БРУЙ-УСР4-ИСТ-23-01-2016

УПРАВЛЯЕМАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
в 4 семестре 2015/2016 учебного года в группах ИСТ-21 и ИСТ-22.


Управляемая самостоятельная работа 1. Комбинаторные методы для нахождения вероятностей событий.

Теоретические материалы по теме см. в:
Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике : Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб. пособие / А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. – 336 с.
Стр. 125, 127–128.

Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами.
Конечное множество из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов называется кратко 13 EMBED Equation.3 1415–множеством.
Определение 1. Упорядоченной 13 EMBED Equation.3 1415выборкой из данного 13 EMBED Equation.3 1415множества 13 EMBED Equation.3 1415 называется любое упорядоченное 13 EMBED Equation.3 1415множество
13 EMBED Equation.3 1415
элементов 13 EMBED Equation.3 1415, не обязательно различных. Число появлений одного и того же элемента в упорядоченной выборке называется кратностью этого элемента. Две упорядоченные выборки
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
называются равными, если
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Если каждый элемент в упорядоченной 13 EMBED Equation.3 1415выборке имеет кратность 13 EMBED Equation.3 1415, то она называется размещением без повторений из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415. Общее число всех таких размещений обозначается 13 EMBED Equation.3 1415 (здесь обязательно 13 EMBED Equation.3 1415). Если хотя бы один элемент в упорядоченной 13 EMBED Equation.3 1415выборке имеет кратность 13 EMBED Equation.3 1415, то она называется размещением с повторениями из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415. Общее число всех таких размещений обозначается 13 EMBED Equation.3 1415 (здесь может быть 13 EMBED Equation.3 1415).
·
Обозначение 13 EMBED Equation.3 1415 от слова arrangement (фр.), которое переводится как размещение, приведение в порядок.
Теорема 1. 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 2. 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение 2. Размещение без повторений из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415 называется перестановкой без повторений из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов. Общее число всех таких перестановок обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
·
Обозначение 13 EMBED Equation.3 1415 от слова permutation (фр.), которое переводится как перестановка, перемещение.
13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 3. Перестановки с повторениями: 13 EMBED Equation.3 1415.

Определение 3. Неупорядоченной 13 EMBED Equation.3 1415выборкой из данного 13 EMBED Equation.3 1415множества 13 EMBED Equation.3 1415 называется любое неупорядоченное 13 EMBED Equation.3 1415множество
13 EMBED Equation.3 1415
элементов 13 EMBED Equation.3 1415, не обязательно различных. Число появлений одного и того же элемента в неупорядоченной выборке называется кратностью этого элемента. Две неупорядоченные выборки
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
называются равными, если каждая из них состоит из одних и тех же элементов 13 EMBED Equation.3 1415 одной и той же кратности. Если каждый элемент в неупорядоченной 13 EMBED Equation.3 1415выборке имеет кратность 13 EMBED Equation.3 1415, то она называется сочетанием без повторений из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415. Общее число всех таких сочетаний обозначается 13 EMBED Equation.3 1415 (здесь обязательно 13 EMBED Equation.3 1415). Если хотя бы один элемент в неупорядоченной 13 EMBED Equation.3 1415выборке имеет кратность 13 EMBED Equation.3 1415, то она называется сочетанием с повторениями из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415. Общее число всех таких сочетаний обозначается 13 EMBED Equation.3 1415 (здесь может быть 13 EMBED Equation.3 1415).
·
Обозначение 13 EMBED Equation.3 1415 от слова combinaison (фр.), которое переводится как сочетание, комбинация.
Теорема 4. 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 5. 13 EMBED Equation.3 1415.

Схема рассуждений при решении задач по теме «Комбинаторные методы для нахождения вероятностей событий».
Упорядоченная

Неупорядоченная

13 EMBED Equation.3 1415-выборка из 13 EMBED Equation.3 1415-множества
без повторений.

с повторениями.


1) Из урны, содержащей 13 EMBED Equation.3 1415 перенумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку: 1, 2, , 13 EMBED Equation.3 1415.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 13 EMBED Equation.3 1415–выборка из 13 EMBED Equation.3 1415–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановка без повторений из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов.
Число всех равновозможных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415. Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

2) Из урны, содержащей 13 EMBED Equation.3 1415 перенумерованных шаров, наугад вынимают один шар и записывают его номер. Каждый шар после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другими. Процесс вынимания повторяется 13 EMBED Equation.3 1415 раз. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1, 2, , 13 EMBED Equation.3 1415.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 13 EMBED Equation.3 1415–выборка из 13 EMBED Equation.3 1415–множества с повторениями. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение с повторениями из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415.
Число всех равновозможных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415. Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

3) Из четырёх букв разрезной азбуки составлено слово «МАТЬ». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «МАТЬ».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 4–выборка из 4–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 4 элементов по 4. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановка без повторений из 4 элементов.
Число всех равновозможных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415. Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

3’) Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «ИГОРЬ». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «ИГОРЬ».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 5–выборка из 5–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 5 элементов по 5. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановка без повторений из 5 элементов.
Число всех равновозможных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415. Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

4) Из четырёх букв разрезной азбуки составлено слово «МАМА». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «МАМА».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 4–выборка из 4–множества с повторениями. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение с повторениями из 4 элементов по 4, в котором для каждого элемента указывается число его повторений: «М» - 2; «А» - 2. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановка с повторениями.
Число всех равновозможных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415. Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

4’) Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «НАИНА». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «НАИНА».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 5–выборка из 5–множества с повторениями. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение с повторениями из 5 элементов по 5, в котором для каждого элемента указывается число его повторений: «Н» - 2; «А» - 2; «И» - 1. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановка с повторениями.
Число всех равновозможных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415. Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

4’’) Из шести букв разрезной азбуки составлено слово «БАОБАБ». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «БАОБАБ».

Р е ш е н и е. Упорядоченная 6–выборка из 6–множества с повторениями. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение с повторениями из 6 элементов по 6, в котором для каждого элемента указывается число его повторений: «Б» - 3; «А» - 2; «О» - 1. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановка с повторениями.
Число всех равновозможных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415. Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

5.1) В танцевальном баре восемь студенток и десять студентов. Объявлено: «Дамы приглашают кавалеров». Студентки выбирают себе партнёров последовательно, случайным образом, при условии, что никакие две студентки танцевать с одним студентом не могут. Найти вероятность того, что будут приглашены первые восемь студентов согласно алфавитному списку.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 8–выборка из 10–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 10 элементов по 8.
Число всех равновозможных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415.
Упорядоченная 8–выборка из 8–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 8 элементов по 8. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановка без повторений из 8 элементов.
Число благоприятных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

5.2) В танцевальном баре девять студенток и одиннадцать студентов. Объявлено: «Дамы приглашают кавалеров». Студентки выбирают себе партнёров последовательно, случайным образом, при условии, что никакие две студентки танцевать с одним студентом не могут. Найти вероятность того, что будут приглашены первые девять студентов согласно алфавитному списку.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 9–выборка из 11–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 11 элементов по 9.
Число всех равновозможных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415.
Упорядоченная 9–выборка из 9–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 9 элементов по 9. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановка без повторений из 9 элементов.
Число благоприятных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

5.3) В танцевальном баре десять студенток и двенадцать студентов. Объявлено: «Дамы приглашают кавалеров». Студентки выбирают себе партнёров последовательно, случайным образом, при условии, что никакие две студентки танцевать с одним студентом не могут. Найти вероятность того, что будут приглашены первые десять студентов согласно алфавитному списку.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 10–выборка из 12–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 12 элементов по 10.
Число всех равновозможных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415.
Упорядоченная 10–выборка из 10–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 10 элементов по 10. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановка без повторений из 10 элементов.
Число благоприятных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

6) Батарея, состоящая из 13 EMBED Equation.3 1415 орудий, ведёт огонь по группе, состоящей из 13 EMBED Equation.3 1415 самолётов (13 EMBED Equation.3 1415). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все 13 EMBED Equation.3 1415 орудий будут стрелять по разным целям.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 13 EMBED Equation.3 1415–выборка из 13 EMBED Equation.3 1415–множества с повторениями. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение с повторениями из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415.
Число всех равновозможных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415.
Упорядоченная 13 EMBED Equation.3 1415–выборка из 13 EMBED Equation.3 1415–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415.
Число благоприятных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

7.1) Пять человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 5–выборка из 5–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 5 элементов по 5. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановка без повторений из 5 элементов.
Число всех равновозможных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415.
Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

7.2) Шесть человек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 6–выборка из 6–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 6 элементов по 6. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановка без повторений из 6 элементов.
Число всех равновозможных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415.
Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

8.1) Четыре человека рассаживаются случайно вдоль одной из сторон прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 4–выборка из 4–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 4 элементов по 4. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановка без повторений из 4 элементов.
Число всех равновозможных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415.
Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

8.2) Пять человек рассаживаются случайно вдоль одной из сторон прямоугольного стола. Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

Р е ш е н и е. Упорядоченная 5–выборка из 5–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение без повторений из 5 элементов по 5. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановка без повторений из 5 элементов.
Число всех равновозможных элементарных событий
13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415.
Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

9) В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Р е ш е н и е. Неупорядоченная 2–выборка из 8–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Сочетание без повторений из 8 элементов по 2.
Число всех равновозможных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415.
Неупорядоченная 2–выборка из 3–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Сочетание без повторений из 3 элементов по 2.
Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

10) В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность того, что два из них будут белыми, а три  чёрными.

Р е ш е н и е. Неупорядоченная 5–выборка из 8–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Сочетание без повторений из 8 элементов по 5.
Число всех равновозможных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415.
Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

11) В партии, состоящей из 13 EMBED Equation.3 1415 изделий, имеется 13 EMBED Equation.3 1415 дефектных. Из партии выбирается для контроля 13 EMBED Equation.3 1415 изделий. Найти вероятность того, что из них ровно 13 EMBED Equation.3 1415 изделий будут дефектными.



Дефектных
изделий
Недефектных
изделий

13 EMBED Equation.3 1415-партия
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415-выборка
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415


Р е ш е н и е. Неупорядоченная 13 EMBED Equation.3 1415–выборка из 13 EMBED Equation.3 1415–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Сочетание без повторений из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415.
Число всех равновозможных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415.
Число благоприятных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

12) В урне 3 белых и 5 чёрных шаров. Из урны вынимают сразу два шара. Какое событие более вероятно:
13 EMBED Equation.3 1415  шары одного цвета;
13 EMBED Equation.3 1415  шары разных цветов?

Р е ш е н и е. Неупорядоченная 2–выборка из 8–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Сочетание без повторений из 8 элементов по 2.
Число всех равновозможных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Число благоприятных событию 13 EMBED Equation.3 1415 элементарных случаев 13 EMBED Equation.3 1415. Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
Число благоприятных событию 13 EMBED Equation.3 1415 элементарных случаев 13 EMBED Equation.3 1415. Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·
О т в е т. 13 EMBED Equation.3 1415.

13) В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют восемнадцать команд, из которых случайным образом формируются две группы по девять команд в каждой. Среди участников соревнований имеется пять команд экстракласса. Найти вероятности следующих событий:
13 EMBED Equation.3 1415  все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу;
13 EMBED Equation.3 1415  две команды экстракласса попадут в одну из групп, а три  в другую.

Р е ш е н и е. Неупорядоченная 9–выборка из 18–множества без повторений. 13 EMBED Equation.3 1415
Сочетание без повторений из 18 элементов по 9.
Число всех равновозможных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415.
Число благоприятных событию 13 EMBED Equation.3 1415 элементарных случаев 13 EMBED Equation.3 1415. Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
Число благоприятных событию 13 EMBED Equation.3 1415 элементарных случаев 13 EMBED Equation.3 1415. Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·

14) Из полной колоды карт (52 листа, 4 масти) вынимается сразу несколько карт. Сколько карт нужно вынуть, чтобы с вероятностью, большей чем 0,50, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?

Р е ш е н и е. Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415 наличие среди 13 EMBED Equation.3 1415 вынутых карт не менее двух одной масти.
При 13 EMBED Equation.3 1415 число всех равновозможных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415. Число благоприятных событию 13 EMBED Equation.3 1415 элементарных случаев 13 EMBED Equation.3 1415. Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 число всех равновозможных элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415. Число благоприятных событию 13 EMBED Equation.3 1415 элементарных случаев 13 EMBED Equation.3 1415. Искомая вероятность 13 EMBED Equation.3 1415.
·
О т в е т. Нужно вынуть 13 EMBED Equation.3 1415 карт.

Контроль УСР 1 «Комбинаторные методы для нахождения вероятностей событий» (задания из экзаменационных билетов).

Вариант 1. ИСТ-21: Колдушко С. Д, Кондратович Ю. И., Коновальчик В. Е. ИСТ-22: Аллаберенов А. А., Володько В. Л.
Четыре лица случайным образом выбираются из группы, состоящей из 4 русских, 3 украинцев и 2 белорусов. Применяя комбинаторику найти вероятность того, что в выбранной четвёрке точно 1 человек будет русским.

Вариант 2. ИСТ-21: Макаренко И. А., Малентович К. А., Минько И. Н. ИСТ-22: Говор А. А., Дорошенко А. В.
Четыре лица случайным образом выбираются из группы, состоящей из 4 русских, 3 украинцев и 2 белорусов. Применяя комбинаторику найти вероятность того, что в выбранной четвёрке точно 3 человека будут русскими.

Вариант 3. ИСТ-21: Пятигор А. Л., Рак А. А., Тихонов С. А. ИСТ-22: Жуков Р. С., Илистинов В. И.
Четыре лица случайным образом выбираются из группы, состоящей из 4 русских, 3 украинцев и 2 белорусов. Применяя комбинаторику найти вероятность того, что в выбранной четвёрке будут 3 украинца.

Вариант 4. ИСТ-21: Усенко И. В., Хмелевский В. В., Шумский Я. Д., Яхонт В. И. ИСТ-22: Мезяк А. И., Попченя Р. С.
Четыре лица случайным образом выбираются из группы, состоящей из 4 русских, 3 украинцев и 2 белорусов. Применяя комбинаторику найти вероятность того, что в выбранной четвёрке точно 1 человек будет белорусом.


Управляемая самостоятельная работа 2. Безусловные и условные вероятности событий. Зависимые и независимые события.

Теоретические материалы по теме см. в:
Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике : Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб. пособие / А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. – 336 с.
Стр. 127, 134.

Пусть пространство элементарных событий, соответствующих данному испытанию, состоит из 13 EMBED Equation.3 1415 равновозможных элементарных событий. В этом случае (безусловной) вероятностью события 13 EMBED Equation.3 1415 называется отношение числа 13 EMBED Equation.3 1415 элементарных событий, благоприятных для 13 EMBED Equation.3 1415, к числу 13 EMBED Equation.3 1415 всех элементарных событий:
13 EMBED Equation.3 1415.
Обозначение 13 EMBED Equation.3 1415 (рублёный шрифт) от слов probabititй (фр.) и probability (англ.), которые переводятся как вероятность.

Вероятность события 13 EMBED Equation.3 1415, вычисленная при условии, что произошло событие 13 EMBED Equation.3 1415, называется условной вероятностью события 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично определяется условная вероятность события 13 EMBED Equation.3 1415; обозначения 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8, если известно, что эта сумма есть чётное число.

Р е ш е н и е. Пространство элементарных событий

2-я
1-я
1
2
3
4
5
6

1
1+1


1+2
1+3


1+4
1+5


1+6

2
2+1
2+2


2+3
2+4


2+5
2+6



3
3+1


3+2
3+3


3+4
3+5


3+6

4
4+1
4+2


4+3
4+4


4+5
4+6



5
5+1


5+2
5+3


5+4
5+5


5+6

6
6+1
6+2


6+3
6+4


6+5
6+6




Событие 13 EMBED Equation.3 1415={сумма выпавших очков равна 8}.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415={сумма выпавших очков чётная}.
13 EMBED Equation.3 1415.
·

Безусловная же вероятность события 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.

Событие 13 EMBED Equation.3 1415 называется независимым от события 13 EMBED Equation.3 1415, если вероятность события 13 EMBED Equation.3 1415 не зависит от того, произошло событие 13 EMBED Equation.3 1415 или нет.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415 называется зависимым от события 13 EMBED Equation.3 1415, если вероятность события 13 EMBED Equation.3 1415 меняется в зависимости от того, произошло событие 13 EMBED Equation.3 1415 или нет.

Пример. (Предыдущий.)

2-я
1-я
16

1

6



Р е ш е н и е. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Событие 13 EMBED Equation.3 1415 зависит от события 13 EMBED Equation.3 1415.
·

Условие независимости события 13 EMBED Equation.3 1415 от события 13 EMBED Equation.3 1415 можно записать в виде
13 EMBED Equation.3 1415,
а условие зависимости в виде
13 EMBED Equation.3 1415.

Зависимость или независимость событий всегда взаимны. В связи с этим можно дать следующее новое определение независимых событий.
Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появление другого.

Контроль УСР 2 «Безусловные и условные вероятности событий. Зависимые и независимые события» (задания из экзаменационных билетов).

Вариант 1. ИСТ-21: Колдушко С. Д, Кондратович Ю. И., Коновальчик В. Е. ИСТ-22: Аллаберенов А. А., Володько В. Л.
Последовательно бросаются две монеты. Найти безусловные и условные вероятности следующих событий:
А – выпадение герба на первой монете;
F – выпадение герба на второй монете.
Зависимы или независимы эти события?

Вариант 2. ИСТ-21: Макаренко И. А., Малентович К. А., Минько И. Н. ИСТ-22: Говор А. А., Дорошенко А. В.
Из полной колоды карт (4(13=52 листа) вынимается одна карта. Найти безусловные и условные вероятности следующих событий:
В – появление карты красной масти;
С – появление бубнового туза.
Зависимы или независимы эти события?

Вариант 3. ИСТ-21: Пятигор А. Л., Рак А. А., Тихонов С. А. ИСТ-22: Жуков Р. С., Илистинов В. И.
Последовательно бросаются две монеты. Найти безусловные и условные вероятности следующих событий:
D – выпадение хотя бы одного герба;
F – выпадение герба на второй монете.
Зависимы или независимы эти события?

Вариант 4. ИСТ-21: Усенко И. В., Хмелевский В. В., Шумский Я. Д., Яхонт В. И. ИСТ-22: Мезяк А. И., Попченя Р. С.
Из неполной колоды карт (4(9=36 листов) вынимается одна карта. Найти безусловные и условные вероятности следующих событий:
А – появление туза;
С – появление бубнового туза.
Зависимы или независимы эти события?


Управляемая самостоятельная работа 3. Неравенство П. Л. Чебышёва.

Теоретические материалы по теме см. в:
Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике : Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб. пособие / А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. – 336 с.
Стр. 219-220.

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415  случайная величина с математическим ожиданием 13 EMBED Equation.3 1415 и средним квадратичным отклонением 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда для любого 13 EMBED Equation.3 1415 вероятность того, что 13 EMBED Equation.3 1415 принимает значения, отличающиеся от 13 EMBED Equation.3 1415 больше (13 EMBED Equation.3 1415) чем на 13 EMBED Equation.3 1415, меньше (13 EMBED Equation.3 1415) 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда при 13 EMBED Equation.3 1415 получаем
13 EMBED Equation.3 1415.

3.1. Неравенство П. Л. Чебышёва. Каково бы ни было 13 EMBED Equation.3 1415 для любой случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415, дисперсия которой конечна, имеет место неравенство Чебышёва
13 EMBED Equation.3 1415.

1) Электростанция обслуживает сеть из 18000 ламп, вероятность включения каждой из которых в зимний вечер равна 0,9. Какова вероятность того, что число ламп, включённых в сеть зимним вечером, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 200?

Р е ш е н и е. Согласно условию дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415  число включённых ламп – распределена по биномиальному закону. Тогда математическое ожидание 13 EMBED Equation.3 1415, а дисперсия 13 EMBED Equation.3 1415. В силу неравенства Чебышёва искомая вероятность
13 EMBED Equation.3 1415.
·
О т в е т. 13 EMBED Equation.3 1415.

2) Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415, задана следующей таблицей вероятностей (следующим рядом распределения):
Х
1
2
3
4
5
6

Р
0,05
0,10
0,25
0,30
0,20
0,10

Чему равна вероятность того, что 13 EMBED Equation.3 1415? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышёва.

Р е ш е н и е. Шаг 1. По определению математическое ожидание
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Шаг 2. По теореме дисперсия
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Шаг 3. Неравенству
13 EMBED Equation.3 1415
удовлетворяют следующие значения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415: 2, 3, 4 и 5. Тогда искомая вероятность
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность также может быть найдена путём перехода к противоположному событию
13 EMBED Equation.3 1415.
Шаг 4. Согласно неравенству Чебышёва
13 EMBED Equation.3 1415.
О т в е т. Вероятность 13 EMBED Equation.3 1415. Согласно неравенству Чебышёва оценка снизу этой вероятности 13 EMBED Equation.3 1415.

2’) Дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415, задана следующей таблицей вероятностей (следующим рядом распределения):
Х
-1
0
2
4
6

Р
0,2
0,4
0,3
0,05
0,05

Чему равна вероятность того, что 13 EMBED Equation.3 1415? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышёва.

Р е ш е н и е. Шаг 1. По определению математическое ожидание
13 EMBED Equation.3 1415.
Шаг 2. По теореме дисперсия
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Шаг 3. Неравенству
13 EMBED Equation.3 1415
удовлетворяют следующие значения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415: -1, 0, 2 и 4. Тогда искомая вероятность
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность также может быть найдена путём перехода к противоположному событию
13 EMBED Equation.3 1415.
Шаг 4. Согласно неравенству Чебышёва
13 EMBED Equation.3 1415.
О т в е т. Вероятность 13 EMBED Equation.3 1415. Согласно неравенству Чебышёва оценка снизу этой вероятности 13 EMBED Equation.3 1415.

3) Средняя длина детали 50 см, а дисперсия 0,1. Пользуясь неравенством Чебышёва, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.

Р е ш е н и е. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - длина случайно взятой детали. Из условия задачи следует, что математическое ожидание 13 EMBED Equation.3 1415, а дисперсия 13 EMBED Equation.3 1415. Требуется оценить снизу вероятность 13 EMBED Equation.3 1415. Так как неравенство
13 EMBED Equation.3 1415,
то необходимо оценить снизу вероятность 13 EMBED Equation.3 1415. Согласно неравенству Чебышёва
13 EMBED Equation.3 1415.
О т в е т. 13 EMBED Equation.3 1415.

3.2. Теорема П. Л Чебышёва. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - последовательность независимых случайных величин, имеющих дисперсии, которые ограничены одной и той же постоянной 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда, каково бы ни было постоянное положительное число 13 EMBED Equation.3 1415, имеет место обобщённое неравенство Чебышёва
13 EMBED Equation.3 1415.

4) Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить снизу вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения во всей партии по абсолютной величине меньше чем на 5 ч, если известно, что среднее квадратичное отклонение продолжительности горения ламп в каждом ящике меньше 7 ч.

Р е ш е н и е. Пусть дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 - продолжительность горения электролампы, взятой из 13 EMBED Equation.3 1415-го ящика. В задаче дано, что дисперсия 13 EMBED Equation.3 1415. Очевидно, что средняя продолжительность горения ламп в выборке
13 EMBED Equation.3 1415,
а средняя продолжительность горения ламп во всей партии
13 EMBED Equation.3 1415.
В задаче требуется оценить снизу вероятность
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 - независимые случайные величины, то эта вероятность оценивается снизу правой частью обобщённого неравенства Чебышёва, где следует положить 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, искомая вероятность
13 EMBED Equation.3 1415.
·
О т в е т. 13 EMBED Equation.3 1415.

5) Сколько раз нужно измерить данную величину, истинное значение которой равно 13 EMBED Equation.3 1415, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое значение этих измерений отличается от 13 EMBED Equation.3 1415 по абсолютной величине меньше чем на 2, если среднее квадратичное отклонение каждого из измерений меньше 10?

Р е ш е н и е. Пусть дискретная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415  результат 13 EMBED Equation.3 1415-го измерения. В задаче дано, что математическое ожидание 13 EMBED Equation.3 1415, а дисперсия 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415.
Требуется найти такое 13 EMBED Equation.3 1415, при котором
13 EMBED Equation.3 1415.
Согласно обобщённому неравенству Чебышёва
13 EMBED Equation.3 1415,
где следует положить 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда требуемое неравенство во всяком случае будет выполняться, если:
13 EMBED Equation.3 1415.
·
О т в е т. 13 EMBED Equation.3 1415.

6) Выяснить, применимо ли обобщённое неравенство Чебышёва к последовательности независимых случайных величин 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415 имеет следующее распределение:
13 EMBED Equation.3 1415
-5n
0
5n

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Р е ш е н и е. Обобщённое неравенство Чебышёва применимо к последовательности независимых случайных величин 13 EMBED Equation.3 1415, если существует такая постоянная 13 EMBED Equation.3 1415, что дисперсия 13 EMBED Equation.3 1415 для любого 13 EMBED Equation.3 1415. Проверим это.
Математическое ожидание
13 EMBED Equation.3 1415.
По теореме дисперсия
13 EMBED Equation.3 1415.
О т в е т. К последовательности независимых случайных величин 13 EMBED Equation.3 1415 применимо обобщённое неравенство Чебышёва, ибо 13 EMBED Equation.3 1415.


Управляемая самостоятельная работа 4. Интервальные оценки среднего квадратичного отклонения нормально распределенной генеральной совокупности.

Теоретические материалы по теме см. в:
Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике : Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб. пособие / А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. – 336 с.
Стр. 242-246.
Обозначения в УСР 4.
Совокупность
Объём
Среднее
Дисперсия
Исправленное среднее квадратичное
отклонение

генеральная

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
-

выборочная
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Интервал 13 EMBED Equation.3 1415, в который оцениваемый параметр 13 EMBED Equation.3 1415 попадает с заданной вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415, называется доверительным, а 13 EMBED Equation.3 1415  доверительной вероятностью (надёжностью) оцениваемого параметра 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Число 13 EMBED Equation.3 1415 называется уровнем значимости. В практических задачах обычно принимают 13 EMBED Equation.3 1415; 0,5; 0,001. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 из 100 значений оцениваемого параметра будут находиться внутри интервала 13 EMBED Equation.3 1415.
Интервальные оценки среднего квадратичного отклонения 13 EMBED Equation.3 1415 нормально распределённой генеральной совокупности определяются по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415 в случае 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 в случае 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415  исправленное среднее квадратичное отклонение, а параметр 13 EMBED Equation.3 1415 находится из приложения 9.
При больших объёмах выборки 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 принимаются равными.

1) Стр. 246. Пример 5. Произведено 12 измерений некоторой величины одним прибором без систематической ошибки, причём исправленное среднее квадратичное отклонение 13 EMBED Equation.3 1415 случайных ошибок измерений оказалось равным 0,5. Найти точность прибора с надёжностью 13 EMBED Equation.3 1415, если результаты ошибок измерений распределены нормально.

Р е ш е н и е. Точностью прибора обычно называют среднее квадратичное его ошибок измерения.
Из приложения 9 находим 13 EMBED Equation.3 1415. Значит, доверительный интервал
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
·
О т в е т. 13 EMBED Equation.3 1415.

2) Стр. 248. Пример 9, а). По данным выборки объёмом 13 EMBED Equation.3 1415, извлечённой из распределённой нормально генеральной совокупности, найдено исправленное среднее квадратичное отклонение 13 EMBED Equation.3 1415. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратичное отклонение 13 EMBED Equation.3 1415 с надёжностью 13 EMBED Equation.3 1415.
О т в е т. 13 EMBED Equation.3 1415.

3) Стр. 248. Пример 9, б). По данным выборки объёмом 13 EMBED Equation.3 1415, извлечённой из распределённой нормально генеральной совокупности, найдено исправленное среднее квадратичное отклонение 13 EMBED Equation.3 1415. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратичное отклонение 13 EMBED Equation.3 1415 с надёжностью 13 EMBED Equation.3 1415.
О т в е т. 13 EMBED Equation.3 1415.


Управляемая самостоятельная работа 5. Регрессионный анализ.

Теоретические материалы по теме см. в:
Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике : Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб. пособие / А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. – 336 с.
Стр. 249-255.

1) Нужно представить с помощью регрессионной прямой зависимость торгового оборота 13 EMBED Equation.3 1415 предприятия от уровня расходов на рекламу 13 EMBED Equation.3 1415 по наблюдениям за 8 лет.
Годы
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015

13 EMBED Equation.3 1415, тыс.
4
4
5
6
8
8
10
11

13 EMBED Equation.3 1415, млн.
4
5
6
6
8
10
12
13


2) В таблице приведены данные о производительности труда 13 EMBED Equation.3 1415 и уровне механизации работ 13 EMBED Equation.3 1415 для 14 промышленных предприятий региона.
№ предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

13 EMBED Equation.3 1415, %
32
30
36
40
41
47
56
54
60
55
61
67
69
76

13 EMBED Equation.3 1415, т/ч
20
24
28
30
31
33
34
37
38
40
41
43
45
48

Требуется представить с помощью регрессионной прямой зависимость производительности труда 13 EMBED Equation.3 1415 от уровня механизации работ 13 EMBED Equation.3 1415.

3) Исследовать зависимость себестоимости единицы продукции 13 EMBED Equation.3 1415 от объёма произведенной продукции 13 EMBED Equation.3 1415 по данным 16 предприятий.
13 EMBED Equation.3 1415, 1000 шт.
1
2
3
4
5
6
7
8

13 EMBED Equation.3 1415, тыс. 
7
5
4
5
8
10
12
16

Количество
предприятий
1
1
2
3
1
1
2
5


Задания для самостоятельного выполнения (экзаменационные задания):

4) По методу наименьших квадратов найти уравнение прямой линии регрессии Y на Х, если результаты наблюдений даны в следующей таблице:
X
1
2
3
4
5

Y
3,2
4,2
2,7
0,7
1,5


5) Упругость (Х) и процентное содержание никеля (Y) в восьми образцах сплавов стали даны в следующей таблице:
X
36
41
42
43
44
45
47
50

Y
2,5
2,7
2,8
2,9
3,0
3,2
3,3
3,5

По методу наименьших квадратов найти уравнение прямой линии регрессии Y на Х.

6) Имеются следующие результаты тестирования (в баллах) 10 студентов. Первый тест проверяет память (Х), второй – способности к логическому мышлению (Y):
X
5
8
7
10
4
7
9
6
8
6

Y
7
9
6
9
6
7
10
7
6
8

По методу наименьших квадратов найти уравнение прямой линии регрессии Y на Х.


Управляемая самостоятельная работа 6. Корреляционный анализ.

Теоретические материалы по теме см. в:
Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей математике : Операционное исчисление. Элементы теории устойчивости. Теория вероятностей. Математическая статистика : учеб. пособие / А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. – 336 с.
Стр. 249-255.

1) Результаты наблюдений приведены в следующей таблице:
13 EMBED Equation.3 1415
1
2
3
4
5

13 EMBED Equation.3 1415
3,2
4,2
2,7
0,7
1,5

Вычислить коэффициент линейной корреляции величин 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.

2) В таблице приведены данные о производительности труда 13 EMBED Equation.3 1415 и уровне механизации работ 13 EMBED Equation.3 1415 для 14 промышленных предприятий региона.
№ предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

13 EMBED Equation.3 1415, %
32
30
36
40
41
47
56
54
60
55
61
67
69
76

13 EMBED Equation.3 1415, т/ч
20
24
28
30
31
33
34
37
38
40
41
43
45
48

Вычислить коэффициент линейной корреляции величин 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.

3) В таблице приведены данные о зависимости себестоимости единицы продукции 13 EMBED Equation.3 1415 от объёма произведенной продукции 13 EMBED Equation.3 1415 по данным 16 предприятий.
13 EMBED Equation.3 1415, 1000 шт.
1
2
3
4
5
6
7
8

13 EMBED Equation.3 1415, тыс. 
7
5
4
5
8
10
12
16

Количество
предприятий
1
1
2
3
1
1
2
5

Вычислить корреляционное отношение 13 EMBED Equation.3 1415.

Задания для самостоятельного выполнения (экзаменационные задания):

4) Сырьё, поступающее на завод из карьера, содержит два полезных компонента – минералы А и В. Результаты анализов десяти образцов сырья, поступившего в разное время из разных мест карьера, приведены в таблице, где Х и Y выражают соответственно процентное содержание минералов А и В в образцах.
X
67
54
72
64
39
22
58
43
46
34

Y
24
15
23
19
16
11
20
16
17
13

Найти коэффициент линейной корреляции величин Х и Y.

5) Упругость (Х) и процентное содержание никеля (Y) в восьми образцах сплавов стали даны в следующей таблице:
X
36
41
42
43
44
45
47
50

Y
2,5
2,7
2,8
2,9
3,0
3,2
3,3
3,5

Найти коэффициент линейной корреляции величин Х и Y.

6) Имеются следующие результаты тестирования (в баллах) 10 студентов. Первый тест проверяет память (Х), второй – способности к логическому мышлению (Y):
X
5
8
7
10
4
7
9
6
8
6

Y
7
9
6
9
6
7
10
7
6
8

Найти коэффициент линейной корреляции величин Х и Y.








13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 15273
    Размер файла: 713 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий