ВВЕДЕНИЕ_В_МЕХАНИКУ_СПЛОШНОЙ_СРЕДЫ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»




Лурье М.М.
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Учебно-методическое пособие















Ростов-на-Дону
2007
Печатается по решению кафедры математического моделирования факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ в рамках проекта K-07-T-41 программы развития ЮФУ.




Ответственный редактор ст. преп. Лурье М.М.

Компьютерный набор и верстка ст. преп. Лурье М.М.


В данном пособии изложены основные постулаты и приближения, разобраны материальное и пространственное описания движения сплошной среды. Сформулированы балансные законы системы материальных точек, и получены основные уравнения неразрывности, движения и симметрии механики сплошной среды. Приведены примеры получения закона движения в лагранжевом и эйлеровом описании, рассмотрены методы определения главных деформаций и напряжений.
Пособие предназначено для преподавания дисциплин в рамках магистерской образовательной программы «Математическое моделирование и компьютерная механика».
Может быть также использовано студентами и аспирантами факультета математики, механики и компьютерных наук, специализирующихся в области механики твердого деформируемого тела, механики жидкости и газа, математического моделирования и вычислительной математики

Содержание

Введение .. 4
1 Основные понятия .. 7
1.1 Гипотеза сплошности .. 7
1.2 Непрерывные отображения 9
1.3 Движение сплошной среды ... 11
1.4 Скорость и ускорение .. 13
1.5 Меры физических величин . 16
2 Основные тензорные величины 19
2.1 Тензор деформаций 19
2.2 Геометрически линейная механика .. 20
2.3 Геометрический смысл компонент деформаций . 22
2.4 Главные направления и главные деформации .. 24
2.5 Тензор скоростей деформаций 25
2.6 Вектор напряжений . 26
2.7 Тензор напряжений 27
2.8 Главные направления и главные напряжения .. 29
2.9 Интенсивность напряжений . 31
3 Фундаментальные законы механики .. 32
3.1 Теорема переноса ... 32
3.2 Закон сохранения массы ... 32
3.3 Закон сохранения импульса 33
3.4 Закон сохранения момента импульса 33
4 Примеры решения задач 34
Заключение . 38
Список литературы .. 38

ВВЕДЕНИЕ
Механика сплошной среды (МСС) – раздел теоретической физики, в котором изучаются макроскопические движения твердых, жидких и газообразных сред с учетом и под влиянием физических полей различной природы. В отличие от теоретической механики, где изучается движение системы материальных точек и твердых тел, в МСС приходится оценивать не только влияние на частицы внешних факторов, но и учитывать взаимовлияние их друг с другом и отказаться от гипотезы абсолютно твердого тела. В связи с этим в круг вопросов МСС входят теории деформирования твердых тел, теории течения жидких и газообразных тел, теории, изучающие поведения тел, которые проявляют признаки и упругости и течения. Более того, здесь рассматриваются теории перехода тела из одного агрегатного состояния в другое, пластичность, поляризации, намагниченности, диффузии и другие фазовые превращения. Тем не менее, разработанные методы справедливы не для любых объектов, с которыми оперирует техника, и тем более природа. И это связано исключительно с атомно-молекулярным строением тел. Только в том случае, когда движением отдельных корпускулярных частиц, каковыми являются атомы и молекулы, можно пренебречь в общем движении их большой массы, можно говорить о законах движения механики сплошной среды. В связи с этим можно сказать, что строительные конструкции, шестерни механизмов вращения, истечение газа из сопла, обтекание жидкостью твердых тел и многое другое можно рассматривать методами МСС. А движение отдельной молекулы в замкнутом сосуде, поведение нано-трубок в электрических и магнитных полях, растяжение нано-пленок и прочие проблемы нано-мира не входят в круг задач МСС. Поэтому в основе этой науки лежит гипотеза о сплошности или непрерывности вещества, которая позволяет рассматривать все тела с непрерывно распределенной массой, отбрасывая их реальное дискретное строение. В этом случае удается весьма успешно оперировать с полями физических величин как непрерывными функциями. Каждую точку можем считать предельной точкой множества распределенных материальных точек, что, в свою очередь, позволяет использовать хорошо разработанный аппарат исчисления бесконечно малых. Исследуя поведение материальных частиц, механика сплошной среды занимает промежуточное положение между механикой, физикой твердого тела и молекулярной физикой. Это проявляется в том, что материальные частицы в механике сплошной среды, с одной стороны, подчиняются фундаментальным законам механики, но с другой стороны, они испытывают внутренние взаимодействия, которые являются прямым следствием внутреннего межмолекулярного взаимодействия. Это обстоятельство приводит к тому, что модели МСС строятся, как с использованием фундаментальных законов механики, справедливых для материальных систем микроскопических, макроскопических и мегаскопических размеров, так и других дополнительных законов межмолекулярного взаимодействия, которые имеют место лишь в определенных рамках изменения внешних параметров. Примером фундаментальных законов для твердого тела могут служить законы сохранения импульса и момента импульса, а дополнительным законом - линейный закон Гука, т.к. при больших деформациях возникает пластичность и линейность нарушается.
Уравнения, получающиеся из фундаментальных и дополнительных законов, должны обладать полнотой, в том смысле, что их вполне достаточно для получения решения, описывающего поведение рассматриваемого тела или протекающего в нем процесса. Основной задачей МСС является построение таких систем уравнений, которые и определяют соответствующую модель эволюционирующей материальной среды.
Актуальность пособия. Несмотря на то, что первые уравнения МСС были получены более двухсот лет назад, и к настоящему времени имеются учебные пособия и даже фундаментальные монографии, актуальность самой науки неуклонно возрастает. Особенно это стало заметно в связи с применением в технике активных материалов, таких, которые способны преобразовывать механическую энергию в другие виды энергии, и наоборот. В классических учебниках такие модели не описываются, а фундаментальные монографии порой трудно доступны, а порой трудны для понимания учащимися. Все это делает актуальным разработку вспомогательных учебных пособий, которые бы описывали усложненные модели, с одной стороны, и обладали свойством математической строгости и физической простоты в понимании, с другой стороны.
Цели и задачи курса. Настоящее учебное пособие имеет своими целями последовательное изучение гипотез и аксиом; фундаментальных балансных законов и вывод, вытекающих из них уравнений; принципов выбора вспомогательных законов и получающихся определяющих соотношений; описание взаимодействующих физических полей с указанием их места и роли в классических и неклассических моделях МСС. Другой целью является выработка практических навыков математического моделирования механических систем на основе изложенных принципов и законов с применением численных методов и программных средств.
Задачами пособия являются: обеспечение теоретической подготовки в области фундаментальных законов естествознания; приобретение практического опыта в правильной постановке задачи, которые необходимы при использовании современных вычислительных комплексов; тренировка способностей анализа результатов и развитие инженерной интуиции.
Пути достижения. Для достижения поставленных задач необходимо последовательно изучить основы тензорного анализа, основы механики сплошных сред, основы термодинамики и электродинамики. Блок предлагаемых практических задач позволит научиться ставить классические начально-краевые задачи теории упругости, гидромеханики, аэродинамики, задачи по расчету напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций из анизотропных и неоднородных материалов, рассчитывать температурные и электромагнитные поля в средах определенного геометрического вида.

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1.1 ГИПОТЕЗА СПЛОШНОСТИ
Гипотеза сплошности. Под материальными объектами подразумеваются всевозможные тела, которые могут изменять как угодно свою форму. Они могут находиться в четырех агрегатных состояниях: твердом, жидком, газообразном и состоянии плазмы. МСС имеет дело с телами, которые содержат в себе огромное число корпускулярных частиц: молекул и атомов. Отличие агрегатных состояний друг от друга заключается в степени упаковки этих частиц. Например, в обычных условиях в объеме воздуха 1 см3 содержится 13 EMBED Equation.3 1415 молекул, для железа 13 EMBED Equation.3 1415. К этому необходимо добавить, что молекулы находятся в беспрестанном движении, в газах их скорости достигают скоростей реактивных самолетов. И хотя неплотная упаковка молекул в газах позволяет молекулам иметь некоторую длину свободного пробега, все же столкновений наблюдается огромное число. В жидких телах молекулы упакованы более плотно, чем в газах, но почти не связаны друг с другом, что также позволяет им перемещаться с места на место, доказательством чего является броуновское движение. В твердых телах наблюдается плотная упаковка и обнаруживается связь между соседними молекулами, а их движение проявляется в непрестанном колебательном движении возле некоторого положения равновесия. Интенсивность их движения объясняет кинетическую природу теплоты, и степень нагрева вещества, т.е. температуру. В основе всей теории механики сплошной среды лежит гипотеза о сплошности или непрерывности вещества, благодаря которой мы отвлекаемся от корпускулярного строения вещества и считаем, что масса распределена непрерывно. Для того, чтобы оценить применимость этой гипотезы к реальным средам вводится так называемое число Кнудсена, равное отношению размера молекулы на среднюю длину ее пробега 13 EMBED Equation.3 1415. Условно считают: если 13 EMBED Equation.3 1415, то среду можно рассматривать как сплошную.
Пример: в межзвездной среде в 1 см3 13 EMBED Equation.3 1415; объемы таких сред, сравнимые по размерам с космическим кораблем, не могут изучаться методами механики сплошных сред.
Материальные точки. В механике, рассматриваемые материальные объекты, имеющие размеры, не играющие существенной роли в рассматриваемом процессе по отношению к размерам других объектов, принимаются за материальные точки. Любое материальное тело можно рассматривать, как состоящее из элементарных объемов, заполненных массой. И поскольку каждый элементарный объем имеет размеры, несущественные по отношению к характерному размеру всего тела, то, будучи заполнен массой (согласно гипотезе непрерывности), может рассматриваться как материальная точка, за координаты которой можно взять координаты любой геометрической точки, находящейся в этом элементарном объеме. Другими словами, под материальной частицей, находящейся в некоторой точке пространства, понимаем элемент массы, центр которого совпадает с этой точкой. Далее все тела рассматриваются в виде связанного множества материальных точек.
Понятие пространства. Будем рассматривать процессы, протекающие со скоростями значительно меньших скорости света (принимается экспериментально установленный факт, что скорость света в пустоте постоянна и одинакова во всех направлениях, независимо от скоростей источника и приемника). Под пространством будем понимать некоторое вместилище, в котором находятся материальные объекты (вопрос о том, может ли существовать пространство независимо от материальных объектов его заполняющих, здесь не рассматривается).
Системы координат. Положение материальной точки можно охарактеризовать положением той геометрической точки пространства, с которой она совпадает в настоящий момент времени. Для отличия одних геометрических точек от других, в пространстве вводится понятие «ближе - дальше», «выше - ниже», «левее - правее» по отношению к некоторому наблюдателю. Этим самым вводится система координат. Ввести систему координат в пространстве - это означает, что надо поставить в соответствие каждой точке пространства упорядоченную тройку чисел.
Время определим как некоторый скалярный параметр, характеризующий продолжительность естественных или искусственных протекающих периодических процессов во Вселенной.
Движение материальной точки. Процесс перемещения материальных точек из одних положений в пространстве в другие будем называть движением этих материальных точек. Любые перемещения материальной точки из одной точки пространства в другую происходят не мгновенно, а имеют некоторую продолжительность, которая может быть сравнена с продолжительностью выбранного за эталон периодического процесса, и, следовательно, может быть охарактеризована параметром времени. Будем считать, что время течет равномерно и прямолинейно от прошлого к будущему и бесконечно делимо.
1.2 НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Деформация. Определение среды как сплошной (СС) и введение материальных точек приводит к формулировке основных положений механики сплошных сред, соответствующих непрерывной модели физических систем, которая оперирует основными понятиями теории поля. Главной задачей теории поля является исследование дифференциальных уравнений в частных производных, которые справедливы в евклидовом пространстве механических, термических и электромагнитных параметров состояния, зависящих от пространственных координат и времени. Для классической теории поля характерно использование гипотезы, согласно которой реальное пространство является евклидовым. Таким образом, всегда возможно введение неподвижной декартовой системы координат 13 EMBED Equation.3 1415. Рассмотрим две области 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 пространства, содержащие некоторое количество непрерывно распределенной материи. Опишем деформацию в физическом смысле, переводящую вещество из области 13 EMBED Equation.3 1415 в область 13 EMBED Equation.3 1415 см. рис. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - вектор произвольной точки 13 EMBED Equation.3 1415 в 13 EMBED Equation.3 1415 при деформации переходит в 13 EMBED Equation.3 1415, соответствующий точке 13 EMBED Equation.3 1415, в области 13 EMBED Equation.3 1415. Такую деформацию можно описать преобразованиями
13 EMBED Equation.3 1415 (1.1)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.2)
Если 13 EMBED Equation.3 1415 пробегает множество точек 13 EMBED Equation.3 1415, то по (1.1) его образ 13 EMBED Equation.3 1415 пробегает множество точек 13 EMBED Equation.3 1415, это позволяет говорить, что 13 EMBED Equation.3 1415 деформируется в 13 EMBED Equation.3 1415, и, наоборот, из (1.2) вытекает, что 13 EMBED Equation.3 1415 деформируется в 13 EMBED Equation.3 1415. В дальнейшем вместо координат с индексом «0» будем иногда использовать обозначения 13 EMBED Equation.3 1415.
Аксиома непрерывности пространства гласит: Любая деформация может быть описана лишь однозначными преобразованиями, имеющими непрерывные производные нужного порядка.
Эта аксиома исключает нереальную деформацию, а часто и физически допустимые сингулярности. Математически это условие означает, что якобиан деформации
13 EMBED Equation.3 1415
удовлетворяет следующему соотношению
13 EMBED Equation.3 1415.
Следствия из аксиомы непрерывности. Известное соотношение между элементами объема деформированной и недеформированной областей
13 EMBED Equation.3 1415,
позволяет сделать следующие заключения: 1) материю, находящуюся в конечном объеме, невозможно путем деформации перевести в нулевой или бесконечно большой объем; 2) материальная частица до деформации остается частицей и после деформации.
1.3 ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
Движение сплошной среды. Движение СС можно определить как однопараметрическое семейство деформаций, где параметром является время:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.3)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.4)
Другими словами, (1.3) определяет отображение материальных точек СС, находящихся в объеме 13 EMBED Equation.3 1415 в материальные точки, находящиеся в 13 EMBED Equation.3 1415 в любой момент времени 13 EMBED Equation.3 1415.
Аксиома непрерывности в отношении времени. Любое преобразование, описывающее движение, имеет непрерывные частные производные по времени сколь угодно высокого порядка (практически достаточно до третьего). Эта аксиома тесно связана с бесконечной делимостью времени.
Пример «движения» не удовлетворяющего аксиоме непрерывности в отношении времени. Дискретное движения объектов, которое можно наблюдать, например, на экране монитора. Это движение, по существу, представляет собой конечную систему неподвижных кратковременных положений объектов в некоторых положениях, и хотя при частой смене этих положений создается впечатление непрерывного движения, в действительности оно непрерывным не является.
Материальное и пространственное описания. В теоретической механике любая точка, входящая в систему имела свой номер. Для конкретизации такой точки надо указать ее номер, тогда уравнения движения позволят в любой момент времени определить координаты положения этой точки в пространстве. В сплошной среде пересчитать точки невозможно. И для конкретизации отдельной частицы невозможно указать ее номер. Однако, как следует из уравнений (1.3), мы можем конкретизировать частицу координатами ее положения в начальный момент времени, пусть она зафиксирована радиус–вектором 13 EMBED Equation.3 1415. Если уравнения движения СС (1.3) известны, то они позволяют определить координаты места в пространстве, которое займет эта частица в текущий момент времени 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Но это уравнения движения одной выбранной материальной точки, где вместо ее номера (как было в теоретической механике) введены ее координаты в начальный момент времени. Характерно, что координаты любой материальной частицы, которые они имели в начальный момент времени, в процессе движения меняться не будут. И если 13 EMBED Equation.3 1415 пробегает все точки начального состояния, то (1.3) позволит определить координаты всех этих же материальных точек (которые в силу следствия из гипотезы непрерывности остаются материальными точками) в любой момент времени. По этой причине координаты материальных точек в начальный момент времени называются материальными координатами или лагранжевыми координатами. Координаты же тех точек пространства, в которых находятся материальные частицы в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415, называются пространственными координатами или эйлеровыми координатами. С другой стороны, соотношения (1.4) можно рассматривать как отображение, позволяющее найти начальные (материальные) координаты частиц, находящихся в данный момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 в точках пространства, определяемых радиус-вектором 13 EMBED Equation.3 1415. Интересно отметить, что для описания различных процессов в СС мы можем выбирать или материальные, или пространственные координаты. Если выбраны материальные координаты, то (1.3) позволяет определить пространственные, а если выбраны пространственные, то (1.4) позволяют определять материальные.
Определение. Если в качестве независимых выбраны материальные координаты, а определяющие и искомые физические поля являются функциями этих координат и времени, то говорят, что используется лагранжево описание движения СС. Если в качестве независимых выбраны пространственные координаты, а определяющие и искомые физические поля являются функциями этих координат и времени, то говорят, что используется эйлерово описание движения СС.
Пример. В качестве примера рассмотрим скалярное поле температур, которое имеет текущая река. Представим себе ситуацию, когда к каждой материальной частице воды прикреплен градусник, перемещающийся так же как и частица. Взглянув в некоторый момент времени на эти градусники, мы увидим поле температур в данный момент. Теперь рассмотрим ситуацию, кода все градусники прикреплены к точкам пространства. Каждый градусник показывает температуру той частицы воды, которая омывает его в данный момент. Взглянув на эти градусники в тот же момент времени, мы увидим то же поле температур. И хотя в первом случае градусники перемещались, а во втором находились в покое, поле температур в один и тот же момент времени они показывали одинаковое. В первом случае использовалось лагранжево описание, а во втором эйлерово.
1.4 СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ
Скорость частицы. Определим скорость частицы как быстроту изменения ее радиус-вектора во времени. Т.к. понятие скорости относится к частице, то для ее определения требуется описание Лагранжа. Для каждой частицы согласно (1.3) ее радиус-вектор 13 EMBED Equation.3 1415 должен быть постоянным во время движения, поэтому скорость выбранной частицы определяется частной производной, т.е. по определению
13 EMBED Equation.3 1415 (1.5)
есть скорость частицы 13 EMBED Equation.3 1415, и соответственно из (1.3)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.6)
Пространственное описание получим, исключив 13 EMBED Equation.3 1415 из (1.6) при помощи обратного преобразования (1.4).
13 EMBED Equation.3 1415 (1.7)
В соответствии с этим соотношением скорость в данной точке оказывается функцией времени, и, следовательно, эйлерово поле скоростей движущегося континуума представляется в виде (1.7).
Понятие субстанциональной производной. Часто необходимо знать, как меняются со временем физические поля, если они определяются самими частицами.
Например, требуется оценить изменение поля температур жидкости в фиксированных точках пространства, когда вполне очевидно, что температуру определяют частицы жидкости, омывающие рассматриваемые точки пространства.
Пусть рассматривается тензорное поле, соответствующее некоторое физической величине. Примем условие: при описании Лагранжа тензорное поле обозначается малыми буквами 13 EMBED Equation.3 1415, а при описании Эйлера - большими 13 EMBED Equation.3 1415, хотя поле физической величины одно и то же. Например, скалярное поле давлений в жидкой среде обозначим 13 EMBED Equation.3 1415- при лагранжевом описании, и 13 EMBED Equation.3 1415 - при эйлеровом описании. Очевидно, что при разных описаниях имеем две функции, каждая из которых зависит от соответствующих координат и времени
13 EMBED Equation.3 1415 (1.8)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.9)
Проанализируем изменение физической величины во времени в материальном и пространственном описании, для чего проводим операцию дифференцирования по времени
13 EMBED Equation.3 1415 (1.10)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.11)
Но в соответствии с (1.3) и (1.5)
13 EMBED Equation.3 1415,
что позволяет записать предыдущие равенства в виде:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.12)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.13)
Из (1.12) следует, что в материальном описании полная производная по времени полевой величины совпадает с субстанциональной производной по времени. А из (1.13) вытекает, что в пространственном описании полное изменение физической величины в единицу времени равно сумме локального изменения 13 EMBED Equation.3 1415в точке 13 EMBED Equation.3 1415 и конвективного изменения 13 EMBED Equation.3 1415, связанного с перемещением элемента массы, находящегося в данной точке пространства со скоростью центра массы 13 EMBED Equation.3 1415.
Ускорение частицы. Определим ускорение частицы как быстроту изменения ее скорости во времени. Для нахождения ускорения из определения следует, что надо выбирать материальное описание, тогда
13 EMBED Equation.3 1415 (1.14)
Если же полевая характеристика скорости выражена в пространственных переменных, то полное изменение скорости по (1.13) находится в виде
13 EMBED Equation.3 1415 (1.15)
причем согласно принятому условию здесь поле скоростей обозначено большой буквой.

1.5 МЕРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
О мерах физических величин. Для описания эволюции той или иной системы необходимо использовать физические законы. Такие законы устанавливаются экспериментально на протяжении многочисленных наблюдений, заключений и выводов о ее поведении. Чтобы эти законы выразить в виде математических формул, необходимо учитывать балансные соотношения между физическими характеристиками, принимаемыми для описания эволюции, различных категорий или различной природы.
Пример. Пусть изучается движение некоторого тела. Характер движения может измениться, если на него начнут воздействовать окружающие тела либо непосредственными толчками, либо воздействием на расстоянии полем, либо как-то иначе. Таким образом, необходимо рассмотреть баланс, с одной стороны которого есть движение тела, а с другой воздействие.
Чтобы внести в балансные соотношения, выраженные математическими формулами, физические характеристики различной физической природы необходимо их «оценить» или «измерить» не только качественно, но и количественно. Именно такие меры и входят в балансные соотношения.
Замечание. При определении пространства и времени были введены два физических параметра 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, связанных с расстоянием и временем. Они входят в балансные соотношения, но не относятся к мерам физических величин, а только выражают факт двух форм существования материи (пространство и время).
Приведем следующие меры, которые используются в МСС.
Масса. Мерой количества вещества является масса. Пусть в объеме 13 EMBED Equation.3 1415 сплошной среды содержится масса 13 EMBED Equation.3 1415. Т.к. масса распределена по этому объему, то можно ввести функцию плотности массы 13 EMBED Equation.3 1415, согласно следующему равенству
13 EMBED Equation.3 1415.
Масса является экстенсивным параметром, поэтому она аддитивна. Для произвольного объема 13 EMBED Equation.3 1415 его масса 13 EMBED Equation.3 1415 находится следующим образом
13 EMBED Equation.3 1415. (1.16)
Сила. Под силой, действующей на материальную точку, будем понимать некоторую меру воздействия на нее со стороны других материальных объектов, которая, оказывает побуждающее к движению действие. Силы могут иметь различную природу, например, появляться при контакте с другими телами, или возникать в результате действия электрических, магнитных и гравитационных полей, но самым общим, их объединяющим признаком, является их побуждающее к движению действие. Поэтому одинаковые движения одной и той же точки, вызванные разными по физической природе воздействиями можно охарактеризовать одной и той же мерой их воздействия, т.е. силой, и при этом полностью отвлечься от самой природы этого воздействия. Если силы распределены в объеме 13 EMBED Equation.3 1415, то можно ввести объемную плотность силы 13 EMBED Equation.3 1415 и определить результирующую силу 13 EMBED Equation.3 1415как
13 EMBED Equation.3 1415.
Можно также ввести массовую плотность силы 13 EMBED Equation.3 1415, как величину силы, действующую на единицу массы, тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Из равенства сил, стоящих в левой части двух предыдущих формул, вытекает
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Сила также является аддитивной величиной, поэтому результирующая сила 13 EMBED Equation.3 1415 объема 13 EMBED Equation.3 1415 находится следующим образом
13 EMBED Equation.3 1415. (1.17)
Аналогично можно рассмотреть поверхностную плотность силы 13 EMBED Equation.3 1415, и определить результирующую силу 13 EMBED Equation.3 1415, действующую на поверхности 13 EMBED Equation.3 1415 как
13 EMB
·ED Equation.3 1415.
Результирующая сила на поверхности 13 EMBED Equation.3 1415 находится по формуле
13 EMBED Equation.3 1415. (1.18)
Момент силы. Момент силы относительно некоторого центра, например, относительно начала координат, определяется по самой силе следующим образом
13 EMBED Equation.3 1415. (1.19)

Количество движения. Определив материальную точку, и, дав определение ее движения, можно определить и меру поступательного движения материальной точки как произведение ее массы на ее скорость. В МСС при использовании материальных координат можно определить количество движения частицы с массой 13 EMBED Equation.3 1415 и скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 как 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
Мера количества движения также является экстенсивным параметром, поэтому для СС, заключенной в произвольном объеме 13 EMBED Equation.3 1415, в котором содержатся одни и те же частицы, количество движения определяется следующим образом
13 EMBED Equation.3 1415. (1.20)
Момент количества движения. «Внешний» момент количества движения относительно начала системы координат, заданной эйлеровыми координатами 13 EMBED Equation.3 1415, определяется по количеству движения поступательного движения следующим образом
13 EMBED Equation.3 1415. (1.21)
«Внутренний» момент количества движения относится к внутреннему вращению выбранного элемента массы континуума определяется следующим образом
13 EMBED Equation.3 1415, (1.22)
где 13 EMBED Equation.3 1415 - макроскопическое среднее внутренних моментов инерции, 13 EMBED Equation.3 1415 - угловая скорость внутреннего вращения. Чтобы описать превращения «внешнего» и «внутреннего» моментов количества движения друг в друга с помощью неравновесной термодинамики, следует ввести аксиальный вектор
13 EMBED Equation.3 1415 (1.23)
2 ОСНОВНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
2.1 ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ
В деформируемых твердых телах важна такая характеристика, как деформация дела. Деформация появляется тогда, когда материальные частицы изменяют свое положение друг относительно друга. Поэтому введем следующие определения.
Совокупное расположение материальных частиц друг относительно друга называется конфигурацией. Конфигурацию в начальный момент назовем начальной или отсчетной, а конфигурацию в текущий момент времени будем называть текущей или актуальной.
В процессе движения СС изменяет свою конфигурацию (конфигурация не менялась бы, если бы тело двигалось как абсолютно твердое). Изменение конфигурации связано деформацией в физическом смысле. Для того чтобы выразить деформацию математически, необходимо ввести какую-либо меру деформации. Для этого рассмотрим две конфигурации СС, и оценим изменение расстояния между двумя произвольными бесконечно близкими точками. Пусть в отсчетной конфигурации эти точки суть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 см. рис. 2. Все материальные точки, которые располагались на бесконечно малом отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 в отсчетной конфигурации, будут находиться на бесконечно малой дуге 13 EMBED Equation.3 1415 (по следствию из гипотезы непрерывности). Длина этой дуги с точность до величин более высокого порядка малости, равна длине бесконечно малого отрезка 13 EMBED Equation.3 1415. Для оценки изменения расстояний между точками до деформации и после, рассмотрим разность квадратов расстояний между этими точками. Векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются векторами перемещений точек 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно. Будем считать, что поле векторов перемещений всех точек является функцией лагранжевых координат. Тогда
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
где введен тензор
13 EMBED Equation.3 1415, (2.1)
называемый тензором деформации Грина.
С другой стороны, мы могли считать поле векторов перемещений функцией эйлеровых координат. Тогда проделывая аналогичные действия, можно получить
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
где введен тензор
13 EMBED Equation.3 1415, (2.2)
называемый тензором деформации Альманси.
2.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА
Достаточно широкий класс задач описывается соотношениями геометрически линейной механики, основанной на предположении о малости перемещений по сравнению с линейными размерами деформируемого тела и поворотов по сравнению с единицей (ограничения не распространяются на смещения как абсолютно твердого тела). Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - характерный линейный размер тела, тогда указанные предположения записываются в виде
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415,
но тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, в геометрически линейной механике пренебрегают различием между пространственными и материальными координатами. Кроме того,
13 EMBED Equation.3 1415
Второе условие позволяет оценить 13 EMBED Equation.3 1415, после чего тензор Грина можно представить в виде
13 EMBED Equation.3 1415.
Совершенно аналогично преобразуется и тензор деформации Альманси
13 EMBED Equation.3 1415.
В этом случае тензор Грина и тензор Альманси совпадают, его обозначают
13 EMBED Equation.3 1415 (2.3)
и называют тензором деформации Коши.

2.3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КОМПОНЕНТ ДЕФОРМАЦИИ
Наглядная геометрическая интерпретация нелинейных компонент тензоров деформации Грина и Альманси невозможна. Однако можно установить связь с измеряемыми относительными деформациями. Предположим, что рассматривается тензор деформации Грина. Пусть задан малый недеформированный элемент 13 EMBED Equation.3 1415, который в процессе деформации переходит в элемент 13 EMBED Equation.3 1415 как показано на рис.

Относительная деформация определяется как относительное изменение длины
13 EMBED Equation.3 1415,
откуда длина элемента в текущей конфигурации
13 EMBED Equation.3 1415.
Но согласно лагранжевому описанию, относительная деформация определяется по отношению к первоначальной длине, следовательно
13 EMBED Equation.3 1415.
Из двух последних равенств получаем
13 EMBED Equation.3 1415,
из которого очевидно, что относительные удлинения бесконечно малого элемента, совпадающего по направлению в отсчетной конфигурации с направлением первой координатной оси, связаны с первым компонентом тензора деформации Грина. Аналогичные правила имеют место и для других направлений.
Пусть теперь рассматриваются два недеформированных ортогональных линейных элемента в отсчетной конфигурации 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, которые переходят соответственно в элементы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.Скалярное произведение линейных элементов после деформации дает
13 EMBED Equation.3 1415.
Но с другой стороны
13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415,
а с учетом полученных ранее соотношений
13 EMBED Equation.3 1415
получается формула для изменения угла 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично получаются соответствующие выражения для остальных углов.
Если ограничиться малыми деформациями, то геометрический смысл компонент деформаций приобретает ясный смысл: компоненты деформаций с одинаковыми индексами равны относительным удлинениям бесконечно малых отрезков, взятых в направлении соответствующих координатных линий; компоненты деформаций с разными индексами равны углам скашивания первоначально прямых углов между бесконечно малыми отрезками, взятых вдоль направления соответствующих координатных линий.
Другими словами, компоненты деформации с одинаковыми индексами описывают относительные удлинения среды, а компоненты деформации с разными индексами описывают сдвиги, первоначально ортогональных элементов
2.4 ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
При повороте выбранной системы координат компоненты тензора деформаций преобразуются по соответствующим формулам перехода. Известно, что для каждого тензора второго ранга существуют три инварианта, не зависящие от ориентации системы координат:
13 EMBED Equation.3 1415
Для тензора деформаций возникает задача определения для данной точки области тех направлений, в которых тензор малых деформаций 13 EMBED Equation.3 1415 имеет только относительные удлинения элементов и не имеет сдвигов. Если преобразовать компоненты тензора деформаций к таким осям, то для этих направлений тензор деформации будет шаровым. Отсюда получаем, что если такие направления существуют, то должны выполняться условия коллинеарности векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. должны выполняться равенства (13 EMBED Equation.3 1415 - коэффициент пропорциональности)
13 EMBED Equation.3 1415.
В силу симметрии тензора деформации предыдущее равенство можно переписать в компонентах декартовой системы координат
13 EMBED Equation.3 1415.
Условия разрешимости этих уравнений приводят к характеристическому уравнению для тензора деформаций
13 EMBED Equation.3 1415
с коэффициентами, равными инвариантам тензора деформаций. Использование теоремы Виета позволяет выразить инварианты через корни полученного характеристического уравнения
13 EMBED Equation.3 1415
Т. к. собственные значения вещественного симметричного тензора второго ранга являются всегда вещественными числами, то главные деформации всегда вещественны.
2.5 ТЕНЗОР СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ
В жидких и газообразных телах такая характеристика, как деформация не играет почти никакой роли. Действительно, если поменять местами, допустим две частицы в газообразной среде, то изменится конфигурация, и как следствие, появится деформация. Но на внутреннее состояние газа это фактически не скажется. Другое дело, если будем учитывать скорость перемены этих двух частиц, тогда интенсивность такой перемены будет менять внутреннее состояние газа. Чтобы охарактеризовать или оценить в какой-то мере интенсивность изменения деформированного состояния вводится тензор скоростей деформаций. Для этого рассмотрим две бесконечно близкие текущие конфигурации в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, отличающиеся на момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 см. рис. 3. Пусть, к тому же, известно поле скоростей в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда можно определить перемещения частиц за промежуток времени 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415. Принимая условно конфигурацию в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 за «отсчетную», а конфигурацию в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 за «текущую», и зная поле перемещений, можем найти приращение тензора деформации за этот промежуток времени. Т.к. в «отсчетной» конфигурации исходными являются эйлеровы координат, значки «0» над набла-оператором не пишем, получаем
13 EMBED Equation.3 1415
Теперь найдем
13 EMBED Equation.3 1415 (2.4)
Полученный тензор носит название тензора скоростей деформаций.
2.6 ВЕКТОР НАПРЯЖЕНИЙ
Когда не тела действуют внешние нагрузки, они не рассыпаются на отдельные материальные частицы, только потому, что между частицами возникают внутренние силовые взаимодействия. Природа этих взаимодействий лежит в области взаимодействия электрических и магнитных сил. Но для оценки этих взаимодействий на уровне материальных частиц введем новое физическое понятие: вектор напряжений. Рассмотрим некоторое текущее состояние СС, на которую наложены внешние воздействия со стороны окружающих тел. Возьмем внутри объема СС произвольную точку 13 EMBED Equation.3 1415 и проведем через эту точку поверхность 13 EMBED Equation.3 1415, делящую весь объем 13 EMBED Equation.3 1415 на два объема 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, как показано на рис. 4. Выберем на поверхности 13 EMBED Equation.3 1415 окрестность 13 EMBED Equation.3 1415 точки 13 EMBED Equation.3 1415. Рассмотрим воздействие частиц, находящихся в 13 EMBED Equation.3 1415, на частицы, находящиеся в 13 EMBED Equation.3 1415. Оно осуществляется через малую поверхность 13 EMBED Equation.3 1415 и сводится к контактному силовому воздействию. А выражается результирующей силой 13 EMBED Equation.3 1415 и результирующим моментом 13 EMBED Equation.3 1415. Направление результирующей силы 13 EMBED Equation.3 1415 может не совпадать с направлением нормали 13 EMBED Equation.3 1415. Рассмотрим следующую характеристику, подобно тому, как в гидростатике вводится давление жидкости
13 EMBED Equation.3 1415. (2.5)
Определенная таким образом характеристика называется вектором напряжений в точке 13 EMBED Equation.3 1415, на площадке с нормалью 13 EMBED Equation.3 1415. Если теперь рассмотрим воздействие частиц, находящихся в 13 EMBED Equation.3 1415, на частицы, находящиеся в 13 EMBED Equation.3 1415, то совершенно аналогично обнаружим, что это воздействие сводится к результирующей силе 13 EMBED Equation.3 1415 и результирующему моменту 13 EMBED Equation.3 1415. Но и внешняя нормаль на этой площадке 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда вектор напряжений на этой площадке можно определить как
13 EMBED Equation.3 1415. (2.6)
Таким образом, при смене направления нормали на противоположное, вектор напряжений меняет знак на противоположный.
2.7 ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
Введенный вектор напряжений характеризует внутреннее состояние силовых взаимодействий частиц друг на друга. Эта характеристика обладает свойством зависимости от расположения элементарной площадки, или направления вектора 13 EMBED Equation.3 1415. Выведем правило нахождения вектора напряжений на любой площадке через напряжения на трех координатных поверхностях. Для этого воспользуемся декартовой прямоугольной системой координат и рассмотрим элементарный триэдр, вырезанный в некоторой точке СС см. рис. 5. Пусть на него действует массовая сила 13 EMBED Equation.3 1415. Кроме того, тетраэдр находится внутри сплошной среды, поэтому воздействие частиц вне тетраэдра на частицы, лежащие внутри его можно оценить как воздействие через соответствующие грани в виде векторов напряжений 13 EMBED Equation.3 1415. Обозначим площадь грани 13 EMBED Equation.3 1415 через 13 EMBED Equation.3 1415. И пусть на этой грани вектор нормали 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда площади остальных граней могут быть выражены через компоненты вектора нормали и площадь 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Применяя принцип затвердевания и принцип Даламбера, запишем условие динамического «равновесия» тетраэдра
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - высота тетраэдра, проведенная из точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - ускорение тетраэдра. Воспользуемся основным свойством вектора напряжений (2.6), разделим обе части равенства на 13 EMBED Equation.3 1415 и перейдем к пределу, при 13 EMBED Equation.3 1415. Сохраним в предельном переходе направление нормали 13 EMBED Equation.3 1415, в результате получим
13 EMBED Equation.3 1415. (2.7)
Получили выражение вектора нормали на любой площадке, определяемой нормалью 13 EMBED Equation.3 1415, через векторы напряжений на координатных площадках и компоненты вектора нормали.
Разложим каждый из векторов напряжений координатных площадок
13 EMBED Equation.3 1415 (2.8)
что можно записать в виде компактной записи с учетом правила суммирования по повторяющимся индексам
13 EMBED Equation.3 1415
Далее определим компоненты вектора нормали
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда соотношение (1.28) можно переписать в виде
13 EMBED Equation.3 1415.
В этом равенстве введен новый объект 13 EMBED Equation.3 1415 – тензор напряжений, через который определяется вектор напряжений на площадке с нормалью 13 EMBED Equation.3 1415. В дальнейшем часто будет применяться полученная только что формула
13 EMBED Equation.3 1415. (2.9)
Формулы (1.30) дают возможность изучать компоненты тензора напряжений. Действительно, на рис. 6. изображен элементарный куб, на гранях которого действуют соответствующие компоненты тензора напряжений.

На этом рисунке изображены только грани, которые имеют нормали, совпадающие с направлением координатных базисных векторов. На противоположных гранях нормали направлены в противоположные стороны, и согласно (1.28) компоненты тензора напряжений имеют противоположные направления.
2.8 ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
По аналогии с тензором деформаций можно отметить, что тензор напряжений второго ранга имеет три инварианта, не зависящие от ориентации системы координат (дальнейшие формулы приведем в декартовой прямоугольной системе координат):
13 EMBED Equation.3 1415 (2.10)
Для тензора напряжений также интересна задача определения для данной точки области тех направлений, в которых вектор напряжения коллинеарен выбранному направлению. Если преобразовать компоненты тензора напряжений к таким осям, то для этих направлений тензор напряжений будет шаровым. Отсюда получаем, что если такие направления существуют, то должны выполняться условия коллинеарности векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. должны выполняться равенства (13 EMBED Equation.3 1415 - коэффициент пропорциональности)
13 EMBED Equation.3 1415.
В силу симметрии тензора напряжений предыдущее равенство можно переписать в компонентах декартовой системы координат
13 EMBED Equation.3 1415.
Условия разрешимости этих уравнений приводят к характеристическому уравнению для тензора напряжений
13 EMBED Equation.3 1415
с коэффициентами, равными инвариантам тензора напряжений. Использование теоремы Виета позволяет выразить инварианты через корни полученного характеристического уравнения
13 EMBED Equation.3 1415
Т. к. собственные значения вещественного симметричного тензора второго ранга являются всегда вещественными числами, то главные напряжения всегда вещественны.
2.9 ИНТЕНСИВНОСТЬ НАПРЯЖЕНИЙЯ
В теории пластичности и механике разрушений часто используется величина, называемая интенсивностью напряжений. Прежде чем дать определение этой характеристики, введем некоторые новые объекты. Пусть выбрана декартова прямоугольная система координат. Построим по заданному тензору напряжений 13 EMBED Equation.3 1415 его девиатор
13 EMBED Equation.3 1415
Девиатор является также тензором второго ранга, поэтому рассмотрим инварианты этого тензора. Согласно общим формулам (2.10) находим
13 EMBED Equation.3 1415
Интенсивностью напряжений называют величину, пропорциональную квадратному корню из второго инварианта девиатора напряжений, взятого со знаком «минус».
В зависимости от принятого коэффициента пропорциональности различают понятия интенсивности нормальных напряжений или просто интенсивности напряжений
13 EMBED Equation.3 1415
и интенсивность касательных напряжений
13 EMBED Equation.3 1415.
Формулу интенсивности напряжений можно выразить через компоненты тензора напряжений
13 EMBED Equation.3 1415.
Для частного случая одноосного напряженного состояния 13 EMBED Equation.3 1415 имеем 13 EMBED Equation.3 1415.
3 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
3.1 ТЕОРЕМА ПЕРЕНОСА
Рассматривается некоторый объем 13 EMBED Equation.3 1415, состоящий из одних и тех же частиц сплошной среды, перемещающихся в пространстве. Пусть в этом объеме определена плотность 13 EMBED Equation.3 1415 некоторой физической характеристики, которая. в свою очередь, определяется интегралом по подвижному объему 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Определим скорость изменения этой величины по времени
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Используем это теорему при выводе уравнений из фундаментальных законов.
3.2 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ
Одним из первых опытно установленных законов природы, верный в определенном приближении, можно считать фундаментальный закон механики Ньютона – закон сохранения массы. Пусть плотность массы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - произвольный объем одних и тех же материальных частиц, перемещающихся в пространстве так. Тогда масса
13 EMBED Equation.3 1415.
Закон сохранения выражается в том, что скорость изменения массы в каждый момент времени равна нулю. Применяя теорему переноса, получаем
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда в силу произвольности объема имеем
13 EMBED Equation.3 1415. (3.1)
3.3 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Следующим фундаментальным законом является закон о сохранении количества движения или импульса: скорость изменения количества движения произвольного объема, состоящего из одних и тех же материальных частиц. равна сумме поверхностных и массовых сил.
13 EMBED Equation.3 1415.
Выражая вектор напряжения через тензор напряжения, применяя теорему переноса и формулу Гаусса-Остроградского, получаем
13 EMBED Equation.3 1415.
Но в силу произвольности объема 13 EMBED Equation.3 1415 и соотношения (3.1) имеем
13 EMBED Equation.3 1415. (3.2)
Полученные уравнения называются уравнениями движения сплошной среды.
3.4 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
В том случае, когда мы пренебрегаем внутренним моментом количества движения и моментным взаимодействием частиц. справедлив закон сохранения количества движения: скорость изменения момента количества движения равна моменту массовых и поверхностных сил
13 EMBED Equation.3 1415.
Совершенно аналогично выражаем вектор напряжения через тензор напряжения, применяя теорему переноса и формулу Гаусса-Остроградского, получаем
13 EMBED Equation.3 1415
После некоторых преобразований, и учета (3.1) – (3.2), получаем
13 EMBED Equation.3 1415,
что в силу произвольности объема дает
13 EMBED Equation.3 1415.
Это соотношение можно переписать в виде
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - символы Леви-Чевитта. Из этих соотношений вытекает
13 EMBED Equation.3 1415. (3.3)
Таким образом, получаем, что в классическом случае тензор напряжений симметричен.
4 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Поле скоростей в эйлеровом пространстве имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415. (4.1)
Найти: тензор скоростей деформаций; изменение плотности в процессе движения; закон движения; вектор перемещения как функцию лагранжевых коородинат 13 EMBED Equation.3 1415; тензор деформаций 13 EMBED Equation.3 1415.
Запишем (4.1) в виде системы дифференциальных уравнений в эйлеровых координатах
13 EMBED Equation.3 1415,
и интегрируем
13 EMBED Equation.3 1415.
Постоянные интегрирования находим из начальных условий, показывающих, что в наячальный момент эйлеровы и лагранжевы координаты совпадают
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
А общее решение принимает вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Получили закон движения сплошной среды. Т.к. вектор перемещений связан с эйлеровыми и лагранжевыми координатами по известным формулам 13 EMBED Equation.3 1415, то из предыдущего получаем
13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь все вспомогательные величины найдены, и мы можем ответить на все вопросы задачи.
Тензор скоростей деформации находим по (4.1) дифференцированием по эйлеровым координатам
13 EMBED Equation.3 1415.
Изменение плотности. Воспользуемся уравнением неразрывности, которое запишем в лагранжевых координатах
13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 - якобиан перехода от лагранжевых к эйлеровым координатам, который находится по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Подставляя это значение в уравнение неразрывности, получаем
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда легко находим
13 EMBED Equation.3 1415.
Т.е. нашли закон изменения плотности в лагранжевых координатах. Для того, чтобы найти изменение плотности в эйлеровых координатах необходимо закон движения 13 EMBED Equation.3 1415 подставить в функцию начального распределения плотности
13 EMBED Equation.3 1415.
Окончательно имеем
13 EMBED Equation.3 1415.
Закон движения
13 EMBED Equation.3 1415.
Вектор перемещения (как функция лагранжевых координат)
13 EMBED Equation.3 1415.
Тензор деформаций
13 EMBED Equation.3 1415.
Задача полностью решена

Пример 2. Заданы компоненты тензора напряжений в декартовой ортогональной системе координат
13 EMBED Equation.3 1415.
Найти главные напряжения, главные оси тензора напряжений и интенсивность напряжений.
Для нахождения главных напряжений воспользуемся известными формулами
13 EMBED Equation.3 1415.
Условия существования нетривиального решения по заданному тензору напряжений можно переписать в виде
13 EMBED Equation.3 1415.
Характеристическое уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
имеет следующие корни
13 EMBED Equation.3 1415,
которые являются главными напряжениями.
Подставляя первое главное значение в систему уравнений, получим первое главное направление (нормированный вектор)
13 EMBED Equation.3 1415.
Подставляя второе главное значение в систему уравнений, получим второе главное направление (нормированный вектор)
13 EMBED Equation.3 1415.
И, наконец, также находим третье главное направление
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, главные значения
13 EMBED Equation.3 1415,
главные направления
13 EMBED Equation.3 1415
Получили три взаимно ортогональных направления.
Находим интенсивность напряжений. Воспользуемся формулой
13 EMBED Equation.3 1415,
в которую подставляем заданные компоненты тензора напряжения
13 EMBED Equation.3 1415.
Задача полностью решена.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящем пособии подробно с единых математических позиций представлены положения механики сплошной среды. Рассмотрены основные законы механики и выведены соответствующие уравнения: неразрывности и движения сплошной среды. Кроме введенных тензоров напряжений и деформаций представлены некоторые характеристики, которые необходимы в дальнейшем, при исследовании задач пластичности и разрушения. В пособии используется строгий, но не сложный математический аппарат. Все вводимые физические характеристики снабжены определениями и подробными разъяснениями. Предлагаемые примеры несмотря на свою простоту включают в себя основные положения, разобранные в общей части. Они оказываются полезными для усвоения материала, связанного с пространственным и материальным описанием движения сплошной среды. Настоящее пособие является основной подготовительной частью для дальнейшего описания протекающих процессов в средах с усложненными физическими свойствами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. Курс лекций. М., ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 272 с.
Можен М. Механика электромагнитных сплошных сред. М., Мир, 1991. – 560 с.
Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М., Изд. Моск. ун-та, 1990. – 310с.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. М., Наука, т. 1, 1976. – 536 с.
Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. Изд. Моск. ун-та, 1973. – 164 с.
Галин Г.Я., Голубятников А.Н., Каменярж Я.А., Карликов В.П., Куликовский А.Г., Петров А.Г., Свешникова Е.И., Шикина И.С., Эглит М.Э. Механика сплошных сред в задачах. Том 1: Теория и задачи. М.: «Московский лицей», 1996. - 396 с.
Галин Г.Я., Голубятников А.Н., Каменярж Я.А., Карликов В.П., Куликовский А.Г., Петров А.Г., Свешникова Е.И., Шикина И.С., Эглит М.Э. Механика сплошных сред в задачах. Том 2. Ответы и решения. М.: «Московский лицей», 1996. - 394 с.
Амензаде Ю.А. Теория упругости. М., Высшая школа, 1976. - 272 с.
Снеддон И.Н., Бери Д.С. Классическая теория упругости. М., Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1961. - 220 с.
Хан Х. Теория упругости. М., Мир, 1988. – 344 с.
Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. М., высшая школа, 1972. – 368 с.
Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. Ч. 1. Основы механики сплошной среды. М., Высш. шк., 1979. 384 с.








13PAGE 15


13PAGE 143915




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativedEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 7938969
    Размер файла: 719 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий