Глава 3

Глава 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Первообразная функция, неопределенный интеграл, его основные свойства

В главе 2 мы решали задачи, связанные с отысканием производной данной функции. Теперь будем заниматься задачами, в которых требуется применение обратной операции, то есть по данной производной отыскивать функцию, которую дифференцировали. Операцию восстановления функции по ее производной будем называть интегрированием, а раздел математического анализа, в котором изучается эта операция и ее приложения – интегральным исчислением функции одной переменной.
Примеры практических задач, в которых применяется операция интегрирования: дана скорость движения тела, требуется найти его закон движения, то есть зависимость пройденного пути от времени; дано ускорение, требуется найти скорость движения тела; и другие.
Перейдем теперь к точным определениям.
Определение 1. Пусть на некотором промежутке Х задана функция 13 EMBED Equation.3 1415. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется первообразной для функции 13 EMBED Equation.3 1415 на этом промежутке, если для всех 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Заметим, что термин «первообразная» был введен французским математиком Ж.Л. Лагранжем (1736-1813).
Легко проверить, что для функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 первообразными на R являются функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 соответственно.
Теорема. Если функция имеет на промежутке Х первообразную 13 EMBED Equation.3 1415, то и все функции вида 13 EMBED Equation.3 1415 будут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная 13 EMBED Equation.3 1415 для функции 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, может быть представлена в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где С – некоторая постоянная.
Доказательство. По определению первообразной 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 – первообразная для на промежутке Х.
Пусть теперь 13 EMBED Equation.3 1415– любая первообразная для функции на Х. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 на Х и согласно условию постоянства функции на промежутке (см. главу 2) 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что достаточно найти для данной функции 13 EMBED Equation.3 1415 только одну первообразную функцию 13 EMBED Equation.3 1415, чтобы знать все первообразные, так как они отличаются друг от друга постоянными слагаемыми. Выражение 13 EMBED Equation.3 1415 исчерпывает все семейство первообразных функций для 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение 2. Если 13 EMBED Equation.3 1415– первообразная для функции 13 EMBED Equation.3 1415, то выражение 13 EMBED Equation.3 1415, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначается символом 13 EMBED Equation.3 1415.
Это обозначение ввел в 1675 году немецкий философ и математик Г.В. Лейбниц (1646-1716).
Таким образом, по определению, 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415– первообразная для функции 13 EMBED Equation.3 1415, а С – произвольная постоянная.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется подынтегральной функцией, произведение 13 EMBED Equation.3 1415– подынтегральным выражением, переменная х – переменной интегрирования, символ 13 EMBED Equation.3 1415– знаком интеграла.
Из определения неопределенного интеграла вытекают его основные свойства.
1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал – подынтегральному выражению, то есть 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Действительно, по определению неопределенного интеграла имеем 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Неопределенный интеграл от производной функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, то есть
13 EMBED Equation.3 1415. (*)
Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, то эту формулу можно записать в виде
13 EMBED Equation.3 1415.
Формула (*) непосредственно вытекает из определения неопределенного интеграла, поскольку функция 13 EMBED Equation.3 1415 является первообразной для 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, из свойств 1-2 следует, что символы 13 EMBED Equation.3 1415и d взаимно уничтожаются, только во 2-ом случае к 13 EMBED Equation.3 1415 надо прибавить произвольную постоянную С.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла, то есть если 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415. (**)
Действительно, 13 EMBED Equation.3 1415, то есть левая и правая части равенства (**) являются множествами всех первообразных для одной и той же функции 13 EMBED Equation.3 1415, значит, они равны.
4. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций:
13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство аналогично доказательству свойства 3. Это свойство справедливо и для любого конечного числа функций.
Таблица основных интегралов

1. 13 EMBED Equation.3 1415. 8. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·, в частности, 13 EMBED Equation.3 1415.

Заметим, что переменную х, входящую в эти формулы, можно заменить любой другой. Например, вместо формулы 13 EMBED Equation.3 1415 можно записать 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.
Доказываются эти формулы по определению неопределенного интеграла. Докажем, например, формулу 4. Найдем 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, формула 4 справедлива для х, принадлежащих любому промежутку, не содержащему нуля.
Вычисление интегралов путем непосредственного использования таблицы простейших интегралов и их основных свойств называется непосредственным интегрированием. При этом часто приходиться производить преобразования подынтегральной функции, чтобы получить табличные интегралы.
Примеры. Вычислим интегралы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415.
3) 13 EMBED Equation.3 1415.

Для вычисления более сложных интегралов применяются различные методы интегрирования или используются математические справочники, содержащие таблицы сложных интегралов.

§ 2. Интегрирование методом замены переменной и по частям

Метод замены переменной (метод подстановки) – наиболее общий метод, часто применяемый при вычислении интегралов. Им часто приходится пользоваться и для того, чтобы получить табличный интеграл из справочника. Состоит он в том, что при вычислении
13 EMBED Equation.3 1415 (2.1)
вместо переменной х вводится новая переменная t по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415 подбирается так, чтобы после подстановки получилась подынтегральная функция, более удобная для интегрирования. При этом справедлива формула
13 EMBED Equation.3 1415. (2.2)
Для доказательства этой формулы достаточно вычислить дифференциалы от каждой ее части. Имеем
13 EMBED Equation.3 1415. Дифференциалы равны, поэтому обе части равенства представляют собой одно и то же семейство первообразных для функции 13 EMBED Equation.3 1415, то есть формула (2.2) имеет место.
Таким образом, для вычисления интеграла (2.1) методом замены переменной нужно не только в функции 13 EMBED Equation.3 1415 заменить х на 13 EMBED Equation.3 1415, но и 13 EMBED Equation.3 1415 выразить через t и 13 EMBED Equation.3 1415, то есть положить 13 EMBED Equation.3 1415. В результате вычисления получим функцию от переменной t. Чтобы возвратиться к переменной х, достаточно в полученной функции заменить t значением 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415– обратная к 13 EMBED Equation.3 1415 функция, то есть t найти из уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Заметим, что формулу (2.2) часто применяют справа налево, то есть записывают ее в виде
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415. (2.3)
Если 13 EMBED Equation.3 1415– первообразная для функции 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415, то из (2.3) получаем
13 EMBED Equation.3 1415.
В частном случае, когда 13 EMBED Equation.3 1415, имеем
13 EMBED Equation.3 1415
откуда
13 EMBED Equation.3 1415.
Примеры. Вычислим интегралы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
1) 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 (полагаем 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Выведем теперь формулу интегрирования по частям. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415– функции, дифференцируемые на некотором промежутке Х. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415,
откуда
13 EMBED Equation.3 1415.
Интегрируя обе части последнего равенства и учитывая, что для 13 EMBED Equation.3 1415 первообразной является uv, получим
13 EMBED Equation.3 1415. (2.4)
Формула (2.4) и называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет свести вычисление интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 к вычислению интеграла 13 EMBED Equation.3 1415, который может оказаться более простым для интегрирования.
Примеры. Вычислим интегралы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 1) 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
При вычислении интегралов методом интегрирования по частям важно уметь правильно выбирать u и dv. Общий принцип состоит в том, что получающийся интеграл должен быть проще исходного интеграла.
Укажем некоторые классы интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям.
I. 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415– многочлен; нужно положить 13 EMBED Equation.3 1415.
II. 13 EMBED Equation.3 1415.
III. 13 EMBED Equation.3 1415.
IV. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. В каждом из этих интегралов за u берут обратную тригонометрическую функцию.
V. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Нужно дважды применить формулу интегрирования по частям, оба раза взяв за u либо показательную, либо тригонометрическую функцию.
Пример. Вычислим интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
§ 3. Интегрирование рациональных функций

Всегда ли неопределенный интеграл можно выразить через элементарные функции, то есть через степенную, показательную, логарифмическую, тригонометрические и обратные тригонометрические функции с помощью конечного числа арифметических действий и суперпозиций? Производная элементарной функции всегда функция элементарная, для интегралов же это не так. Например, не выражаются через элементарные функции интегралы
13 EMBED Equation.3 1415 и другие.
В дальнейшем нас будут интересовать такие конкретные классы функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции. Самым важным среди таких классов является класс рациональных функций, то есть функций вида 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415– многочлены. Интегрирование функций этого класса начнем с рассмотрения простейших случаев.
1) Интегрирование простейших рациональных функций (простых дробей).
Простыми дробями называются дроби следующих четырех типов:
I. 13 EMBED Equation.3 1415; II.13 EMBED Equation.3 1415; III.13 EMBED Equation.3 1415; IV.13 EMBED Equation.3 1415, (3.1)
где A, M, N, a, p, q – действительные числа, а квадратный трехчлен 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет действительных корней, так что 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
I. 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415, (3.2)
II. 13 EMBED Equation.3 1415, k = 2, 3, , то есть
13 EMBED Equation.3 1415. (3.3)
III. Выделим из квадратного трехчлена 13 EMBED Equation.3 1415 полный квадрат:
13 EMBED Equation.3 1415.
Положим 13 EMBED Equation.3 1415 (это можно сделать, так как 13 EMBED Equation.3 1415) и 13 EMBED Equation.3 1415. Получим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415. (3.4)
IV. Полагая, как и в предыдущем случае, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, получим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. К после
·днему интегралу, который обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, применим формулу интегрирования по частям:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда получаем рекуррентную формулу для вычисления 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415. (3.5)
Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по рекуррентной формуле (3.5), 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1. Вычислим интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Имеем 13 EMBED Equation.3 1415, то есть квадратный трехчлен 13 EMBED Equation.3 1415 действительных корней не имеет. Выделим полный квадрат: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Положим 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле (3.5) при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 получим 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку
13 EMBED Equation.3 1415, имеем 13 EMBED Equation.3 1415 и
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Интегрирование правильных дробей.
Рациональная дробь 13 EMBED Equation.3 1415 называется правильной, если степень многочлена 13 EMBED Equation.3 1415 меньше степени многочлена 13 EMBED Equation.3 1415 (степень числителя меньше степени знаменателя).
Интегрирование правильных дробей основано на следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства (доказательство см., например, в учебнике Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.2, гл. VIII, §2, п. 274; возможно доказательство в курсе алгебры):
Теорема. Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей.
Это разложение правильной дроби на простые дроби тесным образом связано с разложением ее знаменателя 13 EMBED Equation.3 1415 на простые множители. Из курса алгебры известно, что многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен единственным образом на множители 1-ой и 2-ой степени с действительными коэффициентами. Для простоты будем считать, что старший коэффициент многочлена 13 EMBED Equation.3 1415равен 1. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415, (3.6)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – действительные корни многочлена 13 EMBED Equation.3 1415, а квадратные трехчлены не имеют действительных корней, и
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. (3.7)
Показатели у знаменателей последовательно уменьшаются от 13 EMBED Equation.3 1415 до 1,13 EMBED Equation.3 1415,от 13 EMBED Equation.3 1415 до 1, от 13 EMBED Equation.3 1415 до 1,13 EMBED Equation.3 1415, от 13 EMBED Equation.3 1415 до 1, а 13 EMBED Equation.3 1415 – неопределенные коэффициенты. Чтобы найти эти коэффициенты, нужно дроби в правой части равенства (3.7) привести к общему знаменателю, которым, очевидно, будет многочлен 13 EMBED Equation.3 1415, затем знаменатели отбросить. Получим равенство двух многочленов: слева – многочлен 13 EMBED Equation.3 1415 с известными коэффициентами, справа – многочлен с неизвестными буквенными коэффициентами. Поскольку равенство тождественное относительно х, должны быть равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая их, получим систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Эта система всегда имеет решение на основании сформулированной выше теоремы. Найдя из этой системы неизвестные коэффициенты и подставив их в равенство (3.7), получим разложение правильной дроби 13 EMBED Equation.3 1415 на сумму простых дробей. Таким образом, интегрирование правильной дроби 13 EMBED Equation.3 1415сводится к интегрированию простых дробей в силу равенства (3.7).
Изложенный метод представления правильной дроби в виде суммы простых дробей называется обычно методом неопределенных коэффициентов. Заметим, что неизвестные коэффициенты из равенства многочленов можно находить и иначе, подставляя вместо х конкретные значения. При этом тоже будут получаться линейные относительно неизвестных коэффициентов уравнения. В качестве значений х удобнее всего брать корни знаменателя. При этом почти все члены в правой части равенства обращаются в нуль, что позволяет легко находить оставшиеся коэффициенты. Можно применять также комбинированный способ отыскания неизвестных коэффициентов, при котором уравнения получаются как приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях х, так и подстановкой значений х.
Пример 2. Вычислим интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. На основании формулы (3.7) имеем:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Интегрирование рациональных функций.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – некоторая рациональная функция. Если эта дробь правильная, то интегрировать ее мы уже умеем. Если эта дробь неправильная, то ее можно представить в виде суммы многочлена (целая часть) и правильной дроби, разделив 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415, как говорят, из этой дроби можно выделить целую часть.
Таким образом, интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби. Интегрирование правильной дроби сводится, как мы видели, к интегрированию простых дробей. Интегралы от простых дробей есть функции элементарные – рациональные функции, арктангенсы и логарифмы. Поэтому интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции – рациональные функции, арктангенсы и логарифмы.
Пример 3. Вычислим интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Рациональная дробь 13 EMBED Equation.3 1415 – неправильная, выделим из нее
целую часть:




13 EMBED Equation.3 1415 Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415, причем квадратный трехчлен 13 EMBED Equation.3 1415 действительных корней не имеет. Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

§ 4. Интегрирование иррациональных функций
В предыдущем параграфе мы установили, что интеграл от любой рациональной функции выражается через элементарные функции. Поэтому в дальнейшем при вычислении интегралов от функций других классов мы будем разыскивать такие подстановки 13 EMBED Equation.3 1415, которые данное подынтегральное выражение преобразуют в рациональное относительно новой переменной t. Такой прием называется рационализацией подынтегрального выражения. Вычислив интеграл от полученной рациональной функции и выполнив обратную подстановку, получим выражение первоначального интеграла через элементарные функции.
1. Интегрирование выражений вида 13 EMBED Equation.3 1415.
В дальнейшем условимся буквой R обозначать рациональную функцию своих аргументов. Например, 13 EMBED Equation.3 1415 – рациональная функция от х и у. Подставив в 13 EMBED Equation.3 1415 вместо у выражение 13 EMBED Equation.3 1415, получим иррациональную функцию от х. Интеграл от нее имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415. Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки 13 EMBED Equation.3 1415.

Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно х выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, а затем применить указанную выше подстановку. Именно, 13 EMBED Equation.3 1415, где m – общий знаменатель дробей 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Интегрирование биномиальных дифференциалов.
Дифференциал вида 13 EMBED Equation.3 1415, где а и b – любые постоянные, а показатели m, n и p – рациональные числа, называется биномиальным дифференциалом. Русский математик П.Л. Чебышев (1821-1894) в 1853 году доказал, что интеграл от биномиального дифференциала вычисляется в элементарных функциях только в следующих трех случаях:
а) когда p – целое число;
б) когда 13 EMBED Equation.3 1415 – целое число;
в) когда 13 EMBED Equation.3 1415 – целое число.
Если ни одно из этих условий не выполняется, то интеграл не вычисляется в элементарных функциях.
Случай а) является частным случаем предыдущего пункта. Если 13 EMBED Equation.3 1415 – общий знаменатель дробей m и n, то рационализация подынтегрального выражения достигается с помощью подстановки 13 EMBED Equation.3 1415.
В случае б) нужно сделать замену 13 EMBED Equation.3 1415, где s – знаменатель дроби p.
В случае в) применяется подстановка 13 EMBED Equation.3 1415, где s – знаменатель дроби p.
3. Интегрирование функций вида 13 EMBED Equation.3 1415 Подстановки Эйлера.
Интеграл вида 13 EMBED Equation.3 1415 рационализируется с помощью одной из трех подстановок Эйлера (1707-1783).
1 – я подстановка Эйлера. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то полагаем 13 EMBED Equation.3 1415.
2 – я подстановка Эйлера. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то полагаем 13 EMBED Equation.3 1415.
3 – я подстановка Эйлера. Если квадратный трехчлен 13 EMBED Equation.3 1415 имеет различные действительные корни 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то, считая 13 EMBED Equation.3 1415, получаем
13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, то есть получен интеграл, рассмотренный в 1-ом пункте. Подстановка 13 EMBED Equation.3 1415 – 3-я подстановка Эйлера.
Примеры. Вычислим интегралы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 1) Имеем интеграл, рассмотренный в 3-ем пункте. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415, делаем 2-ю подстановку Эйлера: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Преобразуем подынтегральное выражение: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 – биномиальный дифференциал с 13 EMBED Equation.3 1415, то есть p – не целое, 13 EMBED Equation.3 1415 – не целое, 13 EMBED Equation.3 1415 – целое, поэтому делаем 3-ю подстановку Чебышева: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.
3) Подкоренные выражения одинаковы, поэтому можно применить подстановку, рассмотренную в 1-ом пункте. Поскольку общий знаменатель дробей 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равен 6, делаем постановку 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
§ 5. Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида 13 EMBED Equation.3 1415, где R, как и раньше, рациональная функция своих аргументов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Такие интегралы всегда рационализируются с помощью подстановки 13 EMBED Equation.3 1415, которая называется универсальной подстановкой. Действительно,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415
· интеграл от рациональной функции. Следовательно, любой интеграл рассматриваемого вида выражается через элементарные функции.
Пример 1. Вычислим интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Имеем 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Несмотря на то, что универсальная подстановка дает возможность проинтегрировать всякую функцию вида 13 EMBED Equation.3 1415, на практике она часто приводит к слишком громоздким вычислениям. Во многих случаях проще использовать другие подстановки. В частном случае,
если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415,
если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415,
если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Эти подстановки предпочтительнее универсальной подстановки, поскольку преобразования получаются менее громоздкими.
Для преобразования подынтегрального выражения часто применяются различные тригонометрические формулы. В первую очередь применяют формулы
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Примеры. Вычислим интегралы: 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 2) Преобразуем подынтегральное выражение по одной из приведенных выше формул. Получим 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
3) Подынтегральная функция 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому нужно сделать подстановку 13 EMBED Equation.3 1415. Имеем 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Для вычисления последнего интеграла подынтегральную функцию представим в виде суммы простых дробей, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов (подынтегральная функция – правильная рациональная дробь):
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415= =13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.












х – 2











Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativerEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativecEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 4019
    Размер файла: 707 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий