4. Физика. Изменение и сохранение импульса и энергии в механике


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Министерство образования и науки Российской Федерации

Московский физико
-
технический институт

(государственный университет)

Заочная физико
-
техническая школа








ФИЗИКА


Изменение и сохранение

импульса и энергии в механике


Задание №
1

для 10
-
х классов


(2
0
1
4



20
1
5

учебный год)
















г. Долгопрудный, 20
1
4

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

2

Составитель
:
В.И. Плис, доцент кафедры общей физ
и
ки МФТИ.


Физика: задание №1 для 10
-
х классов (20
1
4



20
1
5

учебный год), 20
1
4
,
28

с.


Дата отправления заданий по физике и математике


30

сентяб
ря 201
4

г.



Учащийся

должен стараться выполнять
все

задачи и контрольные

в
опросы в заданиях.
Н
екоторая часть теоретического материала, а та
к-
же часть задач и контрольных вопросов
,

являются сложными и потр
е-
буют от учащегося больше усилий при изучении и реше
нии. В целях
повышения эффективности работы с материал
о
м они обозначены си
м-
волом *» (зв
ё
здочка). Мы рекомендуем приступать к этим задачам и
ко
н
трольным вопросам в последнюю очередь, разобравшись вначале с
б
о
лее простыми.

Составитель:

Плис Валерий Иванович

Подписано
20
.0
6
.1
4
. Формат 60×90 1/16.

Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л.
1,75

Уч.
-
изд. л.
1,55
. Тираж 1
2
0
0. Заказ №
5
-
з.


Заочная физико
-
техническая школа

Московского физико
-
технического института

(государственного университета)

ООО Печ
атный салон ШАНС»


Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., 141700
.

ЗФТШ, тел./факс (
4
95) 408
-
51
-
45


заочное отделение
,


тел./факс (
4
9
8
)
744
-
6
3
-
51



очно
-
заочное отделение
,


тел.

(49
9
) 7
55
-
5
5
-
8
0



очное
отделение
.


e
-
mail
:
zftsh
@
mail
.
mipt
.
ru


Наш сайт:
www
.
school
.
mipt
.
ru



© ЗФТШ, 201
4

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

3

§
1. Введение

Настоящее

задание посвящено законам
изменения и
сохранения
им
-
пульса и энергии для материальной точки и систем материальных точек
в механике.

Повторение этих
разделов вызвано двумя причинами:
первая обусло
влена важностью этих законов в

физи
ке;

вторая
причи
на
связана с тем, что часть

учащихся в 10
-
ом классе начинает обу
чаться в
ЗФТШ впервые.

Обращаем внимание ч
итателя, что перед работой с Заданием ему
следует из
учить
(повторить)
соответствующие разделы школьного
учебника и в
ы
полнить упражнения, представленные в учебнике.

М
еханик
а



наук
а
, изучающ
а
я

движение тел и способы описания
движения и взаимодействия тел.
Для описания механического дв
и
же
-
ния следует выбрать
систему отсч
ё
та,

представляющую собой
тело
отсч
ё
та,
с которым неподвижно
связ
ывают
систему координат
,

и
ч
а-
сы
для
регистрации положения точки
в различные моменты врем
е
ни
.

В механике Ньютона, т.

е
.

при рассмотрении движений со скорост
я-
ми, малыми по сравнению

со скоростью света, показания непо
д
вижных
и движущихся часов счита
ются одинаковыми.

Выбор систем отсч
ё
та диктуется соображениями удобства и прост
о-
ты описания дв
и
жения.

Д
ля математически точного описания движения используются
мод
е-
ли физических тел
.

Материа
льная точка



модель тела, применя
е
мая в
механике в тех случаях, когда
размерами тела можно пр
е
небречь

по
сравнению с характерными расстояниями, на которых рассматр
и
вается
движение тела.

В геометрии для описания таких тел используется п
о-
нятие точки. Положе
ние материальной точки в пр
о
странстве опреде
-
ляется положением изображающей е
ё

геометрич
е
ской точки. Единст
-
венная механическая (негеометрическая)
характеристика мат
е
риальной
точки


е
ё

масса.

§
2.
Законы Ньютона

Импульс или количество движения
матер
и
альной

точки

В основе динамики материальной точки лежат законы (аксиомы)
Ньютона. Напомним ключевые опр
е
деления и законы.

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

4

Система отсч
ё
та, в которой
любая
материальная точка, невзаим
о-
действующая с другими телами (такая точка называется свобо
д
ной)
,

дви
жется равно
мерно и прямолинейно

или покоится, называется ине
р-
циальной
.

1
-
й закон:

инерциальные системы отсч
ё
та (ИСО) существуют
,

2
-
й закон
:

в ИСО приращение импульса
материальной точки
пр
о-
порционально силе
и происходит по направлению силы
:






(1)

Импульсом (или количеством движения) материальной точки наз
ы-
вают физическую величину, определяемую произведением её ма
с
сы на
вектор ск
о
рости в
данной системе отсч
ё
та
:


сумма с
ил,
действующих на материальную точку.

Величину

называют импульсом силы

за вр
е
мя от

до

в течение которого
силу можно считать неизменной по величине и направл
е
нию. В
еличину


называют приращением и
м
пульса материальной
точки

за время от

до
.

Поэтому второй закон Ньютона для м
а-
териальной точки можно сформулир
о
вать так:

в ИСО
приращение импульса

материальной то
чки

равно импульсу
силы
.

Отметим, что при изучении динамики второй закон Ньютона
ча
с
то
формулируют
сл
е
дующим образом:

в ИСО ускорение материальной точки прямо пропорционально

су
м-
ме сил, действующих на неё
,

и обратно пропорциональ
но её

ма
с
се
:





(2)

Если масса тела остаё
тся неизменной, то

и соо
т-
ношение (1) принимает вид
.

С учё
том

пр
и
ходим к
эквивалентности
соотношений

(1) и (2) в рассматриваемом случае.

В настоящем Задании представлены задачи, для решения которых
привлекается

второй закон Ньютона (см.(1)), устанавливающий раве
н-
ство

приращений импульса материальной точки и импульса с
и
лы.

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

5

3
-
й закон:

при взаимодействии дв
ух материальных точек сила
,

действую
ща
я на первую материальную точку
со стороны второй
,

равна по величине и противоположна по направлению силе
,

де
й-
ствующей со стороны первой материальной точки на вт
о
рую
,


Третий закон Ньютона
это

с
о
вокупность утверждений:

1
)

силы возникают парами

и
имеют одинаковую природу
,

они пр
и-
лож
е
ны к разным
м
атериальным точкам
,

2)

эти силы равны по величине
,

3)

они

действуют

вдоль одной прямой в
противоположны
х

на
пра
в-
лен
и
ях.

Заметим, что согласно третьему закону Ньютона обе силы должны
быть равны по величине в любой момент времени независимо от дв
и-
жения взаимодействующих тел. Другими словами, если в системе двух
взаимодействующих тел изменить положение одного из те
л
, то это и
з-
менение мгновенно скажется на
другом теле, как бы далеко оно ни
находилось. На самом деле скорость распространения взаимоде
й
ствий
конечная; она не может превзойти скорость света в в
а
кууме. Поэтому
т
ретий закон
Ньютона имеет определ
ё
нные пределы

прим
е
нимости.
Однако в классической механике при малых скоростях взаимодейст
в
у-
ющих тел

он выполн
я
ется с большой точностью.

Второй закон Ньютона
(уравнение движения)
можно представить в
виде теоремы об изменении импульса мат
е
риальной точки
:





(3
)

Скорость изменения импульса материальной точки в инерциал
ь
ной
системе отсч
ё
та равна сумме сил
,

действующих на эту то
ч
ку
.

Напомним, что для решения задач динамики материальной точки
след
у
ет:

привести 
моментальную

фотографию» движущегося тела,
указать
приложенные к нему с
и
лы;

выбра
ть инерциальную систему отсчёта;

сост
а
вить уравнение (3
)
;

перейти к проекциям
приращения
импульса и сил на те или иные
направления
;

решить полученную си
с
тему.

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

6

Рассмотрим харак
терные пр
и
меры.

Пример № 1
. К телу
,

первоначал
ь
но покоившемуся на шероховатой
горизонтальной поверхности
, прикл
а
ды
вают
в течение времени


горизонталь
ную

силу в
е
личиной
.

После прекращения
действия силы тело дви
жется до остановки

.

Опре
делите вел
и-
чину

силы
трения

скольже
ния, считая е
ё

пост
о
янной.

Решение
. На рис.

1

показаны ИСО и силы, действующие на тело в
процессе разгона. По второму закону Ньют
о
на


Переходя к проекциям на
горизонтал
ь-
ную
ось
,

находим

элементарные приращ
е-
ния импульса в процессе ра
з
гона


и

в процесс
е тормож
е
ния



Просуммируем все приращения импульса
тела
от ст
арта до остано
в
ки


Напомним, что для любой физической вел
и
чины сумма приращений
равна разности конечного и начального зн
а
чений. Тогда


С уч
ё
том равенств

и независимости сил
от времени
пр
иходим к ответу на вопрос зад
а
чи
:


Рис.

1

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

7

Далее р
ассмотрим пример, в котором одна из сил зависит от
времени.

Пример №

2
.

На какое
максимальное расстояние

улетит
мяч, если

в процессе удара футболист
действует на мяч

постоянной по
направлению силой, величина которой
изменяется по закону,
представленн
о-
му

на рис.

2.

Длительность

удара

,
максималь
ная

сила

,

масса мяча

.

Здесь и далее ускорение

свободного

падения
Сопротивление воздуха не учитывайте.

Решение.
В процессе удара на мяч
дейст
вуют две с
и
лы
:

тяжести

и
сила


с

которой футболист
действует

на

мяч,


Так

ка
к


силой

тяжести пре
-
небреж
ё
м. Из кинематики известно, что

максималь
ная дальность пол
ё
та наблю
дается
при старте под углом

Про
цесс удара
показан на рис.

3.

По второму закону Ньютона

приращение

импульса
равно

им
пульсу

си
лы

.

Переходя к проекциям
при
ращения импульса и си
лы

на

ось
,

пол
у
чаем


Просуммируем элементарные

приращения импульса мяча за время
удара


Импульс силы


за

время
удара
численно равен площади
под графиком зависимости
этой
силы от времени

(каждое слагаемое
Рис
.

2

Рис
.

3

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

8


в импульсе силы можно интерпретировать как площадь
элементарного прямоугольника со сторонами

и

на графике
зависимости
)
. Тогда импульс силы

за время удара равен


и
в рассматриваемом случае
не зависит от того, в какой именно момент
времени
сила
дос
тигает максимального значения

(площадь
треугольника равна половине прои
зведения основания на высоту!).

Далее находим и
м
пульс
мяча

в момент

окончания действия силы


О
тсюда находим начальную ск
о
рость

пол
ё
та

мяча


и

максимальную дальность
(старт под углом
)
пол
ё
та


В рассматриваемом модельном примере получен несколько
завышенный по сравнению с наблюдениями результат.

На вступительных
испытаниях

и олимпиадах в вузах Ро
ссии регу
-
лярно предлагаются задачи динамики, в которых наряду с традицион
-
ными» силами
: силой тяжести, силой Архимеда

и т.

д., на тел
о

дейст
-
вует сила
лобового

с
о
противления
. Т
акая сил
а
возникает, например,

при движении тел в жидкостях и газах. Вопрос о
движении тел в
жидкостях и газах имеет большое практическое значение. Знакомство с
действием такого рода сил уместно начи
нать, как это принято в физике,

с простейших модельных зависимостей, в которых сила сопротивления
принимается пропорциональной скорости

или е
ё

ква
д
рату.

Пример №

3
.
Мяч, брошенный с горизонтальной поверхности

земли
под углом

к горизонту со скоростью

упал на землю
,
имея вертикальную составляющую скорости по абсолютной величине
на

меньшую, чем при бросании
.
На
й
дите время
по
л
ё
та мяча.
2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

9

С
чи
та
т
ь, что сила сопротивления движению мяча

пропорц
и
ональна его
ск
о
рости.

Решение.

Согласно
второму закону Ньютона
приращение импульса
пропорционально силе и происходит по направлению

силы
:


П
ереходя к проек
циям сил и приращения скорости
на вертикальную
ось, п
о
лучаем


Заметим, что элементарное перемещение мяча по вертикали равно

и перепишем
последнее соотношение в в
и
де:


Просуммируем все приращения
вертикальной проекции
импул
ь
са по
всему времени п
о
л
ё
та, т.

е.

от

до


Переходя к конечным приращениям, пол
у
чаем


Т
очки старта

и финиша находятся в

одной горизонтальной плоскости,

поэтому п
еремещение мяча по вертикали за время пол
ё
та нул
е
вое


Т
огда

.

Отсюда находим продолж
и-
тельность пол
ё
та м
я
ча
:


В с
ледующ
ем
пример
е

р
ассматривается

удар
,
в ходе которого две
очень больши
е

сил
ы
, согласованно»
действую
т

во взаимно перпенд
и-
кулярных направл
е
ниях.

Пример № 4
. Кубик, движущийся поступательно со скоростью

(рис.

4
)
по гладкой горизонтальной поверхности
,

испытывает

с
оуда
р
е-
ние

с

шероховатой

вертикальной
стенкой. Коэффи
циент трения


скольжения кубика по стенке

и
угол

извест
ны. Одна

из

граней

куб
и-
ка параллельна

стенке.
Под каким

углом

куб
ик
о
т
скочит

от стенки?

Считайте, что

п
ер
пендику
лярная

стенке составля
ю
щая скорости

кубика
в

результате
соу
дарения не изменяется
по вел
и
чине.

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

10

Решение
. Силы, действующие на кубик в процессе соударения, п
о-
казаны на рис.

5. По второму закону Нь
ю
тона


Переходя к проекциям на горизонтальные оси

и

получаем



Просуммируем приращения


по всему времени


соу
да
-
рения
, пол
у
чим
:

.

В процессе
удара в любой момент времени

,

следовательно
,

во столько
же раз отличаются импульсы этих сил за время со
ударения


Тогда

легко вычислить проекцию

скорости кубика после соуд
а-
рения
. Для этого просумм
и
руем приращения


по всему времени

соударения, получим
:



Рис
. 4

Рис
. 5

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

11

Отсюда

Д
алее, считая
,

получ
а
ем


§
3.

Импульс системы материальных
т
о
чек.

Теорема

об изменении импульса системы материальных
точ
е
к

Рассмотрим систему материальных точек массами

движ
у-
щихся

в произ
вольной

ИСО со скоростями
. Импульсом

с
и-
стемы

материальных точек

называют векторную сумму импульсов,

м
а-
териальных точек,
составляющих
сис
т
е
му,

.

Найдё
м

скорость

и
зменения импульса системы
материальных

точек

(ответ на такой вопрос для одной материальной точки нам изв
е-
с
тен)
.

Для
примера

рассмотрим систему двух материальных точек. Б
у-
дем считать, что на

перв
ую матер
и
альную точку


действуют
суммарной
силой

внешн
ие по отношению к системе тела
и внутре
н
няя сила

со стороны второго тела. В свою очередь
,

на вторую
материальную
точку
действуют внешние по отнош
е
нию

к системе тела, сумма этих
сил
,
и внутренн
яя сила

со стороны первого тела
.
Тогда
с уч
ё
том
второго закона Ньютона для каждого тела получ
а
ем


По третьему закону Ньютона
,

и мы приходим к
т
еореме об
изменении импульса системы
матер
и
ал
ь
ных
точек
:


т. е.
скорость изменения и
мпульс
а

системы материальных точек
ра
в-
на векторной сумме всех внешних сил, действующих
на сист
е
му
.

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

12

Из привед
ё
нного доказательства сл
е
дует, что третий закон Ньютона
можно сформулировать и как
требование сохранения импульса сист
е-
мы вза
и
модействующих тел, если нет ника
ких других внешних сил. В
этом


его более глубокое физическое содерж
а
ние.

Пример № 5.

Клин
массой

находится на

шероховатой горизо
н-
тальной поверхности стол
а. На клин, положили брусок массой

и о
т-
пустили.
Брусок

стал соскальзывать, а клин остался в покое.
Коэфф
и-
циент

трения скольжения бруска по поверхности кли
на

равен
,

наклонная плоскость
клина
составляет с г
оризонтом угол
.

Най
дите
горизонтальную

и
вер
тикал
ь
ную

силы

(рис. 6)
, с которыми

клин

дейс
т
вует на опору.

Решение
. По третьему закону Ньютона искомые силы связаны с с
и-
л
ой

трения

и
силой
нормальной реакции

действ
у-
ющими на клин со ст
о
роны опоры

(рис. 7)
.
С
илы

и
,

наряду с
силами тяжести
,

являются внешними по о
т
но
шению к системе

клин

+

бру
сок
»

и

определяют

скорость

изме
нения

импуль
са
этой

си
с
темы.

Импульс


системы

направлен по ско
рост
и

бруска и по величине
равен
произведению

массы бруска на его скорость

.

Для
определения
скорости изменения

импульса


бруска

обратимся ко
второму

закону

Ньютона
(см.
рис.

8
)
:


Рис
. 6

Рис
.

7

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

13

Переходя к проекциям приращений им
-
пульса
бруска и сил на оси

и

с
у
ч
ё
том соотношения
,

получаем
:



По
теореме об изменении импульса
сис
темы

клин

+

брусок»


Переходя в последнем равенстве к проекциям

на горизонтальное
и
вертикальное направления

(рис.

7
)
,

с уч
ё
том


п
ол
у
чаем

,



Отсюда находим искомые с
и
лы

,

.

К этим же результатам можно прийти, анализируя движение на
традиционном
языке» сил и ускорений с использованием формулы (2).

§
4. Сохранение импульса системы материальных
т
о
чек

Из теоремы об изменении
импульса системы
материальных
т
о
чек


следует сохранение импульса или его проекци
й

в следующих случ
а
ях:

Рис
. 8

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

14

ес
ли

то

оста
ё
тся неизменным по величине и н
а
-
правлению;

если существует направление

такое, что


то


наконец,
если на малом интервале времени

внешние силы конечные и
импульс этих сил
за время действия
во много раз меньше
по величине
импульса системы


то из р
а
венства


следует
, что приращение

импульса системы мало,
т.

е. на ра
ссма
т-
риваемом интер
вале времени

сохр
а
н
я
е
тся

импульс

системы


Пример № 6.

Артиллерист

стреляет ядром массы

так, чтобы оно
упало в непр
и
ятельском лагере. На вылет
ающее

из пушки ядро
очень
быстро
садится барон Мю
нх
г
аузен, масса которого

.

К
а
кую часть
пути до неприятельского лагеря ему прид
ё
тся идти пе
ш
ком?

Решение
. Вы, конечно, догадались, что эта задача иллюстриру
ет
п
о-
следний
из пер
е
численных
случ
аев

сохранения импульса системы. В
процессе
посадки» барона на ядро на систему
ядро

+

барон»
де
й
ст
-
вуют внешние силы


это силы тяжести и силы сопротивления во
з
духа.
Но барон столь ловок и уст
раив
а
ется на ядро столь быстро,

что им
-
пульс этих
конечных
сил
за время посадки» барона
на
ядро
знач
и-
тель
но меньше
по величине
импульса

ядра

непосредственно п
е
ред
посадк
ой
»
.
Тогда скорост
ь


ядра
за мгновение
до
встречи со ск
а-
зочным персонажем и скорость

системы барон на
ядр
е»

связ
а
ны
зак
он
ом

сохранения импульса си
с
темы


2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

15

так что

скорость ядра
сразу
после того,
как
Мюнх
г
аузен устроится на
н
ё
м поудобнее, уменьшится в 6 раз. Следовательно
,

в такое же число
раз уменьша
тся
:

длительность пол
ё
та (равная удвоенному ч
а
стному
от
деления
начальной вертикальной составляющей скорости на велич
и
ну
ускорения свободного падения)
и горизонтальная составляющая ск
о-
рости. Дальность пол
ё
та, равная произведению этих величин, умен
ь-
шится в 36 раз, тогда
оставшиеся
после
благополучного призе
м
ления

расстояния до неприятельского лагеря, барону предстоит пройти
пе
ш
ком!

Пример


7
.
На гладкой горизонтальной поверхности лежит
соломинка массой

и длиной

Жук м
ассой

перемещается по
сол
о
минке с одного конца на другой
.
На

какое
расстояние

пе
реме
стится

сол
о
мин
к
а?

Решение.

Рассмотрим систему тел жу
к

+

со
ло
мин
ка». На каждом
элементарном промежутке времени приращение

импульса

этой
системы равно суммарному импульсу действующих на систему
внешних сил: т.

е. сил тяжести и
силы
нормальной реакции


здесь

скорость
соломинки
,

скорость
жу
ка
. Обе скорости
определены
в лабораторной системе отсч
ё
та
.

Сумма сил тяжести и
нормальной реакции
равна нулю
.

Т
огда
импульс системы

жу
к

+

со
ло
мин
ка»
в процессе движения оста
ё
тся постоянным, равным своему
начальному зна
ч
е
нию,


Поско
льку задано перемещение
жук
а в системе отсч
ё
та, связанной с
со
ло
ми
н
кой,
обратимся к

правилу сложения скоростей


здесь

скорость
жук
а относительно
со
л
о
мин
ки.
Перейд
ё
м в этом
равенстве к проекциям на
горизонтальную
ось
, пол
у
чим


С уч
ё
том правила сложения скоростей закон сохранения импульса
пр
и-
нимает
вид

т.

е. в любой м
о
мент времени
2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

16

.

Тогда
элементарны
е

перемещения
:


с
о-
ло
мин
ки

относительно

лаборато
р
ной системы отсчё
та
и

жу
ка

относительно

со
ло
мин
ки
,

связаны соотнош
е
нием


Суммируя элементарные перемещения по все
му времени
движения

и
переходя к абсолютным величинам
,

приходим к ответу
на вопрос за
-
д
а
чи
:


Пример № 8.
Клин массой

и углом наклона к гор
и
зонту


находится на гладкой горизонтальной п
о
верхности стола (см. рис.

9
).
Ч
ерез

блок,

укрепл
ё
н
ный
на

вершине
клина, пе
рекинут
а
л
ё
гкая нить, связ
ы-
вающая

грузы, массы которых
равны

и
.

Груз массой

м
о
жет
скользить

вдоль

вертикальной
напра
в-
ляющей
,

закреп
л
ё
нно
й на клине.
Этот груз удерживают неподви
ж
н
о на
расстоянии

от стола, а затем
отпускают. В результате грузы и клин движутся пост
у
пательно. На какое
расстояние

сместится клин к моменту удара груза массой

о стол?
Массы блока и направляющей

считайт
е

прен
е
брежимо м
а
лыми.

Решение
.

Рассмотрим

систему

тел

к
лин
+

грузы
»

(рис. 10)
.

На

каждом

элементарном

промежутке

времени

при
ращение


импульса

сист
емы

равно

сум
марному
импульсу действующих на сис
тем

внешних

сил

(рис. 10):

тяжести

и

нор
мальной
реак
ции
гори
зонтальной
опо
ры


Проекции сил тяжести

и

нормальной

реакции на

горизонтальную

ось

Рис
.

9

Рис
.

10

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

17

нулевые.
С
ледовательно
,

в процессе движения горизонтальная состав
-
ляющая
импульс
а
систем
ы

к
лин

+

грузы
»
оста
ё
тся
постоянн
ой
,
равн
ой

своему начальному значению



нулю
:


здесь

проекция скорости клина и груза массой

н
а
гор
и
з
о
н
-
тальную ось,


проекция скор
о
сти
груза массой

на эту же ось.

В

системе отсч
ё
та, связанной с клином
,
модули
любых элеме
н
тарных
перемещени
й

грузов
ра
вны

вследствие нераст
я
жимости нити
.

Следов
а-
тельно
,

в

это
й системе

модуль перемещения л
ё
гкого гр
у
за в пр
о
екции
на горизонтальную ось
за время движения рав
ен
.

Тогда во
с-
пользуемся результатами предыдущей задачи.
П
о правилу сложения
скоростей

,

здесь

скорость
л
ё
гкого груза в системе о
т-
сч
ё
та
, связанной с
клин
ом
. С уч
ё
том этого соотношения закон сохран
е-
ния импульса прин
и
мает вид


Отсюда

находим связь проекций скорости


и
элементарны
х

перемещени
й
:


где

перемещение
к
ли
на

относительно

лабораторной системы,


проекция п
е
ремеще
ния л
ё
гкого груза
на горизонтальную ось
в
системе
отсчета, связанной с
клин
ом
.
Суммируя элементарные пер
е-
меще
ния по всему времени дви
жения

и переходя к абсолютным вел
и-
чинам
,

приходим к ответу на вопрос зад
а
чи
:


Рассмотренн
ые примеры
подч
ё
ркивают
важную роль законов сохр
а-
нения.

Решение прямой задачи динамики, т. е. определение траектории
по заданным силам и начальным
условиям, упрощается в тех случаях,
2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

18

к
о
гда
уда
ё
тся заменить уравнения Ньютона другими, эквивалентными
им, но не содержащими ускорений. Эти уравнения, являющиеся мат
е-
мат
и
ческ
им следствием уравнений Ньютона

и связывающие скорости

м
п
ульсы)
точек
с

их координ
ат
ами
, называют законами сохранения.
Проиллюстрируем это на примере задач
о
столкновени
ях

ча
с
тиц.

§
5
.

Задачи на с
толкновения и законы сохранения

импульса и эне
р
гии

В физике под столкновениями понимают процессы взаимодейс
т
вия
между телами (частицами) в широ
ком смысле слова, а не только в бу
к-
вальном


как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на бол
ь
шом
расстоянии являются свободными. Проходя друг мимо друга,
тела

вз
а-
имодействуют между собой, в результате могут происходить раз
ли
ч-
ные процессы



тела могут с
оединиться в одно тело (
абсолютно н
е-
упругий удар)
, могут возникать новые тела и, наконец, может иметь м
е-
сто
упругое столкновение
, при котором тела после некоторого сближ
е-
ния вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния.
Столкновения, сопрово
ждающиеся изменением внутреннего состояния
тел, называются
неупругими
.

Тела (частицы)
,

участвующие в столкн
о-
вении, характеризу
ются (до и после столкновения)
импульсами, эне
р-
гиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в
результате взаимоде
йствия. Законы с
о
хранения энергии и импульса
позволяют достаточно просто устан
а
вливать соотношения между ра
з-
личными ф
и
зическими величинами при столкновении тел. Особенно
ценным здесь является то обстоятельство, что зачастую законы сохр
а-
нения могут быть исп
ользованы даже в тех случаях, когда действу
ю-
щие силы неизвестны. Так обстоит дело, например, в физике элеме
н-
тарных ча
с
тиц
.

Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопи
-
ческих тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими


уже хотя б
ы потому, что они сопровождаются некоторым нагрев
а
нием
тел, т.

е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Тем не ме
-
нее,

в физике понятие об упругих столкновениях играет важную роль



с такими столкновениями часто приходится иметь дело в ф
и
зическо
м
эксперименте

в области атомных явлений, да и обычные столкновения
можно часто с достаточной степенью точности считать упр
у
гими.

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

19

Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено
тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляе
т
либо изолированную систему, т.

е. на тела, входящие в систему, не
действуют внешние силы, либо замкнуту
ю: внешние силы отличны от
нуля
, а сумма внешних сил равна нулю. Несколько сложнее обстоит
дело с применением закона сохранения энергии при столкновени
ях.
Обращение к сохранению энергии
требует порой уч
ё
та различных
форм внутренней энергии.

Можно сказать, что действие законов сохранения импульса и
энергии в процессах столкновения подтверждено широким спектром
опы
т
ных данных.

Переходя к

характерным приме
рам,
отмет
им, что
и
сследование
столк
новений традиционно проводится

как в лабораторной системе
отсч
ё
та (ЛСО), т.

е. в инерциальной системе отсч
ё
та, связанной с
лабораторией, где проводится опыт, так и в системе центра масс,
с
котор
ой Вы познакомитесь в след
ующих

Задани
ях
. Напомним также,
что центральным ударом шаров (шайб), называют удар, при котором
скорости шаров (шайб) направлены вдоль прямой, проходящей через
их центры.

Неупругие столкновения

Пример

№ 9.

Частица массой

с кинетической

энергией

сталкивается с неподвижной частицей массой
.

Найдите приращение

внутренней энергии системы частиц в результате абсолютно
неупруго
го
столкнов
е
ния

(слипания»)
.

Решение
.
Рассмотрим абсол
ютно неупругий удар двух тел в ЛСО.
Налетающая частица движется до столкновения в положительном
направлении оси

со скоростью
,

кинетическая энергия частицы
.

В результате абсолютно неуп
ругого удара (слипания) час
-
тицы движутся с одинаковой скоростью

По закону сохранения и
м
-
пульса


По закону сохранения энергии


2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

20

Из привед
ё
нных соотношений находим


Отметим, чт
о в предельных случаях



Как ви
дим, при неупругом столкновении

л
ё
гкой частицы с массивной
(например, электрона с атомом) происходит
почти полный

пере
ход

е
ё

кине
тической энергии
во внутреннюю энергию
массивной частиц
ы
.

При равенстве масс


Отсюда следует, например, что при столкновении двух одинаковых ав
-
томобилей, один из которых неподвижен, а другой движется по на
-
правлению к нему, половина кинетической энергии ид
ё
т на разрушен
ие.

Упругие столкновения

Пример

№ 1
0
.
На гладкой горизонтальной поверхности лежит
гладкий шар массой

На него налетает гладкий шар
того же радиуса
массой

движущийся со скоростью

П
роисходит упруг
ий
центральный удар

шаров
. Найдите скорости

и

шаров после
соударения. При каком условии налетающий шар будет двигаться
после соударения в прежнем направлении?

Решение
.
Задачу рассмотрим в ЛСО, ось

которой направим по
линии центров
шаров

в момент соударения
. Внешние силы,
действующие на шары в

процессе соударения, это силы тяжести и силы
нормальной реакции опоры. Их сумма равна нулю.
Следовательно,

импульс системы шаров в процессе взаимодейств
ия не изменяется. По
закону сохранения и
м
пульса


Переходя к проекциям на ось

получаем


здесь учтено, что направление скорости

налетающего шара после
соударения неизвестно
. По закону сохран
е
ния
энергии

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

21


Полученн
ые соотношения перепишем в виде


.

Разделив второе равенство на первое


приходим к линейной
системе




решение которой имеет вид



Налетающий шар будет двигаться после соударения в прежнем н
а
прав
-
лении

при
,

т.

е. если масса

налетающего шара
больше
массы покоящегося шара
.

Пример № 11.
Две гладкие упр
у-
гие круглые шайбы движутся п
о
ст
у-
па
тельно
по гладкой горизо
н
тальной
поверхности
. С
корости

и

шайб непосредственно перед соуд
а-
ре
нием
известны и показаны

на

рис.
11.

Найди
те
скорости

и

шайб
после

а
бсолют
но упругого н
е
це
н-
трального

соударения
.

Массы

шайб

и

Решение
.

Задачу рассмотрим в
И
СО, оси координат

и

кот
орой лежат в горизонтальной пло
с-
кости, при

этом ось

направлена по

ли
нии

цен
тров

шайб
в

момент
соударения
(рис. 11). В

течение

врем
е
ни

соударе
ния
на систему шайб
действуют только вертикальные внешние силы: это силы тяжести и с
и-
л
ы нормальной реакции. Их су
м
ма равна нулю. Тогда
импульс системы
шайб в процессе

взаимодейст
вия
сохра
ня
е
т
ся
:


Рис
. 11

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

22

здесь


импульсы шайб до
и
после соударения.

Так как шайбы идеально гладкие, то в проц
ессе соударения внут
-
ренние силы


силы упругого взаимодействия


н
а
правлены только по
оси

Эти силы не изменяют

составляющие импульсов шайб.
Тогда из


находим

составляющие скоростей
шайб после соуд
а
рения



т.

е. в проекции на ось

скорости шайб в результате соударения не
измен
и
лись.

Найд
ё
м

сос
тавляющие скоросте
й шайб после
упругого
соударения. При таком соударении сохраняется кин
е
тическая энергия


С уч
ё
том равенства

составляющих скоростей шайб до и после со
-
ударения последнее равенство пр
и
нимает вид
:


Обратимся к закону сохранения импульса и перейд
ё
м к проекциям им
-
пул
ь
сов шайб на ось



Таким образом
,

исходная задача сведена к задаче об абсолютно у
п
ру
-
гом центральном ударе: именно

такой вид приняли бы законы с
о
хра
-
нения энергии и импульса, если бы скорости шайб были напра
в
лены по
линии центров. Полученную нелинейную систему уравнений мо
ж
но
свести к линейной. Для этого следует (как и в предыд
у
щей задаче) в
обоих уравнениях по одну сторону знака равенства объедин
ить слагае
-
мые, относящиеся к первой шайбе, а по другую


ко второй, и ра
з
де
-
лить

полученные соотноше
ния
. Это приводит к линей
ному
уравнению

.

Решая систему из двух последних уравнений, нах
о
дим

,

.

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

23

Полученные соотношения для


и

решают вопрос о
проекциях и
величинах скоростей шайб после с
о
ударения




а также

об углах

и
,

которые векторы скорости

и

обр
а
зуют
с положительным направл
е
нием оси
,





Построенное

в общем виде решение задач упр
у
гого централ
ьного и
нецентрального соударений о
т
крывает дорогу к анализу целого ряда
задач, для которых рассмотренная модель соответствует характеру вз
а-
имодействия тел (частиц). Привед
ё
м

прим
е
р.

Пример № 12.
Гладкая круглая шайба массы

движется с
о ско
р
о
стью

вдо
ль хорды, расстояние
до которой

от центра гладкого тонк
о
го однородн
о-
го обруча
равно

(рис.
12
). Обруч массы

и
ради
у
са

лежит на гладком горизонтальном ст
о-
ле. Ч
ерез какое время

п
о
сле первого удара шайба
окажется

на мини
мальном расстоянии

от

це
н
тра

дви
жущегося обруча?

Каково
это

рас
стояние?

Удар
считай
те

аб
с
о
лютно

упр
у
гим.

Решение
.
Воспользуемся результатами
,
полученными

в предыд
у-
ще
м примере.

В ЛСО,

ось

которой направлена по линии центров
шайб
ы и обруча в момент соударения,

проекции скорости шайбы и
центра обруча на ось

после соударения равны соответс
т
венно



з
десь


проекция скорости шайбы на ось

до соуд
а
ре
-
ния,

обруч до соудар
е
ния покоился.

Из этих соотношений следует, что в системе отсч
ё
та, связанной с о
б-
ручем,
проекция скорости
шайбы
на лини
ю центров
после соудар
е
ния

Рис
.

12

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

24


просто изменила знак, а перпендикулярная
линии центров
составля
ю-
щая, как было
показано
, в рассматриваемом соударении
не изменяе
т
ся.
Следовательно,
в системе, связанной с
обруч
ем
,

ша
йба

отр
а
зится по
закону уг
ол падения равен углу отражения» и минимальное рассто
я-
ние
от шайбы
до центра обруча снова будет равно

Искомое вр
е
мя


Контрольные вопросы

1.

Какие системы отсчёта называют инерциальными? Наблюдатель,
стоящий на остан
овке, видит
троллей
бус
,

движущийся прямолинейно и
ускоренно. Будет ли инерциальной система отсчёта, связанная с
тро
л-
лейбусом
? Ответ обо
с
нуйте.

2.

Приведите определения: импульса материальной точки, приращ
е-
ния импульса материальной точки за время от

до

и импульса
силы, действующей на ра
с
сматриваемую точку,
за время от

до
.

3.

Сформулируйте теорему об изменении импульса материальной
точки
.

У
пражнение.

Материальная т
очка массой
кг движется в о
д-
нородном силовом поле. В некоторый момент времени её ск
о
рость

м/с. В результате действия неизменной по величине и направл
е-
нию силы

вектор импульса материальн
ой точки через
с р
а
вен
начальному по модулю и составляет угол
с вектором
. Найдите
величину

силы, действующей в однородном поле на мат
е
риальную
точку, и угол
, который вектор

силы образует с вект
о
ром
.

4
. Приведите определение импульса системы матер
и
альных т
очек.

5.

В каких случаях сохраняется импульс системы материальных т
о-
чек, в том числе и при
наличии внешних сил?

6.
Допустим, что в изолированной системе, состоящей из двух

мат
е-
риальных точек, внутренние силы не удовлет
воряют

третьему закону
Ньютона, т. е.
. Будет ли сохраняться импульс такой

системы
? Ответ п
о
ясните.

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

25

7.

Сфо
рмулируйте теорему об изменении импульса системы матер
и-
альных точек.

У
пражнение.

Снаряд массой

кг, выпущенный со скоростью
м/с под углом

к горизонту, через
с разр
ывае
т
ся
на осколки. Через какое время

после разрыва снаряда сумма
р
ный
импульс

осколков будет направлен горизонтально, если извес
т
но
,

что все осколки ещ
ё

находятся в полете? Найдите

в э
тот момент
времени. Силы сопротивления воздуха, действующие на снаряд и
ос
колки,
не учит
ы
вайте.

8.

Какие соударения называют
неупругими?

У
пражнение.

На катке навстречу друг другу едут хо
к
кеист массой
кг
и судья массой
кг, их скорости равны
м/с и
м/с соответственно
. Происходит абсолютно неупругое столкн
о-
вение
. Найдите убыль
суммарной
кинетической э
нергии участников
столкновения.

9.

Каки
е соударения называют упругими?

Упражнени
е.
Движущаяся по гладкой горизонтальной поверхности
шайба налетает на
покоящуюся шайбу. После абсолютно упругого це
н-
трального удара обе шайбы движутся с одинаковыми по абсолю
т
ной
величине скоростями. Найдите отношение

масс
покоившейся и
нал
е
тающей шайб.

Задачи

1.
К телу массой
кг, первоначально покоившемуся на шер
о-
ховатой горизонтальной поверхности, прикладывают в течение врем
е-
ни
с горизонтальную с
и
лу. Коэффициент трения скольжен
ия
тела по поверхности
.

Найдите проекцию

импульса
тела в
момент времени
с в сл
е
дующих случаях:

а) сила не изменяется со временем, е
ё

величина равна
Н,
направление

действия силы неизменно;

б) величина силы равномерно по времени уменьшается от
Н
до нуля,
направление действия силы неи
з
менно.

Считайте, что тело движется поступательно.

Н
аправление
действия
с
и
лы совпадает с положительным направлени
ем оси

OX
.

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

26

2.
С летящего прямолинейно и параллельно поверхности Земли с
а-
молёта сбрасывают груз массой

Скорость груза
.

Как далеко (по
гори
зонтали)
от точки сбрасывания может оказаться груз, если при
движении в

воздухе на груз действует сила
сопротивления воздуха
пропо
р
циональная скорости

груза


3.
Шайба
массы

летит с горизонтальной
скоростью

на высоте
.

После удара плашмя о горизонтальную поверхность льда, шайба
подскакивает на прежнюю высоту.

В момент отрыва от поверхности
льда вектор скорости шайбы образует угол

с

вертикал
ью

.

Найдите коэффиц
иент

трения скольжения шайбы по поверхности льд
а.

4.
Клин массы

стоит

на шероховатой горизонтальной
повер
х
ности. По гладкой наклонной плоскости клина, образующей
угол

с горизонтом,
прямол
инейно соскальзывает
шайба той же
масс
ы.
Коэффициент трения скольжения клина по
горизонтальной
поверхности

.

Какую по величине
и направлению
горизонтальную силу
следует приложить к клину, чтобы удерживать
е
го неподвижным
?

5.
Соломинка масс
ы


и длин
ы


лежит н
а гладкой
горизонтальной поверхности. На
концах соломинки сидят два жука, их
массы


и
.
Одновременно жуки пополз
ли навстречу друг другу со
скоростями

и

относительно соломинки. С какой
скоростью

движется при этом
соломинка? Найдите перемещение

соломинки
к тому моменту
времени, когда жуки поменяются местами.

6
. Вагон массой

m
1
, движущийся по
прямолинейному

горизонтал
ь-
ному пути,
сталкивается с другим движ
у
щимся по этому пути вагоном
ма
с
сой
m
2

и сцепляется с ним. В
процессе сближения расстояние между
ва
гонами

с
о
кращалось
с
о
скоростью
.

Найдите убыль

к
и
нетической энергии вагонов в результате неупругого столкновения.
Действие сил трения считайте пренебрежимо м
а
лым.

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

27

7
.
На железнодорожной тележке массой

жё
с
тко закрепл
ё
н ве
р
тикальный щит,
повернутый на угол

от перпендикуляр
н
о-
го рельсам положения (
рис. 13
). В щит бр
о-
сают мешок массой
с песком
.

Г
ор
и
зо
н-
тальная составляющая начальной скорости
мешка
равна

и направлена
перпендик
у-
лярно

рельс
ам
. Найдите скорость

тележки
п
о
сле того, как

мешок
,

ударившись о щит,
сполз по нему

вниз и упал на т
е
лежку
.

Тр
е-
нием мешка о щит и сопротивлением дв
и-
жению тележки

можно пренебречь. До удара
тележка была неп
о
движ
на.

8.
Шайба движется по гладкому горизонтальному столу и налетает
на такую же неподви
жную шайбу. После удара шайбы
разлетаются
симметрично относительно направления начальной скорости, под уг
-
лом

друг к другу. Какая
часть кинетическ
ой энергии налета
-
ющей шайбы переш
ла в тепло
ту
?

9
.
Запущенный

вертикально вверх снаряд разорвался в
высшей то
ч-
ке траектории на четыре осколка. Оско
л
ки массами
кг,
кг,
кг
полетели: п
ервый
со скоростью
м/с
вертикально вниз,
второй со скоростью
м/с

горизонтально на север, третий

со скоростью
м/с
горизонтально на восток. Под к
а
ким углом

к горизонту пол
етел четвертый оск
о
лок?

1
0
.

Шайба массой
кг скользит
по гладкому горизон
-
тальному столу
со скоростью
м/с. Навстречу ей движется
шайба
массой
кг
со скоростью
м/с. Ц
ентры шайб движутся по
параллельным прямым. Между шайбами происходит абсолютно
упругий нецентральный удар. Во сколько раз изменится кинетическая
энергия первой шайбы в результате соударения? Шайбы гла
д
кие.

11
.

Массивная плита удаляется от неподвижно
го мяча с постоянной
скоростью
м/с, направленной по ве
р
тикали вниз. В тот момент,
когда мяч находился на расстоянии
м от горизонтальной п
о-
верхности
плиты, его отпускают.
На какое максимальное расстояние
Рис.

13

2
01
4
-
201
5

уч. год
, №1, 10 кл. Физика.

Изменение и сохранение импульса и энергии в механике



201
4
, ЗФТШ МФТИ,
Плис Валерий Иванович

28


от плиты удалится мяч после абсолютно упругого соударения с
плитой?

Масса
мяча

во много раз

меньше ма
с
сы плиты.

1
2
.

На пути шайбы, скользящей по
гладкому горизонтальному столу,
находится глад
кая
незакреплённая

подвижная
горка (
рис. 14
).

Ш
айба
въезжает на
г
орку,

движется по ней

и
соскальзывает с

горки. После этого
шайба и горка движутся с одинаковы
ми по величине скоростями.
Найдите отношение

масс

шайбы и горки. Какую долю

от
начальной кинетиче
ской энергии шайбы составляет наибольшее
приращение потенциальной энергии шайбы

в процессе движения по
горке?
Движение шайбы по горке безотрывное.

Дополнительные задачи

1.

Подвижный к
лин массой

с прямым
углом в вершине и углом


при
о
сновании (
рис. 15
) находится на

гладкой
горизонтальной

поверхности.

Через блок,
укреплённый на вершине клина, перекинута
нить, связывающая грузы, массы которых
равны

и
. Первоначально
систему
удерживают в неподвижном состоянии, а затем отпускают. В
результате грузы и клин движутся поступательно. На какое расстояние

переместится клин по горизонтальной пов
ерхности к тому моменту,
когда
груз массой

переместится по вертикали на
см?

Массы
блока и нити считайте пренебрежимо малыми. Трения нет.

2
.
Решите
Задачу №
7
, приняв в условии, что

мешок, ударившись о
щит, сполз по нему вниз и упал с тележки.


Рис.

14

Рис.
15


Приложенные файлы

  • pdf 4930263
    Размер файла: 706 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий