17. Команды Matlab для анализа робастной устойчивости и робастного качества.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.

8

Команды Matlab для анализа робастной устойчивости
.


Для оценки запасов робастной устойчивости систем с неопределенн
о-
стью используется команда

[
stabmarg
,
destabunc
,
report
] =
robuststab(sys
,opt


Система робастно устойчива, если она устойчива при всех допустимых
значениях неопределенных элементов системы.
Оценка устойчивости осн
о-
вывается на вычислении структурных сингулярных чисел. Команду можно
применять для анализа устойчивости систем с неструктурироваными, стру
к-
турированными и смешанными типами неопределенности. Для применения
команды не требуется представления системы в каких
-
л
и
бо специальных
формах (например, в виде
М
-

конфигурации).

Входны
е аргументы:

-

sys
: модель системы в форме

uss


неопределенная модель в форме
пространства состояния


или
ufrd


неопределенная частотная характерист
и-
ка

. Если используется модель
uss
, то вычисления делаются в частотном
диапазоне, определенном самой командо
й. Если используется модель
u
frd
,
то используется вектор частот, ассоциированный с моделью.

-

opt
:
необязательный параметр
, определяющий параметры анализа. Он
создается командой

opt =
robopt
(’Имя 1’,

’Значение 1’, ’Имя 2’, ’Значение 2’, …)

Часто
используемые параметры:

Display



определяет параметры вывода информации о ходе вычисл
е-
ний:



off




(по умолчанию) вывода нет;



o
n




информация выводится.

Sensitivity



определяет вычисля
е
тся ли
влияние отдельных нео
п-
реде
ленностей на запас устойчивости; по умолчанию

on


(вкл
ючено).

Выходной параметр
stabmarg

представляет собой структуру, состо
я-
щую из следующих полей:


LowerBound



нижняя граница оценки запаса устойчивости. Если
она больше 1, то система робастно устойчив
а;


Upper
Bound



верхняя граница оценки запаса устойчивости. Если
она меньше 1, то система н
е является робастно устойчивой.

Запас робастной устойчивости больше 1 означает, что система устойч
и-
ва при всех значениях неопределенных параметров системы внутри
их д
о-
пустимых диапазонов. Если запас робастной устойчивости меньше 1, то
внутри рассматриваемой области неопределенности существует комбинация
параметров системы
,

при которых она теряет устойчивость.

Е
сли
нижняя граница запаса устойчивости меньше 1, а
верхняя


бол
ь-
ше 1, то невозможно сделать какие
-
либо выводы о робастной устойчивости
системы.


9

DestabilizingFrequency



критическая частота, при которой си
с-
тема теряет устойчивость при значениях неопределенных параметров наиб
о-
лее близких к своим номинальны
м значениям.

destabunc



структура, содержащая значения неопределенных эл
е-
ментов, ближайшие к номинальным, при которых система теряет устойч
и-
вость.

Определенную систему, соответствующую потере устойчивости можно
получить командой
usubs

sys
,
destabunc


re
port



представляет собой строку, содержащую текст с описанием
результатов анализа робастной устойчивости.


Если неопределенная система имеет тип
uss
, то команда
robuststab

сначала проверит устойчивость номинальной системы. Если система неу
с-
тойчива, то вых
одным параметрам
Upper
Bound

и
LowerBound

будет пр
и-
своено значение
. Если неопределенная система имеет тип
ufrd
, то такая
проверка не выполняется и делается предположение, что номинальная сист
е-
ма устойчива.

Исследуемая система преобразуется к виду
М
-

конфигурации с
, т.е. неопределенность нормализована.


Пусть например, в результате применения команды получено
Lowe
r-
Bound

= 1.2 и
Upper
Bound

= 1.3. Тогда система получается робастно у
с-
тойчивой и останется устойчивой для уровней неопределенности,

меньше
120% от заданного уровня. Существует, по крайней мере, один набор нео
п-
ределенных значений с уровнем 130% от заданных, который приводит к н
е-
устойчивости системы.



Пример

3
.1
. Рассмотрим систему с двумя входами, двумя выходами и
следующей передато
чной матрицей номинальной системы:


Система имеет неопределенность на первом входе, составляющую 20%
на низких частотах, возрастающую до 100% при 35 рад/с и достигающую
1000% в области высоких
частот. Неопределенность на втором входе равна
25% в низкочастотном диапазоне, 100% при 40 рад/с и увеличивается до
1000% в области высоких частот. Эти неопределенности можно представить
в виде входных мультипликативных неопределенностей, используя объекты

типа
ultidyn

и соответствующие весовые фильтры, созданные командами
makeweight
:


10


W1 = makeweight(0.20,35,10);

W2 = makeweight(0.25,40,10);

bodemag(W1,
'b
-
'
,W2,
'
r
--
'


title(
'Magnitude respomces of weighting filters'


legend(
'W1'
,
'W2'



На рисунке показаны ЛАХ весовых фильтров.


Далее зададим мультипликативные неопределенности на входе
:


Delta1 = ultidyn(’Delta1’,[1 1]);

Delta2 = ultidyn(’Delta2’,[1 1]);

W = blkdiag(W1,W2);

Delta = blkdiag(Delta1,Delta2);

G = Gnom*(eye(2) + Delta*W)


Робастную устойчивость замкнутой системы будем анализировать со
следующим регулятором:


Структурная схема замкнутой системы приведена на следующем рису
н-
ке:


11




Проверим робастную устойчивость системы:


looptransfer
=
loopsens

G
,
K
);

To= looptransfer.To;

omega = logspace(
-
1,2,200);

To_g = ufrd(To,omega);

opt = robopt(’Display’,’on’);

[stabmarg,destabunc,report,info] = robuststab(To_g,opt);


Результат
:

stabmarg =


LowerBound: 1.8048


UpperBound: 1.8048


DestabilizingFrequency: 3.9627


Выводы:

-

для заданной структуры и уровней неопределенности замкнутая сист
е-
ма робастно устойчива (
LowerBound

� 1
);

-

система остается устойчивой
для уровней неопределенности меньше
18
0
,
48
% от заданных
;

-

существует неопределенность с уровнем 18
0
,
48
% от заданной, кот
о
рая
приводит к неопределенности системы.

Эта информация также содержится в строке
report

(на английском
языке).


Построим
реакци
ю

неопределенной системы

на единичный скачок

по
входу
r
1

(первая компонента командного сигнала) на выходе
y
1
:



looptransfer=loopsens(G,K);

To= looptransfer.To;

tfin = 5;

nsample = 30;

time = 0:tfin/500:tfin;

nstep = size(time,2);

ref1(1:nstep) = 1.0;


12

ref2(1:nstep) = 0.0;

ref = [ref1' ref2'];

To30 =

usample(To,nsample);

figure(
1


hold
off

for

i = 1:nsample


[y,t] = lsim(To30(1:2,1:2,i),ref,time);


plot(t,y(:,1),
'r
-
'



hold
on

end

grid

title(
'From inp 1 to outp 1'
)

xlabel(
'Time (secs)'


ylabel(
'y_1'





Аналогично можно построить переходные процессы по
другим входам
.


13

Команды Matlab для оценки

робастного

качества сист
е
мы


Для анализа робастного качества замкнутая система преобразуется к
следующему виду:


Рис. 4.
5
. Структурная схема для анализа робастного качества.


Определенная часть системы
M

включает номинальную модель системы
управления, весовые функции для представления неопределенностей и вес
о-
вые функции для задания критериев качества.

Входной вектор
v

включает все внешние сигналы системы: задающие
воздействия, возмущения и шумы датчиков. Выходной вектор
z

содержит
сигналы, имеющие значение

ошибок

, характеризующих качество системы:
например, взвешенные ошибки отслеживания задающих сигналов, упра
в-
ляющи
е сигналы и т.д.

Обозначим

передаточную матрицу

от
z

к
v
. В качестве критерия
качества системы используем


Чем меньше эта величина, тем меньше

ошибки


z
, при всех возможных
значениях входного сигнала
v
.

Обычно
,

при формулировке кри
терия качества используются весовые
функции так, выбранные таким образом, что если выполнено условие

,

(4
.9


то система управления удовлетворяет требованиям качества.

Говорят, что система управления удовлетворяет требованию робастного
качества, если для

всех систем из

заданно
го множества

неопределенности
систем
ы

устойчив
ы

и выполнено условие (4
.9

.


Для оценки робастного качества системы с неопределенностью испол
ь-
зуется команда

[
perf
marg
,
perfmarg
unc
,
report
] =
robust
perf
(sys
,opt

.

Входные аргументы:

-

sys
: модель системы

(включая весовые функции

для определения кр
и-
терия качества, т.е.


в форме
uss

или
ufrd
. Если используется модель

14

uss
, то вычисления делаются в частотном диапазоне, определенном самой
командой. Ес
ли используется модель
u
frd
, то используется вектор частот,
ассоциированный с моделью. Система может быть непрерывной или ди
с-
кретной.

-

opt
:
необязательный параметр
, определяющий параметры анализа,
создаваемый командой
robopt

также как и для команды
robus
t
stab
.


Выходные аргументы:

-

perf
marg

представляет собой структуру, состоящую из следующих
полей:



LowerBound



нижняя граница оценки запаса качества. Если она
больше 1, то система
удовлетворяет условию
робастно
го

устойч
и-
ва;



UpperBound



верхняя граница оценки запаса качества. Если она
меньше 1, то система не
удовлетворяет условию робастного у
с-
тойчива
;



Critical
Frequency



частота, соответствующая верхней гр
а-
нице запаса качества.

-

perfmarg
unc



структура, содержащая значения неопределенных

элементов,
соответствующ
их

верхней границе запаса качества.

-

report



представляет собой строку, содержащую текст с описанием
результатов анализа робастного качества.


Пусть например, в результате применения команды получено
Lowe
r-
Bound

= 1.25 и
Upper
Bound

= 1.30. В этом случае гарантируется, что для
уровня неопределенности меньше 125% замкнутая система устойчива и зн
а-
чение критерия качества (
-
норма
sys
) меньше или равно 0.8. Кроме того,
существует по крайней мере одна комбинация значений неопределе
нных
элементов с уровнем 130% от заданного, для которой или критерий качества
больше или равен 0.769 (т.е. 1/30) или замкнутая система неустойчива (одна
из таких комбинаций включена в структуру
perfmarg
unc
).


Пример

4.1
. Рассмотрим систему управления из пр
имера
предыдущей
лекции

и пусть
G



передаточная матрица объекта управления,
K



перед
а-
точная матрица регулятора. Пусть требования к качеству системы включают
обеспечение командного сигнала (
r
) с допустимой ошибк
о
й (
e


и ограниче
н-
ным управлением (
u
) в
присутствии возмущения (
d
).

В соответствии с первым требованием выходная функция чувствител
ь-
ности
, связывающая
e

с
r

и
d
, должна быть достаточно мала в низкоча
с-
тотной области В соответствии со вторым требованием передаточная матр
и-
ца
, связывающ
ая
u

с
r

и
d
,

должна быть достаточно мала.

Для того, чт
о-
бы учесть оба требования в качестве критерия качества используем


15


где


и



весовые передаточные функции. Пусть

,
,

,
/



Условие качества:



Рис.
4
.
6.

Структурная схема замкнутой системы с требованиями качества.


В данном случае
.


Модель системы созд
а
дим с
помощью команды
sysic
:


wp

= 0.04
*(s + 10)/(s + 0.005);

Wp = blkdiag(wp,wp);

wu = 4.0*10^(
-
2)*(0.01*s+1)/(0.005*s+1);

Wu = blkdiag(wu,wu);

systenaes = ’G K Wp Wu
’;

inputvar = ’[ref{2}; dist{2}
]’;

outputvar = ’[Wp; Wu
]’;

input_to_G = ’[K
]’;

input_to_K = ’[
ref
-
G
-
dist
]’;


16

input_to_Wp

= ’[ref
-
G
-
dist
]’;

input_to_Wu = ’[K
]’;

clp = sysic;


В результате передаточная матрица

будет сохранена в переме
н-
ной
clp

типа
uss
.



nor(clp.No,’inf’)

ans =

0.8081


Для системы с номинальной моделью условие (
4
.
9
) выполнено и зам
к-
нутая

система

удовлетворяет условию
робастно
го

устойчива
. Проанализир
у-
ем робастное качество:


opt

=
robopt

'
Display
'
,
'
on
'
);

[
perfmarg
,
perfmargunc
,
report
] =
robustperf

clp
,
opt



perfmarg =


LowerBound: 0.9702


UpperBound: 0.9738


CriticalFrequency: 4.2476


report =

Uncertain system does not achieve performance robustness to modeled uncertainty.

--

The tradeoff of model uncertainty and system gain is balanced at a level of 97%
of the modeled uncertainty.


--

A model uncertainty

of 97.4% can lead to input/output gain of 1.03 at 4.25
rad/seconds.


--

Sensitivity with respect to the uncertain elements are:


'Delta1' is 30%. Increasing 'Delta1' by 25% leads to a 8% decrease in the ma
r-
gin.



'Delta2' is 43%. Increasing
'Delta2' by 25% leads to a 11% decrease i


Таким образом,
система не удовлетворяет условию
робастно
го

качес
т-
ва.


17

Команды Matlab

для выполнения
-
анализа.



В большинстве случаев
структурное сингулярное число
, которое явл
я-
ется функцией частоты
, нельзя вычислить точно. Однако существуют э
ф-
фективные алгоритмы, позволяющие вычислить верхнюю и нижнюю гран
и-
цу
.

Вычисление структурированных сингулярных чисел можно выполнить
к
о
мандой

bounds

=
mussv

N
,
BlkStructure


Аргументы
:

N



модель определенной части неопределенной системы. Может иметь
тип
frd

(обычно

в команде
mussv

используется эта форма)
и
ли быть ко
м-
плексной матрицей. Если модель имеет тип
frd
, то при вычислениях и
с-
пользуется асс
о
циированный с моделью вектор частот.
Здесь
frd



модель
типа частотная хара
к
теристика.

Blk
Struct



входной
аргумент, определяющий блочную структуру
матр
и
цы неопределенностей

s

.

bounds



выходной аргумент. Если
N

является объектом типа
frd
, то
bounds

является
frd

объектом, содержащим оценки верхней

bounds
(1,1)


и нижней

bounds
(1,2)
)
границы структурного синг
у-
лярного числа
μ

для объе
к
та
N

по отношению к неопределенности, структура
которой определена в
BlkStructure
.

Для приведения неопределенной модели

sys

к форме

требуемой кома
н-
дой
mussv

обычно используется команда
lftdata
:

[
N
,Delta,BlkStruct] = lftdata(sys

,

которая
выполняет

декомпозицию си
стемы (с нормализованными н
е-
опр
е
деленными элементами

). Выходной аргумент
BlkStruct

описыв
а
ет
блочно
-
диагональную структуру матрицы неопределенностей

s


и может быть использован в команде
mussv
.

Также необходимо учитывать,
что при ан
а
лизе робастной устойчивости необходимо использовать только
часть объекта
, которая связана с
Delta
.

Для
получения чисел

можно

также

использовать команду
r
o-
buststab
. Для вычисления верхней и нижней границ структурированного
сингулярного числа
μ

команда
robuststab

используется в форме

[stabmarg,

destabunc,

report,

info] = robuststab(sys,opt)

с

выходным

аргументом

info
:
структура со следующими полями:


Frequency



вектор частот, который использовался при вычислениях.


MussvBnds
:


объект типа
frd
, содержащий вычисленные значения
верхней границы (
MussvBnds
(1,1)
) и нижней границы

MussvBnds
(1,2)
) структу
р
ного сингулярного числа
.


Приложенные файлы

  • pdf 2109621
    Размер файла: 711 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий