Лекция 2. тригон уравнения и нерав-ва


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Тригонометрические уравнения, неравенства и их системы. Цели. Неформальное усвоение,систематизация, переформулировка, установление связей, умение выделять структуру – развитие мат. культуры. Виды тригонометрических уравнений по способу их решения Простейшие тригонометрические уравнения и сводящиеся к ним или их совокупностям.Триг. ур-ния, сводящиеся к алгебраическим относительно триг. функции : а) к квадратным (степенным), б)однородные; в) универсальная подстановка.Уравнения вида asinx+bcosx=c(a,b ,cєR,a≠0,b≠0) и сводящиеся к ним. Уравнения , в процессе решения которых используются свойства тригонометрических функций(метод оценки). Искусственные приёмыПодстановка sinx+cosx=t;Домножение и решение произведения косинусов удваивающихся аргументов на 2nsinα;Дополнение до полного квадрата . Простейшие тригоном. уравнения и сводящиеся к ним Способы вывода формул решений простейших тр. ур.С помощью координатной окружности.Графическое решение.Аналитический способ: решить уравнение sinx=a] (|a|≤1), ]x0=α - одно из решений, которое обязательно сущ., т.к. |a|≤1, причём αє[-π/2;π/2]Тогда sin α =a, но sinx=a → sinx=sin α ; sinx-sin α =0; 2sin (x-α)/2 · ·cos (x- α)/2 =0; Примеры уравнений, сводимых к простейшим уравнениям или их совокупностям и системам.Произведение (частное)=0 Пример. Вывод: если ОДЗ сомножителей не совпадают, то есть опасность неравносильного перехода к совокупности уравнений Основание - теорема (о разложении на множители) f(x)g(x)=0 (1) Решение. !!! Система должна быть с разными индексами. 2. Разложение на множители (вынесение общ. множителя, группировка, тож-ва сокращ. умн.) 2.а.) с использованием тригонометрической единицы(2sinx-cosx)(1+cosx)=sin2x(1+cosx)(2sinx - cosx -1 + cosx) = 0;!!! Совокупность тр.ур. может быть с одинаковыми индексами!!!2.b.) c использованием формул суммы и разности:sin πx2= sin π(x2+2x)sin πx2 -sin π(x2+2x) =0; 2cos π(x2+x)sinπx=0;3+4n ≥ 0; n ≥ -ѕ → n є N U{0}Ответ.{l; nєNU{0};lєZ}!!!Совокупность тр.ур. иногда должна быть с разными индексами!!!!для решения уравнений вида sinx=cosx используются формулы приведения! 2.c.)использование преобразования произведения в сумму:cos3xcos6x=cos4xcos7x ответ.{πk/10,kєZ}tg(x2-x)ctg2=1(2 способа) ответ.2соs3x/2cosx/2=a; ответ. [-9/8;0];{±arccos } 2.d.) использование формул понижения степени.sin2x+ sin2 2x= sin2 3x + sin2 4x 4 sin2x+3cos2x=5 1 способ. Введение вспомогательного угла (преобразование к виду одной тригонометрической функции) a sinу+b cosy =a=4; b=3 → √25sin(2x+arcsin3/5)=5;Ответ. 4 sin2x+3cos2x=5 2 способ. Сведение к однородному. 4·2 sinxcosx+3(cos2x-sin2x)-5(cos2x+sin2x)=0; 4sinxcosx-4sin2x-cos2x=0 - (*) - однородное уравнение 2 степени]sinx=0, тогда из ур-ния(*): cosx=0, чего при одном и том же х быть не может(из основного тригонометрического тождества)→→поделим на sin2x≠0 : ctg2x-4ctgx+4=0; (ctgx-2)2=0; ctgx=2;Ответ. х = arcctg2+πn, nєZ 4 sin2x+3cos2x=5 3 способ. Возведение в квадрат. 4sin2x=5-3cos2x| 2; 16sin22x=25-30cos2x+9cos22x; 16-16cos22x=25-30cos2x+9cos22x; 25cos22x-30cos2x+9=0; (5cos2x-3)2=0; cos2x=3/5; !!! Проверка!!! (при возведении в квадрат- взятии неинъективной функции на объединении ОЗ правой и левой частей уравнения - могли появиться лишние корни)]] Ответ. 4 sin2x+3cos2x=5 4 способ. Универсальная подстановка.х = arctg1/2+πk,kєZ.!!!Проверка!!!(при тождественном преобразовании, сужающим ОДЗ, можно потерять корни, не вошедшие в новое ОДЗ)]х=π/2+πk; 4 sin2(π/2+πk)+3cos2(π/2+πk)=4sin π+3cos π=0-3≠5 4 sin2x+3cos2x=5 Ответ.илиили х = arcctg2+πn, nєZили x = arctg1/2+πk, kєZ. Уравнения , в процессе решения которых используется метод оценки. Использование МЗФ b) 5sinx=13-7cosx 6 сos2 5x – 5 cosx + 5 = 0; 6сos25x = 5(cosx-1); 6сos25x ≥0 ; cosx-1 ≤0;Ответ. Корней нет.Использование монотонности тригонометрических функций sinx = 2sin470cos440sin470 >sin 450, cos 440>cos450; 2sin470cos440 > 2sin450cos450 =1; корней нет. sinx+cosx=2 1способ. Использование ограниченности функций.|sinx|≤1|cosx| ≤1 sinx+cosx≤2!!!Используется не столько МЗФ, сколько ограниченность Ответ. Корней нет.2 способ. Использование МЗФ.Оценим модуль левой части при помощи введения вспомогательной переменной:3 способ. Поиск наибольшего(наименьшего) значения с помощью производной.у' =cosx-sinx =0|:cosx≠0; tgx=1;x=π/4+πn,nєZT(sinx,cosx)=2π → x= π/4; 5π/4.y(0)=1;y(2π)=1; y(π/4)=√2; y(5π/4)= - √2унаиб.= √2, т.е. sinx+cosx≤2. Ответ. Корней нет. Использование алгебраических фактов(сумма квадратов равно 0, только если каждое слагаемое равно 0; формулы сокращенного умножения) ОДЗ: cosx≠0Графически или аналитическиОтвет. {-π/3+πk|k=2n,k,nєZ} Специальные приёмы Подстановка sinx±cosx=t, тогдаДля уравнений, содержащих сумму(разность) и произведение sin(cos) одинаковых углов.!!! Иногда в правило подстановки включают ограничения на переменную t: |t| ≤ √2 !!!Пример. sinx+cosx-sinxcosx=0 ; sinx+cosx=t, тогда t2 = 1+2sinxcosx;Тогда t- =0|·2; -2t-1+t2=0; t2 -2t -1 = 0;sinx+cosx= 1-√2 – введение вспомогательной переменной.Ответ. Обратные тригонометрические функции Арксинусом числа р называется число из промежутка [-π/2; π/2], синус которого равен р, если рє[-1;1]Основные формулы.sin(arcsin a)=a , …аrcsin(sin a)=a, если aє [-π/2; π/2], …arcsin(-a)= - arcsin a, arctg(-a)=-arctg a, arccos(-a)=π - arccos a, arcctg(-a)=π - arcctg a, arcsin a+ arccos a= π/2, arctg a+ arcctg a = π/2 Уравнения, содержащие переменную под знаком аркфункции. I Простейшие уравнения, решаемые по определению.Пример. arcsin 2x = 2π/3Решение. (стандартное)ООФ: |2x|≤1, |x≤Ѕ|По определению 2x = sin 2π/3; 2x = √3/2; x= √3/4 ≈0,4 є ООФОтвет. √3/4 Решение. (правильное)МЗФ: лев.ч.: arcsin 2x є[-π/2; π/2], 2π/3 є(π/2; 3π/2).Ответ. Корней нет. II Уравнения, способ решения которых основан на нахождении значений тригонометрических функций от обеих частей уравнения Основные этапы решения.Найти ОДЗ, как пересечение ООФ левой и правой частей уравнения.Найти объединение МЗФ левой и правой частей уравнения с учётом ОДЗ.Выбрать тригонометрическую функцию, монотонную на объединении МЗФ левой и правой частей уравнения.Взять выбранную функцию от обеих частей уравнения.P.S. Если нет функции, монотонной на объединении МЗФ левой и правой частей уравнения, тосделать проверку;можно попробовать преобразовать уравнение при помощи переноса слагаемых из одной части в другую или деления на число и т.д. Пример. arcsin x2 – arccos x = 0 ОДЗ:МЗ : 0 ≤ arcsin x2 ≤ π/2 - π ≤ - arccos x ≤ 0 - π ≤ arcsin x2 – arccos x≤ π/2 - нет таких промежутков монотонности → преобразуем уравнениеarcsin x2 = arccos x1. ОДЗ:2. МЗ2 : (0 ≤ arcsin x2 ≤ π/2 ; 0 ≤ arccos x ≤ π ) → МЗ2 = (0; π) → у=cos α – монотонна на (0; π). 3. соs(arcsin x2 )=cos( arccos x), ] arcsin x2 =t, sin t = x2, t є (0; π/2) с учётом огр. ответ. Пример. arcsin2x+arcsinx=π/3 ОДЗ: -1≤ 2х ≤ 1; -Ѕ ≤ х ≤ ЅМЗ: -π/6≤ arcsin x ≤ π/6 - π/2 ≤ arcsin 2x ≤ π/2 - 2π/3 ≤ arcsin 2x + arcsin x≤ 2π/3 - нет таких промежутков монотонности → Преобразование уравнения → I способ решения: arcsin2x = π/3 – arcsinxЛ.ч.: - π/2 ≤ arcsin 2x ≤ π/2; Пр.ч.: -π/6 ≤ -arcsin x ≤ π/6; |+π/3 π/6≤ π/3 - arcsin x ≤ π/2;МЗ:[- π/2; π/2]- промежуток монотонности функции у = sin x → ответ Пример. arcsin2x+arcsinx=π/3. Более строгая оценка области изменения аргумента → II способ решения Д.у.: аркфункции отличаются только растяжением вдоль оси ОХ → либо одновременно положительны, либо одновременно отрицательны.→ их сумма может быть положительна только при положительном аргументе : х≥0; 0≤ х ≤ Ѕ; → 0 ≤ arcsin x ≤ π/6; 0≤ arcsin 2x ≤ π/2 0 ≤ arcsin 2x +arcsin x ≤ 2π/3;МЗ: [0; π]- промежуток монотонности функции у = cos x → - π/2 - π/2 π/2 π/2 -1 1 у=arcsinx у=arcsin2x III способ решения. Берут любую удобную функцию от обеих частей уравнения с последующей проверкой. Проверка. III Уравнения, сводимые к простейшим алгебраически и с помощью основных формул аркфункций. Пример. аrccosx - arcsinx =π/6 ОДЗ: |x|≤1(π/2- arcsinx) - arcsinx = π/6 ; 2 arcsinx = π/2- π/6 ;Arcsinx = π/6; x=1/2.IV Уравнения, решаемые методом оценкиПример. 3arccos(7x-1)+2arctg(x+8)=2arcsin(-1) = 2· (-π/2)=- π 0 ≤ 3arccos(7x-1) ≤ 3π 2· (-π/2) < 2arctg(x+8) < 2· π/2-π< 3arccos(7x-1)+2arctg(x+8)<4π!!! Строгие неравенства Ответ. Корней нет. V Уравнения, решаемые графически. Пример. 3 arcsinx + πx – π = 0; 3 arcsinx = - πx + π ;] x = Ѕ: 3 arcsinЅ + π·Ѕ – π == 3π/6+ π/2– π = 0 3π/2 -3π/2 1 -1 y=π-πx y= 3 arcsinx π Неравенства, содержащие переменную под знаком аркфункции. Проверку сделать невозможно → один из выходов – метод интервалов.Пример. аrcsin2x + arcsinx < π/3; ОДЗ: -Ѕ ≤ х ≤ Ѕаrcsin 2x + arcsin x - π/3 <0;аrcsin 2x + arcsin x - π/3 =0; ;] x = 0 → arcsin 0 + arcsin 0 - π/3 = 0 + 0 - π/3 < 0.Ответ.[-Ѕ; ) - +

Приложенные файлы

  • ppt 1567036
    Размер файла: 707 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий