Дифференциальные уравнения


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Федеральное образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт государственный технический университет дисциплине 22.161 Высшая дифференциальные пособие Центр СПбГМТУ Библиогр Настоящее адресовано студентам инженерных специальностей организации самостоятельной работы разработано изучаемой дисциплине содержит тематический календарных практических занятий Обыкновенные дифференциальные уравнения теоретический контрольные вопросы теории вопросы экзамену разделе Теоретический также необходимый подробным разбором самоконтроля полученных тест котором представлены тестовые задания выбором сформулированные требуемого знаний конце пособия список рекомендуемой литературы заказу целевой специалистов СПбГМТУ дисциплине СПбГМТУ СОДЕРЖАНИЕ КОМПЕНДИУМА Тематический семестра Выписка календарного Теоретический Контрольные вопросы Выписка календарного занятий Обыкновенные дифференциальные ». Рекомендуемая 4 ВЫПИСКА КАЛЕНДАРНОГО Обыкновенные дифференциальные уравнения дифференциального Основные частное общее решения задача Формулировка теоремы существования единственности первого Геометрический смысл первого его решения направлений особых разделенными разделяющимися переменными первого дифференциалах Основные теоремы существования единственности допускающие порядка Свойства решений однородного зависимость независимость Структура общего решения однородного однородного методом Структура общего решения неоднородного методом Лагранжа линейного неоднородного методом неопределенных Физический смысл однородного неоднородного свободные Системы дифференциальных Нормальная записи системы системы сведением системы запись Свойства однородной системы методом Эйлера случай простых корней характеристического Задачи приводящие обыкновенного дифференциального Обыкновенные дифференциальные уравнения первого Основные Задача Особые частные Уравнения допускающие квадратурах Уравнения разделяющимися переменными дифференциальные уравнения первого Уравнения высших Задача высших Уравнения допускающие порядка Линейные ого однородные уравнения ого Уравнение движения Лагранжа неоднородных Системы обыкновенных запись систем Системы Системы Дифференциальные уравнения можно разделить дифференциальные обыкновенного дифференциального уравнения является одного переменного время решением производных является функция переменных Уравнение описывающее свободные материальной сопротивления является может записано уравнение может записано виде или 2 x d обозначают Уравнение описывающее струны является быть записано 2 2 2 2 a t u Здесь 2 u 2 обозначают производные переменным соответственно будем рассматривать обыкновенные дифференциальные Задачи понятию обыкновенного дифференциального физические геометрические задачи Физическая задача Найти закон материальной тяжести материальной случае подчиняется Ньютона образом сводится решению ОДУ dt x d m 2 ускорение силы тяжести Требуется материальной Перепишем проинтегрируем материальной 2. Геометрическая задача Найти обладающую свойством коэффициент равен абсциссе точки кривой вид равенства касательной можно записать наклона является решением дифферен уравнения уравнение Учитывая 0 образом вид парабола точку . 1). 9 кривой порядка Определение Обыкновенным дифференциальным первого вида , , y x F независимая переменная дифференцируемая функции переменной Определение Уравнение x f y называется разрешенным нормальной форме дифференциальное разрешенное записать виде , , симметричная записи дифференциального Определение Функция называется решением если непрерывно дифференцируема подстановка этой обращает тождество интегральной кривой Определение уравнение y являющуюся решением 10 будем решения ОДУ называется интегрированием дифференциального Задача Определение Задача найти решение дифференциального , , y y x F x f y удовлетворяющее начальному условию 0 x y задачей Коши Теорема существования единственности решения задачи Коши дифференциальное уравнение определена области плоскости содержащей Если условиям непрерывная переменных частную f области интервал x , h x существует решение y удовлетворяющее условию Доказательство теоремы опускается ввиду сложности можно ознакомиться монографии Определение Функция , x y произвольная называется общим решением является решением допустимых каково условие 0 x y области которой выполняются 11 условия существования единственности решения задачи Коши можно подобрать единственное значение Определение , , называется интегралом она задает решение виде Определение каждой которого нарушается единственность решения задачи решением Определение полученное общего некотором допустимом произвольной называется частным решением Замечание может общего решения значении константы Особое может общего произвольной Найти интегральную кривую дифференциального проходящую точку Решение решением уравнения является где произвольная общего решения конкретных значениях являются решениями Построив графики решения различных значениях бесконечное множество непересекающихся интегральных будем семейством интегральных кривых 12 кривые уравнения Построим интегральную через требуется решить задачу условием Подставим значения равенство решим произвольной Таким образом решением поставленной задачи является через жирной особых решений как непрерывная частная кривые уравнение Решение Данное уравнение записать x 1 для y x f 2 , y y y f 1 2 13 нарушается существовании единственности решения задачи Уравнение может особое решение Общим решение данного дифференциального является Заметим преобразовании потерять решение решением уравнения являются функции x C y x Семейство интегральных кривых рис . 3. Рассмотрим функцию является исходного быть общего каких значениях произвольной постоянной Следовательно особое каждой точке нарушается единственность задачи Коши Действительно задать начальное поставленная Коши будет получится решения Если решения , x x C задачи является функция Это проходит через решением проходящим через точку является функция образом точке решения единственность задачи Коши решение является x y x y x . 3. 14 Метод задано x f y , . Если обозначить y положительным направлением внимание x f y , следует дифференциальное плоскости задает направление интегральным кривым направлений можно построить каждой точке области определения определенности центром образующий оси f tg Если 0 y x случае нужно использовать x f dy dx , 1 Если точке 0 , x 0 lim 0 особой некоторое представление интегральных касательные каждой совпадают построении особые изоклины Определение Линии направлений изоклинами определения следует y x f постоянное число 15 Построить направлений изоклины дифференциального Используя построенное интегральные кривые Решение равнение определению имеет y x f Следовательно y x y C направлений tg , 45 , C изоклине изоклины изоклине Изоклины направлений приведены . 4. возможность установить являются концентрические начале координат направлений Это точка Изоклины направлений 16 кривые Уравнения первого допускающие интегрирование решения приемами рассмотрим Уравнения переменными Определение Обыкновенным дифференциальным разделяющимися переменными уравнение g x f y 1 2 1 решения заключается следующем Рассмотрим первое уравнение уравнение g dx x f y g dy 17 равенство Вычислив интегралы решение уравнения виде общего Если можно выразить виде будет являться решением Рассмотрим второе уравнение 3434 N y M 2 равенство можно первое слагаемое части выражение является интегралом Замечание являются разделенными интегралом будет 434 Замечание 3434 решения первого M решения необходимо рассмотреть возможны удовлетворяющие соотношениям g M x N 18 являться решениями дифференциальных являться частными решениями дифференциальных являться особыми решениями дифференциальных проверяется подстановкой Теорема существовании единственности задачи Коши уравнения разделяющимися переменными дифференциальное разделяющимися переменными g x f y непрерывные прямоугольнике , : , y g существует через интегральная кривая Доказательство условия теоремы существования единственности задачи решение дифференциального переменные разделены xdx : Найти решение дифференциального выражение 2 1 y x 19 1 1 2 dy y y dx x x , его интеграл y x 2 ln 2 1 1 ln 2 1 Представив произвольную постоянную 2 C C 2 2 1 ln 1 ln C y x 2 2 1 C y x произвольная постоянная общее решение можно записать что выражение решения решений Однородные Определение однородной функцией порядка относительно переменных выполняется равенство , x f t ty , tx f 1. является , x f t y xy x t y t xy t x t ty , tx f 2 2 2 2 2 2 2 2 2. является порядка переменных , , x f tx ty ty , tx f 20 Определение Дифференциальное уравнение первого , x f y называется однородным нулевого порядка относительно переменных тождестве 3434 однородная зависит аргументов представить как Обозначая x y , f 1 всегда представить решения дифференциального заключается следующем u y x u du x u dx dy , : dx du x u u u xdu 21 образом после замены уравнение разделяющимися переменными последнего равенства u x затем значение Теорема существовании единственности задачи однородных уравнений Если промежутке , a u , a u интегральная Доказательство следует теоремы существовании единственности задачи разделяющимися переменными уравнение можно привести однородному уравнению являются однородными можно записать однородная уравнение Запишем уравнение Сделаем замену y получим уравнение 22 ряд алгебраических преобразований u x x u 2 2 1 u u x u 2 1 u u x u 2 2 1 2 уравнение разделяющимися переменными dx x du u u Вычислив интегралы решение общего u x ln 1 ln ln получим что выражение привести решений можно общего являются Особых исходное уравнение Определение Линейным дифференциальным уравнением ого называется 434 Определение уравнение случае уравнение называется однородным ОДУ называется неоднородным 23 Найдем решение неоднородного уравнения Лагранжа решается соответствующее затем неоднородное этап Рассмотрим однородное является уравнением разделяющимися переменными условия теоремы существования единственности задачи Перепишем уравнение y x p dx dy dx x p y dy : x d x p y dy e y x p ln ln силу произвольности постоянной общее решение однородного что условиях Проверим является однородного Подставим его уравнение Уравнение превращается тождество Следовательно есть однородного является особым решением решение может общего решения Особых решений образом первом решение однородного этап решение неоднородного будем виде полученное решение однородного заменяя произвольную постоянную C 24 следует являлась решением неоднородного Подставим неоднородное уравнение 343434 3434 3434 Следует заметить существует условию теоремы является непрерывной решение неоднородного 3434 структуру решения неоднородного представляет себя сумму общего решения однородного неоднородного Особых решений Замечание Если решается задается формулой x y y 25 будем два этап Найдем решение соответствующего однородного уравнение является уравнением разделяющимися переменными проинтегрируем Вычислив x y ln ln x y ln ln решение однородного уравнения этап решение неоднородного будем виде x C x y уравнение 3434 x x x C x C x x C x C x C x x C x x C x C dx x x C решение Уравнения полных Определение называется полных дифференциалах если часть является дифференциалом некоторой дифференцируемой переменных есть представима 26 , x du dy y , x N dx y , x M Теорема Пусть задано где дифференцируемые функции было уравнением полных дифференциалах достаточно выполнение следующего условия y , x N y y , x M Доказательство Необходимость заданное уравнение дифференциалах определению существует дифференцируемая , x du dy y , x N dx y , x M определению дифференциала y u dx x u y , x du , u y , x M u y , x N Продифференцируем равенство u y , x M равенство u y , x N x u y y y , x M силу непрерывности дифференцирования этих выражениях y u x x u y , y , x N y y , x M 27 Достаточность y , x N y y , x M существует , x u , x du dy y , x N dx y , x M Напомним y u dx x u y , x du следующие равенства , x M x u , x N y u Рассмотрим , c y , b , a x : y , x G Проинтегрируем равенство , x M x u области d y x M dx x y x u x x x 0 , , a x 343434 343434 . (*) Продифференцируем последнее равенство d y x M y dy y x du y y x u x , , , , x N y u d y x M y dy y x du y x N x , , 28 силу непрерывности дифференцирования можно поменять условия y , x N y y , x M следует преобразований 3434 , x N dy y , x du 0 3434 Подставив выражение (*), 343434 образом , x M x u может построена , x u , x du dy y , x N dx y , x M означает рассматриваемое дифференциалах Замечание Равенство 3434 общий полных дифференциалах Замечание можно равенство 29 3434 задает уравнения полных дифференциалах Замечание можно выбрать Необходимо чтобы существовали подинтегральные Если решается задача Коши соответствуют Проинтегрировать dy y x dx y x . x y , x M x y , x N y y , x M Уравнение является дифференциалах Найдем можно двумя воспользоваться доказательстве теоремы Способ Воспользуемся пусть Вычислив интегралы получим общий заданного Способ Найдем непосредственно x y , x M x u Продифференцируем равенство 30 3434 что x y , x N y u x y x y y 4 4 y x x y , x u , : Основные понятия Определение Обыкновенным дифференциальным ого уравнение ,..., y , y , y , x F , y y производные переменной Определение Порядок старшей производной называется порядком уравнения Например уравнение обыкновенным дифференциальным Определение Уравнение называется разрешенным относительно старшей нормальной форме Определение Функция называется решением если 31 непрерывно подстановка обращает тождество называется интегральной кривой Задача порядков Определение Задача удовлетворяющего условиям 0 x y 0 x y задачей Коши ого Теорема существования единственности Коши задано условия 0 x y Если непрерывна некоторой окрестности условий частные производные первого окрестности начальным условиям соответствует определенное решение дифференциального окрестности Определение C C x y ,..., , , 1 произвольные постоянные называется общим решением если является решением допустимых постоянных условий 0 x y 0 x y система 32 однозначно разрешима относительно произвольных постоянных найдется набор являющихся системы Замечание решение дифференциального уравнения всегда содержит Определение общего решения конкретных значениях называется частным решением Определение Функция 1 интегралом уравнения общее Уравнения допускающие порядка Рассмотрим дифференциальных уравнений допускающие порядка тип решение уравнения кратным ³³³ тип n k k , ... , y , y , x F y можно понизить z рассматривается неизвестная 33 z z Если удастся общее решение n C x z общее решение интегрированием тип уравнение содержит можно понизить подстановку функция рассматривается есть p p Все производные выражаются через производные Соответствующие dp p y dy dp dx dy dy dp dx dp dx y d y далее Подставив уравнение дифференциальное уравнение порядка относится последовательно общее 1 1 cos x C x dx C x y 2 2 1 2 1 cos sin x C x C x dx C x C x y 34 произвольные общее решение можно записать содержит производную первого порядка случае можно понизить единицу заменой y рассматривается есть такой замене разделяющимися переменными z x x dx z dz Вычислим интегралы Представим C C ln ln C x z ln x z произвольная константа опустить Это уравнение решается 2 1 1 x C dx x C y 2 3 1 2 2 1 2 C x C x C dx C x C y 35 решение Коши 1 типу содержит независимую переменную p p Сделаем замену приводится уравнение разделяющимися переменными Запишем его Получим последовательно d y p d p sin 32 Воспользуемся начальными / 1 1 4 2 sin 16 4 16 C , , p 2 16 Вернемся переменной Воспользуемся чтобы выбрать начальных 1 следует выбрать разделяющимися переменными запишем y dy sin dx y dy sin ctg C x y Найдем константу 2 ctg , 36 y Определение Линейным дифференциальным уравнением называется 434 3434 a ..., , x a , x a n 1 непрерывные промежутке a a x , Замечание Если рассматриваемой области изменения независимого переменного уравнение обозначив часть соответственно будем образом можно считать Определение Линейное дифференциальное уравнение называется однородным случае неоднородным Теорема Если функции i x a 1 ), ( непрерывны некотором множестве дифференциальное всегда единственное начальным условиям 0 x y Линейные Определение Линейным однородным дифференциальным называется Рассмотрим основные свойства дифференциальных 37 Свойство всегда имеет Доказательство подстановкой Замечание нулевым как удовлетворяет начальным условиям y x y условиям Свойство Если решения однородного 1 ( 1 ) ( x a y x a y n n y C x y C y 2 1 1 решение уравнения Доказательство y C x y C y 2 1 1 . 3434 2 1 1 2 2 1 1 1 C y C a y C y C a n 1 1 1 1 1 1 1 a y a y a y C n n n функции y являются решениями скобки часть уравнения Следствие решений однородного y C x y C x y C y n является решением однородного Определение уравнения y называются независимыми равенство n C ... y C y C 38 все коэффициенты равны Определение y y зависимыми существует нулю одновременно Замечание Если y линейно зависимы Определение Фундаментальной системой решений уравнения ого независимых y Определение Определитель 343434 1 2 1 1 2 1 2 1 n n n n n ... y y ... ... ... ... y ... y y y ... y y W y y y дифференцируемые называется определителем Вронского y y однородного дифференциального образовывали систему решений необходимо достаточно определитель обращался области области определения Доказательство Необходимость функции образуют систему решений однородного огда функция 39 y C ... x y C x y C y n следствию Свойства Поставим нулевые начальные условия y y Этим начальным условиям соответствует линейная однородная относительно 434 343434 система является однородной системой алгебраических решения y y образуют систему линейно система решение следует определитель системы отличен системы является Вронского Достаточность системы система имеет решение C C , y y независимы следовательно образуют фундаментальную систему Замечание Легко W Теорема структуре общего решения однородного дифференциального уравнения 40 Если система решений решение однородного дифференциального постоянные Линейные Определение Линейным неоднородным вида Теорема решение неоднородного общее неоднородного общее соответствующего однородного решение неоднородного Доказательство непосредствен подстановки решения неоднородных уравнений неоднородные постоянными коэффициентами различные физические разработаны методы общего решения коэффициентами Определение Уравнение числа неоднородным дифференциальными 41 Левую часть обычно обозначают посредством оператора L . . обозначениях записывается 434 решение неоднородного указано Рассмотрим решение таких методом Эйлера случае решение решение однородного решение неоднородного этап соответствующего однородного уравнение сократив характеристическое уравнение уравнение согласно основной теореме алгебры имеет характеристического соответствует нахождения корней характеристического уравнения является нахождения многочлена вещественными следующие случаи Характеристическое уравнение имеет простые вещественные корни простому характеристического соответствует функция являющаяся решением однородного дифференциального 42 Если характеристическое различных соответствующие различным вещественным корням m 1 являются независимыми построенный этих 343434 n n x n x n x n x x x x x n n n n n n n n e e e e e e e e y y y y y y y y y W 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1 2 1 2 1 определитель k i k i n n n n n 1 1 1 2 1 1 2 1 ... ... ... ... ... 1 ... 1 1 , i образом решений соответствующих различным корням характеристического имеют независимы образуют систему однородного линейного дифференциального уравнения решение однородного случае вид Характеристическое уравнение имеет простые комплексные корни 43 Если характеристическое различные комплексные соответствуют независимые первому случаю общее можно записать решения независимые решения выбираются следующим образом алгебры если комплексный характеристического уравнения сопряженное число является корнем характеристического комплексно можно поставить соответствие вещественных являющихся решениями линейного однородного Рассмотрим Согласно Свойству для однородного решений решение уравнения y y y y y y 2 / ~ 2 / 1 1 2 1 1 простому будут соответствовать независимых решения Характеристическое уравнение имеет кратные корни Если корень характеристического уравнения соответствует линейно решений линейного однородного дифференциального уравнения получаются его 44 независимы решение однородного дифференциального соответствующих характеристического этап случаях частного решения сводится алгебраической задаче Если неоднородного дифференциального уравнения специальный многочлены соответственно частное неоднородного ) ( показывает сколько корней характеристического уравнения встречается ), ( неопределɺнными коэффициентами образом частное решение что часть многочлены записаны неопределенными решением 1. уравнение Рассмотрим характеристическое имеет характеристического вещественные 45 соответствуют два независимых образующие систему решений однородного уравнения Найдем частное неоднородного уравнения часть отсутствуют экспонента тригонометрические следовательно Ноль является характеристического уравнения степени решение неоднородного уравнения многочлена второй неопределенными производные 1 y уравнение Приравнивая одинаковых алгебраического уравнения A A 0 B B 0 2 Поскольку решение заданного 46 Решить уравнение однородное Составим характеристическое уравнение Оно кратный корню соответствуют независимых образующие систему решений следует общего решения однородного Найдем частное неоднородного уравнения часть значение степени части присутствует экспонента Отсутствуют тригонометрические является корнем характеристического кратности часть многочлен степени решение неоднородного уравнения будем многочлен степени неопределенным Подставим уравнение 47 Приравняв решение неоднородного Принцип суперпозиции неоднородного представима суммы дифференциальное уравнение вид Если решение уравнения f y L исходного y x y x y x y Доказательство является решением Подставим его уравнение ( ) ( ) ( ( 1 y x y x y ) ( ) ( ) ( 1 Ly x Ly x Ly ( ) ( ) ( 1 f x f x f Проинтегрировать уравнение решение уравнения Характеристическое корни Правая суперпозиция функций : 1 . . . . . y y 48 Найдем Рассмотрим здесь этой отсутствует функции присутствуют тригонометрическая , bi a 2 является характеристического уравнения решение виде значения неопределɺнных Вычислим 2 y 2 sin 2 2 cos 2 x B x A 1 y 2 cos 4 2 sin 4 x B x A Подставим B x A 2 cos 4 2 sin 4 x B x A 2 sin 3 2 sin 4 2 cos 4 Приравнивая правой частях систему неопределенных 4 4 3 4 4 B B A B , 8 / 3 следовательно Найдем Рассмотрим Здесь функции отсутствует присутствуют тригонометрическая поэтому Составим Число является корнем характеристического уравнения решение 49 Найдем неопределɺнные Вычислим производные 0 2 1 Подставляем значения исходное найдем A . . суперпозиции x x cos 8 3 2 sin 8 3 cos 5 1 sin 5 2 x x . . o C C y 2 1 x x 2 cos 8 3 2 sin 8 3 Проинтегрировать тригонометрической Следовательно Решаем однородное уравнение Характеристическое соответствуют независимые 50 Правая часть есть двух ) x ( f 1 Найдем Рассмотрим здесь этой экспонента функции отсутствуют тригонометрическая является корнем характеристического следовательно ищется значений неопределɺнных вычислим Подставляем уравнение одинаковых степенях Следовательно Найдем присутствует этой присутствуют тригонометрическая является характеристического уравнения 51 решение виде значений неопределɺнных вычислим выражение Подставляем уравнение B A . sin 4 1 x xe . o Уравнение движения пример Примером уравнения является уравнение Рассмотрим случай случае является однородным Физически это означает движется свободно действуют внешние вынуждающие силы k y y 52 Характеристическое разные случаи Физически соответствует сильному сопротивлению корня случае различны решения Общее решение Рассмотрим задачу можно однозначно определить условий систему алгебраических уравнений относительно неизвестных системы образом решение начальной задачи осциллируя ростом решению Физически соответствует сопротивлению среды случае являются сопряженными 2 2 sin 2 cos 1 i t e e y t 2 y k 53 Нетрудно видеть являются Действительно 343434 Приравнивая отдельно вещественную требуемое комбинацию получим Нетрудно предыдущем случае условиями процесс ростом стремится равновесия Если сопротивление отсутствует периодические колебания случае решение Нетрудно случае решением является 54 Метод линейных решение неоднородного дифференциаль порядка можно Лагранжа называется методом вариации произвольных Рассмотрим линейного неоднородного дифференциального фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения общее имеет y C x y C y o . o 2 1 1 Будем решение 434 y x C x y x C y . o 2 1 1 функции выбрать решением неоднородного Подставим уравнение Найдем предварительно y x C x y x C x y x C x y x C y 2 1 1 2 2 1 1 C C , 434 y x C x y x C y x C x y x C y 2 1 1 Найдем y x C x y x C x y x C x y x C y 2 1 1 2 2 1 1 Подставим уравнение 343434 434 34343434 3434343434 3434 что 3434 434 34343434 x y x C x y x C a x y x C x y x C a x y x C x y x C 55 f x y x C x y x C образом производные C алгебраической системы 434 3434343434 системы является W. система единственное систему производных C C сами решение неоднородного уравнения уравнение методом Лагранжа решение соответствующего однородного уравнения неоднородного Неизвестные системы , cos 1 cos ) ( sin ) ( 0 sin ) ( cos ) ( 1 2 1 x x C x x C x x C x x C cos sin ) ( x C cos ln ) ( 1 x x C ) x ( C 1 2 ( C x x C решение запишется sin cos ln cos sin cos 1 x x x x C x C y 56 Определение Системой дифференциаль система уравнений связывающая независимую переменную x y x y производные функций 3434 3434 Определение Сумма старших производных y ... k k n порядком системы Определение Если система разрешена производных канонической 434 343434 3434 Определение Система дифференциальных уравнений первого разрешенных называется нормальной системой определения являющихся решением системы дифференциальных удовлетворяющих начальным условиям y x y 1 0 1 y x y 2 0 2 …, 0 n x y , 57 заданные называется задачей Коши системы Теорема Существования единственности решения задачи Пусть непрерывны окрестности окрестности частные найдɺтся x , h x существует решение нормальной системы удовлетворяющее заданным начальным условиям Определение Общим решением нормальной системы называется функций 3434 3434 удовлетворяют следующим условиям C ,..., C , C , x y 1 1 являются системы значениях постоянных условия значений функции системе условиям области существования единственности решений рассмотрение вектор функции Y , x F 58 Определение функции непрерывные производная вектор функции вектор служат производные обозначения нормальную систему можно записать , x F x Y Определение Линейной неоднородной системой дифференциальных система 34343434 34343434 34343434 Определение Если f ,..., i система называется системой 59 343434 343434 343434 рассмотрение A a A 343434 343434 система запишется F x Y x A x Y x y ... x y x y x Y 2 1 дифференциальных коэффициентами решения систем дифференциальных разработаны линейных систем постоянными Рассмотрим однородные системы запись однородной системы 434 60 Рассмотрим различные решения систем Метод нахождения общего решения систем методу решение системы постоянные числа равны одновременно систему решений может векторном можно записать следующим образом Подставим исходную систему единичная матрица систему линейных уравнений 0 ... 0 ... 0 ... 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n nn n n n n n n a a a a a a a a 61 чтобы имела ненулевые необходимо достаточно чтобы определитель системы был равен характеристическим уравнением уравнения называются собственными матрицы нахождения корней характеристического уравнения сводится корней многочлена степени Рассмотрим следующие случаи характеристического уравнения действительны различны систему общее решение системы методом данной системы 3 2 1 A Характеристическое характеристического вещественны соответствует вектор системы x i e x Y 62 уравнений Рассмотрим собственное число системы Система образом имеется неизвестных можно выбрать произвольно Следовательно Рассмотрим собственное число системы независимы так определитель Вронского построенный решение системы 63 характеристического уравнения комплексно сопряженные решение однородной системы дифференциальных x x y y системы вид Характеристическое комплексно сопряженные соответствующего составим систему этой системы зависимы система эквивалентна уравнению , , первого вектор характеристического комплексно сопряженные 64 системы решений взять независимые вещественные решения Y t Y 1 3434 решение системы 3434 развɺрнутом 343434 Характеристическое уравнение имеет кратные корни Пусть характеристического каждого соответствующее решение системы 65 коэффициенты системы алгебраических получающейся подстановке вектора исходную систему решение однородной системы дифференциальных Искомыми функциями случае являются системы Характеристическое корень кратности Поэтому решение системы t t t y t x t Y 22 21 12 11 выражение исходную систему сокращая 66 Приравнивая систему два уравнения системе одинаковые Подставив второе уравнение системы система свелась системе уравнений относительно неизвестных образом произвольно Полагая системы образом решение системы 3434 Метод вариации произвольных постоянных метод систему решений 3434 системы AY x Y 67 произвольных постоянных неоднородной системы F x Y A x Y вариации произвольных состоит системы 434 Y x C ... x Y x C x Y x C x Y n непрерывно дифференцируемые Подставив систему 3434 434 343434343434 34343434343434 ... ... 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 , 434 C можно системы F x Y x C x Y x C x Y x C n Решить систему методом Лагранжа сначала соответствующую однородную было решение неоднородной системы искать виде 3434 подставим систему 68 3434 x x x x x x e x C e x C e e x C e x C 2 1 2 2 1 2 2 C C Крамера x x x x e e e e 2 2 2 2 x x x x e e e 3434 3434 решение неоднородной системы вид Метод исключения Некоторые системы удается свести одному которого равен системы Рассмотрим . Решить линейную однородную систему Систему можно свести второго Продифференцируем подставим второго уравнение второго 69 Характеристическое уравнение 1 x C x C y y x C x C y cos sin , sin cos 1 1 2 2 1 1 70 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ определение решения дифференциального первого порядка Напишите пример дифференциального первого разделяющимися переменными условиях верна теорема существования единственности задачи разделяющимися переменными формулировку задачи уравнения первого Назовите необходимое достаточное условие дифференциалах определение системы решений однородного дифференциального систему следует решения нелинейного специальной часть ПОДГОТОВКИ определения разделяющимися переменными Теорема существовании единственности решения задачи первого дифференциалах Геометрический смысл дифференциальные ого Основные определения Свойства линейной независимости решений Неоднородные поряка однородные дифференциальные Системы ОДУ запись линейных систем постоянными 71 ПРАКТИЧЕСКИХ Общее частное Коши Геометрический смысл дифференциального Геометрические физические задачи составление дифференциальных расчета Дифференциальные Особые решения первого порядка разделяющимися переменными 108, 110, 112. дифференциалах . 4. 137, 139, 141, 144, 146, 186, 188- 190, 192, 193. допускающие . 4. 423, 430, 435, 437, 442, 444. специальной подбора . 4. 511, 515, 518, 521, 525, 532. неоднородных специальной частью . 4. 540-547, 549, 551, 555, 559, 585. 330, 335-337, 340, 346, 352. Лагранжа систем уравнений сведением однородному уравнению . 4. 575-578. . 5. 654, 657, 658, 660, 661. линейных систем методом . 4. 786, 787, 788, 789, 790, 792, 795, 796. Прием Дифференциальные уравнения уравнения сводящееся неоднородное постоянными специальной неоднородное Лагранжа 72 Обыкновенные верного Таблица разделяющимися дифференциалах перечисленных является дифференциалах 1 xydx dy x 2) 2 xdy dx y xy 3) верного ответа таблице Таблица характеристического уравнения ОДУ верного Таблица 1 2 3 фундаментальную систему верного ответа 5. Таблица 1 2 3 4 y y cos e y cos e y cos e y sin e y y 1 y 2 73 следует частное решение уравнения верного Таблица 1 2 3 sin B x cos A x y cos A y sin B x cos A y функций является однородной функцией второго относительно переменных Укажите верного ответа Таблица 1 2 3 x y , x f x y , x f 2 x y , x f решение Укажите верного Таблица 1 2 3 1 x C x cos y 1 x C x cos y C x cos y решение xdy 1 верного ответа таблице Таблица 1 2 3 x y y y фундаментальную систему верного ответа Таблица 1 2 3 4 y 1 y 2 cos y 3 sin y 3 y 2 y 1 y 2 74 суперпозиции определите частного решения верного 11. Таблица 1 2 3 Ax C Bx Ax перечисленных является первого cos sin dx x x y dy y x 2) 2 xdy dx y xy 3) верного ответа таблице Таблица 1 2 3 перечисленных верного ответа таблице Таблица 75 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная Берман Сборник задач математическому Наука .: Наука , 1972. Краснов Макаренко Сборник задач обыкновенным уравнениям Высшая , 1978. .: Просвещение Сборник задач . – Наука Дополнительная Дифференциальные .: Наука дифференциальные Наука дифференциальных уравнений .: Физматгиз , 1959. 76 Таблица задания 1 2 3 4 5 6 Ответ 1 3 1 3 3 2 задания 7 8 9 10 11 12 Ответ 1 2 4 1 3 1

Приложенные файлы

  • pdf 1250355
    Размер файла: 706 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий