Лучистый теплообмен часть 1


Слайд2Во многих теплотехнических расчетах, особенно при анализе тепловых потоков в топках и нагревательных печах, возникает необходимость рассчитать лучистый теплообмен между телами, разделенными абсолютно прозрачной средой (этоназывают диатермической оболочкой), какпоказано на рис. 1. Введем сначала несколько упрощающих предположений:− температурное поле каждой поверхности равномерное, стационарное;− поверхности тел серые, диффузионно отражающие и диффузионно поглощающие;− все поверхности плоские, исключающие самооблучение.Из теории теплопередачи мы знаем, что при решении такой задачи требуется учесть не только собственное излучение поверхности, номножество других тепловых потоков, действующих на поверхность и показанных на рис 1. Величина потока собственного излучениясогласно закону Стефана–Больцмана определяется так:

где εi – степень черноты серого тела; С0 – коэффициент излучения абсолютно черного тела; Тi – абсолютная температура поверхности тела, Si – площадь поверхности. Слайд 3
Падающим потоком Qiпад называют тепловой поток, падающий на i-ю поверхность от всех остальных тел с учетом многократных отражений. Этот падающий поток частично отражается, а частично поглощается. По закону Кирхгофа коэффициент поглощения равен степени черноты εi, а коэффициент отражения, если тело не прозрачно для тепловых лучей, определяется разницей (1 – εi). Тогда величины поглощенного и отраженного потоков можно рассчитать так:

Эффективный поток Qiэф представляет собой суммарный лучистый поток, уходящий с поверхности на все другие тела. При этом учитываются и собственное излучение, и суммарный отраженный поток:

Слайд4Величина падающего на i-ю поверхность теплового потока определяется эффективными потоками от всех остальных поверхностей и угловыми коэффициентами облучения ϕij, показывающими, какая доля тепла, излучаемая телом j, попадает на тело i. Таким образом:

С учетом предыдущих формул можно записать следующее выражение:

Записывая последовательно формулу (1) для всех i, мы получим замкнутую систему уравнений, содержащих n неизвестных эффективных потоков Qiэф , что дает возможность, применяя известные процедуры, решить систему и определить все неизвестные. Слайд5 Как правило, эту систему приводят к канонической форме матричного уравнения


Слайд6Чтобы полнее разобраться с этим вопросом, распишем подробно все элементы матричного уравнения для приведенной на рис. 1 системы стенок (при n = 5):


Слайд 7 Вспомним о двух свойствах, которыми обладают угловые коэффициенты: − свойство замыкаемости состоит в том, что ε12 + ε21 = 1; − свойство взаимности для любой пары поверхностей дает ε12S1 = ε21S2. Используя эти свойства, можно заметно упростить исходную матрицу и поиск решения. После решения матричного уравнения и определения величин Qiэф легко находим результирующие потоки, падающие на каждое тело:

Если какая-нибудь поверхность (или все они) вогнутая, то тогда возникает самооблучение части этой поверхности (см. рис. 3) и для того, чтобы учесть это, водится коэффициент самооблучения ϕii ≠ 0. Это приводит к тому, что в диагонали матрицы один или несколько коэффициентов становятся не нулевыми. Конечно же, нам понятно, что каждое тело в системе тел может иметь собственную температуру Тi при установившемся режиме только при наличии в каждом из тел внутренних источников теплоты. В противном случае рано или поздно в результате теплообмена в системе наступит тепловое равновесие при одинаковых для всех тел температурах. Поэтому рассмотрим задачу нестационарного теплообмена между системой тел при наличии в них внутренних источников теплоты удельной производительностью qvi. Для упрощения задачи будем полагать, что тела настолько высокотеплопроводны, что температура внутри тела практически одинакова в каждой точке тела. Между телами движется воздух с заданными объемными расходами Gi и заданной температурой Tвоз, в результате чего между воздухом и телами возникает еще и конвективный теплообмен, характеризуемый величинами коэффициентов теплоотдачи αi.
Cлайд8
Решение задачи начинаем с записи уравнения теплового баланса для i-го тела, приравнивая приходы и расходы теплоты за элементарно малый промежуток времени dτ:

откуда получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

В этом уравнении ρi,cpi – плотность и удельная теплоемкость материала i-го тела; Fiлуч , Fiкон – поверхности i-го тела, участвующие в лучистом теплообмене, и величина аналогичной поверхности, участвующей в конвективном теплообмене с воздухом (ниже мы увидим, что величины этих поверхностей могут быть различными). Мы уже разбирались, что такие системы решают с помощью какой-либо явной схемы, например, применяя метод Рунге–Кутта. Однако в нашем случае перед каждым очередным шагом по времени необходимо для каждого из тел рассчитать величины Qiрез , для чего, как это показано выше, сначала нужно решить систему алгебраических уравнений и найти величины эффективных потоков Qiэф. Используя подход, аналогичный квазилинейному, это можно сделать, решив предыдущую задачу при температурах поверхностей Ti-1, найденных на предыдущем шаге ∆τ по времени. При всяком другом подходе система уравнений (2) практически не разрешима, поскольку каждое из уравнений содержит по две неизвестных Ti и Qiрез. Чтобы облегчить работу, заметим, что угловые коэффициенты ϕij определяются только геометрическими характеристиками тел и не зависят от температуры тел. Это позволяет в самом начале расчетов сформировать матрицу коэффициентов А, транспонировать ее и найти обратную матрицу, которая будет использоваться потом при расчетах теплообмена излучением при увеличении τ, поскольку на каждом шаге будут изменяться только величины свободных членов bj. В конечном результате мы получим зависимости Ti = fi(τ) для каждого из тел, участвующих в теплообмене.
4.9. РАСЧЕТ УГЛОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Слайд 9 Угловой коэффициент облучения между двумя поверхностями площадью S1 и S2 рассчитывается по формуле, которая получена в результате интегрирования по соответствующим площадям формулы закона Ламберта:

где r – расстояние между элементарными площадками на поверхностях S1 и S2; θ1 и θ2 – углы между лучом, соединяющим элементарные площадки (рис. 4), и нормалями к этим площадкам. Таким образом, для вычисления угловых коэффициентов, как это видно из приведенной формулы, нам необходимо вычислить сначала двойной интеграл по площади S1, а затем – двойной интеграл по площади S2, что в целом означает определение четырехкратного интеграла. Такое интегрирование осуществляется достаточно просто только для тел простой геометрической формы типа плоских прямоугольных пластин, цилиндров или шаров. Однако в технических устройствах очень часто встречаются более сложные поверхности, и поэтому приходится прибегать к численному интегрированию.
Слайд10 Рассмотрим отдельные приемы вычисления двойных интегралов. Прежде всего это метод последовательного интегрирования, суть которого в том, что двойной интеграл представляют как следующую последовательность обычных интегралов (для прямоугольной области с координатами сторон ab и cd, см. рис. 5):

где,

При расчетах сначала по любой квадратурной формуле (например, методом трапеций) проводят численное интегрирование по горизонтальным прямым и определяют значения функции F(y) в горизонтальных узлах разбиения. Затем на основе этих значений по такой же квадратурной формуле рассчитывают интегралы по вертикальным прямым, а суммируя получаемые при этом величины, находят интеграл (3). Слайд11 Конечно же, вычисление двойного интеграла усложняется, когда форма поверхности более сложная. Тогда величину двойного интеграла можно определить только приближенно, заполняя исследуемую площадь прямоугольниками или другими простыми фигурами. Мы уже знаем, что более полно произвольную поверхность можно учесть с помощью симплексов треугольной формы (см. рис 6). В этом случае двойной интеграл:

рассчитывают приближенно как сумму:
где Si –площадь i-го элемента Ωi; ix и i y – координаты центра тяжести элемента; n – число симплексэлементов. Естественно, что в начале расчетов нумеруются все вершины элементов, для каждой из них записываются координаты xj и yj, по которым определяются координаты центра тяжести каждого элемента и только потом по заданной функции f(x, y) рассчитывают величину очередного слагаемого. Этот метод называется методом ячеек. Слайд12 Трудности при расчетах угловых коэффициентов заметно увеличиваются, когда исследуемые по-- (рисунок 7!!) (интеграл вида 3)
Слайд13


Слайд 14Познакомимся теперь с некоторыми положениями теории вероятностей. Если мы имеем некоторую случайную величину Х, принимающую свои случайные значения только из промежутка [a,b] на числовой оси х, и имеющую функцию распределения р(х), то математическое ожидание величины Х (практически это среднее арифметическое значение для исследуемой последовательности, которое будем обозначать как E{X}) определяется величиной интеграла



Слайд15
4 5 4





Приложенные файлы

  • docx 592355
    Размер файла: 706 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий