методичка виноградовой

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию

Орский гуманитарно-технологический институт (филиал)
Государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»





Е. П. Виноградова



МАТЕМАТИКА:

Текстовые задачи и методы их решения


Утверждено редакционно-издательским советом ОГТИ
в качестве учебно-методического пособия


















УДК 510
ББК 22.1
В49




Научный редактор

Уткина Т. И., доктор педагогических наук, профессор,
зав. кафедрой алгебры, геометрии, теории
и методики обучения математике ОГТИ

Рецензенты:

Никольская И. Л., кандидат педагогических наук,
профессор кафедры методики начального обучения
Московского государственного открытого педагогического
университета им. М. А. Шолохова;

Мендыгалиева А. К., кандидат педагогических наук, доцент
Оренбургского государственного педагогического университета



В49 Виноградова, Е. П. Математика : текстовые задачи и методы их решения : учебно-методическое пособие / Е. П. Виноградова. – Орск : Издательство ОГТИ, 2007. – 94 с. –

2-е издание, доп.
Первое издание вышло в свет в 2007 году.












© Издательство ОГТИ, 2008
© Виноградова Е. П., 2008

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ....
4

Содержание лекционного курса


Лекция 1. Текстовая задача и процесс ее решения ........
5

Лекция 2. Арифметический метод решения текстовых задач
29

Лекция 3. Алгебраический метод решения текстовых задач...
55

Примеры решения текстовых задач
82

1. Арифметический метод
82

2. Алгебраический метод .
82

Вопросы для самопроверки .
91

Задания для самостоятельной работы .
92

Проверочная работа № 1...
95

Проверочная работа № 2..
97

Контрольная работа...
99

Ответы к заданиям для самостоятельной работы .
101

Библиографический список .
102



ВВЕДЕНИЕ

Данное учебное пособие предназначено для студентов факультетов начальных классов педагогических колледжей и вузов.
Умение решать текстовые задачи – одно из требований государственного стандарта к выпускнику начальной школы. Учитель, который учит младших школьников решать задачи, должен прежде всего сам уметь решать их, а также владеть необходимыми знаниями и умениями, чтобы учить других.
Появление альтернативных программ по математике для начальной школы предусматривает повышение уровня сложности текстовых задач. Обучение школьников решению текстовых задач арифметическим методом бывает порой более сложным, чем алгебраическим. В начальной же школе задачи решаются преимущественно арифметическим методом, который реализуется различными способами.
Цель данного пособия – помочь студентам и учителям начальных классов в совершенствовании навыков решения текстовых задач с использованием различных математических моделей.
Пособие состоит из двух частей: теоретической и практической.
В теоретической части дается лекционный материал, в практической – примеры решения текстовых задач арифметическим и алгебраическим методом, задания для самостоятельной работы и ответы к ним.
Данное учебное пособие составлено согласно учебному плану и в дополнение к учебнику Л. П. Стойловой «Математика».
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННОГО КУРСА

Лекция 1. Текстовая задача и процесс ее решения

План

Понятие «текстовая задача». Структура задачи.
Классификация задач.
Методы решения задач.
Этапы решения задачи.
Моделирование в процессе решения текстовых задач.

1. С термином «задача» люди постоянно сталкиваются в повседневной жизни как на бытовом, так и на профессиональном уровне. Каждому из нас приходится решать те или иные проблемы, которые зачастую мы называем задачами. Это могут быть общегосударственные задачи (освоение космоса, воспитание подрастающего поколения, оборона страны и т. п.), задачи определенных коллективов и групп (сооружение объектов, выпуск литературы, установление связей и зависимостей и др.), а также задачи, которые стоят перед отдельными личностями. Проблема решения и чисто математических задач, и задач, возникающих перед человеком в процессе его производственной или бытовой деятельности, изучается издавна, однако до настоящего времени нет общепринятой трактовки самого понятия «задача». В шиpoком смысле слова под задачей понимается некоторая ситуация, требующая исследования и разрешения человеком (или решающей системой).
Отдельно стоят математические задачи, решение которых достигается специальными математическими средствами и методами. Среди них выделяют задачи научные (например, теорема Ферма, проблема Гольбаха и др.), решение которых способствует развитию математики и ее приложений, и задачи учебные, которые служат для формирования необходимых математических знаний, умений и навыков у разных групп обучаемых (школьников, слушателей курсов, студентов и др.) и направлены на изменение качеств личности обучаемого (не знал – знаю, не умел – умею и т. п.).
Учебные математические задачи различаются по характеру их объектов. В одних задачах все объекты математические (числа, геометрические фигуры, функции и т. п.), в других объектами являются реальные предметы (люди, животные, автотранспортные и механические средства, сплавы, жидкости и т.д.) или их свойства и характеристики (количество, возраст, скорость, производительность, длина, масса и т. п.). Задачи, все объекты которых математические (доказательства теорем, вычислительные упражнения, установление признаков изучаемого математического понятия и т. д.), часто называют математическими заданиями.
Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми (сюжетными, практическими, арифметическими и т. д.).
Перечисленные названия берут начало от способа записи (задача представлена в виде текста), сюжета (описываются реальные объекты, явления, события), характера математических выкладок (устанавливаются количественные отношения между значениями некоторых величин, связанные чаще всего с вычислениями). В последнее время наиболее распространенным является термин «текстовая задача».
Текстовой задачей будем называть описание некоторой ситуации (явления, процесса) на естественном и (или) математическом языке с требованием либо дать количественную характеристику какого-то компонента этой ситуации (определить числовое значение некоторой величины по известным числовым значениям других величин и зависимостям между ними), либо установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения, либо найти последовательность требуемых действий.
Придерживаясь современной терминологии, можно сказать, что текстовая задача представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процесса и т. п. Как в любой модели, в текстовой задаче описывается не все событие или явление, а лишь его количественные и функциональные характеристики.
Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие (или действия) должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи.
В каждой задаче можно выделить:
а) числовые значения величин, которые называются данными, или известными (их должно быть не меньше двух);
б) некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);
в) требование или вопрос, на который надо найти ответ.
Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, то есть количественные и качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними, называют условием (или условиями) задачи. В задаче обычно не одно, а несколько условий, которые называют элементарными.
Требования могут быть сформулированы как в вопросительной, так и в повествовательной форме, их также может быть несколько. Величину, значение которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин – искомыми, или неизвестными.
Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи. Для того чтобы уяснить структуру задачи, надо выявить ее условия и требования, то есть построить высказывательную модель задачи.
Ответ на требование задачи получается в результате ее решения. Решить задачу в широком смысле этого слова – это значит раскрыть связи между данными, заданными условием задачи, и искомыми величинами, определить последовательность применения общих положений математики (правил, законов, формул и т. п.), выполнить действия над данными задачи, используя общие положения, и получить ответ на требование задачи или доказать невозможность его выполнения. Термин «решение задачи» широко применяется в математике. Этим термином обозначают связанные между собой, но все же неодинаковые понятия: 1) решением задачи называют результат, то есть ответ на требование задачи; 2) решением задачи называют процесс нахождения этого результата, то есть вся деятельность человека, решающего задачу, с момента начала чтения задачи до окончания решения; 3) решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.
В дальнейшем мы не будем придерживаться какого-то одного значения этого термина и не станем пояснять, что мы имеем в виду в той или иной ситуации. В каждом конкретном случае будет ясно, о каком толковании термина «решение задачи» идет речь.

2. В зависимости от целей классификации выбирают основание для ее проведения и на его основе получают те или иные группы текстовых задач, которые объединяет либо метод решения, либо количество действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, либо схожий сюжет и т. п. В зависимости от выбранного основания задачи можно классифицировать (то есть разделить на группы по выбранному основанию):
– по числу действий, которые необходимо выполнить для решения задачи;
– по соответствию числа данных и искомых;
– по фабуле задачи;
– по способам решения и др.
Положив в основание классификации число действий, которые необходимо выполнить для решения задачи, выделяют простые и составные задачи. Задачу, для решения которой нужно выполнить одно арифметическое действие, называют простой. Задачу, для решения которой нужно выполнить два или большее число действий, называют составной.
Выбрав в качестве основания классификации соответствие числа данных и искомых задачи, выделяют задачи определенные, задачи с альтернативным условием, неопределенные и переопределенные задачи.
Чаще всего в задачах число условий (зависимостей между величинами) соответствует числу данных и искомых. Но встречаются задачи, в которых этого соответствия нет.
Определенные задачи – это задачи, в которых условий столько, сколько необходимо и достаточно для получения ответа.
Неопределенные задачи – задачи, в которых условий недостаточно для получения ответа.
Переопределенные задачи – задачи, имеющие условия, которые не используются при их решении выбранным способом. Такие условия называют лишними. Следует иметь в виду, что при решении задачи другим способом лишними могут оказаться уже другие условия. Если в переопределенной задаче лишние условия не противоречат остальным условиям, то она имеет решение.
В начальном курсе математики неопределенные задачи называют задачами с недостающими данными, а переопределенные – задачами с избыточными данными.
Положив в основание классификации фабулу задачи, чаще всего выделяют такие группы задач: «на движение», «на работу», «на смеси и сплавы», «на смешение и концентрацию», «на проценты», «на части», «на время», «на покупку и продажу» и т. п.
Классифицировать задачи, исходя из фабулы условия, очень сложно, так как тематика условий задач бывает порой очень разнообразной.
Множество задач, в которых имеется одинаковая зависимость между величинами, входящими в эти задачи, при возможном различии их числовых данных и фабул образуют определенный вид задач. Задачи одного вида имеют одну и ту же алгебраическую модель. Положив в основание классификации способы решения задач, можно выделить такие группы задач:
задачи на тройное правило;
задачи на нахождение неизвестных по результатам действий;
задачи на пропорциональное деление;
задачи на исключение одного из неизвестных;
задачи на среднее арифметическое;
задачи на проценты и части;
задачи, решаемые с конца, или «обратным ходом», и т. д.
При решении задач различными методами используют, как правило, «свою» классификацию задач. Так, при алгебраическом методе решения чаще всего в качестве основания классификации берут фабулу задачи, а при решении арифметическим методом задачи классифицируют по способам их решения. Однако следует отметить, что такое разбиение задач на группы, строго говоря, не является классификацией, так как в этих случаях, с одной стороны, появляются задачи, которые не могут быть отнесены ни к одной из образовавшихся групп, с другой стороны, существуют задачи, которые могут быть отнесены к нескольким указанным группам.
Вместе с тем, с точки зрения учебных целей, эти и подобные им «классификации» задач удобны. Они дают возможность выделить наиболее типичные виды задач и усвоить стандартные способы их решения.

3. Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом – строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.
Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод – построив разные алгоритмы. Ясно, что и в этих случаях мы также имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые (с целью избежать разночтения и неоднозначность трактовки термина «метод решения») будем называть способами решения.
Иногда для краткости изложения вместо того, чтобы говорить, что задача решена определенным способом в рамках, например, арифметического метода, будем говорить, что «задача решена арифметическим способом» или «задача решена арифметическим методом», а то и просто – «задача решена арифметически».
Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей.
Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат различные соотношения между данными и искомыми.
Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом – значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур. Одну и ту же задачу можно также решить различными геометрическими способами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения используются различные построения или свойства фигур.
Логический метод. Решить задачу логическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых является задача о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание».
Практический метод. Решить задачу практическим методом – значит найти ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т. п.).
Иногда в ходе решения задачи применяются несколько методов: алгебраический и арифметический; геометрический, алгебраический и арифметический; арифметический и практический и т. п. В этом случае считают, что задача решается комбинированным (смешанным) методом.

4. Деятельность по решению задачи включает следующие этапы независимо от выбранного метода решения:
1. Анализ содержания задачи.
2.Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.
3. Осуществление плана решения задачи.
4. Проверка решения задачи.
Рассмотрим более подробно каждый этап решения задачи.
1. Анализ задачи. Основное назначение этапа – осмыслить ситуацию, отраженную в задаче; выделить условия и требования, назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные). На этом этапе решения задачи можно использовать такие приемы:
а) представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче;
б) постановка специальных вопросов и поиск ответов на них;
в) «переформулировка» задачи;
г) моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных или графических моделей и др.
Первый прием – представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче, – выполняется фактически при чтении или слушании задачи. Вместе с тем мысленное воспроизведение всех объектов задачи и связей между ними может проводиться и позже. Цель такого воспроизведения – выявление основных количественных и качественных характеристик ситуации, представленной в задаче.
Второй прием – постановка специальных вопросов и поиск ответов на них – включает следующий «стандартный» набор вопросов, ответы на которые позволяют детально разобраться в содержании задачи:
О чем говорится в задаче?
Что известно в задаче?
Что требуется найти в задаче?
Что в задаче неизвестно? и др.
Третий прием – переформулировка текста задачи – состоит в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим описанием, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Вся лишняя, несущественная информация при этом отбрасывается, текст задачи преобразуется в форму, облегчающую поиск пути решения. В ходе переформулировки выделяются основные ситуации, о которых идет речь в задаче, при необходимости строится вспомогательная модель задачи: краткая запись условия, таблица, рисунок, чертеж, диаграмма и т. п.
Моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных моделей или графических моделей является еще одним, четвертым, приемом анализа задачи.
2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения
Назначение этапа – завершить установление связей между данными и искомыми величинами и указать последовательность использования этих связей.
Проведя анализ задачи, не всегда просто найти путь ее решения. Поиск пути решения задачи является довольно трудным процессом, для которого нет точного предписания. Укажем некоторые приемы, помогающие осуществлять этот этап.
Одним из приемов поиска пути решения задачи является анализ задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск пути решения задачи можно осуществлять от вопроса задачи к данным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетический путь).
В первом случае (аналитический путь) на основе анализа задачи необходимо уточнить, что требуется найти в задаче, и определить, что достаточно знать для ответа на этот вопрос. Для этого следует выяснить, какие из нужных данных есть в условии задачи. Если они (или одно из них) отсутствуют, надо определить, что нужно знать, чтобы найти недостающие данные (или одно недостающее данное), и т. д., пока для определения очередного неизвестного оба данных будут известны.
Поиск пути решения заканчивается составлением плана решения задачи. Под планом решения будем понимать объяснение того, что узнаем, выполнив то или иное действие, и указание по порядку выполнения арифметических действий.
Во втором случае (синтетический путь) решающий выделяет в тексте задачи два каких-либо данных и на основе связи между ними, установленной при анализе, определяет, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого действия. Затем, считая полученное число данным, решающий опять выделяет два взаимосвязанных данных и определяет, какое неизвестное может быть найдено по ним и с помощью какого действия, и т. д., пока выполнение очередного действия не приведет к определению искомого.
При решении задач анализ и синтез в рассуждениях, как правило, переплетаются. Осуществляя поиск пути решения задачи синтетически, анализ часто производят «про себя». В то же время, каким бы приемом мы ни вели поиск пути решения составной задачи, ее предварительный анализ (хотя бы подсознательный) неизбежен.
Еще одним из приемов поиска пути решения задачи является разбиение задачи на смысловые части. Сущность этой работы заключается в том, чтобы научиться различать в данной задаче отдельные, менее сложные задачи, последовательное решение которых позволяет получить ответ на требование данной.
3. Осуществление плана решения задачи
Назначение этапа – найти ответ на требование задачи. Немаловажную роль при решении задач играет запись найденного решения. Прежде всего остановимся на используемых сокращениях при записи действий с именованными числами. При записи именованных чисел, выраженных в метрических мерах, используются наименования, принятые в международной системе единиц СИ, например, «м» – метр, «км/ч» – километров в час. Названия таких мер, как квадратный метр, кубический метр, записываются «м2», «м3». Все названия метрических мер, употребляемых без чисел, выписываются полностью словами, например: «сколько гектаров земли...», а не «сколько га земли...». Принято названия метрических мер выписывать полностью и в случае буквенной символики, например, «а литров», «b метров» и т. д. Однако часто этого не делают, а используют более удобную запись «х км/ч», «у м3» и т. д. Что касается других наименований, то здесь нет общеустановленных условных обозначений. Вместе с тем в последнее время, как правило, вместо «руб.» принято писать «р.», вместо «коп.» – «к.» и др.
При письменном решении используют три формы записи решения: 1) запись решения в виде отдельных действий (так называемое решение по действиям); 2) запись решения в виде выражения; 3) запись решения с объяснением.
1. Запись решения в виде отдельных действий. Запись решения в виде отдельных действий может осуществляться в трех вариантах.
А. Без записи пояснений
Пример. В двух поселках было 24 600 жителей. Когда население первого поселка увеличилось в 13 EMBED Equation.3 1415 раза, а население второго поселка уменьшилось на 13 EMBED Equation.3 1415 своего числа, в первом поселке оказалось в 13 EMBED Equation.3 1415 раза больше жителей, чем во втором. Определите первоначальное число жителей каждого поселка.
Решение. Примем за единицу первоначальное число жителей первого поселка:


Ответ: в первом поселке – 14 350 жителей, во втором – 10 250 жителей.
Б. С записью пояснений
Пример. С двух участков земли общей площадью 8,5 га собрано всего 58 ц льноволокна. С каждого гектара первого участка собрано в среднем 13 EMBED Equation.3 1415 ц, с каждого гектара второго участка – 5,6 ц.
Определите площадь каждого участка.
Решение.
– предполагаемый сбор льноволокна;
– снижение сбора со всей площади за счет 2-го участка;
– на столько центнеров каждый гектар 2-го участка снижал сбор;
– площадь второго участка;
5) 8,5 – 5 = 3,5 (га) – площадь первого участка.
Ответ: 3,5 га; 5 га.
В. С записью пояснений в вопросительной форме
Пример. Переднее колесо экипажа на некотором расстоянии сделало на 120 оборотов больше заднего. Найдите это расстояние, если окружности колес экипажа соответственно равны 2 м и 3 м.
Решение. Наименьшее расстояние, которое пройдет экипаж, а колеса сделают целое число оборотов, равно 6 м. Далее рассуждаем так.
1. Сколько оборотов сделает переднее колесо на расстоянии 6 м?
6 : 2 = 3 (об.).
2. Сколько оборотов сделает заднее колесо на расстоянии 6 м?
6 : 3 = 2 (об.).
3. На сколько больше оборотов сделает переднее колесо, чем заднее, на расстоянии 6 м?
3 – 2 = 1 (об.).
4. Во сколько раз больше оборотов сделает переднее колесо, чем заднее, на искомом расстоянии?
120 : 1 = 120 (раз).
5. Чему равно расстояние?
6 – 120 = 720 (м).
Ответ: 720 м.
2. Запись решения в виде выражения. В этом случае сначала записываются отдельные шаги в соответствии с планом, затем составляется выражение и находится его значение.
Пример. Набор двух томов сочинения, содержавших каждый по 340 страниц, по 36 строк на странице и по 45 букв в строке, был поручен двум наборщикам – каждому по одному тому. Первый набирал по 900 букв в час и закончил работу на 153 ч. раньше своего напарника. Сколько букв в час набирал второй наборщик?
Решение.
45 ( 36 (б.) – число букв на странице;
45(36 ( 340(6.) – число букв в книге;
(45 ( 36 ( 340) : 900 (ч) – работал первый наборщик;
((45 ( 36 ( 340) : 900 + 153) (ч) – работал второй наборщик;
(45 ( 36 ( 340) : ((45 ( 36 ( 340) : 900 + 153) = 720 (б.) – набирал в час второй наборщик.
Ответ: второй наборщик набирал 720 букв в час.
3. Запись решения с объяснением. Эта запись решения встречается реже, чем две предыдущие.
Пример. Найти шестизначное число по следующим условиям. Число оканчивается цифрой 2. Если эту цифру переставить с последнего места на первое, то получится число, втрое меньше искомого.
Решение. По условию число, полученное при перестановке цифр, втрое меньше искомого. Значит, искомое число можно рассматривать как произведение некоторого шестизначного числа, у которого первая цифра 2, на число 3, то есть (2** ***) ( 3 = *** **2.
Искомое шестизначное число оканчивается цифрой 2. Цифра 2 могла получиться только в результате умножения 3 на 4, следовательно, в первом сомножителе цифра единиц равна 4. Так как по условию последнюю цифру 2 искомого числа переставили на первое место, то в искомом числе цифра 4 означает число десятков, то есть (2** **4) ( 3 = *** *42.
В состав 4 (цифры разряда десятков искомого числа) входит число 1, добавленное в число десятков после умножения 4 единиц на 3. Поэтому число десятков 4 – 1 = 3. Число 3 могло получиться от умножения на 3 только 1. Отсюда число сотен искомого числа равно 1, то есть (2** *14) ( 3 = *** 142.
В разряде сотен 1 могла получиться лишь от умножения 7 на 3. Значит, число тысяч искомого числа 7, то есть (2**714) ( 3 = **7 142.
В число тысяч входит число 2, добавленное в число тысяч от умножения семи сотен на 3. Следовательно, от умножения числа тысяч на 3 получается в произведении число, последняя цифра которого 5 (7 – 2 = 5). Число 5 может получиться лишь от умножения 5 на 3, значит, в искомом числе десятков тысяч пять, то есть (2*5 714) ( 3 = *57 142.
В состав 5 входит число 1, добавленное от умножения 3 на 5. Отсюда от умножения только десятков тысяч получилось произведение, оканчивающееся на 4 (5 – 1 = 4). Число 4 могло получиться от умножения на 3 только 8, следовательно, сотен тысяч всего восемь, то есть 285714-3 = 857 142.
Итак, искомое число 857142, а получилось оно в результате умножения 285 714 на 3.
Ответ: 857142.
4. Проверка решения задачи
Назначение этапа – установить, правильно ли понята задача, и выяснить, не противоречит ли полученный ответ всем другим условиям задачи. Этот этап является обязательным при решении задач. Следует помнить, что логичные рассуждения на других этапах решения задачи не гарантируют правильности ее решения.
Проверку решения задачи можно проводить различными способами. Перечислим их.
I. Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи и данными в условии задачи.
Составление и решение задачи, обратной данной.
Решение задачи различными способами.
Решение задачи различными методами.
Прикидка (грубая проверка).
Остановимся на каждом из них подробнее.
I. Проверка решения задачи способом установления соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и данными в условии задачи заключается в следующем: числовые значения искомой величины, полученные в ответе на вопросы задачи, вводятся в текст задачи, и устанавливается, не возникают ли при этом противоречия, а затем выполняются арифметические действия с числовыми значениями величин, согласно их связям между собой, которые заданы в условии задачи. Если при этом получаются числа, данные в условии задачи, то делается заключение о верном ее решении.
II. Проверка решения задачи способом составления и решения задачи, обратной данной, заключается в том, что после решения задачи составляется обратная по отношению к данной задача. Если при ее решении в ответе получится значение величины, которое было задано в условии данной задачи, то можно считать, что она решена правильно.
Пример. Три маляра могут покрасить участок стены за 1,6 ч. За сколько времени мог бы выполнить эту работу один третий маляр, если известно, что один первый покрасил бы этот участок за 8 ч., а один второй – за 6 ч.?
Решение. Примем всю работу за единицу.
1) 1 : 8 = 1/8 (ч.) – работы выполняет первый маляр за 1 ч.;
1 : 6 = 1/6 (ч.) – работы выполняет второй маляр за 1 ч.;
1 : 1,6 = 5/8 (ч.) – работы выполняют три маляра за 1 ч.;
1/8 + 1/6 = 7/24 (ч.) – работы выполняют первый и второй маляры за 1 ч.;
5/8 – 7/24 = 1/3 (ч.) – работы выполнит третий маляр за 1 ч.;
1 : 1/3 = 3 (ч.) – за столько времени третий маляр выполнит работу.
Для проверки составляем обратную задачу: «Три маляра могут покрасить участок стены за 1,6 ч. За сколько времени мог бы выполнить эту работу один первый маляр, если известно, что один второй покрасил бы этот участок за 6 ч., а один третий – за 3 ч.?»
Решение
1) 1:6=1/6(4.); 4)1/6 + 1/3 = 1/2(4.);
2) 1 : 3 = 1/3 (ч.); 5) 5/8 – 1/2 = 1/8 (ч.);
3) 1:1,6 = 5/8(4.); 6) 1 : 1/8 = 8 (ч).
Итак, получили число, которое было задано в условии исходной задачи.
Ответ: за 3 ч.
III. Проверить решение задачи можно, решив ее различными способами. Напомним, что задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей. Получив при решении задачи различными способами один и тот же результат, делают вывод о том, что задача решена верно.
Пример. Фермер получил в аренду 40,5 га земли. Участок, равный 13 EMBED Equation.3 1415 этой площади, засадили плодовыми деревьями, а 13 EMBED Equation.3 1415 остальной площади отвели под кормовые травы. Какая площадь отведена под кормовые травы?
Решение
1-й способ
1) – составляет от га;
2) – составляет от га;
3) 13 EMBED Equation.3 1415 – 18 = 13 EMBED Equation.3 1415 (га) – всей разработанной площади осталось после выделения участка под плодовые деревья;
4) – составляет от га;
5) – отведено под кормовые травы.
2-й способ
1) – всей разработанной площади осталось после выделения участка под плодовые деревья;
2) – всей разработанной площади отведено под кормовые травы;
3) – отведено под кормовые травы.
В каждом из предложенных способов решения получен один и тот же результат.
Ответ: под кормовые травы отведено
IV. Проверку решения задачи можно выполнить, решив задачу различными методами (арифметическим, алгебраическим, геометрическим и др.). В этом случае, получив один и тот же результат, делают вывод о том, что задача была решена верно.
Пример. Из одного города в одном направлении вышли два поезда. Первый поезд шел со скоростью 60 км/ч., а второй – 90 км/ч. Второй поезд вышел на 2 ч. позже. Через сколько часов и на каком расстоянии от города второй поезд догонит первый?
Решение
Арифметический метод. Краткая запись задачи показана на рисунке 1.
60 ( 2 = 120 (км) – пройдет первый поезд за 2 ч.;
90 –( 60 = 30 (км/ч) – на столько километров в час скорость второго поезда больше скорости первого;


Рис. 1

120 : 30 = 4 (ч.) – через столько часов после своего выхода второй поезд догонит первый;
90 ( 4 = 360 (км) – на таком расстоянии от города второй поезд догонит первый.
Геометрический метод (конструктивный прием)
1-й способ. Примем условно длину одного отрезка по вертикали за 30 км, а длину одного отрезка по горизонтали – за 1 ч. Отложим на горизонтальной прямой время от 0 до 6 ч., по вертикали будем откладывать отрезки пути, пройденные каждым поездом за 1 ч., 2 ч., 3 ч. и т. д. (рис. 2, а).
Сначала откладываем отрезки пути, пройденные первым поездом до выхода второго, а затем отрезки, характеризующие расстояния, пройденные первым поездом за 3 ч. и вторым за 1 ч., первым за 4 ч. и вторым за 2, первым за 5 ч. и вторым за 3 ч. и, наконец, первым за 6 ч. и вторым за 4 ч. Отрезки найденных путей оказались равными, значит, второй поезд догонит первый через 4 ч. после своего выхода или через 6 ч. после выхода первого. Как видно из рисунка, произойдет это на расстоянии 360 км от города.


Рис. 2

2-й способ. За 2 ч. первый поезд проходит 60 ( 2 = 120 (км), значит, к началу движения второго поезда расстояние между поездами было 120 км. Примем условно длину одного отрезка по горизонтали за 30 км, и станем откладывать отрезки пути, пройденные каждым поездом за 1 ч. (рис. 2, б). Видим, что к концу четвертого часа после начала движения второго поезда на расстоянии 90 ( 4 = 360 (км) от города второй поезд догонит первый.
В каждом из предложенных методов решения получен один и тот же результат.
Ответ: через 4 ч. после своего выхода на расстоянии 360 км от города второй поезд догонит первый.
V. Проверка решения задачи прикидкой правильного ответа. Суть этого способа состоит в установлении границ для искомого числа. Он позволяет грубо оценить правильность решения задачи, и если в результате прикидки мы не выясним, что некоторые значения искомых не удовлетворяют условию задачи, то необходимо провести проверку каким-либо другим способом.
Пример. Из одного пункта в одном направлении через каждые полчаса выезжает велосипедист. Первый едет со скоростью 10 км/ч, второй – 8 км/ч. Найти скорость третьего велосипедиста, если известно, что он обогнал первого велосипедиста на 4 ч. позже, чем второго.
Решение. Пусть х км/ч – скорость третьего велосипедиста. При движении в одном направлении время встречи находится как отношение расстояния между объектами к разности их скоростей. Второй велосипедист за 0,5 ч проедет 8 км/ч ( 0,5 ч = 4 км. Следовательно, третий его догонит (они встретятся) через 4/(х – 8) ч. Первый за 1 ч. проедет 10 км. Значит, третий его догонит (они встретятся) через 10/(х – 10) ч. По условию задачи
Преобразовав это уравнение, получим:
10х – 80 – 4х + 40 = 4х2 – 72х + 320 => 2х2 – 39х + 180 = 0.
Решив квадратное уравнение, находим х1 = 12, х2 = 7,5.
Проверка. Прикидываем, что скорость третьего велосипедиста должна быть большей, чем скорости первого и второго велосипедистов (больше 10 км/ч), иначе он не сможет их догнать. Следовательно, второй корень не подходит.
Ответ: скорость третьего велосипедиста – 12 км/ч.
Обратим внимание на то, что прикидка не позволяет проверить правильность полученного числового значения ответа. В некоторых случаях она лишь позволяет определить, что задача решена неверно.
В процессе решения задач необходимо проверять полученный ответ на требование задачи, выбрав наиболее рациональный способ, учитывающий специфику задачи. Например, задачу на встречное движение удобно проверять, решив ее различными способами, а задачу на нахождение неизвестных по двум разностям – способом установления соответствия между числами, полученными в результате решения задачи, и числами, данными в условии задачи.
Следует помнить, что, выполняя проверку задачи любым из указанных способов, необходимо выяснить, не противоречит ли полученный ответ всем условиям задачи. На практике это означает, что при решении обратной задачи или при решении задачи другими методами логика рассуждений должна быть отличной от логики рассуждений, применяемой в ходе решения данной задачи. Несоблюдение этого может привести к тому, что ошибочное решение не будет обнаружено.
5. Для решения многих научных и практических задач широко используется метод моделирования. Реальные объекты или процессы иногда бывают настолько сложны и многогранны, что их изучение невозможно без построения и исследования модели, отображающей лишь какую-то сторону этого процесса или объекта и потому более простую, чем эта реальность. Например, в медицине многие лекарственные препараты, разрабатываемые для лечения людей, первоначально испытывают на животных, которые в этом случае и выступают в качестве модели человека.
Под моделью (от лат. modelus – мера) понимают мысленно представимую или материально реализованную систему, которая, отражая и воспроизводя объект исследования, способна замещать его при определенных условиях так, что изучение ее дает новую информацию об этом объекте.
Модель в самом широком смысле – это любой мысленный или знаковый образ моделируемого объекта (оригинала). В качестве модели могут выступать изображения, описания, схемы, чертежи, графики, уравнения, планы, карты, копии оригинала (уменьшенные или увеличенные), компьютерные программы и т. п. При этом следует помнить, что модель всегда является лишь отображением оригинала, она в каком-либо отношении должна быть не только удобна для изучения свойств исследуемого объекта, но и позволяла бы перенести полученные при ее изучении знания на исходный объект.
Обычно модель строится с таким расчетом, чтобы охватить только те свойства оригинала, которые существенны в данной ситуации и требуют изучения.
Так, например, для изучения поведения проектируемого самолета в воздухе строят его модель, уменьшенную во много раз, и помещают ее в аэродинамическую трубу. Затем по поведению этой модели в различных воздушных потоках, создаваемых в трубе, судят о том, как будет вести себя в полете настоящий самолет. Многие детские игрушки, представляющие собой модели реальных объектов (автомобилей, поездов, животных и т. п.), позволяют ребенку познавать определенные свойства окружающих его предметов и явлений.
Моделирование – это процесс построения моделей, а также изучения на них соответствующих явлений, процессов, систем объектов (оригиналов). Он заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирается или строится другой объект (модель), в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучают, с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект. Моделирование применяется в тех случаях, когда по каким-либо причинам затруднительно или невозможно изучить оригинал в естественных условиях, когда необходимо облегчить процесс исследования того или иного объекта. Модель всегда обладает только некоторыми, существенными в данных условиях, свойствами моделируемого объекта.
При решении любой текстовой задачи неотъемлемой частью этого решения является построение модели задачи. Исследование этой модели служит средством для получения ответа на требование задачи. Как правило, это бывает математическая модель, под которой понимают описание задачи на языке математических понятий, формул и отношений. В ходе решения задачи выбранным методом строится «своя» математическая модель: запись решения по действиям с объяснением или выражение, если задача решается арифметическим методом; уравнение или система уравнений и неравенств, если задача решается алгебраическим методом (в этом случае математическую модель называют алгебраической моделью задачи); диаграмма или график, если она решается геометрическим методом, и т. д.
Пример. Во время весеннего паводка на трех островках разместились 63 зайца, причем на втором островке зайцев было в 2 раза больше, чем на первом, и в 3 раза меньше, чем на третьем. Сколько зайцев разместилось на каждом островке?
Математической моделью задачи является выражение:
63: (1 + 1 ( 2 + 2 ( 3).
Пример. Масса двух синих шаров и одного зеленого равна массе красного шара. Два красных и один зеленый весят столько же, сколько весят пять синих шаров. Красный шар и синий шар вместе весят 5 кг. Определите массу каждого шара.



Математической моделью задачи является система уравнений:

Пример. На соревнованиях по стрельбе предлагается сделать 10 выстрелов. За каждое попадание в цель участнику в его актив добавляется 12 очков, а за каждый промах – списывается 8 очков. Сколько попаданий в цель было у спортсмена, который при окончательном подсчете получил 60 очков?
Математической моделью задачи является график функции, выражающей зависимость числа полученных очков от числа попаданий (рис. 3). В данном случае аргумент (число точных выстрелов) принимает только целые значения (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10).






Рис.3

Рис. 3

В процессе решения задачи выделяют три этапа математического моделирования.
I. Построение математической модели: анализ задачи и перевод условия задачи на математический язык, то есть выделение исходных данных и искомых величин, описание связей между ними.
II. Решение задачи в рамках выбранной математической модели: нахождение значения выражения, выполнение действий, решение уравнений и неравенств.
III. Интерпретация результатов: перевод полученных решений на естественный язык, получение значений искомых величин.



Лекция 2. Арифметический метод решения текстовых задач

План

Общие замечания к решению задач арифметическим методом.
Задачи на нахождение неизвестных по результатам действий.
Задачи на пропорциональное деление.
Задачи на проценты и части.
Задачи, решаемые обратным ходом.

1. Арифметический метод – это основной метод решения текстовых задач в начальной школе. Находит он свое применение и в среднем звене общеобразовательной школы. Этот метод позволяет глубже понять и оценить всю важность и значимость каждого этапа работы над задачей.
В некоторых случаях решение задачи арифметическим методом значительно проще, чем другими методами.
Подкупая своей простотой и доступностью, арифметический метод вместе с тем достаточно сложен, и овладение приемами решения задач этим методом требует серьезной и кропотливой работы. Большое разнообразие видов задач не позволяет сформировать универсального подхода к анализу задач, поиску пути их решения: задачи, даже объединенные в одну группу, имеют совершенно разные способы решения.

2. К задачам на нахождение неизвестных по их разности и отношению относятся задачи, в которых по известным разности и частному двух значений некоторой величины требуется найти эти значения.
Алгебраическая модель:
Ответ находится по формулам: х = ак/(к – 1), у = а/(к – 1).
Пример. В плацкартных вагонах скорого поезда на 432 пассажира больше, чем в купейных. Сколько пассажиров находится в плацкартных и купейных вагонах отдельно, если в купейных вагонах пассажиров в 4 раза меньше, чем в плацкартных?
Решение. Графическая модель задачи представлена на рис. 4.

Рис. 4
Число пассажиров в купейных вагонах примем за 1 часть. Тогда можно найти, сколько частей приходится на число пассажиров в плацкартных вагонах, а затем, сколько частей приходится на 432 пассажира. После этого можно определить число пассажиров, составляющих 1 часть (находящихся в купейных вагонах). Зная, что в плацкартных вагонах пассажиров в 4 раза больше, найдем их число.
Запишем решение по действиям с пояснениями.
1 ( 4 = 4 (ч.) – приходится на пассажиров в плацкартных вагонах;
4 – 1 = 3 (ч.) – приходится на разность между числом пассажиров в плацкартных и купейных вагонах;
432 : 3 = 144 (п.) – в купейных вагонах;
144 ( 4 = 576 (п.) – в плацкартных вагонах.
Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом, а именно:
1 ( 4 = 4(ч.);
4 – 1 = 3 (ч.);
432 : 3 = 144 (п.);
144 + 432 = 576 (п.).
Ответ: в купейных вагонах 144 пассажира, в плацкартных – 576.

К задачам на нахождение неизвестных по двум остаткам или двум разностям, относятся задачи, в которых рассматриваются две прямо или обратно пропорциональные величины, такие, что известны два значения одной величины и разность соответствующих значений другой величины, а требуется найти сами значения этой величины.

Алгебраическая модель:

Ответы находятся по формулам:

Пример. Два поезда прошли с одинаковой скоростью – один 837 км, другой 248 км, причем первый был в пути на 19 ч. больше второго. Сколько часов был в пути каждый поезд?
Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 5.

Рис. 5

Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько часов был в пути тот или другой поезд, надо знать пройденное им расстояние и скорость. Расстояние дано в условии. Чтобы узнать скорость, надо знать расстояние и время, за которое это расстояние пройдено. В условии сказано, что первый поезд шел на 19 ч. дольше, а пройденное им за это время расстояние можно найти. Он шел лишних 19 ч. – очевидно, за это время прошел и лишнее расстояние.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
837 – 248 = 589 (км) – на столько километров больше прошел первый поезд;
589 : 19 = 31 (км/ч) – скорость первого поезда;
837 : 31 = 27 (ч.) – был в пути первый поезд;
4) 248 : 31 = 8 (ч.) – был в пути второй поезд.

Проверим решение задачи установлением соответствия между данными и числами, полученными при решении задачи.
Узнав, сколько времени был в пути каждый поезд, найдем, на сколько часов больше был в пути первый поезд, чем второй: 27 – 8 = 19 (ч.). Это число совпадает с данным в условии. Следовательно, задача решена верно.
Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом. Все четыре вопроса и первые три действия остаются те же.
4) 27 –19 = 8 (ч.).
Ответ: первый поезд был в пути 31ч., второй поезд – 8 ч.
Задачи на нахождение трех неизвестных по трем суммам этих неизвестных, взятых попарно:
Алгебраическая модель:
Ответ находится по формулам:
х = (а – b + с)/2, у = (а + b – с)/2, z = (b + с – a)/2.
Пример. Английский и немецкий языки изучают 116 школьников, немецкий и испанский языки изучают 46 школьников, а английский и испанский языки изучают 90 школьников. Сколько школьников изучают английский, немецкий и испанский языки отдельно, если известно, что каждый школьник изучает только один язык?

Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 6.


Рис. 6

Сколько школьников изучает каждый из языков?
Графическая модель задачи показывает: если сложить численности школьников, данные в условии (116 + 90 + 46), то получим удвоенное число школьников, изучающих английский, немецкий и испанский языки. Разделив его на два, найдем общее число школьников. Чтобы найти число школьников, изучающих английский язык, достаточно из этого числа вычесть число школьников, изучающих немецкий и испанский языки. Аналогично находим остальные искомые числа.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
116 + 90 + 46 = 252 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих языки;
252 : 2 = 126 (шк.) – изучают языки;
126 – 46 = 80 (шк.) – изучают английский язык;
126 – 90 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык;
126 – 116 = 10 (шк.) – изучают испанский язык.
Эту задачу можно проверить, решив ее другим способом.
116 – 46 = 70 (шк.) – на столько больше школьников изучают английский язык, чем испанский;
90 + 70 = 160 (шк.) – удвоенное число школьников, изучающих английский язык;
160 : 2 = 80 (шк.) – изучают английский язык;
90 – 80 = 10 (шк.) – изучают испанский язык;
116 – 80 = 36 (шк.) – изучают немецкий язык.
Ответ: английский язык изучают 80 школьников, немецкий язык – 36 школьников, испанский язык – 10 школьников.

3. К задачам на пропорциональное деление относятся задачи, в которых данное значение некоторой величины требуется разделить на части пропорционально заданным числам. В некоторых из них части представлены явно, а в других эти части надо суметь выделить, приняв одно из значений этой величины за одну часть и определив, сколько таких частей приходится на другие ее значения.

Выделяют пять видов задач на пропорциональное деление.
1) Задачи на деление числа на части, прямо пропорциональные ряду целых или дробных чисел
К задачам данного типа относятся задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х1, х2, х3, ..., хn прямо пропорционально числам а1, а2, а3, ..., аn.
Алгебраическая модель:
Ответ находится по формулам:

Пример. Туристическая фирма располагает четырьмя базами отдыха, которые имеют корпуса одинаковой вместимости. На территории 1-й базы отдыха расположены 6 корпусов, 2-й – 4 корпуса, 3-й – 5 корпусов, 4-й – 7 корпусов. Сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, если на всех 4 базах может разместиться 2112 человек?
Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 7.

Рис. 7
Чтобы ответить на вопрос задачи, сколько отдыхающих может разместиться на каждой базе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе и сколько корпусов расположено на территории каждой базы. Число корпусов на каждой базе дано в условии. Чтобы узнать, сколько отдыхающих может разместиться в одном корпусе, надо знать, сколько отдыхающих может разместиться на всех 4 базах (это дано в условии) и сколько корпусов расположено на территории всех 4 баз. Последнее можно определить, зная из условия, сколько корпусов расположено на территории каждой базы.

Запишем решение по действиям с пояснениями:
6 + 4 + 5 + 7 = 22 (к.) – расположено на территории 4 баз;
2112 : 22 = 96 (ч.) – может разместиться в одном корпусе;
96 ( 6 = 576 (ч.) – может разместиться на первой базе;
96 ( 4 = 384 (ч.) – может разместиться на второй базе;
96 ( 5 = 480 (ч.) – может разместиться на третьей базе;
96 ( 7 = 672 (ч.) – может разместиться на четвертой базе.
Проверка. Подсчитываем, сколько отдыхающих может разместиться на 4 базах: 576 + 384 + 480 + 672 = 2 112 (ч.). Расхождения с условием задачи нет. Задача решена правильно.
Ответ: на первой базе может разместиться 576 отдыхающих, на второй – 384 отдыхающих, на третьей – 480 отдыхающих, на четвертой – 672 отдыхающих.
2) Задачи на деление числа на части, обратно пропорциональные ряду целых или дробных чисел
К ним относятся задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части x1i,x2,x3i, ..., х„ обратно пропорционально числам а1ь а2, а3,..., аn.
Алгебраическая модель:
или
x1 :x2 :х3 :...:х„ = a2a3...аn :а1а3...ап :а1а2а4...аn :...:а1а2...аn-1
Ответ находится по формулам:

где S = а2а3...а„ + alai...an + а]а2а4...аn + ... + а1а2...аn-1.
Пример. За четыре месяца доход зверофермы от продажи пушнины составил 1 925 000 р., причем по месяцам полученные деньги распределились обратно пропорционально числам 2, 3, 5, 4. Каков доход фермы в каждом месяце отдельно?
Решение. Для определения названных в условии доходов дан общий доход за четыре месяца, то есть сумма четырех искомых чисел, а также отношения между искомыми числами. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4.
Обозначим искомые доходы соответственно через х,, х2, х3, х4. Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 8.

Рис. 8

Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данному общему доходу за четыре месяца, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые доходы.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
1. Искомые доходы обратно пропорциональны числам 2, 3, 5, 4, а значит, прямо пропорциональны числам, обратным данным, то есть имеют место отношения . Данные отношения в дробных числах заменим отношениями целых чисел:

2. Зная, что х содержит 30 равных частей, х2 – 20, х3 – 12, х4 –15, найдем, сколько частей содержится в их сумме:
30 + 20 + 12+ 15 = 77 (ч.).
3. Сколько рублей приходится на одну часть?
1 925 000 : 77 = 25 000 (р.).
4. Каков доход фермы в первом месяце?
25 000 30 = 750 000 (р.).
5. Каков доход фермы во втором месяце?
25 000 20 = 500 000 (р.).
6. Каков доход фермы в третьем месяце?
25 000– 12 = 300 000 (р.).
7. Каков доход фермы в четвертом месяце?
25 000– 15 = 375 000 (р.).
Ответ: в первом месяце доход фермы составил 750 000 р., во втором – 500 000 р., в третьем – 300 000 р., в четвертом – 375 000 р.
3) Задачи на деление числа на части, когда даны отдельные отношения для каждой пары искомых чисел
К задачам этого типа относят те задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х1, х2, х3, ..., х„, когда дан ряд отношений для искомых чисел, взятых попарно. Алгебраическая модель:
х1: х2 = а1 : b1, х2 : х3 = а2 : b2, х3 : х4 = а3: b3, ..., хп-1 : хn = аn-1 : bп-1.
Ввиду громоздкости формул для решения задачи в общем виде рассмотрим частный случай, когда п = 4. Алгебраическая модель:
хх :х2 = а1: b1, х2:х3= а2: b2, х3 : х4 = а3 : b3.
Тогда:
или


Итак, х1 : х2 : х3 : х4 = а1а2а3 : b1а2а3 : b1b2а3 : b1b2b3.
Значит

где S = а1а2а3 + b1ага3 + b1b2а3 + b1b2b3
Пример. В трех городах 168 000 жителей. Числа жителей первого и второго городов находятся в отношении 13 EMBED Equation.3 1415, а второго и третьего городов – в отношении . Сколько жителей в каждом городе?
Решение. Обозначим искомые численности жителей соответственно через х1, х2, х3. Тогда кратко задачу можно записать так, как показано на рисунке 9.

Рис. 9

Для определения численности жителей даны числа жителей в трех городах, то есть сумма трех искомых чисел, а также отдельные отношения между искомыми числами. Заменив эти отношения рядом отношений, выразим численности жителей трех городов в равных частях. Зная число частей, приходящихся на каждое из искомых чисел, найдем число частей, заключающихся в их сумме. По данной общей численности жителей в трех городах, то есть по сумме искомых чисел и по числу частей, содержащихся в этой сумме, узнаем величину одной части, а потом искомые численности жителей.
Запишем решение по действиям с пояснениями.
1. Заменяем отношение дробных чисел отношением целых чисел:

Числу жителей второго города ставим в соответствие число 15 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 5).
Изменяем соответствующим образом получившиеся отношения:
х1 : х2 = 4 : 3 = (4-5):(3-5) = 20 : 15, х2 : х3 = 5 : 7 = (5-3):(7-3) = 15 : 21.
Из отдельных отношений составляем ряд отношений:
х1 : х2: х3 = 20 : 15 : 21.
2. 20 + 15 + 21 = 56 (ч.) – стольким равным частям соответствует число 168 000;
3. 168 000 : 56 = 3 000 (ж.) – приходится на одну часть;
4. 3 000 20 = 60 000 (ж.) – в первом городе;
5. 3 000 15 = 45 000 (ж.) – во втором городе;
3 000 21 = 63 000 (ж.) – в третьем городе.
Ответ: 60 000 жителей; 45 000 жителей; 63 000 жителей.
4) Задачи на деление числа на части пропорционально двум, трем и так далее рядам чисел
К задачам этого типа относятся задачи, в которых число А (значение некоторой величины) нужно разделить на части х1, х2, х3,..., хn пропорционально двум, трем, ..., N рядам чисел.
Ввиду громоздкости формул для решения задачи в общем виде рассмотрим частный случай, когда п = 3 и N = 2. Пусть х1 х2, х3 прямо пропорциональны числам а1, а2, а3 и обратно пропорциональны числам b1, b2, b3.
Алгебраическая модель:
Значит,
(см. пункт 1 данного параграфа),

где
Пример. Двое рабочих получили 1 800 р. Один работал 3 дня по 8 ч., другой 6 дней по 6 ч. Сколько заработал каждый, если за 1 ч. работы они получали поровну?
Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 10.

Рис. 10

Чтобы узнать, сколько получил каждый рабочий, надо знать, сколько рублей платили за 1 ч. работы и сколько часов работал каждый рабочий. Чтобы узнать, сколько рублей платили за 1 ч. работы, надо знать, сколько заплатили за всю работу (дано в условии) и сколько часов работали оба рабочих вместе. Чтобы узнать общее число часов работы, надо знать, сколько часов работал каждый, а для этого необходимо знать, сколько дней работал каждый и по сколько часов в день. Эти данные в условии имеются.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
8 ( 3 = 24 (ч.) – работал первый рабочий;
6 ( 6 = 36 (ч.) – работал второй рабочий;
24 + 36 = 60 (ч.) – работали оба рабочих вместе;
1800 : 60 = 30 (р.) – получали рабочие за 1 ч работы;
30 ( 24 = 720 (р.) – заработал первый рабочий;
30 ( 36 = 1080 (р.) – заработал второй рабочий. Ответ: 720 р.; 1080 р.
5) Задачи на нахождение нескольких чисел по данным их отношениям и сумме или разности (сумме или разности некоторых из них)
Пример. На оборудование детской площадки, теплицы и спортивного зала администрацией школы было израсходовано 49 000 р. Оборудование детской площадки обошлось вдвое дешевле, чем теплицы, а теплицы – в 3 раза дешевле, чем спортивного зала и детской площадки вместе. Сколько денег было израсходовано на оборудование каждого из указанных объектов?
Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 11.
На детскую площадку в 2 раза меньше, чем на теплицу.


49 000 р.

На теплицу в 3 раза меньше, чем на детскую площадку и спортивный зал вместе.


Сколько денег израсходовано на оборудование каждого объекта?

Рис. 11

Чтобы узнать количество денег, израсходованных на оборудование каждого объекта, надо знать, сколько частей всех израсходованных денег приходилось на оборудование каждого объекта и сколько рублей приходилось на каждую часть. Число частей израсходованных денег на оборудование каждого объекта определяется из условия задачи. Определив число частей на оборудование каждого объекта в отдельности, а затем найдя их сумму, вычислим величину одной части (в рублях).
Запишем решение по действиям с пояснениями.
Принимаем за 1 часть количество денег, израсходованных на оборудование детской площадки. По условию на оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше, то есть 1 ( 2 = 2 (ч.); на оборудование детской площадки и спортивного зала вместе израсходовано в 3 раза больше, чем на теплицу, то есть 2 ( 3 = 6 (ч.), следовательно, на оборудование спортивного зала израсходовали 6 – 1 = 5 (ч.).
На оборудование детской площадки израсходована 1 часть, теплицы – 2 части, спортивного зала – 5 частей. Весь расход составлял 1 + 2 + + 5 = 8 (ч.).
8 частей составляют 49 000 р., одна часть меньше этой суммы в 8 раз: 49 000 : 8 = 6 125 (р.). Следовательно, на оборудование детской площадки израсходовали 6 125 р.
На оборудование теплицы израсходовано в 2 раза больше: 6 125 ( 2 = 12 250 (р.).
На оборудование спортивного зала израсходовано 5 частей: 6 125 ( 5 = 30 625 (р.).
Ответ: 6 125 р.; 12 250 р.; 30 625 р.
6) Задачи на исключение одного из неизвестных
К задачам этой группы относятся задачи, в которых даны суммы двух произведений, имеющих два повторяющихся сомножителя, и требуется найти значения этих сомножителей. Алгебраическая модель

Ответ находится по формулам:

Эти задачи решаются способом уравнивания данных, способом уравнивания данных и искомых, способом замены данных, а также так называемым способом «на предположение».
Пример. На швейной фабрике на 24 пальто и 45 костюмов израсходовали 204 м ткани, а на 24 пальто и 30 костюмов – 162 м. Сколько ткани расходуется на один костюм и сколько – на одно пальто?
Решение. Решим задачу способом уравнивания данных. Краткая запись задачи:
24 пальто и 45 костюмов – 204 м,
24 пальто и 30 костюмов – 162 м.
Сколько м ткани расходуется на одно пальто и на один костюм?
В условии задачи даны две партии ткани. В первой партии 204 м, во второй – 162 м. Ткани во второй партии меньше, потому что меньше сшито костюмов. Число пальто в первом и во втором случае одинаково. Очевидно, лишние 42 м ткани (204 – 162) в первой партии пошли на пошив 15 лишних костюмов (45 – 30). Зная, что 42 м идет на пошив 15 костюмов, можно узнать, сколько метров ткани идет на 1 костюм. Чтобы узнать, сколько метров идет на пальто, надо знать, сколько метров идет на все 24 пальто. В условии дано, что 162 м идет на 24 пальто и на 30 костюмов, но мы уже знаем, сколько метров идет на 1 костюм, следовательно, можем подсчитать, сколько метров пойдет на 30 костюмов, а потом узнаем, сколько ткани израсходовано на 24 пальто. Зная, сколько метров идет на 24 пальто, определим, сколько метров идет на 1 пальто.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
204 – 162 = 42 (м) = 4 200 (см) – на столько метров больше израсходовано ткани в первый раз;
45 – 30 = 15 (к.) – столько лишних костюмов сшито в первый раз;
4200 : 15 = 280 (см) – ткани идет на 1 костюм;
280 ( 30 = 8 400 (см) – ткани идет на 30 костюмов;
16 200 – 8 400 = 7 800 (см) – ткани идет на 24 пальто;
7 800 : 24 = 325 (см) – ткани идет на 1 пальто.
Ответ: 2 м 80 см расходуется на пошив 1 костюма; 3 м 25 см расходуется на пошив 1 пальто.
Пример. За 14 кубометров березовых и 6 кубометров сосновых дров уплачено 3760 р. В другой раз при тех же ценах за 37 кубометров березовых и 18 кубометров сосновых дров уплачено 10280 р. Сколько стоит кубометр тех и других дров?
Решение. Решим задачу способом уравнивания данных и искомых.
Краткая запись задачи (а):
а) 14 м3 березовые и 6 м3 сосновые – 3760 р.,
37 м3 березовые и 18 м3 сосновые – 10280 р.,
Сколько стоит 1 м3 тех и других видов?
В условии задачи даны две покупки. Второй раз уплачено больше, потому что больше куплено березовых и сосновых дров. Надо изменить условие задачи так, чтобы количество каких-нибудь дров в обеих покупках было одинаково. Тогда разница в стоимости будет зависеть только от разницы в количестве одного какого-нибудь сорта дров. В данной задаче легко выравнять количество сосновых дров, увеличив в первой покупке все данные в 3 раза. Умножаем на 3 все числовые данные первой строчки: 14 ( 3 = 42 (м3);
6 ( 3 = 18 (м3); 3 760 ( 3 = 11280 р. Получили задачу, краткая запись которой показана (б):
б) 42 м3 березовые и 18 м3 сосновые – 11280 р.,
37 м3 березовые и 18 м3 сосновые – 10280 р.,
Сколько стоит 1 м3 тех и других дров?
Дальше задача решается так же, как и предыдущая: на исключение неизвестных при помощи вычитания.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
18 : 6 = 3 (раз) – во столько раз во второй покупке сосновых дров больше, чем в первой;
14 ( 3 = 42 (м3) – купили бы березовых дров в первый раз;
6 ( 3 = 18 (м3) – купили бы сосновых дров в первый раз;
3760 ( 3 = 11 280 (р.) – заплатили бы за первую покупку;
11280 – 10280 = 1 000 (р.) – на столько рублей заплатили бы больше за первую покупку, чем за вторую;
42 – 37 = 5 (м3) – купили бы березовых дров больше в первый раз, чем во второй;
1 000 : 5 = 200 (р.) – стоит 1 кубометр березовых дров;
200 ( 37 = 7400 (р.) – стоят 37 кубометров березовых дров;
10280 – 7400 = 2880(р.) – стоят 18 кубометров сосновых дров;
2 880 : 18 = 160 (р.) – стоит 1 кубометр сосновых дров.
Ответ: 200 р.; 160 р.
Пример. В 12 одинаковых мешках и 9 одинаковых ящиках хранится 645 кг моркови. В мешке вмещается моркови на 10 кг больше, чем в ящике. Сколько моркови хранится в одном мешке и одном ящике?
Решение. Решим задачу способом замены данных. Графическая модель задачи представлена на рисунке 12.

Рис. 12

По условию задачи мешок вмещает на 10 кг моркови больше, чем ящик. Следовательно, если мы будем знать, сколько килограммов моркови вмещает ящик, то легко найдем, сколько килограммов моркови вмещает мешок. 645 кг моркови хранятся в мешках и ящиках. Каждый мешок вмещает моркови на 10 кг больше, чем ящик. При замене одного мешка ящиком масса хранящейся моркови становится меньше на 10 кг. Таким образом, если бы вместо 12 мешков взяли 12 ящиков, то масса хранящейся моркови стала бы меньше на 10 ( 12 кг.
Дальше можно узнать, сколько весила бы вся морковь, если бы вместо 12 мешков взяли 12 ящиков. Зная число ящиков (9 +12 = 21) и их вместимость, можно узнать, сколько килограммов моркови вмещает один ящик; а зная, сколько килограммов моркови вмещает ящик, найдем, сколько килограммов моркови вмещает мешок.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
10 ( 12 = 120 (кг) – на столько килограммов моркови хранится меньше в 12 ящиках, чем в 12 мешках;
645 – 120 = 525 (кг) – столько весила бы вся морковь, если бы вместо 12 мешков взяли 12 ящиков;
12 + 9 = 21 (ящ.) – было бы взято ящиков;
525 : 21 = 25 (кг) – моркови вмещает один ящик;
25 + 10 кг = 35 (кг) – моркови вмещает один мешок.
Ответ: 35 кг, 25 кг.
Примечание. Мы заменили мешки ящиками. Можно заменить ящики мешками. Тогда масса всей хранящейся моркови будет больше на 10 ( 9 кг. План и решение задачи будут аналогичны вышеприведенным.
Пример. С двух участков общей площадью в 51 га собрано 2 221 т картофеля. С каждого гектара одного участка собирали по 486 ц, а с каждого гектара второго участка собирали по 325 ц картофеля. Определите площадь каждого участка.
Решение. Решим задачу способом «на предположение». Краткая запись задачи представлена на рисунке 13.

1-й уч.– по 486 ц с 1га
2-й уч. – по 325 ц с 1 гa
Определите площадь каждого участка.






Рис. 13

Предположим, что с каждого гектара второго участка собирали столько же картофеля, сколько и с первого, то есть по 486 ц, тогда с 51 га было бы собрано 486 ( 51 ц. На самом деле картофеля собрано меньше: (486 ( 51 – 22 210) ц, потому что с каждого гектара второго участка собирали не 486 ц, а 325 ц, то есть на 161 ц меньше. Очевидно, сколько раз 161 ц содержится в (486 ( 51 – 22210) ц, столько гектаров и было во втором участке. Запишем решение по действиям с пояснениями:
486 ( 51 = 24 786 (ц) – был бы урожай картофеля с обоих участков, если бы с каждого гектара второго участка собирали столько же, сколько и с первого, то есть по 486 ц;
24 786 – 22 210 = 2 576 (ц) – разница между предполагаемым урожаем и действительным урожаем;
486 – 325 = 161 (ц) – на столько центнеров с каждого гектара второго участка собирали картофеля меньше, чем с одного гектара первого участка;
2 576 : 161 = 16 раз (га) – площадь второго участка;
51 – 16 = 35 (га) – площадь первого участка.
Проверка. Подсчитываем урожай с каждого участка отдельно, а потом весь урожай с обоих участков. Должно получиться 2 221 т. Задачу можно решить, предполагая, что с каждого гектара обоих участков собирали по 325 ц. Составление плана решения и само решение задачи по существу будут те же.
Ответ: 35 га; 16 га.
4. Нахождение процентов (части) от данного числа
К задачам этого вида относятся задачи, в которых требуется найти р процентов (т/п часть) от числа А. Алгебраическая модель:

Пример. В телевизионной игре некто выиграл 12 000 р. Две пятых этой суммы он истратил на покупку бытовой техники, четвертую часть положил в банк, остальные деньги потратил на турпоездку с семьей во время летнего отпуска. Сколько стоила эта поездка?
Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке 14.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать: 1) весь выигрыш; 2) деньги, израсходованные на бытовую технику; 3) деньги, положенные в банк.



2/5 –
покупка бытовой техники техники;


1/4 –
в банк;
12 000 р.

остальные – турпоездка.
Сколько стоила поездка?







Рис. 14

Весь выигрыш известен из условия задачи, остальные величины надо определить. На бытовую технику израсходовано 2/5 части выигрыша. Можно начать решение задачи с определения этой части выигрыша (все данные имеются). Затем надо определить количество денег, положенных в банк: 1/4 выигрыша. Чтобы найти искомую стоимость, надо из общего количества денег вычесть деньги, затраченные на покупку бытовой техники, и деньги, положенные в банк.
Запишем решение задачи по действиям с пояснениями:
(12 000 : 5) ( 2 = 4 800 (р.) – израсходовано на покупку бытовой техники;
12 000 : 4 = 3 000 (р.) – положено в банк;
4 800 + 3 000 = 7 800 (р.) – израсходовано на покупку бытовой техники и положено в банк;
12 000 – 7 800 = 4 200 (р.) – осталось на турпоездку.
Ответ: поездка стоила 4 200 р.
Пример. Совхоз имеет 1 400 га земли; 32% ее занято рожью, 35% – пшеницей, 22% – овсом, остальное – клевером.
Сколько гектаров земли под рожью, пшеницей, овсом и клевером отдельно?




Решение. Краткая запись задачи:
Рожь – 32%
Пшеница – 35% 1400 га
Овес – 22%
Клевер – остальное
Сколько гектаров занято каждой культурой?
Площадь всего участка составляет 100%. Чтобы узнать, сколько гектаров занято каждой культурой, надо знать, сколько процентов площади занято каждой культурой и сколько гектаров приходится на 1%. Сначала найдем 1% от 1 400 га. Затем находим, сколько гектаров занято каждой культурой.
Оформим решение задачи по действиям с записью пояснений в вопросительной форме.
Сколько гектаров составляет 1 % всей земли?
1 400: 100 = 14 (га).
Сколько гектаров земли занято рожью?
14 ( 32 = 448 (га).
Сколько гектаров занято пшеницей?
14 35 = 490 (га).
Сколько гектаров занято овсом?
14 ( 22 = 308 (га).
Сколько всего гектаров занято рожью, пшеницей и овсом?
448 + 490 + 308 = 1 246 (га).
Сколько гектаров земли занято клевером?
1400 – 1 246 = 154 (га).
Задачу можно проверить, решив ее другим способом. Первые четыре вопроса и четыре действия остаются те же.
5. Сколько процентов земли занято рожью, пшеницей и овсом?
35 + 32 + 22 = 89 (%).
6. Сколько процентов земли занято клевером?
100 – 89 = 11 (%).
7. Сколько гектаров земли занято клевером?
14 – 11 = 154 (га).
Ответ: рожью занято 448 гектаров, пшеницей – 490 гектаров, овсом – 308 гектаров, клевером – 154 гектара.

Нахождение числа по данной величине его процента (части)
К задачам этого вида относятся задачи, в которых требуется найти число, если р процентов (т/п часть) его составляют а.
Алгебраическая модель:
или
Пример. Молоко пропускали через сепаратор и из полученных сливок сбивали масло. Масса масла, сбитого из сливок, составляет 16% массы сливок, а все сливки – 20% массы молока. Сколько литров молока нужно взять, чтобы получить 73 кг 800 г масла, если 1 л молока весит 1 025 г?
Решение. Краткая запись задачи:
Масла 73 кг 800 г;
Масло составляет 16% массы сливок; Сливки составляют 20 % массы молока;
1 л молока весит 1025 г.
Сколько литров молока надо взять?
73 кг 800 г масла получили из сливок. Масса масла составляет 16% массы сливок, а масса сливок равна 100%. По массе масла определим массу сливок, из которых сбито масло. Масса сливок, в свою очередь, составляет 20% массы молока, а масса молока равна 100%. Зная массу сливок, определим массу молока, из которого приготовлено 73 кг 800 г масла. Зная массу1 л молока и массу всего молока, найдем, сколько литров молока надо взять для приготовления 73 кг 800 г масла, то есть ответим на вопрос задачи. Оформим решение по действиям с записью пояснений в вопросительной форме.
1. Сколько весят сливки, необходимые для приготовления 73 кг 800 г масла?
73 кг 800 г = 73800 (г).
(73800 : 16) ( 100 = 461250 (г).
2. Сколько весит молоко?
(461250 : 20) ( 100 = 2306 250 (г).
3. Сколько литров молока нужно взять?
2306250 : 1025 = 2250 (л).
Ответ: требуется взять 2 250 л молока.
Пример. Из имеющихся денег израсходовали на покупку продуктов, – на билеты в театр, на остальные деньги купили газеты и 4 журнала. Продукты стоили на р. дороже газет и журналов. Сколько было денег и сколько стоили продукты?
Решение. Краткая запись задачи:
Продукты – 1/3 всего заработка;
Билеты – 2/5 всего заработка;
Газеты и журналы – остальное;
Продукты дороже газет и журналов на 13 EMBED Equation.3 1415 р.
Сколько было денег и сколько стоили продукты?

Все деньги представляют собой сумму трех слагаемых: часть имеющихся денег израсходована на продукты, часть – на билеты и остальная часть – на газеты и журналы. Первые два слагаемых известны, третье неизвестно. Но оно составляет разность между всеми деньгами и суммой этих слагаемых. Зная части имеющихся денег, израсходованных на продукты, газеты и журналы, найдем разность между ними в частях всех денег, которая в то же время равна 13 EMBED Equation.3 1415 р. По данной величине дроби найдем всю сумму, то есть получим ответ на первый вопрос задачи. Зная всю сумму, найдем ее часть, израсходованную на продукты, то есть получим ответ на второй вопрос задачи.
Оформим решение по действиям с записью пояснений в вопросительной форме.
1. Какая часть денег израсходована на продукты и билеты в театр?

2. Какая часть денег израсходована на газеты и журналы?

3. На какую часть денег расход на продукты больше расхода на газеты и журналы?

4. Какова вся сумма денег?

5. Сколько стоят продукты?

Ответ: всего было 117 р.; продукты стоили 39 р.
Нахождение процентного отношения двух чисел
К задачам этого вида относятся задачи, в которых требуется определить, сколько процентов составляет число В от числа А. Алгебраическая модель:

Примечание. Задачи этой группы могут рассматриваться как задачи на пропорциональные величины и поэтому могут решаться всеми способами решения задач на простое тройное правило.
Пример. В школе обучается 320 мальчиков и 350 девочек. На занятиях присутствуют 304 мальчика и 336 девочек. Сколько присутствует в школе (в процентах): а) мальчиков; б) девочек; в) всех учащихся? г) сколько процентов составляет число отсутствующих учащихся от числа присутствующих?
Решение.
1) – мальчиков присутствует в школе;
2) – девочек присутствует в школе;
3) 320 + 350 = 670 (уч.) – всего учащихся в школе;
4) 304 + 336 = 640 (уч.) – присутствуют в школе;
5) – всех учащихся присутствует в школе;
6) 670 – 640 = 30 (уч.) – отсутствуют в школе;
7) – составляет число отсутствующих учащихся от числа присутствующих.
Ответ: а) 95%; б) 96%; в); г)
5. Задачи, решаемые с конца, или обратным ходом
К задачам этой группы относятся задачи, которые решаются на основе зависимости между прямыми и обратными действиями. Чтобы определить неизвестное, надо с конечным результатом выполнить обратные операции в обратном порядке.
Примечание. Большое разнообразие видов данных задач не позволяет построить их универсальную алгебраическую модель.
Пример. Некто истратил 30 р. своих денег, после чего удвоил оставшиеся деньги. Затем он истратил 60 р., после чего опять удвоил оставшиеся деньги. Когда он еще истратил 90 р., у него осталось 70 р. Сколько денег было вначале?
Решение. Графическая модель задачи представлена на рисунке 15.

Рис. 15

Чтобы определить, сколько денег было первоначально, нужно с конечным результатом выполнить обратные операции в обратном порядке. Сначала узнаем, сколько денег было до того, как истратили 90 р., затем узнаем, сколько денег было до того, как второй раз удвоили оставшиеся деньги. После этого находим, сколько денег было до того, как истратили 60 р., и, наконец, узнав, сколько денег было до того, как первый раз удвоили оставшиеся деньги, в последнем действии определяем первоначальное количество денег.
Запишем решение по действиям с пояснениями:
70 + 90 = 160 (р.) – было до того, как некто истратил 90 р.;
160 : 2 = 80 (р.) – было до того, как некто второй раз удвоил оставшиеся деньги;
80 + 60 = 140 (р.) – было до того, как некто истратил 60 р.;
140 : 2 = 70 (р.) – было до того, как некто первый раз удвоил оставшиеся деньги;
70 + 30 = 100 (р.) – было первоначально.
Ответ: первоначально было 100 р.
Пример. Три крестьянина зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель и заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едой на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтобы не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий и сделал то же, что и его товарищи. Когда первый опять проснулся, то разбудил своих товарищей. Тогда все выяснилось. Сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен съесть каждый, чтобы всем досталось поровну, если третий крестьянин оставил 8 картофелин?
Решение. Третий крестьянин оставил для товарищей 8 картофелин, то есть каждому по 4 штуки. Значит, и сам он съел 4 картофелины. Следовательно, второй крестьянин оставил своим товарищам 12 картофелин, то есть по 6 на каждого, значит, и сам съел 6 штук. Так что первый крестьянин оставил товарищам 18 картофелин, по 9 штук на каждого, значит, и сам съел 9 штук.
Итак, хозяйка подала на стол 27 картофелин, и на долю каждого крестьянина приходилось по 9 картофелин. Но первый всю свою долю съел. Следовательно, из восьми оставшихся картофелин приходится на долю второго 3, а на долю третьего 5 штук.
Ответ: на стол подано 27 картофелин, второй должен съесть 3, а третий – 5 картофелин.
Лекция 3. Алгебраический метод решения текстовых задач

План

1. Общие замечания к решению задач алгебраическим методом.
2. Задачи на движение.
3. Задачи на работу.
4. Задачи на смеси и проценты.
Использование алгебраического метода для нахождения арифметического пути решения текстовых задач.

1. При решении задач алгебраическим методом искомые величины или другие величины, зная которые можно определить искомые, обозначают буквами (обычно х, у, z). Все независимые между собой соотношения между данными и неизвестными величинами, которые либо непосредственно сформулированы в условии (в словесной форме), либо вытекают из смысла задачи (например, физические законы, которым подчиняются рассматриваемые величины), либо следуют из условия и некоторых рассуждений, записываются в виде равенства неравенств. В общем случае эти соотношения образуют некоторую смешанную систему. В частных случаях эта система может не содержать неравенств либо уравнений или она может состоять лишь из одного уравнения или неравенства.
Решение задач алгебраическим методом не подчиняется какой-либо единой, достаточно универсальной схеме. Поэтому всякое указание, относящееся ко всем задачам, носит самый общий характер. Задачи, которые возникают при решении практических и теоретических вопросов, имеют свои индивидуальные особенности. Поэтому их исследование и решение носят самый разнообразный характер.
Остановимся на решении задач, математическая модель которых задается уравнением с одним неизвестным.
Напомним, что деятельность по решению задачи состоит из четырех этапов. Работа на первом этапе (анализ содержания задачи) не зависит от выбранного метода решения и не имеет принципиальных отличий. На втором этапе (при поиске пути решения задачи и составлении плана ее решения) в случае применения алгебраического метода решения осуществляются: выбор основного соотношения для составления уравнения; выбор неизвестного и введение обозначения для него; выражение величин, входящих в основное соотношение, через неизвестное и данные. Третий этап (осуществление плана решения задачи) предполагает составление уравнения и его решение. Четвертый этап (проверка решения задачи) осуществляется стандартно.
Обычно при составлении уравнений с одним неизвестным х придерживаются следующих двух правил.
Правило I. Одна из данных величин выражается через неизвестное х и другие данные (то есть составляется уравнение, в котором одна часть содержит данную величину, а другая – ту же величину, выраженную посредством х и других данных величин).
Правило II. Для одной и той же величины составляются два алгебраических выражения, которые затем приравниваются друг к другу.
Внешне кажется, что первое правило проще второго.
В первом случае всегда требуется составить одно алгебраическое выражение, а во втором – два. Однако часто встречаются задачи, в которых удобнее составить два алгебраических выражения для одной и той же величины, чем выбрать уже известную и составить для нее одно выражение.
Процесс решения текстовых задач алгебраическим способом выполняется по следующему алгоритму:
1. Сначала выбирают соотношение, на основании которого будет составлено уравнение. Если задача содержит более двух соотношений, то за основу для составления уравнения надо взять то соотношение, которое устанавливает некоторую связь между всеми неизвестными.
Затем выбирают неизвестное, которое обозначают соответствующей буквой.
Все неизвестные величины, входящие в выбранное для составления уравнения соотношение, необходимо выразить через выбранное неизвестное, опираясь на остальные соотношения, входящие в задачу кроме основного.
4. Из указанных трех операций непосредственно вытекает составление уравнения как оформление словесной записи при помощи математических символов.
Центральное место среди перечисленных операций занимает выбор основного соотношения для составления уравнений. Рассмотренные примеры показывают, что выбор основного соотношения является определяющим при составлении уравнений, вносит логичную стройность в порою расплывчатый словесный текст задачи, дает уверенность в ориентации и предохраняет от беспорядочных действий для выражения всех входящих в задачу величин через данные и искомые.
Алгебраический метод решения задач имеет огромное практическое значение. С его помощью решают самые разнообразные задачи из области техники, сельского хозяйства, быта. Уже в средней школе уравнения применяются учащимися при изучении физики, химии, астрономии. Там, где арифметика оказывается бессильной или, в лучшем случае, требует крайне громоздких рассуждений, там алгебраический метод легко и быстро приводит к ответу. И даже в так называемых «типовых» арифметических задачах, сравнительно легко решаемых арифметическим путем, алгебраическое решение, как правило, является и более коротким, и более естественным.
Алгебраический метод решения задач позволяет легко показать, что некоторые задачи, отличающиеся друг от друга лишь фабулой, имеют не только одни и те же соотношения между данными и искомыми величинами, но и приводят к типичным рассуждениям, посредством которых устанавливаются эти соотношения. Такие задачи дают лишь различные конкретные интерпретации одного и того же математического рассуждения, одних и тех же соотношений, то есть имеют одну и ту же математическую модель.
2. К группе задач на движение относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: пути (s), скорости (v) и времени (t). Как правило, в них речь идет о равномерном прямолинейном движении, когда скорость постоянна по модулю и направлению. В этом случае все три величины связаны следующим соотношением: S = vt. Например, если скорость велосипедиста 12 км/ч, то за 1,5 ч. он проедет 12 км/ч ( 1,5 ч = 18 км. Встречаются задачи, в которых рассматривается равноускоренное прямолинейное движение, то есть движение с постоянным ускорением (а). Пройденный путь s в этом случае вычисляется по формуле: S = v0t + at2/2, где v0 – начальная скорость движения. Так, за 10 с падения с начальной скоростью 5 м/с и ускорением свободного падения 9,8 м2/с тело пролетит расстояние, равное 5 м/с ( 10с + 9,8 м2/с ( 102с2/2 = 50 м + 490 м = 540 м.
Как уже отмечалось, в ходе решения текстовых задач и в первую очередь в задачах, связанных с движением, весьма полезно сделать иллюстративный чертеж (построить вспомогательную графическую модель задачи). Чертеж следует выполнить так, чтобы на нем была видна динамика движения со всеми встречами, остановками и поворотами. Грамотно составленный чертеж позволяет не только глубже понять содержание задачи, но и облегчает составление уравнений и неравенств. Примеры таких чертежей будут приведены ниже.
Обычно в задачах на движение принимаются следующие соглашения.
Если специально не оговорено в задаче, то движение на отдельных участках считается равномерным (будь то движение по прямой или по окружности).
Повороты движущихся тел считаются мгновенными, то есть происходят без затрат времени; скорость при этом также меняется мгновенно.
Данную группу задач, в свою очередь, можно разбить на задачи, в которых рассматриваются движения тел: 1) навстречу друг другу; 2) в одном направлении («вдогонку»); 3) в противоположных направлениях; 4) по замкнутой траектории; 5) по течению реки.
Если расстояние между телами равно S, а скорости тел равны v1 и v2 (рис. 16 а), то при движении тел навстречу друг другу время, через которое они встретятся, равно S/(v1 + v2).
2. Если расстояние между телами равно S, а скорости тел равны v1 и v2 (рис. 16 б), то при движении тел в одну сторону (v1 > v2) время, через которое первое тело догонит второе, равно S/(v1 – v2).
3. Если расстояние между телами равно S, а скорости тел равны v1 и v2 (рис. 16 в), то, отправившись одновременно в противоположных направлениях, тела будут через время t находиться на расстоянии S1 = S + (v1 + v2)t.


Рис. 16

4. Если тела движутся в одном направлении по замкнутой траектории длиной s со скоростями v1 и v2, то время, через которое тела опять встретятся (одно тело догонит другое), отправившись одновременно из одной точки, находится по формуле t = S/(v1 – v2) при условии, что v1 > v2.
Это следует из того, что при одновременном старте по замкнутой траектории в одном направлении тело, скорость которого больше, начинает догонять тело, скорость которого меньше. В первый раз оно догоняет его, пройдя расстояние на S большее, чем другое тело. Если же оно обгоняет его во второй, в третий раз и так далее, это означает, что оно проходит расстояние на 2S, на 3S и так далее большее, чем другое тело.
Если тела движутся в разных направлениях по замкнутой траектории длиной S со скоростями v1 и v2, то время, через которое они встретятся, отправившись одновременно из одной точки, находится по формуле t = v(v1 + v2). В этом случае сразу после начала движения возникает ситуация, когда тела начинают двигаться навстречу друг другу.
5. Если тело движется по течению реки, то его скорость относительно берега и слагается из скорости тела в стоячей воде v и скорости течения реки w: и = v + w. Если тело движется против течения реки, то его скорость и = v – w. Например, если скорость катера v = 12 км/ч, а скорость течения реки w = 3 км/ч, то за 3 ч. по течению реки катер проплывет (12 км/ч + 3 км/ч) ( 3 ч. = 45 км, а против течения – (12 км/ч – 3 км/ч) ( 3 ч. = 27 км. Считают, что скорость предметов, имеющих нулевую скорость движения в стоячей воде (плот, бревно и т. п.), равна скорости течения реки.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример. Из одного пункта в одном направлении через каждые 20 мин. выезжают автомобили. Второй автомобиль едет со скоростью 60 км/ч, а скорость первого на 50% больше скорости второго. Найдите скорость движения третьего автомобиля, если известно, что он обогнал первый автомобиль на 5,5 ч позже, чем второй.
Решение. Пусть х км/ч – скорость третьего автомобиля. Скорость первого автомобиля на 50% больше скорости второго, значит, она равна

При движении в одном направлении время встречи находится как отношение расстояния между объектами к разности их скоростей. Первый автомобиль за 40 мин. (2/3 ч) проедет 90 ( (2/3) = 60 км. Следовательно, третий его догонит (они встретятся) через 60/(х – 90) часов. Второй за 20 мин. (1/3 ч) проедет 60 ( (1/3) = 20 км. Значит, третий его догонит (они встретятся) через 20/(х – 60) ч. (рис. 17).
По условию задачи
Рис.17






Рис. 17

После несложных преобразований получим квадратное уравнение 11х2 – 1730х + 63000 = 0, решив которое найдем
Проверка показывает, что второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как в этом случае третий автомобиль не догонит другие автомобили. Ответ: скорость движения третьего автомобиля 100 км/ч.
Пример. Теплоход прошел по течению реки 96 км, вернулся обратно и некоторое время простоял под погрузкой, затратив на все 32 ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Определите скорость теплохода в стоячей воде, если время погрузки составляет 37,5% от времени, затраченного на весь путь туда и обратно.
Решение. Пусть х км/ч – скорость теплохода в стоячей воде. Тогда (х + 2) км/ч – его скорость по течению; (х – 2) км/ч – против течения; 96/(х + 2) ч. – время движения по течению; 96/(х – 2) ч. – время движения против течения. Так как 37,5% от общего количества времени теплоход стоял под погрузкой, то чистое время движения равно 62,5% ( 32/100% = 20 (ч.). Следовательно, по условию задачи имеем уравнение:

Преобразовав его, получим: 24(х – 2 + х + 2) = 5(х + 2)(х – 2) => 5х2 – 4х – 20 = 0. Решив квадратное уравнение, находим: х1 = 10; х2 = -0,4. Второй корень не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 10 км/ч – скорость движения теплохода в стоячей воде.
Пример. Автомобиль проехал путь из города А в город С через город В без остановок. Расстояние АВ, равное 120 км, он проехал с постоянной скоростью на 1 ч. быстрее, чем расстояние ВС, равное 90 км. Определите среднюю скорость движения автомобиля от города А до города С, если известно, что скорость на участке АВ на 30 км/ч больше скорости на участке ВС.
Решение. Пусть х км/ч – скорость автомобиля на участке ВС.
Тогда (х + 30) км/ч – скорость на участке АВ, 120/(х + 30) ч, 90/х ч – время, за которое автомобиль проезжает пути АВ и ВС соответственно.
Следовательно, по условию задачи имеем уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Преобразуем его:
120х+ 1(х + 30)х = 90(х + 30) => х2 + 60х – 2700 = 0.
Решив квадратное уравнение, находим: х1 = 30, х2 = -90. Второй корень не удовлетворяет условию задачи. Значит, скорость на участке ВС равна 30 км/ч, на участке АВ – 60 км/ч. Отсюда следует, что расстояние АВ автомобиль проехал за 2 ч. (120 км : 60 км/ч = 2 ч.), а расстояние ВС – за 3 ч. (90 км : 30 км/ч = 3 ч.), поэтому все расстояние АС он проехал за 5 ч. (3 ч. + 2 ч. = 5 ч.). Тогда средняя скорость движения на участке АС, протяженность которого 210 км, равна 210 км : 5 ч. = 42 км/ч.
Ответ: 42 км/ч – средняя скорость движения автомобиля на участке АС.
К группе задач на работу относятся задачи, в которых говорится о трех величинах: работе А, времени t, в течение которого производится работа, производительности Р – работе, произведенной в единицу времени. Эти три величины связаны уравнением А = Рt. К задачам на работу относят и задачи, связанные с наполнением и опорожнением резервуаров (сосудов, баков, бассейнов и т. п.) с помощью труб, насосов и других приспособлений. В качестве произведенной работы в этом случае рассматривают объем перекачанной воды.
Задачи на работу, вообще говоря, можно отнести к группе задач на движение, так как в задачах такого типа можно считать, что вся работа или полный объем резервуара играют роль расстояния, а производительности объектов, совершающих работу, аналогичны скоростям движения. Однако по фабуле эти задачи естественным образом различаются, причем часть задач на работу имеют свои специфические приемы решения. Так, в тех задачах, в которых объем выполняемой работы не задан, вся работа принимается за единицу.
Пример. Две бригады должны были выполнить заказ за 12 дней. После 8 дней совместной работы первая бригада получила другое задание, поэтому вторая бригада заканчивала выполнение заказа еще 7 дней. За сколько дней могла бы выполнить заказ каждая из бригад, работая отдельно?
Решение. Пусть первая бригада выполняет задание за х дней, вторая бригада – за y дней. Примем всю работу за единицу. Тогда 1/х – производительность первой бригады, a 1/y – второй. Так как две бригады должны выполнить заказ за 12 дней, то получим первое уравнение 12(1/х + 1/у) = 1.
Из второго условия следует, что вторая бригада работала 15 дней, а первая – только 8 дней. Значит, второе уравнение имеет вид:
8/х+ 15/у= 1.
Таким образом, имеем систему:


Вычтем из второго уравнения первое, получим:
21/y = 1 => у = 21.
Тогда 12/х + 12/21 = 1 => 12/ х – = 3/7 => х = 28.
Ответ: за 28 дней выполнит заказ первая бригада, за 21 день – вторая.
Пример. Рабочий А и рабочий В могут выполнить работу за 12 дней, рабочий А и рабочий С – за 9 дней, рабочий В и рабочий С – за 12 дней. За сколько дней они выполнят работу, работая втроем?
Решение. Пусть рабочий А может выполнить работу за х дней, рабочий В – за у дней, рабочий С – за z дней. Примем всю работу за единицу. Тогда 1/х, 1/y и 1/z – производительности рабочих А, В и С соответственно. Используя условие задачи, приходим к следующей системе уравнений, представленной в таблице.





Таблица 1

Преобразовав уравнения, имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными:



Сложив почленно уравнения системы, получим:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Сумма это совместная производительность рабочих, поэтому время, за которое они выполнят всю работу, будет равно

Ответ: 7,2 дня.
Пример. В бассейн проведены две трубы – подающая и отводящая, причем через первую трубу бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую вода из бассейна выливается. При заполненном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов через одну первую трубу может наполниться бассейн и за сколько часов через одну вторую трубу может осушиться полный бассейн?
Решение. Пусть V м3 – объем бассейна, х м3/ч – производительность подающей трубы, у м3/ч – отводящей. Тогда V/x ч. – время, необходимое подающей трубе для заполнения бассейна, V/y ч. – время, необходимое отводящей трубе на осушение бассейна. По условию задачи V/x – V/y = 2.
Так как производительность отводящей трубы больше производительности наполняющей, то при включенных обеих трубах будет происходить осушение бассейна и одна треть бассейна осушится за время (V/3)/(y – x), которое по условию задачи равно 8 ч. Итак, условие задачи может быть записано в виде системы двух уравнений с тремя неизвестными:

В задаче необходимо найти V/x и V/y. Выделим в уравнениях комбинацию неизвестных V/x и V/y, записав систему в виде:

Вводя новые неизвестные V/x = а и V/y = b, получаем следующую систему:

Подставляя во второе уравнение выражение а = b + 2, имеем уравнение относительно b:

решив которое найдем b1 = 6, b2= -8. Условию задачи удовлетворяет первый корень 6, = 6 (ч.). Из первого уравнения последней системы находим а = 8 (ч), то есть первая труба наполняет бассейн за 8 ч.
Ответ: через первую трубу бассейн наполнится через 8 ч., через вторую трубу бассейн осушится через 6 ч.
Пример. Одна тракторная бригада должна вспахать 240 га, а другая на 35% больше, чем первая. Первая бригада, вспахивая ежедневно на 3 га меньше второй, закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая бригада. Сколько гектаров вспахивала каждая бригада ежедневно?
Решение. Найдем 35 % от 240 га: 240 га ( 35 % /100 % = 84 га.
Следовательно, вторая бригада должна была вспахать 240 га + 84 га = 324 га. Пусть первая бригада вспахивала ежедневно х га. Тогда вторая бригада вспахивала ежедневно (х + 3) га; 240/х – время работы первой бригады; 324/(х + 3) – время работы второй бригады. По условию задачи первая бригада закончила работу на 2 дня раньше, чем вторая, поэтому имеем уравнение

которое после преобразований можно записать так:
324х – 240х – 720 = 2х2 + 6х => 2х2 – 78х + 720 = 0 => х2 – 39х + 360 = 0.
Решив квадратное уравнение, находим х1 = 24, х2 = 15. Это норма первой бригады.
Следовательно, вторая бригада вспахивала в день 27 га и 18 га соответственно. Оба решения удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 24 га в день вспахивала первая бригада, 27 га – вторая; 15 га в день вспахивала первая бригада, 18 га – вторая.
Пример. В мае два цеха изготовили 1080 деталей. В июне первый цех увеличил выпуск деталей на 15%, а второй увеличил выпуск деталей на 12%, поэтому оба цеха изготовили 1224 детали. Сколько деталей изготовил в июне каждый цех?
Решение. Пусть х деталей изготовил в мае первый цех, у деталей – второй. Так как в мае изготовлено 1080 деталей, то по условию задачи имеем уравнение x + y = 1080.
Найдем 15% от х:

Итак, на 0,15х деталей увеличил выпуск продукции первый цех, следовательно, в июне он выпустил х + 0,15 х = 1,15 x деталей. Аналогично найдем, что второй цех в июне изготовил 1,12 y деталей. Значит, второе уравнение будет иметь вид: 1,15 x + 1,12 у = 1224. Таким образом, имеем систему:

из которой находим х = 480, у = 600. Следовательно, в июне цеха изготовили 552 детали и 672 детали соответственно.
Ответ: первый цех изготовил 552 детали, второй – 672 детали.

4. К группе задач на смеси и проценты относятся задачи, в которых речь идет о смешении различных веществ в определенных пропорциях, а также задачи на проценты.
Задачи на концентрацию и процентное содержание
Уточним некоторые понятия. Пусть имеется смесь из п различных веществ (компонентов) А1 А2, ..., Аn соответственно, объемы которых равны V1, V2, ..., Vn. Объем смеси V0 складывается из объемов чистых компонентов: V0= V1 + V2 + ... + Vn.
Объемной концентрацией вещества Аi (i = 1, 2, ..., п) в смеси называется величина сi, вычисляемая по формуле:

Объемным процентным содержанием вещества Аi (i = 1, 2, ..., п) в смеси называется величина pi, вычисляемая по формуле рi = сi, ( 100%. Концентрации с1, с2, ..., сn, являющиеся безразмерными величинами, связаны равенством с1 + с2 + ... + сn = 1, а соотношения

показывают, какую часть полного объема смеси составляют объемы отдельных компонентов.
Если известно процентное содержание i-го компонента, то его концентрация находится по формуле:

то есть Pi – это концентрация i-го вещества в смеси, выраженная в процентах. Например, если процентное содержание вещества составляет 70%, то его соответствующая концентрация равна 0,7. И наоборот, если концентрация равна 0,33, то процентное содержание равно 33%. Таким образом, сумма р1 + р2 + + рn = 100%. Если известны концентрации с1, с2, ..., сn компонентов, составляющих данную смесь объема V0, то соответствующие объемы компонентов находятся по формулам:

Аналогичным образом вводятся понятия весовые (массовые) концентрации компонентов смеси и соответствующие процентные содержания. Они определяются как отношение веса (массы) чистого вещества Аi, в сплаве к весу (массе) всего сплава. О какой концентрации, объемной или весовой, идет речь в конкретной задаче, всегда ясно из ее условия.
Встречаются задачи, в которых приходится пересчитывать объемную концентрацию на весовую или наоборот. Для того чтобы это сделать, необходимо знать плотности (удельные веса) компонентов, составляющих раствор или сплав. Рассмотрим для примера двухкомпонентную смесь с объемными концентрациями компонентов с1 и с2 (с1 + с2 = 1) и удельными весами компонентов d1 и d2. Масса смеси может быть найдена по формуле:

в которой V1 и V2 – объемы составляющих смесь компонентов. Весовые концентрации компонентов находятся из равенств:

которые определяют связь этих величин с объемными концентрациями.
Как правило, в текстах таких задач встречается одно и то же повторяющееся условие: из двух или нескольких смесей, содержащих компоненты A1, A2, А3,..., Аn, составляется новая смесь путем перемешивания исходных смесей, взятых в определенной пропорции. При этом требуется найти, в каком отношении компоненты А1, А2, А3, ..., Аn войдут в получившуюся смесь. Для решения этой задачи удобно ввести в рассмотрение объемное или весовое количество каждой смеси, а также концентрации составляющих ее компонентов А1, А2, А3, ..., Аn. С помощью концентраций нужно «расщепить» каждую смесь на отдельные компоненты, а затем указанным в условии задачи способом составить новую смесь. При этом легко подсчитать, какое количество каждого компонента входит в получившуюся смесь, а также полное количество этой смеси. После этого определяются концентрации компонентов А1, А2, А3, ..., Аn в новой смеси.
Пример. Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 80% и 30% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий 60% меди?
Решение. Пусть первого сплава взято х кг, а второго – у кг. По условию концентрация меди в первом сплаве равна 80/100 = 0,8, во втором – 30/100 = 0,3 (ясно, что речь идет о весовых концентрациях), значит, в первом сплаве 0,8х кг меди и (1 – 0,8)х = 0,2х кг цинка, во втором – 0,3 у кг меди и (1 – 0,3)y = 0,7у кг цинка. Количество меди в получившемся сплаве равно (0,8 ( х + 0,3 ( у) кг, а масса этого сплава составит (х + у) кг. Поэтому новая концентрация меди в сплаве, согласно определению, равна

По условию задачи эта концентрация должна равняться 0,6. Следовательно, получаем уравнение:

Данное уравнение содержит два неизвестных х и у. Однако по условию задачи требуется определить не сами величины х и у, а только их отношение. После несложных преобразований получаем

Ответ: сплавы надо взять в отношении 3 : 2.
Пример. Имеются два раствора серной кислоты в воде: первый – 40%-ный, второй – 60%-ный. Эти два раствора смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20%-ный раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг 80%-ного раствора, то получили бы 70%-ный раствор. Сколько было 40%-ного и 60%-ного растворов?
Решение. Пусть х кг – масса первого раствора, у кг – второго. Тогда масса 20%-ного раствора (х + у + 5) кг. Так как в х кг 40%-ного раствора содержится 0,4х кг кислоты, в у кг 60%-ного раствора содержится 0,6y кг кислоты, а в (х + у + 5) кг 20%-ного раствора содержится 0,2(х + у + 5) кг кислоты, то по условию имеем первое уравнение 0,4х + 0,6y = 0,2(х +у + 5).
Если вместо 5 кг воды добавить 5 кг 80%-ного раствора, то получится раствор массой (х + у + 5) кг, в котором будет (0,4х + 0,6у + 0,8 ( 5) кг кислоты, что составит 70% от (х + у + 5) кг.
Значит, второе уравнение запишется в виде:

Таким образом, получили следующую систему двух уравнений с двумя неизвестными:

решив которую найдем: х = 1, у = 2.
Ответ: первый раствор весит 1 кг, второй – 2 кг.
Пример. Влажность свежескошенной травы составляет 80%. Влажность полученного из нее сена равна 10%. Сколько нужно скосить травы, чтобы получить 2 т сена?
Решение. Так как влажность сена равна 10%, на сухое вещество в нем приходится 90%. Значит, в 2 т сена находитсясухого вещества. Эти же 1,8 т сухого вещества должны составить 20% массы свежескошенной травы, так как ее влажность по условию задачи равна 80%. Следовательно, если через х мы обозначим массу травы, которую надо накосить, чтобы получить 2 т сена, то получим пропорцию.

из которой находим
Ответ: надо накосить 9 т травы.
Пример. Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 3 : 5, а в другом – в отношении 1 : 3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 20 кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 3 : 7?
Решение. Пусть первого сплава нужно взять х кг, а второго – у кг. Согласно условию задачи составим таблицу.

Таблица 2



Пользуясь таблицей 2, составим следующую систему уравнений:

решив которую найдем х = 8, у = 12.
Ответ: нужно взять 8 кг первого сплава и 12 кг второго сплава.
Пример. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите массу олова в новом сплаве.
Решение: Пусть х кг – масса олова в новом сплаве, у кг – масса цинка в первом сплаве. Так как новый сплав весит 400 кг и в нем 30% цинка, то он содержит цинка 30 = 120 (кг). Тогда во втором сплаве цинка (120 – у) кг (рис. 18 а). По условию процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково, следовательно, получаем уравнение

решив которое, найдем у = 45 (кг). Следовательно, цинка во втором сплаве 120 – 45 = 75 (кг). Так как первый сплав содержит 40% олова, то в 150 кг этого сплава будет 60 (кг), а значит, во втором сплаве олова будет (х – 60) кг. Так как второй сплав содержит 26% меди, то в 250 кг этого сплава меди будет

Рис. 18

Итак, содержание металлов в сплавах теперь такое, как показано на рисунке 18 б. Видим, что во втором сплаве, который весит 250 кг, содержится 75 кг цинка, 65 кг меди, (х – 60) кг олова, поэтому имеет место уравнение 75 + 65 + (х – 60) = 250, решив которое найдем х = 170.
Ответ: в новом сплаве содержится 170 кг олова.

5. Среди распространенных методов решения текстовых задач важное значение имеет арифметический метод. Он способствует развитию логического мышления, его гибкости и оригинальности, формированию таких умственных действий, как анализ и синтез. Однако в некоторых случаях бывает непросто сразу найти арифметическое решение задачи. Реальную помощь в такой ситуации может оказать алгебраический метод, с помощью которого, получив ответ на требование задачи, можно попытаться отыскать и ее арифметическое решение.
Предварительно сделаем несколько замечаний.
Не всегда (и даже далеко не всегда) текстовая задача, решаемая алгебраическим методом, может быть решена арифметически. Как правило, задачи, в ходе решения которых получаются квадратные уравнения или уравнения высших степеней, арифметическим методом решить нельзя.
Если при решении задачи алгебраическим методом ее модель сводится к линейному уравнению или системе линейных уравнений, то можно построить и ее арифметическую модель, то есть можно решить задачу, применяя арифметический метод.
Вид линейного уравнения, вообще говоря, не всегда «подсказывает» арифметический путь решения задачи, однако дальнейшие преобразования уравнения позволяют его найти. При этом, составив уравнение и решая его, в некоторых случаях можно арифметические действия между данными только намечать, но не выполнять. Тогда найденное для неизвестного числовое выражение будет фактически арифметической моделью данной задачи. Затем необходимо лишь сформулировать вопросы, чтобы записать решение задачи по действиям. Однако как раз именно это сделать бывает нелегко. Нужен определенный опыт установления такой связи между данными методами решения.
Решение системы линейных уравнений практически сразу дает возможность наметить ход рассуждений для решения задачи арифметическим методом.
Пример. В 8 ч утра из пункта А в пункт В вышел поезд со скоростью 60 км/ч. В 11 ч из пункта В ему навстречу вышел другой поезд со скоростью 70 км/ч. В какое время поезда встретятся, если расстояние между пунктами 440 км.
Алгебраический метод приводит к следующему уравнению: (60 + 70)х + 60 ( 3 = 440, или 130х + 180 = 440, где х ч – время движения второго поезда до встречи. Тогда 130х = 440 – 180 => => 130х = 260 => х = 2 (ч.). Проделанные рассуждения и выкладки «подсказывают» следующий арифметический путь решения задачи. Найдем: сумму скоростей поездов (60 + 70 = 130); время движения первого поезда до начала движения второго поезда (11 – 8 = 3); расстояние, пройденное первым поездом за 3 ч. (60 ( 3 = 180); расстояние, которое осталось пройти поездам до встречи (440 – 80 = 260); время движения второго поезда до встречи (260 : 130 = 2). Этапы решения задач алгебраическим и арифметическим методами будем параллельно записывать в таблице 3. Эта таблица позволит наглядно проследить, как алгебраические преобразования в ходе решения уравнений, являющихся моделью текстовой задачи, помогают найти ее арифметическое решение.
Таблица 3






Оформим решение задачи арифметическим методом:
11 – 8 = 3 (ч.) – был в пути первый поезд до начала движения второго;
60 ( 3 = 180 (км) – прошел первый поезд за 3 ч;
440 – 180 = 260 (км) – расстояние, пройденное поездами при одновременном движении;
60 + 70 = 130 (км/ч) – скорость сближения поездов;
260 : 130 = 2 (ч.) – время движения второго поезда;
11 + 2 = 13 (ч) – в такое время поезда встретятся.
Ответ: поезда встретятся в 13 ч.
Пример. Школьники купили 4 книги, после чего у них осталось 40 р. Если бы они купили 7 таких же книг, то у них осталось бы 16 р. Сколько стоит одна книга?
Алгебраический метод приводит к следующему уравнению: 4х + 40 = 7х + 16, где х р. – стоимость одной книги. В ходе решения данного уравнения мы проделываем следующие выкладки: 7х – 4х = 40 – 16 => Зх = 24 => х = 8, которые вместе с рассуждениями, использовавшимися при составлении уравнения, приводят к следующему арифметическому способу решения задачи. Найдем: на сколько больше купили бы книг (7 – 4 = 3); на сколько меньше осталось бы денег, то есть на сколько больше денег израсходовали (40 – 16 = 24); сколько стоит одна книга (24 : 3 = 8). Проделанные рассуждения сведем в таблицу 4.
Таблица 4




Оформим решение задачи арифметическим методом:
7 – 4 = 3 (кн.) – на столько книг купили бы больше;
40 – 16 = 24 (р.) – на столько рублей заплатили бы больше;
24 : 3 = 8 (р.) – стоит одна книга.
Ответ: одна книга стоит 8 р.
Пример. Из пункта А в пункт В вышел пароход со скоростью 24 км/ч. Из этого же пункта А восемью часами раньше вышел буксир с баржами со скоростью 8 км/ч. Буксир пришел в пункт В на 16 ч. позже, чем пароход. Найдите расстояние между пунктами А и В.
Этапы решения задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения данной задачи арифметическим методом показаны в таблице 5. В таблице мы не будем выполнять арифметические действия между данными задачи, а лишь наметим их и получим решение задачи в виде числового выражения, которое позволит сформулировать вопросы, чтобы записать решение задачи по действиям. Такой способ установления связи между методами решения мы покажем на примере только этой задачи.










Таблица 5


Таблица 6

Используя данные этих двух таблиц, получим арифметическое решение задачи:
8 + 16 = 24 (ч) – на столько часов больше был в пути буксир, чем пароход;
8 ( 24 = 192 (км) – путь, который буксир прошел за 24 ч.;
24 – 8 = 16 (км/ч) – на столько километров в час скорость парохода больше скорости буксира;
192 : 16 = 12 (ч.) – время движения парохода из пункта А в пункт В;
24 ( 12 = 288 (км) – расстояние между пунктами А и В.
Ответ: 288 км – расстояние между пунктами А и В.
Пример. По окончании спектакля 174 зрителя из театра разошлись пешком, а остальные поехали на трамваях в 18 вагонах, причем в каждый вагон садилось на 5 человек больше, чем было в нем мест. Если бы зрители, уезжавшие из театра на трамвае, садились в него по числу мест, то понадобилось бы еще 3 вагона, причем в последнем осталось бы 6 свободных мест. Сколько всего зрителей было в театре?
Этапы решения задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения задачи арифметическим методом показаны в таблице 7.
Используя данные этой таблицы, получаем арифметическое решение задачи:
5 – 18 = 90 (чел.) – на столько человек больше, чем мест, было в 18 вагонах;
90 + 6 = 96 (м.) – столько мест в трех вагонах;
96 : 3 = 32 (м.) – столько мест в одном вагоне;
32 + 5 = 37 (чел.) – было в каждом из 18 вагонов;
37 ( 18 = 666 (чел.) – зрителей уехало на трамваях;
666 + 174 = 840 (чел.) – всего зрителей было в театре.
Ответ: в театре было 840 чел.








Таблица 7


Поиск арифметического метода решения задач, математическая модель которых представляет собой систему линейных уравнений, значительно проще. Вместе с тем следует иметь в виду, что это решение получается лишь в том случае, когда решение системы находится не методом подстановки, а каким-либо другим методом.
Пример. Для похода 46 школьников приготовили четырех– и шестиместные лодки. Сколько было тех и других лодок, если все ребята разместились в десяти лодках и свободных мест не осталось?
Этапы решения задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения данной задачи арифметическим методом показаны в таблице 8.
Используя данные таблицы 8, получаем арифметическое решение задачи:
4 ( 10 = 40 (чел.) – разместилось бы столько человек, если бы все лодки были четырехместными;
6 – 4 = 2 (чел.) – на столько шестиместная лодка вмещает больше, чем четырехместная;
3) 46 – 40 = 6 (чел.) – столько мест не хватит для всех школьников, если их разместить только на четырехместные лодки;
4) 6 : 2 = 3 (л.) – столько было шестиместных лодок;
5) 6 ( 3 = 18 (чел.) – разместятся на шестиместных лодках;
6) 46 – 18 = 28 (чел.) – разместятся на четырехместных лодках; 28 : 4 = 7 (л.) – столько было четырехместных лодок.
Ответ: было 3 шестиместные лодки и 7 четырехместных лодок.
Таблица 8

Пример. 3 ручки и 4 блокнота стоят 26 р., а 7 ручек и 6 таких же блокнотов стоят 44 р. Сколько стоит блокнот?
Этапы решения задачи алгебраическим методом и соответствующие им этапы решения данной задачи арифметическим методом показаны в таблице 9.


Таблица 9


Используя данные этой таблицы, получаем арифметическое решение задачи.
26 ( 7 = 182 (р.) – стоят 21 ручка и 28 блокнотов;
44 ( 3 = 132 (р.) – стоят 21 ручка и 18 блокнотов;
28 – 18 = 10 (шт.) – на столько блокнотов в первой покупке было бы больше, чем во второй;
182 – 132 = 50 (р.) – стоят 10 блокнотов;
50 : 10 = 5 (р.) – стоит 1 блокнот.
Ответ: блокнот стоит 5 р.
Совершенно аналогично находится арифметическое решение задач, представленных другими алгебраическими моделями, в основе которых лежат линейные уравнения. Однако, как уже отмечалось ранее, этапы решения некоторых линейных уравнений совсем непросто истолковывать соответствующими пояснениями в ходе арифметического решения.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

1. Арифметический метод

Пример 1. 3 кошки съедают 5 мышек за 2 ч. За сколько часов 6 кошек съедят 9 мышек?
Решение. Решим задачу способом приведения к единице. Краткая запись задачи:
3 кошки 2 ч. 8 мышек
6 кошек ? ч. 14 мышек
Чтобы узнать, за сколько часов 6 кошек съедят 9 мышек, надо знать, сколько мышек съедят 6 кошек за 1 ч. Для этого надо знать, сколько мышек съест 1 кошка за 1 ч. Для ответа на этот вопрос надо знать, сколько мышек съедят 3 кошки за 1 ч. Это число определим, зная, что 3 кошки съедают за 2 ч 5 мышек.
Запишем решение задачи по действиям с пояснениями:
5 : 2 = 2,5 (м.) – съедают 3 кошки за 1 ч.;
2,5 : 3 = 5/6 (м.) – съедает одна кошка за 1 ч.;
5/6 ( 6 = 5 (м.) – съедают 6 кошек за 1 ч.;
9 : 5 = 1,8 (ч.) – нужно 6 кошкам, чтобы съесть 9 мышек.
Ответ: за 1,8 часа.
Пример 2. Для нужд гавани отпустили 1350 м двух-, четырех– и шестисантиметрового каната общей массой 678 кг. Четырехсантиметрового каната было в 2 раза меньше, чем шестисантиметрового и на 150 м больше, чем двухсантиметрового. Один погонный метр двухсантиметрового каната в 4 раза легче четырехсантиметрового и в 9 раз легче шестисантиметрового каната. Сколько весит один погонный метр шестисантиметрового каната?
Решение. Если бы двухсантиметрового каната отпустили столько же, сколько и четырехсантиметрового, то длина всего отпущенного каната увеличилась бы на 150 м. Приняв длину четырехсантиметрового каната за 1 часть, найдем, сколько частей составляют длину двухсантиметрового и длину шестисантиметрового канатов, а затем – сколько частей составляют общую длину канатов. Зная общую длину канатов и сколько частей ее составляют, найдем, сколько метров каната приходится на одну часть. После этого узнаем длину каждого каната.
Приняв массу одного погонного метра двухсантиметрового каната за 1 часть, можем найти, сколько частей составляют массу одного погонного метра четырехсантиметрового каната и массу одного погонного метра шестисантиметрового каната. Затем узнаем, сколько частей составляют массу каждого из канатов, а затем – их общую массу.
Зная общую массу канатов и сколько частей ее составляют, можем найти, сколько килограммов каната приходится на одну часть. После этого найдем, сколько весит один погонный метр шестисантиметрового каната. Запишем решение по действиям с пояснениями.
Предположим, что двухсантиметрового каната отпустили столько же, сколько и четырехсантиметрового.
1) 1350 + 150 = 1500 (м) – было бы всего каната, если бы двухсантиметрового каната отпустили столько же, сколько и четырехсантиметрового.
Примем за 1 часть длину четырехсантиметрового и длину двухсантиметрового канатов.
2) 1 – 2 = 2 (ч.) – составляют длину шестисантиметрового каната;
3) 1 + 1+2 = 4 (ч.) – составляют общую длину канатов;
4) 1500 : 4 = 375 (м) – длина четырехсантиметрового каната;
375 – 150 = 225 (м) – длина двухсантиметрового каната;
375 ( 2 = 750 (м) – длина шестисантиметрового каната;
1 ( 4 = 4 (ч.) – составляют массу одного погонного метра четырехсантиметрового каната;
1 ( 9 = 9 (ч.) – составляют массу одного погонного метра шестисантиметрового каната;
1 ( 225 = 225 (ч.) – составляют массу двухсантиметрового каната;
10) 4 ( 375 = 1500 (ч.) – составляют массу четырехсантиметрового каната;
11) 9 ( 750 = 6750 (ч.) – составляют массу шестисантиметрового каната;
12) 225 + 1500 + 6750 = 8475 (ч.) – составляют общую массу канатов;
13) 678 : 8 475 = 0,08 (кг) – приходится на одну часть;
0,08 ( 9 = 0,72 (кг) – весит один погонный метр шестисантиметрового каната.
Ответ: 0,72 кг.

Пример 3. От полного стакана черного кофе я отпил половину и долил столько же молока. Затем я отпил третью часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Затем я отпил шестую часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Только после этого я выпил все до конца. Чего в итоге я выпил больше: молока или черного кофе?
Решение. Количество черного кофе вначале было равно 1 стакану, а молока было долито сначала полстакана, затем треть стакана и, наконец, шестая часть стакана, то есть в общей сложности 13 EMBED Equation.3 1415 (стакан). Следовательно, кофе и молока было выпито поровну.
Ответ: кофе и молока было выпито поровну.

Пример 4. В расколотом арбузе содержалось 99% воды. После его усыхания содержание воды стало составлять 98%. Во сколько раз усох арбуз?
Решение. Вначале сухое вещество (мякоть) арбуза составляла 1% массы, а после усыхания – 2 %. Это означает, что доля сухого вещества в арбузе удвоилась, следовательно, вдвое уменьшил свою массу и сам арбуз.
Ответ: арбуз усох в 2 раза.

Пример 5. Представим себе, что поверхность земного шара ровная, а он сам по экватору обтянут проволокой. Удлиним проволоку на 1 м (напоминаем: длина экватора Земли приблизительно равна 40 000 000 км). Какова будет величина зазора между поверхностью земного шара и проволокой?
Решение. Пусть радиус земного шара равен R метров. Тогда первоначальная длина проволоки равна 2
·R, а новая длина проволоки (2
·R + 1) метров. Следовательно, новый радиус окружности, полученной из проволоки, будет равен (2
·R + 1)/ 2
·, а зазор между поверхностью земного шара и проволокой будет составлять

Примечание. Видно, что величина зазора не зависит от R, следовательно, ответ будет одним и тем же для шарообразного тела любого радиуса (Луны, Юпитера, мяча, апельсина и др.).
Ответ: величина зазора составит 16 см.

2. Алгебраический метод

Пример 1. Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из А в В и из В в А. После встречи одному из них приходится быть в пути еще на 2,5 ч. больше, чем другому. Определите скорости автомобилей, если они отличаются на 30 км/ч, а расстояние между А и В равно 450 км.
Решение. Пусть х км/ч – скорость первого автомобиля, у км/ч – скорость второго автомобиля. Без ограничения общности будем считать, что х < у. Тогда 450/(x + у) ч – время, через которое автомобили встретятся.
Значит, первый автомобиль пройдет до встречи 13 EMBED Equation.3 1415 х км (столько километров еще предстоит проехать второму), второй автомобиль пройдет до встречи 13 EMBED Equation.3 1415 у км (столько километров еще предстоит проехать первому) (рис.19)

Рис. 19
Первый автомобиль проедет оставшийся путь за 13 EMBED Equation.3 1415 ч., второй за 13 EMBED Equation.3 1415ч. По условию после встречи первый был в пути на 2,5 ч. больше, чем второй, значит, первое уравнение будет иметь вид:

По условию скорость второго автомобиля на 30 км/ч больше, чем первого. Следовательно, еще одно уравнение запишется в виде у – х = 30. Таким образом, имеем систему:

Преобразуем первое уравнение системы:

Учитывая, что у – х = 30, получаем ху = 5400. Итак, исходная система уравнений равносильна системе:

решив которую найдем х1 = 60, у1 = 90; х2 = -90, у2 = -60. Второе решение не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: скорости автомобилей 60 км/ч, 90 км/ч.

Пример 2. Если одновременно открыть два крана, то бассейн наполнится за 4 ч. 30 мин. Если наполнить половину бассейна через один кран, а другую половину – через другой, то для наполнения бассейна потребуется 12 ч. За сколько часов заполняется бассейн через каждый кран?
Решение. Пусть первый кран наполняет бассейн за х ч., второй за у ч. Примем объем бассейна за единицу. Тогда 1/х – производительность первого крана, 1/y – производительность второго крана. Так как оба крана одновременно наполняют бассейн за 4,5 ч., то получим первое уравнение

Первый кран наполняет бассейн за х часов, поэтому для наполнения половины бассейна этим краном потребуется х/2 ч. Аналогично рассуждая, определим, что для наполнения половины бассейна вторым краном потребуется у/2 ч. Следовательно, из второго условия получим следующее уравнение:


Таким образом, имеем систему:

Преобразовав первое уравнение системы, получим:
9(24 – x) + 9x = 2x(24 – x) => x2 – 24x + 108 = 0.
Решив квадратное уравнение, находим х1 = 18, х2 = 6.
Из второго уравнения системы получаем у1 = 24 – 18 = 6 (ч.),
у2 = 24 – 6 = 18 (ч.).
Итак, бассейн может быть наполнен первым краном за 18 ч или за 6 ч, а вторым – за 6 ч. или за 18 ч.
Ответ: 18 ч. и 6 ч.; 6 ч. и 18 ч.

Пример 3. Вкладчик кладет в банк, который выплачивает р% годовых, 160000 р. В конце года он берет себе 2400 р. из капитала и, приложив полученные проценты, снова помещает капитал на тех же условиях. По окончании второго года он взял опять 2400 р., у него осталось 168987 р. Сколько процентов годовых выплачивает банк?
Решение. Если банк выплачивает р% в год, то в начале второго года в банке лежит (160000 ( (1 + 0,01 р) – 2400) р. По окончании второго года имеем (160000 ( (1 + 0,01 р) – 2400)(1 + 0,01 р) р., следовательно, по условию задачи получим уравнение
(160000 ( (1 + 0,01 р) – 2400)(1 + 0,01 р) – 2400 = 168987,
или
16 р2 +3176 р – 13787 = 0.
Решив последнее уравнение, найдем р1 = 4,25, р2 = -202,75. Второй корень не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: банк выплачивает 4,25% годовых.

Пример 4. Сколько лет брату и сколько лет сестре, если 2 года назад брат был старше сестры в 2 раза, а 8 лет назад – в 5 раз?
Решение. Пусть 8 лет назад брату было х лет, а сестре – у лет. Тогда по условию имеем первое уравнение х = 5у.
Два года назад брату было (х + 6) лет, а сестре (у + 6) лет. Следовательно, второе уравнение примет вид: х + 6 = 2(у + 6).
Итак, имеем систему:
решив которую, найдем: х = 10, у = 2.
Учитывая, что 8 лет назад брату было 10 лет, а сестре 2 года, находим, что сейчас брату 10 + 8=18 лет, а сестре: 2 + 8 = 10 лет.
Ответ: 18 лет брату и 10 лет сестре.

Пример 5. На межгалактическом конгрессе присутствовали 1996 участников. При этом выяснилось, что первый инопланетянин знаком с 97 землянами, второй – с 98 землянами, ..., последний – со всеми землянами. Сколько инопланетян и сколько землян было на конгрессе?
Решение. Пусть число инопланетян, присутствовавших на конгрессе, равно п. Тогда число землян равно 1996 – п. Инопланетянин с номером к (1 ( к( п) знаком с к + 96 землянами. Следовательно, инопланетянин с номером n знаком с п + 96 землянами. Поскольку по условию задачи это были все земляне, присутствовавшие на конгрессе, получаем уравнение:
1996 – n = n + 96,
решив которое, найдем n = 950. Значит, землян на конгрессе было 1996 – 950 = 1046.
Ответ: на конгрессе было 950 инопланетян; 1016 землян.










ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

В чем сущность понятия «текстовая задача»?
Какова структура текстовой задачи?
В чем сущность понятия «решение задачи»?
Приведите примеры классификаций текстовых задач.
Какие группы задач выделяют при классификации:
а) по фабуле;
б) по способам решения?
Перечислите методы решения текстовых задач.
Приведите примеры решения одной и той же задачи:
а) различными методами;
б) различными способами.
Перечислите основные этапы решения задачи.
Охарактеризуйте приемы, используемые на различных этапах решения задачи.
Как можно проверить правильность решения задачи?
Что называется моделью?
Что называется моделированием?
Назовите этапы математического моделирования в процессе решения задачи.
Какие виды моделей можно использовать в качестве вспомогательных при решении задач?
Что является математической моделью задачи при ее решении:
а) арифметическим методом;
б) алгебраическим методом;
в) геометрическим методом?
Перечислите виды задач на нахождение неизвестных по результатам действий.
Какие задачи относятся к задачам на пропорциональное деление?
Приведите примеры задач на исключение одного из неизвестных.
Как найти:
а) процент (часть) от данного числа;
б) число по данной величине его процента (части)?
Что понимают под процентным отношением двух чисел?
Каких правил обычно придерживаются при составлении уравнений с одним неизвестным х?
Перечислите операции, которые производятся при составлении уравнения с одним неизвестным.
Охарактеризуйте задачи на движение.
Охарактеризуйте задачи на работу.
Охарактеризуйте задачи на смеси.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Решить задачу арифметическим методом

Задание 1. Первый раз цены на товары были снижены на 20%, второй раз – на 15%. На сколько процентов дешевле стал товар по сравнению с первоначальной стоимостью?
Задание 2. Прямоугольник и квадрат равновелики. Одна из сторон прямоугольника в 5 раз меньше стороны квадрата. Во сколько раз периметр квадрата меньше периметра прямоугольника?
Задание 3. Длины сторон квадратов относятся как 1 : 9. Как относятся их площади?
Задание 4. Фермер получил в аренду 40,5 га земли. Участок, равный 4/9 этой площади, засадили плодовыми деревьями, а 3/5 остальной площади отвели под кормовые травы. Какая площадь отведена под кормовые травы?
Задание 5. Мебельная фабрика за квартал выпустила шкафов в 3 раза больше, чем кроватей, а столов на 170 штук больше, чем шкафов, но в 2 раза меньше, чем диванов. Сколько штук каждого вида мебели выпущено, если всего выпущено 2460 штук мебели?
Задание 6. Три рыболовецких судна выловили 73 т рыбы, причем второе выловило на 5 т больше, чем третье, и на 9 т меньше, чем первое. Сколько тонн рыбы выловило каждое рыболовецкое судно?
Задание 7. Колхоз снял сено с двух лугов. С первого луга снято 49 т, что составило 13 EMBED Equation.3 1415% всего снятого сена. 13 EMBED Equation.3 1415% всего снятого сена колхоз уложил на сеновал, а остальное сено было сложено в три стога, причем между стогами сено было распределено обратно пропорционально числам 13 EMBED Equation.3 1415. Сколько тонн сена было в каждом стоге?
Задание 8. Расстояние от пункта А до пункта Б равно 900 км. Из А в Б одновременно отправляются грузовая машина и легковая. Скорость грузовой машины – 21 км/ч, легковой – 57 км/ч. Через сколько часов в грузовой машине останется проделать втрое больше путь, чем в легковой?
Задание 9. На заводе фрезерные станки составляют 32% числа всех заводских станков. Шлифовальных станков на 20 меньше, чем фрезерных, остальные станки – токарные. На сколько процентов токарных станков больше, чем шлифовальных?
Задание 10. Для окраски куба требуется 1 кг краски. Такой же куб разрезан на 1000 маленьких одинаковых кубиков. Сколько краски потребуется на окраску всех этих кубиков, если толщина слоя краски в обоих случаях одинакова?

Решить задачу алгебраическим методом

Задание 1. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2.
Задание 2. От нити, равной периметру некоторого квадрата, отрезано с одного конца 36 см. Укороченная таким образом нить представляет периметр другого квадрата, площадь которого в 13 EMBED Equation.3 1415 раза меньше площади первого. Определить первоначальную длину нити.
Задание 3. В зрительном зале клуба было 320 мест. После того как число мест в каждом ряду увеличили на 4 и добавили ещё один ряд, в зрительном зале стало 420 мест. Сколько стало рядов в зрительном зале клуба?
Задание 4. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км в час больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на один час раньше второго. Определить скорость того и другого автомобиля, если известно, что расстояние между городами 560 км.
Задание 5. С аэродрома вылетают одновременно в пункт, отстоящий от него на 1600 км, два самолета. Скорость первого из них на 80 км в час больше скорости второго, а потому он прилетает к месту назначения на час раньше второго. Найти скорость каждого самолета.
Задание 6. На участке трамвайного пути длиной 1 км пешеход, проходящий этот участок за 12 мин., ежедневно подсчитывал число трамваев, обгонявших его и идущих навстречу. В течение месяца первых оказалось 45, вторых – 120. Определите скорость трамвая.
Задание 7. Узнайте, через сколько минут после того, как часы показывали 9 часов, минутная стрелка догонит часовую?
Задание 8. Определите пробу сплава серебра с медью, зная, что сплавив его с тремя килограммами чистого серебра, получают сплав 900-й пробы, а сплавив его с двумя килограммами сплава 900-й пробы, получают сплав 840-й пробы.
Задание 9. Ежегодно число отдыхающих на Западном побережье увеличивается на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что в 1996 г. было 430000 отдыхающих, а в 1999 г. – 572330 отдыхающих.
Задание 10. Сколько потребуется 29-местных и 33-местных автобусов для перевозки 401 пассажира при условии, что в автобусах не останется ни одного свободного места?









Проверочная работа № 1
Тема Текстовые задачи
Цель: проверить умения решать текстовые задачи арифметическим методом.
Вариант № 1
Катер прошел по течению реки расстояние между двумя пристанями за 13 EMBED Equation.3 1415 ч со скоростью 300 м/мин. Сколько времени потребуется катеру на обратный путь, если скорость течения реки 2,5 км/ч?
Чтобы перейти к следующему этапу в видеоигре, нужно в четырех стадиях первого этапа набрать 4000 очков. В первой стадии игрок набрал 830 очков, во второй – на 320 больше, чем в первой, а в третьей – на 80% очков, набранных во второй стадии. Сколько очков надо набрать игроку в четвертой стадии, чтобы перейти на следующий этап?
Вариант № 2
От пристани в противоположных направлениях одновременно отошли два парохода. На каком расстоянии они будут друг от друга через 2 ч, если их скорость в стоячей воде одинаковы и равны 24 км/ч, а скорость течения реки 4 км/ч?
В два аквариума вмещается 60 л воды. Сколько литров воды вмещает каждый аквариум, если 13 EMBED Equation.3 1415 объема первого аквариума равны 0,4 объема второго аквариума?
Вариант № 3
Теплоход и катер отправились одновременно от одной пристани в противоположных направлениях. Скорость теплохода 27 км/ч, а скорость катера 19 км/ч. Через какое время теплоход пройдет на 32 км больше катера, если они двигались по озеру?
Сумма 5% неизвестного числа и 13 EMBED Equation.3 1415 этого же числа равна 720. какое это число?
Вариант № 4
От пристани одновременно отошли два теплохода. Скорость одного в стоячей воде – 18 км/ч; а другого – 22 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут теплоходы через 3 ч, если один двигается против течения реки, скорость которой равна 3 км/ч?
Масса изюма составляет 56% массы винограда. Сколько нужно взять винограда, чтобы из него получилось 14 кг изюма?
Вариант № 5
Два поезда одновременно отошли от станции в противоположных направлениях. Через 45 мин каждый из них сделал остановку. На сколько скорость одного поезда была больше скорости другого, если одна остановка находилась на расстоянии 51 км от станции, а другая – на расстоянии 48 км?
Масса кураги составляет 60% массы абрикосов без косточек. масса косточек составляет 0,4 массы абрикосов. Сколько надо взять абрикосов, чтобы получить 18 кг кураги?
Вариант № 6
Из города в деревню выехал велосипедист. Через 4 ч в том же направлении выехала машина. Через какое время машина обгонит велосипедиста, если его скорость 14 км/ч, а скорость машины – 70 км/ч?
В телевизионной игре некто выиграл 12 000 р. Две пятых этой суммы он истратил на покупку бытовой техники, четвертую часть положил в банк, остальные деньги потратил на турпоездку с семьей во время летнего отпуска. Сколько стоила поездка?
Проверочная работа № 1
Тема Текстовые задачи
Цель: проверить умения решать текстовые задачи алгебраическим методом.
Вариант № 1
Знаменатель обыкновенной дроби больше ее числителя на 3. если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменателю 5, то она увеличится на 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите эту дробь.
Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше их разности. Найдите эти числа, если известно, что разность их квадратов равна 180.
Вариант № 2
Числитель несократимой обыкновенной дроби на 5 меньше ее знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 16, то дробь уменьшится на 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите эту дробь.
Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы. Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 100. Найдите эти числа.
Вариант № 3
Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, а поэтому он пришел к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.
Разность квадратов двух чисел равна 100. если их утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30. найдите эти числа.
Вариант № 4
Один из лыжников прошел расстояние в 20 км на 20 мин быстрее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная, что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч больше.
Найдите двузначное число, которое в 4 раза больше суммы его цифр и в 2 раза больше произведения его цифр.
Вариант № 5
Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.
Если числитель обыкновенной дроби возвести в квадрат, а знаменатель уменьшить на 1, то получится дробь, равная 2. если же числитель дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 1, то получится дробь, равная 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите эту дробь.
Вариант № 6
Чтобы ликвидировать опоздание на 1 ч, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой должен был идти по расписанию, на 10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?
Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная 13 EMBED Equation.3 1415. Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная 13 EMBED Equation.3 1415. Найдите эту дробь.
Контрольная работа
Тема Текстовые задачи
Цель: проверить умения решать текстовые задачи различными методами.
Вариант № 1
Найти вес орудийного патрона, зная, что заряд весит 0,8 кг, вес снаряда составляет 13 EMBED Equation.3 1415 веса патрона и вес гильзы составляет 13 EMBED Equation.3 1415 веса патрона.
Из двух городов, расстояние между которыми 720 км, отправляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Второй поезд вышел на 1 ч позднее первого со скоростью, на 4 км/ч больше, чем скорость первого поезда. Найдите скорость каждого поезда.
Вариант № 2
На заводе 35% всех рабочих – женщины, а остальные – мужчины, которых на заводе на 252 человека больше, чем женщин. Определить общее число рабочих.
две бригады, работая совместно, закончили отделку квартир в доме за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной для этого требуется на 5 дней больше, чем другой?
Вариант № 3
При продаже товара за 1386 руб. получено 10% прибыли. Определить себестоимость товара.
Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить работу каждый рабочий, если одному из них для выполнения всей работы потребуется на 10 дней больше, чем другому?
Вариант № 4
Производственная артель, продав продукции на 3348 руб., понесла 4% убытку. Какова себестоимость этой продукции?

Один штукатур может выполнить задание на 5 ч быстрее другого. Оба вместе они выполнят это задание за 6 ч. За сколько часов каждый из них выполнит задание?
Вариант № 5
Получаемый при сушке винограда изюм составляет 32% всего веса винограда. Из какого количества винограда получится 2 кг изюма?
Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошел 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.
Вариант № 6
Морская вода содержит 5% (по весу) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно придавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%?
Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения 25 км. На путь по течению реки она затратила столько же времени, сколько на путь против течения. Какова скорость течения реки?













ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задачи, решенные арифметическим методом

Товар подешевел на 32%.
28,8% осталось незасеянной на четвертый день.
В 2,6 раза
Площади квадратов относятся как 1 : 81.
Выпущено шкафов – 450 штук, кроватей – 150 штук, столов – 620 штук, диванов – 1240 штук.
Первое судно выловило 32 т рыбы, второе судно – 23 т, третье – 18 т.
12 т; 18 т; 24 т.
Через 12 часов грузовой машине останется пройти путь, втрое больший, чем легковой.
Токарных станков на 65,625% больше, чем шлифовальных.
На окраску маленьких кубиков потребуется 10 кг краски.

Задачи, решенные алгебраическим методом

1. Длина изгороди равна 140 м.
2. Первоначальная длина нити равна 108 см.
3. В зрительном зале клуба 21 ряд.
4. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, второго – 70 км/ч.
5. Скорость первого самолета 400 км/ч, второго – 320 км/ч.
6. Скорость трамвая 11 км/ч.
7. Минутная стрелка догонит часовую через 13 EMBED Equation.3 1415мин.
8. 800-я проба.
9. Ежегодно число отдыхающих увеличивается на 10%.
10. Семь 29-местных и шесть 33-местных автобусов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Александров, И. И. Методы решения арифметических задач / И. И. Александров, А. И. Александрова. – М., 1953.
Барсуков, А. Н. Уравнения первой степени в средней школе / А. Н. Барсуков. – М., 1952.
Березанская, Е. С. Сборник задач и упражнений по арифметике для 5 и 6 классов семилетней и средней школы / Е. С. Березанская. – М., 1953.
Бочковская, О. Т. Решение арифметических задач в начальной школе : пособие для учителей I–IV классов / О. Т. Бочковская, А. Д. Бронникова, Ф. П. Новоселов, Е. И. Отто, И. С. Попова, М. М. Циммерман ; под ред. А. С. Пчелко. – М. ; Л., 1949.
Игнатьев, В. А. Сборник арифметических задач повышенной трудности : пособие для учителей начальных классов / В. А. Игнатьев, Я. А. Шор. – М., 1968.
Игнатьев, В. А. Сборник задач по арифметике : пособие для педагогических училищ / В. А. Игнатьев, И. И. Игнатьев, Я. А. Шор. – М., 1952.
Игнатьев, Е. И. В царстве смекалки / Е. И. Игнатьев. – М., 1987.
Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах : учебное пособие для студентов средних педагогических учебных заведений и факультетов начальных классов / Н. Б. Истомина. – М., 1998.
Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальной школе / Н. Б. Истомина. – М., 2005
Демидова, Д. Е. Теория и практика решения текстовых задач / Д. Е. Демидова, А. П. Тонких. – М., 2002
Кордемский, Б. А. Математическая смекалка / Б. А. Кордемский. – М., 1965.
Лурье, М. В. Задачи на составление уравнений / М. В. Лурье, Б. И. Александров. – М., 1980.
Островский, А. И. Геометрия помогает арифметике / А. И. Островский, Б. А. Кордемский. – М., 1960.
Перельман, Я. И. Занимательные задачи и опыты / Я. И. Перельман. – М., 1972.
Сборник конкурсных задач по элементарной математике для поступающих во втузы / под ред. М. И. Сканави. – М., 1980.
Стойлова, Л. П. Математика : учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений / Л. П. Стойлова. – М., 1997.
Стойлова, Л. П. Математика / Л. П. Стойлова. – М., 1999.
Чекмарев, Я. Ф. Арифметика для педагогических училищ / Я. Ф. Чекмарев, И. Б. Туликов. – М., 1967.
Филичев, С. В. Руководство к решению арифметических задач : пособие для учителя / С. В. Филичев, Я. Ф. Чекмарев. – М. ; Л., 1948.
Фридман, Л. М. Как научиться решать задачи / Л. М. Фридман, Е. И. Турецкий. – М., 1984.
Цыпкин, А. Т. Справочное пособие по методике решения задач по математике / А. Т. Цыпкин, А. Н. Пинскин. – М., 1983.
22. Шор, Я. А. О решении арифметических задач. – М., 1955.














Учебное издание


Елизавета Павловна Виноградова


Математика: текстовые задачи и методы их решения


Учебно-методическое пособие





Редактор
Е. В. Кондаева


Технический редактор
Г. А. Чумак







Подписано в печать 18.01.2008 г.
Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л.5,0.
Тираж 500 экз. Заказ 39/192.



Издательство Орского гуманитарно-технологического института
(филиала) государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет»

462403, г. Орск Оренбургской обл., пр. Мира, 15 А









13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115


13PAGE 15





51га – 222т

? р.



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 7Рисунок 9Рисунок 13Рисунок 19Рисунок 20Рисунок 25Рисунок 26Рисунок 30Рисунок 32Рисунок 41Equation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 45Рисунок 46Рисунок 47Рисунок 48Рисунок 50Рисунок 52Рисунок 54Рисунок 56Рисунок 57Рисунок 58Рисунок 60Рисунок 61Рисунок 62Рисунок 63Рисунок 128Рисунок 129Рисунок 131Рисунок 136Рисунок 139Рисунок 140Equation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 145Рисунок 146Рисунок 148Рисунок 149Рисунок 150Рисунок 151Рисунок 152Рисунок 153Рисунок 154Рисунок 155Рисунок 156Рисунок 163Рисунок 165Рисунок 168Рисунок 169Рисунок 170Рисунок 171Рисунок 172Рисунок 173Рисунок 174Рисунок 175Рисунок 179Рисунок 180Рисунок 182Рисунок 184Рисунок 185Рисунок 186Рисунок 188Рисунок 192Рисунок 194Рисунок 195Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 264003
    Размер файла: 707 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий