т2 Оптимальное положение потребителя в экономике

Модуль 1
Предпочтения и выбор потребителя

Тема 2
Оптимальное положение потребителя в экономике

2.1
Необходимое и достаточное условия решения неоклассической задачи потребления

2.2
Экономико-математическая модель выбора потребителя. Основное уравнение теории ценности.

2.3
Предельная полезность по доходу и предельная полезность по цене продукта (тождество Роя)

2.4
Предельный расход по полезности и предельный расход по цене продукта (лемма Шепарда)


Тема 1. Оптимальное положение потребителя в экономике
2.1. Необходимое и достаточное условия решения неоклассической задачи потребления
Одним из субъектов в рыночной экономике является домашнее хозяйство, распределяющее свой доход на покупку товаров и услуг. Рациональное ведение хозяйства сводится к решению задачи, какое количество товаров и услуг необходимо приобрести при данном доходе и уровне цен для наиболее полного удовлетворения потребностей.
В экономике производится 13 EMBED Equation.3 1415 товаров,
и потребитель приобретает набор
13 EMBED Equation.3 1415,
в котором 13 EMBED Equation.3 1415 - количество 13 EMBED Equation.3 1415го блага, приобретаемого потребителем,
13 EMBED Equation.3 1415
В анализе поведения потребителя используются следующие аксиомы. Товары обладают свойством делимости и их объем может изменяться на бесконечно малую величину. Выбор потребителя в определенной мере завит от вкусов потребителя. Товары для потребителя или равноценны и безразличны или существует строгое предпочтение одного товара другому. Транзитивность характеризует непротиворечивость предпочтений потребителя, их рефлексивность и симметричность. Отношение предпочтения непрерывно. Это означает, что существует непрерывная действительная функция полезности 13 EMBED Equation.3 1415. Если известна функция полезности, то ею является любая монотонно строго возрастающая функция, построенная на основе известной функции: 13 EMBED Equation.3 1415, и другие.
Аксиома ненасыщения утверждает, что если функция полезности дифференцируема, то все первые частные производные функции – предельные полезности товаров положительны (13 EMBED Equation.3 1415) >0. При увеличении потребления одного из товаров при неизменном потреблении всех остальных товаров, полезность набора увеличивается.
Аксиома строгой выпуклости (кривой безразличия) означает, что если наборы 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415 безразличны для потребителя, то при 13 EMBED Equation.3 1415 набор
13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415. Если последнее условие выполняется для любых двух наборов, то кривая безразличия является строго выпуклой относительно начала координат.
Если функция полезности является дважды дифференцируемой и имеет непрерывные вторые частные производные 13 EMBED Equation.3 1415, то их отрицательные значения отражают тот факт, что предельная полезность любого товара уменьшается по мере того, как увеличивается его потребление. Матрица Гессе, состоящая из вторых частных производных функции полезности по всем переменным отрицательно определена.
В неоклассической задаче потребитель выбирает набор товаров и услуг из допустимого множества наборов, который является наиболее предпочтительным при заданной функции полезности и бюджетном ограничении. Доход потребителя 13 EMBED Equation.3 1415 и цены товаров 13 EMBED Equation.3 1415 являются заданными положительными параметрами. Денежные расходы на все товары и услуги не могут превышать денежные доходы потребителя. Условия задачи: дана функция полезности 13 EMBED Equation.3 1415, бюджетное ограничение 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 Определить набор, имеющий максимальную полезность для потребителя.
Необходимым и достаточным условиями решения неоклассической задачи потребления являются условия Куна-Таккера для функции Лагранжа:
13 EMBED Equation.3 1415, (1.1)
где 13 EMBED Equation.3 1415 - множитель Лагранжа. Запишем условия Куна-Таккера:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.2)
Предельная полезность товаров представлена величиной13 EMBED Equation.3 1415 Система уравнений имеет решение. Если 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому для всех закупленных товаров 13 EMBED Equation.3 1415 множитель Лагранжа положителен. Отношение предельной полезности товаров к их цене одинаково для всех товаров в наборе, а весь доход должен быть израсходован. Условия (1.2) принимают вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
Условия (1.2) выполняются в точке 13 EMBED Equation.3 1415 и являются решением задачи потребления. Предельная полезность каждого товара равна нулю и, следовательно, общая полезность набора максимальна. Таким образом определяем спрос на товары как функции цен и дохода 13 EMBED Equation.3 1415 Это функции спроса потребителя по Маршаллу (по Вальрасу). Функции спроса являются однородными нулевой степени, что следует из уравнения бюджетной линии.
Определить характер функциональной зависимости спроса потребителя на товары при изменении цен и дохода можно, проведя сравнительно-статистический анализ – сопоставив параметры оптимума потребителя до и после изменения одной из названных переменных. Так можно вывести зависимости «доход – потребление» и «цена – потребление».
Оптимальный множитель Лагранжа, равный отношению предельной полезности любого товара к его цене, интерпретируется как полезность, приходящаяся на денежную единицу, измеряет предельную полезность денежной единицы. Поскольку числитель выражения 13 EMBED Equation.3 1415 - предельная полезность единицы товара, а знаменатель его предельные издержки, то множитель Лагранжа можно представить как коэффициент «результат - затраты», который одинаков для всех товаров, входящих в набор, в оптимальной точке. Его можно рассматривать как меру степени, в которой изменение бюджетного ограничения влияет на значение функции полезности. При высоком 13 EMBED Equation.3 1415 дополнительная денежная единица в доходе потребителя существенно увеличивает общую полезность набора, при низком коэффициенте увеличивает незначительно.13 EMBED Equation.3 1415 Согласно необходимым условиям максимума функции полезности в оптимальной точке каждый рубль, дополнительно затрачиваемый на покупку товара, должен приносить покупателю одинаковую «добавочную полезность» не зависимо от того, на какой товар он был потрачен. Множитель является функцией цен и дохода 13 EMBED Equation.3 1415 и представляет величину, на которую увеличится оптимальный уровень полезности набора при бесконечно малом приращении дохода.
Пропорциональное изменение цен всех товаров и дохода не изменяет содержание оптимального набора потребителя. Функции спроса являются однородными относительно всех цен и дохода. Поэтому спрос зависит от относительных цен 13 EMBED Equation.3 1415 и от отношения дохода к одной из цен 13 EMBED Equation.3 1415.
В случае двух товаров функция Лагранжа имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415 (1.3)
решение должно удовлетворять системе уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415 Решение системы уравнений определяет оптимальный набор 13 EMBED Equation.3 1415, который отмечается точкой касания кривой безразличия и бюджетной линии. Точка 13 EMBED Equation.3 1415называется длинной точкой, точка без последней координаты, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 называется короткой точкой (рис. 1.1). Поскольку функция полезности обладает рядом свойств, 13 EMBED Equation.3 1415а 13 EMBED Equation.3 1415 то система уравнений имеет единственное решение.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Наклон бюджетной линии равен 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку во всех точках кривой безразличия полезность наборов одинакова 13 EMBED Equation.3 1415, то наклон кривой безразличия в оптимальной точке находим из выражения 13 EMBED Equation.3 1415 Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно наклоны бюджетной линии и кривой безразличия равны в оптимальной точке.13 EMBED Equation.3 1415
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется косвенной (неявной) функцией параметров 13 EMBED Equation.3 1415 а 13 EMBED Equation.3 1415есть максимум функции полезности. Максимальная полезность, достигаемая в точке оптимального набора, косвенно зависит от цен и дохода. Косвенная функция полезности обладает следующими свойствами.
Косвенная функция не возрастает по ценам. Если растут цены при постоянном доходе, то объемы спроса в оптимальном наборе уменьшаются. Если цена хотя бы одного товара строго возрастает, то общая полезность строго убывает. Данная функция строго возрастает по доходу при неизменных ценах. С ростом дохода увеличивается количество продуктов в оптимальном наборе потребителя. Функция является однородной функцией по всем одновременно изменяющимся переменным. Это означает, что если все переменные (цены всех товаров и доход потребителя) увеличиваются в 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 раз, то общая полезность приобретаемого набора не изменяется. Запишем это свойство для набора, состоящего из двух товаров: 13 EMBED Equation.3 1415. Для 13 EMBED Equation.3 1415 косвенная функция полезности является однородной нулевой степени. В отличие от кривых безразличия уровни косвенной функции полезности квазивыпуклы к началу координат. Поэтому, если при переходе от одной на другую более высокую кривую безразличия полезность набора увеличивается, то в случае косвенной функции полезности отображаемые ею уровни полезности нарастают в направлении не от начала координат, а в обратном направлении. Благодаря строгому изменению косвенной функции полезности по доходу (возрастанию или убыванию), она имеет обратную функцию - функцию расходов потребителя.
Так как цены товаров и доход потребителя положительны, то косвенная функция полезности 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна по всем переменным. Свойства косвенной функции полезности приводятся без доказательства.
Косвенная функция полезности применяется для изучения влияния налогов и субсидий на уровень полезности набора, приобретаемого потребителем. Ведь налоги уменьшают, а субсидии увеличивают доход потребителя.
Условия второго порядка или достаточные условия оптимизации состоят в следующем. Условие устойчивости или необходимое условие экстремума функции многих переменных имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда выполняется достаточное условие оптимальности: полный дифференциал второго порядка функции полезности Лагранжа отрицателен 13 EMBED Equation.3 1415 при отрицательных значениях вторых частных производных функции полезности и 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, набор 13 EMBED Equation.3 1415 имеет максимальную общую полезность для потребителя.
2. Экономико-математическая модель выбора потребителя.
Основное уравнение теории ценности.
Применим метод сравнительной статики в исследовании изменения спроса рационального потребителя на товары после того, как изменились цены и доход. Подставим найденные оптимальные значения 13 EMBED Equation.3 1415 в необходимые условия (1.2), получим 13 EMBED Equation.3 1415 тождество 13 EMBED Equation.3 1415. (1.4)
Прежде рассмотрим влияние изменения дохода потребителя на индивидуальный спрос при неизменных ценах. Для этого продифференцируем тождества (1.4) по доходу 13 EMBED Equation.3 1415. При этом необходимо помнить, что предельная полезность 13 EMBED Equation.3 1415 -го товара 13 EMBED Equation.3 1415 есть сложная функция от переменных объемов покупаемых товаров, которые в свою очередь зависят от изменяющихся цен и дохода 13 EMBED Equation.3 1415. В результате получим систему уравнений.
13 EMBED Equation.3 1415 (1.5)
Заменим цены их выражением из условий (1.2), т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда получаем систему из 13 EMBED Equation.2 1415 уравнения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
.. (1.6)
13 EMBED Equation.3 1415.
.
Решая систему уравнений по правилу Крамера, находим величины изменения спроса на каждый товар 13 EMBED Equation.3 1415, вызванного изменением дохода потребителя. Первую величину (выражение в скобках) не определяем. Определитель системы уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.7)
Определитель системы имеет своими элементами предельные полезности товаров 13 EMBED Equation.3 1415, измеряемые первой частной производной функции полезности по переменным, изменяющимся количествам товаров в наборе. Элементы матрицы с двойными индексами - вторые частные производные функции полезности 13 EMBED Equation.3 1415 также измеряют предельную полезность товара, отмеченного вторым индексом, но в наборе, который отличается от первоначального набора, приобретаемого до изменения дохода потребителя: в нем изменился объем товара, обозначенного первым индексом.
Запишем величину изменения спроса потребителя на первый товар при изменении дохода потребителя:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение системы уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.8)
Изменение спроса на товар, вызванное изменением дохода и определяемое выражениями (1.8), может быть как положительным, так и отрицательным. Математически это определяется знаком 13 EMBED Equation.3 1415 - алгебраического дополнения (минора) определителя системы уравнений. Индекс минора соответствует индексу элемента определителя 13 EMBED Equation.2 1415, находящегося на пересечении первой строки и номера столбца, например 13 EMBED Equation.2 1415 - го столбца, соответствующего определяемому изменению спроса на товар 13 EMBED Equation.2 1415. Экономически это означает, что с увеличением дохода спрос на одни товары увеличивается, на другие - уменьшается. В общем виде изменение спроса на любой товар 13 EMBED Equation.2 1415, вызванное изменением дохода, равно:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.9)
Изменение отражает степень локальной чувствительности спроса на товары и предельной полезности дохода к изменениям дохода.
Рассмотрим ситуацию, когда изменяется цена хотя бы одного товара, причем остальные цены и доход остаются неизменными, что вызывает изменение спроса в общем случае на все товары и услуги. В действительности доход потребителя в течение определенного периода остается постоянным, в то время как цены на товары изменяются. Спрос потребителя зависит не только от величины постоянного дохода, но и от цен, от предпочтений потребителя, от его оценок полезности благ и услуг. Как и в случае изменения дохода потребителя в качестве исходного условия используем объемы товаров в наборе, имеющем максимальную полезность. Величины спроса определены из системы уравнений (1.2), которые представляют необходимые условия максимума функции полезности, ибо всякий рациональный потребитель стремится максимизировать полезность приобретаемого им набора товаров.
Допустим, что изменяется цена первого товара 13 EMBED Equation.2 1415, цены остальных товаров и доход потребителя остаются неизменными. В общем случае такое возмущение на рынке приведет к изменению спроса на все товары, возможно замещение некоторого количества одних товаров соответствующим количеством других товаров. В итоге потребитель купит новый набор товаров, займет новое положение в рыночной системе с учетом собственных предпочтений. Задача заключается в том, чтобы определить изменение спроса на все товары, входящие в набор, при изменении цены хотя бы одного товара.
Математическая интерпретация изменений в положении потребителя сводится к следующему. Необходимо продифференцировать систему уравнений (1.2), представляющую исходные условия, равновесное положение потребителя, по переменной 13 EMBED Equation.3 1415. Напомним, что 13 EMBED Equation.3 1415. В полученной системе уравнений, которая представлена ниже, присутствуют искомые величины 13 EMBED Equation.2 1415 - изменения спроса на все товары, вызванные изменением цены 13 EMBED Equation.2 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. (1.10)

Заменим все цены их выражением через предельную полезность соответствующего товара и предельную полезность денежной единицы 13 EMBED Equation.3 1415, для 13 EMBED Equation.2 1415. Получим следующую систему уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.11)
В системе 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение с 13 EMBED Equation.3 1415 неизвестным 13 EMBED Equation.3 1415 Величины 13 EMBED Equation.3 1415 характеризуют изменение спроса на каждый товар, вызванное изменением цены одного из товаров, в данном случае 13 EMBED Equation.2 1415. Определитель системы 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид (1.7). Изменение спроса на товар 13 EMBED Equation.3 1415 составляет величину 13 EMBED Equation.3 1415
Изменение спроса на товар 13 EMBED Equation.3 1415 составляет 13 EMBED Equation.3 1415
Изменение спроса на товар 13 EMBED Equation.3 1415 равно 13 EMBED Equation.3 1415
Изменение спроса на любой товар 13 EMBED Equation.3 1415 при изменении любой цены 13 EMBED Equation.3 1415 составит 13 EMBED Equation.3 1415 (1.12)
Воспользуемся выражением (1.9) изменения спроса на любой товар 13 EMBED Equation.3 1415 при изменении дохода 13 EMBED Equation.3 1415 и подставим его в (1.12), получим основное уравнение теории ценности:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.13)
В полученном выражении можно поменять местами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом определяем изменение спроса потребителя на любой товар с номером 13 EMBED Equation.2 1415, вызванное изменением цены любого другого товара с номером 13 EMBED Equation.2 1415. Изменение спроса зависит от объема потребляемого товара 13 EMBED Equation.2 1415, цена которого изменяется, и от 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. от предельной полезности денежной единицы 13 EMBED Equation.2 1415 для потребителя, от предельной полезности товаров 13 EMBED Equation.3 1415, оцениваемой потребителем, и от 13 EMBED Equation.3 1415 - вторых частных производных функции полезности, знаки которых свидетельствуют о характере изменения предельной полезности. Если предельная полезность товара убывает, то 13 EMBED Equation.3 1415 отрицательна.
Экономическая интерпретация основного уравнения теории ценности.
Согласно уравнению (1.13) изменение спроса определяется двумя слагаемыми. Первое измеряет влияние изменения дохода на спрос. Если цена товара 13 EMBED Equation.2 1415 увеличивается, то это приводит к снижению реального дохода потребителя при неизменном номинальном доходе и уменьшению спроса в общем случае на все товары, для которых 13 EMBED Equation.3 1415. Данная величина должна быть положительной, так как первое слагаемое в уравнении ценности имеет знак минус. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Снижение дохода вызывает снижение спроса, или увеличение дохода обусловливает увеличение спроса, что характерно для нормальных товаров.
В то же время спрос на малоценные товары, для которых 13 EMBED Equation.3 1415 может увеличиться. Если 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415. При снижении дохода спрос увеличивается, с ростом дохода спрос уменьшается, это характерно для малоценных товаров, для товаров низшей категории.
Однако с изменением цены любого товара и реального дохода потребитель может осуществлять замену - уменьшить потребление одних товаров и увеличить потребление других. Рассмотрим влияние компенсированного изменения цены, при котором доход компенсируется таким образом, чтобы полезность набора оставалась неизменной 13 EMBED Equation.3 1415. Чтобы измерить влияние замены на спрос, рассмотрим увеличение цены 13 EMBED Equation.2 1415-го товара на 13 EMBED Equation.2 1415. Изменение цены сопровождается изменением дохода на величину 13 EMBED Equation.3 1415, если изменение дохода будет потрачено на покупку товара 13 EMBED Equation.3 1415. При снижении цены часть номинального дохода высвобождается при прежних объемах покупки товаров и увеличивается реальный доход потребителя. Если цена увеличивается, то при неизменном номинальном доходе потребителя его реальный доход уменьшается.
Спрос на любой 13 EMBED Equation.2 1415 -й товар при увеличении цены 13 EMBED Equation.2 1415-го товара составит величину: 13 EMBED Equation.3 1415. Первое слагаемое характеризует изменение спроса на товар 13 EMBED Equation.2 1415 при изменении дохода, второе слагаемое - изменение спроса на этот же товар при изменении цены любого другого товара 13 EMBED Equation.2 1415. Воспользуемся 13 EMBED Equation.3 1415 и запишем 13 EMBED Equation.2 1415 в виде: 13 EMBED Equation.3 1415, или
13 EMBED Equation.3 1415 (1.14)
Сравнив основное уравнение теории ценности (1.13) с (1.14), получим, что 13 EMBED Equation.3 1415. Величина 13 EMBED Equation.3 1415 измеряет влияние замены товара 13 EMBED Equation.3 1415 товаром 13 EMBED Equation.3 1415 - эффект замены, взаимозамещаемость товаров в потреблении, вызванную относительными изменениями цен. Эффект замещения характеризует воздействие изменяющейся цены товара 13 EMBED Equation.2 1415 на спрос товара 13 EMBED Equation.2 1415 одновременно с таким изменением реального дохода, которое позволяет потребителю купить то же самое количество товара 13 EMBED Equation.2 1415, что и раньше, несмотря на изменение цены 13 EMBED Equation.2 1415.
Величина 13 EMBED Equation.3 1415 может быть положительной и отрицательной. Ее знак определяет направление изменения спроса на товар 13 EMBED Equation.2 1415 при компенсированном изменении цены 13 EMBED Equation.2 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415 положительно, параметр 13 EMBED Equation.3 1415 всегда величина положительная для рационального потребителя, 13 EMBED Equation.3 1415, то с ростом цены 13 EMBED Equation.2 1415 спрос на товар 13 EMBED Equation.2 1415 увеличивается и товары являются взаимозаменяемыми. Если 13 EMBED Equation.3 1415 отрицательно, то с ростом цены 13 EMBED Equation.2 1415 спрос на 13 EMBED Equation.2 1415 уменьшается, 13 EMBED Equation.3 1415, и товары взаимодополняемы.
Таким образом, общее изменение спроса на любой товар 13 EMBED Equation.2 1415 при изменении цены любого другого товара 13 EMBED Equation.2 1415 в экономике равно сумме эффектов замещения 13 EMBED Equation.3 1415 и дохода 13 EMBED Equation.3 1415, которые могут принимать как отрицательные, так и положительные значения. Если 13 EMBED Equation.3 1415 т.е. цена на один товар растет и спрос на другой товар также растет, или цена на один товар снижается и спрос на другой товар уменьшается, то имеем инфериорные товары. При повышении цены товара возможно увеличение спроса на него при низком доходе, что характерно для товаров Гиффена.
Если 13 EMBED Equation.3 1415то цена товара 13 EMBED Equation.3 1415 снижается, а спрос на товар 13 EMBED Equation.2 1415 увеличивается.
Эффект замещения и эффект дохода используется в построении маршаллианской кривой спроса и кривых компенсированного спроса. Первая выражает зависимость между величиной спроса и ценой товара с учетом обоих эффектов - замещения и дохода при фиксированном номинальном доходе потребителя. Вторая, кривая компенсированного спроса, выражает зависимость между объемом спроса на товар с учетом только эффекта замещения. В зависимости от соотношения эффекта замещения и эффекта дохода изменяется взаимное расположение маршаллианской кривой и кривой компенсированного спроса. Для нормальных товаров общий эффект изменения цены превышает эффект замещения, поэтому кривая компенсированного спроса имеет больший по абсолютной величине наклон, чем кривая компенсированного спроса. Для товаров низшей категории общий эффект изменения цены меньше эффекта замещения, то кривая компенсированного спроса имеет меньший наклон, чем маршаллианская кривая спроса. Но обе они и для нормальных товаров и для товаров низшей категории имеют отрицательный наклон, поскольку эффект замещения изменяет объем спроса в направлении обратном изменению цен. Маршаллианская кривая спроса, т.е. обычная кривая, может иметь положительный наклон только в случае товара Гиффена.
Различают кривые компенсированного спроса по Слуцкому и по Хиксу. В основу различия этих кривых положена трактовка реального дохода Е. Слуцким и Дж. Хиксом. Влияние эффекта замещения на изменение спроса на товар при изменении его цены (или цены другого товара) оценивают при абстрагировании от влияния эффекта дохода, т.е. в предположении, что реальный доход потребителя не изменяется при изменении цены товара. Существуют две трактовки реального дохода. По Слуцкому реальный доход измеряется количеством благ и услуг, которое потребитель приобретает на свой номинальный доход. Реальный доход не изменяется, если после изменения цен потребитель может приобрести тот же набор, что и прежде. В обосновании эффекта замещения по Слуцкому элиминируют влияние дохода вспомогательной бюджетной линией, проходящей через точку первоначального оптимального набора. Это означает, что эффект замещения определяют при неизменном реальном доходе потребителя.
По Хиксу реальный доход измеряется полезностью приобретаемого набора товаров. Если после изменения цен потребитель может купить на весь свой доход набор, имеющий такую же полезность, что и прежний набор, то его благосостояние, т.е. реальный доход, не изменяется. При выделении эффекта замещения по Хиксу влияние дохода элиминируется тем, что вспомогательная бюджетная линия (на которой находится вспомогательный набор, разделяющий эффект замещения и эффект дохода) касается кривой безразличия, на которой находится первоначальный набор.
Величина эффекта замещения и эффекта дохода по Слуцкому и по Хиксу различаются. Поэтому хотя кривые компенсированного спроса по Слуцкому и по Хиксу располагаются одинаково относительно маршаллианской кривой спроса, имеют отрицательный наклон, но их наклоны различны. Компенсированный спрос по Слуцкому является функцией переменной цены одного из товаров, постоянных ценах всех остальных товаров и неизменного реального дохода потребителя. В случае двух товаров функцию можно записать так: 13 EMBED Equation.3 1415. Компенсированный спрос по Хиксу есть функция товара 13 EMBED Equation.3 1415 при постоянной цене товара 13 EMBED Equation.3 1415 и фиксированной полезности набора, приобретаемого потребителем 13 EMBED Equation.3 1415.
Основное уравнение теории ценности позволяет рассматривать изменение спроса одного потребителя на группы товаров при одинаковом изменении их цен, изучать воздействие, которое оказывает изменение цены на спрос со стороны групп потребителей, имеющих одинаковые доходы, и другие процессы.
3. Предельная полезность по доходу и предельная полезность
по цене продукта (тождество Роя)
Рассмотрим предельную полезность по доходу и предельную полезность по цене продукта для случая приобретения потребителем двух товаров. Выводы естественным образом переносятся на случай любого числа товаров 13 EMBED Equation.3 1415.
Значения 13 EMBED Equation.3 1415 - представляют собой решение задачи потребления - оптимального положения рационального потребителя в экономике. Покажем, что предельная полезность по доходу
13 EMBED Equation.3 1415 (1.15)
равна множителю Лагранжа 13 EMBED Equation.3 1415. Для 13 EMBED Equation.3 1415 выполняются необходимые условия оптимальности
13 EMBED Equation.3 1415 (1.16)
Равенство 13 EMBED Equation.3 1415 является тождеством по переменным 13 EMBED Equation.3 1415 Продифференцируем его по доходу, получим 13 EMBED Equation.3 1415 Так как 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415, что и требовалось доказать.
Вывод (1.15,2.3) позволяет оценить максимальное значение общей полезности 13 EMBED Equation.3 1415при условии 13 EMBED Equation.3 1415При относительно малом изменении дохода 13 EMBED Equation.3 1415множитель Лагранжа мал так, что для заметного увеличения полезности приобретаемого набора необходимо значительно увеличить расход потребителя, что следует из 13 EMBED Equation.3 1415.
Косвенная функция полезности по определению есть максимум функции общей полезности при наличии бюджетного ограничения, есть функция цен и дохода потребителя.
Изменение значения косвенной функции полезности, вызванное изменением цены одного из товаров, является произведение 13 EMBED Equation.3 1415 т.е.
13 EMBED Equation.3 1415 (1.17)
Решение задачи Лагранжа 13 EMBED Equation.3 1415 получено из необходимых условий максимума функции полезности. Продифференцируем тождество 13 EMBED Equation.3 1415по переменным ценам товаров. Получим
13 EMBED Equation.3 1415 (1.18)
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Значение 13 EMBED Equation.3 1415определено из условия (1.18,2.5). Аналогично можно показать, что13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Условия (1.16) позволяют оценить новый 13 EMBED Equation.3 1415 функции полезности, который имеет место при относительно малом изменении цены:
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, для любого числа товаров предельная полезность косвенной функции полезности по доходу и по ценам равна:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,,13 EMBED Equation.3 1415.
Предельный расход по полезности и предельный расход
по цене продукта
Рациональный потребитель стремится приобрести набор, имеющий максимальную полезность. Возникает вопрос, как достичь такого уровня полезности с наименьшими расходами? Решим задачу минимизации расхода потребителя при фиксированном уровне полезности – максимально возможном уровне полезности методом Лагранжа. Исходные условия задачи;
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (1.19)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.20)
Функция Лагранжа сформулированной задачи имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.21)
Запишем необходимые условия минимизации издержек - условия первого порядка.
13 EMBED Equation.3 1415 (1.22)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Получили систему уравнений с тремя неизвестными. Решение системы 13 EMBED Equation.3 1415 называется критической точкой функции Лагранжа. Критическая точка без координаты 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 называется короткой точкой. Система имеет единственное решение 13 EMBED Equation.3 1415, представленное функциями:
13 EMBED Equation.3 1415
Первые два уравнения называются функциями спроса потребителя по Хиксу на первый и второй товары или функциями компенсированного спроса. Функции спроса по Хиксу подставляем в функцию бюджетного ограничения, получим выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
Функция 13 EMBED Equation.3 1415называется функцией расходов. Она зависит от цен и максимальной величины общей полезности набора, но явно не зависит от объемов приобретаемых потребителем продуктов. С ростом полезности оптимального набора и неизменных ценах расходы потребителя увеличиваются. Если растет цена хотя бы одного товара, что уменьшает полезность набора, то для достижения потребителем исходного уровня полезности его расходы должны увеличиться. Если цены товаров растут в одинаковой пропорции, то расходы потребителя для достижения оптимального уровня полезности должны вырасти в такой же пропорции.
Функция расходов растет по цене убывающим темпом, что обусловлено замещением более дорогого товара относительно более дешевым в оптимальном наборе.
Свойства функции расходов состоят в следующем. Функция расходов однородна первой степени по переменным ценам продуктов. Доказательство
13 EMBED Equation.3 1415
Если максимальная полезность 13 EMBED Equation.3 1415 растет, то и расход потребителя 13 EMBED Equation.3 1415 растет. Функция расходов непрерывна по ценам и дважды дифференцируема.
Функции спроса являются однородными нулевой степени по переменным ценам так, что для любого положительного числа 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется равенство: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 Доказательством служат следующие выражения:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (1.23)
Задачи на нахождение набора, имеющего максимальную полезность для потребителя (1.1, 1.3), минимизации расходов потребителя при фиксированном уровне полезности(1.19 - 1.21) имеют одно и тоже решение 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция спроса по Хиксу непрерывна. Доказательство не приводится.
Для любого числа 13 EMBED Equation.3 1415 продуктов в наборе функции спроса по Хиксу имеют вид: 13 EMBED Equation.3 1415 Объемы продуктов, входящих в потребительскую корзину, имеющей максимальную полезность, являются функциями цен и набора максимальной полезности.
Предельный расход по полезности и предельный расход
по цене продукта (лемма Шепарда).
Предельный расход по полезности равен множителю Лагранжа:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.24)
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 есть решение задачи 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 на условный экстремум. Тогда имеем тождества
13 EMBED Equation.3 1415 (1.25)
13 EMBED Equation.3 1415
Равенство 13 EMBED Equation.3 1415 является тождеством по 13 EMBED Equation.3 1415 Продифференцируем последнее выражение по 13 EMBED Equation.3 1415 Получим
13 EMBED Equation.3 1415 (1.26)
Продифференцируем функцию расходов по максимальной полезности. 13 EMBED Equation.3 1415
В преобразованиях использовалась подстановку значений цен из (1.25) и (1.26). Утверждение (1.24) доказано.
Полученный вывод позволяет оценить новый минимальный уровень расхода потребителя 13 EMBED Equation.3 1415, который получим при относительно малом изменении максимально возможной общей полезности на 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. при 13 EMBED Equation.3 1415. Он приблизительно равен 13 EMBED Equation.3 1415при 13 EMBED Equation.3 1415 Приближенное равенство означает, что при увеличении уровня полезности, например, на одну единицу, потребителю необходимо существенно увеличить расход.
Лемма Шепарда о предельном расходе по цене продукта утверждает, что предельный расход по цене одного из продуктов равен объему этого продукта в оптимальном наборе.
13 EMBED Equation.3 1415 (1.27)
13 EMBED Equation.3 1415
Продифференцируем равенство 13 EMBED Equation.3 1415 по переменной цене. Получим выражение предельной полезности по цене продукта:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.28)
Имеем 13 EMBED Equation.3 1415
В преобразованиях использованы подстановки: необходимое условие максимума функции Лагранжа(1.25) и предельная полезность по цене продукта (1.28).
Выражение для 13 EMBED Equation.3 1415 доказывается аналогично.
Выражение цен в равенстве (1.25) позволяет оценить новый минимум расхода 13 EMBED Equation.3 1415, который при относительно малом изменении цены, например 13 EMBED Equation.3 1415, имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда следует 13 EMBED Equation.3 1415. Минимальное значение 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 приблизительно равно минимальному значению 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
Для любого условия (1.4.4) имеют вид: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Взаимосвязь между решением задач максимизации функции полезности и минимизации расходов представлена ниже.

Задача максимизации функции полезности имеет вид:
Задача минимизации расходов

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Используем решения задач максимизации функции полезности и минимизации расходов для вывода уравнения Е. Слуцкого и для представления его в коэффициентах эластичности.

IU*



x2

x1

Рис. 1.1. Максимизация функции полезности


x1*

x2*

p1x1+p2x2=I



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 96386
    Размер файла: 706 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий