Курс лекций по Мет.Препод.Матем.

 СОДЕРЖАНИЕ

ВОПРОСЫ ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ

МПМ как наука3
Начальный курс математики как учебный предмет.8
Проблема формирования понятия о натуральном числе...11

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЕЛ

Дочисловая подготовка.15
Общие вопросы методики изучения
нумерации целых неотрицательных чисел.19

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Арифметические задачи в НКМ...25
Обучение общим приемам работы над задачей.31
Формирование у младших школьников
общего подхода к решению задач42
Обучение решению типовых задач..46

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

Общие вопросы методики изучения арифметических действий..55
Методика ознакомления младших школьников
с вопросами арифметической теории..61
Проблема формирования умений и навыков
устных и письменных вычислений..67
Методика формирования вычислительных умений и навыков72
Организация работы по составлению и заучиванию таблиц78

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НЕАРИФМЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

Методика изучения геометрического материала...84
Общие вопросы методики изучения величин.88
Методика изучения элементов алгебры в НКМ.94

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ТЕКСТАХ СОКРАЩЕНИЯ105
Чужие мысли для собственных размышлений

Три качества – обширные знания, привычка мыслить и благородство чувств - необходимы для того, чтобы человек был образованным в полном смысле слова.
Н. Г. Чернышевский.

Когда людей станут учить не тому, что они должны думать, а тому, как они должны думать, то тогда исчезнут всякие недоразумения.
Георг Лихтенберг (нем. писатель-сатирик, ученый-физик, мастер
социально-критического, философского и
бытового афоризма, XVIII век).

То, что вы были вынуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы можете снова воспользоваться, когда в этом возникнет необходимость.
Георг Лихтенберг.

Ум – это умение правильно распоряжаться знаниями, а главное – самостоятельно эти знания добывать и пополнять.
Э. В. Ильенков (изв. философ XX века).

Мы не можем оценить действия учителя, если не знаем стоящей перед ним цели.
Мы не можем осмысленно обсуждать процесс обучения, пока не достигнем известного согласия относительно того, что является целью обучения.
Дж. Пойа (амер. Математик-педагог, XIX век).





Как результат размышлений сформулируйте хотя бы одну учебную задачу, которую вы намерены решать в процессе изучения курса методики начального обучения математики.







ВОПРОСЫ ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ
МПМ как наука

План

Предмет МПМ. Взаимосвязь и взаимообусловленность компонентов методической системы.
Задачи решаемые МПМ.
Методы исследования, используемые методической наукой.
Связь МПМ в начальных классах с другими науками.
Современные технологии начального обучения математики.

Литература

1. [4], с. 13, 14, 40, 41.
2. НШ, 1999, № 9. Статьи В. Н. Рудницкой, Н. Б. Истоминой, Э. И. Александровой.
3. Чуракова Р. Г. Развивающее обучение на пороге XXI века //НШ. – 2001. - № 5 (взаимосвязь компонентов методической системы).
4. Истомина Н. Б. и др. Особенности учебно-методического комплекта «Гармония» //НШ. - 2002. - №2 (пути совершенствования начального образования).
5. Колягин Ю. М. Болевые точки отечественного образования //НШ. – 2002. - № 4.



1. Предмет МПМ. Взаимосвязь и взаимообусловленность компонентов методической системы

«Методика» от греч. «methodos» - исследование.
«Наука» - сфера человеческой деятельности, функция которой – выработка и систематизация знаний о действительности; включает в себя как деятельность по получению нового знания, так и её результат - сумму знаний.
МПМ – наука о математике как учебном предмете и закономерностях обучения математике.
ПРЕДМЕТ этой науки – обучение математике.
Цель МПМ - исследование процесса обучения математике, обобщение и систематизация знаний и их применение к решению новых теоретических и практических задач.
Для обозначения в речи используются термины: МПМ, МОМ, «Педагогика математики», «Дидактика математики», «Методическая система начального обучения математике».
Последний термин наиболее точно и полно отражает объект и предмет данной науки (см. опорную схему №1 и задания к ней).

Признаки педагогической системы:

- единая целевая ориентация;
- интегративные качества (такие, которыми не обладает ни один из отдельно взятых её элементов);
- элементы или компоненты;
- структура (связи и отношения между частями и элементами);
- функциональные характеристики (назначение);
-коммуникативные свойства (внешние взаимодействия системы с окружающим миром);
- историчность, преемственность;
- результаты (сумма знаний, умений, навыков).

Свойства любой системы определяются не суммой свойств её элементов, а их взаимоотношением и взаимодействием.
В методической системе принято выделять две стороны: содержательная (цели, задачи, содержание); процессуальная (методы, формы, средства), которые функционируют в единстве, но проявляют различную степень консервативности в процессе совершенствования и вариаций педагогических технологий (ПТ). Чаще всего варьируются процессуальные аспекты, а содержание изменяется лишь по структуре, логике, дозировке. При этом содержательная часть во многом определяет и её процессуальную часть, хотя обратная связь не исключается. Например, использование компьютерных технологий (средства обучения) ведет к изменению целей, содержания и форм обучения.
Цели – долговременный и относительно стабильный компонент, отражающий общую стратегию образования:
1) стратегия формирования ЗУН;
2) стратегия развития СУД, т. е. системы умственных действий, учебных умений, личности в целом.

2. Задачи, решаемые МПМ

Перед МПМ стоят следующие задачи:
- обоснование целей обучения математике;
- научная разработка содержания обучения, которая находит отражение и воплощение в программах и школьных учебниках;
- поиск и обоснование наиболее эффективных методов и приемов учебно-воспитательной работы в процессе обучения математике;
- научная разработка средств обучения (учебников, ТПО, таблиц, ТСО, наглядных пособий, карточек с математическими заданиями, программированных заданий и т. п.);
- организация обучения;
- исследование процесса и результатов обучения и усвоения учащимися СУД и математических ЗУН с целью дальнейшего совершенствования методической системы.

3. Методы исследования, используемые методической наукой

Методы исследования:
- изучение истории развития математики и МПМ, и использование соответствующих достижений;
- изучение и обобщение современного опыта преподавания математики, в том числе и зарубежного;
- опросные методы: беседа, анкетирование, интервью, тестирование;
- наблюдение, анализ работ учащихся, эксперимент;
- методы математической статистики и компьютерной обработки данных.

4. Связь методики с другими науками

Любая образовательная технология основывается на определенном философском фундаменте (осознанном или неосознанном). Философские положения выступают как наиболее общие регулятивы, входящие в состав методологического обеспечения педагогической технологии.
Философские позиции прозрачнее всего прослеживаются в содержании образования, труднее обнаружить философскую основу в методах и средствах обучения.
Философской основой нынешнего массового образования в РБ являются диалектико-материалистическое и гуманистическое направления. Методологическая основа – теория познания, которая рассматривает познание как диалектически непрерывный процесс.
См. опорную схему №2 в «Практикуме» и задания к ней.

5. Современные технологии начального обучения математике

«Методика обучения» - исследование, учение, теория.
«Технология обучения» - искусство, мастерство, умение.
Методика отличается от технологии уровнем обобщения знаний о закономерностях процесса обучения и вариативностью способов реализации теоретических положений, т. е. наличием многих «если ».
Технология отличается от методики определенностью, устойчивостью как способов достижения цели обучения, так и его результата.
Концептуальной основой, руководящей идеей, всех современных технологий обучения является формирование личности ребенка, способной к самостоятельному мышлению. Процесс познания строится так:
Деятельность СУД З Рефлексия У Н
Вспомним сущность каждого из названных понятий.
Деятельность – от слова деять, т. е. делать.
Виды деятельности:
Физическая или предметная: вырезают, накладывают, измеряют, рисуют, чертят и др. виды практических работ.
Умственная: анализируют, сравнивают, классифицируют, абстрагируют, обобщают, умозаключают, рассуждают, доказывают, открывают новое.
Учебная: анализируют, ставят учебную задачу, планируют, моделируют, исследуют, преобразуют, контролируют, оценивают.
Знание – проверенные практикой результаты познания окружающего мира, его верное отражение в мозгу человека.
Рефлексия является существенным условием самосозидания личности, «перевода» общественных (созданных поколениями людей) ЗУН в индивидуальные: Что я делал? Как? («Взгляд назад») Где это можно применить? При каких условиях? и т. п.
Умение – способность к эффективному выполнению определённой деятельности на основе имеющихся знаний в измененных или в новых условиях, уверенное овладение жестко определенной системой предписаний, гарантированно ведущих к цели. Заметьте, что слова «умение», «умелец», «умный», «ум» в русском языке являются однокоренными.
Навык – автоматизированное умение, т. е. способность к выполнению определенной деятельности без непосредственного контроля сознания.
Следовательно, основными направлениями модернизации технологий обучения являются:
- деятельностный подход;
- личностно-ориентированное обучение;
- гуманизация (направленность на благо ребенка);
- гуманитаризация (обращение к человеческой личности, к правам и интересам ребенка);
- дифференциация и индивидуализация обучения.
Примеры таких технологий:
КСО – коллективный способ обучения;
УДЕ – укрупнение дидактических единиц;
РО – развивающее обучение;
проблемное обучение; программированное обучение; модульное обучение; компьютерные технологии и др.
Учить математике трудно, потому что в природе, в реальной действительности не существует ни одно из математических понятий. Все они являются плодами работы разума, т. е. идеальны, абстрактны.
Ответьте себе на вопрос: «Зачем же учить математике?»
Обсудим вместе ответ на вопрос: «Что значит учить математике?»
Учить математике – это значит развивать словесно-логическое мышление. Т. е. «учить говорить» правильно, точно, обоснованно, учитывая при этом взаимодействие и взаимовлияние всех видов мышлений: наглядно-действенного, наглядно-образного, наглядно-схематического, словесно-логического, абстрактного, теоретического, практического.
Технологический вопрос «Как учить математике?», следовательно, можно конкретизировать: как учить думать и говорить.
Обучение математике строится так, чтобы одновременно включались самые различные анализаторы (органы чувств) и мышление, одновременно использовались все коды, несущие в себе математическую информацию: предмет, физический опыт с этим предметом, модель, чертеж, рисунок, символ, слово.







Рука Язык Голова

Методическая и технологическая подготовка учителя касается знаний о процедурах управления учебной деятельностью детей и включает: познавательную потребность; знания об обучающих процедурах и их вариабельности; комплекс профессиональных умений; самостоятельность мышления; рефлексию; самоконтроль; самооценку.
Выполнение действий контроля, оценки, рефлексии предполагает, что внимание того, кто учится, обращается на содержание собственных действий, их целенаправленность, результативность и эффективность.
Любая перемена в человеке (ЗУН, СУД, сознание, духовность и др.) должны быть плодом его собственного усилия, а не насилия над ним другого.

Начальный курс математики как учебный предмет



План

1. Цели и задачи начального обучения математике.
2. Содержание начального курса математики (НКМ).
3. Принципы построения НКМ.


Литература:[1], пп. 4,5.
[4], с. 15,42.


1. Цели и задачи начального обучения математике

Цель – подготовка к жизни, к изучению собственно математики, т.е. познакомить с игровым материалом и правилами игры; сравнить с играми «прятки», «шашки» и др.
Задачи:
РАЗВИВАЮЩИЕ

- познавательные процессы (память, представления, внимание, наблюдательность, воображение, мышление – все виды);
- логическое мышление и его структуры;
- математические способности;
- творческое мышление
на основе учёта возрастных особенностей и индивидуальных возможностей.
ВОСПИТАТЕЛЬНЫЕ

- самостоятельность мышления;
- основы материалистического мировоззрения;
- личностные качества: волевые, инициатива, творчество, аккуратность, настойчивость, сосредоточенность, дисциплинированность;
- культура учебного труда и взаимоотношений в коллективе;
- патриотические чувства и т.д.
ОБУЧАЮЩИЕ

- определённый программой круг математических знаний, умений, навыков;
- овладение способами математической деятельности;
- овладение, способами учебной деятельности, включая навыки самоконтроля.
Основные структурные компоненты учебной деятельности:
- читать, писать, ориентироваться в книге, тетради, пространстве;
- осознание способов деятельности по решению учебных задач;
- внутренний план действий;
- способность к абстрагированию и обобщению;
- самоконтроль и самооценка.
ПРАКТИЧЕСКИЕ

- ориентировка в повседневной жизни;
- оказание помощи в изучении других школьных предметов.

3. Содержание начального курса математики

Практическая работа по ОС №3:
а) назвать составляющие;
б) выделить традиционное содержание и указать его дополнение (стержень НКМ – арифметика (();
с) пути обновления (использован зарубежный опыт и апробированные идеи):
- расширение традиционных составляющих НКМ: множества геометрических понятий, круга арифметических задач, единиц измерения величин (га, кмІ), решение задач алгебраическим способом;
- включение элементарных сведений из относительно новых (в историческом аспекте) ветвей математической науки: информатики, комбинаторики, теории вероятностей, статистики;
- формирование логических операций и структур мышления;
- формирование доказательного мышления и обучение построению первых математических доказательств;
- углубление подготовки к изучению собственно математики: координатный метод, алгоритм, моделирование, индукция, дедукция.


3. Принципы построения НКМ

1. Взаимосвязи органической (по возможности) всех составляющих НКМ, прежде всего с арифметикой, а также друг с другом: геометрические фигуры - счёт;
x+3=7 – состав числа.
2. Концентричности изучения арифметического материала.
Сущность:
а) одни и те же вопросы рассматриваются на различном числовом материале, в различных концентрах;
б) в каждом следующем концентре происходит расширение знаний;
с) с каждым расширением числовой области имеющиеся знания углубляются, систематизируются, обобщаются, совершенствуются.
3. Ведущей роли теоретических знаний (см., например, ОС №13-19).


Принципы построения НКМ



взаимосвязь
составляющих концентричность ведущая
частей расположения роль
арифметического теоретических
материала знаний


























Проблема формирования понятия о натуральном числе


План
1. Математика и предматематика.
2. Функции натурального числа.
3. Возможные подходы к введению понятия натурального числа.
4. Анализ проблемы отбора содержания дочисловой подготовки.
5. Основные направления дочисловой подготовки.
6. Разнообразие видов упражнений.


Литература: [1], п.3


1. Математика и предматематика


Математическая наука - очень полезная для человечества (и для каждого человека) игра со словами: несуществующими в природе понятиями, суждениями об этих абстрактных понятиях, соответствующими умозаключениями. Поскольку в математике играют не с реальными объектами, а с абстрактными, идеальными, существующими только в сознании человека, то и методы их изучения не могут быть связаны с непосредственным наблюдением, опытом, практикой. Основным правилом этой игры была объявлена глобальная дедукция – получение новых «слов» из точных и однозначно сформулированных определений, аксиом, ранее доказанных теорем путем дедуктивного вывода.
Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Отличительные признаки этой науки:
1) оперирует абстрактными, идеальными понятиями;
2) использует собственный символический язык, который позволяет ясно, точно и кратко излагать и передавать информацию;
3) основным методом организации математических знаний в систему является дедукция (логический вывод из уже известного новых знаний, без какой бы то ни было опоры на опыт, практику, наглядность).
Очевидно, что в силу возрастных особенностей младших школьников в начальной школе нет объективных условий для изучения собственно математики. Здесь изучают предматематику.


Ее характерные признаки:
1) большинство понятий, рассматриваемых в предматематике, являются одноступенчатыми абстракциями своих реальных прообразов (например, «круг», «два», «больше», «равно»);
2) математические предложения не классифицируются на определения, аксиомы, теоремы;
3) в качестве аргументов доказательства используются ссылки на опыт и непосредственную проверку (например, a,b – натуральные числа a+b=b+a);
4) дедуктивные доказательства занимают незначительное место и включают всего один-два(три) шага.
Изучение предматематики закладывает основы для изучения математики как дедуктивной системы знаний. Это полностью отражает принцип историзма, так как возникновению математической науки предшествовала многотысячелетняя практика накопления материала для обобщения, абстрагирования, систематизации.


2. Функции натурального числа

Что называется натуральным числом? Какие у него функции (назначения)?
Функции натурального числа:
1) количественная (сколько?);
2) порядковая (который?);
3) операторная (сколько раз надо выполнить операцию?);
4) значение величины.
В обучении раскрываются все функции натурального числа, но не одновременно, а последовательно. В зависимости от того, какую из них избирают в качестве исходной, и существуют различные подходы к введению понятия числа.


3. Возможные подходы к введению понятия натурального числа

1. Теоретико-множественный (количественная функция)
{A~B~C~~Z}n(A) = a, где А, В, С, - конечные множества.
2. Натуральные числа - числа, которые используются при счете.
Вспомните аксиомы Пеано (порядковая функция).
3. На основе сравнения и измерения величин.
В этом случае появляется возможность введения понятия действительного числа. Натуральное - частный случай, когда a=ne, где а- измеряемая величина, е - единица ее измерения, n – результат измерения. Такой подход реализуется в технологии развивающего обучения Эльконина-Давыдова.
4. Операторный (в учебных пособиях А.А. Ходовой).


4. Анализ проблемы отбора содержания дочисловой подготовки

Из всех названных подходов предпочтение, как правило, отдается теоретико-множественному. Почему?
Понятие «множество» абстрагированно непосредственно из реальной действительности: «Множество – есть многое, мыслимое как единое» (Г.Кантор). Это понятие необходимо, пусть даже без использования самого термина «множество», а только с осознанием его сущности, для того, чтобы начать «играть» в математику.
Путь абстрагирования понятия «натуральное число» непростой и длительный. Проанализируем его.


НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО


конечные множества равномощность слова-метки для счета




















5. Основные направления дочисловой подготовки
- сравнение предметов по их признакам, свойствам;
- обучение счету;
- образование множеств и оперирование множествами (объединение, дополнение, уравнивание);
- уточнение пространственных и временных представлений;
- сравнение множеств по их численности и введение отношений «столько же», «больше», «меньше», установление взаимосвязи отношений «больше» - «меньше»;
- развитие умственных действий и овладевание логическими операциями в практической деятельности (систематически при выполнении любых заданий, а также целенаправленно и планомерно при выполнении специальных);
- подготовка к письму цифр.
Таким образом, мы определили содержание и задачи дочисловой подготовки.

6. Разнообразие видов упражнений

Поставленные задачи решаются комплексно, интегрировано.
Например,
1) закрасить одним и тем же цветом: сравнение предметов по форме и цвету, анализ, подготовка к письму цифр;
2) посчитать, сколько некруглых фигур: анализ, синтез, классификация, сравнение предметов по форме, логическая операция отрицания, счет. То есть, любое задание одновременно выполняет несколько дидактических функций, среди которых всегда можно выделить главную.
Таким образом:
- одно задание может использоваться для решения сразу нескольких учебных задач;
- одна учебная задача решается с помощью различных видов заданий.









МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЕЛ

Дочисловая подготовка

План

1. Изучение и учёт дошкольной математической подготовки.
2. Цели и задачи дочисловой подготовки.
3. Методика обучения счёту.
4. Методика обучения сравнению множеств по их численности.
5. Деятельностный подход к формированию умственных и логических действий.
6. Подготовка к письму цифр.
7. Особенности организации обучения в подготовительный период.


Литература
[4], с. 18, 45; с. 17, 44.
[5], п. 14, с. 71-75; [1]
Дополнительная
Мядзведская В. М., Кушнярук Е. М. Пiсьмо лiчба
·// Пачатковая школа.1998.N 4.


1. Изучение и учёт дошкольной математической подготовки


Определить стартовые позиции, чтобы своевременно создать благоприятные для любого ученика условия обучения математике: дифференциация и индивидуализация обучения.
Что проверять у дошкольников?
См. [2]; [3]; предыдущую лекцию.


2. Цель и задачи дочисловой подготовки


Цель выявить, уточнить, расширить, т.е. подготовить к изучению целых неотрицательных чисел.
Задачи дочисловой подготовки и её содержание мы выявили на прошлой лекции при анализе проблемы формирования понятия о целом неотрицательном числе.
3. Методика обучения счёту

Зачем учить считать?
Переводить реальные ситуации на математический язык и решать другие задачи (практические, развивающие, воспитательные) начального обучения математике.
Содержание, то есть что значит “учить считать”?
Вспомните определение операции счета. Найдите на ОС №6.
Определение операции счета ориентирует, чтобы выполнять эту операцию, необходимо:
- уметь вычленять объекты для счёта;
- знать последовательность имён чисел;
- знать и уметь применять правила счёта;
- уметь правильно отвечать на вопросы “сколько?” и “который?”
Работа по опорной схеме N6.
Как учить считать? (методы, формы, средства)
Поэтапно
·1,2,3 этапы (найдите на ОС №6).
Виды упражнений в счёте должны быть разнообразными и многочисленными:
Достаточно много! Разнообразие!
Выполнение этих условий необходимо для того, чтобы:
1) формировать навык счёта как элементарной математической операции;
2) подготовить сознание детей к обобщению, что n є No есть единственная общая характеристика класса любых конечных равномощных множеств.
Обучение счёту ведётся не только в подготовительный, дочисловой период, но и при изучении нумерации в каждом из последующих концентров.

4. Методика обучения сравнению множеств по их численности

Зачем учить сравнивать множества по их численности?
C помощью упражнений в сравнении множеств решаются следующие учебные задачи:
1) ведется подготовка к введению понятия n є No;
2) раскрывается конкретный смысл математических отношений “равно”, “больше”, “меньше”, устанавливаются их свойства и взаимосвязь (слова “поровну”, “ столько же”, “одинаковое количество”, “больше”, “меньше”);
3)формируется навык счёта;
4)ведётся обучение простейшим ПМД для утверждений вида: “яблок столько же, сколько груш, потому что ”; 3=3; “4>3”; 3<4, потому что
Чему? Что значит “сравнить множества по их численности”?попытаться установить взаимнооднозначное соответствие между элементами этих множеств.
Работа по схеме N5.
Как? Достаточно много. Разнообразные. Особенности выполнения упражнений:
1) практическая деятельность по непосредственному образованию пар из элементов заданных множеств;
2) счёт количества элементов в любом из множеств;
3) вывод об отношении между числами, то есть обучение употреблению слов: «равно», «больше, меньше», тем самым каждый раз осуществляется перевод конкретной ситуации на математический язык (продолжаем учить играть со словами: какие слова употреблять в том или другом случае, из одних истинных утверждений получать другие истинные утверждения).
Обучение такому переводу осуществляется поэтапно:
1) сообщение учителем новых математических терминов: “столько же”, “одинаково”, “меньше”, “больше”;
2) репродуктивная деятельность учащихся по образцу, заданному учителем:
“Груш столько же, сколько яблок, потому что все груши и все яблоки можно соединить в пары”.
“Груш больше, чем яблок, потому что если на каждую грушу положить одно яблоко, то останутся лишние груши( без пары). Если груш больше, чем яблок, то, значит, яблок меньше, чем груш”.
Это и есть ПМД (предматематические доказательства).
Отношения “больше на
·”, “меньше на
·” уточняют количественные соотношения между множествами, числом их элементов.
3) объяснения своевременно (?) сворачиваются, формируется внутренний план действий по сравнению множеств, понятия “меньше” и “больше” (на
·) формируются на уровне понимания их содержания и умения применять.
4) полученные знания совершенствуются и расширяются при изучении чисел в каждом последующем концентре, при решении текстовых арифметических задач.

5. Деятельносный подход к формированию умственных и логических действий

Для формирования умственных и логических действий в учебном пособии М 1(часть 1) предлагаются специальные обучающие игры.
Например, “Фигуры дружат”, “Логическое дерево”, игры с обручами.
Сочетать со счетом! Не препятствуя достижению главной цели игры!
Многофункциональность каждого задания.
Любое задание, а не только специальные обучающие игры, имеют потенциальные возможности для развития мышления детей. Задача учителя умело и разумно использовать эти возможности, организуя учебную деятельность учащихся по схеме: рука – язык – голова.

6.Подготовка к письму цифр

Содержание подготовки:
а) укрепление мелких мышц пальцев рук;
б) умение видеть клетку, её элементы, ориентироваться в клетке;
в) прописывание элементов некоторых цифр;
г) выработка правильной осанки при письме.
(см. статью «Пiсьмо лiчбау» // Пачатковая школа. – 1998. - №4.)


7. Особенности организации обучения в подготовительный период

1. Структура урока. (3 части примерно по 10 мин.)
КОЛЛЕКТИВНАЯ РАБОТА С КЛАССОМ.
Предлагаются задания зоны актуального развития детей, которые готовят их к открытию новых знаний.
ФИЗПАУЗА.
2) Выполнение заданий зоны открытий (под руководством учителя)
Работа по учебному пособию или с другими дидактическими материалами.
ФИЗПАУЗА.
3) Выполнение заданий зоны ближайшего развития. Письменные упражнения.
ИТОГИ УРОКА.
2. Организация работы детей:
практические упражнения с использованием разнообразного дидактического материала;
коллективная работа, как правило, сочетается с аналогичной индивидуальной;
своевременная смена видов деятельности детей;
широкое использование игр, игровых ситуаций, занимательных упражнений, разнообразных средств наглядности;
более свободное поведение детей.



Общие вопросы методики изучения нумерации
целых неотрицательных чисел

План:
1.Нумерационные понятия.
2.Цель и задачи изучения чисел.
3.Особенности традиционной системы изучения чисел.
4.Технология изучения нумерации.
5.Виды упражнений по основным направлениям работы.
6.Систематизация знаний по нумерации.
7.Ошибки учащихся и их предупреждение.

Литература: [1], п.9


1. Нумерационные понятия

1) Нумерация (счисление) - совокупность приёмов устного наименования и письменного обозначения чисел.
Следовательно, различают устную и письменную нумерацию.
Т.е. обучение нумерации - это обучение чтению и записи чисел.
В методике это понятие наполняют более широким содержанием и потому точнее говорить вместо "изучение нумерации"- "изучение чисел".
2) Натуральное число - класс конечных равномощных множеств (теория множеств).
3) Цифра - знак для обозначения чисел на письме.
Число 1 и цифра 1 - разные понятия.
Например, увеличьте число 1 в 3 раза; а теперь увеличьте цифру 1 в 3 раза.
4) Принцип образования натуральных чисел (n±1): Если к натуральному числу прибавить, или в форме: "Чтобы получить следующее натуральное число, надо"
5) Разрядная единица - единица счёта, которая может быть:
а) простой единицей - яблоко, счётная палочка, точка, число 1 и т.п.
б) группой единиц предшествующего разряда.
Постоянное число единиц, образующих единицу следующего разряда, называют основанием системы счисления.
1ед. 10с.=1тыс.
10ед.=1д. 10тыс.=1д. тыс. Продолжите!
10дес.=1с. 10д. тыс.=1с. тыс.
6) Разряд - место, занимаемое цифрой в записи числа.
7) Принцип поразрядного счёта - счёт (большой совокупности предметов) группами, разрядными единицами.
Например, денежные купюры в пачке.
8) Десятичный состав числа
а) состав однозначного числа, двузначного и любого другого:


5 10 12 3 136
/ \ / \ / \ / | \ / \
3 2 7 3 5 7 1 1 1 72 64
б) представление заданного числа в виде суммы разрядных слагаемых связано с выделением его десятичного состава:
12 106 136
/ \ / \ / | \
10 2 100 6 100 30 6
Моделируется с помощью карточек вида: [100], [30], [6].
9) Принцип поместного значения цифр - один и тот же знак (цифра) обозначает одно и то же количество единиц различных разрядов в зависимости от того, на каком месте (позиции) в записи числа стоит этот знак (цифра).
10) Класс - объединение трёх последовательных разрядов, начиная с разряда единиц.
11) Принцип ПОР - принцип поклассового объединения разрядов.





Подпишите каждый из обозначенных на рисунке классов.
12) Сравнение чисел - установление отношений "равно",
"больше", "меньше".
Способы сравнения чисел:

- на основе сравнения множеств;
- по месту в N : 3<4, a 4>3, потому что
- по составу числа: 4>3, т.к. 4=3+1;
- по десятичному составу числа
37>32, 37>23, потому что
- по количеству цифр
**<***, 7**<8**, потому что
13) Свойства N - бесконечность, дискретность, упорядоченность.
Числовой луч, лента чисел, масштабная линейка - это модели множества целых неотрицательных чисел.
Число 10 в сотой степени - гугол (американский математик и педагог Кастнер) - граница исчисляемого мира, т.к. во всей Вселенной нет ничего больше, чем гугол.
Например, объём земного шара не превышает 10 в тридцатой степени миллиметров кубических.
Отношение размеров Вселенной и атомного ядра всего лишь примерно 10 в сороковой степени.

2. Цель и задачи изучения чисел

Цель - усвоение нумерационных понятий, способов чтения и записи чисел, т.е. овладевание языком математики.
Задачи: 1-13, а также:
- знакомство с источниками получения натуральных чисел, а значит с различными функциями натурального числа;
- формирование навыка счета по одному и разрядными единицами.

3. Особенности традиционной системы изучения чисел

1. Понятие числа формируется на теоретико-множественной основе (Неявно: понятия "множество", "взаимно-однозначное отображение", "эквивалентность", "равномощность". Используются только на практическом уровне.)
2. Изучение чисел строится по принципу концентричности.
Какие концентры? Возможны ли другие? Почему концентры связаны именно с числом 10?
Это означает:
- перенос уже имеющихся знаний в новую, более широкую область чисел, а значит углубление и обобщение знаний;
- расширение имеющихся знаний (введение принципиально новых знаний).
Как это отражено в ОС №12 "Изучение нумерации"?
Почему одни лучи пронизывают все концентры, а другие нет?
- систематизация знаний.
Что концентризм даёт?
- доступность;
- возрастающую самостоятельность учащихся в переносе знаний, в "открытиях нового";
- развитие интуиции и мышления (побуждаются к сравнениям, проведению аналогий, к высказыванию догадок, к обобщениям).
3. Устная нумерация в каждом концентре опережает письменную, т.е. сначала учим называть числа, а потом писать их.
Что это даёт?
- опережение готовит к усвоению устной нумерации в новом концентре;
- анализ освоенных имён-числительных помогает раскрыть принцип образования новых чисел, их десятичный состав (Например, 11, 12; 21, 22; 101, 121 и т.д.) - забегание вперёд создаёт условия для формирования представления о бесконечности N.
4. Изучение нумерации связывается с изучением некоторых величин и их измерением, с установлением соотношений между различными единицами их измерения.
Например, таблица мер длины и массы.
1см, 1дм, 1м, 1км - модели разрядных единиц.
Преобразование значений величины и их сравнение расширяет представление о функциях числа.
5. В каждом концентре над новыми числами сначала выполняют арифметические действия, основанные на знании нумерации:
а) принципа образования натурального ряда чисел;
б) десятичного состава чисел.
Например: 5+1; 99+1; 100-1, 238+1 и т.д.
10+6, 16-10, 16-6;
100+20+6, 126-100, 126-20, 126-6, 126+1
120:10 и т.д.
Сколько дней продолжается жизнь человека?
365·100=36500(дн.) Менее!
А сколько это часов?
24·36500=876000(часов)
Чем отличаются друг от друга эти вычисления?
6. Закрепление и совершенствование знаний по нумерации происходит в ходе изучения арифметических действий.
Например, _1009
875
4. Технология изучения нумерации

1. Использование различных моделей нумерационных понятий.
2. Разнообразие предлагаемых упражнений.
Зачем? Как разнообразить задания, имеющие одну и ту же дидактическую функцию? (Рассматривать изучаемые понятия с разных сторон и позиций)
3. Систематизация постоянно пополняющихся знаний (повторение ранее изученного, сопоставление нового с известным, выявление общих закономерностей, принципов; всесторонняя характеристика числа).
Таблица "Схема разбора многозначного числа".
4. Связь с жизнью
- использование познавательного материала, связанного с воспитанием личности (по экологическим проблемам, этики поведения (например, ремонт 1 км автомобильной дороги обходится примерно в 600 миллионов рублей), патриотизма и т.п.);
- использование занимательного материала для чисел-великанов
(1 миллион миллиметров - это1км)
5. В изучении нумерации в каждом концентре выделяется определённая последовательность этапов:
1. Подготовительная работа.
2. Ознакомление с новым материалом.
3. Закрепление знаний и умений по всем нумерационным вопросам (направлениям изучения).
4. Систематизация знаний по нумерации.
1. Как определить содержание подготовительной работы?
(анализ новых знаний и подбор соответствующих упражнений)
Например, к изучению нумерации в концентре "Десяток"- дочисловая подготовка. Для определения её содержания мы анализировали понятие "число".
Что включить в подготовку к изучению концентра "Сотня"?
2. Изучение нового материала:
а) формирование представления о новой счётной единице (10, 100, 1000, 10000, 100000):
- способ получения 9+1, 99+1, 999+1, ;
- конкретизация (моделирование, создание реальных образов, опора на жизненный опыт (км., т., ц.);
- сопоставление и выявление общности принципа образования разрядных единиц (основание - число 10); систематизация знаний-ППС
- счёт новыми единицами;
- выполнение арифметических действий над новыми счётными единицами: 7д.- 3д., 4д.· 6, 75т.
· 3
б) рассмотрение способа образования произвольных чисел из новой области, выяснение их десятичного состава и обучение чтению;
в) одновременная работа над усвоением натуральной последовательности;
г) обучение записи чисел.
Например, в теме "Трёхзначные числа".
3. Достаточно много! Разнообразие!
Индивидуализация и дифференциация.

5. Виды упражнений

по основным направлениям работы
( см. "Лабораторный практикум", с. 70-71)


6. Систематизация знаний по нумерации

Систематизация - это организация знаний о числах в единое целое, в систему.
Поработайте по демонстрационной таблице
"Схема разбора многозначного числа".
Систематизация осуществляется всякий раз, когда внимание детей обращается на общность принципов нумерации целых неотрицательных чисел.
7. Ошибки учащихся

а) в записи чисел (особенно с нулями)
18ед.2кл.14ед.1кл. записывают 1814 или 1800014
1д.2ед.=30
1д.9ед.=20
2д=12

б) в вычислениях
30-1=20 370+10=470
700000+50000=12000 190-9=110
63
·9=4
36
·9=9 30+6=39 (6-акробатка)

в) в преобразованиях значений величин
1дмІ 4смІ=14смІ
1час 15мин =115мин

Причины:
1. Непрочное усвоение разрядного состава числа, т.е. ученик не представляет себе структуру числа.
Профилактика: моделирование разрядных слагаемых.
2. Нетвёрдое усвоение того, что количество цифр в записи числа определяется местом (названием) его высшего разряда.
Профилактика: работа в таблице разрядов и классов, со счётами.







ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Арифметические задачи в НКМ

ПЛАН
Задача и её структура.
Способы решения арифметических задач.
Роль и место текстовых задач в НКМ.
Система задач, представленных в НКМ.


Литература дополнительная: ТОНКМ, § 4
1. Истомина Н. Б. МПМ в начальных классах, гл.4, № 4.1
2. Матвеева Н.А. Различные арифметические способы решения задач// НШ. - 2001. - № 3 (приёмы обучения поиску разных способов).

1. Задача и ее структура

Задача (в широком смысле) – это особая форма познания действительности. Задача – это требование найти некоторый результат, когда пути и действия по его нахождению явно не указываются, но в тексте задачи имеется для этого необходимая специфическая информация.
“ Проблема” (греч.)- “задача”, “задание”.
Где мы сталкиваемся с задачами?
“Арифметика” (греч) – “число.


З А Д А Ч А




Неарифметическая Арифметическая


Для класса арифметических задач характеристическим свойством является тот факт, что ответ на вопросы задачи может быть получен при помощи арифметических действий (без привлечения каких – либо иных знаний ).


А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К И Е З А Д А Ч И
ДЕЛЯТСЯ НА:



Простые Составные
п = 1 п
· 2





Условие (У)
Задача
Вопрос (В)


Например: I -- 3
II ---? на 4 меньше.

Что записано кратко: условие или задача? Закончите предложение:
“Прочитайте.” (условие или задач).

2.Способы решения арифметических задач

Решить арифметическую задачу – это значит:
1) установить связи между данными, между данными и искомым;
2) осуществить на этой основе выбор плана (в т. ч. и арифметического действия);
3) выполнить намеченный план (арифметическое действие);
4) дать ответ на вопрос задачи.

У Математическая Выполнение Ответ Семантическая
В модель арифм. действий (число) трактовка
(числовое выражение) ответа


Р Е Ш Е Н И Е
Т. о., решение задачи - это перевод сюжетного текста на математический язык и обратный перевод с языка математики на свой родной язык.
Трудно ли учить решать задачи?
Путь, который мы проходим от условия задачи (с ориентированием на её вопрос) к ответу на этот вопрос, т. е. решение задачи, непременно связано с мышлением, которое может осуществляться на различных уровнях и в различных формах. Недаром арифметические задачи называют мощным средством развития мышления.

ведущий тип
мышления
наглядно-образное,
наглядно-схематическое
словесно-логическое,
абстрактное

уровень познания
чувственное:
ощущения, восприятие, представление
рациональное:
понятия, суждения, умозаключения

виды моделей
предметы, их изобра –
жение, условные заме-
нители реальных объ-
ектов
числа, переменные, отношения между
ними

способы решения арифметических задач
практический, геомет-
рический (графический)
арифметический, алгебраический


От чего зависит выбор способа решения?

2. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1. Практический: полная предметная наглядность, манипулирование
предметами (операции над множествами), ответ находится
путём счёта.
2. Геометрический (графический): геометрическая модель действия (построения) на чертеже, ответ находится путём измерения или счёта.
3. Арифметический: частичная предметная наглядность или чертёж, полное отсутствие наглядности, ответ находится вычислением.
4.Алгебраический: составляется и решается уравнение, ответ нахо-дится путём вычислений.
5. Подбора (проб универсальный, но, как правило, нерациональный:
отсутствие модели; ответ находится вычислением.
Геометрический (графический) способ близок к практическому, но использует наглядность более абстрактного характера. В начальном обучении преимущественно преобладают практический и арифметический способы решения арифметических задач. Причём обучение решению задач строится так, что постепенно и своевременно переходят от практического к арифметическому:


П Р А К Т ИЧ Е С К И Й А Р И Ф М Е Т И Ч Е С К И Й

возвращаемся назад
в случае затруднений, для контроля понимания,
для обоснования правильности решения


Полная Частичная Отсутствие
предметная предметная предметной
наглядность наглядность наглядности


возвращаемся назад
в случае затруднений, для самоконтроля и
контроля, для проверки задачи
Т. о. каждую арифметическую задачу можно решить 4 – 5 разными способами. Способ решения определяется выбором модели для данной задачи, от чего существенно зависит способ нахождения ответа.
Два арифметических способа решения считаются разными, если они отличаются планом решения:
числом арифметических действий;
хотя бы одним действием;
Например: 1) (3 + 4) · 2= 14; Составьте задачу про книги
2) 3 · 2 + 4 · 2=14; на двух полках по выражению:
3) 3 · 2 = 6; (3+4)·2
4 · 2 = 8; Среди указанных четырех способов
6 · 8 = 14; ее решения найдите разные и одинаковые.
4) 3+ 4 = 7
7 · 2 = 14

3. Роль и место текстовых задач в НКМ

Нужны ли задачи в НКМ?
Обучение решению арифметических задач является неотъемлемой составной частью обучения математике. Учить математике – это значит учить думать, говорить, переводить самые разные реальные ситуации на математический язык, чтобы познавать реальность собственно математическими методами. Текстовые задачи выступают в роли заменителя, т. е. модели многообразия существующих в окружающем мире связей, закономерностей, отношений. В то же время обучение математике ведется через систему задач.
Роль арифметических задач: с одной стороны - подсобная, вспомогательная, а с другой - самостоятельная, т.е. задача одновременно является и средством обучения и содержанием обучения.

Средство
Задача
Содержание


Задача выступает в качестве средства:
связи обучения с жизнью;
наглядности при ознакомлении с понятиями, отношениями, законами;
закрепления теоретических знаний;
формирования вычислительных навыков;
развития мышления;
воспитания.
Следовательно, задачи выполняют мировоззренческую, дидактическую, развивающую, воспитывающую функции.

4. Система задач, представленных в НКМ

Какие арифметические задачи включать в НКМ?
Как их распределять?
Отбор арифметических задач и система их расположения в НКМ подчинены:
логике развёртывания вводимых в начальных классах математических знаний;
собственной логике ( от простых задач к составным ; от одного
типа к другому; сравнение задач разных типов и др.)
В методике принято классифицировать арифметические задачи не только на простые и составные, т. е. по количеству выполняемых при решении действий, но и по другим признакам.
Множество простых задач можно разбить на 4 класса по способу их решения, т.е. по арифметическому действию, которым можно найти ответ на вопрос задачи: на сложение, вычитание, умножение, деление.
Но составим, например, задачи по выражению 4 + 3.
Что в них общего?
- Чем они отличаются?
(Разные теоретические основания для выбора арифметического действия, т.е. разные математические понятия (“ вместе”,“сумма”, “ на больше” в прямой и в косвенной форме, “ уменьшаемое”) или зависимости (как найти уменьшаемое).
Очевидно, что все эти теоретические знания младшие школьники приобретают не сразу в полном объёме, а постепенно, порционно. И каждая такая порция знаний моделируется с помощью текстовых задач.
Составьте теперь задачи с вопросом: “Сколько вместе?”
Чем они отличаются?
Чем они похожи?
Какой из названных признаков является существенным с точки зрения математики? Обучения математике?
(Одинаковая зависимость между данными и искомым.)
По данному основанию можно провести классификацию не только множества всех простых арифметических задач, но и многих составных задач. Такую классификацию называют методической, потому что она имеет непосредственную практическую значимость для учителя – методика работы с задачами каждого класса имеет свою специфику, которую учителю нужно знать и учитывать в процессе обучения младших школьников.
По ОС № 7 назовите типы простых задач, составных задач.
Современная технология обучения решению задач не предполагает заучивание и узнавание учащимися типов задач, т.к. это может привести к формализму знаний.






















Обучение общим приёмам работы над задачей

План

1. Особенности современного подхода к обучению решению задач.
2. Общие и операционные цели обучения решению текстовых задач.
3. Использование метода моделирования в обучении решению задач
4. Методы и приёмы:
-осмысления содержания задачи;
-поиска плана её решения.
5. Формы записи решения арифметических задач.
6. Способы проверки арифметических задач.
7. Виды творческих заданий к решенной задаче.

Литература:
Артёмов А.К. Формирование обобщенных умений решать задачи//НШ.-1992.-№2.
Мядзведская В.М. Тэхналогія фарміравання агульных умення работы над задачай//ПШ.-2002.-№4.
Медведская В.М. Активизация деятельности учащихся в процессе обучения их решению арифметических задач.- Сб.: Активизация познавательной деятельности младших школьников.- Мн.,1987.


1. Особенности современного подхода

В методической литературе принято выделять два основных вида умения решать задачи:
- общее умение решать любые задачи;
- частное умение, т.е. умение решать задачи определённого вида, определённой математической структуры.
Как строить обучение решению задач:
1) от общего к частному
или
2) от частного к общему?
С 70-х годов ХХ века предпочтение отдаётся первому.







Современная технология обучения решению задач:


Накопление опыта решения разнообразных задач как с осознанием процесса и способа их решения, так и на интуитивной основе.







Выработка умения решать все предусмотренные программой типы простых задач(частное умение), а затем и составных.


Эта технология реализована, например, в учебниках А.А.Столяра.
Существует ли в практике начального обучения другие технологии?


2. Общие и операционные цели обучения решению текстовых задач

В соответствии с образовательным стандартом и программными требованиями перед учителем стоит цель – научить решать арифметические задачи:



сформировать умение рационально использовать общие приёмы работы над любой задачей, т.е. обучать мыслительной деятельности, осуществляемой в процессе решения задач








научить решать задачи определенных программой (стандартами, учебником) типов
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 Для достижения этой цели необходима определённая подготовительная работа:
- познакомить с понятием “задача”;
- раскрыть её структуру;
- раскрыть смысл арифметических действий и математических отношений;
- познакомить с величинами;
- раскрыть зависимости между величинами;
- научить выполнять арифметические действия.
Эту нагрузку выполняют простые задачи.
По ОС №8,9,10,11 конкретизируйте цели подготовительной работы для любого типа задач.
Сформулируйте цель работы на втором, на третьем этапах.
Какие требования предъявляются к первым типовым задачам?
Обучение общим приёмам работы над задачей связано с формированием специфических умений, которыми необходимо овладеть, чтобы успешно пройти путь от условия задачи к ответу на её вопрос, т.е. с реализацией комплекса операционных целей: научить читать и слушать задачу; моделировать задачу; и так далее, контролировать свою деятельность.
Работа над любой задачей всегда ведётся по чётко очерченному плану.

План работы над задачей
1. Восприятие и осмысление содержания задачи.
2. Поиск и составление плана решения.
3. Выполнение намеченного плана(решение) и получение ответа на вопрос задачи.
4. Проверка правильности решения.
5. Творческая работа над решённой задачей.
На каждом из этих этапов исользуются свои методы и приёмы работы. Операционные цели соответствуют этим методам и приёмам и определяют содержание и технологию обучения решению задач на конкретном уроке. Например, в зависимости от поставленной учителем цели задачу на данном уроке можно не решать, а только, допустим, провести анализ ее текста или построить к ней чертеж, или построить другую модель, или составить план решения и др.
Соответственно формулировку цели урока «решение задач» следует считать некорректной, так как средство обучения, развития, воспитания равно как и содержание обучения, не может быть целью.





3. Использование метода моделирования в обучении решению задач

"Моделирование" от слова "модель". Модель - любой образ, заместитель, заменитель изучаемого объекта, его аналог, сохраняющий некоторые признаки сходства с оригиналом.
Моделирование (в широком смысле) - один из основных категорий теории познания: на идее изучения моделей различного рода (знаковые, абстрактные, предметные) базируются научные и экспериментальные исследования.
В узком смысле (применительно к школе) моделирование - метод обучения, т.к. это один из возможных и весьма продуктивных способов организации взаимодействия учителя и учащихся.

Сущность моделирования:


замена
Объект познания Модель Текст задачи Модель
перенос выводов
изучение

Использование моделирования в качестве метода обучения органически взаимосвязано с формированием соответствующего метода познавательной деятельности.


Моделирование




метод познания метод обучения

Модель может выступать заменителем оригинала на 4-х уровнях:
1) элементов; 2) структур; 3) функций; 4) результатов.
При изучении абстрактных математических объектов (понятий, отношений, чисел, т.д.) в качестве моделей могут использоваться:
- реальные предметы;
- их изображения (рисунок, макет, муляж, игрушки и пр.);
- условные заменители реальных объектов (круги, квадраты, палочки и др.);
- графическое представление математической ситуации (чертеж, схема).
Использование метода моделирования предполагает решение учителем следующих методических задач:
- подбор или конструирование моделей;
- выбор наиболее оптимальной модели для конкретной учебной ситуации;
- организация познавательной деятельности детей: экспериментальное исследование модели и перенос полученных знаний на оригинал.


Значение моделирования:
1) удовлетворяет потребность в наглядности, связанную с чувственным, опытно-практическим происхождением научных знаний, а также особенностями мышления младшего школьника;
2) позволяет включить, подтолкнуть, направить механизм мышления;
3) управляет процессом познания;
4) приводит к научным открытиям.

Моделирование при обучении решению задач призвано:
1) оказать ученику помощь в представлении себе той жизненной ситуации, которая описана в тексте задачи, в уяснении отношений между описанными в тексте величинами, функциональных зависимостей между данными задачи, между данными и искомым;
2) на этой основе обеспечить осознанный выбор способа решения, нужного арифметического действия, а значит предупредить возможность появления ошибок;
3) обеспечить дифференциацию обучения;
4) найти новые способы решения задачи;
5) обеспечить самоконтроль;
6) развивать мыслительную деятельность: использовать готовые модели как средство добывания новых знаний и создавать самостоятельно свои модели, соответствующие задаче и личным потребностям.

Примеры моделей текстов задач

1. Иллюстрация на наборном полотне – предметное моделирование.
2. Схематический рисунок (Выполните такой рисунок для следующей задачи: «У Коли 7 марок, а у Саши на 3 марки меньше. Сколько марок у Саши?»).
3. Краткая запись задачи (Запишите эту же задачу кратко).
4. Чертеж (Постройте для данной задачи).
5. Знаковая, математическая модель (В нашем примере – это числовое выражение 7-3).
Рассмотрим другую задачу: «Когда от куска отрезали 5м ситца, то в нем осталось 20м. Сколько метров ситца было в куске?»
Какую ошибку могут допустить учащиеся? (20-5=15(м)).
Предупредить ее появление позволит графическая модель:


20 м 5 м





Знаковой, математической моделью этой задачи является: числовое выражение 20+5, а также уравнение Х-5=20.
Нужно ли учить детей моделировать тексты задач, т.е. ставить на уроках соответствующие операционные цели?

Как учить краткой записи
- Сначала для простых задач, а потом для составных.
- Краткая запись выполняется учителем на доске при активном участии класса.
- Заполнение пропусков в готовой схеме краткой записи.
- Составление задач по их краткой записи.
- Самостоятельное выполнение краткой записи в аналогичных задачах.
- Самостоятельное конструирование краткой записи для незнакомых задач.
Формы: таблица; без таблицы, но обязательно по строкам (или столбиком); чертеж (не только для задач на движение).
По краткой записи задачу надо обязательно повторить! Почему?
А. Включить взаимодействие мыслительных операций, анализ – синтез,
Б. Проверить правильность записи и понимания задачи.
Повторение может быть полным (своими словами) текстом задачи или по вопросам: «Что говорится о? Что показывает ? Что требуется узнать?» и т.п.
В обучении решению задач метод моделирования используется не только на этапе восприятия и осмысления содержания задачи (предметные, условные, схематические, графические модели) или этапе выполнения решения (знаковая модель), но и на этапе поиска плана решения. В качестве модели здесь используется граф-схемы аналитического или синтетического разбора задач, в которых каждый шаг соответствующего рассуждения получает наглядное представление.
4. Методы и приёмы
Какие общие умения необходимы на каждом этапе работы над задачей? Как управлять их формированием?
I. Восприятие и осмысление
Цель: воспринять и понять содержание задачи
Восприятие: на слух (прослушать) или зрительно (чтение).
Итак, прежде всего надо учить слушать и читать задачу.
Как учить слушать задачу
На первых порах всегда дается установка на восприятие, которая является важным регулятором таких психических процессов, как внимание, восприятие, память, мышление.
- Прослушайте (прочитайте) задачу и приготовьтесь ее повторить - от ученика требуется внимание и простое воспроизведение.
-Прослушайте (прочитайте) задачу и приготовьтесь ответить, что в ней известно и что надо найти и назовите в ней главные (опорные) слова - от ученика требуется частичный анализ содержания задачи, дается толчок мысли для обнаружения описываемых в тексте функциональных связей.
- Прослушайте (прочитайте) задачу и подумайте, как ее лучше записать кратко (сделать чертеж, схематический рисунок или использовать другие виды моделей) - от ученика требуется не только концентрация внимания, напряжение памяти, но и аналитико-синтетическая работа мысли.
- Прослушайте задачу и скажите, можно ли сразу ответить на ее вопрос - по ходу прослушивания или самостоятельного прочтения задачи помимо всех предшествующих операций требуется еще выявление описанных в тексте функциональных связей между данными и искомым.
В этой системе установок каждая последующая опирается на навык восприятия задачи предшествующего уровня, в результате чего у учащихся постепенно складывается правильное отношение к работе над текстом задачи, которое характеризуется включением как памяти, так и мышления. Однако установка - это лишь отправной момент, начало движения мысли по пути поиска ответа на поставленный в задаче вопрос. На протяжении всего этого пути от ученика потребуется выполнение целого комплекса умственных действий. Их совокупность и образует интегрированное умение решать задачи.
Как известно, качество целого напрямую зависит от качества и взаимной согласованности составляющих его частей. Поэтому на подготовительном этапе всегда отрабатываются отдельные методы и приемы работы над задачей, а не вся их совокупность; формируются представления, понятия; обобщаются наблюдения и выводятся правила, соответствующие вполне определенному типу задач. Отбор этих частей целостного знания о задачах осуществляется с учетом места изучаемой темы в системе уроков математики и уровня предшествующей подготовки учащихся.
Учитель дает образец чтения: грамотно (словарь!); логические паузы и ударения на опорные слова и числовые данные, на слово «Сколько»; выразительно.
Учить внимательно относится ко всем элементам задачи – еще одна из операционных целей. Для ее достижения используются приемы:
1) задачи – шутки (береза - яблоки);
2) задачи с недостающими данными;
3) задачи с избытком данных;
4) запись некоторых числовых данных не цифрами, а словами и, наоборот, неиспользуемые в решении данные – цифрами;
5) сравнение в чем-то сходных задач

I – 7 км I – 7 км I – 7 км I – 7 км
II – 4 км II - ? на 4 км больше II - ? в 4 раза больше II – 4 км


прямая форма 13 EMBED Equation.3 1415косвенная форма
Осмысление, т.е. понимание задачи:
о чем в тексте идет речь; что конкретно говорится о ; что известно и что надо найти; как связаны между собой искомое и данные; можно ли сразу ответить на вопрос задачи.
Комплекс приемов первичного анализа задачи зафиксирован в памятке «Как решать задачу» и в дидактическом средстве «Гармошка».
II. Поиск плана решения
Цель: дать ответ на вопрос «Как решить задачу?»
Для простых задач сводится к выбору арифметического действия:
Какое число надо найти: большее или меньшее? Какое действие надо выполнить, чтобы ответить на вопрос задачи. Почему?
Для составных сводится к разбиению на простые задачи, установлению последовательности их решения.
Методы разбора задач
1) от условия к вопросу (синтез);
2) от вопроса к условию (анализ);
3) аналитико-синтетический.
Постройте схемы аналитического и синтетического разбора следующих задач.

Было – 8 корзин по 7 кг
Продали – 5 корзин Мука – 60 пакетов по ? кг
Осталось - ? кг Рис – 40 пакетов по 5 кг



Виды заданий по схемам разбора:
- объяснение по готовой схеме; опора;
- заполнение пропусков в готовой схеме; средство;
- составление задачи по готовой схеме; наглядность.
- построение схемы рассуждений, запись решения и др.

Приемы поиска решения
1. Переформулировка текста задачи (условия или вопроса) в форму, удобную для поиска решения.
2. Сведение новой задачи к задаче знакомого вида.
3. Поиск аналогичных задач.
4. Разбиение текста задачи на смысловые части.
5. Конкретизация (представления, моделирование).
6. Абстрагирование.
7. Уточнение некоторых терминов в тексте задачи.
Оптимальность выбора того или другого метода и приема (или их сочетания) определяется:
- особенностями самой задачи,
- уровнем подготовки учеников,
- планируемыми учителем дидактическими задачами урока
Но в процессе обучения обязательно надо использовать все многообразие приемов.
Почему?


5. Формы записи решения арифметических задач

III. Выполнение решения
Цель: зафиксировать ход решения, выполнить арифметические действия и дать ответ на вопрос задачи.

Решение Ответ
Устно Устно
Печатание Печатание
Запись: Запись
- по действиям (с наименованием Число с наименованием
и без наименования);
- по действиям с краткими
пояснениями; Краткий ответ
- по действиям с вопросами;
- по действиям с планом решения; Полный ответ
-выражением.

Выбор формы записи решения регламентируется:
1) уровнем навыков письма;
2) дидактическими задачами урока.

6.Способы проверки арифметических задач

Цель: проверить правильность хода решения и результатов вычислений; воспитывать привычку самоконтроля, вооружить способами контроля.
Проверка позволяет не только убедиться в правильности решения, но и способствует более глубокому пониманию и осмыслению ее математического содержания, осознанию связей между величинами, представленными в задаче.
Способы проверки:
1.Повторное выполнение решения “Загляни под каждый кустик “ с обоснованием каждого его шага “Задача-цепь, а действия в ней-
звенья. Нельзя звену не придавать
значения”
2.Установление границ ответа “Где искать ключик”
(прикидка) “Что же ждет в конце пути”
3.Установление соответствий между “Подходит ли ключик?”
найденными в результате решения
числами и числами, данными в условии
задачи
4.Решение задачи другим способом и “Мы пойдем другим путем!”
сравнение полученных ответов
5.Составление и решение обратной “С ног на голову”
задачи и сравнение полученного числа
с данными исходной задачи


7. Виды творческих заданий к решенной задаче

Цели творческой работы с решенной задачей самые разнообразные:
1) обобщение способа решения задач;
2) усвоение зависимости между величинами;
3) формирование умения решать задачи определенного типа, определенной математической структуры;
4) совершенствование математических знаний;
5) развитие мышления, функционального мышления;
6) развитие творческого мышления;
7) пробуждение и привитие интереса к изучению математики.


Формы творческой работы:
1.Решение задачи другими способами.
2.Составление (решать необязательно) обратной задачи.
3.Составление аналогичной задачи (Решать?).
4.Преобразование задачи:
- изменение числовых данных, некоторых терминов в тексте и выяснение того, как внесенные изменения повлияют на ход решения, на ответ задачи (решать необязательно!);
- целенаправленное изменение вопроса задачи (решать необязательно!);
- расширение задачи путем введения дополнительны данных и условия, изменение вопроса (продолжить решение).
5.Исследование выполненного решения.































Формирование у младших школьников
общего подхода к решению задач


План

1. Методические ошибки и недочеты в работе учителя.
2. Система работы с памяткой «Как решать задачу».
3. Методика применения «Светофора».

Литература:
Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе – М., 1999, гл.4, 4.2

Дополнительная литература:
Мядведская В.Н. Тэхналогiя фармиравання у малодшых школьнiкау агульных уменняу рашаць задачы // ПШ. – 2002. - №4


1. Методические ошибки и недочеты в работе учителя

1. Решение задач на уроке рассматривается как самоцель (что находит отражение в формулировках целей урока, в организации работы учащихся).
Получили ответ на вопрос задачи и ура, конец! В результате:
а) мало внимания уделяется осмыслению хода выполненного решения («взгляд назад»);
б) редко проводится проверка задачи;
в) не используются возможности заданий творческого характера по решенной задаче;
г) отсутствует система в работе целенаправленного формирования общих умений решать задачи.
2. Не в достаточной степени используются возможности задач как средства совершенствования приобретенных математических знаний:
а) не уделяется должного внимания обоснованию выбора арифметических действий: на основе конкретных представлений (или даже восприятия) об арифметических действиях и математических отношениях; на основе взаимосвязи между отношениями «>», «<» или между арифметическими действиями; на основе определений или правил;
б) мало заданий предлагается на составление задач по различным признакам, т.е. обратному переводу с математического языка.

3. Несвоевременность перехода от практического к арифметическому способу решения:
а) излишне долгое использование полной наглядности;
б) форсирование перехода от конкретного к абстрактному (например: задачи на разностное сравнение, задачи на движение и др.).
Рекомендации учителю:
- Четкая целенаправленность работы (любая задача вносит свой вклад в образование, развитие, воспитание ученика);
- Требовать обоснования выбора арифметического действия в простых задачах на этапе первичного закрепления способа их решения;
- Учить рассуждать (громкоречевой этап);
- Учить контролировать решение;
- Практиковать заключительный анализ решенной задачи (особенно для новых или малознакомых);
- Шире предлагать различные виды творческих заданий;
- Специальное внимание уделять формированию умения работать над задачей в определенной последовательности;
- Специальное внимание уделять формированию общих умений работы над задачей (идея раздельного подхода к решению данной проблемы).

2. Система работы с памяткой «Как решать задачу»

Задача – это не загадка, ответ на которую нужно угадать, догадаться, разгадать.
«Задача на нахождение» - это «problema» (лат.) Процесс решения задачи, т.е. работа, проводимая при решении задачи, – это решение проблемы: сформулировать, проанализировать (что неизвестно? что дано? что есть что? что найти?) додуматься, как найти это неизвестное, осуществить намеченный план, соотнести полученный результат с условием и вопросом и др.
Главное место в этом процессе занимает мыслительная деятельность, а вычислительная – вспомогательное, сопутствующее, а вместе они приводят к результату – к ответу на вопрос задачи.
Значит, учить решать задачи – это означает учить (прежде всего) думать.
С самых первых шагов обучения следует разъяснить смысл требования «решить задачу» - подумать и объяснить, какие действия (и в каком порядке) надо выполнить над данными в условии числами, чтобы после вычислений найти число – ответ на вопрос задачи.
В самых общих чертах решение проблемы, т.е. задачи осуществляется по плану:

думай составь план осуществи намеченный план проверь сделай вывод

Это и есть общий подход к решению задач. Он находит отражение в плане работы над задачей: (этапы I – V).
Надо ли формировать у детей общий подход? Почему? Когда начинать? Как это осуществлять?
Памятка «Как решать задачу». Система работы с ней и проблемы ее использования (особенно в 1-м, 2-м классах).
(См. Бантова М.А. и др. «Методика преподавания математики в начальных классах. – М., 1984).

3. Методика применения «Светофора»

Светофор – последовательность цветовых сигналов (опор), каждый из которых соответствует отдельным шагам процесса работы над задачей.
Светофор – это средство наглядности, опора для памяти, средство управления формированием общего подхода к решению задач.
Работа с этим дидактическим средством ведется поэтапно.
I этап. Ознакомление со светофором
(создание ориентировочной системы умственного действия)
Цель: познакомить с сигналами светофора и их последовательностью.
закрепить в памяти детей язык сигналов: сигнал слово
С этой целью можно использовать следующие виды упражнений:
1) практическая работа с набором геометрических фигур
фигура слово
слово фигура

- Думаю

- Проверяю

- Можно идти дальше


И отдельно расшифровать смысл карточки

2) расположить все перечисленные сигналы по порядку, называя каждый из них.
II этап. Закрепление «языка» Светофора.
Цель: раскрыть содержание работы по каждому из сигналов светофора, т.е. каждого шага процесса решения.
Четко обозначая при этом начало и конец каждого шага: Думаю Подумал и знаю, что надо 2+3. Решаю. Пишу. Вычисляю. 5-это

III этап. Использование комплекса сигналов в целом (на одной карточке).
Цель: учить последовательности работы над задачей.
Обязательно проговаривать вслух соответствующие сигналам слова. Объяснять ход решения, пока у детей не будет сформировано правильное отношение к процессу решения задачи: а) не торопись, думай; б) не бойся трудностей, думай, используй разные приемы.
IV этап. Автоматизация умственного действия.
Цель: формирование общего подхода к решению задач
Карточка-светофор может использоваться, а может и не предлагаться классу.
Главное – тренировка в решении задач по плану. Объяснение может быть громкоречевым и внутриречевым.


Работа с опорой на
ориентировочную карточку

содержание карточки воспроизводится
во внешней речи

содержание карточки воспроизводится
внутренней речи

процесс автоматизации

по П.Я. Гальперину




















Обучение решению типовых задач

План
Основания для классификации текстовых задач по типам
Этапы обучения решению задач определенного типа
Содержание подготовительной работы к решению типовых задач
Особенности технологии ознакомления со способом решения задач нового типа
Методические приемы формирования умения решать задачи определенного типа
Типовые задачи с пропорциональными величинами

Литература дополнительная:
Бантова М.А. и др. Методика преподавания математики в начальных классах. – М.,1984.
Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.,1999,гл.4.
Кулебякина Л.Я. Работа над простой задачей на этапе поиска ее решения//Начальная школа. – 2002. - №10.
Матвеева Н.А. Использование схематического чертежа в моделировании простых текстовых задач//Начальная школа. – 2002. - №10
Медведская В.Н.,Гудалина Г.И. 1500 задач и примеров с объяснениями решений. – Мн.,2005.


1.Основания для классификации текстовых задач по типам

Распределение задач по классам (типам) на основании какого-либо общего признака имеет определенное значение для методической подготовки учителя:
1) знание специфических особенностей задач одного и того же типа и знание соответствующей ему методики являются методологическими, т.е. фундаментальными, общими, порождающими многообразие частных знаний как варианта общего знания;
2) дает экономию временных затрат на профессиональную подготовку учителя;
3) обеспечивает системность знаний (а не их хаотичность и разрозненность), оперативность и гибкость применения этих знаний в конкретных условиях.
Итак, цель изучения учителем классификации задач – систематизация знаний об эффективных методах обучения решению задач.
Нужно ли знать классификацию арифметических задач учителю? А ученику?
В методической науке традиционными являются следующие основания классификации задач:
1) количество действий для ответа на вопрос задачи (простые и составные: в 2-3-4 действия);
2) сюжет задачи (на движение, на совместную работу, на переливание и др.);
3) взаимосвязь между данными и искомыми задачи, т.е. математическая структура задачи
например,
а) задачи на нахождение суммы, остатка, на увеличение числа в несколько раз и другие типы простых задач;
б) для составных – задачи на нахождение неизвестного по сумме и кратному отношению, по сумме и разности, по двум разностям и др.;
4) способ решения (на простое тройное правило, на пропорциональное деление, на предположение, на разностное сравнение и др.)
Какие из перечисленных признаков являются внешними, несущественными?
Как видим, единого основания для классификации многообразия текстовых задач нет. Если бы это было возможно, то для решения любой арифметической задачи достаточно было бы знать классификацию, а значит и способы решения задач каждого отдельного типа:







Подобная попытка предпринята в учебных пособиях В.Д. Герасимова. В качестве внешних признаков различения задач по типам он использует графические схемы задач и их краткие записи. В частности, группы пропорционально зависимых величин (скорость, время, расстояние; урожайность, площадь, урожай; масса одного ящика, количество ящиков, общая масса и др.) обобщаются символами К1, К, ОК, где, например, К1 – стоимость одного предмета (ил цена); К – количество таких предметов; ОК – стоимость всех этих предметов.
Основная задача такого обучения – учить находить (прежде всего в памяти) соответствующую конкретной задаче «вывеску» (шаблон, штамп, т.е. название типа или другие заменяющие его модели – чертеж, схема, краткая запись) и взять под этой вывеской то, что нам нужно, в нашем случае – способ решения конкретной задачи.
Сопоставьте эту ситуацию с покупкой продуктов в гастрономе: хлеб берем в одном отделе, молоко – в другом и т.д.
На все случаи реальной жизни, которые могут стать прообразами текстовых задач, шаблонов нет и быть не может. Следовательно, обучение решению задач нельзя сводить только к обучению решению типовых задач. Результатом такого обучения станут формализм знаний и их закостенелость, беспомощность ребенка в нестандартной ситуации и другие негативные последствия.
Нужно ли вообще обучать решению типовых задач?
Вспомним сформулированную нами цель обучения решению задач:

сформировать научить решать задачи
общие умения определенных стандартами
и общий подход образования типов


Логически возможными представляются три модели обучения.


А.






Такой подход был реализован в учебниках до 90-х годов прошлого столетия. Например, в учебниках М.И.Моро.
Б.





Этого подхода придерживаются авторы белорусских учебников – Т.М.Чеботаревская, В.Л.Дрозд и др.
В. Рационально сочетание моделей А и Б, когда обучение решению типовых задач органично включается в систему работы по формированию общих умений и общего подхода к решению арифметических задач.
Какую из моделей А, Б, В выбрали бы вы? 2. Этапы обучения решению задач определенного типа

В работе над задачами каждого типа выделяется последовательность этапов:
I.Подготовительная работа
II.Ознакомление со способом решения
III.Формирование умения решать задачи данного типа
Проанализируйте с этой точки зрения ОС №8-11. Будет ли аналогично организовано обучение решению типовых составных задач? Например, задач на движение?

3. Содержание подготовительной работы к решению типовых задач

Решение задач одного типа основано на одних и тех же связях между данными и искомым. Такие задачи отличаются друг от друга только сюжетным содержанием и числовыми данными. Поэтому цель подготовительной работы – обеспечить условия для осознанного перевода на математический язык вполне определенных для данного типа задач связей между данными и искомыми.
Главная учебная задача этого этапа – понимание смысла математических понятий, отношений, закономерностей.
В разных типах задач описываются различные связи между искомым и данными, следовательно, содержание работы на подготовительном этапе принципиально зависит от типа задачи и существенно различается для задач разных типов.
Сравните содержание подготовительной работы в ОС №8-11.
Но при этом для каждого нового типа задач применяются одни и те же, общие для всех типовых задач, технологические приемы:
1) связь с жизненным опытом детей;
2) широкое использование методов демонстрации и практической работы учащихся для подлинного понимания смысла арифметических действий, отношений сравнения, конкретного смысла величин и т.п.
Например, в схемах №8,9,10; в задачах на движение – практическая деятельность с моделями скоростей в виде прямоугольников разного цвета.
3) обобщение частных наблюдений разнообразных конкретных фактов или явлений и их описание на математическом языке.
Например, стало меньше, значит, надо вычитать; «увеличить в
· раз - надо умножать»; «чтобы найти скорость, надо расстояние разделить на время».
4) отработка вычислительных умений и навыков.

Подготовительную работу можно считать завершенной, если учащиеся вполне осознанно и уверенно описывают соответствующие данному типу задач реальные ситуации на языке математики.
Таким образом, подготовительная работа включает:







4. Особенности технологии ознакомления со способом решения задач нового типа

Для любых типов задач работа на этапе ознакомления строится по одной и той же схеме:





На этом этапе должны соблюдаться следующие требования:
1. Тщательный подбор текстовой задачи для ознакомления со способом решения.
В первой задаче не должно быть ничего отвлекающего внимание детей от поставленной цели – «открыть». Следовательно, в ее тексте используются знакомый, соответствующий жизненному опыту детей сюжет и удобные для вычислений данные в условии.
2. Выполненное решение (тем более впервые!) должно быть проанализировано и осмысленно:
- Как решали?
- Почему сначала узнали , а потом ?
- Что помогло решить задачу? и т.п.
Это и есть «взгляд назад»
3. На этом же уроке проводится первичное закрепление нового способа решения – решаются еще 1-2 аналогичные задачи с полным объяснением.
4. Ограниченное применение творческой работы и даже некоторых способов проверки, если они не способствуют напрямую достижению поставленной на данный урок главной цели – «открыть» способ решения задач нового типа.
В схемах №8-11 найдите запись: «Осуществляется переход от практического способа решения к арифметическому».

5. Методические приемы формирования умения решать задачи определенного типа

На этапе формирования умения ставится цель: научить решать любую задачу данного типа, т.е. обобщить способ их решения.
Приемы, помогающие детям придти к обобщению:
1. Решение достаточного количества задач данного типа.
2. Включение задач данного типа в содержание уроков в перемежении с другими как типовыми, так и нетиповыми задачами.
3. Сравнение задач этого типа со сходными им в некоторых отношениях другими задачами.
4. Выполнение упражнений творческого характера
5. Решение задач с буквенными данными.
В схемах №8-11 прочитайте то, что относится к третьему этапу обучения решению типовых задач. Объясните, почему для разных типов задач требуется одно и то же.

6. Типовые задачи с пропорциональными величинами

Продолжите список пропорционально зависимых величин.






Для каждой группы взаимосвязанных величин конкретизируйте общие формулы:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Сформулируйте условия, при которых эти величины будут находиться в прямопорциональной зависимости, в обратнопропорциональной зависимости.
Задачи с пропорциональными величинами являются основным средством ознакомления учащихся с прямой и обратной пропорциональной зависимостью величин. В процессе их решения идет усвоение этих зависимостей. Поэтому в методике вопрос обучения младших школьников решению этих задач, рассматривается как специальный.
Задачи с пропорциональными величинами могут быть простыми и составными.





Например:
Ц К Ст. Ц К Ст.

200 3 ? I 200 3
одинаковая
? 3 600 II 300 ?

200 ? 600

Простые задачи с пропорционально зависимыми величинами являются тем учебным материалом, на котором организуется открытие и обобщение существующих между величинами связей: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415и т.п.
Поэтому такие задачи являются обязательным компонентом содержания подготовительной работы к решению состовных задач.
Из состовных задач с пропорциональными величинами в начальных классах рассматриваются следующие типы:
Задачи на нахождения четрертого пропорционального ( на простое тройное правило)
Задачи на пропорциональное деление
Задачи на нахождение неизвестного по двум разностям
Задачи на движение
Задачи на совместную работу
В начальной школе работа над задачами на движение и на совмастную работу имеет пропедевтический характер и будет продолжаться в средних классах.
Рассмотрим подробнее лишь три из названых пяти типов задач:
на нахождение четвертого пропорционального
Скорость Время Расстояние
I 3ч 12км
одинаковая
II 5ч ? км

Почему дано такое название типа?

на пропорциональное деление
Скорость Время Расстояние
I 3ч ? км
одинаковая 32 км
II 5ч ? км

Почему дано такое название типа?

на нахождение неизвестного по двум разностям
Скорость Время Расстояние
I 3ч ?км
одинаковая
II 5ч ? км на 8 км больше

Почему дано такое название типа?
Составьте аналогичные задачи с величинами цена, количество, стоимость; масса одного пакета, количество пакетов, общая масса. Требование «одинаковая» предъявляйте не только к величине К1. Назовите общие признаки задач данных типов.
Как из задачи на нахождение четвертого пропорционального можно получить задачи новых типов – на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям?
Общие признаки составных типовых задач с пропорциональными величинами:
говорится о трех взаимозависимых величинах;
одна из них по условию задачи принимает постоянное значение;
две другие величины являются переменными, связанными между собой так, что изменение одной из них влечет за собой соответсвующее изменение другой величины.
Эти признаки сходства наилучшим образом выявляются в краткой записи данных типов задач в форме прямоугольной таблицы. Употребляемые для обозначения ее столбцов термины, т.е. названия величин, облегчают поиск этих задач. Проводимые при этом рассуждения способствуют закреплению знаний о взаимосвязи рассматриваемых величин.
На этапах осмысления содержания задач с пропорциональными величинами и поиска плана их решения весьма полезным может оказаться и графическое моделирование.
Выполните построения отрезков, соотвествующих текстам приведенных выше примеров кратких записей задач.
Выполните для этих задач прикидку ответа. Назавите типы задач с пропорциональными величинами, для которых прикидка ответа позволяет выявить пропорциональную зависимость между переменными величинами.
Поиск плана решения любой задачи можно проводить методами анализа, синтеза, а также аналитико-синтетаческим методом.
К “открытию” учащимися способов решения задач на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям подводят и наводящие вопросы. В рассматриваемых нами задачах это вопросы:
- Что обозначает число 32 км? (расстояние, которое туристы прошли за два дня, т.е. за 3 ч да еще за 5ч.) Значит, что можно узнать сначала? Зачем нам нужно знать, за сколько часов туристы прошли 32 км? (Чтобы найти скорость).
- Почему во второй день туристы прошли на 8 км больше, чем в первый день? (Были в пути не 3 ч, а 5ч) за сколько часов они прошли “лишние” 8 км? (За 2 часа). Значит, что надо узнать сначала?
Реализация намеченого плана решения, т.е. запись решения этих задач выполняется по действиям с пояснениями или с вопросами, а для задач на нахождение четвертого пропорционального в виде числового выражения, что позволяет направить внимание учащихся на зависимость между величинами и на способ решения (без отвлечения на промежуточные вычисления).
Для задач с пропорциональными величинами применимы всевозможные способы проверки и формы творческой работы. Следует, однако, обязательно обратить внимание учащихся на возможность решения этих задач не одним, а двумя способами.
Для задач на нахождение четвертого пропорционального – это способ отношений, когда его допускает подбор числовых данных. Если в рассматриваемом нами примере задачи вместо 5ч было бы 6ч, то сначала можно узнать, во сколько раз больше времени туристы были в пути во второй день, чем в первый. А значит, и расстояние, которое они пройдут с той же скоростью, во второй день будет во столько же раз больше,чем в первый день.
В задачах на пропорциональное деление и на нахождение неизвестного по двум разностям заключительный шаг решения можно выполнить двумя способами: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415.
Из многообразия форм творческой работы над решенной задачей для задач с пропорционально зависимыми величинами наиболее продуктивными являются:
составление задач, аналогичных решенной, с теми же величинами;
составление задач, аналогичных решенной, но с другой группой величин;
составление задач по решению, по краткой записи, обратных;
преобразование решенной задачи в задачу другого типа;
решение задачи другим способом.





МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

Общие вопросы методики изучения арифметических действий


План
1. Цели и задачи изучения арифметических действий.
2. Особенности традиционной технологии изучения арифметических действий.
3. Нетрадиционные технологии изучения арифметических действий (конференция).
4. Сопоставление методик изучения арифметических действий в различных концентрах.


Литература - обязательная




1. Цели и задачи изучения арифметических действий

Надо ли изучать арифметические действия?
Каково содержание понятия «изучение арифметических действий»?
номенклатура (перечень);
смысл каждого арифметического действия (условия его применимости, перевод реальных ситуаций на математический язык);
знание вычислительных приёмов и умение их применять;
овладение вычислительными умениями и вычислительными навыками.
Цель – сформировать прочные навыки быстрых и правильных вычислений. В табличных случаях добиться автоматизма воспроизведения результатов.
Обучение представляет собой «перевод» созданных поколениями ЗУН в индивидуальные, собственные ЗУН.
Как можно осуществить этот « перевод», передачу общественных знаний ребёнку?
Логически возможными являются три подхода:
1. Делай, как я! (потребитель)

восприятие ( механическое ( применение
готовой запоминание
информации

2. Пойми меня и делай, как я! (наблюдатель)

восприятие ( осмысленное ( применение
готовой запоминание
информации

3. Ищи сам! (исследователь)

практическая деятельность
(
исследование процесса и результатов деятельности
(
открытие нового знания
(
применение
(
осознанное запоминание.

Каким путём предпочтёте идти?
Самым коротким? Самым длинным?
В массовой школьной практике через содержание НКМ ставятся и решаются следующие задачи изучения арифметических действий:
- раскрыть смысл арифметических действий;
- раскрыть связи, существующие между различными арифметическими действиями;
- познакомить с теми свойствами арифметических действий, которые являются теоретическими основами изучаемых приёмов устных и письменных вычислений;
- обеспечить сознательное усвоение вычислительных приёмов, сознательный выбор наиболее рациональных из них для каждой конкретной пары чисел.
При изучении арифметических действий различают изучение табличных случаев и изучение внетабличных случаев.






Результатом изучения арифметических действий должен стать
автоматизм воспроизведения

результатов для алгоритмов для
табличных случаев внетабличных случаев









Как можно решать поставленные задачи?
Возникновение математики как науки связано с житейской потребностью решения двух элементарных задач:
1) счёт; 2) измерение.
Они и определяют два принципиально различных подхода к трактовке понятия числа и арифметических действий над ними:
1) теоретико-множественный;
2) на основе измерения величин.


2. Особенности традиционной технологии изучения арифметических действий


1. Базируется на теории множеств, т.е. операции над множествами и свойства этих операций служат основой: а) для введения каждого из 4-х арифметических действий; б) для открытия тех законов и правил, которым они подчиняются; в) для вывода способов вычислений.
Конкретный смысл арифметических действий раскрывается через:
а) практические действия с предметными множествами;
б) решение простых задач соответствующих типов.
Например:

Было. Добавили. Стало больше ( (()
« да ещё»
Было. Взяли Стало меньше ( (()
«без»
По 2 взяли 5 раз ( 2 · 5
10 разделили по 2
на 2 равные части ( 10 : 2
Для усвоения этого «словаря» выполняются разнообразные виды упражнений.
Например;
раскрытию конкретного смысла умножения способствует выполнение заданий следующих видов:
1) счёт предметов группами;
2) решение примеров и задач на сложение одинаковых слагаемых;
3) составление задач по рисунку;
4) замена суммы произведением;
5) противопоставление: 6+9+69; 6+6+6 – 6;
6+6+26;
6) замена произведения суммой;
7) чтение примеров на умножение;
8) запись примеров под диктовку;
9) сравниваем примеров и простых задач на сложение и умножение.


3 + 2 3 2
Чем похожи примеры? Чем отличаются?
Чем отличаются рисунки?
Почему?
10) сравнение выражений 8 · 9*8 · 7
11) нахождение значения выражения, пользуясь решённым примером:
8·5=40
8·6=
Раскрытию смысла деления способствует решение простых задач на деление по содержанию и на равные части.
2. Традиционный подход предусматривает следующую последовательность изучения арифметических действий:
- сложение, вычитание, умножение, деление. Для каждого из них рассматривается один и тот же круг вопросов понятие (содержание и объём), термины, взаимосвязь арифметических действий, свойства, ряд вычислительных приёмов, формирование вычислительных умений и вычислительных навыков, способы арифметической проверки.








+ И -




·
·




Почему (+) и (-) одновременно, а (·) и (:) последовательно друг за другом?
3. Изучение арифметических действий строится по принципу концентричности, что позволяет
- эффективно осуществлять соответствующую подготовительную работу (повторение, применение имеющихся знаний в новой области чисел);
- с опорой на имеющиеся знания открывать новое, устанавливать взаимосвязи, обобщать, систематизировать.
4. По принципу органической связи арифметической теории и практики вычислений (см. опорные схемы 13-18).
5. К оперированию множествами своевременно подключается оперирование величинами.
Например :
- сложение и вычитание отрезков, длин отрезков и других величин;
- действия с именованными числами.
6. В каждом концентре сначала изучаются приёмы устных вычислений, а затем письменных.
Устные ( 23 4 = 92
Письменные ( Ч 23 456 4
4 114


7. Создаётся обширная тренировочная база, т.к. цель – автоматизм.





3. Нетрадиционные технологии изучения арифметических действий (конференция)


В нетрадиционных технологиях пересмотру и перестройке подвергаются почти все названные особенности.
1. Оперирование величинами (В.В.Давыдов)


2. - + В.В.Давыдов


: · В.Д. Герасимов, Н.С. Пиядин


3. В системе развивающего обучения нет чётко выраженной концентричности
6. От письменных к устным (В.В. Давыдов и В.Н.Рудницкая)
7. Мало однотипных тренировочных упражнений( А.А. Столяр, Э.И.Александрова и др.).
С.М. Лысенкова – технология перспективно - опережающего обучения.
У Герасимова, у Зайцева, у Моро чёткая ориентация на формирование полноценных вычислительных навыков.
Детальному обсуждению нетрадиционных технологий будет посвящена учебно – методическая конференция.


4. Сопоставление методик изучения арифметических действий в различных концентрах


В «Практикуме» В.Н. Медведской проанализируйте опорные схемы №13-18 и выделите в ни, общие признаки. Попытайтесь вербализировать полученные вами результаты анализа.








Методика ознакомления младших школьников
с вопросами арифметической теории


План


Вопросы арифметической теории в НКМ и их роль.
Уровни ознакомления младших школьников с вопросами арифметической теории.
Неполный индуктивный вывод и моделирование как основные в НШ методы «открытия» общих закономерностей.
Этапы работы по овладению младшими школьниками теоретическими знаниями.


Литература дополнительная:
Мядзведская В.М. Як вучыць малодшых школьнiкау даказваць. –БрГУ, 2000.


1. Вопросы арифметической теории в НКМ и их роль

С 70-ых годов наметилась тенденция построения начального курса математики по принципу ведущей роли теоретических знаний (по Занкову,
Давыдову, традиционная и др.) Осуществляется в определённой мере дедуктивный подход к изучению арифметических действий: от общего к частному, т.е. сначала рассматриваются общие теоретические основы, а затем их частные следствия- практическое применение для заданной пары чисел.







Различие форм геометрических фигур на схемах указывает не только на различие учебного материала (по характеру и назначению), но и на различие в методах изучения.
Вопросы арифметической теории: определения, законы арифметических действий, правила.
В начальной школе путём определения вводится только одно из арифметических действий - умножение; все другие - без определения (остенсивно);
Изучаются все основные законы арифметических действий и целый ряд правил. Какие?
Большинство законов формулируются в виде оперативных правил, т. е. в форме, удобной для практического оперирования теоретическими знаниями.

Законы (свойства) Оперативные правила
арифметических действий

а+в=в+а ОС №13, 14 Легче
При сложнении числа можно
(а+в)+с=а+(в+с) ОС №14,15 2 правила: легче ед. к ед;
дес. к дес.
ав = ва ОС №16 Легче
ОС №17 При умножении
(а+в) ·с=ас+вс ОС №17,18
а(в+с)=ав+ас
(а+в):с=а:с+в:с ОС №17,19

Правила:
а:(вс)=(а:в):с=(а:с):в
(а+в)-с=а+(в-с)=(а-с)+в и др.
Правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий; порядка выполнения действий.
Каждый из рассматриваемых вопросов арифметической теории в начальном обучении имеет не самостоятельное, а служебное значение: используется для сознательного усвоения приёмов вычислений, для рационализации вычислений, для проверки правильности вычислений, при решении текстовых задач.

Например:

а) 64:2 64:3

б) 51:17 =

в) Проверь: 96:6 = 16


г) Расход Количество Общий расход
на 1 пл. пл.


· закройщица 3м ? 15 м

· закройщица 3м ? 12м

От учащихся не следует требовать каких-либо отвлечённых формулировок свойств и правил. Их усвоение происходит в процессе применения.
Роль: вопросы арифметической теории дают обоснование используемых ВП и способов арифметической проверки.
Разрешают, подсказывают как можно вычислять, а не приказывают - нужно, надо только так и ни как иначе. Однако, обязательно нужно поступать только в соответствии с математическими законами.
На начальной ступени обучения вопросы арифметической теории применяются явно или неявно.







явно неявно

Неявно: не сообщается название (имя); не даётся формулировка, запись, но применяются на основе догадки, интуиции, предшествующего опыта и здравого смысла.
Например, в подготовительном классе так используется а+(в+с)=(а+в)+с
7+3=10
7+2+1=9+1=10







2. Уровни ознакомления младших школьников с вопросами арифметической теории

Знакомство младших школьников с вопросами арифметической теории может осуществляться на различных уровнях:
1. Интуитивный,
основанный на догадке, чутье, предшествующем опыте, здравом смысле.
Например: 7+3=
7+2+1= 10
2. Экспериментальный,
при помощи научного опыта и посредством индуктивных умозаключений.
Учителем готовится материал для наблюдения, испытаний, исследования.
Дети выполняют практические действия с ним, наблюдают, анализируют, «открывают».
Методы: неполный индуктивный вывод, моделирование.
3 Логический, т.е.
путём определений или доказательств.
Например: а·0=0 Определение и никаких объяснений.
Равенство 0·а=0 доказывается методом неполной индукции.
Следующие утверждения доказываются:
1·а=а а:а=1
а:1=а Докажите самостоятельно
Доказывается невозможность деления на 0.
4. Формальный (авторитарный),
Какой из этих уровней преобладает в начальной школе?

3. Неполный индуктивный вывод и моделирование как основные в НШ методы «открытия» общих закономерностей


Экспериментальный уровень основан на применении методов неполной индукции и моделирования.
Сущность данных индуктивных методов как способов ПМД в следующем:
1. Обеспечивается наглядная основа формируемого знания: создаётся модель (предметная, графическая, знаковая) для некоторого частного случая без особенностей (например, 3+1, 3+3, 0+3 с особенностями); на этой модели устанавливается частный факт и высказывается соответствующее частное суждение.
2. На аналогичных моделях рассматриваются другие частные случаи из того же класса. Каждый раз высказывается то же самое суждение (ещё 1-2раза как минимум).
3. Формулируется догадка, гипотеза о том, что этот факт, эта закономерность имеет место всегда (возможно при выполнении определённых ограничений, например, для вычитания, деления).
4. Осуществляется проверка выдвинутой гипотезы, предположения в других частных случаях.
5. Формулируется правило, закон и т.п.
Т.о. «открытие» идёт по схеме:
С(а ),С(а ),С(а ),,С(а )

а N C(а)
По индукции: от частного к общему.
Путь познания: наблюдение – анализ – сравнение – синтез - догадка - гипотеза - проверка гипотезы - индуктивное обобщение.
Система частных фактов, подбираемых для наблюдения, должна удовлетворять следующим требованиям:
1. Содержать достаточное (min2-3) число фактов для выделения общих существенных признаков.
2. Сохранять существенные признаки при вариативности несущественных.
Например:
1) а + в = в + а - моделирование с помощью абака; для тех же частных случаев - неполный индуктивный вывод.
Сравнить оба метода.
2) а: (вс) - моделирование путём разрезания полосок; фабричные таблицы.
Сравнить оба метода.
Моделирование и неполный индуктивный вывод относятся к классу индуктивных методов.
Отличительный признак моделирования – не связан с вычислительной деятельностью.
Особенности метода моделирования:
1) всё внимание и все интеллектуальные силы ученика направлены на осознание сущности, причины, способа получения новых знаний;
2) проверка выдвинутой гипотезы (догадки) возможна не только при непосредственном наблюдении частных фактов, но и при исследовании воображаемых моделей.
Всё это создаёт условия для более глубокой рефлексии выполненных на модели действий и их следствий, для появления внутреннего убеждения в истинности утверждения : открытие новых знаний осуществляется по существу, а не по форме, как с помощью неполной индукции.
Применение моделирования связано с поиском наиболее удачной модели, исследование которой приводило бы детей к математическим открытиям.
В качестве универсальной (её можно использовать при рассмотрении всех теоретических вопросов) удобно использовать прямоугольник (полоску), разбитый на единичные квадраты.
« Язык» такой модели:

сложение


· - число 1 - число 2
прикладывание
вычитание умножение

отрезание части

разрезание
на 4 или по 2

8:4 или 8:2 6·10


4. Этапы работы по овладению младшими школьниками теоретическими знаниями

Овладение теоретическими знаниями осуществляется целенаправленно и планомерно:
1. Ознакомление с правилом
Рекомендуются методы: неполная индукция и моделирование в сочетании с методами демонстрации, наблюдения, беседы, практической работы.
Например, 1) работа по фабричной таблице;
2) а + в = в + а М 2
3) а + в = в + а моделирование с полосками , с
двухрядным абаком
2. Закрепление правила путём его применения при выполнении упражнений разных видов:
- решить пример двумя (тремя) способами;
- решить удобным способом;
- решить текстовую задачу разными способами;
- сравнить выражения.
3.Практическое применение правила для введения вычислительных приёмов и последующего формирования вычислительных навыков.
Проблема формирования умений и навыков
устных и письменных вычислений

План

1. Формирование вычислительных навыков – одна из основных задач начального обучения математике.
2. Понятие вычислительного приёма.
3. Вычислительные умения и вычислительные навыки, и их признаки.
4. Необходимые условия для решения проблемы.
5. Методические недочёты и ошибки в практике обучения вычислительной деятельности.
6. Причины вычислительных ошибок и их предупреждение (см.: Пачатковая школа. -2001.- № 3).

Литература:
Мядзведская В.М., Юрынок Т.I. Дакладныя узоры тлумачэнняу – неабходная умова фармiравання вылiчальных навыкау// Пачатковая школа. -2003.-№ 9,с.16-20.
Мядзведская В.М. Аб некаторых прычынах вылiчальных памылак i нетрадыцыйных падыходах да iх прадухiлення // Пачатковая школа. -2001.- № 3,с. 24-28.
Сендер А.Н., Ничишина Т.В. Исторический материал в начальном обучении математике. – Брест, 2005, с.212.

1. Формирование вычислительных навыков – одна из основных задач начального обучения математике
В любой программе по математике для начальных классов.

2. Понятие вычислительного приема


Изучение арифметических действий усвоение смысла, взаимосвязи и свойств арифметических действий.



Изучение вычислительных приемов: «открытие», овладение,
Запоминание и автоматизм воспроизведения

результатов способов оперирования числами
(табличных) (вычислительных приёмов)
Что же такое вычислительный приём?
Вычислительный приём (ВП) – это система операций, последовательное выполнение которых приводит к нахождению результата арифметического действия. Описание этой последовательности (словесное или схематическое) - алгоритм.
Например:
Ч
а) 70
·14=5
70
·14=70ч (7Ч2) =10ч2=5
70
·14= (28+42) ч14=2+3=5
b) 47-19=47-(10-9) =37-9=28
47-19=47-(17+2) =30-2=28
47-19= (49-2)-19= (49-19)-2=30-2=28
47-19=47-(20-1) =27-1=28
Вывод: один и тот же пример можно решать разными способами, т.е. используя разные вычислительные приёмы, можно получить один и тот же результат.
Выбор того или другого вычислительного приёма зависит:
1) от уровня знаний учащихся;
2) от чисел, над которыми выполняется арифметическое действие;
3) от уровня сформированности навыков в выполнении основных операций, входящих в вычислительный приём.
Основные операции сами являются арифметическими действиями; а вспомогательные связаны с применением теоретических знаний.

ВЫВОДЫ
Свобода выбора вычислительных приёмов для ученика! (хоть на пальцах). Учитель же должен не принуждать, а стимулировать применение ребенком наиболее рациональных способов вычислений. Умножение на 9 на пальцах. Умножение многозначных чисел:приём удвоения, метод решётки (см. Сендер А.Н., Ничишина Т.В.. с. 42-46).
Все операции, входящие в новый вычислительный приём, должны быть отработаны до уровня навыка так, чтобы единственно новым элементом знания осталась последовательность их выполнение, т.е. алгоритм вычислений.


3. Вычислительные умения и вычислительные навыки, и их признаки

Умение – это единство знания о способе деятельности и опыта его применения:
Умение =Знание +Опыт
Признаки полноценных вычислительных умений (ВУ):
- осознанность, целенаправленность, правильность, рациональность, вариативность, обобщённость (вычислительный приём успешно применяется в изменённых условиях).
Навык – стереотипное автоматизированное действие, которое может выполняться без непосредственного контроля сознания.
Признаки полноценных вычислительных навыков (ВН): признаки (ВУ) + быстрота, автоматизм, прочность.
Иметь вычислительный навык – это значит знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции правильно и быстро.

4. Необходимые условия для решения проблемы

ВП ВУ ВН
Вычислительный приём нужно понять и запомнить. Учитывая особенности познавательных процессов в младшем школьном возрасте и их общие закономерности, можно утверждать, что для решения проблемы формирования полноценных ВУ и ВН необходимо:
1. Мотивация вычислительной деятельности (вызывает интерес, организует внимание).
2. Чёткая постановка учебной задачи на любом уроке (направляет внимание, обеспечивает его избирательность).
3. Рациональное использование средств наглядности (активизирует внимание, облегчает восприятие, побуждает к мыслительной деятельности).
Например:
а) использование моделей чисел 30-6.
b) демонстрация абака для 9+4.
4. Предметно-практическая деятельность учащегося:
рука – язык – голова
(внимание более устойчиво при выполнении внешних действий, чем умственных; внимание активизируется, если мыслительная деятельность сопровождается моторикой; логика предметной деятельности человеком усваивается раньше, чем логика языка, служит основой мыслительной деятельности).
5. Разнообразие заданий, т.е. применение ВП в разных условиях (однообразие утомляет внимание, ведет к снижению интереса).
Вариативность содержания, форм, средств обучения.
Например: решение примеров, задач, уравнений, сравнение выражений, творческие задания; работа в ТПО, с индивидуальными карточками, перфопапками, тренажёрами; групповые формы, обсуждение, дискуссия; дидактические игры, соревнования.
6. Сравнение разных, но в некоторых отношениях сходных ВП (23·4 и 46
·2; 6+3 и 6Ч3).
7. Рациональная форма подачи учебного материала (она должна быть «прозрачной» для понимания и удобной для хранения информации в долговременной памяти).
Образцы рассуждений должны:
1) соответствовать уровню знаний учащихся;
2) быть точными и предельно краткими;
3) иметь удобную для практического применения и для запоминания форму (см.: Пачатковая школа. - 2003. -№ 9, с.16-20).
8. Достаточная тренировочная база (умения и навыки формируются только в непосредственной деятельности).
9. Дифференциация и индивидуализация обучения (учёт индивидуальных особенностей познавательных процессов).
10. Приоритет активных методов обучения (проблемное изложение, частично поисковый, самостоятельная работа – ученик становится не потребителем информации, а её добытчиком).

5. Методические недочёты и ошибки в практике обучения вычислительной деятельности


Методические ошибки и недочёты, т.е. нарушение, несоблюдение названных условий приводит как следствие к вычислительным ошибкам учащихся.
Наиболее распространенными ошибками учителей являются следующие:
1. Не придают должного внимания подбору подготовительных упражнений, которые бы наводили учащихся на самостоятельное открытие ВП.
Например:
а) 7+2+1. Сколько всего прибавили?
Как прибавляли? 7+3
в) (20+16)ч2. Какое число разделили на 2?
Как это делали? Легко ли было делить? Почему?
*
с) 45
·3=15
Правильно ли? Почему?
45
·15=?
d) система подготовительных заданий, к примеру в учебном пособии
Аргинской Ирен Ильиничны «М.2».-М.:Просвещение, 1992, с.80:
- Сравните частные 90
·3, 96
·3, 6
·3
- Какие из них ты уже умеешь решать? Реши их.
- Могут ли они помочь тебе найти значение третьего частного 96
·3? Какой закономерностью можешь воспользоваться? и т.д.
- Организуется управляемое научное исследование.
е) система подготовительных упражнений в сборнике «1500 задач и примеров».
2. Не используют соответствующие средства наглядности или используют их нерационально.
3. Пропускают отдельные операции, входящие в состав нового ВП.
Например:
68Ч34=68Ч(30+4) – не читают полученный пример.
Заменю. Получился пример Удобнее
273 7 (в столбик) Не проверяют цифру частного, т.е. не
сравнивают остаток с делителем.
4. Включают в объяснение лишние термины и хорошо известные операции, отработанные до уровня навыка.
Это загромождает объяснение, делает алгоритм «непрозрачным», что создаёт дополнительные трудности для восприятия нового материала.
Например:
30-6 Уменьшаемое – 30
Вычитаемое – 6
Найти разность.
А лучше просто: «отнять».
18370 65, 278Ч65, 1003-28 (в столбик).


Что не надо объяснять, проговаривать вслух?
А что должно обязательно прозвучать и быть зафиксировано?
















Методика формирования вычислительных умений и навыков

План
1. Этапы работы над каждым ВП.
2. Определение содержания подготовительной работы.
3. Особенности работы на этапах ознакомления с ВП и его первичного закрепления.
4. Технология формирования ВУ и ВН (методы, приёмы, формы, средства).



Литература:
Далингер В.А., Павлова Е.Ф. Методика использования некоторых средств обратной связи на уроках математики // НШ. -1999, -№8.
В этом же журнале вы найдёте в других статьях игры, загадки, задачи в стихах.
Радюпова Л.А., Савина Л.П. Задания по выбору учащихся и некоторые приёмы их составления // НШ. -1999, -№11.


1. Этапы работы над каждым ВП

Закономерности процесса познания (от известного к неизвестному, от знаний к умениям, от умений к навыкам) определяют строго определенную последовательность работы по формированию математических умений и навыков, в частности ВУ и ВН:

Подготовительная
работа

Ознакомление
с ВП

Первичное
закрепление

Формиро-
вание ВУ, ВН


Сколько раз работаем по этой блок-схеме? (Например, ОС. № №17,18).
При этом учителю приходится решать однотипные методические задачи:
- что включить в подготовку;
- как организовать ознакомление с ВП и т.д.
Продолжите список вопросов.




2. Определение содержания подготовительной работы

Цель подготовительной работы: актуализировать необходимые знания и умения; обеспечить условия (предпосылки) для осознанного усвоения ВП.
Её достижение связано с решением ряда частнометодических задач.
1.Что надо повторить?
Анализ нового ВП и выделение входящих в него операций. Оценка уровня сформированности каждой из этих операций, каждым из учеников класса, т.к.
новый ВП нельзя вводить, пока до автоматизма не отработаны входящие в него основные операции.
2. Как устранить обнаруженные недостатки, пробелы знаний у некоторых учащихся?
Дифференциация по содержанию учебного материала, по его объёму, по форме предъявления заданий с различной мерой помощи: образец, указания, инструкция, опоры и т.п.
Подготовительная работа включает:
а) овладение каждой операцией, входящей в новый ВП.
НАПРИМЕР: 6+3 ? 81: 3 ? 273:7 ?
81:3 80:5 52:2 52:4 80:9 53:7
/ \ / \ / \ / \ / \ / \
60 21 50 30 40 12 40 12 72 8ост 49 4ост
б) знакомство (явное или неявное) с теоретическими основами нового ВП и практическое владение этими вопросами теории.
НАПРИМЕР: 2+7, 9-6, 21:3, 273·3
Какие теоретические основы у каждого из этих ВП? Теоретические основы дают ответ на вопрос: «Почему так можно вычислять?»
в) опережающее обучение: некоторые порции новых знаний вводятся до ознакомления с ними (знакомство на уровне интуиции или с привлечением имеющегося запаса знаний).
НАПРИМЕР: Изучена таблица [+1], а предлагаются примеры 5+2; 4+3.

3. Особенности работы на этапах ознакомления с ВП и его первичного закрепления

На этапе ознакомления с ВП ставится цель: «открыть» новый ВП и осознать его сущность, т.е. установить какие операции и в какой последовательности необходимо выполнить, чтобы найти результат, и почему.
Целесообразно использовать следующие приёмы и методы обучения:
1) создание проблемной ситуации
НАПРИМЕР: 48:2 и 48:3;
·-3 и
·-4.
2) моделирование
Выбор моделей и средств наглядности зависит от уровня подготовки детей и самого ВП:
- предметные множества для
·+3;
- наборное полотно 2Ч10 для 9+3;
- полоски-десятки, абак, пучки, счёты для 23+30;
- развёрнутая запись для 96:3, 237·4.
3) сравнение нового ВП с ранее известными:
НАПРИМЕР: 36-2 и 30-2.
4) организация поисковой деятельности (полностью самостоятельная или же управляемая).
НАПРИМЕР: в учебниках Аргинской И.И., Александровой Э.И.
5) организация репродуктивной деятельности по образцу, заданному учителем или же «открытому» некоторыми из учащихся.
Сочетание названных методов и приёмов обеспечивает дифференциацию обучения, а значит доступность на этапе ознакомления. Т.о., дифференциация на этом этапе осуществляется по методам, приёмам, средствам обучения. Рекомендуется «Взгляд назад»: Какой пример решали? Как? Почему?
Особое значение на этапе ознакомления придаётся процессу громкоречевого отражения последовательности действий.
РУКА ---- ЯЗЫК ---- ГОЛОВА
Поэтому необходимо:
1. Дать образец рассуждения. Он должен быть точным, лаконичным, интонационно окрашенным.
2. Обеспечить наглядную ориентировочную основу формируемого умственного действия: опорные слова, опорные схемы, развёрнутые записи на доске.
3. Требовать от учащихся рассуждений вслух (хором, жужжанием, в парах).
Первичное закрепление нового ВП проводиться на том же уроке. На этом этапе урока ставиться цель: усвоение последовательности операций, входящих в ВП.
Для ее достижения организуется:
1. Коллективное проговаривание вслух последовательности операций с опорой на ориентировочную основу.
2. Работа у доски. Даётся образец рассуждения и записи (обязательно параллельно и то и др.).
3. Комментированное «с места» решение (наиболее подготовленные учащиеся).
4. Кратковременная самостоятельная работа с учащимися с целью контроля, как идёт усвоение.
При её проверке требовать объяснения способа вычисления, а не только результат.
5. Отработка некоторых новых операций, не требующих вычислений.
НАПРИМЕР: а) Проверь, правильно ли записаны числа в столбик:
+25 +25 -837
8 8 21
б) Покажи стрелочками, какие разряды будут переполняться:
+7854 -375 Ч375
1952 83 2
в) Определи, сколько цифр будет в результате.
г) Сделай заготовку:
+xxx *xxx xxx : хх
хх хх


4. Технология формирования ВУ и ВН (методы, приёмы, формы, средства)

Формирование ВУ и ВП происходит распределенно во времени.
Поэтому необходимо:
1. Выполнение достаточного для каждого ученика количества однотипных упражнений.
Дифференциация по объёму и по средствам обучения: памятки-инструкции, памятки с алгоритмическими предписаниями, с образцами выполнения, карточки консультации; опорные схемы (для свободного выбора использовать предложенную подсказку или нет).
2. Своевременное сворачивание рассуждения, чтобы не тормозить развитие автоматизма.
Полное объяснение

Частичное сворачивание

Полное сворачивание

Предельное сворачивание

и вспомогат., только основные все операции пе- конечный резуль-
и основные реходят во внутр. тат
план, называют
только промежу-
точн. результаты
НАПРИМЕР: 36: 2= (20+ 16):2=20:2+16:2=10+8=18
Поскольку сворачивание происходит неодновременно у всех учащихся, необходимо время от времени снова возвращаться назад. Это обеспечивает полное осмысление ВП.
3. Постепенное усложнение заданий и повышение удельного веса самостоятельных работ.
4. Применение полученных знаний в относительно новых условиях
при выполнение самых разнообразных упражнений (решение задач, уравнений и т.д.).
Дифференциация по содержанию и объему заданий.
5. Включение новых знаний в систему многообразных ВП. Рассредоточенно! Сравнение с другими ВП. Сравнение в чем то сходных ВП «ускоряет и облегчает наше здоровое мышление» (И.П. Павлов).
6. Планомерное и систематическое повторение.
7. Системотический контроль и учет уровня овладения ВП и ВУ классом в целом и каждым учеником в отдельности. Дифференциация заданий.
Формы контроля:
(поурочный, тематический, итоговый)
- устный опрос;
- кратковременная самостоятельная работа с целью выявления наиболее трудных для усвоения способов действий, случаев применения ВП, пробелов в знаниях учащихся;
- поурочный балл (средства обратной связи);
- математический диктант (на этапе формирования автоматизированного навыка);
- обучающая, тренировочная самостоятельная работа (закрепление, расширение и углубление знаний, умений; повторение и подготовка к новой теме);
- самостоятельная работа на ограниченное время;
- проверочная самостоятельная работа (уточнение, учёт уровня знаний);
- итоговая контрольная работа;
- проверка тетрадей.
Средства обратной связи:
- сигнальный блокнот;
- сигнальные карточки с цифрами;
- двухцветная карточка (красный – согласен, зеленый – не согласен).
8. Ознакомление учащихся с приёмами и способами самоконтроля и овладение соответствующими навыками.
Приёмы самоконтроля:
1. Проверка по готовому ответу.
2. Круговые примеры.
3. Ответ задан косвенно: сумма ответов, шифровка (кодировка) ответов, занимательные сигналы (свет на табло электрифицированых пособий, арифметическое лото, тематические рисунки).

Способы самоконтроля (арифметической проверки):
1. Повторное вычисление тем же, а лучше другим способом (используя разные ВП).
2. Прикидка ответа.
3. По правилам проверки, использование взаимосвязи арифметических действий.
+

НАПРИМЕР: 47-19=28
9. Систематическое включение в структуру урока этапа «Устный счет» (математическая разминка).
Особенности этого этапа урока:
- проводится с разными целями – подготовка; закрепление; формирование ВН; развитие мышления; воспитание интереса к изучению математики и др.;
- цель определяет место в структуре урока;
- содержание соответствует целям урока, но включает самые разнообразные задания для устных вычислений или логических действий, в том числе занимательный и познавательный материал;
- организуется в различных формах: математический диктант; фронтальный опрос с использованием средств обратной связи; дидактическая игра.





















Организация работы
по составлению и заучиванию таблиц

План


1. Виды таблиц и возможные пути предъявления их учащимся.
2. Анализ приёмов нахождения табличных результатов.
3. Содержание подготовительной работы к составлению таблиц.
4. Особенности уроков по составлению таблиц.
5. Система работы по закреплению знания таблиц и формированию навыка воспроизведения по памяти табличных результатов.

Литература
Никифорова С.И. Учим таблицу умножения //НШ-2003-№4.
Захарова С.И. Математику учим в игре //НШ-1999.-№8 (из опыта работы).
Методическая копилка //НШ.-1999-№8. Сс. 70-74 (стихи, игры, карточки).
Закирова Г.Д. Цветовые демонстрационные таблицы умножения //НШ.-1999-№11.

1. Виды таблиц и возможные пути предъявления их учащимся

Мы будем говорить одновременно как о таблицах сложения, так и о таблицах умножения, потому что в организации работы с ними нет существенных различий.
Составляются сначала таблицы для каждого частного случая, а затем сводные таблицы.
Например: умножение числа 3,сложение с переходом через 10 и др.
Сводные таблицы могут иметь две формы:
1) по столбцам,
2) прямоугольная таблица Пифагора.









ТАБЛИЦЫ


основные производные
сложения и умножения вычитания и деления
Теоретические основы: смысл Вычитание и деление: смысл
операции сложения, определение операций, взаимосвязь
умножения с прямыми операциями


Сколько таблиц должны запомнить учащиеся?
(7 таблиц: 3 основные и 4 производные)
Например: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пути предъявления таблиц:
I путь. Даются в готовом виде.
От учащихся требуется их механическое запоминание.
II путь. Составляются вместе с учащимися.
Предполагается деятельностный подход и осознанное запоминание.
III путь. Частично вместе с учащимися, частично самостоятельно.
Проблема выбора пути
I путь в дореволюционной школе. Вспомните метод изучения чисел Грубе, «Арифметику» Магницкого.
II путь используется повсеместно уже многие десятилетия.
III путь практикуют некоторые учителя по мере овладения учащимися знаниями о способах составления таблиц.
Проблема последовательности изучения таблиц для каждого частного случая:
а+1 (2,,9) – по постоянному второму слагаемому;
а·2 (3,,9) или 2 (3,,9)·а – по постоянному II или I множителю;
2, 3,, 9 или 9,8,, 2 или 9, 7, 2? (традиционная, Пиядин, Давыдов, Истомина).

2. Анализ приёмов нахождения табличных результатов

Способы нахождения табличных результатов
1. Эмпирические (практические) – универсальные, но трудоёмкие.
Как именно находятся при этом результаты?
2. Логические:
а) для сложения и вычитания - прибавление и вычитание по частям,
б) для умножения - переход к сложению одинаковых слагаемых,
в) для деления - основанный на взаимосвязи деления с умножением.
Эти способы тоже универсальные, т.е. применимые к любой паре чисел, но для некоторых пар чисел рациональными являются другие ВП.
Например: 3+7, 3·7, 9-6.
Как вычислять легче?
Способы нахождения табличных произведений:
1) вычисление суммы одинаковых слагаемых;
2) используя предыдущий табличный результат;
3) группировка слагаемых – 2·7=2·5+2·2;
4) перестановка множителей – 2·7=7·2;
5) используя последующий результат – 2·4=2·5-2.
А для таблиц сложения? (2; 4; 5)
Каждый из названных способов нахождения табличных результатов имеет свое теоретическое обоснование, т.е. ответ на вопрос, почему так можно вычислять, даёт ответ математическая наука.
Приёмы сложения и вычитания по частям основаны на правилах:
а+(в+с)=(а+в)+с-ассоциативный закон сложения, и а-(в+с) =(а-в)-с правило вычитания суммы из числа
Например: 9+4=10+3=13; 12-7=10-5=5

1 3 2 5
По действующей программе уровень овладения учащимися этими правилами – интуитивный, поэтому при составлении таблиц сложения и вычитания используются преимущественно эмпирические методы обучения.
Для вычитания как в пределах 10, так и в пределах 20 во многих случаях рациональным является прием, основанный на правиле нахождения неизвестного слагаемого
Например: 13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415

Это правило, переместительные законы сложения и умножения и др. теоретические основы названных ВП рассматриваются в НКМ явно (на экспериментальном или на логическом уровнях), а потому при введении таких ВП используются как эмпирические, так и логические – дедуктивные методы обучения.
Например: 2·5=10 5·2=10 и таблица начинается с 5·5

18=3·6 18:3=6 и 18:6=3
И на одном уроке можно составить сразу две таблицы деления.



3. Содержание подготовительной работы к составлению таблиц

Содержание подготовительной работы к составлению той или другой таблицы определяется исходя из анализа тех ВП, которые будут использоваться для нахождения табличных результатов.
Например: а) Сложение в пределах 10 (ОС № 13)

+1 - конкретный смысл сложения, принцип n13 EMBED Equation.3 14151, последовательность чисел в N.
+2,3,4 - состав чисел I пятка, предшествующие таблицы.
+5,6,7,8 – переместительный закон сложения (оперативное правило) предшествующие таблицы.
б) Сложение с переходом через 10.
Состав чисел первого десятка, сложение в пределах 10, десятичный состав.
9+4=
1 3
в) Табличное деление.
Конкретный смысл деления, термины, взаимосвязь деления с умножением, правило нахождения неизвестного множителя.
Находит ли отражение содержание подготовительной работы в опорных схемах?






4. Особенности уроков по составлению таблиц


1.Учащиеся привлекаются к активному участию в составлении таблиц.
(Предметно-практическая деятельность. Всё, к чему готовы делают самостоятельно. Зона актуального развития.)
2. На уроке используются необходимые средства наглядности.
Например, для нахождения табличных произведений: числовые фигуры, записи на доске и в тетради, моделb 1 дм2 и прямого угла.
3. Применяют разные способы нахождения результатов.
4. Обосновывают, доказывают (практическим или логическим способами) правильность вычислений.
Например: 7-3=4, 24:4=6
Как доказать?
5. Таблица записывается на доске и в тетради.
6. Заучивание таблиц начинается на этом же уроке.

На одном и том же уроке можно составлять только одну таблицу (например:
·+2 или 3·
·) или связку таблиц (например,
·+2 и
·-2; 3·
· и
··3, а также две таблицы деления).

5. Система работы по закреплению знания таблиц и формированию навыка воспроизведения по памяти табличных результатов

Какую бы методическую систему мы не избрали, работа с учащимися по заучиванию таблиц занимает исключительно важное место. Знание таблиц – это фундамент, база для овладения техникой быстрых и правильных устных и письменных вычислений. Именно этот факт является мотивом для заполнения таблиц.
Особенности сохранения и воспроизведения информации, хранящейся в памяти, зависят от того, как организовано запоминание.
И непроизвольное, и произвольное запоминание зависят от эмоционального отношения и интереса (удивление, восторг) к изучаемому материалу создавать благоприятные условия.
Например, соревнование с калькулятором, со счетом на пальцах (римская школа).
Важным условием запоминания является включение в работу разных видов памяти: зрительной (физиологи утверждают, что зрительный анализатор в 800 раз мощнее слухового); слуховой, образной, словесно-логической (вербальной) упражнения по таблицам должны быть разнообразны по видам деятельности учащихся: вслух, письменно, с объяснением, в игре и т.п.
В воспроизведении табличных результатов типичными являются ошибки памяти учащихся:
1) называют ответ соседнего в таблице примера: 6+4=9, 4·9=32, 32:4=7, 36:9 =5 (36:9=6);
2) смешивают примеры, результаты которых близки в натуральном ряду: 3·7=28, 6·9=56, 7·8=54.
Самые трудные для запоминания случаи умножения

7·8 6·9
8·8 7·9




Следовательно, их следует чаще включать в содержание обучения.
б) произведения с равными значениями:
18=
··
· , 24=
··
·, 12=
··
·
3) смешивают правила оперирования с числами 0 и 1: 5·1=6, 5·0=5 и другие подобные случаи.
В работе над табличными случаями эффективны те же методические приемы, что и в работе над внетабличными, когда запомнить надо не результат, а способ вычислений, потому что речь идет об одном и том же познавательном процессе – запоминании.
Но есть и различия: специальное внимание уделяется отработке знания состава чисел из двух слагаемых; из двух множителей, т.к. это важный шаг к выполнению обратных действий и прочному запоминанию производных таблиц.
С этой целью полезно:
1) читать и запоминать табличные равенства слева направо и справа налево: 2·6=12 и 12=2·6; 3+4=7 и 7=3+4;
2) предлагать связки взаимообратных заданий (УДЕ):
3·8=
·, 24=
··8, 3·
· =24
8·9= :8=9
72
9·8= :9=8

8·9= :8=9
72
9·8= :9=8






Другие специальные приемы в их логической последовательности законспектировать (ксерокопировать) в свою методическую копилку(см.: Медведская В.Н., Гудалина Т.И. Лабораторный практикум, с.94).
В Римской школе заучивались только таблицы умножения на числа 2, 3, 4,5. Все остальные произведения находили путем счета на пальцах.
Дано: a>5 и b>5.
Найти: а·в.
Правило.
На одной руке и на другой руке вытянуть столько пальцев, на сколько единиц данные числа а и в, каждое в отдельности, превышают 5 (остальные пальцы загнуты).
Сумма чисел (количество вытянутых пальцев) дает десятки произведения. К ним надо прибавить произведение чисел, соответствующих числу загнутых пальцев.
Например: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415



МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НЕАРИФМЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА
Методика изучения геометрического материала



План


1. Задачи изучения геометрического материала.
2. Содержание геометрического материала в начальном курсе математики.
3. Общие вопросы методики изучения геометрического материала.
4. Система упражнений геометрического характера.



Литература

Богданова Е.А. Формирование эмпирических предпонятий об основных объектах геометрии // НШ.-2001.-№10.
Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.,1999, п.2.28



1. Задачи изучения геометрического материала


Задачи:
- формирование пространственных представлений и некоторых геометрических понятий; развитие пространственного воображения;
- использование геометрического материала в качестве одного из средств наглядной интерпретации рассматриваемых арифметических фактов, для расширения сферы применения приобретаемых детьми арифметических знаний, умений и навыков (при решении задач геометрического содержания);
- вооружение детей практическими навыками измерения длины, площади;
- подготовка к изучению систематического курса геометрии.
См. Ос №20, четвертый и пятый столбцы.


2. Содержание геометрического материала в начальном курсе математики

Содержание: точка, прямая, кривая, отрезок, углы, виды углов,
многоугольники и их виды, прямоугольник, квадрат, виды треугольников; окружность, круг; измерение длины, измерение периметра и площади, отношения пересечения, перпендикулярности, параллельности прямых.
Геометрические фигуры в начальном курсе математики выступают в двух ролях:
а) как дидактическое средство (счётный материал, счётная линейка, модели доли и дроби);
б) как предмет изучения (выясняются существенные свойства многоугольников, свойства сторон прямоугольника, определяется понятие «квадрат»)
См. ОС №20, первый столбец.


3. Общие вопросы методики изучения геометрического материала

Геометрические представления у детей начинают складываться ещё до школы и характеризуются, прежде всего, своей конкретностью: каждую геометрическую форму ребёнок связывает с реальным предметом из окружающей обстановки. При обучении в школе необходимо использовать имеющийся опыт детей, уточнять и обогащать их представления.
При формировании геометрических представлений важно, чтобы учащиеся твёрдо осознали, что «геометрические фигуры взяты ни откуда-нибудь, а из окружающей действительности», закладывая тем самым основы материалистического миропонимания.


Особенности изучения геометрического материала

1. Основными методами изучения являются методы демонстрации, лабораторно-практические работы учащихся (моделирование, вычерчивание, измерение, конструирование, вырезывание), метод наблюдений.
Используя эти методы, важно обеспечить разнообразие предлагаемых объектов (отличающихся цветом, размером, материалом, расположением на плоскости), чтобы детям легче было абстрагироваться от конкретных свойств материальных вещей и сконцентрировать своё внимание на существенных признаках объектов, на основе чего и формируются представления о геометрических фигурах.
См. Ос№20, второй и четвертый столбцы.
Но следует избегать и уклона в грубый эмпиризм : когда вся работа сводится к постановке ряда наблюдений и опытов без достаточного участия мышления, без установления тех связей, которые существуют между изучаемыми фактами.
2. Геометрический материал, по-возможности, рассматривается в неразрывной связи с арифметическим материалом и не выделяется в самостоятельный раздел программы.























Например:
а) Подсчет разными способами площади прямоугольника, разбитого на квадраты, даёт основания для вывода равенства
ab = ba
б) Измерение величин с помощью различных единиц измерения способствуют совершенствованию представлений учащихся о десятичной системе счисления.
3. В изучении геометрического материала реализуется и собственная логика, связанная с введением новых геометрических фигур и рассмотрением их свойств.
Например:
а) прямоугольник;
б) прямой угол;
в) свойства прямоугольника;
г) измерение площади прямоугольника.
4. Большинство геометрических понятий доводится лишь до уровня представлений, а не их формальных определений.
В этой связи на уроках математики в начальных классах не следует задавать вопросы: Что называется прямым углом? Почему этот угол прямой? («потому что у него стороны прямые») Что такое радиус окружности?
Учащиеся должны узнавать геометрические фигуры в окружающей обстановке, на рисунке, правильно находить заданную фигуру в наборе геометрических фигур, правильно называть геометрические формы (определение прямоугольника; квадрата; понимание родовидовых отношений).
5. Для дифференциации геометрических понятий широко используется приём сравнения: прямая и отрезок; прямая и кривая; окружность и круг; прямой угол и непрямой.
6. При изучении геометрического материала формируются элементарные навыки черчения.

Например:
а) начертить отрезок заданной длины;
б) построить треугольник, квадрат на клетчатой бумаге;
в) построить окружность с помощью циркуля.

Число подобных упражнений увеличивается, благодаря аналогичным операциям, выполняемым на уроках труда.

4. Система упражнений геометрического характера

Система упражнений геометрического характера:

- геометрические объекты для пересчитывания (цель: узнавание и различение геометрических фигур, усвоение терминологии);
- формирование представлений о геометрических величинах (длина, площадь) и навыков их измерения;
- вычислительные задачи (периметр, площадь);
- элементарные построения геометрических фигур на клетчатой бумаге, в том числе с заданными параметрами;
- классификация геометрических фигур;
- деление фигур на части и составление фигур из частей;
- формирование элементарных навыков чтения чертежей (буквенные обозначения);
- выяснение геометрической формы предметов или их частей.
Приведите примеры упражнений каждого из перечисленных видов. Почему их можно назвать «система упражнений геометрического характера»?










ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ
ИЗУЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН

План

1. Задачи изучения.
2. Значение и место раздела «Величины и их измерение» в начальном курсе математики.
3. Этапы изучения каждой из основных величин.
4. Особенности уроков ознакомления с величиной и её измерением.
5. Методика формирования у младших школьников понятия «площадь», изучения мер площади и формирования соответствующих умений и навыков.

Литература дополнительная

Тихоненко А.В. Дидактические и методические основы формирования понятия «площадь» // НШ, 1999, №12.
Тихоненко А.В. Изучение мер времени //НШ, 1998, №1, с.94-101.
Грышкова I.М. Фармiраванне эяэленняэ аб часе // ПШ, 2000, №7
Истомина Н.Б. МОМ в начальных классах -М., 1999, гл.2, п.2.10
Медведская В.Н. Практикум - БрГУ, 2000


1. ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ

В начальных классах рассматривают основные величины (длина, масса, ёмкость, время, площадь) и производные: скорость производительность, урожайность и др.
По отношению к основным величинам программой начальных классов ставятся следующие задачи:
1) формирование правильных представлений об этих величинах;
2) практическое ознакомление с соответствующими приборами для измерения;
3) формирование практических умений и навыков их измерения;
4) ознакомление с системой единиц измерения и таблицей мер этих величин;
5) формирование навыков преобразования значений величин и выполнения действий над ними (над именованными числами).
Решение названных задач содействует раскрытию понятий «длина», «масса»,, «величина» и их общих основных свойств (акдитивно-скалярных величин) (см.: опорную схему №21 и задания к ней в «Практикуме» В.Н. Медведской)
Знакомство с производными величинами осуществляется, как правило, через решение текстовых задач с пропорционально зависимыми величинами (цена, количество, стоимость; скорость, время, расстояние и др.) Главное внимание при этом уделяется как конкретному смыслу соответствующей величины, так и зависимости между величинами.
Изучение величин, как и др. объектов реальной действительности, в математике связано с проблемой их математизации, математического моделирования, т.е. перевода на язык чисел и отношений между ними. Общим способом решения этой проблемы является введение функций (точнее функтора), определенных правил, позволяющих каждому объекту поставить в соответствие число, причем отношения между реальными объектами переходят в определенные отношения между числами.
Элементарными примерами функторов являются операции счета и измерения.
Количество - общее свойство (мощность) класса конечных множеств объектов.
Масса, площадь и др. - тоже общее свойство класса объектов.
Счет - это функция. Каковы правила?
М f N
Измерение - функция:

1) f(e) = 1
Для операции

2)
· = в =>f(
·) = f(в)
счета те же требования?

3) а = в+с => f(а) = f(в) + f(с)


4) е1= ке =>fе1(a) = кfе(а)



После такого перевода сравнение величин (и множеств по численности), действия над ними сводятся к сравнению и действиям над положительными действительными числами (rєR+)
Таким образом, необходимо различать три объекта изучения:

Элементы
некоторого
множества
Их свойство -
величина
Значение
величины

(отрезки, плоские
фигуры, явления
и т.д.)
длина, площадь,
время
(именованные числа:
3 тетр., 15 см, 2т)


Существуют ли величины в реальной действительности? Количество? Масса? Длина? Почему в обучении измерение длины рассматривают сначала?


2. ЗНАЧЕНИЕ И МЕСТО РАЗДЕЛА «ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ» В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

1. Устанавливается связь обучения с жизнью (представьте себе, если исключить этот раздел, то)
2. Формируются пространственные и временные представления.
3. Расширяется представление учащихся о числе и его функциях.
4. Создаются условия для установления связей между различными составляющими начального курса математики, для более эффективного решения задач обучения и развития учащихся
5. Способствует развитию познавательных способностей учащихся: видеть проблему и находить пути ее решения.
Например:
1. Знание таблицы мер метрических величин и выполнение упражнений по её использованию содействует совершенствованию представлений о десятичной системе счисления:
3дм 4см - 3д. 4ед. - 34 ед. - 34 см
3м 04см - 3с.0д. 4ед. - 304 ед. - 304см
3км 004м - 3т.0с.0д. 4ед. - 3004ед. - 3004м

2. Действия с именованными числами способствуют совершенствованию вычислительных навыков.
3. Модели приборов измерения или сами приборы выполняют роль средств наглядности, средств обучения;
а) линейка - последовательность чисел в N, прибор для вычислений
б) чашечные весы - для интерпретации понятий «равенство», «неравенство», «уравнение».
4. Геометрические фигуры и геометрические величины (отрезок, прямоугольник, длина, площадь) используются в качестве моделей при решении текстовых задач, при обосновании свойств арифметических действий.
Вопросы из раздела «Величины и их измерение» включаются в те или другие разделы начального курса математики и изучаются во взаимосвязи (по возможности) с другими программными вопросами.
Особенности изучения раздела:
1. Тесная (по возможности) связь вопросов по измерению величин с изучением других разделов начального курса математики.
Отдельные уроки могут быть почти целиком посвящены изучению конкретной величины.
2. Обучение измерению связано с обучением счету по одному или группами (длина, площадь).
3. Новые единицы измерения вводятся вслед за введением новых счетных (разрядных) единиц и используются в качестве их моделей:
1см2 - 1 ед, 10 см2 - 1дес, 1 дм2 - 1 сотня
1 см - 1 ед, 1дм - 1 дес, 1м - 1 сотня

4. Образование, чтение, запись именованных чисел (значений величин) рассматривается параллельно с нумерацией отвлечённых чисел. Вслед за действиями с отвлеченными числами учим выполнять соответствующие действия над значениями величин.
5. Изучение мер времени выделяется отдельно. Почему?

3. ЭТАПЫ ИЗУЧЕНИЯ КАЖДОЙ ИЗ ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН

Методика изучения каждой из основных величин имеет свои особенности, связанные со спецификой самой величины, но общий подход к величине как к некоторому общему свойству класса предметов или явлений позволяет выделить и общие этапы в методике изучения величин.
I этап. Выявление и уточнение представлений детей о данной величине. Введение соответствующих терминов (длина, площадь, время, емкость, масса)
II этап. Сравнение однородных величин (визуально, с помощью органов чувств, накладыванием, прикладыванием, с помощью разных мерок («А в попугаях я длиннее!»)). Создание проблемной ситуации.
III этап. Знакомство с первой единицей измерения величины и соответствующим измерительным прибором. Раскрытие сущности измерения (укладывание откладывание, разбиение на равные части и подсчет их количества).
IV этап. Сложение и вычитание однородных величин с одинаковым наименованием.
Например, (приведите самостоятельно)
V этап. Знакомство с новыми единицами измерения величины. Перевод одних единиц измерения в другие однородные. Таблица мер.
VI этап. Преобразование значений величин, выраженных в одних единицах, в значения с другими наименованиями.
VII этап. Арифметические действия над значениями однородных величин (именованными числами), выраженными числами с двумя наименованиями.

4. ОСОБЕННОСТИ УРОКОВ ПО ИЗУЧЕНИЮ ВЕЛИЧИН

1. Лабораторно-практический характер.
Какое оборудование следует подготовить к урокам по теме: «Литр», «Килограмм», «Час».
Приведите примеры видов упражнений: сравнить, отмерить, измерить.
2. Использование методов проблемного обучения.

Ошибки учащихся по данному разделу:

1) перенос соотношений между единицами длины на единицы измерения площади:
1дм2 = 10см2, 1м2 = 100см2 и т. п.;

2) перенос десятичных отношений между метрическими мерами на меры времени:
3ч. 25мин = 325мин.

Пути предупреждения:

Для ошибок первой группы:
а) создание и использование моделей линейных и квадратных единиц измерения (какие?);
б) сравнение между собой однородных единиц измерения;
в) противопоставление неоднородных единиц;
г) показ единиц измерения на пальцах, руках, в воздухе;
д) сообщение учащимся смысла приставок в названиях некоторых единиц измерения
«кило» - 1000, «цент» - 100;
«деци», «санти», милли» - 0,1; 0,01; 0,001.
Интересными для учеников будут и сведения исторического характера о происхождении единиц измерения
1 дюйм
· 2,5см, 1 фут
· 30,5см
1фунт
· 400г, 1 пуд
· 16кг 380г
1 пинта
· 0,47л
Для ошибок второй группы:
чаще предлагать задания на преобразование мер времени; предлагать задания на исправление ошибок
Например:
3ч.25мин. = 325мин. Где правильно?
3ч.25мин. = 205мин. Как рассуждали?


3ч. 25мин 3м.25см Почему ответы разные, хотя одно и
-1ч. 30мин -1м.30см тоже действие выполняется
1ч. 55мин. 1м 95см над одними и теми же числами?
Для ошибок обеих групп:
задания на вычисления: текстовые задачи, например, на вычисление периметра и площади, на вычисление времени.

Задачи на вычисление времени
Признаки: начало, продолжительность, конец события.
3 вида взаимно обратных простых задач.
1) известны начало и продолжительность события, найти время его окончания.
2)
3)
Что в них дано и что надо найти?

в течение суток
2 типа таких задач
более, чем одни сутки

2 способа решения:
1) практический - с помощью модели циферблата часов или календаря;
2) арифметический (в пределах суток).




















Методика изучения элементов алгебры в
начальном курсе математики

План
1. Значение алгебраического материала в начальном обучении математике.
2. Задачи изучения алгебраического материала.
3. Методика работы над алгебраическими понятиями.
4. Методика изучения математических выражений.
5. Методика изучения числовых равенств и неравенств.
6. Методика обучения решению уравнений и задач алгебраическим способом.
7. Методика работы над неравенствами с переменной.
8. Функциональная пропедевтика в начальном обучении математике.


1. Значение алгебраического материала в начальном обучении математике

Алгебраический материал одна из составляющих начального курса математики (См. ОС N3).
Впервые введён в1969-1970гг. и школьный предмет стал называться не “Арифметика”, а “Математика”.
Содержание алгебраического материала смотрите ОС №22.

Введение элементов алгебры позволяет:
1) более эффективно воздействовать на развитие логического мышления (анализ, синтез, абстрагирование, обобщение, конкретизация, классификация, индукция, дедукция);
2) создать условия для формирования теоретического мышления (то есть мышления, которое направлено на обобщение, абстрагирование, на открытие законов и зависимостей);
3) обобщить и систематизировать знания по арифметике (a+b=b+a, aЧb=bЧa и тому подобное);
4) создать условия для расширения практики в обучении элементарным дедуктивным рассуждениям;
5) усиливать преемственность в обучении математике на разных ступенях школьного образования;
6) формировать начатки научного мировоззрения.




2.Задачи изучения алгебраического материала

1. Закрепление арифметических терминов, арифметического материала
а) название результатов и компонентов арифметических действий;
б) последовательности чисел в N (598 2. Формирование полноценных вычислительных навыков
а) нахождение значений математических выражений;
б) решение уравнений и неравенств;
3. Обобщение вопросов арифметической теории
а) законы аЧ(b+c)=aЧb+aЧc;
б) зависимости, правила a+b=c
a=c-b
b=c-a;
4. Развитие логического и теоретического мышления.
5. Подготовка к дальнейшему изучению математики.
Т.о. алгебраический материал выполняет вспомогательную функцию при изучении арифметического материала.
Хотя алгебраический материал занимает подчиненное арифметическому содержанию место, он обладает и некоторой самостоятельностью, которая, прежде всего, проявляется в последовательности введения элементов алгебры.

3. Методика работы над алгебраическими понятиями

Какие алгебраические понятия вводятся в начальном курсе математики? Как они определяются в математике? (См. ос №22)
В начальном курсе математики ни одно из них не доводится до уровня формального определения. Следовательно, нельзя ставить вопрос: “Что называется..?”
Учащиеся должны: правильно понимать термин и правильно оперировать им в практической деятельности.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 понимать

Термин Объект

Применять

Работа по формированию алгебраических понятий ведётся поэтапно:
1. Подготовительная работа.
2. Введение понятия (термина).
3. Закрепление в практической деятельности.
Подготовительная работа включает оперирование соответствующими объектами без использования терминов. Например:
а) 2+1, 5-1, 3+1+1, 20+8+30+1, 12:2
·5; (51-48):(27:9) и тому подобноедля введения понятия “Математическое выражение”.
б) 1=1, 1<2, 8+2+3=13, 8
·7=56 и т.п.понятий “равенство”, “ неравенство”.
в)
· +4=6, а+4=6, х+4=12уравнение.
Таким образом, на этапе подготовки идет накопление конкретных представлений, которые на следующем этапе обобщаются.
Алгебраические понятия вводятся:
а) контекстуально, то есть смысл нового термина выясняется из смысла отрывка текста. Например: ” Буква х (икс) обозначает неизвестное число. х+2=5 это уравнение. Решить уравнение значит найти неизвестное число”.
б) остенсивно, когда объект просто называется и демонстрируется. Например: “Числовые математические выражения”.
При этом необходимо использовать сравнение, анализ, синтез, классификацию. Например: “Равенство неравенство”.
Усвоение алгебраических понятий осуществляется в практической деятельности с конкретными их представителями.
Учащиеся учатся правильно понимать и применять соответствующие слова трмины.

4. Методика изучения математических выражений

Что значит изучать математические выражения?(см. ОС N22)
Задачи:
обучение чтению и записи под диктовку или по тексту учебника;
ознакомление с правилами порядка выполнения действий;
составление выражений по задачам, по схемам;
вычисление значений выражений;
ознакомление с преобразованиями (тождественными) выражений;
сравнение выражений.
Обучение чтению.
Подготовка: усвоение терминов.

Средства:




В соответствии с принципом “от простого к сложному”: сначала простые выражения, затем сложные (составные), то есть выражения в несколько действий без скобок и со скобками.
а) простые выражения - 2, 12; 3+2, 5-2, 2Ч3, 6:3.
Способы их чтения:
1) раскрывая конкретный смысл арифметических действий;
2) на языке математических символов;
3) используя математические термины;
4) раскрывая новый смысл арифметических действий. Прочитайте выражения разными способами.
в) в способах чтения сложных выражений находит отражение ещё и порядок выполнения действий. Например, (3+2)Ч4
Сумму чисел 3 и 2 умножить на 4.
Первый множитель это сумма чисел 3 и 2, второй
множитель 4, найти произведение.
Найти произведение суммы чисел 3 и 2 на число 4.
Сумму чисел 3 и 2 увеличить в 4 раза.
Нужно ли учить читать разными способами? Почему?
Для каждого способа чтения можно составить алгоритм и предложить учащимся соответствующие алгоритмические предписания.
Для какого способа составлен следующий методический алгоритм?
1. Назови действие, которое выполняется последним.
2. Вспомни, как называются числа при выполнение этого действия.
3. Прочитай, чем они заданы в данном выражении.
Составьте алгоритмы чтения математических выражений для других способов.
Термины “выражение”, “значение выражения” учитель просто сообщает.
Ознакомление с правилами порядка выполнения действий.
Сформулируйте три таких правила:
1) в выражениях без скобок с действиями одной ступени;
2) в выражениях без скобок с действиями разных ступеней;
3) в выражениях со скобками.
Эти правила представляют собой общее соглашение (договоренность), которого всем необходимо придерживаться, чтобы понимание и способы получения числовых значений выражений и результаты всегда были однозначными. Поэтому основной метод их введения сообщение учителя.
Однако сделать это можно по-разному:
а) в выражениях без скобок
1) 5+1+1, 5-2-1, 5-3+1
на основе интуитивного понимания конкретного смысла арифметического действия (без формулировки самого правила).
2) Обобщение и формулирование П1.
97- 42+37, 12:2
·3, 3
·8:4
2) 1) 1) 2)
3) 7+ 2
·5 или 7+2
·5
можно


сообщение проблемное изложение
правила: - Какой ответ 17 или 60?
cначала - Почему разные?
потом - Договорились все: П2
в) в выражениях со скобками
1) составление выражений из заданных частей самими детьми. Например: “Запишите выражения с помощью числа 10, знака -, и суммы чисел 5 и 2.
Анализ:
10-5+2 10 - 5+2
не из трёх чисел,
а из
Сообщение П3.
2) введение выражений со скобками в готовом виде и П3.
3) С помощью текстовых задач в два действия. Например:
| - 5 1) 5-2·
|| - ?, на 2 меньше 2)5+(5-2)=

Было-7
Вошло-3 1) 7+3
Вышло-4 2) (7+3)-4
Стало - ?
Сообщение правила 3.
Закрепление П1, П2, П3.
Разнообразные упражнения:
составить план решения ( 1), 2), 3))
прочитать выражение,
записать выражение под диктовку,
из нескольких заданных (сходных по несущественным признакам) выражений выбрать называемое учителем
7+2
·5 7
·2+5,
найти значение выражения,
разъяснить смысл выражений, составленных по тексту задачи,
составить выражение по задаче,
составить выражение по схеме,
расставить знаки, скобки так, чтобы выражение имело заданные значения 36*8* 4=32 360:4
·2+10=20
выполнение занимательных заданий.
Например: “Записать одинаковыми цифрами: 24=22+2, 24=8+8+8, 24=3+3+3+3+3+3+3+3.

5. Методика изучения числовых равенств и неравенств

В начальном обучении числовые выражения с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равенствами и неравенствами:
1) выполнение записи по иллюстрациям и их чтение
1, 2, 1=1, 2=2, 1<2, 2>1 (чтение слева направо и справа налево)

16+1 17

2) Оперирование числовыми равенствами и неравенствами (при изучении нумерации, арифметических действий, свойств, правил)
5+1=6, 5+3=8, (3+4)
·2=3
·2+4
·2, 600:(2
·3)=600:6
Оцениваются ИСТИННОСТЬ или ЛОЖНОСТЬ соответствующих высказываний.
3) Сравнение выражений (больше или меньше)
2*3, 3+6 * 10, 3+8 * 3+6
40:440-4, 4
·4*4-4,
3947+1644:3*3947+1456:4
способствует уяснению смысла понятий “=” и “
· ” как записи, в которой
два числовых выражения соединяются знаками >,=,<.
Истинность полученных при этом, высказываний обязательно доказывается.
Аргументами, посылками доказательств могут быть:
а) очевидные факты и практические действия с предметами

·
· 2см

·
·
· 3>2, потому что 3см
б) результаты вычисления 16+1=17
в) теоретические знания
2<3,потому что число 3 следует за числом 2 или потому что 3=2+1
3+8>3+6,потому что
3947+1644:3 * 3947+1456:4
Способы сравнения:
1) практический;
2) вычисление (и сравнение двух чисел);
3) применение (явное или интуитивное) теоретических положений.
Способы ПМД: эксперимент, вычисление, дедуктивный вывод.
Например,
5
·8+5 * 5
·9 Докажите истинность числовых равенств или неравенств
33+0 * 33
·0 всеми названными способами ПМД.
36-4 * 36-6
36-4 * 36:4
Уточнение представлений о равенствах и неравенствах осуществляется путём выполнения разнообразных заданий:
поставить необходимый знак арифметического действия, цифру, число, знак «больше» или «меньше», наименование, чтобы запись была правильной (высказывание истинным). Например,
17 * 19, 4 * 29<4529, 3 ** <3576,
1дм 7см=17
·, 45 - 5=40.
закончить запись. Например: 7
·5=7
·3+;
проверить истинность равенств, неравенств;
из данных выражений составить равенство или неравенство;
преобразовать выражение.
Преобразование выражения это замена данного выражения тождественным ему выражением (имеющем то же значение).
(30+5)+20=30+20=50+5=55
28:2=20:2=10+8:2=10+4=14
Верны ли записи? Обращать на это внимание учащихся!
Преобразование математических выражений осуществляется на основе:
1) определений
3+3+3+3+3+5=3
·5+5=5
·3+5=5
·4
2) правил
2) 1)
36-81:9=36-9=27, 17099
·0+385=0+385
3) свойств арифметических действий
(30+5)+20=(30+20)+5
80:20=80:(2
·10)=(80:10):2
Наряду с числовыми равенствами и неравенствами рассматриваются равенства и неравенства с переменной:
7-
·=2 15+
·=15+
· 8-
·<8-
· 31-a>20 и так далее

Переменная это место, на которое можно подставлять допустимые значения (из области определения переменной).
Виды упражнений: таблицы с пустыми местами, задачи с недостающими числовыми данными, нахождение значения выражений с переменной.
Оперирование числовыми выражениями, составление из них равенства и неравенства, определение значений их истинности – подготовка к решению уравнений и неравенств с переменной.




6. Методика обучения решению уравнений и задач алгебраическим способом

Структура уравнений и числовой материал постепенно усложняется.

·+2=5, x+2=5, 4·(81-а)=92.
Вспомните, что такие равенства являются предикатами.

Способы решения:
1. Подбора
2. С помощью графа (“Машины”)
+2 х+2=5
х=5-2
x 5 х=3
3+2=5
-2
На основе знаний о взаимосвязи арифметических действий: если прямая “машина” складывает, то обратная вычитает.
Аналогично для умножения и деления. х·2=10

·2 х=10:2
x 10 x=5
5
·2=10
:2 10=10
3. На основании правил нахождения неизвестных компонентов арифметических действий.
X+2=5 4
·(81-a)=92 Выполните и запишите решение уравнений.
1) 2) 1)
в:27+48=26
·2 Какие правила вы применяли?
Приемы обучения решению уравнений:
а) алгоритмизации;
б) конкретизации.
Алгоритм решения: Алгоритм чтения
1. Установи порядок выполнения 1. Определи, какое действие
действий
2. Прочитай уравнение выполняется после
3. Определи, где находится неизвестное 2. Вспомни, как называются числа,
4.Вспомни правило, как найти неизвестное при выполнении этого
5. Реши уравнение действия
6. Проверь решение 3. Прочитай уравнение
7. Дай ответ

Вспомнить правило не каждому легко. Помогает это сделать
приём конкретизации – использование примера-помощника для каждого арифметического действия:
2+3=5 5-2=3 2·5=10 10
·2=5

Алгоритм проверки
1. Подставь найденное число в уравнение
2. Выполни действия над числами
3. Сравни значения левой и правой частей уравнения
4. Сделай вывод
Предупреждать формальный подход к проверке.
Обязательно ли проверять каждое уравнение?
Решение уравнений является мощным средством решения текстовых задач.
В начальном обучении осуществляется пропедевтическая работа в этом направлении:
составление числовых выражений по текстам задач;
разъяснение смысла каждого отдельного выражения, соответствующего условию конкретной задачи;
составление выражений с переменной по тексту задачи
Женщина
Мужчин?, на 20 больше ? а+(а+20)
составление уравнений по тексту задачи с отвлеченными числами: ”Я задумала число умножила его на 4 получила 36. Какое число я задумала?”;
составление уравнений по текстам сюжетных задач, сначала простых, затем составных.

Как решать задачу алгебраическим способом
1. Восприятие и осмысление (как обычно, возможно, с использованием моделей разного вида).
2.-3. Поиск и составление плана решения. Решение уравнения.
- Установи, что известно и что неизвестно
- Обозначь одно из неизвестных чисел буквой (х)
- По условию задачи составь соответствующие выражения
- Найди условие, позволяющее составить равенство
- Составь уравнение
- Реши уравнение
- Дай ответ на вопрос задачи
Ответ на вопрос задачи это конкретизация полученного числа в соответствии с содержанием задачи.
4. Проверка задачи (а не уравнения!)
Найденное значение переменной подставляется в условие задачи, а не в уравнение.
В обучении можно использовать принцип раздельного формирования умственных действий; то есть ставить на уроке операционные цели - учить:
находить в тексте известные и неизвестные (явные и неявные);
составить разные выражения, имеющие смысл для данной задачи;
находить условия, позволяющие составить уравнение, то есть соединить знаком “=” математические выражения;
составлять уравнения по тексту сюжетной задачи;
составлять сюжетные задачи по уравнению;
решать задачи алгебраическим способом.
При составлении уравнений нужно широко использовать иллюстрацию, чертежи, таблицы, схемы и другие модели, опираться на конкретные представления по содержанию задачи.

7. Методика работы над неравенствами с переменной

Неравенство с переменной это предикат и потому самый элементарный способ их решения – способ подбора.
Поскольку работа с неравенствами в начальном курсе математики направлена в основном на формирование понятия “переменная”, способ подбора основной способ их решения.
В ходе решения неравенств с переменной осуществляется закрепление и совершенствование ЗУНов по арифметике:
1)
· >5, х<20, 9<
·<15, 348-a<348-216
Опора – числовая прямая.
2) 31-а>20, k
·7<40
а) Выбрать из заданного множества значений переменной.
б) Назвать несколько решений или все решения (на основе интуитивного знания об изменении результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из его компонентов).
3) 428>56
·x 852:y<284 , то есть решение неравенств с многозначными числами сводится к решению уравнения.
Когда будет “ равно”? Как рассуждают учащиеся?
x=428:56 y=852:284

428 |56 852 |283
392 |7 852 | 3
36 0
x=7 y=3
Ответ:7, 6, 5, , 1 Ответ: 4, 5, , 854





8. Функциональная пропедевтика в начальном обучение математике
Понятие функции, функциональной зависимости, соответствия является одним из важнейших в математике.
V x є Х ! y є Y y є f(x)
В начальном курсе математики школьники встречаются с функциями, заданными разными способами:
словесный (в текстовых задачах);
табличный
а
7
8
9

а
·3




аналитический, то есть формулой
“Найти значение выражения (а+6)
·а, если а=1, 2, 3”, где {1, 2, 3} – множество определения функции.
графический, то есть указанием пар вида (х; y), где хєХ, a yєY или точек на координатной плоскости.
Найдите такие задания в школьных учебниках.
Программой предусмотрено ознакомление младших школьников с пропорциональной зависимостью (при решении текстовых задач):
Ст=ц
·к, S=a
·b, S=V
·t и др.
Наблюдаются некоторые свойства линейной, прямо и обратно пропорциональной функций (свойства возрастания и убывания).
Подчёркивать: изменение одной величины ведёт к изменению другой величины.

















ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ТЕКСТАХ СОКРАЩЕНИЯ

Учебные пособия по методике преподавания математики:
МНОМ – «Методика начального обучения математике»;
МОМ – «Методика обучения математике»;
«Практикум» Н.Б. Истоминой – Истомина Н.Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах. – М.: Просвещение, 1986.
«Практикум» В.Н. Медведской – Медведская В.Н. Методика преподавания математики в начальных классах. Практикум. – Брест, 2001.
ОС – опорные схемы;
С-1, С-2, С-3, С-4 – серии 1, 2, 3, 4 заданий к опорным схемам в «Практикуме» В.Н. Медведской.
II. Школьные учебники и тетради:
М0 – Математика: подготовительный класс;
М1 – Математика: 1 класс;
М2 – Математика: 2 класс;
М3 – Математика: 3 класс;
ТПО – Тетрадь на печатной основе.
III. Методические термины:
НКМ – начальный курс математики;
ВП – вычислительный прием;
ВУ – вычислительные умения;
ВН – вычислительные навыки;
ПМД – предматематическое доказательство.


















ОСНОВНАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Методика начального обучения математике / Под общ. ред. А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. – Мн.: Выш. шк., 1988.
Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в I-III классах. – М.: Просвещение, 1978.
Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. – М.: Просвещение, 1984.
Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах. – М.: Издательский центр «Академия», 1999.
Истомина Н.Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах. – М.: Просвещение, 1986.
Медведская В.Н. Методика преподавания математики в начальных классах. Практикум. – Брест, 2001.






















13PAGE 15


13PAGE 1410615



Д Е

С Д Е


С Д Е

С Д Е

Целесообразная предметная деятельность (моделирование)

Осмысление процесса, способов и результатов деятельности


Оречевление этой деятельности

Выделение общего характеристического свойства





Сравнение предметов по их свойствам

Пространственные отношения как один из примеров характеристического свойства множества

Последователь-ность слов-числительных, правила счета, аксиома счета

Сравнение множеств: столько же, больше, меньше, уравнивание

Образование множеств и операции объединения и дополнения: элементы, характеристическое свойство




Овладение компонентами общего умения решать задачи в специально организованной для этого деятельности.









на ?

?

380 кг

Ж

З

Определяю ее тип

Вспоминаю способ решения задач этого типа

Применяю общий способ для решения данной задачи

Дана
конкретная задача

частное

Теоретическая основа

Правило

Теория

Общее

все остальные

устные письменные
вычисления вычисления


((·) однозначных чисел

((() обратные табличным


Практическая деятельность (предметная, наблюдение)

Описание этих действий на языке математики

Обобщение и абстрагирование зависимости между данными и искомыми (правила, понятия)

Анализ выполненного решения «Взгляд назад»

Применение способа в аналогичных условиях

«Открытие» способа решения

К
Количество
Время
Ширина
Площадь



К1
Цена
Скорость
Длина
Урожайность


ОК
Стоимость
Расстояние
Площадь
Урожай



Общие знания и умения

Частные знания и умения

Типовые задачи и способ их решения

Применение общих знаний для любых задач (в т.ч. и нетиповых)

Отказ от классификации задач, т.е. параллельное решение неоднотипных задач

Общие знания и умения

Применение общих знаний и умений для любых задач

практика

пример

пример

Делимое Делитель Частное
10 : 2 = 5


частное



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 35228
    Размер файла: 720 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий