АНАЛИЗ ВРЕМ РЯДОВ тираж.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
1











Е. А. Куимов


И. М. Певзнер

М. З.
Певзнер



АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ, МОНИТОРИНГ

И УПРАВЛЕНИ
Е

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ

ПРОЦЕССАМИ


Учебно
-
методическое пособие


2



3


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ

БЮДЖЕТН
ОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБР
А
ЗОВАНИЯ


«ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»



Факультет автоматизации машиностроения


Кафедра технологии машиностроения





Е.

А. Куимов


И.

М. Певзнер

М.

З.
Певзнер



АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ,

МОНИТОРИНГ

И УПРАВЛЕНИ
Е

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ

ПРОЦЕ
С
САМИ


Учебно
-
методическое пособие














Киров

2014

4


УДК
004.9:519.2
:(621+669)

К
895

Допущено к изданию методическим советом факультета автоматиз
а
ции машиностроения ФГБОУ ВПО «ВятГУ» в качестве уче
б
но
-
методического пособия для студентов
направлений

151900
.62
,
151900
.6
8 «
Конструкторско
-
технологическое обеспечение машин
о
строительных про
изводств», 150700
.62

«Машиностроение»

всех пр
о
филей подготовки, всех форм обуч
е
ния


Рецензент

заведующий кафедрой

информ
ационных технологий в машиностроении

ФГБОУ ВПО «
ВятГУ
»
, доцент,

ка
н
дидат
т
ехнических
н
аук

С.

П
.
Грачѐв


Куимов, Е.

А.

К
895
Анализ
временных рядов
, мониторинг

и управлени
е

технологич
е
скими процессами

/ Е.

А. Куимов,

И
.

М. Певзнер,

М.

З. Певзнер.


Киров :

ФГБОУ ВПО «
Вя
т
ГУ
»
, 201
4
.


3
3

с.

УДК
004.9:519.2
:(621+669)



Учебно
-
методическое пособие

предназначено

для студентов напра
в
лени
й

151900.62, 151900
.6
8 «
Конструкторск
о
-
технологическое обеспеч
е
ние

машин
о
строительных производств», 150700.62 «Машиностроение»
по
дисциплинам
«
Математическая обработка экспериментальных данных
»,

«
Пр
и
кладная статистика
»
,
«
Основы научных исследований
»
, «
Статистический
контроль качес
т
ва
»
,
«
Метод
ология

научных исследований
»
.



Тех. редактор А.В. Куликова


© ФГБОУ ВПО
«
ВятГУ
»
, 2014
3


ОГЛАВЛЕНИЕ


ВВЕД
Е
НИЕ
……...……..........................................................
.............
..
...
...........4

1.
Подготовка к проведению анал
и
зов.
.
……...
.........
.........................
..
……
..
...
6

2.
Освоение
инструментов

алгоритмического
сглаживания

временных р
я
дов.
.
…………………………………
..
………...
………
..
…….
...
7

3. Освоение
инструмент
а

и функций

аналитического
сглаживания

в
ременных

р
я
дов.
.
……...……………………


...
…………………...……1
1

3.
1.
Инструмент
анализа «Регре
с
сия».....
…...
..
…………………….....
1
1

3.2.
Статистические
функци
и

MS
Е
xcel,

основ
анные


н
а
линейной регре
с
сии……...…
..
.

…………………………………
..
1
5

3.3.
Статистические функции

MS
Е
xcel
,

основанные

на нелинейной регрессии. ……………………...……
……………
.

..
20

4. Графический анализ
тренда временного р
я
да

………
…..
………
…..

2
4

5. Освоение инструмента
«Анализ Фурье»

про
граммы MS Е
xcel

…..

.
2
6

6. Использование возможностей программы MS
Excel
для

статистического анализа процесса и управления
процессом

методом

построен
ия контрольных карт Шуха
р
та
…………………………
….

……2
8

6.1. Построение
контрольной карты
с помощью графических


опций програ
м
мы
…………………………………………
…………...2
8

6.2.
Опробование работы

контрольной карты
, получаемой


с использованием
заранее
созда
нного

шабл
о
на
……………
……
.
…..
2
9

Библиографический сп
и
сок…………………………
……………



…..
3
2

4


ВВЕДЕНИЕ


Характери
стики качества, например
,

размер

последовательно изг
о
тавливаемых изделий
, а

также
последовательно контролируемые технол
о
гические параметры производственного проц
есса


всѐ это представляет
собой

временны
е

ряд
ы

ряд
ы

динамики
,

time

series
, ВР
).

Обычно это еди
н
ственная информация о процессе производства, которую необходимо и
с
пользовать для управления процессом. Поэтому

теория
ВР

[
1

3
]



одна из
основных областей мат
ематической статистики


является одн
о
временно и
одной из
сам
ых

необходим
ых

для
решения
технолог
ических
, исследов
а
тел
ьских задач
. Именно на еѐ основе разработаны основные
междунаро
д
ные и отечественные
нормативные документы

по управлению
произво
д
с
т
венным пр
оцессом и качеством
гот
о
вого

продукта
, например

стандарты
[
4
,
5
]
.

Очевидно, эффективность процесса управления, особенно непреры
в
ным производством, определяется его оперативностью; идеальным случ
а
ем является управление производством в режиме «
on

line
», но э
то требует
использования стандартных методик
, основанных, в частности, на п
о
стр
о
ении контрольных карт

и современных информационных технолог
и
ях
.

Настоящее

издан
ие включает методические указания по
выполне
нию
в дисплейных классах

лабораторн
ой

работ
ы по анал
изу данных, получе
н
ных при последовательном контроле параметров производственных пр
о
цессов характеристик технологии и качества. В частности, предлагается
освоение приѐмов пользования инструме
н
тами анализа, статистическими
функциями и графическими опциями

программы
MS

E
x
cel
, позволяющими
производить
множество

разноплановых операций:

1.
Алгоритмическ
ое
сглаживание
ВР
, уменьшающее влия
ние сл
у
чайной составляющей ряда за счѐт локального усреднения данных, при к
о
5


тором несистематические компоненты взаимно погаша
ют друг друга
.

Тем
самым систематические составляющие
ВР

выявляю
тся

более н
а
глядно.


2. Аналитическое
сглаживание
ВР
, позволяющее установить линию
тренда, определяющую основную закономерность развития
ВР
. Для этого
используется инструмент анализа данных «Р
егрессия» линия
тренда

пе
р
вого порядка и разнообразные статистические функции, аппроксимиру
ю
щие расположение точек
ВР

не только прямой линией, но и экспоненц
и
альной кривой.

3.
Сглаживание
ВР

с использованием
графических опций програ
м
мы
,
аппроксимирующих
расположение точек
ВР

разнообразными фун
к
ц
и
ями, включающими полином до 6
-
й степени включительно и позволя
ю
щих при этом получать результаты аппроксимации ряда в виде уравнения
и к
о
эффициента детерминации.

4.

Спектральный анализ
Фурье
ВР
,
выявляющий
имеющиес
я в них
скрытые периодические составляющие.

5.
Построение

в рамках
программы

MS Excel

контрольной карты,
предназначенной

для мониторинга
и управлени
я

производственным пр
о
цессом
,

двумя сп
о
собами:



с помощью вставки диаграммы типа «График» с маркерами, пом
е
чающими уровни
ВР
;



на основе заранее построенного шаблона

контрольной карты.

Ра
с
смотрен пример построения
X
-
R

контрольной карты и приѐм
ы

еѐ испол
ь
зования для совершенствования т
ехнологически
х

пр
о
цесс
ов.

Таким образом,
работ
а имеет целью закрепление теоре
тических зн
а
ний и приобретение навыков по использованию общедоступной офисной

программы
MS
Excel
для
анализ
а

ВР

и управления производственным
процессом с целью повышения его эффективности и качества готовой

пр
о
дукции.

6


1. Подготовка к проведению анализов


1.1. Повторить теоретические вопросы по
анализ
у

данных с пом
о
щью Microoft Excel
[
6, 7
],
статистически
м

метод
ам

в управлении кач
е
с
т
вом пр
о
дукции

[
4,

5
, 8
]

и

методам анализа
ВР

[
1

3
]
.

1.
2.

Открыть

файл
MS

Excel
«
лаб. В
ременные ряд
ы». Здесь
на листе
«задан
ия и результаты»

в столбцах представлены периодически контрол
и
руемые
данные:
значения усилия резания 
P
,
н, по
дачи
различных и
н
с
т
рументов
S, мм, размеры обработанной д
е
тали dH, dh, мм

и т.

д
.

1.3. Выбрать для анализа
случайным образом

вариант столбец
 и
с
ходных данных, предназначенный для Вашей последующей работы. Для
этого

выполнить следующие действия
:

1.3.1.
Открыть инструмент анализа «Выборка»

программы MS Excel

и установить сл
у
чайный метод выборки, рис. 1.



Рис. 1.

Инструмент анализа «
Выборка
»



1.3.2. Вставить во «Входной интервал»
строку

номеров вариантов


с первого по три
надцатый, а в «Число выборок»


число 1 и нажать «ОК».

1.3.3.
Согласовать с преподавателем
номер

«выпавш
его
»
варианта
.

1.3.4. Удалить с листа «невыпавшие» варианты или пере
нести на н
о
вый лист Ваш вариант с номерами контроля слева и таблицей результ
а
тов анализа спр
а
ва.

7


2. Освоение
инструментов
алгоритмического
сглаживания


временных р
я
дов


Примечани
е

1
:

алгоритмическо
е

сглажива
ние представляет с
о
бой некоторый способ
лока
льного

усреднения данных, при котором нес
и
с
тематические ко
м
поненты взаимно погашают друг друга.

2.1
.

Сглаживани
е
методом
«
простой

скользяще
й

средне
й
»
,

при кот
о
ром каждому значению
«
окна» придаются одинаковые «веса»
.

(
При
более
сложных

вариант
ах

сглаживани
я

многочисленными методами
«
взвеше
н
ной скользящей средней
»

усредн
е
ни
е

влияни
я

исходных данных на
р
е
зультирующее

значение различается в зависимости от

места

их распол
о
жения в
«
окне».


2.1.1
.

Перенести ряд значений



контроля

и ряд значений выбра
н
ного вариа
нта контролируемой характеристики на лист «сглаживание», а
затем
открыть

инструмент

анализа
«Скользящее среднее»

рис.
2
)
.





Рис.
2
.

Опции инструмента
анализа «Скользящее среднее»


2.1.2
.

Ввести во «Входной интервал» анализируемый
ВР
.

2.1.3
. В качес
тве аргумента «Интервал», выражающего ширину
(
ра
з
мер
)
«
окна»
m
, то есть

число уровней, входящих в интервал сглаживания
,

по которому

усредняется
ВР
, вв
ести

числ
о

3
.

8


2.1.4
.

Установ
ить «галочки» в

аргументы
«
Стандартные погрешн
о
сти»

и «
Вывод графика
», в резу
льтате чего

в

выходно
м

диапазон
е появл
я
ется

дополнительный

столб
е
ц
со

значения
ми

стандартных погре
ш
ностей
и
диаграмм
а с графиком усреднѐнных значений

ВР
.

2.1.5
.

При нажатии
«
ОК
»

определяют
ся

значени
я

скользящей средней


при услов
ии, что
ширина окна
m=2p+1



неч
ѐ
т
ное

число

(
обычно
рекомендуемое

в интервале от 3 до 7
)
, по формуле





(1)

где



значение
рассчитанной

скользящей средней

j

го уровня
,


m



«размер окна»
,



текущий уровень
исходного
ВР
,

j

=
i



p
,


i



порядковый номер уровня

исходного
ВР
.

2
.1.6
.

В качестве аргумента «Интервал»

инструмента анализа
«Скользящее среднее»
, выражающего
ширину
(
размер
)
«
окна»
m
,

ввести
число

7
и п
о
вторить п.п.
2
.1.3

2
.1.5
.

2
.1.7.
Сравнить
графики
трѐх
ВР
:
исходн
ого

ряда
и

ВР,

полученн
ых

при
m

 3 и
m

=7
.
В файле
«лаб. В
ременные ряд
ы»
сделать
заключение о

влиянии ширины
«окна»

на эффективность

сглаживания.

Для большей н
а
гля
д
но
сти можно увеличить размер окна
)
.

Примечани
е

2
: для получения графика исходного
ВР

в
после
д
них версиях
MS
Excel

достаточно выделить ряд и в меню вставка выбрать
«т
о
чечная»
.

2.2
.

Освоение

метода
экспоненциального

сглаживания
.


2.2.1
.

О
ткрыть

инструмент

анализа
«
Экспоненциальное сглажив
а
ние
»

рис.
3
)
.


9



Рис.
3
.
Аргументы инструмента «Экспоненциальное сглаживание
»


2.2.2. Ввести во «Входной интервал» анализируемый
ВР.

2.2.
3.
Ввести

«
Фактор затухани
я
»
, который
представляет собой

ко
н
стант
у

экспоненциального сглаживания
α

(
корректировочный фактор, м
и
нимизирующий нестабильность данных генеральной совокупности
)
. О
б
ласть допустимых значений

фактор
а

затухания
:

0

α

1
, но

рекоменду
е
мы
е значени
я находятся в

пределах

0,1

α

0,5
, а по
умолчанию
в пр
о
грамме задаѐтся
α

=

0,3.

2.2.4
.

При нажатии
«
ОК
»

значения
результатов
экспоненциального

сглаживания

определяются
по

рекуррентн
ой

формул
е
,

когда

каждый
последующий член
ВР


выра
жается

чер
ез предыдущий член

:



,

(2)

где



взвешенное среднее текущего наблюдения
.

2.2.5
.

Установ
ив
фла
жо
к

на аргумент «
Вывод графика
»

и при жел
а
нии на

аргумент
«
Ст
андартные погрешности»
,
произвести
экспоненциал
ь
ное сглаживание

для двух вариантов
значения «
фактора
затухания»
:

α

=
0,1

и

α

=
0,5
.

10


2.2.
6
.

Сравнить исходный
ВР

и
ряды,
полученны
е
эксп
о
ненциальн
ым

сглаживанием
.
В файле
«лаб. В
ременные ряд
ы»
сделать заключ
ение
об
эффективности
экспоненциально
го

сглаживания и влиянии
на эту эффе
к
тивность величины
«фактора затухания»
.

2.2.
7.
Сравнить по эффективности оба способа сглаживания, выпо
л
ненные по п.п. 2.1.5 и 2.2.5
,

и
сделать сравнительное заключение об их э
ф
фективн
ости в файле
«лаб. В
р
е
менные ряд
ы»
.



11


3. Освоение
инструмента и функций
аналитического

сглаживания

временных рядов


3.1
.

Инструмент
анализа «Регрессия»


3.1.1.
Перенести ряд значений



контроля

и ряд значений выбра
н
ного варианта контролируемой характерис
тики на отдельный лист «р
е
г
рессия», а затем открыть
инструмент анализа «Регрессия»

рис.
4
)
, позв
о
ляющий получить коэффициенты

и

уравнения линейной регре
с
сии



Y
=

+

X
,

(3)

описывающе
го

зависимость

контролируемой характеристики
Y

от номера
контроля
.

То есть в данном случае в качестве единственного действующ
е
го фактора выступает номер
контроля
i
,
изменяющийся от 1 до
n
.



Рис.
4
. Окно инструмента
анализа «Регрессия»


12


3.1.2. Ввести во «Входной интервал
x
»
ряд значений



контроля

(1
-
й столбец, 400 значений, а во «Входной интервал
y
»


ряд точно соо
т
ветствующих

значений выбранного вариа
нта контролируемой характер
и
стики.

3.
1.
3.
Нажать «ОК», в результате чего будут получены
результаты
р
е
грессионного анализа
,

представленные как минимум если не включены
отмеченные
ниже

дополнительные
опции в виде трѐх та
б
лиц.

1.
Таблица

«
Регрессионная ста
тистика
»

включа
ет в себя

рассч
и
танные значения следующих показателей:




коэффициента корреляции
r
между номером контролируемой хара
к
теристики и еѐ значением
(
поскольку инструмент
«Регрессия»

используе
т
ся и в более общих случаях регрессионного анализа, наи
менование этого

коэффициента

«
Множественный R
»
, как и некоторых других
коэффицие
н
т
ов
,

не вполне соответствует их значению в конкретном случае данного

анализа
)
;




квадрата коэффициента корреляции
r
2

(
«
R
-
квадрат
»
,

иначе


коэ
ф
фициент детермин
а
ции

применител
ьно к
однофакторной зависимости
)
;




нормированного коэффициента
детермина
ции

, более объекти
в
но по сравнению с обычным

коэффициент
ом

детермина
ции

определяющ
е
го достоверность связи. Действительно, кроме
коэффициента корреляции

R

он учитывает также число опытов 
число контрольных испытаний
n
)

и
числ
о

факторов
k

(
в нашем случае
k

= 1
):



(4)



стандартн
ой

ошибк
и единичного наблюдения:

13




(5)



числа наблюдений
или числа контрольных испытаний
n
.


2. Таблица
«
Дисперсионный анализ
»

включа
ет

в себя

обусловле
н
ные регресси
ей

(
«
Регрессия
»
),

необусловленные
регрессией 
«
Остаток
»
)

и

сумма
р
ные:




число степеней свободы


df
;



сумму квадратов разностей

дисперсии
SS)
;



оценки дисперсий
, приходящ
их
ся на одну
степень свободы MS.

Кроме того, выводятся расчѐтное значение F
-
критерия
Фишера 
)

и
«
значимость F
»
.

Таким образом, в отличие от полного
дисперсионн
ого

анализ
а
[9]
, табличное
«
критическое
»

значение
F
-
критерия
Фишера

в да
н
ном случае не представлено. Поэтому вывод о существенности влияния
номера контроля

на

контролируемую характеристику
Y

в данном случае
м
ожно делать из сравнения величины
«
значимост
и

F
»

с принятым уровнем
доверительной вероятности
α
.
В случае
, если

«
значимость F
»


α
,

делается

вывод о существенности влияния
номера контроля на контролируемую х
а
рактеристику
Y

и правомерности проводимого регре
с
сионного анализа.

3.
Таблица
результатов собственно
регрессионного анализа

(
и
н
формаци
я

об уравнении регрессии
)

включа
ет

в себя:



значение

свободного члена


уравнения
(3)


(
«
Y

пересечение
» в
столбце «коэффициенты»
)
;





коэффициент

регрессии


уравнения 3


в нашем случае «
Пер
е
менная X 1
»
в стол
б
це «коэффициенты»
)
;




«
Стандартную ошибку
»

коэффициент
ов

регрессии
;


14




«
t
-
статистику
»



расчѐтные значения
коэффициент
ов

Стьюдента для
с
оответствующих
коэффициент
ов

регрессии
.

(
Их
для устано
в
ления достоверности обычно сравнивают с
«
критическим
»
, иначе

«табли
ч
ным»
,

значением
коэффициент
а

Стьюдента,

определяемым
для конкре
т
ных

числа наблюдений
n

и
числа

степеней своб
оды
f
,

у нас
f

= 1,
по
справо
ч
ной

таблице или
с помощью
функции

СТЬЮДРАСПОБР
);



«
P
-
Значение
»



вероятность значимости

для соответствующих
к
о
эффициент
ов

регрессии
;




нижние и верхние
интервальные оценки 
отклонения
для коэфф
и
циентов регрессии с
95
-
процен
тной и любой другой заданной довер
и
тельной вероятн
о
ст
ью

в двух последних столбцах таблицы
.

Поскольку
«
критические
»

табличные значения
коэффициент
ов


Сть
ю
дента в этой таблице не приводятся, о достоверности рассчитанных
коэффициент
ов

регрессии

можно
судить
и
по величине
«
P
-
Значени
я
»

в
сравнении
с принятым уровнем доверительной вероятности
α
.
В случае,
когда

«
P
-
Значение
»


α
,

делается

вывод о достоверности

коэффициент
ов

регре
с
сии
. В противном случае
делается

один из следующих
вывод
ов:



объѐм данных не
достаточен
;



регрессионная модель нуждается в коррекции



влияние случайных факторов преобладает и существенного влияния
номера контроля на контролируемую характеристику не обнаруживается
[9]
.

3.
1.
4.
Получить
вписать
уравнение
линейной регрессии, опред
е
л
я
ющей зависимость контролируемой характеристики

y

от номера ко
н
троля 
x
)
y

=
b
0

+
b
1
x

иначе «линейного тренда»

контролируемой хара
к
тер
и
стики

по числам,

представленным

во втором столбце последней
третьей таблицы итогов регрессионного ан
а
лиза:



«
Y
-
пере
сечение
»


коэффициент
b
0
;

15




«
Переменная X 1
»


коэффициент
b
1
.

3.
1.
5. Сделать вывод о достоверности
полученн
ого

уравнения

р
е
г
рессии

на основании
сравнения
«
P
-
Значени
я
»

с принятым уровнем дов
е
р
и
тельной вероятности
α
, см. п. 3.3.

Примечани
я

3
:

А
.
Для

получе
ния уравнения регрессии без свободного члена
(
чтобы
линия регрессии прошла через начало координат
)

следует в опцию
«
Ко
н
станта


ноль
»

поставить
«
галочку
»

в нашем случае этого не требуется
.

Б
.
«
Галочки
»

в опции
«
Остатки
»
,
«
График остатков
»
,
«
График подб
о
ра
»

или
«
Стандартизированные остатки
»

устанавливаются
при необход
и
мости исследования

несоответствий между экспериментальными и теор
е
тическими значениями Y, определя
е
мыми уравнением регрессии.


В
.
«
Остат
ок
»

представляет собой разницу между фактическим и те
о
ретическим

значениями Y
.


Г
.
«
Стандартизированны
й

остат
о
к
»

представляет собой отношение
«
остатк
а
»

к
«
стандартн
ой

ошибк
е

единичного наблюдения
регрессионн
ой

ст
а
тистик
и
»

см.
выш
е.


Д
.
«
График остатков
»

располагается в координатах
x



величина о
с
татка
.


3.
2.
Статистические функции

MS
Excel
,


основанные на линейной

р
е
грессии
1


3.2.1.

Функци
я

«
ТЕНДЕНЦИЯ
»
, которая для заданного массива н
о
вых значений
x

определяет соответс
т
в
ующие
значения
y

в соответствии с
линейным трендом
, рассчитанным для
массив
ов

известны
х

значени
й

y

и



1

Подробнее

см. в работе [9]


16


известны
х

значени
й

x

в виде

ура
в
нения
y = mx + b,
являющегося аналогом
уравн
е
ния
(
3
).

3.2.1.
1.

Открыть
статистическую функцию
ТЕНДЕНЦИЯ

рис.
5
)
.




Рис.
5
.

Аргументы функции ТЕНДЕНЦИЯ


3.2.
1
.
2.

Ввести
следующие аргументы:



в качестве аргуме
нта
«
Известные
значения
x
»



№№ контроля

с 1
-
го по 200
,



в качестве аргумента
«
Известные значения
у
»



соответствующие
200 значений контролируемой характеристики выбранного варианта,



в качестве аргумента
«
Новые значения
x
»



величину
4
00, ставя зад
а
чу
узнать, каким должно быть
при имеющемся линейном тренде
значение ко
н
тролируемой х
а
рактеристики для
четырѐхсотого

измерения,



в качестве аргумента
«
Конст
»



любое ненулевое число и нажать
«
ОК
»
.

3.2
.1
.
3
.

Сравнить фактическое

значение четырѐхсотого измерения

ко
н
тролируемой характеристики с результатом, рассчитанным с помощью
фун
к
ции ТЕНДЕНЦИЯ

они не обязательно должны совпадать
.

17


3.2.2.

Функци
я

ЛИНЕЙН
[9],
рассчитыва
ющая

коэффицие
н
ты
m

и
b

линейного уравнения
y = mx + b
, определяющего тренд выбранного
ВР
кон
тролируемой характеристики
.

3.2.
2
.
1
.
Выделить 2 ячейки
, расположенные рядом в одной строке
,

и

открыть
статистическую
функцию
ЛИНЕЙН
рис.
6
)
.




Рис.
6
. Аргументы функции ЛИНЕЙН


3.2.2.2.
Ввести в качестве аргументов:



«
Известные значения
x
»



№№ контрол
я с 1

ого по
4
00;



«
Известные значения
у
»



точно соответствующие

4
00 значений
контролируемой характеристики выбранного варианта
.

Примечани
я

4
:

А
.
Аргумент
«
Конст
»

(
см.
рис.
6
)




логическое значение, которое ук
а
зывает, требуется ли, чтобы константа
b

был
а равна 0.

Если
«
Конст
»

имеет
значение ИСТИНА
любое
значение

кроме нуля

или о
тсутствует
, что и
требуется в нашем случае
, то
b

вычисляется обычным образом.

Если
«
Конст
»

имеет значение ЛОЖЬ

ставится значение 0
, то
m

подбира
е
тся
так, чтобы
выполн
я
лось
b

=

0.

Б
.
Аргумент
«
Статистика
»



логическое значение, которое указывает,
требу
ю
тся ли допол
нительные статистические данные по регрессии.


18


Если аргумент
«
Статистика
»

имеет значение
0 (
«
ЛОЖЬ
»
)

или
отсутствует
,
то функция ЛИНЕЙН
подсчитает только
коэффициент
ы
регрессии

в н
а
шем случае
э
того достаточно
.

Если
в качестве
аргумент
а

«
Статистика
»

представлено любое другое число

(
«
ИСТИНА
»
)
, то
производится расчѐт

дополнительн
ой

статистик
и

в этом случае по п.

3.2.2.1. следует выделять
целый массив ячеек
, включающей:



стандартные значения ошибок коэффициентов

m

и
пост
о
янной
b
;



коэффициент детермин
аци
и
;



стандартн
ую

ошибк
у

для оценки
y
;



F
-
статистик
у

(
F
-
наблюдаемое значение
);



степени свободы для нахожд
е
ния F
-
критических значений;



регрессионн
ую

сумм
у

квадратов
(sstotal)
;



сумм
у

квадратов остатков
(ssresid)
.

В
. К недостаткам
дополнительн
ой

статистик
и относится то, что выв
о
димые в определѐнном порядке результаты здесь никак не обозначены.
Поэтому для получения всеобъемлющих результатов регрессионного ан
а
лиза в ви
де, доступном для недостаточно искушѐнных пользователей, р
е
комендуется пользоваться
инструмент
ом

«
Ре
г
рессия
»

[9]
.

3.2.2.
3.
Набрать комбинацию клавиш

CTRL
+
SHIFT
+
ENTER
, в
результате чего
в первой ячейке
будет

выведен

коэффициент
m
, а во вт
о
рой

ячейке


коэфф
ициент
b

уравнения
y = mx + b
.

При

нажатии
«
ОК
»

будет по
д
считан только
коэффициент

m
. Отразить результаты в таблице
MS Excel
.

3.2.2.4. Проверить соответствие
полученных

коэффициентов
m

и

b

коэффициентам
b
0

+
b
1
,
рассчитанным с использованием инструмента
«Регрессия», п.
3.1.4.

3.2.3.

Функци
я

ПРЕДСКАЗ

сходна с
функци
ей

ТЕНДЕНЦИЯ
, но
ра
с
считыва
ет
в соответствии с линейным трендом

лишь одно
прогнозируемое
19


значение результативного признака

контролируемого параметра
по о
д
ному аргументу «
x
» в нашем случае




контроля
).

3.2.
3.1
. Открыть
статистическ
ую

функци
ю

ПРЕДСКАЗ

рис.
7
)
.





Рис.
7
. Аргументы функции ПРЕДСКАЗ


3.2.
3.2
. Рассчитать с помощью
функции ПРЕДСКАЗ

т
рѐхсотое зн
а
чение контролируемого параметра
для первых двухсот его измерений
и
сравнить с фактич
еским
т
рѐхсотым значением

контролируемого параме
т
ра
.

Результат расчѐта этой и других функций, определяющих одно знач
е
ние, появляется в окне аргументов сразу после внесения данных до наж
а
тия
«
ОК
»
,

и он необязательно должен совпадать с фактическим
значением
.)

3.2.
4.

Функци
я

НАКЛОН,
устанавлива
ющая

наклон линии линейной
регрессии для точек данных, образованных известными значениями
y
i

и
известными значениями
x
i
,

иначе говоря,

к
о
эффициент

m

в

уравнении
y =
mx + b
.

3.2.4.1
. Открыть
статистическ
ую

функци
ю

НАКЛОН

рис.
8
)
.



20



Рис.
8
. Аргументы функции

НАКЛОН


3.2.
4.2
. Рассчитать

коэффициент

m

в

уравнении
y = mx + b

с пом
о
щью
функци
и

НАКЛОН

и сравнить с
коэффициент
ом
m
,
рассчитанным с
помощью
функци
и ЛИНЕЙН для тех же исходных данных.

3.2.
5.

Функци
я

ОТРЕЗОК
,
вычи
сля
ющая

точку пересечения линии
регрессии с осью
y
,

т
.е. при

x

= 0
,

иначе говоря,
коэффициент

b

в уравн
е
нии ре
г
рессии
y = mx + b
.

3.2.
5.
1. Открыть
статистическую функцию
ОТРЕЗОК
, имеющ
ую

те
же аргументы, что и функция НАКЛОН
.


3.2.
5.
2. Рассчитать

коэффици
ент

b
в

уравнении
с помощью
фун
к
ци
и

ОТРЕЗОК

и сравнить с
коэффициент
ом
b
,
рассчитанным с помощью
функци
и ЛИНЕЙН для тех же исходных данных.


3.3.
Статистические функции

MS
Е
xcel,

основанные на

нелинейной регре
с
сии


3.3.
1
.
Функци
я

Л
Г
РФПРИБЛ
,

сходн
ая

с функц
ией ЛИНЕЙН, но в
отличие от последней аппроксимирую
щая

связь исследуемых параметров
не прямой линией, а
экспоненциальной

кривой, иначе уравнением
вида

y = b(m
x
)
, где значени
е

b

постоя
н
н
о
.

3.3.
1
.
1.

Открыть статистическ
ую

функци
ю

Л
Г
РФПРИБЛ

рис.

9
)
.


21




Рис.

9
. Аргументы функции ЛГРФПРИБЛ


3.3.
1.
2
.
Выделить 2 ячейки для получения коэффициентов
m

и
b

эк
с
поненциальной

кривой вида

y = b(m
x
)

и
заново

открыть
статист
и
ческ
ую

функци
ю

ЛГРФПРИБЛ

см. рис.
9
) [9],
рассчитыва
ющую

эти

к
о
эффициенты
с применением метода на
именьших квадратов.


3.
3
.
1.
3
. Ввести в качестве аргументов:



«
Известные значения
x
»



№№ контроля с 1

ого по
2
00,



«
Известные значения
у
»



точно соответствующие

2
00 значений
контролируемой характеристики выбранного варианта
.

Примечани
я

5
:

А
.
«
Конст
»

(
см
.
рис.
9
)


логическое значение
,

указыва
ющее
, треб
у
ется ли, чтобы константа
b

была равна 1

единице
.

Если
«
Конст
»

имеет
значение ИСТИНА или
отсутствует
, то
b

вычисляется обычным образом.

Если
«
Конст
»

имеет значение ЛОЖЬ, то значени
е

m

подбираются так,
что
бы
выполн
я
лось
b

=
1
.


Б
.
Аргумент
«Статистика»

см. рис.
9
)


логическое значение, которое
указывает, требу
ю
тся ли допол
нительные статистические данные по р
е
г
рессии.

Если аргумент
«
Статистика
»

имеет значение
0 (
«
ЛОЖЬ
»
)

или
о
т
сутствует
, то функция
ЛГРФПРИБ
Л

подсчитает только
коэффициент
ы
р
е
грессии
.

Если
в качестве
аргумент
а

«
Статистика
»

представлено любое
22


др
у
гое число

(
«
ИСТИНА
»
)
, то
производится расчѐт

дополнительн
ой

ст
а
тист
и
к
и, структура которой полностью соответствует структуре, вывод
и
мой в этом случае фу
нкцией ЛИНЕЙН см. выше, и включает
:



стандартные значения ошибок коэффициентов

m

и
пост
о
янной
b
;



коэффициент детермин
аци
и
;



стандартн
ую

ошибк
у

для оценки
y
;



F

статистик
у

(
F
-
наблюдаемое значение
);



степени свободы для нахожд
е
ния F
-
критических значе
ний;



регрессионн
ую

сумм
у

квадратов
(sstotal)
;



сумм
у

квадратов остатков
(ssresid)
.

В
.
Поскольку
инструмент
а анализа, сходного с
инструмент
ом

«
Р
е
г
рессия
»
, но «работающего» с экспоненциальной зависимостью в программе MS
Excel не предусмотрено,

в данном сл
учае результаты
дополнительн
ой

ст
а
т
и
стик
и, будучи единственными в своѐм роде, хоть и не обозначенные п
о
д
робно, могут быть очень полезны.

3.
3
.
1.
4
.
Набрать комбинацию клавиш
CTRL
+
SHIFT
+
ENTER
, в
результате чего
в первой ячейке
будет

выведен

коэффициент
b
, а в
о вт
о
рой

ячейке


коэффициент
m

уравнения
y = b(m
x
)
.

При

нажатии
«
ОК
»

будет подсчитан только
коэффициент

b
. Отразить р
е
зультаты в таблице
MS Excel
.

3.
3
.
2.

Функци
я

РОСТ
,
рассчитывающая

значения
y

для новых знач
е
ний
x
, то есть сходная с функциями
ПРЕДСКАЗ

и ТЕНДЕНЦИЯ, см. в
ы
ше, но применительно не к л
и
нейной, а к
экспоненциальной
зависимости
.

3.
3
.
2.1
.

Открыть статистическую
функцию
РОСТ

(
рис.
10
)
.


23



Рис.
10
. Аргументы функции

РОСТ


3.
3
.
2.2
.

Рассчитать с помощью
функции
РОСТ трѐхсотое значение
контролируемо
го параметра

(
«Новые значения
x
»

для первых двухсот его
измерений
«
Известные значения
y
»
;
сравнить с фактическим трѐхс
о
тым
значением

контролируемого параметра

и с трѐхсотым значением

контр
о
лируемого параметра, рассчитанным с помощью
функции

ТЕНДЕНЦИЯ.




24


4. Графический анализ
тренда временного ряда


4.1
.

Расположить рядом
на отдельном листе «графика»
и выделить
столбцы «
№№ контроля
»
пе
р
вый столбец
и исследуемой характеристики.

4.2
.

Включить «Мастер диаграмм» и выбрать тип диаграммы «Т
о
чечная»
. По заве
ршению четырѐх шагов построения будет получена ди
а
грамма зависимости
контролируемой характеристики
y
i

(
о
т
кладыва
е
тся
по
ос
и

ординат
 от номера контроля
, расположенного

по
ос
и

абсцисс

(
в зав
и
симости от версии MS Excel порядок построения графика может

разл
и
чаться
).


4.3.
Инициировать появление на
диаграмме
«
линии

тренда
»

путѐм
нажати
я

правой кнопк
ой

мыши на
одну из точек построенного графика
рис.
1
1
)
.


Рис.
11
. Опции, открывающиеся при нажатии правой кнопки мыши

на
расположенную на диаграмме одну из точек

данных


4.4.
Нажать

«
Добавить линию тренда
»
,

открываю
щую

большие во
з
можности

выбора
тип
а

регрессионной зависимости
:

линейного, логари
ф
мического, экспоненциального, степенного

и

полиномиального
от второй
до
шестой

степени вкл
ю
чительно

(
рис.
1
2
)
.


4.5. Выбр
ать опцию
«
Параметры
»

рис. 13
для представления на ди
а
грамме уравнения регрессии и коэффициента детерминации
R
2



характ
е
ристики

точности аппроксимации
.

4.6.
Построить таблицу, в первой графе которой указана степень п
о
линома
от 1 до 6, а во второй гра
фе


соответствующее значение
R
2
.

25


Для

этой цели получить
на диаграмме различные линии тренда: лине
й
ную первая степень полинома и

полиномиальную всех возможных степ
е
ней от второй до шестой с определением
R
2
.
Затем по таблице построить

диаграмму
точечны
й график
зависимости коэффициента детерминации
R
2

от
степени полинома.




Рис.
1
2
.

Окно,

открывающ
е
еся при
выборе
опции

«
Добавить
линию тренда
»



Рис.
13
. Опци
я
«
Параметры
»

в окне
«
Формат
лини
и

тренда
»


4.7. Сделать заключение о влиянии степени полином
а
лини
и

тренда

на
величину
R
2

точность аппроксимации временного

ряда
)
.

26


5
. Освоение инструмента
«Анализ Фурье»

пр
о
граммы MS
Е
xcel


5.1
.

Перенести ряд значений



контроля

и ряд значений выбра
н
ного варианта контролируемой характеристики на отдельный лист «
Ф
у
рье», а затем о
ткрыть
инструмент

«
Анализ Фурье
»

рис.
1
4
)
.




Рис.
14.

Аргументы инструмента «
Анализ Фурье
»


Примечани
я

6
:

А. Здесь используется «
метод быстрого преобразования Фурье
»

БПФ
, позволяющий

по сравнению с обычным
анализ
ом

Фурье
мног
о
кратно у
меньшать объѐм вычислений, но имеющий ограничение:
число
анализ
и
руемых
значений должно быть
равно

2
k
.

Б
.
Комплексные данные

здесь

должны задаваться в формате
х

+
yi
.

В
.
Эта процедура поддерживает также обратные преобразования, при
этом инвертирование преоб
разованных данных возвращает исходные да
н
ные.

Если установлен флажок в поле
«
Инверсия
»
, то данные во входном
диапазоне считаются преобразованными и выполняется обратное преобр
а
зование, возвращающее их в выходной диапазон в исходном состоянии.
Если флажок с
нят, то
выполняется прямое

преобразован
и
е.

27


Г
.
Если
х

является отрицательным числом, перед ним ставится

ап
о
строф '.

Д
.
Максимальное число значений
, предназначенных для БПФ в пр
о
грамме
Еxcel
,

равно 4096.

5.
2
. Ввести во «Входной интервал»

исходные данные

с
воего вариа
н
та столбец длиной
2
k
.

5.3. Нажав
«
ОК
»
, провести прямое преобразование Фурье, в результ
а
те которого будет получен столбец комплексных чисел в формате
х  yi
.

5.4.
Сосчитать с помощью

формул
ы

=
MH
И
M
.
ABS

модуль ко
м
плексного числа, расположенного
в верхней ячейке
столбца
комплек
с
ны
х

чисел, полученных по п. 5.3, и, копируя ячейки,
распространи
ть

эту
формулу
на
весь столбец

комплек
с
ных чисел
.

5.
5
.
По полученн
ому ряду или столбцу

модулей комплексных
чисел

постро
ить

график

амплитудного

спектра
, напри
мер,

в виде
столбчатой диаграммы «Мастер диаграмм»


«Линейчатая» или, д
о
бавив столбец «№№ измерений»,


в виде точечной диаграммы
.



28


6.

Использование
возможностей

программы

MS
Excel

для

статистического анализа
процесса
и управления
процессом

мет
о
дом

по
строения
ко
н
трольн
ых

карт

Шухарта


6.
1
. Построение
контрольной карты
с помощью

графических

опций программы



6.1.
1.

На листе «
график КК
»

файла
MS
Excel
«
лаб. Временные р
я
ды
»

сформировать таблицу из следующих столбцов с указанием их наименов
а
ний
(
«меток»
)

в
перв
о
й строке

таблицы
(
которые окажутся в «легенде» п
о
строенного графика
)

[
10
]
:



«результаты контроля»


некоторо
е

количеств
о
, например, ст
о

пе
р
вых
значений Вашего ВР;



«
нижн
яя и

верхняя границы

регулирования
»


многократно повт
о
ренные

границ
ы

допуска


второй

и третий
столбец
соответственно

(
так
как границы допуска у нас не заданы, предлагаем определить их как
±
3
S
,
где



среднее, а
S



оценка СКО
первых
ста
значений

Ваш
его ВР
;
след
о
вательно,

величины
,
S

и значения самих границ
нужно предварительно
сосчитать
);



«нижняя и верхняя контрольные
(
предупреждающ
ие

границы»

КГ


должны быть «
ý
же»

границ допуска


соответственно четвѐртый

и
пятый столбец

многократно повторенны
х

предварите
льно сосчита
нных,
например, из условия:
КГ 
±
2
S
.

6.1.
2
.
Выделив эти пять столбцов

с

указанными выше

наименов
а
н
и
ями заголовками
в
перв
о
й строке

таблицы
,
построить

диаграмм
у типа

«
График с
маркерами
»
,

помечающими точки данных
, котор
ая и будет
представлять собой простейшую
контрольн
ую

карт
у единичных знач
е
ний

[
10
]
.

В зависимости от версии
MS
Excel

используемые

при постро
е
нии

опции «
Мастера диаграмм»

различаются.

29


6.2.
Опробование работы

контрольной карты,
получаемой

с использов
а
нием
заранее
созданного

шаблона


6.
2.1
. Открыть файл
«
Контр. карта

(version 2)
», представляющий с
о
бой
шаблон


контрольной карты

рис. 1
5
).

6.2.
2.

Скопировать столбец своего варианта данных файла

«лаб.
В
реме
нные ряд
ы» и вставить его в столбец AD файла «
Контр. карта
(version 2)
». При этом обратить внимание, как изменятся следующие

пар
а
метры:



длина ряда количество измерений
,

ячейка АС2
;



«
шаг
»

между выборками ячейка АС4, который

рассчитывается

по
форму
ле ОКРУГЛВНИЗ $AC$2

2*130)/25;0)
;



табл.

из 25
выборок объѐмом по 5 значений в каждой
, которая
формиру
ется
функци
ей

СМЕЩ
,

отбира
ющей

равномерно по длине
ВР

зн
а
чения контролируемой величины
.
При этом исключ
аются

начало и конец
ВР
,
соответствующие, наприм
ер, периодам настройки и катастрофическ
о
го и
з
носа инструмента;



среднее значение каждой выборки X
СР
, функция СРЗНАЧ, ячейки
C9
-
AA9, размах R
СР
, функция МАКС
X
i
)
-
МИН
X
i
 ячейки C10
-
AA10);



«
генеральные
»

средние
от средних и размахов
X
СР
, R
СР
, рассчит
ы
в
аемые как средние от средних
значени
й

выборок

ячейки АC9
-
AС10;



стандартное отклонение функция СТАНДОТКЛОН, яче
й
ка АC14
;



процент брака, рассчитанный исходя из таблицы выборок по ни
ж
ней границе допуска НГД, верхней границе допуска ВГД функции, с
о
ответственно, НОРМРАСПAC13;AC9;AC14;1*100 и 1
-
НОРМРАСП

(AC12;

AC9; AC14;1*100, общий суммарный процент брака по резул
ь
татам контроля выборок ячейки АC18
-
AС20 и, аналоги
ч
но, по НГД, ВГД,
общий сумма
р
ный по всему процессу ячейки АC28
-
AС30;

30









Рис.
14.

Контрольная карта

средних

и размахов
R
,



31










построенная в

рамках пр
о
граммы MS
Еxcel

32




контрольные границы КГ верхние ВКГ и нижн
яя

НКГ
, только
для средних значений
, определяемые по специальным коэффиц
иентам
относительно соответствующих средних значений. Расстояние между КГ
для среднего меньше п
оля допуска: ВГД ячейка АC12


НГД ячейка
АC13; для среднего: ВКГ 
AC
9 + 0,577*
AC
10 ячейка В11, НКГ 
AC
9


0,577*
AC
10 ячейка В15, для размахов: ВКГ  2
,114*AC10 ячейка В24,
НКГ  0 ячейка В28. По полученным
контрольным

границам, границам

допуска, значениям средних значений
и центральной средней линии
автоматиче
ски строятся КК

средних и размахов
;



индекс

воспроизводимости
(
точности обработки,
С
Р
)
,
предста
в
л
я
ющий собой отношение поля допуска к 6
-
кратному стандартному откл
о
нению [
5
], определяется по ре
зультатам контроля выборок функция
(AC12
-
AC13/6*AC14, ячейка АC15 и по всему процессу функция
AC12
-
AC13/6*СТАНД ОТКЛОНAD2: AD3381 ячейка АC2
4; рек
о
мендуют


С
Р


1,33;



верхний
индекс
работоспособности 
точности
настройки

по р
е
зультатам контроля выборок

(C
PK
1 CPU  Т
В



X)/3


функция

(AC12

AC9/3*AC14, ячейка АC16 и для всего
ВР

всей партии


яче
й
ка АC25;



нижний индекс работоспо
собности
(
точности
настройки

по р
е
зультатам контроля выборок

(C
PK
2)
CPL = (X


Т
Н
)/3


функция

(AC9

AC13/3*AC14, ячейка АC17; и для всего
ВР



ячейка АC26. Два
последних показателя
точности
настройки относительно
верхней Т
В
 и
нижн
ей Т
Н
 границы п
оля допуска здесь заменяют

обычно принятый [
5
]
индекс

настройки

C
PK
,
определя
ющий отклонение центра рассеяния отн
о
сительно центра поля допу
с
ка
).

6.2.3. Сравнить
контрольны
е

карты, полученные по п.п. 6.1 и 6.2, и
сделать заключение: какая из них, по Вашему
мнению, более
эффекти
в
н
а
.


33


Библиографический список

1
.
Афанасьев
,

В.

Н.
Анализ временных рядов и прогнозирование

[
Текст
]
:

у
чебник

/ В. Н.
Афана
сьев
,

М. М.
Юзбашев
.



М
осква
: Финансы
и статистика, 2010.


162

с
.

2
.
Куимов, Е.

А.
Анализ временных рядов и статистическое управл
е
ние производ
ственными процессами средствами программ MS EXCEL и
STATISTICA

[
Текст
]

: учеб
.

пособие / Е.

А. Куимов, М.

З. Певзнер.


К
и
ров : Изд
-
во ВятГУ, 2012.


94 с.

3.
Дуброва, Т.

А. Статистически
е методы прогнозирования
[
Текст
]

:
учеб.

пособие для вузов, по спец.
061700
«
Статистика
»

и др. экон. спец. /
Т
.

А
.

Дуброва.


М
осква
: ЮНИТИ, 2003.


206 с.

4
. ГОСТ Р 50779.41

96
.

ИСО 7873

93).
Статистические методы.
Контрольные карты для арифметического среднего с предупреждающими
границами

[
Электронный ресурс
]
.


Действ.

с

01.07.
1997.


М
осква
:
Изд
-
во стандартов
, 1996.


Доступ из справ.
-
поиск. системы «Техэксперт»
.

5. ГОСТ Р ИСО 21747
-
2010. Статистические методы. Статистики
пригодности и воспроизводимости процесса для количественных характ
е
ристик качества [Электронный р
есурс].


Действ. с 01.12.2011.


Москва :
Стандартинформ, 2011.


Доступ из справ.
-
поиск. системы «Техэксперт».

6
. Берк, К. Анализ данных с помощью Microoft Excel
[
Текст
]

/
К.

Берк, П. Кэйри.


М
осква

:
В
ильямс, 2005.


560 с.

7
. Макарова, Н.

В. Статисти
ка в Ехсе
l

[
Текст
]

/ Н.

В. Макарова,

В.

Я. Трофимец.


М
осква

: Финансы и статистика, 2002.


368 с.

8
. Ефимов, В.

В. Статистические методы в управлении качеством
продукции
[
Текст
]

/ В.

В. Ефимов, Т.

В. Барт.


М
осква
: КНОРУС, 2012.


240 с.

9
.
Кувалдин,

Ю.

И. Исследование связи случайных величин в мета
л
лообработке с использованием программы MS EXCEL
[
Текст
]

/ Ю.

И. К
у
валдин, М.

З. Певзнер.


Киров : Изд

во ВятГУ, 2011.


66 с.

10.
Просветов, Г.

И. Математические методы и модели в экономике:
задачи и реше
ния
[
Текст
]

: учеб
.
-
практ. пособ
ие

/ Г.

И. Просветов.


М
ос
к
ва

: Альфа
-
Пресс, 2008.


344 с.

34





Учебное издание





Кумов Евгений Александрович

Певзнер Игорь Михайлович

Певзнер

М
ихаил Зиновьевич



АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ, МОНИТОРИНГ

И УПРАВЛЕНИ
Е

ТЕХНОЛОГИЧ
ЕСКИМИ

ПРОЦЕ
С
САМИ


Учебно
-
методическое пособие











Подписано в печать
02.07
.201
4
. Печать цифровая. Бумага для офисной техники.

Усл.
печ. л.
2
,
3
. Тираж 20.

Заказ №
2429
.


Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профе
ссионального образования «Вятский государственный университет»

610000, г. Киров, ул.

Московская, 36, тел.: 8332
) 64
-
23
-
56,
http://vyatsu.ru

35




Приложенные файлы

  • pdf 8176520
    Размер файла: 706 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий