83


83) Статически неопределимые системы
84) Порядок расчета статически неопределимого ступенчатого стержня.
85) Температурные напряжения.
86) Способы компенсации температурных напряжений в строительных и инженерных конструкциях.
87) Статически неопределимые задачи при кручении.
88) Расчет статически неопределимых стержневых систем.
89) Способы регулирования напряжений. Понятие преднапряжений.
90) Теорема о взаимности работ внешних сил (энергетические методы).
91) Теорема о взаимности работ внутренних сил
92) Теорема о взаимности перемещений.
93) Определение перемещений методом Максвелла-Мора
94) Вычисление интеграла Мора способом Верещагина.
95) Разложение эпюр на составляющие треугольной и параболической формы.
95) Разложение эпюр на составляющие треугольной и параболической формы.
97)понятия об основной системе метода сил. Эквивалентная система
98) Канонические уравнения метода сил.
99) Определение перемещений статически неопределимых балок
100) учет осадок опор при расчете неразрезных балок
101 )Понятие о концентрации напряжений.
102 )Концентрация напряжений около края отверстия
103) Способы снижения концентраций напряжений
104) Понятие о контактных напряжениях.
105) Сложное сопротивление. Основные понятия
106) Косой изгиб. Общие понятия
107) Определение напряжений при косом изгибе.
108) Определение положения нейтральной оси при косом изгибе.
109) Определение прогибов при плоском и пространственном косых изгибах.
110) Построение эпюр внутренних сил при косом изгибе.
111) Порядок расчета на прочность балки при косом изгибе
112) Внецентренное растяжение(сжатие). Основные понятия
113) Определение нормальных напряжений при внецентренном растяжении (сжатии)
114) Определение положения нулевой линии (нейтральной оси) при внецентренном растяжении (сжатии)
115) Свойства нулевой линии
116) Ядро сечения
117) Свойства ядра сечения
118) Примеры построения ядра сечения.
119) Порядок расчета внецентренно сжатой колонны.
120) Изгиб с растяжением или со сжатием.
121) Изгиб с кручением.
122) Расчет пространственного ломаного стержня.
123) Методы решения задач на устойчивость.
124) Основные понятия об устойчивости.
126) Метод Эйлера определения критически сжимающей силы для сжатого стержня.
127) Влияние способа закрепления сжатого стержня на величину критической силы.
128) Пределы применяемости формулы Эйлера. Формула Ясинского.
129) Расчет сложного стержня любой гибкости.
130) Практический расчет сжатого стержня.
131)Порядок расчета сжатого стержня на продольный изгиб(см. практические занятия)
132) Продольно-поперечный изгиб. Основные понятия.
133) Приблизительное решение
134) Динамический расчет строительных конструкций. Основные понятия.
135) Учет сил при расчете троса.
136) Расчет на удар.
137) Динамический расчет на мгновенно приложенную нагрузку.
138) Понятие о волновой теории удара.
139) Модели упругих оснований (Расчет балки на упругом основании)
141) Расчет бесконечно длинной балки на упругом основании, загруженной одной сосредоточенной силой.
142) Расчет бесконечно длинной балки на упругом основании при сложном нагружении.
143) Понятие о расчете коротких балок на упругом основании.
149) Прочность при переменных растяжениях. Основные понятия.
150) Виды циклов напряжений.
151) Понятие о пределе выносливости.
152) Диаграмма предельных амплитуд.
153) Факторы, влияющие на величину предела выносливости.
154) Расчет модели. (Учет пластических деформаций при расчете элементов конструкций)
155. Пластический изгиб статически определимой балки.
83) Статически неопределимые системы
Статически неопределимыми системами называются такие системы, когда число неизвестных реакций или внутренних сил превышает число уравнений равновесия. В этом случае в реакции внутренней силы методами статики найдены быть не могут.
Любая статически неопределимая система характеризуется степенью статической неопределимости, которая равна разности числа неизвестных и числа линейно-независимых уравнений равновесия.

Для расчета статически неопределимых систем составляются дополнительные уравнения из условия совместности деформаций.
Количество дополнительных уравнений равно степени статической неопределимости. Дополнительные уравнения присоединяются к уравнениям равновесия. В результате решения системы полученных уравнений определяются все неизвестные (реакции, внутренние силы).

84) Порядок расчета статически неопределимого ступенчатого стержня.
Рассмотрим стержень.

Если в процессе деформации нижний конец стержня достигает опоры B, то система становится статически неопределимой.
Количество неизвестных = 2 {zA, zB}
Количество уравнений равновесия = 1
n=2-1=1
z=-zA+F-zB=0 (1)
∆lF+∆lzB=∆∆lF=Fl2EA2∆lzB=-zBl1EA1+-zBl2EA2=-l1EA1+l2EA2*zBFl2EA2-l1EA1+l2EA2zB=∆ (2)
Объединяя оба уравнения, получим систему, решение которой дает нам zA и zB. Этот этап расчета называется раскрытием статически неопределимой системы.
Дальнейший расчет выполняется так же, как и для статически определимой системы стержня.
Если зазора нет, то ∆=0. Если стержень длиннее расстояния между опорами ∆<0.
85) Температурные напряжения.
В статически определимых системах изменение температуры вызывает лишь деформации, так как этим деформациям ничто не препятствует.
В статически неопределимых системах изменение размеров элементов препятствует дополнительной связи. Поэтому изменение температуры статически неопределенной конструкции приводит к изменению напряжений. Температурные напряжения очень опасные, и часто приводят к разрушению конструкции.

Количество неизвестных = 2 {zA, zB}
Количество уравнений равновесия = 1
n=2-1=1
z=zA-zB=0 (1)
∆lt+∆lzB=0∆lt=α*l*∆t°α – коэффициент температурного расширения. Устанавливается экспериментально.
Для стали α=12,5*10-6 1град∆lzB=-zBlEA ;
α*l*∆t--zBlEA =0 (2)
zB=α*EA*∆t° ;
Nt=-αEA∆t°σt=NtA=αEA∆t°A=-αE∆t°Температурные напряжения не зависят от длины стержня и площади поперечного сечения.
Увеличение площади поперечного сечения элемента не приводит к уменьшению температурных напряжений.
Для снижения температурных напряжений используются специальные приемы проектирования – компенсация температурных напряжений.
86) Способы компенсации температурных напряжений в строительных и инженерных конструкциях.
В промышленных зданиях большой протяженности устраиваются температурные швы, т.е. здания делятся на отдельные блоки, каждые из которых работают автономно.

В магистральных трубопроводах устанавливаются температурные конденсаторы: П-образные и сальниковые.

Достоинством П-образного конденсатора является его прочность трубопровода. Занимает большую площадь.

Достоинством сальникового конденсатора является компактность, несопротивление прокачки. Недостаток: требует устройства специальных колодцев, плохо воспринимает вибрацию с сейсмическим воздействием.
87) Статически неопределимые задачи при кручении.

Количество неизвестных = 2 {TA, TB}
Количество уравнений равновесия = 1
n=2-1=1
Mz=TA-T+TB=0 (1)
∆φF+∆φTB=0∆φF=TaGIp∆φTB=-TBa+bGIpTaGIp-TBa+bGIp=0 (2)
Объединяя уравнения 1 и 2 получая систему, получим TA и TB.

88) Расчет статически неопределимых стержневых систем.
Ограничимся рассмотрением стержневых систем, содержащих абсолютно жесткий диск, прикрепленный к шарнирно-неподвижной опоре.
РИСУНОК
Особенности:
1)Абсолютно жесткий диск не деформируется, т.е. расстояние между любыми двумя его точками остается неизменным.
2)Перемещение точки диска при его повороте прямо пропорционально от удаленности центра ее поворота.
127072834500-67310-99695003)Любая точка диска, не включая точку шарнира (точка С) перемещается по дуге окружности с центром С.
4)Из-за малости перемещения дугу окружности заменяют касательной.
δArA=δBrB=…=δkrk=tgαРИСУНОК
Количество неизвестных=4 {XC, YC, N1, N2}
Количество уравнений равновесия = 3
n=4-3=1
X=-XC-N1cosα-N2=0 (1)
Y=YC-F+N1sinα=0 (2)
MC=F*a2-N1sinα+N2b=0 (3)
В процессе деформаций жесткий диск может только поворачиваться.
rA=a rB=a2+b2δArA=δBrB δAa=δBa2+b2∆l1=δAsinαδA=∆l1sinα δB=-∆l2sinβ∆l1asinα=-∆l2sinβ*a2+b2sinβ=ba2+b2∆l1asinα=-∆l2bN1l1aEA1sinα=-N2l2bEA2 (4)
Присоединим дополнительное полученное уравнение к трем уравнениям равновесия. И получим 4 уравнения с четырьмя неизвестными. Решив эту систему, найдем значение всех неизвестных.
Тем самым мы раскроем статическую неопределимость – дальнейший расчет выполняется также как и для статически определимой системы.

89) Способы регулирования напряжений. Понятие преднапряжений.
При проектировании статически неопределимых систем требуется предварительно задавать жесткости элементов или их отношение.

Поэтому возможны случаи проектирования неэкономичных статически неопределимых конструкций. Такие конструкции могут иметь неоправданно большие запасы прочности.
Для повышения рациональности используется регулирование напряжений (преднапряжения, изменения площадей сечения). За счет этого напряжения в элементах конструкции выравнивается. В идеале напряжения во всех элементах должна быть равна R.
σk=R.
90) Теорема о взаимности работ внешних сил (энергетические методы).
Эта теорема впервые была предложена в 1823 г.
Δ11 – перемещение по направлению первой силы от действия этой же силы
Δ21 – перемещение по направлению второй силы от действия первой силы
Δ12 – перемещение по направлению первой силы от действия второй силы
Δ22 – перемещение по направлению второй силы от действия этой же силы
A11=F1*Δ112 A22=F2*Δ22 2 A12=F1*Δ12
AΙ=A11+A22+A12A11=F1*Δ112 A22=F2*Δ22 2 A21=F1*Δ21
AΙΙ=A11+A22+A21Работа, совершенная системой сил для физически и геометрически линейных систем не зависит от порядка их приложения, поэтому ΑΙ=ΑΙΙAΙ=A11+A22+A12AΙΙ=A11+A22+A21-571505842000А12=А21
91) Теорема о взаимности работ внутренних сил.
В результате нагружения балки силой F1 в сечении появился момент M1.
4254521717000После загружения балки силой F2 появились дополнительные деформации.
dW12=M1*dθ2=M1dzρ2=M11ρ2dz=M1M2EIdzНайдем работу внутренних сил по всей длине балки.
W12=0lM1M2EIdzПусть вначале прикладывается сила F2, а потом F1. Индекс 1 станет 2, индекс 2 станет 1.
W21=0lM2M1EIdzТак как интегралы равны друг другу, то и работы внутренних сил также будут равны друг другу.
W12=W21
Работа внешних (внутренних) сил первого состояния на перемещение второго состояния равна работе внешних (внутренних) сил второго состояния на перемещение первого состояния.
92) Теорема о взаимности перемещений.
Пусть силы F1 и F2=1.
A12=F1∆12A21=F1∆21A12=A21δ12=δ21∆→δПеремещение точки приложения первой единичной силы по ее направлению, вызванной действием второй единичной силы равно перемещению точки приложения второй единичной силы по ее направлению, вызванной действием первой единичной силы.

93) Определение перемещений методом Максвелла-Мора.
Рассмотрим балку, загруженную нагрузкой общего вида – сосредоточенными моментами, силами и равномерно распределенными нагрузками. Обозначим это состояние состоянием k.
-660404679950031755270500Рассмотрим эту же балку, загруженную единичной силой F1=1, приложенной в исследуемой точке. Обозначим такое состояние буквой i.
Пусть требуется определить перемещение исследуемой точки, в которой приложена единичная сила A, B, и C.
Работа внешних сил: Aki=Aik=F1vc=1*vc=vcРабота внутренних сил: Wki=Wik=0lMiMkEIdzУчитывая закон сохранения энергии Aik=Wik, Aki=Wki, получим Vc=0lMiMkEIxdz.
В общем виде: ∆M=0lMiMkEIxdz.
Полученное выражение называется интегралом Мора.
∆M – линейное или угловое перемещение, вызванное изгибом балки.
Mi – функция изгибающего момента, вызванная единичной силой (черточка вверху означает, что это от единичной силы)
Mk – функция изгибающего момента от нагрузки
l – длина участка.
Интеграл берется на каждом участке отдельно и суммируется. Аналогично можно записать и
для продольных сил: ∆N=0lNiNkEAdzдля крутящего момента: ∆T=0lTiTkGIpdzдля касательного напряжения: ∆Q=μ0lQiQkGAdzμ – коэффициент, зависящий от формы сечения, берется из справочников.
Т.о. можно записать общую формулу:
∆ik=0lMiMkEIxdz+0lTiTkGIpdz+μ0lQiQkGAdz+0lNiNkEAdzСечение балки, испытывающее поперечный изгиб, продольные силы и крутящие моменты равны нулю. T=0, N=0.
Влиянием поперечных сил на деформацию балки пренебрегают. Поэтому обычно для балки используется только первый интеграл.
94) Вычисление интеграла Мора способом Верещагина.
Вместо интегрирования интеграла Мора можно воспользоваться графо-аналитическим способом, способом перемножения эпюр (способ Верещагина). Рассмотрим 2 балки: Пусть эпюра изгибающих моментов для первой балки имеет произвольное очертание, а для другой – линейное очертание. Пусть жесткость балки постоянная EI=const.
0lMiMkEIxdz=1EIx0lMiMkdzdωk=Mkdz0lMiMkdz=0lMiz*zMkdz=Miz0lzMkdz=Miz0lzdωk=MizS0=Mizωkzc=Miczcωkzc=Micωk0lMiMkEIxdz=MicωkEIx615953175000Интеграл Мора равен произведению площади эпюры Mk любого очертания на ординату прямолинейной эпюры Mi, расположенную под центром тяжести эпюры Mk и деленному на жесткость балки EIx. Интеграл (его значение) считается положительным, если обе эпюры изгибающих моментов раположены по одну сторону от оси балки.
Положительное значение интеграла означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента).
95) Разложение эпюр на составляющие треугольной и параболической формы.
При загружении балки сосредоточенными силами, моментами и равномерно распределенными нагрузками любую эпюру изгибающих моментов всегда можно представить как сумму эпюр треугольного и параболического очертания.
ω=1/2bhКвадратная парабола правильного очертания:
57152413000
ωk=2/3qs28sВозможные варианты разложения эпюр:
1)Обыкновенная или нормальная эпюра в виде трапеции
2)Перекрученная трапеция
3)Парабола
4)Перекрученная параболическая трапеция
-79883039433500
79819515240000
72390-241998500
96) Неразрезные балки. Основные понятия.
При плоской задаче балка, способная воспринимать произвольную нагрузку, должна быть прикреплена к опоре не менее, чем тремя связями. Эти связи называются безусловно необходимыми. Все остальные связи являются «лишними». Если связей недостаточно (т.е. меньше 3), то система (балка) становится кинематически изменяемой и в качестве строительных конструкций непригодна.
Если число связей больше, чем требуется из условия кинематической неизменяемости, то балка является статически неопределимой.
Количество лишних связей означает степень статической неопределимости.
Бывают случаи, когда число связей больше, чем степеней свободы, но система все равно кинематически изменяема.

47625-20574000
97)понятия об основной системе метода сил. Эквивалентная система
Основная система строиться путем отбрасывания (перерезания) всех лишних связей. При этом основная система должна быть статически определимой и кинематически неизменяемой. Для любой неразрезной (статически неопределимой )балки можно построить бесконечное множество основных систем . Какие –то варианты основных систем могут быть более «выгодными» и «не выгодными» по объему вычисления .
Примеры:
Для получения эквивалентной системы по отношению к исходной, требуется к основной системе приложить неизвестные силы в перерезанных(отброшенных) связях, а затем поставить условие , чтобы сумма деформаций от нагрузки и неизвестных по направлению перерезанных связей была равна 0.

Используя принцип независимости действия сил выразим перемещение ∆1и ∆2 как сумму
∆1=∆1x1+∆1x2+∆1F∆2=∆2x1+∆2x2+∆2FДля того, чтобы О.С сделать эквивалентной, необходимо поставить условие ∆1=0 и ∆2=0∆1x-перемещение(угол поворота) по направлению первой перерезанной связи от неизвестной силы(момента)в первой перерезанной связи∆2x-перемещение по направлению второй перерезанной связи от неизвестного во второй перерезанной связи
∆1F-перемещение по направлению первой перерезанной связи от нагрузки
101 )Понятие о концентрации напряжений.
Напряжение, возникающее вблизи вместо приложения сил около отверстий, выточек, надрезов, трещин не могут быть найдены с помощью элементарной теории – сопротивления материалов.
В этих местах наблюдается значительное увеличение напряжений, которые называются концентрацией напряжения.
Теоретический коэффициент напряжений называется отношение максимального напряжения, найденного с учетом концентрации, к номинальному напряжению в этой точке.
ασ=σmaxσnom≥1, где σnom – определяется по формулам сопротивления материалов.
ασ≥1 σnom=NAntσmax – определяется методами теории упругости.
σmax могут быть найдены с помощью численных методов.
Для пластических материалов, деформирующихся по диаграмме Франкля, концентрации напряжений при статических нагрузках не столь опасны.
Концентр. напряжения опасна при низких температурах в связи с повышением хрупкости материала.
98) Канонические уравнения метода сил.
∆1x1=δ11x1 ∆2x1=δ21x1∆1x2=δ12x2 ∆2x2=δ22x2∆1=δ11x1+δ12x2+∆1F∆2=δ21x1+δ22x2+∆2Fδ11x1+δ12x2+…δ1nxn+∆1F=0δ21x1+δ22x2+…δ2nxn+∆2F=0 ………………………………………………
δn1x1+δn2x2+…δnnxn+∆nF=0n – количество неизвестных (степень статической неопределимости)
Получится система, называемая системой канонических уравнений.
Каждое каноническое уравнение выражает следующее:
Сумма перемещений основной системы по направлению соответств. перерезанной связи от всех неизвестных и нагрузки =0.
Т.е. каждое каноническое уравнение – это уравнение совместимости деформаций.
Количество канонических уравнений всегда совпадает со степенью статической неопределимости системы.
Коэффициент и свободные члены канонич. уравнений обычно вычисляются по методу Максвелла-Мора (способом Верещагина). Хотя не исключается и применение других методов.
Решив систему канонич. уравнений получаем значение неизвестных, т.е. раскроем статическую неопределимость.
Затем к основной системе прикладывается нагрузка и находятся неизвестные и строятся эпюры Q и N как для статически определимой балки. Эти эпюры обычно называются окончательными.
102 )Концентрация напряжений около края отверстия

θB=0lM1MFEIdz=M1×MFEI=1EI+12qa22*a*1-23qa28*a*1=1EIqa34*23=qa36EIИз теории упругости получено решение для растянутой пластинки, ослабленной отверстием круглой формы при B≥10r, где B – ширина пластинки, а r – радиус отверстия.
σz=σm22+r2y2+3r4y4σm – среднее напряжение в сечении пластины с отверстием достаточно далеко удаленным от ослабления (отверстия)
y – расстояние от центра отверстия до точки, в которой опред. напряжение
r – радиус отверстия
y=r:σmax=3σmσy=-σm23r4z4-r2z299) Определение перемещений статически неопределимых балок
Необходимо:
- раскрыть статическую неопределимость.
- приложить к основной системе нагрузку и найденные неизвестные.
- построить окончательную эпюру изгибающих моментов.
- приложить к основной системе единичную силу в той точке, где требуется определить прогиб или единичный момент, где требуется определить угол поворота.
- построить единичную эпюру момента, т.е. эпюру моментов от этой единичной силы (момента).
- перемножить окончательную и единичную эпюры изгибающих моментов, и результат разделить на жесткость балки.Если получился прогиб (угол поворота) положительный, то это значит, что они совпадают по направлению с единичной силой (единичным моментом).
Если значение отрицательное, то они направлены против направления единичной силы или моментов.
VB=0lM1MFEIdz=M1×MFEI+12Fl*l*23lEI=Fl33EI→прогибVB=0lM1MFEIdz=M1×MFEI=-Ml*12lEI=-Ml22EI103) Способы снижения концентраций напряжений
Экспериментально установлено, что волокнистые материалы (чем тоньше волокно, тем в большей мере) более прочные.
Это доказано результатами исследований Гриффитса со стеклом (1920 год). Это объясняется уменьшением числа концентраторов (трещин). Такое явление используется – хрупкие материалы часто нормируются, композитные материалы часто…………
Для снижения концентрации напряжений следует уменьшить кривизну поверхности концентратора. Например, на фронте трещины просверливается отверстие.
100) учет осадок опор при расчете неразрезных балок

∆1=Vcl2 ∆2=Vcl2+Vcl3δ11x1+δ12x2+∆1F=∆1δ21x1+δ22x2+∆2F=∆2Т.о. для учета осадок опор необходимо:
В правую часть канонических уравнений вместо 0 подставить перемещение по направлению неизвестных, вызванной только осадками опор.
104) Понятие о контактных напряжениях.
Задачу определения напряжений, возникающих при сжатии двух тел, называют контактной задачей, а напряжение на поверхности этих тел -контактными. Эти напряжения необходимо знать при проектировании подшипников, катков, опорных частей мостов строительных конструкций.

Контактная задача может быть решена только методом теории упругости.
Рассмотрим задачу о действии цилиндра на плоскую плиту.
b=2,15qd1E σmax=0,59qEd1Для контактных напряжений допускаемые напряжения гораздо больше, чем для растяжения и сжатия.
σadm=700Мпа105) Сложное сопротивление. Основные понятия
Если в поперечном сечении бруса одновременно действуют несколько компонентов внутренних сил, то считается, что он находится в условиях сложного сопротивления.
Для вычисления напряжений в произвольной точке сечения используется принцип независимости действия сил. Вычисляется напряжение от каждой составляющей внутренних сил в отдельности, а затем результаты складываются.
От N: σ=NA От Mx: σ=MxIxy От My: σ=MyIyx От Qx: τ=QxSy0IybyОт Qy: τ=QySx0Ixbx От T: TIpρby- ширина сечения на уровне исследования точки направлению оси OY
bx – ширина сечения на уровне исследования точки направлению оси OX
Нормальные напряжения складываются алгебраически, а касательные – геометрически.
Некоторым частным случаям сложного сопротивления даны названия: внецентренное сжатие, кручение с изгибом, изгиб со сжатием, косой изгиб и др.
109) Определение прогибов при плоском и пространственном косых изгибах.

VBM1×MFEI=1EI12Fl*l*23l=Fl33EIКосой изгиб разделяют на 2 вида – плоский и пространственный.
Косой изгиб называется плоским, если упругая ось балки является плоской кривой.
Косой изгиб называется пространственным, если упругая ось балки является пространственной.
Рассмотрим плоский косой изгиб

VBx=Fxl33EIyVBy=Fyl33EIxVB=VBx2+VBy2tgγ=VBxVBy=Fxl33EIy*3EIxFyl3=FxIxFyIytgγ=FsinαFcosα*IxIytgγ=IxIytgαУгол α и β равны друг другу.
tgγ=IxIytgα => γ=β (при плоском косом изгибе)
Углы откладываются от взаимно перпендикулярных осей x и y, поэтому направление полного прогиба при плоском косом изгибе перпендикулярно нейтральной оси. Т.к. Ix≠Iy , направление полного прогиба не совпадает с направлением действия силы (γ≠α). Это и послужило причиной назвать этот вид сопротивления косым изгибом.
Для пространственного косого изгиба плоскость действия суммарного изгибающего момента для различных сечений балки будет иметь разное положение и зависит от значения моментов Mx и My.
tgα=MyMx
Для пространственного косого изгиба направление полного прогиба углом γ не может быть определено.
Для определения полного прогиба балки и его направления необходимо найти прогибы по направлению оси y отдельно, а затем геометрически сложить.
Направление полного прогиба можно установить по проекциям
tgγ=VxVy
106) Косой изгиб. Общие понятия
Изгиб бруса, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении не содержит ни одной из главных центральных осей инерции этого сечения, называется косым изгибом.

110) Построение эпюр внутренних сил при косом изгибе.
Поперечное сечение балки при косом изгибе появляется 2 поперечные силы. Qx и Qy и 2 изгибающих момента Mx и My.
Для определения внутренних сил используется метод сечений. Нагрузку раскладывают на составляющие, лежащие в плоскостях zx и zy.
Z – продольная ось.
x, y – главные центральные оси инерции.
Эпюры строятся в отдельности в одной плоскости и в другой. При необходимости эпюры могут быть геометрически сложными.
107) Определение напряжений при косом изгибе.
Fx=FsinαFy=FcosαM=FzMx=Fyz=Fzcosα=McosαMy=Fxz=Fzsinα=Msinα-6350025527000Таким образом, при косом изгибе в одном сечении действует 2 изгибающих момента – момент относительно оси x и момент относительно оси y. Учитывая принцип независимости действия сил, определим нормальные напряжения произвольно точки поперечного сечения.
σ=σот Mx+σот My=MxIxy+MyIyxσ=MxIxy+MyIyxMx, My – изгибающие моменты сечений относительно главных центральных осей x, y
Ix, Iy – главные центральные моменты инерции поперечного сечения
x, y – координаты точки, в которой вычисляется напряжение.
Для получения правильного знака оси x и y следует направлять в сторону растянутых волокон, изгибающие моменты брать по абсолютной величине, а координаты x, y со своим знаком.
РИСУНОК
Если сечение имеет точку, одновременно максимально удаленную от оси x и y, то максимальные напряжения могут быть найдены по упрощенной формуле.
σmax=MxIxymax+MyIyxmax=MxIxymax+MyIyxmax=±MxWx±MyWyσmax=±MxWx±MyWyгде Wx, Wy – осевые моменты сопротивления сечения относительно главных центральных осей x и y.
Примеры таких сечений:
67564012065000
-635004953000
111) Порядок расчета на прочность балки при косом изгибе
1. Построить эпюры внутренних сил в 2-х плоскостях
2. Определить опасное сечение
3. Определить положение нейтральной оси
4. Найти опасные точки в растянутой части сечения и в сжатой части сечения
5.Проверить по условию прочности на растяжение и сжатие
σs=MxIxys+MyIyxs≤Rsσt=MxIxyt+MyIyxt≤Rtxt , yt – координаты опасной точки в растянутой части сечения
xs , ys – координаты опасной точки в сжатой части сечения
Rt , Rs – расчетное сопротивление материала на растяжение и сжатие
Опасными точками сечения являются точки максимально удаленные от нейтральной оси, тк в них появляется максимальное напряжение.
σtmax – опасное напряжение в растянутой части сечения
σsmax – опасное напряжение в сжатой части сечения
Для сечений прямоугольно подобной формы, те когда имеются точки одновременно максимально удаленные от главных центральных осей Х и У, а также когда материал имеет одинаковую прочность на растяжение и на сжатие, порядок расчета следующий:
Построить эпюры внутренних сил в 2х плоскостях
Определить опасное сечение в балке
Проверить по условию прочности
σ=±Mxwx±Mywy≤Rσ=Mxwx+Mywy=Mxwx+Mywy*wxwx=Mx+wxwyMywx≤RРоль изгибающего момента играет выражение в скобках.
σ=Mx red wx≤RMx red – приведенный изгибающий момент к моменту Mx. Mx red =Mx+wxwyMy108) Определение положения нейтральной оси при косом изгибе.
Рассмотрим сечение прямоугольной формы. Для того, чтобы сразу было видно положение его главных осей инерции – оси симметричны.
РИСУНОК
-577857048500Нейтральная ось – линия, в каждой точке которой напряжения равны нулю. Пусть xn, yn – координаты точки, принадлежащие нейтральной линии.
σ=MxIxyn+MyIyxn=0 (*)
x1xn; xIx; x1Mxynxn=-MyMxIxIyИзображение звездой обозначает, что нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.
ayn+bxn=0tgβ=ynxn=-IxIyMyMx=-IxIyMsinαMcosαtgβ=IxIytgαНейтральная ось при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения и наклонена к оси x под углом β.
Угол β всегда откладываем от оси x так, чтобы нейтральная ось проходила через отрицательные квадранты, если оси x и y направлять в сторону растянутых волокон.
Т.к. нейтральная линия является прямой, то ее называют нейтральной осью.
Если Ix≠Iy , тогда β≠α.
Для сечений, у которых Ix=Iy (круг, квадрат, кольцо), косой изгиб согласно данному определению вообще невозможен, т.к. центральная ось является главной. Поэтому силовая плоскость (плоскость суммарного изгибающего момента) будет всегда содержать одну из многочисленных главных центральных осей инерции сечения.
РИСУНОК
4387854254500-6604021399500Такой изгиб иногда называют не косым, а изгибом в двух плоскостях.
112) Внецентренное растяжение(сжатие). Основные понятия
Внецентренное растяжение(сжатие)-вид сложного сопротивления, который вызван действием продольной силы, несовпадающей с продольной осью стержня. Такой вид сопротивления испытывают опоры мостов, фундаменты под колонной, колонны.
4826011176000


113) Определение нормальных напряжений при внецентренном растяжении (сжатии)

Очевидно, что в результате параллельного переноса силы, появляется момент, равный произведению исходной силы на расстояние переноса.
Рассмотрим внецентренно-растянутый стержень:

В результате такого переноса кроме центрально приложенной силы F появится еще и 2 момента Mx и My. Т.к. эти моменты относительны поперечных осей, то они являются изгибающим моментом.
N=±F:Mx=NyFMy=NxFТ.о. внецентренное растяжение (сжатие) приводится к трем простым видам сопротивления – центральному растяжению (сжатию) и двум чистым изгибам.
Используя принцип независимости действия сил вычислим напряжения в произвольной точке поперечного сечения.
σ=σот N+σот Mx+σот Myσ=NA+MxIxy+MyIyxгде N=±FДля внецентренного растяжения принимаем знак «+», для сжатия - минус.
А – площадь поперечного сечения.
Mx ,My – изгибающие моменты, вызванные эксцентриситетом приложения равнодействующей.
Mx=NyF My=NxFxF ,yF – координаты точки приложения равнодействующей.
Ix ,Iy - главные центральные моменты инерции поперечного сечения.
x, y – координаты точки, в которой вычисляется напряжение.
σ=NA+MxIxy+MyIyx=NA+NyFyIx+NxFxIy =NA+NyFyIxAA+NxFxIyAA=NA1+yFyIxA+xFxIyA=NA1+xFxi2y+yFyi2xσ=NA1+xFxi2y+yFyi2xix=IxA iy=IyAix , iy – радиусы инерции поперечного сечения.
Если ввести понятие среднее напряжение
σm=NA , тогда получим σ=σm1+xFxi2y+yFyi2x114) Определение положения нулевой линии (нейтральной оси) при внецентренном растяжении (сжатии)
Линия, соединяющая все точки сечения, в которых напряжения равны нулю, называются нулевой линией (нейтральной осью).
σ=NA1+xFxni2y+yFyni2x=0xn , yn – координаты в точке нулевой линии.
N≠01+xFxni2y+yFyni2x=01=-xni2yxF-yni2xyFxn-i2yxF+yn-i2xyF=1Пусть -i2yxF=ax -i2xyF=ayТогда:
xnax+ynay=1Нулевая линия является прямой, не пересекающей центр тяжести сечения.
ax=-i2yxFay=-i2xyFЭто отрезки, которые отсекает нулевая линия на главных центральных осях инерции.

115) Свойства нулевой линии
1) Нулевая линия никогда не пересекает тот квадрант, в котором приложена сила (равнодействующая).
2) Если точка приложения силы движется по прямой, пересекающей центр тяжести сечения и приближается к центру тяжести, то нулевая линия смещается параллельно сама себе и удаляется от центра тяжести сечения.3) Если точка приложения расположена на оси x (на оси y), то нулевая линия перпендикулярна оси x (оси y).

Если точка приложения силы движется по прямой, не проходящей через центр тяжести сечения, то линия нулевая поворачивается около неподвижной точки.

xFx0+yFy0=1xS=-i2yx0yS=-i2xy0σS=NA1+xFxSi2y+yFySi2x=NA1+xFi2y-i2yx0+yFi2x-i2xy0==NA1+-xFx0+-yFy0=NA1-xFx0+yFy0=NA1-1==0Т.о. где бы ни была приложена сила F на прямой 1-2, напряжение в точке S будет равно нулю. Следовательно нулевая линия при движении точки приложения силы F по прямой 1-2 будет всегда проходить через точку S, а это значит, что она будет поворачиваться около неподвижной точки S
116) Ядро сечения
Ядро сечения – область, очерченная вокруг центра тяжести, при приложении силы в любой точке которой, во всех точках сечения появляется напряжение одного знака.

Для того, чтобы построить ядро сечения, необходимо рассмотреть все возможные положения касательных к контуру выпуклой фигуры, описывающей сечения и предположить, что это нулевые линии. Затем найти координаты точек приложения силы соответствующих этим касательным нулевым линиям. Это и будут контуры ядра сечения.
ax=-i2yxFay=-i2xyFОтсюда получим xF=-i2yax ; yF=-i2xay117) Свойства ядра сечения
1) Ядро сечения – это всегда выпуклая фигура.
2) Ядро сечения всегда содержит центр тяжести сечения.
3) Форма и размеры ядра сечения зависят только от формы и размеров самого сечения, но не зависит от величины силы места ее приложения и материала стержня.
4) Ядро сечения всегда вытянуто в то направлении, в котором вытянуто само сечение.
5) Если сечение симметрично, то и ядро сечения симметрично. При этом оси симметрии, сечения и ядра совпадают. Если сечение имеет несколько осей симметрии, то ядро имеет столько же осей симметрии.
6) Если сила приложена вне контура выпуклой фигуры, описывающей сечение, то нулевая линия пересекает эту фигуру и ядро сечения.
7) Если сила приложена на контуре выпуклой фигуры, описывающей сечение, то нулевая линия касается этой фигуры.
8) Если сила приложена внутри контура выпуклой фигуры, описывающей сечение, то нулевая линия пересекает эту фигуру, но не пересекает и не касается ядра сечения.
9) Если сила приложена на контуре ядра сечения, то нулевая линия касается выпуклой фигуры, описывающей сечение.
10) Если сила приложена внутри ядра сечения, то нулевая линия не пересекает и не касается выпуклой фигуры, описывающей сечение.
118) Примеры построения ядра сечения.
сечение прямоугольной формы

1)ax=>∞; ax= - h/2
i2x=IxA=bh312*1bh=h212i2y=IyA=hb312*1bh=b212 xF=-i2yax=-b212*1∞ =0
yF=-i2xay= -h212*2-h=h62)ax=-b/2;ay->∞
сечение круглой формыxF=-i2yax=-b212*-b2=b6
i2x=IxA=πD464*πD24=D216;i2y=D2161)аx->∞; аy=-D/2
xF=-i2yax=0yF=-i2xay= -D216*2-D=D8=R4
119) Порядок расчета внецентренно сжатой колонны.
1) Определить геометрические характеристики поперечного сечения – центр тяжести, площадь поперечного сечения, квадраты радиусов инерции.
2) Найти положение нулевой линии.
3) Определить положение координат опасных точек в растянутой и в сжатой частях сечения. Опасными точками являются точки сечения, максимально удаленные от нулевой линии.
4) Проверить условие прочности.
σt=NA(1+xFxti2y+yFyti2x)≤RtσS=NA(1+xFxSi2y+yFySi2x)≤RSN=±FA – площадь поперечного сечения
xF , yF – координаты равнодействующей, вызывающие внецентренное растяжение (сжатие).
xt , yt– координаты опасной точки в растянутой части сечения.
xS , yS– координаты опасной точки в сжатой части сечения.
Rt , RS– расчетные сопротивления материала соответственно на растяжение и на сжатие.

120) Изгиб с растяжением или со сжатием.

Изгиб сжатием испытывают высотные сооружения – дымовые трубы, мачты, башни – учитывая принцип независимости действия сил, получим напряжения.
σ=NA+MyIyxσ=NA±MxWx≤Rσ=NA±MyWy≤RWx=Ixymax=Ix1-Ix2d12Ix1=πd1464Ix2=πd2464

Приложенные файлы

  • docx 473244
    Размер файла: 706 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий