Все теоремы и определения



С. Е. ШИЛЕЙКО



ГЕОМЕТРИЯ
В ОПРЕДЕЛЕНИЯХ
И ТЕОРЕМАХ





ПОСОБИЕ
для повторения и изучения теоретического материала школьного курса геометрии
(по учебникам под редакцией Л.С. Атанасяна)






Данное пособие предназначено и для тех, кто повторяет курс школьной геометрии, и для тех, кто еще только изучает ее по учебникам «Геометрия 7-9» и «Геометрия 10-11» под редакцией Л.С. Атанасяна (2000-2007гг), возможно поможет оно и учителям, работающим по данным учебникам.
При повторении теоретического материала непосредственно по учебнику учащиеся обычно обращают внимание на факты, выделенные цветом, те же, которые расположены внутри текста, а, особенно, среди задач, просто выпадают из поля зрения.
В данном же пособии приведены практически все факты, встречающиеся на страницах учебника.
Кроме того, с учетом психологических особенностей процессов понимания и запоминания и используя принципы и методы структурной лингвистики, во многих формулировках изъяты вводные слова или дополнительные пояснения, а также изменен порядок слов, что при ПОЛНОМ соответствии тексту учебника по смыслу помогает намного быстрее и легче понять их и запомнить. Это подтвердил двадцатилетний опыт работы в школе.
Также в пособии отмечены факты, верные только на плоскости, на что, по понятным причинам, практически не обращается внимания в учебнике.
Кроме этого, исправлены ошибки учебника в формулировках и выделении фактов.
Для удобства пользования в пособии сохранены названия глав и параграфов учебника, нумерация пунктов и порядок следования фактов.

Обозначения, встречающиеся в данном пособии:
- ( отмечены не измененные формулировки, выделенные в тексте учебника;
- ( отмечены не измененные формулировки, расположенные внутри текста учебника, обычно пропускаемые учащимися при повторении;
-
· отмечены измененные формулировки, выделенные в тексте учебника;
-
· отмечены измененные формулировки, расположенные внутри текста учебника, обычно пропускаемые учащимися при повторении;
- полужирным шрифтом отмечены факты, не требующие доказательства;
полужирным курсивом отмечены факты, требующие доказательства;
выделены определяемые понятия для облегчения поиска;
- * отмечены факты, верные только на плоскости.

В заключение хочется выразить благодарность всем выпускникам и учителям гимназии 1567, принимавшим участие в создании этого пособия, а также учителям разных школ России за поддержку в осуществлении этого проэкта.









ГЕОМЕТРИЯ 7-9

*****

ГЕОМЕТРИЯ 7


ГЛАВА 1

Начальные сведения.

§1. Прямая и отрезок.


1.


·Аксиома. Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.


·Определение. Две прямые называются пересекающимися, если они имеют общую точку.

(Замечание. Две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной.


·Определение. Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками.


·Определение. Концами отрезка называются точки, его ограничивающие.
§2. Луч и угол.

3.


·Определение. Лучом, исходящим из точки О, называется каждая из двух частей, на которые точка О разделяет прямую.


·Определение. Началом луча называется точка, из которой он исходит.

4.

(Определение. Углом называется геометрическая фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из нее.

(Определение. Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой.

(Замечание. Любой угол разделяет плоскость на две части.


·Замечание. Луч делит угол на два угла, если он исходит из его вершины и проходит внутри угла.


§3. Сравнение отрезков и углов.

5.

(Определение. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

6.


·Определение. Серединой отрезка называется точка, делящая его пополам.


·Определение. Биссектрисой угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
§4. Измерение отрезков.

7.


·Замечание 1. За единицу измерения длины можно принять любой отрезок.


·Замечание 2. Длина выражается некоторым положительным числом.

(Замечание 3. Равные отрезки имеют равные длины.

(Замечание 4. Меньший отрезок имеет меньшую длину.


·Замечание 5. Если точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.


·Определение. Расстоянием между концами отрезка называется длина этого отрезка.


§5. Измерение углов.

9.


·Определение. Градусом называется угол, равный 1/180 части развернутого угла.


·Определение. Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.


·Замечание 1. За единицу измерения градусной меры принят градус.


·Замечание 2. Градусная мера выражается некоторым положительным числом.

(Замечание 3. Равные углы имеют равные градусные меры.

(Замечание 4. Меньший угол имеет меньшую градусную меру.


·Замечание 5. Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих двух углов.

(Замечание 1. Развернутый угол равен 180(.

(Замечание 2. Неразвернутый угол меньше 180(.

(Определение. Угол называется прямым, если он равен 90(.


·Определение. Угол называется тупым, если он больше 90(, но меньше 180(.


·Определение. Угол называется острым, если он меньше 90(.

§6. Перпендикулярные прямые.

11.


·Определение. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга.

(Теорема (свойство смежных углов). Сумма смежных углов равна 180(.

(Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

(Теорема(свойство вертикальных углов). Вертикальные углы равны.

12.


·Определение. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

*
·Теорема. Если две прямые перпендикулярны третьей, то они не пересекаются.
ГЛАВА 2

Треугольники.

§1. Первый признак равенства треугольников.

14.


·Определение. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.

·Определение. Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон.


·Замечание 1. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы.


·Замечание 2. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

15.


·Теорема (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

§2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
16.


·Определение. Перпендикуляром, проведенным из точки к прямой, называется отрезок, соединяющий данную точку и точку на данной прямой и лежащий на прямой, перпендикулярной данной.


·Определение. Основанием перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется его конец, лежащий на данной прямой.


·Теорема (о единственности перпендикуляра к прямой). Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

17.


·Определение. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.


·Определение. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

·Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

18.


·Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.


·Определение. Боковыми сторонами равнобедренного треугольника называются его равные стороны.


·Определение. Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.


·Теорема (1 свойство равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.


·Теорема (2 свойство равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.


·Следствие 1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.


·Следствие 2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

§3. Второй и третий признаки равенства треугольников.
19.


·Теорема (второй признак равенства треугольников). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

20.


·Теорема (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

§4. Задачи на построение.

21.

*
·Определение. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

*
·Определение. Центром окружности называется точка равноудаленная от всех точек окружности.


·Определение. Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с какой-нибудь ее точкой.


·Определение. Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности.


·Определение. Диаметром окружности называется хорда, проходящая через ее центр.


·Определение. Дугой окружности называется каждая из двух частей, на которые две точки делят окружность.


·Определение. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

ГЛАВА 3

Параллельные прямые.

§1. Признак параллельности двух прямых.

24.

*
·Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

(Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

25.


·Определение. Прямая называется секущей по отношению к двум прямым, если она пересекает обе эти прямые.


·Теорема (1 признак параллельности двух прямых). Если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.


·Теорема (2 признак параллельности двух прямых). Если две прямые пересечены секущей и соответственные углы равны, то прямые параллельны.


·Теорема (3 признак параллельности двух прямых). Если две прямые пересечены секущей и сумма односторонних углов равна 180(, то прямые параллельны.

§2. Аксиома параллельных прямых.

28.

*
·Аксиома (параллельных прямых ). На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

*
·Следствие 1. На плоскости если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.


·Следствие 2 (4 признак параллельности двух прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

29.

·Теорема (1 свойство параллельности двух прямых). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.


·Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.


·Теорема (2 свойство параллельности двух прямых). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.


·Теорема (3 свойство параллельности двух прямых). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180(.

ГЛАВА 4

Соотношения между сторонами и углами треугольника.

§1. Сумма углов треугольника.

30.


·Теорема (о сумме углов треугольника). Сумма углов треугольника равна 180(.


·Определение. Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.

(Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

(Теорема (о внешнем угле треугольника). Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

31.


·Теорема . В треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.


·Определение. Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые.


·Определение. Треугольник называется тупоугольным, если один его угол тупой.


·Определение. Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой.


·Определение. Гипотенузой называется сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.


·Определение. Катетом называется сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу.

§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

32.


·Теорема (о соотношениях межу сторонами и углами треугольника). В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол и 2) против большего угла лежит большая сторона.


·Следствие 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.


·Следствие 2 (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

33.


·Теорема (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других.


·Следствие 2. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ<АС+СВ, АС<АВ+СВ, ВС<АС+АВ.

§3. Прямоугольные треугольники.

34.


·Теорема (1 свойство прямоугольных треугольников). В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90(.


·Теорема (2 свойство прямоугольных треугольников). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30(, равен половине гипотенузы.


·Теорема (3 свойство прямоугольных треугольников). Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против него, равен 30(.

35.


·Теорема (1 признак равенства прямоугольных треугольников). Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.


·Теорема (2 признак равенства прямоугольных треугольников). Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.


·Теорема (3 признак равенства прямоугольных треугольников). Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.


·Теорема (4 признак равенства прямоугольных треугольников). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

§4. Построение треугольника по трем элементам.

37.


·Определение. Наклонной, проведенной из точки к прямой, называется отрезок, соединяющий эту точку и точку на прямой и не являющийся перпендикуляром к этой прямой.


·Теорема (о перпендикуляре и наклонной). Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.


·Определение. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой.


·Теорема. Если две прямые параллельны, то все точки одной прямой равноудалены от другой.


·Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из них до другой.

*
·Замечание. Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной.



*****

ГЕОМЕТРИЯ 8



·
·

ГЛАВА 5

Четырехугольники

§1. Многоугольники.

39.


·Определение. Смежными отрезками называются отрезки, имеющие один общий конец.

*
·Определение. Многоугольником называется геометрическая фигура на плоскости, составленная из отрезков АВ, ВС, , EF, FA так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а не смежные отрезки не имеют общих точек.


·Определение. Сторонами многоугольника называются отрезки, из которых он состоит.


·Определение. Вершинами многоугольника называются концы его сторон.


·Определение. Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон.


·Определение. n -угольником называется многоугольник с n вершинами.


·Определение. Соседними вершинами многоугольника называются две его вершины, принадлежащие одной стороне.


·Определение. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий любые две его несоседние вершины.

40.


·Определение. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.


·Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180((n-2).

41.


·Определение. Противоположными сторонами четырехугольника называются две его несмежные стороны.


·Определение. Противоположными вершинами четырехугольника называются две его несоседние вершины.

Теорема. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360(.

§2. Параллелограмм и трапеция.

42.

(Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

(Теорема (1 свойство параллелограмма). В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.


·Теорема (2 свойство параллелограмма). В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам.

43.


·Теорема (1 признак параллелограмма). Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то это - параллелограмм.


·Теорема (2 признак параллелограмма). Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то это - параллелограмм.


·Теорема (3 признак параллелограмма). Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это - параллелограмм.

44.


·Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.


·Определение. Основаниями трапеции называются две ее параллельные стороны.


·Определение. Боковыми сторонами трапеции называются две ее не параллельные стороны.

(Определение. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.


·Определение. Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов прямой.

Теорема (Фалеса (( 385)). Если на одной из двух прямых последовательно отложить несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

§3. Прямоугольник, ромб, квадрат.

45.

(Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.


·Теорема (свойство прямоугольника). В прямоугольнике диагонали равны.


·Теорема (признак прямоугольника). Если в параллелограмме диагонали равны, то это - прямоугольник.

46.

(Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.


·Теорема (свойство ромба). В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.


·Теорема (1 признак ромба (( 408)). Если в параллелограмме диагонали
взаимно перпендикулярны, то это - ромб.


·Теорема (2 признак ромба (( 408)). Если в параллелограмме диагональ
является биссектрисой его угла, то это - ромб.

(Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.


·Теорема (1 свойство квадрата). В квадрате все углы прямые.


·Теорема (2 свойство квадрата). 13 EMBED Equation.3 1415В квадрате диагонали равны, взаимно
перпендикулярны и делят его углы пополам.

47.


·Определение. Две точки А и А13 EMBED Equation.3 1415 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая - серединный перпендикуляр к отрезку АА13 EMBED Equation.3 1415.


·Замечание. Каждая точка оси симметрии считается симметричной сама себе.


·Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры точка, симметричная ей относительно прямой а, также принадлежит фигуре.


·Определение. Две точки А и А13 EMBED Equation.3 1415 называются симметричными относительно точки О, если эта точка - середина отрезка АА13 EMBED Equation.3 1415.


·Замечание. Точка - центр симметрии считается симметричной сама себе.


·Определение. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры точка, симметричная ей относительно точки О, также принадлежит фигуре.


ГЛАВА 6

Площадь

§1. Площадь многоугольника.

48.


·Не определение! Площадь многоугольника - это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.


·Замечание 0. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1 квадратной единице.

(Замечание 1. Равные многоугольники имеют равные площади.


·Замечание 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме их площадей.

(Замечание 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

50.

(Теорема (площадь прямоугольника). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

§2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции.

51.


·Определение. Основанием параллелограмма называется одна из его сторон.


·Определение. Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный к прямой, содержащей основание, из любой точки противоположной стороны.

(Теорема (площадь параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

52.


·Определение. Основанием треугольника называется одна из его сторон.


·Теорема (площадь треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к нему.

(Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

(Следствие 2. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания.


·Теорема (об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу). Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

53.


·Определение. Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

(Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

§3. Теорема Пифагора.

54.

(Теорема (Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

55.

(Теорема (обратная теореме Пифагора). Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.


·Определение. Пифагоровыми треугольниками называются прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами.

ГЛАВА 7

Подобные треугольники

§1. Определение подобных треугольников.

56.


·Определение. Отношением отрезков АВ и СD называется отношение их длин.


·Определение. Отрезки АВ и CD называются пропорциональными отрезкам A13 EMBED Equation.3 1415B13 EMBED Equation.3 1415 и C13 EMBED Equation.3 1415D13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.

57.


·Определение. Если все углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то сходственными сторонами называются стороны этих треугольников, лежащие против соответственно равных углов.

(Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.


·Определение. Коэффициентом подобия называется число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

58.

(Теорема (об отношении площадей подобных треугольников). Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.


·Теорема (Свойство биссектрисы треугольника (( 535)). Биссектриса треугольника делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.


§2. Признаки подобия треугольников.

59.


·Теорема (1 признак подобия треугольников). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

60.

(Теорема (2 признак подобия треугольников). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

61.


·Теорема (3 признак подобия треугольников). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.



·Теорема (Фалеса, расширенная (( 556)). Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной его стороне, пропорциональны отрезкам, отсекаемым на другой его стороне.

§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.

62.

Определение. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.


·Теорема (Свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине.


·Теорема (Свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

63.


·Теорема. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.


·Определение. Средним пропорциональным между отрезками AB и CD (или средним геометрическим) называется отрезок XY, если 13 EMBED Equation.3 1415.


·Замечание 1 (свойство высоты прямоугольного треугольника). Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.


·Замечание 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой, проведенной к гипотенузе.

§4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

66.

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.


·Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.


·Замечание 1. Тангенс угла равен отношению синуса этого угла к косинусу.


·Замечание 2. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны соответственно.

Теорема (основное тригонометрическое тождество). 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

ГЛАВА 8

Окружность

§1. Касательная к окружности.

68.

*
·Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше ее радиуса, то прямая и окружность имеют ровно 2 общие точки.

*
·Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиуса, то прямая и окружность имеют ровно 1 общую точку.

*
·Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше ее радиуса, то прямая и окружность не имеют общих точек.


·Определение. Секущей по отношению к окружности называется прямая, которая имеет с ней 2 общие точки.

69.

*
·Определение. Касательной к окружности называется прямая, имеющая с ней только одну общую точку.

(Теорема (Ссвойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.


·Теорема. Отрезки касательных, проведенные из одной точки к одной окружности, равны.


·Теорема. Отрезки касательных, проведенные из одной точки к одной окружности, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

*
·Теорема (Признак касательной). Если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она – касательная.

§2. Центральные и вписанные углы.

70.


·Определение. Дугой окружности называется каждая из двух частей, на которые две точки разделяют окружность.


·Определение. Полуокружностью называется дуга, концы которой соединяет диаметр этой окружности.

*
·Определение. Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре окружности (а стороны ее пересекают).


·Определение. Градусная мера дуги, которая меньше полуокружности (или равна), считается равной градусной мере центрального угла, стороны которого проходят через ее концы.


·Определение. Градусная мера дуги, которая больше полуокружности, считается равной 360( без градусной меры центрального угла, стороны которого проходят через ее концы.

(Замечание. Сумма градусных мер двух дуг окружностей с общими концами равна 360(.

71.


·Определение. Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.



·Определение. Вписанный в окружность угол называется опирающимся на ее дугу, если дуга расположена внутри него, а ее концы лежат на его сторонах.

(Теорема (свойство вписанного угла). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

(Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.


·Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой.

(Теорема (о двух пересекающихся хордах). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.


·Теорема (( 659). Градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордами, равны.


·Теорема (об угле между касательной и секущей(( 664)). Угол между касательной и секущей, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между ними.


·Теорема (( 668). Перпендикуляр, проведенный из любой точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые он делит диаметр.


·Теорема (о длине касательной и секущей(( 670)). Если АВ - касательная (где В – точка касания), а АP секущая (причем P и Q точки пересечения ее с той же окружностью), то 13 EMBED Equation.3 1415.

§3. Четыре замечательные точки треугольника.

72.

(Теорема (Свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.


·Теорема (обратная к свойству биссектрисы угла). Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.

(Следствие (Свойство биссектрис треугольника). Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.


·Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через его середину и перпендикулярная к нему.


·Теорема (Свойство серединного перпендикуляра к отрезку). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

*
·Теорема (обратная к свойству серединного перпендикуляра к отрезку). Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

*(Следствие (Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника). Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

73.

(Теорема (Свойство высот треугольника). Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.


·Определение. Замечательными точками треугольника называются 4 точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений).

§4. Вписанная и описанная окружности.

74.


·Определение. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все его стороны касаются этой окружности.


·Определение. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.


·Теорема (об окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.


·Замечание. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.


·Теорема (свойство описанного четырехугольника). В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.


·Теорема (признак описанного четырехугольника). Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

75.


·Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности.


·Определение. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.


·Теорема (об окружности, описанной около треугольника). Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Замечание. Около четырехугольника не всегда можно вписать окружность.


·Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180(.


·Теорема (признак описанного четырехугольника). Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180(, то около него можно описать окружность.


·Теорема (признак ромба (( 696)). Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это - ромб.


·Теорема (свойство ромба (( 700)). В любой ромб можно вписать окружность.


·Теорема (( 697). Площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на высоту.


·Теорема (признак прямоугольника (( 709)). Если около параллелограмма можно описать окружность, то это - прямоугольник.


·Теорема (признак равнобедренной трапеции(( 710)). Если около трапеции можно описать окружность, то она - равнобедренная.

ГЛАВА 9

Векторы

§1. Понятие вектора.

76.


·Определение. Вектором или направленным отрезком называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом.


·Определение. Нулевым вектором называется любая точка плоскости.


·Определение. Длиной ненулевого вектора называется длина соответствующего отрезка; длина нулевого вектора считается равной 0.

77.

Определение. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.


·Определение (из 10 класса!) Два луча называются сонаправленными, если
1) они параллельны и лежат по одну сторону от прямой, проходящей через их начала, или
2) они совпадают или один из них содержит другой.


·Определение. Два ненулевых вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются сонаправленными, если они коллинеарны и при этом лучи ОА и ОВ сонаправлены.


·Определение. Два ненулевых вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны и не сонаправлены.


·Замечание. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

(Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

78.


·Теорема. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

§2. Сложение и вычитание векторов.

79.


·Определение. Суммой двух векторов называется вектор, полученный из них по правилу треугольника.

Теорема (правило треугольника). Для любых трех точек А, В и С имеет место равенство 13 EMBED Equation.3 1415.


·Теорема. Для любого вектора 13 EMBED Equation.3 1415справедливо равенство 13 EMBED Equation.3 1415.

80.

(Теорема (законы сложения векторов). Для любых векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415справедливы равенства:
13 EMBED Equation.3 1415 (переместительный закон);
13 EMBED Equation.3 1415 (сочетательный закон).

81.

Теорема (правило многоугольника). Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415 - произвольные точки плоскости, то 13 EMBED Equation.3 1415.

82.


·Определение. Разностью векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор, сумма которого с вектором 13 EMBED Equation.3 1415 равна вектору 13 EMBED Equation.3 1415.


·Определение. Два ненулевых вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны.

Замечание. Вектором противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.

(Теорема. Для любых векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо равенство 13 EMBED Equation.3 1415.

§3. Умножение вектора на число.

83.


·Определение. Произведением ненулевого вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на число k называется вектор 13 EMBED Equation.3 1415, длина которого равна 13 EMBED Equation.3 1415, причем вектор 13 EMBED Equation.3 1415 сонаправлен вектору 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 и противоположно направлен при k<0.


·Определение. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.


·Следствие 1. Произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор.


·Следствие 2. Для любого вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и любого числа k векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 коллинеарны.


·Теорема (законы умножения вектора на число). Для любых векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и любых чисел k, l справедливы равенства:
13 EMBED Equation.3 1415 (сочетательный закон).
13 EMBED Equation.3 1415 (первый распределительный закон).
13 EMBED Equation.3 1415 (второй распределительный закон).

84.


·Теорема. Если точка С - середина отрезка АВ, а О - произвольная точка плоскости, то 13 EMBED Equation.3 1415.


·Теорема (свойство трапеции). Прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон .

85.

Определение. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

(Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.


·Теорема (( 780). Для любого вектора 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо равенство: 13 EMBED Equation.3 1415.


·Теорема (( 797). Средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.


·Теорема (801). Для любых векторов 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 справедливы неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415.


·Теорема (806). Если точка С делит отрезок АВ в отношении m:n, считая от точки А, а О - произвольная точка плоскости, то 13 EMBED Equation.3 1415.




*****


ГЕОМЕТРИЯ 9




ГЛАВА 10

Метод координат.

§1. Координаты вектора.

86.


·Лемма. Если векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 коллинеарны и 13 EMBED Equation.3 1415, то существует число k такое, что 13 EMBED Equation.3 1415.


·Определение. Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 называется разложенным по векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если его можно представить в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где x и y - некоторые числа.


·Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем единственным образом.

87.


·Определение. Координатными векторами называются два единичных вектора, отложенные от начала координат так, чтобы направление одного из них совпало с направлением оси Ох, а другого - оси Оу.


·Определение. Координатами вектора в данной системе координат называются коэффициенты разложения этого вектора по координатным векторам.


·Замечание 0. Координаты нулевого вектора равны нулю.

(Замечание 1. Координаты равных векторов соответственно равны.

(Теорема 1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

(Теорема 2. Каждая координата разности двух или более векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

(Теорема 3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

§2. Простейшие задачи в координатах.

88.


·Определение. Радиус-вектором точки называется вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало - с началом координат.


·Теорема. Координаты точки равны соответствующим координатам ее радиус- вектора.

(Теорема (о координатах вектора). Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

89.

(Теорема (о координатах отрезка). Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.


·Теорема (о длине вектора). Длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат. (Длина вектора 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415).


·Теорема (о расстоянии между двумя точками). Расстояние между точками 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.


·Теорема (952). Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин (является центром описанной около него окружности).


·Теорема (свойство параллелограмма (953)). Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

§3. Уравнения окружности и прямой.

90.


·Определение. Уравнением линии называется уравнение с двумя переменными x и у, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

91.


·Теорема (уравнение окружности). В прямоугольной системе координат уравнение окружности с центром 13 EMBED Equation.3 1415 и радиусом R имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.

92.


·Теорема (уравнение прямой). В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид: ax+by+c=0.

ГЛАВА 11

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.

§1. Синус, косинус и тангенс угла.

94.


·Определение. Основным тригонометрическим тождеством называется равенство 13 EMBED Equation.3 1415.

§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

96.

(Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

97.

(Теорема (синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.


·Теорема (синусов, расширенная). Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности.

98.


·Теорема (косинусов). Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.


§3. Скалярное произведение векторов.

101.

(Определение. Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

102.

(Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.


·Теорема. Скалярное произведение ненулевых векторов равно 0 тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.


·Определение. Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение вектора на себя и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.


·Теорема. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:13 EMBED Equation.3 1415.

103.

(Теорема. Скалярное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 выражается формулой: 13 EMBED Equation.3 1415.


·Следствие 1 (условие перпендикулярности векторов). Ненулевые векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 (13 EMBED Equation.3 1415).

(Следствие 2 (косинус угла между векторами). Косинус угла между ненулевыми векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 выражается формулой: 13 EMBED Equation.3 1415.

104.

(Теорема (основные свойства скалярного произведения векторов). Для любых векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и любого числа k справедливы соотношения:
13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415>0 при 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 (переместительный закон);
13 EMBED Equation.3 1415 (распределительный закон);
13 EMBED Equation.3 1415 (сочетательный закон).

ГЛАВА 12

Длина окружности и площадь круга.

§1. Правильные многоугольники.

105.

(Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

106.

(Теорема. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

107.

(Теорема. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.


·Следствие 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается его сторон в их серединах.


·Следствие 2. Центр окружности, вписанной в правильный многоугольник, совпадает с центром окружности, описанной около него.


·Определение. Центром правильного многоугольника называется центр окружности, вписанной в него или описанной около него.

108.


·Теорема (площадь правильного многоугольника). Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

109.


·Замечание. Не все правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки.


§2. Длина окружности и площадь круга.

110.


·Теорема. Отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей.


·Теорема. Длина окружности радиуса R выражается формулой: 13 EMBED Equation.3 1415.


·Теорема. Длина дуги окружности радиуса R выражается формулой: 13 EMBED Equation.3 1415 (
· в градусах) или 13 EMBED Equation.3 1415 (
· в радианах).

111.


·Определение. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.


·Теорема. Площадь круга радиуса R выражается формулой: 13 EMBED Equation.3 1415.

112.

(Определение. Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.


·Определение. Дугой сектора называется дуга, которая ограничивает этот сектор.


·Теорема. Площадь сектора радиуса R выражается формулой: 13 EMBED Equation.3 1415 (
· в градусах) или 13 EMBED Equation.3 1415 (
· в радианах).

ГЛАВА 13

Движения.

§1. Понятие движения.

114.


·Определение. Движением плоскости называется отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.


·Теорема. Осевая симметрия является движением.


·Теорема. Центральная симметрия является движением.


· Теорема. При движении отрезок отображается на равный ему отрезок.

(Следствие. При движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

115.


·Теорема 1. Любое наложение является движением плоскости.

(Теорема 2. Любое движение является наложением.

(Следствие. При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

§2. Параллельный перенос и поворот.

116.


·Определение. Параллельным переносом на вектор 13 EMBED Equation.3 1415 называется такое отображение плоскости на себя, при котором любая точка М переходит в точку 13 EMBED Equation.3 1415, такую что 13 EMBED Equation.3 1415.


·Теорема. Параллельный перенос является движением.

117.


·Определение. Поворотом плоскости вокруг точки О на угол
· называется такое отображение плоскости на себя, при котором любая точка М переходит в точку 13 EMBED Equation.3 1415, такую что 13 EMBED Equation.3 1415 и угол 13 EMBED Equation.3 1415 равен
·.

(Теорема. Поворот является движением.


*****

ПРИЛОЖЕНИЯ


АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ

Аксиомы взаимного расположения точек и прямых.

(Аксиома 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.

(Аксиома 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

(Аксиома 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

(Аксиома 4. Из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.


·Аксиома 5. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.


·Аксиома 6. Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет ее на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а. При этом точки прямой а не принадлежат ни одной из указанных полуплоскостей.

Аксиомы наложения.

(Аксиома 7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

(Аксиома 8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

(Аксиома 9. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.


·Аксиома 10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом 13 EMBED Equation.3 1415двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом 13 EMBED Equation.3 1415, а луч k - с лучом 13 EMBED Equation.3 1415; 2) так, что луч h совместится с лучом 13 EMBED Equation.3 1415, а луч k - с лучом 13 EMBED Equation.3 1415.

Аксиомы равенства.

(Аксиома 11. Любая фигура равна самой себе.

(Аксиома 12. Если фигура Ф равна фигуре 13 EMBED Equation.3 1415, то фигура 13 EMBED Equation.3 1415 равна фигуре Ф.

(Аксиома 13. Если фигура 13 EMBED Equation.3 1415 равна фигуре 13 EMBED Equation.3 1415, а фигура 13 EMBED Equation.3 1415 равна фигуре 13 EMBED Equation.3 1415, то фигура 13 EMBED Equation.3 1415 равна фигуре 13 EMBED Equation.3 1415.

Аксиомы измерения.

(Аксиома 14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

(Аксиома 15. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Аксиома параллельных прямых.

*
·Аксиома 16. В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.



·Теорема (Чевы). Пусть в треугольнике АВС на сторонах ВС, СА и АВ или их продолжениях взяты соответственно точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, не совпадающие с вершинами треугольника. То прямые 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда выполнено равенство 13 EMBED Equation.3 1415.


·Теорема (Менелая). Пусть в треугольнике АВС на сторонах ВС, СА и АВ или их продолжениях взяты соответственно точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415, не совпадающие с вершинами треугольника. То точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство 13 EMBED Equation.3 1415.



*****

ГЕОМЕТРИЯ
10-11

*****

ГЕОМЕТРИЯ 10


Введение

2.

(Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.


·Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости.


·Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

3.

(Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

(Теорема. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

ГЛАВА 1

Параллельность прямых и плоскостей

§1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.

4.

(Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

(Теорема (о параллельных прямых). Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

(Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

5.


·Лемма (о пересечении параллельными прямыми плоскости). Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

(Теорема (о связке параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

6.

(Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.


·Теорема (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскость.


·Замечание 1. Если прямая параллельна плоскости и лежит в плоскости, пересекающей данную, то прямая параллельна линии пересечения плоскостей.


·Замечание 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

§2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.

7.

(Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.


·Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.


·Следствие. Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:
а) прямые пересекаются;
б) прямые параллельны;
в) прямые скрещиваются.

(Теорема (свойство скрещивающихся прямых). Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

8.


·Определение. Полуплоскостью называется каждая из двух частей, на которые прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость.


·Определение. Два луча называются сонаправленными, если
1) они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей, проходящей через их начала, или
2) они лежат на одной прямой и совпадают или один из них содержит другой.


·Теорема (об углах с сонаправленными сторонами). Углы с сонаправленными сторонами равны.

9.


·Определение. Углом между пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных ими.


·Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным.


·Теорема (корректность определения скрещивающихся прямых). Угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора пересекающихся прямых, им параллельных.

§3. Параллельность плоскостей.

10.


·Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

(Теорема (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

11.

(Теорема (1 свойство параллельных плоскостей). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

(Теорема (2 свойство параллельных плоскостей). Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.


·Теорема (3 свойство параллельных плоскостей (( 55)). Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.


·Теорема (4 свойство параллельных плоскостей (( 58)). Если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.


·Теорема (5 свойство параллельных плоскостей (( 59)). Через любую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна.


·Теорема (2 признак параллельности плоскостей (( 60)). Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны.

§3. Тетраэдр и параллелепипед.

12.


·Определение. Два ребра тетраэдра называются противоположными, если они не имеют общих вершин.

13.


·Определение. Две грани параллелепипеда называются противоположными, если они не имеют общих ребер.


·Определение. Две грани параллелепипеда называются смежными, если они имеют общее ребро.


·Определение. Две вершины параллелепипеда называются противоположными, если они не принадлежат одной грани.


·Определение. Диагональю параллелепипеда называется отрезок, соединяющий противоположные вершины.


·Теорема (1 свойство параллелепипеда). Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.

(Теорема (2 свойство параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

14.

(Определение. Секущей плоскостью тетраэдра (параллелепипеда) называется плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда).


·Определение. Сечением тетраэдра (параллелепипеда) называется многоугольник со сторонами, образованными пересечением секущей плоскостью с гранями тетраэдра (параллелепипеда).

ГЛАВА 2

Перпендикулярность прямых и плоскостей

§1. Перпендикулярность прямой и плоскости.

15.


·Определение. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол межу ними равен 90°.


·Лемма (о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей, то и другая прямая перпендикулярна к ней.

16.

(Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

(Теорема. Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она пересекает эту плоскость.

(Теорема (свойство параллельных прямых). Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

(Теорема(признак параллельных прямых). Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

17.

(Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

18.

(Теорема (о прямой перпендикулярной к плоскости). Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.


·Теорема (3 признак параллельности плоскостей (( 123)). Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.

(Теорема (6 свойство параллельных плоскостей (( 132)). Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

(Теорема (( 133). Через любую точку пространства проходит только одна плоскость перпендикулярная к данной прямой.

(Теорема (( 137). Через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость перпендикулярная к другой прямой.

§2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.

19.


·Определение. Перпендикуляром, проведенным из точки к плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой на плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.


·Определение. Основанием перпендикуляра называется его конец, лежащий на плоскости.


·Определение. Наклонной, проведенной из точки к плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с какой-нибудь точкой на плоскости и не являющийся перпендикуляром к этой плоскости.


·Определение. Основанием наклонной называется ее конец, лежащий на плоскости.


·Определение. Проекцией наклонной на плоскость называется отрезок, соединяющий основание наклонной с основанием перпендикуляра, проведенного из той же точки к этой плоскости.

(Замечание. Перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.


·Определение. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к этой плоскости.

(Замечание 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.


·Определение. Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из этих плоскостей до другой плоскости.

(Замечание 2. Если прямая параллельна плоскости, то все точки этой прямой равноудалены от этой плоскости.


·Определение. Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью называется расстояние от произвольной точки прямой до этой плоскости.


·Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

20.

(Теорема (о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

(Теорема (обратная к теореме о трех перпендикулярах). Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней перпендикулярна и к ее проекции.

21.

(Определение. Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.


·Определение. Проекцией фигуры F на данную плоскость называется фигура F`, состоящая из проекций всех точек фигуры F на эту плоскость.


·Теорема. Проекцией наклонной на плоскость является прямая.


·Следствие. Проекцией отрезка наклонной на плоскость является отрезок.


·Определение. Углом между наклонной и плоскостью называется угол между ней и ее проекцией на эту плоскость.


·Определение. Угол между перпендикуляром и плоскостью считается равным 90°.

§2. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.

22.

(Определение. Двугранным углом называется фигура образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.


·Определение. Гранями двугранного угла называются полуплоскости его образующие.


·Определение. Ребром двугранного угла называется общая граница его граней.


·Определение. Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный двумя лучами, лежащими в разных его гранях и исходящими из одной точки на его ребре перпендикулярно к ребру.

(Теорема (корректность определения линейного угла двугранного угла). Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

(Определение. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

23.

(Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

(Теорема (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.


·Следствие. Если плоскость перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, то она перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

24.


·Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания являются прямоугольниками.

(Теорема (1 свойство прямоугольного параллелепипеда). В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - прямоугольники.

(Теорема (2 свойство прямоугольного параллелепипеда). Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - прямые.


·Теорема (3 свойство прямоугольного параллелепипеда). Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.


·Следствие (4 свойство прямоугольного параллелепипеда). Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.


·Теорема (о двух плоскостях, перпендикулярных третьей (( 183)). Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то их линия пересечения тоже ей перпендикулярна.


·Теорема (об общем перпендикуляре к скрещивающимся прямым (( 186)). Существует одна и только одна прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые и перпендикулярная к каждой из них.


ГЛАВА 3

Многогранники

§1. Понятие многогранника. Призма.

25.


·Определение. Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело, причем никакие два соседних многоугольника не лежат в одной плоскости.


·Определение. Гранями многогранника называются многоугольники, из которых составлен многогранник.


·Определение. Ребрами многогранника называются стороны его граней.


·Определение. Вершинами многогранника называются концы его ребер.


·Определение. Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.


·Определение. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости любой его грани.


·Теорема. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при его каждой вершине меньше 360°.

27.


·Определение. n-угольной призмой называется призма, в основании которой лежит n-угольник.


·Определение. Высотой призмы называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.


·Определение. Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны к основаниям.

(Замечание. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.


·Определение. Призма называется наклонной, если ее боковые ребра не перпендикулярны к основаниям.


·Определение. Призма называется правильной, если она прямая, и ее основания - правильные многоугольники.


·Замечание. У правильной призмы все боковые грани - равные прямоугольники.

(Определение. Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

(Определение. Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех ее боковых граней.

(Теорема (площадь боковой поверхности прямой призмы). Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

(Теорема (( 236)). Площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.


§2. Пирамида.

28.


·Определение. n-угольной пирамидой называется пирамида, в основании которой лежит n-угольник.

(Замечание. Треугольная пирамида - это тетраэдр.


·Определение. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания.

(Определение. Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

(Определение. Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.

29.

(Определение. Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.


·Замечание 1. У правильной пирамиды все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.


·Замечание 2. У правильной пирамиды все боковые ребра равны.


·Определение. Апофемой правильной пирамиды называется высота ее боковой грани, проведенная из вершины.

(Теорема (площадь боковой поверхности правильной пирамиды). Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

30.


·Определение. Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.


·Замечание 1. У усеченной пирамиды все боковые грани - трапеции.

(Определение. Площадью полной поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее граней.

(Определение. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней.

(Определение. Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.


·Замечание 1. Основания правильной усеченной пирамиды - правильные многоугольники.


·Замечание 2. Боковые грани правильной усеченной пирамиды - равнобедренные трапеции.


·Определение. Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани.

(Теорема (площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды). Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна половине произведения полусуммы периметров оснований на апофему.

§3. Правильные многогранники.

31.


·Определение. Точки А и 13 EMBED Equation.3 1415 называются симметричными относительно точки О (центра симметрии), если О - середина отрезка 13 EMBED Equation.3 1415.


·Замечание. Точка О считается симметричной самой себе.


·Определение. Точки А и 13 EMBED Equation.3 1415 называются симметричными относительно прямой а (оси симметрии), если прямая а - серединный перпендикуляр к отрезку 13 EMBED Equation.3 1415.


·Замечание. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.


·Определение. Точки А и 13 EMBED Equation.3 1415 называются симметричными относительно плоскости
· (плоскости симметрии), если плоскость
· проходит через середину отрезка 13 EMBED Equation.3 1415 и перпендикулярна ему.


·амечание. Каждая точка плоскости
· считается симметричной самой себе.


· Определение. Точка, (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке этой фигуры.


·Определение. Элементами симметрии многогранника называются центр, оси и плоскости его симметрии.

32.

(Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число ребер.


·Теорема. Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n>5.


·Следствие. Существует 5 видов правильных многогранников:
правильный тетраэдр (состоящий из 4 равносторонних треугольников),
правильный октаэдр (состоящий из 8 равносторонних треугольников),
правильный икосаэдр (состоящий из 20 равносторонних треугольников),
куб (состоящий из 6 квадратов),
правильный додекаэдр (состоящий из 12 правильных пятиугольников).

*****

ГЕОМЕТРИЯ 11



ГЛАВА 4

Векторы в пространстве

§1. Понятие вектора в пространстве.

34.


·Определение. Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом.


·Определение. Нулевым вектором называется любая точка пространства.


·Определение. Длиной ненулевого вектора называется длина соответствующего отрезка; длина нулевого вектора считается равной 0.

(Определение. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.


·Определение. Два ненулевых вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются сонаправленными, если они коллинеарны и при этом лучи ОА и ОВ сонаправлены.


·Определение. Два ненулевых вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны и не сонаправлены.


·Замечание. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

35.

(Определение. Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

(Теорема. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

§2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

36.


·Определение. Суммой двух векторов называется вектор, полученный из них по правилу треугольника.


·Теорема. Сумма векторов не зависит от выбора точки для откладывания векторов.

(Теорема (правило треугольника). Для любых трех точек А, В и С имеет место равенство 13 EMBED Equation.3 1415.

(Теорема (законы сложения векторов). Для любых векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415справедливы равенства:
13 EMBED Equation.3 1415 (переместительный закон);
13 EMBED Equation.3 1415 (сочетательный закон).


·Определение. Два ненулевых вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны.

(Замечание. Вектором противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектор.


·Определение. Разностью векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор, сумма которого с вектором 13 EMBED Equation.3 1415 равна вектору 13 EMBED Equation.3 1415.


·Теорема. Для любых векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо равенство 13 EMBED Equation.3 1415.

37.


·Теорема. Сумма нескольких векторов не зависит от порядка их сложения.

(Теорема (правило многоугольника). Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415 - произвольные точки, то 13 EMBED Equation.3 1415.


38.


·Определение. Произведением ненулевого вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на число k называется вектор 13 EMBED Equation.3 1415, длина которого равна 13 EMBED Equation.3 1415, причем вектор 13 EMBED Equation.3 1415 сонаправлен вектору 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 и противоположно направлен при k<0


·Определение. Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.


·Следствие 1. Произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор.


·Следствие 2. Для любого вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и любого числа k векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 коллинеарны.


·Теорема (законы умножения вектора на число). Для любых векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и любых чисел k, l справедливы равенства:
13 EMBED Equation.3 1415 (сочетательный закон).
13 EMBED Equation.3 1415 (первый распределительный закон).
13 EMBED Equation.3 1415 (второй распределительный закон).


·Теорема. Для любого вектора 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо равенство: 13 EMBED Equation.3 1415.


·Теорема. Если векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 коллинеарны и 13 EMBED Equation.3 1415, то существует (единственное) число k такое, что 13 EMBED Equation.3 1415.

§2. Компланарные векторы.

39.


·Определение. Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

(Следствие 1. Любые два вектора компланарны.

(Следствие 2. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.

(Теорема (признак компланарности векторов). Если вектор 13 EMBED Equation.3 1415 можно разложить по векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. представить в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где x и y - некоторые числа, то векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 компланарны.


·Теорема (обратная к признаку компланарности векторов). Если векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 компланарны, а векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 не коллинеарны, то вектор 13 EMBED Equation.3 1415 можно разложить по векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, причем единственным образом.

41


·Теорема (о разложении вектора по трем некомпланарным векторам). Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем единственным образом.

ГЛАВА 5

Метод координат в пространстве

§1. Координаты точки и координаты вектора.

42.


·Определение. Прямоугольная система координат называется заданной, если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из которых выбрано направление и единица измерения отрезков.

43.


·Определение. Вектор называется единичным, если его длина равна единице.


·Определение. Координатными векторами называются три единичных вектора, отложенные от начала координат так, чтобы направление одного из них совпало с направлением оси Ох, другого - оси Оу, а третьего - оси Оz.


·Определение. Координатами вектора в данной системе координат называются коэффициенты в разложении этого вектора по координатным векторам.


·Замечание 1. Координаты нулевого вектора равны нулю.

(Замечание 2. Координаты равных векторов соответственно равны.

(Теорема 1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

(Теорема 2. Каждая координата разности двух или более векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

(Теорема 3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

44.


·Определение. Радиус-вектором данной точки называется вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало - с началом координат.

(Теорема. Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.

(Теорема (о координатах вектора). Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

45.

(Теорема 1 (о координатах отрезка). Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.


·Теорема 2 (о длине вектора). Длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат. (Длина вектора 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415).

(Теорема 3 (о расстоянии между двумя точками). Расстояние между точками 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.

§2. Скалярное произведение векторов.

46.

(Определение. Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

47.

(Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

(Теорема. Скалярное произведение ненулевых векторов равно 0 тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.


·Определение. Скалярным квадратом вектора называется скалярное произведение вектора на себя.


·Теорема. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

(Теорема. Скалярное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 выражается формулой:13 EMBED Equation.3 1415.

(Теорема. Ненулевые векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 (13 EMBED Equation.3 1415).

(Теорема. Косинус угла между ненулевыми векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 выражается формулой: 13 EMBED Equation.3 1415.


·Теорема (основные свойства скалярного произведения векторов). Для любых векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и любого числа k справедливы соотношения:
13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415>0 при 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 (переместительный закон);
13 EMBED Equation.3 1415 (распределительный закон);
13 EMBED Equation.3 1415 (сочетательный закон).

48.


·Определение. Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, лежащий либо на этой прямой, либо на параллельной.


·Теорема. Косинус угла между прямыми с направляющими векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 выражается формулой 13 EMBED Equation.3 1415.


·Теорема. Синус угла между прямой с направляющим вектором 13 EMBED Equation.3 1415 и плоскостью с перпендикулярным ей вектором 13 EMBED Equation.3 1415 выражается формулой 13 EMBED Equation.3 1415.

§3. Движения.

49.

(Определение. Движением пространства называется отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками.


·Определение. Центральной симметрией с центром О называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка пространства переходит в точку, симметричную ей относительно данного центра О.

(Теорема. Центральная симметрия является движением.

50.


·Определение. Осевой симметрией с осью a называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка пространства переходит в точку, симметричную ей относительно оси a.

(Теорема. Осевая симметрия является движением.

51.


·Определение. Зеркальной симметрией относительно плоскости
· называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка пространства переходит в точку, симметричную ей относительно плоскости
·.

(Теорема. Зеркальная симметрия является движением.

52.


·Определение. Параллельным переносом на вектор 13 EMBED Equation.3 1415 называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в точку 13 EMBED Equation.3 1415, такую что 13 EMBED Equation.3 1415.

(Теорема. Параллельный перенос является движением.

ГЛАВА 6

Цилиндр, конус и шар

§1. Цилиндр.

53.


·Теорема. Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу.


·Теорема. Осевое сечение цилиндра является прямоугольником.

(Теорема. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.

54.

(Определение. За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки.

(Определение. Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований.


·Теорема. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания цилиндра на его высоту (13 EMBED Equation.3 1415).


·Теорема. Площадь полной поверхности цилиндра равна 13 EMBED Equation.3 1415.

§2. Конус.

55.

(Теорема. Все образующие конуса равны друг другу.


·Теорема. Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником.


·Теорема. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение является кругом с центром, расположенным на оси конуса.

56.

(Определение. За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки.

(Определение. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.


·Теорема. Площадь боковой поверхности конуса равна половине произведения образующей конуса на длину окружности его основания (13 EMBED Equation.3 1415).


·Теорема. Площадь полной поверхности конуса равна 13 EMBED Equation.3 1415.

57.

(Теорема. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.


·!!!!!!!(отсутствует) Теорема. Осевое сечение усеченного конуса является равнобедренной трапецией.


·Теорема. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси усеченного конуса, то сечение является кругом с центром, расположенным на его оси.


·!!!!!!!(отсутствует) Определение. За площадь боковой поверхности усеченного конуса принимается площадь ее развертки.


·!!!!!!!(отсутствует) Определение. Площадью полной поверхности усеченного конуса называется сумма площадей боковой поверхности и оснований.


·Теорема. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей его оснований на образующую (13 EMBED Equation.3 1415).

§3. Сфера.

58.

(Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.


·Определение. Радиусом сферы называется любой отрезок, соединяющий центр сферы и какую-нибудь ее точку.


·Определение. Диаметром сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр.


·Определение. Шаром называется тело, ограниченное сферой.


·Замечание. Шар с центром О и радиусом R содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R, и только эти точки.

59.


·Определение. Уравнением поверхности называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.


·Теорема (уравнение сферы). В прямоугольной системе координат уравнение сферы с центром 13 EMBED Equation.3 1415 и радиусом R имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.

60.


·Теорема 1. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечением сферы этой плоскостью является окружность.


·Следствие. Сечением шара плоскостью является круг.

(Теорема 2. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

(Теорема 3. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

61.


·Определение. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку.

(Теорема. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

(Теорема. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

62.


·Определение. Описанным около сферы многогранником называется многогранник, все грани которого касаются сферы.


·Определение. Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех его граней.

(Определение. Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.


·!!!!!(опечатка в учебнике) Определение. Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра.

ГЛАВА 7

Объемы тел

§1. Объем прямоугольного параллелепипеда.

63.


·Замечание 0. Объем куба со стороной 1 равен 1 кубической единице.

(Замечание 1. Равные тела имеют равные объемы.

(Замечание 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме их объемов.

(Следствие. Объем куба с ребром 13 EMBED Equation.3 1415 равен 13 EMBED Equation.3 1415.

64.

(Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

(Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

(Следствие 2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

§2. Объем прямой призмы и цилиндра.

65.

(Теорема. Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

66.

(Определение. Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра.

(Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту: 13 EMBED Equation.3 1415.

§3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса.

67.

(Теорема (основная формула для вычисления объемов тел). 13 EMBED Equation.3 1415.

68.

(Теорема. Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.


·Теорема. Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.

69.

(Теорема. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: 13 EMBED Equation.3 1415.


·Следствие. Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415.

70.


·Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: 13 EMBED Equation.3 1415.
.

·Следствие. Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415.


§4. Объем шара и площадь сферы.

71.

(Теорема. Объем шара радиуса R равен 13 EMBED Equation.3 1415.

72.

(Определение. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.


·Определение. Высотой сегмента называется отрезок диаметра шара, заключенного внутри сегмента и перпендикулярного секущей плоскости.

(Теорема. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415.

(Определение. Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.


·Определение. Высотой шарового слоя называется расстояние между секущими плоскостями.


·Теорема. Объем шарового слоя равен разности объемов двух шаровых сегментов.


·Определение. Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с острым углом, вокруг одного из ограничивающих его радиусов.

(Теорема. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса.

(Теорема. Объем шарового сектора вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.

73.


·Теорема. Площадь сферы радиуса R равна 13 EMBED Equation.3 1415.



*****



ПРИЛОЖЕНИЯ


АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

Аксиомы взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.

(Аксиома 1. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.

(Аксиома 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

(Аксиома 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

(Аксиома 4. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.


·Аксиома 5. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости.


·Аксиома 6. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

(Аксиома 7. Из трех точек прямой одна и только одна, лежит между двумя другими.


·Аксиома 8. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.


·Аксиома 9. Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет ее на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а. При этом точки прямой а не принадлежат ни одной из указанных полуплоскостей.


·Аксиома 10. Каждая плоскость
· разделяет пространство на две части (два полупространства) так, что любые две точки одного полупространства лежат по одну сторону от плоскости плоскость
·, а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от плоскости плоскость
·. При этом точки плоскости
· не принадлежат ни одному из указанных полупространств.

Аксиомы наложения.

(Аксиома 11. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

(Аксиома 12. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

(Аксиома 13. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.


·!!!!!(опечатка в учебнике) Аксиома 14. Два равных угла hk и 13 EMBED Equation.3 1415,лежащие в плоскостях, являющихся границами полупространств P и 13 EMBED Equation.3 1415 , можно совместить наложением так, что при этом совместятся полупространства P и 13 EMBED Equation.3 1415, причем это можно сделать единственным образом.

Аксиомы равенства.

(Аксиома 15. Любая фигура равна самой себе.

(Аксиома 16. Если фигура Ф равна фигуре 13 EMBED Equation.3 1415, то фигура 13 EMBED Equation.3 1415 равна фигуре Ф.

(Аксиома 17. Если фигура 13 EMBED Equation.3 1415 равна фигуре 13 EMBED Equation.3 1415, а фигура 13 EMBED Equation.3 1415 равна фигуре 13 EMBED Equation.3 1415, то фигура 13 EMBED Equation.3 1415 равна фигуре 13 EMBED Equation.3 1415.

Аксиомы измерения.

(Аксиома 18. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.


·Аксиома 19. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Аксиома параллельных прямых.

(Аксиома 20. В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной.














13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 8153542
    Размер файла: 723 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий