Тема 6. Функции нескольких переменных


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
агентство Государственное образовательное учреждение высшего профессионального математики –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Компендиум дисциплине Математика 22.161.1 Баранова Васильева исчисление Пособие СПбГМТУ . 22 . Библиогр Настоящее адресовано студентам инженерных специальностей для организации самостоятельной Учебное разработано виде тематический план выписки календарных лекций практических занятий Дифференциальное исчисление теоретический материал количеством разобранных задач контрольные вопросы самоконтроля пособие введен тест котором представлены тестовые выбором сформулированные основе требуемого пособия список рекомендуемой литературы тесту выполнено заказу целевой контрактной специалистов Компендиум дисциплине Математика Катрушенко КОМПЕНДИУМА вопросы функций переменных ПЛАН СЕМЕСТРА Аудиторные занятия темы Всего Всего аудиторных Практические занятия Самостоятельная работа исчисление переменной 48 28 16 12 20 исчисление переменных 38 26 12 14 12 Интегральное исчисление переменной 66 44 24 20 22 . 38 28 20 8 10 Всего семестр 190 126 72 54 64 КАЛЕНДАРНОГО функций мерное пространство переменных переменных непрерывность нескольких переменных производные смысл Необходимое условие дифференцируемости Достаточное условие дифференцируемости Производная сложной переменных переменных Оценка погрешностей Уравнение касательной плоскости нормали Геометрический смысл дифференциала Производные дифференциалы высших Неявные переменных заданных системой Экстремум условие условие переменных наименьшее ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ Оглавление Функции нескольких переменных произведение множеств мерное пространство Окрестности пространстве Классификация Открытые замкнутые Предел непрерывность переменных Дифференцирование функций переменных производные переменных Условия дифференцируемости Производная сложной производная Дифференциал функций нескольких Определение нескольких переменных его свойства Инвариантность формулы дифференциала функций нескольких переменных Геометрическ смысл переменных Уравнение касательной плоскости поверхности Приближенные оценка погрешностей Частные производные дифференциалы высших порядков Производные нескольких переменных заданных неявно функция Дифференцируемость неявной функции для частных неявной функции Определитель Экстремум функции нескольких переменных Тейлора переменных Экстремум переменных Экстремум переменных Наибольшее наименьшее значения Функции множеств пространство Определение заданы множества произведением множеств называется всех x , x y ЗАМЕЧАНИЕ Упорядоченность следует смысле )() Если заданы множества , , p Y произведением является следующее множество ()() p q p q p Y X , ; , ; , ; , ; , ; , Если множество всех вещественных произведение пространство множество всех упорядоченных вещественных Если использовать можно установить взаимно однозначное соответствие ьлементами плоскости системой координат пространство всех упорядоченных вещественных координат позволяет установить взаимно однозначное соответствие между трехмерного пространства выбранной декартовой системой координат Определение произведение упорядоченных вещественных называется мерным пространством обозначается точками пространства обозначаются Вещественные числа координатами точки Определение Расстоянием между точками пространства называется определяется ()()() Теорема Расстояние между точками пространства удовлетворяет следующим ()() ()() M M M M M , , Утверждения теоремы определения расстояния называемое неравенство треугольников доказывается сделано расстояния линейном векторном пространстве Пространство котором метрика называется метрическим Окрестности точек пространстве точек Открытые замкнутые множества Определение вещественное окрестностью точки называется справедливо окрестность обозначается Если открытый круг граница множество центром Если граница центром .1. Определение Проколотой окрестностью точки называется множество множество точек для справедливо Проколотая окрестность обозначается Определение называется внутренней точкой множества Определение называется граничной множества окрестность содержит принадлежащие Определение называется предельной множества окрестность содержит множества ЗАМЕЧАНИЕ предельные могут принадлежать ьтому множеству Определение Совокупность граничных множества называется его множества пространства справедливо геометрически системе координат изображается координат является .3. множество является множества пар чисел Все множества кроме . для которых граничные Точка является предельной Определение открытым связной областью Определение замкнутым все x y x E , . является замкнутым ЗАМЕЧАНИЕ следует любое открыто замкнуто Множество определению другим Кроме указать которые замкнуты открыты одновременно Например вещественных замкнуто открыто одновременно рассматривать как открыто замкнуто Функции непрерывность Определение Функцией переменных называется отображение некоторого множества вещественных Иначе говоря которому ставится соответствие вещественное соответствие обозначают x x f w , f w областью определения функции ЗАМЕЧАНИЕ функция двух переменных функции двух переменных используют x f z , трехмерном евклидовом пространстве введенной системой задает поверхность Например функция параболоид вращения область определения область значений переменных Область функции условия последнего неравенства следует определения ограниченного окружностью Область значений записывая выражение задает верхнюю областью значений является множество 2 .6. Определение задана функция x x f w , пусть предельная множества пределом функции записывают , lim M f M окрестности U окрестность для которой справедливо )() значение U x x x f ЗАМЕЧАНИЕ определение окрестностей пространстве определение предела функции можно следующем Пусть функция M предельная если M M M 0 переменных пользуясь определением x f x lim , произвольного можно выбрать точки ()() следует ЗАМЕЧАНИЕ теоремы пределах функции одной переменной справедливы функций переменных ЗАМЕЧАНИЕ определения предела следует чтобы функция предел необходимо достаточно чтобы любой последовательности имеющей пределом точку существовал предел был одинаковым последовательностей 11 3 x y x y x f Если задать последовательности стремящихся n t m t n m Если рассмотреть последовательность точек сходящуюся t t t 4 ьтой равен можно переменных функции t e t t e xy xy e t t t xy y x cos 1 1 lim 3 cos lim 3 cos lim 0 0 0 Определение множестве непрерывной существует конечный равный ьтой )() Определение задана функция x x f w ,..., , пусть точка Полным приращением функции называется )() Теорема функция x x f w ,..., , заданная множестве непрерывна необходимо Доказательство непрерывна точке существует f M f M )() Если x x M ,..., , ясно M f M f i w 2 , 1 , 0 lim Определение точке непрерывной Определение которой условие непрерывности называется точкой разрыва ЗАМЕЧАНИЕ точек разрыва функции переменных может самую разнообразную структуру могут линии поверхности разрыва является линией функции поверхность является поверхностью непрерывных переменных справедливы следующие теоремы Теорема непрерывная ограниченном множестве ограничена наименьшего Теорема замкнутом ограниченном пусть всех точек Если справедливо существует , функций Частные производные функции Определение определена множестве 0 0 2 0 1 0 ,..., , i x x x M Частным приращением переменной называется равное разности значений ()() обозначается частности переменных x f z частные переменным : 0 0 0 , x f y x x f z 13 0 0 0 , x f y y x f z Определение множестве пусть Если существует называется частной производной функции переменной обозначается w частности функции x f z частные : y x f y x x f x z 0 0 0 0 0 , lim y x f y y x f y z существуют ЗАМЕЧАНИЕ частные производные функции переменных очередь функциями переменных ЗАМЕЧАНИЕ определения производных следует производной функции переменной следует рассматривать как функцию одной переменной остальные переменные ЗАМЕЧАНИЕ определения производных сделать дифференцировании функции переменных правила дифференцирования также производных полученные для функции одной переменной производные переменных функция является степенной переменной показательной относительно переменной x y z yx x z y ; Вычислите функции трех переменных x z y y x w y x w 1 x z y x y w 2 x z y z w 2 производные двух переменных дифференцирования частного 2 2 2 2 1 2 2 1 1 x x y x xy y x y x z Поскольку переменные симметрично частную производную можно заменяя частной z Следует заметить частным производным переменных можно геометрический Теорема x f z , производная y z касательной проведенной пространственной кривой заданной системой Доказательство вычислении y z переменная значение геометрически пересечения поверхности плоскостью геометрического смысла производной переменной следует y z коьффициенту касательной кривой который касательная составляет аналогичная теорема геометрическом смысле x z Теорема x f z , множестве y x M касательной проведенной пространственной кривой заданной системой y y y x f z x f y x , , , 4 Если tg z вычислим точке , Дифференцируемая функция Условия дифференцируемости Определение дифференцируемой точке область определения можно представить виде зависят зависят бесконечно малая высокого порядка бесконечно ЗАМЕЧАНИЕ Заметим определению дифференцируемой функции представимо виде двух частей вторая бесконечно малой порядка каждое приращение ЗАМЕЧАНИЕ отличие функции одной переменной функции переменных сформулировать условие которое одновременно необходимым достаточным условием дифференцируемости Теорема Необходимое условие дифференцируемости Если переменных дифференцируема некоторой непрерывна точке имеет частные всем переменным Доказательство дифференцируема точке области определения определению полное можно последнего следует i , ясно бесконечно поскольку Если x x равенство (1) можно записать 1 1 x A w 1 1 1 x A x w x следует существует конечный существование 2 x w 3 x w Следствие доказательства теоремы определении дифференцируемой функции равны значениям частных производных точке дифференцируемости Следовательно можно представить ()() бесконечно малая высокого порядка i i Следствие Если существует является дифференцируемой переменных определена полуплоскости производные x x w x y w существует заданная является дифференцируемой область Теорема Достаточное условие дифференцируемости Если функция определена множестве непрерывные производные всем переменным дифференцируема Доказательство доказательстве ограничимся случаем большего числа переменных доказательство будет аналогичным функции Прибавим соотношения значение Тогда можно записать следующем )() теорему Лагранжа разностям переменной стоящих скобках y x x z y y x x y z z 1 1 0 , (2), y y y x x x , Поскольку частные производные 0 0 1 0 , lim x x z y x x z 0 1 0 0 , lim x y z y x x y z следует ()() y x 0 0 1 , ()() бесконечно малые соотношение (2) можно переписать ()()() что выражение y x x представляет собой бесконечно высокий Если обозначить бесконечно запишется A x A z вещественные числа бесконечно более высокого дифференцируема точке Производная функции производная Теорема задана дифференцируемая функция функции v v x x ,..., , 1 2 2 являются дифференцируемыми функциями независимых переменных функция является сложной дифференцируемой независимых переменных функции i n i i j x x w v w j ,..., , Доказательство дифференцируемости следует что i n i i x w w i i 2 j i n i i j v x x w v w последнем зафиксировав все переменные v j i v v n i i v j v v x x w v w j j j j дифференцируемости переменным следует существование i v j i v x v x j непрерывность непрерывности следует v i , дифференцируемости следует является бесконечно высокого , , Следовательно i n i i j v j x x w v w v w Теорема доказана частном случае сложной переменных производные 19 y y z u x x z u z y y z v x x z v z Задана сложная функция xy u x Вычислите w формулу производной сложной функции z z w u y y w u x x w u w производные переменной переменной частные производные переменных переменным u x u y 1 выражение переменной выражение частной производной независимой переменной сложной z z w v y y w v x x w v w вычислив все частные производные u v x v y 2 v v z Следствие Если множестве задана дифференцируемая переменным дифференцируемые независимой переменной является сложной дифференцируемой производная независимой переменной dx x w dt dw n i i Найти производную xy z t x y 20 dy y z dt dx x z dt dz , 4 2 1 3 3 2 3 2 3 1 3 2 1 1 arctg arctg y xy y y xy y x xy xy z ln 1 ln t t t t dt dx вычисленные формулу ЗАМЕЧАНИЕ функция переменной ()()() ьтом случае формула производной Здесь следует различать частную производную w которая вычисляется предположении переменной полную производную которая учитывает зависимость функций 2 cos x t t z x полную производную dz dy y z dt dx x z t z dt dz Вычислим 2 3 2 sin 2 cos y x t t y x t t z 2 sin 2 y x t xt x z 2 2 sin 6 y x t t y y z dt dx подставим вычисленные формулу производной Получим ()() y x t t x 2 sin 2 3 2 2 sin 6 x t t y Определение дифференциала функции нескольких свойства Инвариантность формулы дифференциала Определение Если функция дифференцируема области относительно приращений называется дифференциалом функции замечание раздела точке n i i M x w dw Поскольку независимых переменных i ,... , последнюю для произвольной можно записать n n i i x x x x w dw частности дифференцируемой переменных дифференциала дифференцируемости y x y z x y x x z dz , , y x y z dx y x x z dz ЗАМЕЧАНИЕ Следует понимать дифференциал функции переменных является функцией переменных вычислить некоторой координаты ьтой Следует еще переменных Найти значение дифференциала x z M , x дифференциала y x y z x y x x z dz производные x z x 1 1 2 1 y x y z x Вычислим значения производных точке 1 1 , 1 z 1 1 , 1 значения формулу дифференциала , , Теорема свойством инвариантности формула независимые переменные являются переменных случае дифференциалы m m j j i i v v v v x dx , 1 1 i , провести самостоятельно Если i x x x g w ,..., , 1 функции переменных дифференциалов справедливы следующие 4. dw u w du d u удобно использовать вычислении дифференциалов сложных Найти дифференциал переменных ()() Геометрический смысл функции двух Уравнение касательной плоскости нормали поверхности Теорема Если дифференцируема точке существует плоскость поверхности 0 0 0 0 , , x f y x M ()() ()() Доказательство Напомним функция x f z пространстве введенной системой Уравнение плоскости через ()()() Если можно разрешить относительно переменной получим уравнение )() A B Выясним параметров уравнение является касательной плоскости поверхности x f z ьтом уравнении 0 0 x a z z y y является касательной заданной системой ьтом уравнении уравнение 0 x y z b является Ясно плоскости Поскольку через пересекающиеся можно провести одну плоскость 0 0 y b x x a z z является уравнением касательной плоскости поверхности x f z точке 0 x 0 x x z a 0 x y z b Следствие Если поверхность задана уравнением x f z дифференцируема нормали поверхности , , 0 0 0 0 0 0 Следствие плоскости ()() ()() установить 0 0 0 0 , z y y x y z x y x x z dz дифференциал переменных приращению аппликаты касательной плоскости Напишите уравнения касательной плоскости поверхности заданной производные заданной x x z Вычислим частных производных , 1 0 , 1 z функции точке уравнение касательной плоскости 0 1 1 0 y x z нормали Приближенные оценка погрешностей определения дифференциала функции нескольких переменных следует важный тех случаях когда модули приращений достаточно заменять приращение функции некоторой точке дифференциалом бесконечно более высокого Погрешность появляющаяся замене превосходит пользуются вычислении дифференцируемых Рассмотрим Необходимо значение Представим 0 0 x f z , 3 0 представим , 3 y y , 3 3 0 y x , 0 x , 0 y малы заменим функции дифференциалом вычислим 2 x x x z 2 x y y z Получим , 0 4 , 3 z дифференциал , 3 , 0 , 0 , 0 016 , 0 006 , 0 02 , 0 8 , 0 01 , 0 6 , 0 dz значение верхняя абсолютной погрешности определяется равенства рассмотренном Частные производные дифференциалы функции производные области Будем производными первого порядка являются переменных существовать частные производные образом частные производные частными производными второго частности x f z составить производных второго обозначаются следующим образом 2 x x z x z x 2 y z y z y y x z y z x производных можно строгое определение Определение Если существует конечен называется частной производной второго порядка дважды обозначается 2 даются строгие определения остальных второго производные частных производных второго порядка производными частная производная существует дифференцирования переменным однократного дифференцирования дифференцирования имеет теорема доказательства Теорема Если некоторой окрестности порядка причем существует частная производная совпадающая производной Обобщая теорему производные можно сделать вывод условий результат частного дифференцирования зависит дифференцирования частные второго функции результат можно установить существует шесть производных второго данной производные первого z w y x y w y z x w x y x ; sin ; 1 sin 2 производные z w y x y w y x w x y x y x y x ; sin cos ; 1 cos 2 2 4 2 2 2 2 2 2 Определение дифференцируема точке существует Будем первого дифференциалом Дифференциалом второго порядка вторым дифференциалом называется дифференциал первого дифференциала обозначается Теорема Если задана i x x x f w ,..., , независимые переменные Доказательство независимые переменные независимые переменные 27 Поскольку n j j i i x x w x w d 2 частности функции x f z независимость производных дифференцирования справедливо высокого дифференциал дифференциал дифференциала Легко переменных x f z дифференциала 2 3 2 2 3 3 3 3 3 3 dx y x z dy dx y x z dx x z z d для второго дифференциала двух переменных удобно записывать символическом записью понимается операция взятия производной переменной записью операция переменной случае дифференциала ЗАМЕЧАНИЕ Следует помнить ьти формулы предположении переменные x f z функцией которой очередь являются функциями двух переменных y d y z dy y z d x d x z dx x z d dy y z d dx x z d dy y z dx x z d z 2 2 28 x d x z dx dy x y z dx x z 2 2 2 2 y d x z dy dx y x z dy y z 2 2 2 2 ЗАМЕЧАНИЕ формулы дифференциала второго порядка случае когда когда очередь являются функциями переменных сделать дифференциал обладает ЗАМЕЧАНИЕ вычислении дифференциалов высших порядков удобно пользоваться полученными формулами дифференциалы проводя дифференцирование учитывая при условии если дифференциала функций можно записать dx y x dz 5 sin Поскольку зависит переменных дифференциал вычисляется дифференциал разделе 2.4 вычислен xy dy xz dx yz dw ln 3 xy dy xz dx yz d dz xy dy xz dx yz d w d xyz 3 3 ln )() ()) выражение запишем 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln 3 y x dy z x dx z y w d dx y dz dy x dy dx z xyz ln 1 3 ln 2 3 функций Дифференцируемость функции Формула частных функции двух Определение называется окрестности задано , ,..., , 1 x x x F : , ,..., , 0 0 2 0 1 w x x x F 2 1 , U x x x M частности , , окрестностях имеет корень может разрешено следует существовании зависимости Следующая теорема условия существования единственности дифференцируемости Теорема Если непрерывна окрестности ьтой окрестности непрерывные частные производные всем переменным , ,..., , 0 0 2 0 1 w x x x F уравнение задает окрестности 0 0 2 0 1 ,..., , x x x x x f w , 1 справедливо Доказательство силу сложности громоздкости доказательства теоремы рассмотрим доказательство функции f y неявной зависимостью функция непрерывна дифференцируема окрестности 0 x , 0 Если точка x F , 0 y x x F , , 0 0 0 части последнего можно использовать теорему Лагранжа 0 0 0 , x F y y x x F ()() 0 0 0 , x F y x x F , , 0 0 0 y x x F y y x x y F последнего равенства следует Переходя учитывая частные производные ЗАМЕЧАНИЕ доказали дифференцируемость функции f y получили формулу производной F x F x доказывается функция переменных x f z , заданная дифференцируемая переменным дифференцируема которых z F y F Выясните функция f y заданная y x y x y x F , , y F e y x y F дифференцируема везде выполняется условие x e y x e y x F Выясните дифференцируема x f z , , , cos xy z z x 31 дифференцируема F z x z F следовательно дифференцируема везде выполняется условие cos xy z x , xy z x F sin 1 записать zx xy xy Производные функций системой Определитель заданы u u w Продифференцируем уравнения системы 0 2 w u w x u x u u y систему относительно u w продифференцируем оба системы переменной 0 2 1 2 y y w u w y u y u u x Если систему относительно u w формулы них будут x u u xu u w u u y x y u 1 2 0 2 2 0 1 4 0 2 2 1 2 w xw yu u w u y w x u y w производных u u w функции дифференцируемыми определитель 0 2 u w u называется определителем Определение Если неявные заданы системой 0 , , , 0 , , , 1 u y x F w u y x F определителем Якоби место следующая теорема обобщается случай большего переменных Теорема Если задана система непрерывные дифференцируемые всем переменным окрестности являющейся решением системы Якоби система определяет являются дифференцируемыми точке условии система дифференцируемые Вычислим определитель только система определяет x u , вычислим дифференцируя уравнения системы последнюю систему получим 33 w u xw yu dx w u yw xu du 2 2 2 w u yw xu dx w u xw yu dw 2 2 2 Вычислим вторые дифференциалы системе систему относительно выражение второго дифференциала Окончательно нужно подставить выражения для дифференциалов Экстремум функции Формула для функции Если дифференцируема окрестности некоторой окрестности функцию можно 2 ,..., , ! 1 ,..., , 0 0 2 0 1 2 1 0 2 0 1 2 0 0 2 0 1 , ,..., , n x x f d x x x df n n x x f x x x f 1 ~ ,..., 2 ~ , 1 ~ ! ,..., , 0 0 2 0 1 n x x x d n x x x f d n n 1 0 1 x x 2 0 2 x x n n x x выражениях для дифференциалов полагаются равными Эта называется формулой Тейлора Если формулой Маклорена Если последний является бесконечно малой более высокого бесконечно Экстремум Определение области внутренняя Точка минимума 0 0 0 , , : x f y x f M U y x M M U Определение области внутренняя Точка максимума ()() 0 0 0 , , : x f y x f M U y x M M U Теорема Если функция дифференцируема окрестности максимум Доказательство Если рассмотреть переменной имеет необходимому условию ькстремума функции переменной доказывается , 0 ЗАМЕЧАНИЕ теорема необходимым условием ькстремума функции двух переменных Условие равенства нулю производных некоторой точке достаточным условием существования ькстремума ьтой точке Следствие Если , 0 x f , 0 ькстремума следует производные для функции переменной ькстремум может является дифференцируемой Такие будем подозрительными ькстремум критических точек особо выделяются стационарные Определение называется стационарной точкой дифференцируема , 0 , 0 0 0 x y x f x f , 0 Теорема Если стационарная точка дифференцируемой некоторой окрестности сохраняет если ькстремум максимум Доказательство Представим окрестности Тейлора второго ()() точностью бесконечно высокого порядка )() ()() стационарной можно записать ()() 3 ~ , ~ ! 2 , 0 0 0 0 2 , x f d y x f d x f y x f y y x x x 0 формулы ясно при достаточно ()() последнего ясно окрестности выполняется неравенство ()() соответствует определению Если некоторой окрестности неравенство ()() следует максимум ЗАМЕЧАНИЕ окрестности ьтой ькстремума следует что единственная стационарная производные 2 2 x x z 2 z y x z 0 , 1 2 x z 0 , 1 2 z ()() Теорема Если стационарная дифференцируемой 0 2 2 y x x z A 0 2 2 x y z C максимум Доказательство доказаны достаточные условия ькстремума если минимум максимум Рассмотрим ()() ()() 2 0 0 2 , dy C dy dx B dx A y x z d Вынесем скобку обозначим dx dy выражение определенного знака квадратного быть меньше Следовательно ькстремума Если квадратный ькстремум является ькстремум является максимумом ЗАМЕЧАНИЕ ькстремум может быть может Этот случай требует дополнительных исследований ькстремум Системе стационарные Вычислим частные производные второго x z 6 2 y z 6 2 стационарной точки , 0 , 0 Дискриминант Для ьто Экстремум Определения теоремы 6.2 обобщаются переменных Предоставляем возможность сделать самостоятельно ькстремум Стационарные системы стационарной является Вычислим частные производные второго 2 2 x x w 2 y w 2 z w дифференциал стационарной равен dz dx dy dx dz dy dx x w d 0 2 0 2 2 2 12 2 2 2 2 минимума Наименьшее наибольшее значения функции нескольких Теорема Непрерывная заданная ограниченном замкнутом наибольшее значения Наибольшее значения достигаться ькстремума области отыскания поступают следующим образом стационарные вычисляют значения стационарных содержатся множества значения собой значениями области наибольшее Найти наименьшее области координатными y x Стационарные функции системы уравнения 38 cos x y области Получим соотношения следует стационарная Значение точке области задается y z 0 , 0 y sin sin x z 2 y x y 2 0 x 2 sin 2 sin sin наибольшее значение наименьшее ВОПРОСЫ определяется произведение множеств определяется расстояние мерном пространство называется метрическим окрестность проколотая окрестность мерном метрическом пространстве называется называется граничной называется множество множество замкнутым определяется переменных называется переменных заданной переменных называется непрерывной множестве определяются производные геометрический смысл производных двух переменных переменных называется дифференцируемой условие является необходимым дифференцируемости переменных условие является достаточным дифференцируемости переменных Как записывается состоит формулы дифференциала геометрический смысл переменных имеет плоскости точке нормали поверхности x f z , точке определяются второго переменных условию удовлетворяют смешанные производные нескольких переменных выглядит второго третьего функции переменных сложной полной переменных формулам вычисляются частные производные переменных условии заданная системой является дифференцируемой переменных двух переменных x f z , точке минимум означает определению переменных x f z , максимум означает состоит необходимое условие ькстремума переменных формулируются условия ькстремума переменных ЭКЗАМЕНУ пространство Окрестности Классификация замкнутые Предел непрерывность переменных производные производные переменных геометрический смысл переменных Необходимое условие дифференцируемости случай переменных условие дифференцируемости случай Производная сложной Полная переменных переменных инвариантность формулы первого дифференциала дифференцирования геометрический смысл Уравнение касательной плоскости поверхности производные дифференциалы переменных Производные переменных Дифференцирование заданных системой Якоби Экстремум переменных определение условие Стационарные Тейлора Маклорена функции переменных Достаточные ькстремума КАЛЕНДАРНОГО ПРАКТИЧЕСКИХ функций Нахождение областей Вычисление исследование непрерывность Вычисление производных Геометрический смысл частных производных часа 3004, 3010, 3042, 3058,3067,3075,3091. Производная сложной производная 3032, 3033, 3126, 3127, 3128, 3131. переменных погрешностей вычисления Уравнение касательной плоскости поверхности часа 3106, 3111, 3113, 3324, 3326, 3327. Производные высших Дифференцирование :3176, 3181, 3188, 3222, 3225, 3228, 3329. Экстремум переменных наименьшее наибольшее значение 3259, 3267, 3270, 3281, 3282. расчета Функции нескольких переменных Контрольная работа параметрически заданной переменной Лопиталя дифференциал или дифференциал переменных Дифференциальное исчисление функции одной нескольких переменных часа теме ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ y x x f верного ответа x x x f x x f x y f 0 x x f верного ответа таблице 1 2 3 4 x x f 0 x x f x y f 0 x y f 3. верного ответа таблице 1 2 3 4 является дифференцируемой верного производные окрестности непрерывные производные Если задана двух переменных частная верного 1 2 3 4 sin y x y sin sin x x x ln Если задана двух переменных выражение верного 1 2 3 4 2 2 2 x y x Если переменных чему значение частной ; 0 f верного ответа 1 2 3 4 1 2 ln 3 значение дифференциала верного ответа 1 2 3 4 , 0 , 0 , 0 , 0 x z верного ответа таблице 10 1 2 3 4 y x x z z , задана зависимостью выражение верного таблице 11 1 2 3 4 x z u u выражение верного 12 1 2 3 4 2 u v u 2 u значение u y u x u Укажите верного 13 1 2 3 4 , 1 7 5 Если задана равно верного 14 1 2 3 4 x e 2 значение верного 15 1 2 3 4 значение дифференциала 2 , 0 верного 16 1 2 3 4 , 0 , 0 касательной плоскости верного таблице 17 1 2 3 3 4 2 z y x 1 4 2 y x 1 4 2 y x плоскости поверхности ; 2 , 1 , 0 верного 18 1 2 3 , 0 , 0 , 0 Неявные заданы системой условии являются дифференцируемыми ответа 19 1 2 3 являются стационарными неявной x z z , зависимостью верного 20 1 2 3 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 Укажите верного ответа 21 1 2 3 Максимум РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Дифференциальное исчисление Позняк Основы анализа Айрис Сборник задач анализу Наука Дополнительная Слудская Черкасов ,1987. Толстов анализа , 1980. Арцыкова Володичева Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 22 задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ответ 2 4 3 2 4 2 2 3 2 1 задания 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Ответ 3 1 2 1 4 3 2 3 1 3

Приложенные файлы

  • pdf 6166217
    Размер файла: 706 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий