMBED Equation.3 1415 – {ненаграждение победителя призом}



Алгоритм решения задач на действия над событиями



















Факты из истории теории вероятностей

Первые работы – попытки создания теории азартных игр с целью дать рекомендации игрокам появились в XVI – XVII вв. Они принадлежали Д. Кардано (24.09.1501, Павия – 21.09.1576, Рим), Б.Паскалю (19.06.1623, Клермон-Ферран – 19.08.1662, Париж), Х.Гюйгенсу (14.04.1629, Гаага – 8.07.1695, Гаага), П.Ферма (17.08.1601, Бомон-де-Ломань – 12.01.1665, Кастр) и др.

Развитие теории вероятностей приходится на XVII-XIX в.в. благодаря работам Я. Бернулли (27.12.1654, Базель – 16.08.1705, Базель), С.Пуассона (21.06.1781, Питивье – 25.04.1840, Париж), А.Муавра (26.05.1667, Витри-ле-Франсуа – 27.11.1754, Лондон), П. Лапласа (23.03.1749, Бомон-ан-Ож, Нормандия – 5.03.1827, Париж).

Плодотворный период развития теории вероятностей XIX- начало XX вв. связан с именами русских математиков П.Л. Чебышева (16.05.1821, с. Окатово Калужской области – 8.12.1894, Петербург), А.М. Ляпунова (6.06.1857, Ярославль – 3.11.1918, Одесса), А.А. Маркова (14.06.1856, Рязань – 20.07.1922, Петроград).
Большой вклад внесли представители англо-американской школы: Стьюдент (псевдоним В. Госсета (13.06.1876, Кантер-бери – 16.10.1937 Биконсфильд)), Р.Фишер (17.02.1890,-Лондон – 29.07.1962, Аделанда, Австралия), Э.Пирсон (11.08.1895, Лондон – 1980, Лондон), К. Пирсон (27.03.1857, Лондон – 27.04.1936, Лондон).

Технология решения задач на действия над событиями по алгоритму












































Задачи для тренинга по теме «Действия над событиями»

Игральная кубик бросается 1 раз. Описать пространство элементарных событий. Указать элементарные события, благоприятствующие событиям: А1 – {выпало нечетное число очков}; А2 – {выпало менее 3 очков}; А3 – {выпало не менее 5 очков}; А4 – {выпало более 6 очков}.

В поле наблюдения биолога находятся четыре клетки. За время наблюдения каждая из них может разделиться либо нет. Выразить через элементарные события, их отрицания и действия сложения и умножения, следующие события:
а) разделилась ровно одна клетка;
б) разделилось ровно две клетки;
в) разделилось ровно три клетки;
г) разделилась хотя бы одна клетка;
д) разделилось не менее двух клеток;
ж) разделились все четыре клетки.

Пусть А, В и С – случайные события. Запишите события, состоящие в том, что из А, В, С произошло:
а) все три события;
б) по крайней мере одно событие;
в) только одно событие А;
г) события А и В и не произошло событие С;
д) одно и только одно событие.

Среди студентов, сдавших экзамен по теории вероятностей, выбирают наудачу одного. Пусть событие А – {выбранный студент моложе 18 лет}; В – {выбранный студент получил на экзамене «отлично»}; С – {выбранный студент живет в общежитии}. Опишите события:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
·В
· С; б) В+С; в) 13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415; г) В(А+С); д) А
·С\В .

5. Какие из следующих пар событий являются совместными, несовместными:
а) А1 – {выход из строя телевизора, работающего в гостиной}, А2 – {выход из строя телевизора, работающего на кухне};
б) А1 – {выпадение герба при бросании монеты}, А2 – {выпадение решки};
в) А1 – {попадание при одном выстреле}, А2 – {промах};
г) А1 – {два попадания при двух выстрелах}, А2 – {хотя бы одно попадание}.





2.4. Определение вероятности
Краткая теоретическая справка
Аксиоматическое определение
вероятности
Вероятностью события А называется численная мера объективной возможности появления события.
Р(А)
·0; Р(
·)=1

Классическое
определение
вероятности
Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных равновозможных исходов эксперимента:

,

где
m(А) – число исходов, благоприятствующих событию А;
n(
·) – общее число исходов эксперимента.

Статистическое определение
вероятности
Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях:


где
·(А) – относительная частота события А;
m – число испытаний, в которых появилось событие А;
n – общее число испытаний.

Геометрическое определение
вероятности

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области:





Алгоритм решения задач на классическое определение вероятности














Технология решения задач по алгоритму
на классическое определение вероятности







































































Задачи для тренинга

В лаборатории работает 20 человек, из них 55% женщин; 6 сотрудников должны уехать в командировку. Какова вероятность того, что среди них женщин и мужчин будет поровну?
В коробке находятся 6 одинаковых по форме и близких по диаметру сверл. Случайным образом сверла извлекаются из коробки. Какова вероятность того, что сверла извлекутся в порядке возрастания их диаметра?
На пяти карточках написано по одной цифре: 1; 2; 3; 4; 5. Наугад выбирают две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке больше, чем на первой?
4. Дано 6 карточек с буквами: Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что:
получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки;
получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой вынимаются 6 карточек и располагаются в порядке появления?


Геометрическое определение вероятности

При решении задач на геометрическую вероятность придерживаются классической схемы решения, заменяя нахождение m(A) и n(
·) вычислением соответствующих длин, площадей или объемов.

Технология решения задач по алгоритму
на геометрическое определение вероятности




































































Задачи для тренинга

В отрезке АВ длины 3 случайно появляется точка С. Определить вероятность того, что расстояние от точки С до В превосходит 1.
В прямоугольном броневом щите размером 2х1 м имеется невидимая для противника амбразура размером 10х10 см. Определить вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадет в амбразуру, если попадание в любую точку щита равновозможно.
В круг радиусом 5 вписан треугольник наибольшей площади. Определить вероятность попадания в треугольник точки, случайно брошенной в круг.
Минное заграждение состоит из мин, расположенных в одну линию на расстоянии 60 м одна от другой. Ширина корабля 20 м. Какова вероятность того, что корабль благополучно пройдет через заграждение?



2.5. Основные теоремы теории вероятностей
Краткая теоретическая справка
Теорема 1
Теорема 2

P(A+B)=P(A)+P(B),
A и B несовместные события

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A
· B),
A и B совместные события
P(A1+А2++Аn)=1- P(13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415
·
· 13 EMBED Equation.3 1415),
A1 , A2, , An – совместные события
A1 + A2 ++An = A ,
где A – {появление хотя бы одного события}


Теорема 3
Теорема 4


P(AB)=P(A)
· P(B),
A и B независимые события


P(A
· B)=P(A)
· PА (B),
A и B зависимые события




Алгоритм решения задач на основные теоремы вероятностей



















Теорема 1

Технология решения задач по алгоритму




























Задачи для тренинга

Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания в эти зоны при одном выстреле соответственно равны 0,1;0,35 и 0,4. Найти вероятность а) попадания в первую или третью зоны; б) попадания в мишень; в) промаха по мишени.
Вероятность выхода изделия из строя при сроке его эксплуатации до одного года равна 0,13, а при эксплуатации сроком до 3 лет – 0,36. Найти вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации от 1 года до 3 лет.
В партии из 70 изделий 10% бракованных. С целью контроля из этой партии отбирают наугад 5 изделий. Если среди них окажется более 1 бракованного, то бракуется вся партия. Какова вероятность того, что партия изделий будет забракована?
Теорема 2

Технология решения задач по алгоритму






























Задачи для тренинга

Определить вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.
Покупатель ищет необходимую вещь, обходя два магазина. Вероятность наличия ее в каждом магазине равна 50%. Что вероятнее – найдет он искомую вещь или нет?
На 200 лотерейных билетов 20% выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено 2 билета?
































Задачи для тренинга

На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся 3 книги. Какова вероятность, что среди отобранных хотя бы одна книга по теории вероятностей?
Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2, на втором – 0,32, на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех трех предприятий, получит высокие дивиденды хотя бы на одном предприятии.
Абитуриент сдает два вступительных экзамена по математике и иностранному языку. Вероятность получения высшего балла по математике 0,6, а по иностранному языку 0,8. Найти вероятность того, что:
абитуриент получит хотя бы один высший балл;
получит один высший балл.


Теорема 3

Технология решения задач по алгоритму



























Задачи для тренинга

В финальных соревнованиях по прыжкам в высоту два студента готовятся к взятию предельной высоты. Вероятность успешного прыжка первого студента Р(А)=0,8, а у второго Р(В)=0,9. Какова вероятность того, что оба студента возьмут предельную высоту?
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,9. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишени 3 пробоины?
На дактилоскопическую экспертизу поступило 3 отпечатка пальцев рук. Вероятность непригодности к работе каждого отпечатка соответственно составляет 0,1; 0,15; 0,2. Найти вероятность того, что все три отпечатка будут обработаны.


Теорема 4

Технология решения задач по алгоритму



























Задачи для тренинга

На экспертизу в одной коробке поступили 7 гильз от автомата Калашникова отечественного производства и 5 гильз такого же автомата, но китайского производства. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая гильза окажется от автомата отечественного производства, а вторая гильза – китайского производства.
Только 1 из 9 ключей подходит к данному замку. Какова вероятность того, что придется опробовать 2 ключа для открывания замка?
Найти вероятность того, что получится слово «АНАНАС», если на отдельных карточках написаны три буквы А, две буквы Н и одна буква С и карточки в случайном порядке прикладывают одну к другой.



Технология решения задач по алгоритму
на основные теоремы вероятности











































2.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Краткая теоретическая справка

Формула полной вероятности

Событие А может произойти только после наступления одного из событий H1, H2 , ,Hn (гипотезы):

Hi
·Hj=Ш; H1+H2++Hn=
·




где Р(Hi) – вероятность реализации i-й гипотезы;
P(A/Hi) – условная вероятность наступления события А при наступлении i-й гипотезы (i=1,2,,n)

Формула Байеса

Событие А произошло в результате опыта




где P(Hi /A) – условная вероятность реализации гипотезы Hi при условии того, что событие А наступило (i=1, 2, , n)



Алгоритм решения задач на формулу полной вероятности
и формулу Байеса


















Формула полной вероятности

Технология решения задач по алгоритму


























Задачи для тренинга

Определить вероятность того, что путник вышедший из А попадет в В, если на развилке он наугад выбирает любую дорогу, кроме обратной.









Имеются две одинаковые урны с шарами. В первой находятся 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных шара. Из наудачу выбранной урны вынимают 1 шар. Какова вероятность, что этот шар – белый?
Формула Байеса

Технология решения задач по алгоритму




























Задачи для тренинга

Имеются 3 одинаковых конверта. В первом конверте 15 вариантов контрольных работ по информатике, во втором – 10 вариантов работ по информатике и 5 вариантов работ по математике, в третьем – 15 вариантов работ по математике. Из выбранного наугад конверта вынули работу по математике. Найти вероятность того, что контрольная работа взята из второго конверта.
В сеансе одновременной игры в шахматы с гроссмейстером играют 10 перворазрядников, 5 второразрядников. Вероятность того, что в таком сеансе перворазрядник выиграет у гроссмейстера, равна 20%, для второразрядника эта вероятность равна 10%. Случайно выбранный участник выиграл. Какова вероятность того, что это был второразрядник?

Технология решения задач по алгоритму
на формулу полной вероятности и формулу Байеса











































Повторные независимые испытания
Краткая теоретическая справка
Производятся n независимых, однородных испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р=р(А)и не произойти с вероятностью q=1-p

Вероятность того, что событие А произойдет ровно k раз при n испытаниях





Формула Бернулли
Формула Пуассона
Формула
Муавра-Лапласа







Условия опыта
испытания независимы;
испытание имело только два исхода;
p – const
Условия опыта
Условия опыта

13 EMBED Equation.3 1415




Алгоритм решения задач на повторные независимые испытания













Формула Бернулли

Технология решения задач по алгоритму



























Задачи для тренинга

Вероятность выигрыша по облигациям займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из 8 взятых облигаций:
а) выиграют только 3;
б) проиграют не менее 7.
Вероятность того, что в сентябре день будет дождливым равна 0,45. Найти вероятность того, что из первых 6 дней сентября дождливыми окажутся: а) ровно 4 дня; б) не менее 3 дней.
Тест содержит 10 вопросов, на которые следует отвечать, используя одно из двух слов «ДА», «НЕТ». Какова вероятность получения 80% правильных ответов, если использовать «метод угадывания»?



Формула Пуассона

Технология решения задач по алгоритму




























Задачи для тренинга

В пчелиной семье 5000 пчел. Вероятность заболевания в течение дня равна 0,001 для каждой пчелы. Найти вероятность того, что в течение дня заболеет:
а) три пчелы;
б) более чем одна пчела.
Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 9 «сбоев».
Какова вероятность того, что среди 730 пассажиров поезда:
а) четверо родились 23 февраля;
б) двое родились 8 марта.


Формула Муавра – Лапласа

Технология решения задачи по алгоритму




























Задачи для тренинга

Вероятность заболевания ОРЗ во время эпидемии равна 0,3. Найти вероятность того, что из 500 сотрудников вуза во время эпидемии заболеют 50%.
Вероятность того, что зашедший в ресторан посетитель сделает заказ, равна 0,8. Определить вероятность того, что из 100 посетителей ровно 75 сделают заказ.
Установлено, что виноградник поражен вредителями в среднем на 10%. Определить вероятность того, что из 10 проверенных кустов винограда один будет поражен. Вычислить вероятности по формулам Бернулли, Пуассона, Лапласа. Сравнить результаты и сделать выводы.


Задачи для тренинга по теме «Определение вероятности»

Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что на ее верхней грани появится: а) шесть очков; б) нечетное количество очков; в) не менее четырех очков; г) не более двух очков.
Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) на обеих костях появится одинаковое количество очков; б) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение шести; в) сумма выпавших очков не превосходит шести; г) произведение числа очков делится на шесть.
В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.
В ящике находятся 90 годных и 10 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди двух наугад вынутых из ящика деталей будет одна дефектная.
Студент знает 24 из 30 вопросов программы. Найти вероятность того, что он ответит на два вопроса из трех, содержащихся в билете.
В лотерее участвуют 200 билетов, из них крупные выигрыши приходятся на 10 билетов. Найти вероятность того, что из двух купленных билетов на один выпадет крупный выигрыш.
В коробке находятся 18 красных и 16 зеленых шаров. Наудачу извлекают два шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары разного цвета.
В ящике имеется 20 деталей, из которых 15 окрашены. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
В сборной команде университета 10 студентов механического факультета, 8 – технологического и 8 – юридического. Тренер выставляет на игру случайным образом отобранных 6 спортсменов. Найти вероятность того, что среди них 2 с механического факультета, 2 – с технологического и 2 – с юридического?
На экспертизу поступили три партии одинаковых золотых изделий – по 20 штук. В первой коробке было одно бракованное изделие, во второй – два, в третьей – четыре. Из каждой коробки наугад извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что окажутся бракованными: а) все три изделия; б) одно изделие; в) два изделия; г) хотя бы одно изделие?
В ящике 10 красных и 6 синих одинаковых по форме пуговиц. Наудачу вынимаются две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одного цвета?
В урне 25 белых и 20 черных шаров. На удачу извлекают 2 шара. Какова вероятность тога, что оба шара будут одного цвета?
В партии их 10 изделий 2 бракованных. Наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что среди этих изделий будет хотя бы одно бракованное.
В лотерее из 200 билетов четверть выигрышных. Девушка покупает 3 билета. С какой вероятностью можно сказать, что из купленных билетов хотя бы 2 выигрышных?
В отрезке АВ длины 5 случайно появляется точка С. Определить вероятность того, что расстояние от точки С до А превосходит 2.
В прямоугольном броневом щите размером 2 на 1 метр имеется невидимая для противника амбразура размером 10 на 10 см. Определить вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадет в амбразуру, если попадание в любую точку щита равновозможно.
В круг радиусом 5 вписан треугольник наибольшей площади. Определить вероятность попадания в треугольник точки, случайно брошенной в круг.

Задачи для тренинга по теме «Основные теоремы вероятности»

Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели.
В соревнованиях по бегу участвуют 20 перворазрядников и 5 мастеров спорта. На стартовую позицию по жребию последовательно вызываются 2 участника. Найти вероятность того, что оба участника соревнований мастера спорта.
Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2, на втором – 0,32, на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех трех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.
Проверяются изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное равна 0.9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только одно стандартное.
Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить 3 бомбы, вероятности попадания которых соответственно 0,4, 0,5 и 0,6.
Вероятность успешной сдачи экзамена по математике у студента А, студента В и студента С соответственно равны 0.7, 0.9 и 0.5. Найти вероятность того, что: а) все три студента успешно сдадут экзамен; б) только один студент сдаст экзамен; в) только два сдадут экзамен; г) ни один не сдаст экзамен.
Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0,9 и для четвертого – 0,85. Найти вероятность того, что в течение смены: а) только один станок потребует внимания; б) ни один станок не потребует внимания; в) только три станка потребуют внимания; г) все 4 станка потребуют внимания.
Вероятность безотказной работы нового компьютера равна 0.95, а старого 0.75. Найти вероятность того, что а) только один компьютер выйдет из строя; б) оба выйдут из строя; в) ни один не выйдет из строя.
Вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдет из строя пылесос, равна 0,15; выйдет из строя телевизор – 0,2. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока: а) оба прибора выйдут из строя; б) хотя бы один прибор выйдет из строя?
Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении равна 0,05, второго – 0,08. Найти вероятность того, что при включении прибора: а) оба элемента выйдут из строя; б) хотя бы один элемент выйдет из строя.
Для сигнализации об аварии на автоматической линии установлены два независимо работающих устройства. Первое устройство в случае аварии срабатывает с вероятностью 0,85; второе – 0,95. Какова вероятность того, что в случае аварии сработает: а) только первое устройство; б) хотя бы одно устройство?
Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым стрелком – 0,6. Стрелки сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в цель попадет: а) только один стрелок; б) хотя бы один стрелок?
Два независимо работающих станка требуют внимания наладчика в течение смены с вероятностью р1 = 0,2 и р2 = 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены внимания наладчика потребуют: а) оба станка; б) хотя бы один станок.
В первом ящике 10 белых и 20 черных шаров, во втором ящике 12 черных и 18 белых шаров. Из каждого ящика наудачу вынули по одному шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров: а) один шар белый; б) хотя бы один шар белый?
Узел содержит 3 независимо работающих детали. Вероятность отказа деталей соответственно равны 0,1, 0,2 и 0,3. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.
Абитуриент сдает два вступительных экзамена по математике и иностранному языку. Вероятность получения высшего балла по математике 0,6, а по иностранному языку – 0,8. Найти вероятность того, что абитуриент получит: а) хотя бы один высший балл; б) получит один высший балл.
Два автомобиля участвуют в гонках по пересеченной местности. Вероятность того, что первый автомобиль пройдет трассу без поломок, равна 0,65, для второго автомобиля эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что без поломок пройдет трассу: а) только один автомобиль; б) хотя бы один автомобиль.
На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета?

Задачи для тренинга по теме
«Формула полной вероятности и формула Байеса»

При исследовании жирности молока коров все стадо было разбито на три группы. В первой группе оказалось 70%, во второй 23% и в третьей 7% всех коров. Вероятность того, что молоко, полученное от отдельной коровы, имеет не менее 4% жирности, равна 0,6; 0,35 и 0,1 для каждой группы коров соответственно.
Определить вероятность того, что для взятой наудачу коровы, жирность молока составит не менее 4%.
Взятая наудачу корова дает молоко жирностью не менее 4%. Найти вероятность того, что эта корова из первой группы.
Стрелковое отделение получило 10 винтовок, из которых 8 пристрелянных, 2 – нет. Вероятность попадания в цель из пристрелянной винтовки равна 0,6, а из не из пристрелянной – 0,4.
Какова вероятность того, что стрелок из наудачу взятой винтовки попадет в цель при одном выстреле?
Стрелок поразил мишень. Какова вероятность, что он стрелял из пристрелянной винтовки?
В первой бригаде производится в три раза больше продукции, чем во второй. Вероятность того, что производимая продукция окажется стандартной для первой бригады, равна 0,7, для второй – 0,8.
Определить вероятность того, что взятая наугад единица продукции будет стандартной.
Взятая наугад единица продукции оказалась стандартной. Какова вероятность, что она из второй бригады?
В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%.
Найти вероятность того, что приобретенное изделие оказалось стандартным.
Приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?
Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний, III класс – большой. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% – второго и 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для I класса риска равна 0,01, II – 0,03, III – 0,08.
Какова вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования?
Какова вероятность, что получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска?
Для приема зачета по курсу «Математика» преподаватель заготовил 50 задач: 20 – по дифференциальному исчислению, 20 – по интегральному исчислению, 10 – по теории вероятностей. Для получения зачета необходимо решить первую доставшуюся задачу. Студент умеет решать лишь 18 задач по дифференциальному исчислению, 15 – по интегральному исчислению и 5 – по теории вероятностей.
Какова вероятность, что студент получит зачет?
Известно, что студент сдал зачет. Определить вероятность того, что он решил задачу по теории вероятностей.



Задачи для тренинга по теме «Повторные независимые испытания»

Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0.4. Найти вероятность того, что из 10 сотрудников фирмы заболеют ровно 5.
Монета бросается 5 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает два раза.
Всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 семян взойдет 5.
В магазин вошли 10 покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,2. Найти вероятность того, что 6 из них совершат покупку.
Принимая вероятность рождения мальчика равной 0,51, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух мальчиков.
Стрелок производит 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что цель будет поражена: а) 4 раза; б) более трех раз.
Вероятность того, что поезд опоздает к месту назначения более чем на 5 минут для каждого рейса постоянна и равна 0,4. Найти вероятность того, что из 5 рейсов поезд опоздает более чем на 5 минут: а) в 3 рейсах; б) менее чем в 3 рейсах.
Вероятность того, что лампочка перегорит менее чем через 100 часов непрерывной работы, равна 0,25. Какова вероятность того, что из 4-х купленных лампочек менее чем через 100 часов перегорят: а) ровно 3 лампочки; б) более 2 лампочек.
Игральный кубик подбрасывают 8 раз. Найти вероятность того, что шесть очков выпадает: а) ровно 5 раз; б) менее 5 раз.
Вероятность получения удачного результата при проведении сложного химического опыта равна 2/3. Проведено 7 опытов. Найти вероятность того, что удачный результат получен: а) ровно в 3 опытах; б) более чем в 5 опытах.
Вероятность того, что в течение одной смены возникнет неполадка станка, равна 0,1. Найти вероятность того, что за 6 смен неполадка станка возникнет: а) ровно два раза; б) менее 4 раз.
Вероятность того, что токарь выточит качественную деталь, равна 0,85. Определить вероятность того, что из 5 деталей окажется: а) ровно 4 качественных; б) менее 3 некачественных.
Вероятность того, что баскетболист при броске попадет в корзину, равна 0,3. Определить вероятность того, что, сделав 6 бросков, он попадет: а) ровно 4 раза; б) не менее 4 раз.
При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,01. Определить вероятность того, что сообщение из 10 знаков содержит: а) ровно 3 искажения; б) не более 2 искажений.
Известно, при транспортировке и разгрузке керамической отделочной плитки повреждается 2,5%. Найти вероятность того, что в партии из 200 плиток поврежденными окажется: а) ровно 4; б) не более 3.
Вероятность того, что при сортировке изделий одно из них будет разбито. Равна 0,005. найти вероятность того, что из 300 изделий разбитыми окажутся: а) три изделия; б) не более двух.
На факультете учатся 800 студентов. Вероятность дня рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Найти вероятность того, что найдутся 3 студента с одним и тем же днем рождения.
Численность работников предприятия составляет 500 человек. Вероятность невыхода на работу из-за болезни равна 0,01 для каждого работника. Определить вероятность того, что в ближайший день не выйдет на работу хотя бы один из работников.
Всхожесть семян составляет 80%. Какова вероятность того, что из 100 посеянных семян взойдут 76 ?.
Известно, что 30% призывников имеют 42 размер обуви. Определить вероятность того, что из 200 прибывших новобранцев половине потребуется обувь 42 размера.


Вопросы для самопроверки

на тему «Элементы комбинаторики»
Что изучает комбинаторика?
Сформулируйте правила сложения и умножения в комбинаторных задачах.
Что называется размещением из n элементов по k элементам?
«Два размещения различны, если.» (продолжить фразу).
Формула для вычисления числа размещений из n по k.
Что называется сочетанием из n элементов по k элементам?
«Два сочетания различны, если » (продолжить фразу).
Формула для вычисления числа сочетаний из n по k.
Что называется перестановкой n-элементного множества?
«Две перестановки различны, если» (продолжить фразу).
Формула для вычисления числа перестановок n-элементного множества.


на тему «Случайные события»
Что изучает теория вероятностей?
Сформулируйте понятие стохастического эксперимента. Приведите пример.
Что такое элементарное событие, пространство элементарных событий? Приведите примеры.
Сформулируйте определение случайного, достоверного, невозможного событий. Приведите примеры.
Что называется суммой, произведением, разность событий?
Какие события образуют полную группу событий?
Какие события называются противоположными?
Сформулируйте классическое определение вероятности события.
Сформулируйте геометрическое определение вероятности события.
Сформулируйте аксиоматическое определение вероятности события.
Сформулируйте статистическое определение вероятности события.
Какие события называются совместными, несовместными? Приведите примеры.
Какие события называются зависимыми, независимыми? Приведите примеры.
Что называется условной вероятностью события?
Как вычисляется вероятность суммы двух событий, если они несовместны, совместны?
Как вычисляется вероятность произведения двух событий, если они независимы, зависимы?
Как вычисляется вероятность появления хотя бы одного события.
Формула полной вероятности. При каких условиях она справедлива?
Формула Байеса. При каких условиях она справедлива?
Формула Бернулли. При каких условиях она справедлива?
Формула Пуассона. При каких условиях она справедлива?
Формула Муавра-Лапласа. При каких условиях она справедлива?

























ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Где отсутствуют точные знания,
там действую догадки,
а из 10 догадок 9 – ошибки.
М. Горький

Обсудим основные источники ошибок. Все ошибки можно разбить на 3 группы:
1) арифметические ошибки при вычислениях;
2) ошибки, связанные с незнанием или неправильным использованием формул;
3) ошибки, допускаемые из-за незнания алгоритмов решения задач конкретного типа.

Группы ошибок
Средства борьбы

Арифметические ошибки при вычислениях
Не злоупотребляйте вычислениями в уме.
Не торопитесь «покончить» с задачей.
Помните поговорку: « Если ты делаешь работу быстро, но плохо, то все забудут, что ты делал ее быстро, но будут помнить, что ты сделал ее плохо. Если ты делаешь работу медленно, но хорошо, то все забудут, что ты делал ее медленно, но будут помнить, что ты сделал ее хорошо»

Ошибки, связанные
с незнанием или неправильным использованием формул
Учите формулы.
Анализируйте постановку задач.

Ошибки, допускаемые из-за незнания алгоритмов решения задач конкретного типа
Учите алгоритмы решений задач.
Оформляйте решение задач так, чтобы не возникало вопросов и неясностей.














СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Если мы видели дальше других,
то это потому, что стояли на плечах гигантов.
И. Ньютон

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш.Кремер. – М. : Юнити, 2006. – 573 с.
Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением EXCEL / Г.В.Горелова, И.А. Кацко. – Ростов н/Д. : Феникс, 2005. – 477 с.
Богатов Д.Ф. Конспект лекций и практикум по математике для юристов / Д.Ф. Богатов, Ф.Г.Богатов. – М. : ПРИОР, 2003. – 442 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е.Гмурман. – 3-е изд. – М. : Высшая школа, 1979. – 250 с.
Математика: краткий курс теории вероятностей. – Современный гуманитарный университет. – М. : Юнита 4, 1998. – 92 с.
Жалдак М.И. Теория вероятностей с элементами информатики / М.И. Жалдак, А.Н.Квитко. – Киев. : Высшая школа, 1989. – 261 с.









13PAGE 15


13PAGE 14115




Событие – это возможный исход стохастического эксперимента


Стохастический эксперимент
(испытание, опыт) – это эксперимент, результат которого предугадать нельзя заранее

Исходные
понятия
теории
вероятностей

Невозможные

Достоверные

Случайные

События

равновозможные

противоположные

независимые

зависимые

несовместные

совместные

Определить число исходов, благоприятствующих событию А , m(A)


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Выразить событие А через элементарные с помощью операций сложения, умножения и отрицания.

Выделить элементарные события, образующие полную группу: А1; А2;; Аn, т.е. они единственно возможные и несовместные исходы опыта.

Рассмотреть эксперимент (опыт) и
сложное событие А

ТЕКСТ ЗАДАЧИ

Найти вероятность события А по формуле
классического определения 13 EMBED Equation.3 1415



Определить общее число возможных исходов эксперимента n(
·)


ТЕКСТ ЗАДАЧИ

По формуле классического определения
13 EMBED Equation.3 1415

По формуле классического определения
13 EMBED Equation.3 1415

Согласно геометрической схеме искомая вероятность представляет отношение длины отрезка фигуры Ф к длине всего отрезка
·: 13 EMBED Equation.3 1415


Согласно геометрической схеме искомая вероятность это отношение площади фигуры Ф к площади
· :
13 EMBED Equation.3 1415


По формуле Бернулли

13 EMBED Equation.3 1415

Найти вероятность события А
по теоремам 1 – 4



Выразить событие А через элементарные с помощью операций сложения, умножения и отрицания


Рассмотреть сложное событие А и элементарные события, образующие полную группу: А1; А2;; Аn


ТЕКСТ ЗАДАЧИ

Испытание состоит в том, что в магазин входят три покупателя


А – {переговоры с абонентом не состоятся}.
Введем элементарные события:
А1 – {заняты все каналы связи};
А2 – {отсутствие вызываемого абонента}


Найти вероятность того, что заказанный междугородний переговор не состоится в данный промежуток времени, если вероятность занятости всех каналов в этот промежуток 0,8, а вероятность отсутствия вызываемого абонента 0,4



По теореме 4

По теореме 2

13 EMBED Equation.3 1415

А=А1 и А2 , => А= А1
· А2
А1 и А2 зависимы, т.к. наступление события А1 изменяет вероятности появления события А2 (извлеченный в первый раз шар не возвращается в число всех шаров)


Испытание состоит в принятии детей в школу

13 EMBED Equation.3 1415

H2

13 EMBED Equation.3 1415

Найти вероятности событий
А и Hi /A по формулам




Определить вероятности
Р(Hi) и P(A/Hi), где i=1, 2, , n


Рассмотреть сложное событие А и множество попарно несовместных гипотез:
H1; H2;; Hn


ТЕКСТ ЗАДАЧИ

13 EMBED Equation.3 1415




















































n = 3

Эксперимент – соединение 3-х полос материала разного цвета

Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, имея в наличии материал трех цветов?

13 EMBED Equation.3 1415

Н3

13 EMBED Equation.3 1415

Испытание состоит в бросании мяча в корзину

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Найти вероятности
13 EMBED Equation.3 1415 по формулам

Определить
p, q, n, k


Проверить выполнение условий опыта


ТЕКСТ ЗАДАЧИ

n = 16 k = 2

Введем элементарные события:
А1 – {попал при 1-м выстреле}; 13 EMBED Equation.3 1415 – {не попал при 1-м выстреле};
А2 – {попал при 2-м выстреле}; 13 EMBED Equation.3 14152 – {не попал при 2-м выстреле};
А3 – {попал при 3-м выстреле}; 13 EMBED Equation.3 14153 – {не попал при 3-м выстреле}.


а) А – {одно попадание}.
Это попадание при 1-м и промах при 2-м и 3-м выстрелах; попадание при 2-м и промах при 1-м и 3-м выстрелах; попадание при 3-м и промах при 1-м и 2-м выстрелах. Событие А заключается в наступлении или 1-го, или 2-го, или 3-го вариантов (хотя бы одного).
б) В – {три промаха};
в) С – {три попадания};
г) D – {два попадания};
д) E – {не менее двух попаданий};
е) F – {хотя бы один промах}.




Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Выразить через элементарные события, их отрицания и действия сложения и умножения, следующие события:
а) одно попадание;
б) три промаха;
в) три попадания;
г) два попадания;
д) не менее двух попаданий.
е) хотя бы один промах.


Эксперимент – турнир, в котором каждая партия играется 2-мя участниками из 16 и отличается от других только составом участников

В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

13 EMBED Equation.3 1415

n = 10 k = 5

По формуле классического определения
13 EMBED Equation.3 1415

Благоприятствует событию А один единственный случай,
т.е. m(A)=1


А – {получение слова ТОР}.
Общее число случаев n(
·) это различные комбинации 3-х букв из имеющихся 6. А так как они могут отличаться составом входящих букв, так и порядком их следования, то вычисляем число размещений из 6 по 3: n(
·)=А63=120




Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и раскладывает одну к другой 3 карточки. Какова вероятность того, что получится слово ТОР



Благоприятствует событию В один единственный случай, т.е. m(В)=1


В – {получение слова ТЕОРИЯ}.
Общее число случаев n(
·) это различные комбинации шести букв из имеющихся шести, а так как они могут отличаться только порядком их следования, то вычисляем число перестановок: n(
·)=Р6=720




Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и раскладывает одну к другой 6 карточек. Какова вероятность того, что получится слово ТЕОРИЯ



Двух девушек из 15 можно выбрать С152 способами и юношу можно выбрать С121 способами. По правилу произведения событию А благоприятствуют
m(A)=С152
·С121 =105
·12=1260
исходов испытания

А – {выбор двух девушек и одного юноши}
Общее число случаев n(
·) это различные комбинации выбора 3-х человек из имеющихся 27. А так как они могут отличаться только составом (порядок расположения безразличен), то вычисляем как число сочетаний из 27 по 3:
n(
·)=С273= 2925


Студенческая группа, находящаяся на сельскохозяйственных работах, выбирает по жребию кухонный наряд в составе 3 человек. Какова вероятность того, что среди них окажутся 2 девушки и 1 юноша, если в группе 15 девушек и 12 юношей


Рассмотрим фигуру Ф – отрезок длиной 5 км. Интересующее событие происходит тогда и только тогда, когда выбранная произвольно точка окажется внутри фигуры
m(A)=
·Ф
·=5

А – {разрыв между 45-м и 50-м километрами линии}.
Пространство элементарных исходов
· - это совокупность всех точек отрезка длиной 30 км
n(
·)=
·
·
·=30

После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 45-м и 50-м километрами линии


Рассмотрим фигуру Ф – круг радиуса 3. Интересующее событие происходит тогда и только тогда, когда выбранная произвольно точка окажется внутри фигуры
m(A)=S(Ф)=
·R2

А – {точка окажется внутри круга}.
Пространство элементарных исходов
· это совокупность всех точек квадрата со стороной 6
n(
·)=S(
·)=62


В квадрат вписан круг радиуса 3. Найти вероятность того, что точка, брошенная в квадрат так, что любое ее положение в квадрате равновозможное, окажется внутри круга


P(А)=р=0,6; q=1-0,6=0,4;
n=8; k=2



А – {забросить мяч в корзину}.
Проводится серия из 8 независимых испытаний с двумя возможными исходами в каждом. Вероятность попадания при каждом испытании одна и та же



Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину 0,6. Произведено 8 бросков. Найти вероятность того, что при этом будет ровно 2 попадания



По формуле Пуассона
13 EMBED Equation.3 1415

P(А)=р=0,0002; q=1-0,0002=0,9998;

n=5000; k=3;
·=np=1



А – {изделие повреждено в пути}.
Проводится серия из 5000 независимых испытаний с двумя возможными исходами в каждом
npq=5000
·0,0002
·0,9998=0,9998<10; p<0,1



Завод отправил 5000 доброкачественных и тщательно упакованных изделий. Вероятность того, что одно изделие повредится в пути 0,0002. Найти вероятность того, что на базу поступят 3 поврежденных изделия



По формуле Муавра – Лапласа:


P(А)=р=0,515; q=1-0,515=0,485;

n=200; k=100



А – {девочек и мальчиков будет поровну}.
Проводится серия из 200 независимых испытаний:
npq=200
·0,515
·0,485=49,955>10


В первые классы школы должны быть приняты 200 детей. Найти вероятность того, что среди них девочек и мальчиков будет поровну, если вероятность рождения мальчика равна 0,515


Испытание состоит
в вызове
студента

13 EMBED Equation.3 1415

А=А1 или А2 , => А= А1 + А2 .
А1 и А2 несовместны, т. к. по условию задачи вызов студента отличника исключает вызов другого студента-хорошиста (одновременное появление в опыте невозможно)


А – {вызванный студент отличник или хорошист}.
Введем элементарные события:
А1 – {вызванный студент отличник};
А2 – {вызванный студент хорошист}


В группе 25 студентов, из которых 5 – отличники; 10 – хорошисты; 10 имеют удовлетворительные оценки. Какова вероятность, что наугад вызванный студент отличник или хорошист?



13 EMBED Equation.3 1415

А=А1 или А2 , => А= А1 + А2
А1 и А2 совместны, т.к. занятость каналов связи не исключает отсутствие вызываемого абонента (могут произойти одновременно)


Испытание состоит в наборе телефонного номера

По теореме 3

13 EMBED Equation.3 1415

А=А1 и А2 , => А= А1
· А2
А1 и А2 независимы, т.к. наступление события А1 не изменяет вероятности появления события А2


А – {набран правильно телефонный номер}.
Введем элементарные события:
А1 – {1-я из забытых цифр набрана верно};
А2 – {2-я из забытых цифр набрана верно}.


А – {оба шара черные}.
Введем элементарные события:
А1 – {первый шар черный};
А2 – {второй шар черный}.


В урне 10 шаров, из которых 2 белые, а остальные черные. Наудачу взято 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара черные

Испытание состоит в том, что извлекают по одному шары, причем вынутый в первый раз шар назад не возвращается


По теоремам
1 и 3, т.к.
слагаемые несовместны;
сомножители независимы


a) P(А)=0,3
· 0,3(1-0,3) +0,3(1-0,3)
·0,3+(1-0,3)
·0,3
·0,3=0,189;
б) P(B)=0,3
·0,3
·0,3= 0,027;
в) P(C)=(1-0,3)(1-0,3)(1-0,3)=0,343;
г) P(D)= 0,3
·0,3
·(1-0,3) +0,3(1-0,3)0,3+(1-0,3)0,3
·0,3 +
+ 0,3
·0,3
·0,3=0,216;
д)P(Е)=0,3(1-0,3)(1-0,3)+(1-0,3)0,3(1-0,3)+(1-0,3)(1-0,3)0,3+ +0,3
·0,3(1-0,3)+0,3(1-0,3)0,3+(1-0,3)0,3
·0,3+0,3
·0,3
·0,3=0,657
или
Р(Е)=Р(А1+А2+А3) =1-Р(13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415)=1-0,343=0,657


a) А= А1
·А2
·13 EMBED Equation.3 1415+А1
·13 EMBED Equation.3 1415
·А3+13 EMBED Equation.3 1415
·А2
·А3;
б) B= А1
· А2
· А3;
в) C=13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415;
г) D= А1
·А2
·
·13 EMBED Equation.3 1415+А1
·13 EMBED Equation.3 1415
·А3+13 EMBED Equation.3 1415
·А2
·А3 + А1
· А2
· А3;
д) Е = А1
·13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415
·А2
·13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415
·А3 +
+ А1
·А2
·13 EMBED Equation.3 1415+А1
·13 EMBED Equation.3 1415
·А3+13 EMBED Equation.3 1415
·А2
·А3 + А1
· А2
· А3


а) А – {два из них совершат покупки};
б) B – {все три совершат покупки};
в) C – {ни один не совершит покупку};
г) D – {по крайней мере два совершат покупки};
д) E – {хотя бы один купит товар}.
Введем элементарные события:
А1 – {сделал покупку 1-й}; 13 EMBED Equation.3 1415– {не сделал покупку 1-й};
А2 – {сделал покупку 2-й}; 13 EMBED Equation.3 1415– {не сделал покупку 2-й};
А3 – {сделал покупку 3-й}; 13 EMBED Equation.3 1415– {не сделал покупку 3-й}


В магазин вошли три покупателя. Вероятность того, что каждый что-нибудь купит, равна 0,3. Найти вероятность того, что:
а) два из них совершат покупки;
б) все три совершат покупки;
в) ни один не совершит покупку;
г) по крайней мере два совершат покупки;
д) хотя бы один купит товар


Эксперимент – составление списков студентов из 5 фамилий из 10 имеющихся, отличающихся друг от друга, как составом студентов, так и порядком их следования

Терапевт обслуживает в день 5 человек. Группе 10 человек надо пройти диспансеризацию. Чтобы упорядочить процесс осмотра, необходимо составить порядковый список студентов. Сколькими способами можно составить очередь на прием к врачу?


По правилу суммы

Применить формулы
13 EMBED Equation.3 1415


Определить параметры k и n

Испытание состоит в доставке изделий

13 EMBED Equation.3 1415

Вероятность мала. Чудеса на экзамене бывают редко

H1

По формуле полной вероятности

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

А – {стрелок попадет в мишень}.
Событие А может произойти, если произойдет одно из несовместных событий (гипотез):
H1 – {наудачу взятый стрелок один из трех};
H2 – {наудачу взятый стрелок один из двух}.


Команда стрелков состоит из 5 человек, трое из которых попадают в цель с вероятностью 0,8, а двое – с вероятностью 0,6. Наудачу из команды берется стрелок и производит выстрел.
Какова вероятность того, что наудачу взятый стрелок попадет?


Испытание состоит в том, что из команды берется стрелок и производит выстрел


Испытание состоит
в 3-х выстрелах





Вероятности событий

Испытание
состоит в выборе 3-х карточек из 6.


Испытание
состоит в выборе 6-ти карточек из 6.


Испытание состоит в выборе наряда из 3-х человек


Испытание
состоит в поиске участка, на котором произошел разрыв




Испытание состоит в бросании точки в квадрат




По теореме 1

Испытание
состоит
в вызове
абонента

Испытание состоит в покупке 3-х лотерейных билетов


Три события совместны.
По теореме 2



Р(А)=Р(А1+А2+А3) =1-Р (13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415)=

= 1 - 0,9
·0,9
·0,9 = 1 - 0,729 = 0,271




А= А1+А2+А3



А – {выигрыш хотя бы по одному билету}.
А1 – {выигрыш по1 билету}; 13 EMBED Equation.3 1415– {проигрыш по 1 билету};
А2 – {выигрыш по2 билету}; 13 EMBED Equation.3 1415– {проигрыш по 2 билету};
А3 – {выигрыш по3 билету};13 EMBED Equation.3 1415 – {проигрыш по 3 билету}



Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,1. Приобретено 3 билета.
Какова вероятность выиграть хотя бы по одному из них?

Испытание состоит в том, что из команды берется стрелок и производит выстрел


А В


По формуле Байеса

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


А – {стрелок попадет в мишень}.
H1 – {наудачу взятый стрелок один из трех};
H2 – {наудачу взятый стрелок один из двух }.
По условию событие А произошло


Команда стрелков состоит из 5 человек, трое из которых попадают в цель с вероятностью 0,8, а двое – с вероятностью 0,6. Наудачу из команды берется стрелок и производит выстрел. Если стрелок попал в цель, то какова вероятность, что это один из трех?


Рассмотреть идеализированный эксперимент
по выбору наудачу k элементов из n элементов

ТЕКСТ ЗАДАЧИ

По правилу произведения

Абонент забыл последние две цифры телефонного номера, но точно помнит, что они нечетные. Найти вероятность того, что ему удастся дозвониться с первого раза


Испытание состоит в том, что студент отвечает на 3 заданных ему вопроса


а) Р(А)=Р(H1)
·P(A/H1)+ Р(H2)
·P(A/H2)+

+Р(H3)
·P(A/H3)+ Р(H4)
·P(A/H4)=

=0,3
·1+0,4
·0,491+0,2
·0,105+0,1
·0,009=0,518

б) 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

А – {случайно вызванный студент ответил на все 3 доставшиеся ему вопросы}.
Событие А может произойти, если произойдет одно из несовместных событий (гипотез):
H1 – {студент подготовлен отлично};
H2 – {студент подготовлен хорошо};
H3 – {студент подготовлен удовлетворительно};
H4 – {студент подготовлен плохо}



В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен по математике: 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно, 1 – плохо. Имеется 20 вопросов, причем: отличник может ответить на все, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно подготовленный – на 10, плохо подготовленный – на 5.
Найти вероятность того, что вызванный наугад студент ответит на 3 заданных ему случайным образом вопроса.
Вызванный наугад студент ответил на 3 заданных ему вопроса. Найти вероятность того, что этот студент плохо подготовлен и ему просто повезло с вопросами


Выразим A, B, C, D, E, F через элементарные события:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415;
д) 13 EMBED Equation.3 1415
е) 13 EMBED Equation.3 1415




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 64653
    Размер файла: 726 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий