УМП_Кривые 2 порядка_Минченков

Частный институт управления и предпринимательства




Ю. В. Минченков








ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кривые второго порядка

Учебно-методическое пособие

















Минск 2006
УДК 51
ББК 22.11.я73
М 62

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом
Частного института управления и предпринимательства

А в т о р
заведующий кафедрой высшей математики и статистики
Частного института управления и предпринимательства,
кандидат физико-математических наук, доцент Ю. В. Минченков

Р е ц е н з е н т
доцент кафедры высшей математики и математической физики Белорусского государственного университета,
кандидат физико-математических наук, доцент А. А. Егоров



Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры высшей математики и статистики,
протокол № 2 от 19 сентября 2006 г.






Минченков, Ю. В.
М 62 Высшая математика. Кривые второго порядка: учеб.-метод. пособие / Ю. В. Минченков.– Минск: Частн. ин-т упр. и предпр., 2006.– 23 с.

Подготовлено в соответствии с рабочей программой ЧИУиП по дисциплине «Высшая математика». Охватывает основное содержание тем «Кривые второго порядка», «Квадратичные формы», содержит лекции, примеры, задачи для самостоятельного решения.
Предназначено для студентов Частного института управления и пред-принимательства.

УДК 51
ББК 22.11.я73

( Частный институт управления и предпринимательства, 2006
Лекция 1. Кривые второго порядка

План

1. Окружность. Эллипс.
2. Гипербола.
3. Парабола.

Ключевые понятия

Асимптота. Гипербола. Директриса. Окружность.
Парабола. Эксцентриситет. Эллипс.


1. Окружность. Эллипс

При рассмотрении уравнений прямой на плоскости мы видели, что все они – уравнения первой степени, т. е. переменные х и у входят в них в первой степени. Рассмотрим основные виды так называемых кривых второго порядка, т. е. кривых, в уравнениях которых переменная х или переменная у, или обе переменные х и у, входят во второй степени, или же входит произведение х·у (степени складываем – получаем тоже вторую степень). Ранее вы уже знакомились с такими уравнениями: 13 EMBED Equation.3 1415 – урав-нение окружности с центром в начале координат радиуса R; 13 EMBED Equation.3 1415 – уравнение гиперболы, 13 EMBED Equation.3 1415 – уравнение параболы. Получим так называемые канонические (основные) уравнения некоторых кривых второго порядка.
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой ее центром. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – центр окружности. R – радиус окружности. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – произвольная точка окружности. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415=
= 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (1)

(1) – уравнение окружности радиуса R c центром в точке с координатами 13 EMBED Equation.3 1415
Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть заданная постоянная величина, равная 2а, а > 0, большая, чем расстояние между фокусами 2с, с > 0.
Пусть фокусы эллипса лежат на оси Х, причем 13 EMBED Equation.3 1415 т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 – межфокусное расстояние эллипса.

13 EMBED CorelDRAW.Graphic.11 1415

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – произвольная точка эллипса. Величины 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 называются фокальными радиусами точки М эллипса.
По определению эллипса: r1 + r2 = 2a, а > c. Из прямоугольных треугольников, по теореме Пифагора, имеем:

13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Умножим (2) на 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (3)

Сложим уравнения (2) и (3):

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Возведем (4) в квадрат:

13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (5)

(5) – каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

13 EMBED Equation.3 1415

– каноническое уравнение эллипса с центром в точке 13 EMBED Equation.3 1415
Числа а и 13 EMBED Equation.3 1415 называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Заметим, что а > 13 EMBED Equation.3 1415, если а < 13 EMBED Equation.3 1415, то фокусы эллипса будут на оси Оу, если а = 13 EMBED Equation.3 1415, то эллипс превращается в окружность.
Точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 называются вершинами эллипса. Отметим, что эллипс целиком расположен внутри прямоугольника: 13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (6)

Эксцентриситетом эллипса ( называют отношение межфокусного расстояния 2с к длине большой оси 2а.

13 EMBED Equation.3 1415 (7)

Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 причем 13 EMBED Equation.3 1415 когда 13 EMBED Equation.3 1415 т. е. имеем окружность.
При 13 EMBED Equation.3 1415 стремящемся к 1 эллипс становится более вытянутым вдоль оси Ох.
Выразим фокальные радиусы точки 13 EMBED Equation.3 1415 через эксцентриситет. Из (4):

13 EMBED Equation.3 1415 (8)

Из (3): 13 EMBED Equation.3 1415
Значит, подставив координаты точки 13 EMBED Equation.3 1415 эллипса в уравнения (8), получаем фокальные радиусы точки М.
Прямые 13 EMBED Equation.3 1415 называются директрисами эллипса.
13 EMBED Equation.3 1415– левая директриса,
13 EMBED Equation.3 1415 – правая директриса.
Заметим, что директрисы эллипса обладают следующим важным свойством:
13 EMBED Equation.3 1415 (9)
т. е. отношение расстояния ri от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию di от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.


2. Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от которых до двух данных точек 13 EMBED Equation.3 1415 той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величина 13 EMBED Equation.3 1415 меньшая, чем расстояние между фокусами 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох, причем 13 EMBED Equation.3 1415 т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 Заметим, что 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – произвольная точка гиперболы. Как и ранее, 13 EMBED Equation.3 1415 – фокальные радиусы точки М.
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.11 1415

По определению гиперболы:

13 EMBED Equation.3 1415

где 13 EMBED Equation.3 1415

Следовательно,

13 EMBED Equation.3 1415 (10)

Умножим (10) на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (11)
Сложим уравнения (10) и (11):

13 EMBED Equation.3 1415 (12)

Возведем (12) в квадрат:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 (13)

(13) – каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

13 EMBED Equation.3 1415

– каноническое уравнение гиперболы с центром в точке 13 EMBED Equation.3 1415
Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид:

13 EMBED Equation.3 1415

Точки 13 EMBED Equation.3 1415 называются вершинами гиперболы.
Заметим, что если уравнение гиперболы имеет вид

13 EMBED Equation.3 1415 (14)
то фокусы гиперболы находятся на оси Оу, а ветви гиперболы будут направлены не влево и вправо, а вверх и вниз.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 (15)
Как и в случае с эллипсом, эксцентриситетом гиперболы 13 EMBED Equation.3 1415 называется отношение межфокусного расстояния 13 EMBED Equation.3 1415 к длине действительной оси 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415 (16)

Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
Выразим фокальные радиусы точки 13 EMBED Equation.3 1415 через эксцентриситет. Из (12)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (17)
Прямые 13 EMBED Equation.3 1415 называются директрисами гиперболы.
13 EMBED Equation.3 1415 – левая директриса,
13 EMBED Equation.3 1415 – правая директриса.
Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса
13 EMBED Equation.3 1415 (18)

т. е. отношение расстояния 13 EMBED Equation.3 1415 от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию 13 EMBED Equation.3 1415 от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.
Для гиперболы важную роль играют также прямые

13 EMBED Equation.3 1415 (19)

которые являются ее асимптотами, т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить) 13 EMBED Equation.3 1415
Следует отметить, что если уравнение гиперболы имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу, то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так 13 EMBED Equation.3 1415 – эксцентриситет, 13 EMBED Equation.3 1415 – уравнения директрис.


3. Парабола

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.
Построим уравнение параболы.
Пусть ось Оx проходит через фокус F параболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p – расстояние между фокусом и директрисой. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, а уравнение директрисы 13 EMBED Equation.3 1415.
Число p – называется фокальным параметром параболы.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – произвольная точка параболы. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – фокальный радиус точки M. d – расстояние от точки М до директрисы. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
По определению параболы 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно

13 EMBED Equation.3 1415

Возведем это уравнение в квадрат

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 (20)

– каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оx и проходящей через начало координат.
Точка (0; 0) – вершина параболы.
Если р > 0 (13 LINK Word.Document.8 "D:\\Мои документы\\РАБОТЫ 2006 год\\Учебные пособия\\Лекции преподавателей\\Минченков Ю. В\\Минченков. Кривые второго порядка\\Минченков. Высшая математика..doc" "OLE_LINK1" \a \r \* MERGEFORMAT 14р < 0 15), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу.
Так как для параболы 13 EMBED Equation.3 1415, а для эллипса и гиперболы 13 EMBED Equation.3 1415, то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (( = 1).
Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением
х2 = 2q y (21)
Фокус этой параболы находится в точке 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение ее директрисы 13 EMBED Equation.3 1415. Фокальный радиус ее точки М(х, у) выражается формулой 13 EMBED Equation.3 1415.
Если q > 0 (q < 0), то ветви параболы (21) расположены выше (ниже) оси Ох.
Рассмотрим примеры.
ПРИМЕР 1.
Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением
х2 + у2 – 4х + 6у – 3 = 0.
Решение.
Выделим полные квадраты в данном уравнении:
х2 + у2 – 4х + 6у – 3 = (х2 – 4х + 4) – 4 + (у2 + 6у + 9) – 9 – 3 = 0
( (х – 2)2 + (у + 3)2 = 16.
Учитывая уравнение окружности (1), имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.
ПРИМЕР 2.
Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку М(–4; 13 EMBED Equation.3 1415) и имеет эксцентриситет 13 EMBED Equation.3 1415. Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки М.
Решение.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Так как эллипс проходит через точку М, то ее координаты должны удовлетворять этому уравнению
13 EMBED Equation.3 1415
Фокусы находятся на оси Ох, следовательно
13 EMBED Equation.3 1415
Объединив полученные два уравнения в систему, найдем а2 и в2:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, уравнение данного эллипса имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Фокальные радиусы точки М определим по формулам (8): х = –4, 13 EMBED Equation.3 1415,
· 13 EMBED Equation.3 1415.
( r1 = а + (х = 13 EMBED Equation.3 1415= 8 – 3 = 5,
r2 = а – (х = 13 EMBED Equation.3 1415= 8 + 3 = 11.
ПРИМЕР 3.
Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F (–1; 0), чем к прямой х = –4.
Решение.

13 EMBED CorelDRAW.Graphic.11 1415
Пусть М (х, у). Тогда (MN( = 2 (MF( , (MN( = (–4 – x( , (MF( = = 13 EMBED Equation.3 1415, ( (– (4 + х)( = 13 EMBED Equation.3 1415.
Возведем в квадрат: (4 + х)2 = 4 ((х + 1)2 + у2),
16 + 8х + х2 = (х2 + 2х + 1 + у2) · 4 = 4х2 + 8х + 4 + 4у2,
3х2 + 4у2 = 12 ( 13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, точка М (х, у) движется по эллипсу.
ПРИМЕР 4.
Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Из уравнения данного эллипса имеем: а = 5; в = 3, а > в.
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 Поэтому, вершинами эллипса будут точки ((5; 0), (0; (3), а фокусами точки F1(–с; 0) = (–4; 0), F2(4; 0).
Так как фокусы эллипса находятся на оси Ох (а > в), то вершины ((5; 0) будут фокусами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох, имеет вид (13)
13 EMBED Equation.3 1415,
причем F1(–5; 0), F2(5; 0) – фокусы данной гиперболы, т. е. с1 = 5. Найдем а1 и в1.
Так как вершины данной гиперболы находятся в фокусах эллипса, то а1 = с = 4. Следовательно:
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
ПРИМЕР 5.
Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2; 0) и от прямой у = 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с осью Ох.
Решение.
Пусть точка М (х, у) – принадлежит данному множеству точек.
Следовательно (FM( = (NM( , (FM( = = 13 EMBED Equation.3 1415, (NM( = 2 – у, ( 2 – у = = 13 EMBED Equation.3 1415.
Возведем в квадрат:
13 EMBED Equation.3 1415
– парабола, ветви которой направлены вниз.
Найдем точки пересечения данной параболы с осью Ох.
у = 0 ( 13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415 ( х1 = 0; х2 = 4.
Т. е. это будут точки (0; 0); (4; 0).
( Вершина параболы будет в точке с абсциссой х = 2 ( 13 EMBED Equation.3 1415= = 2 – 1 = 1, т. е.
Вершиной параболы будет точка (2; 1).
ПРИМЕР 6.
На параболе у2 = 6х найти точку, фокальный радиус которой равен 4,5.
Решение.
Так как у2 = 2рх ( 2р = 6, р = 3. 13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415 = = 13 EMBED Equation.3 1415 Значит у2 = 6 · 3 = 18 ( у = (13 EMBED Equation.3 1415 = (13 EMBED Equation.3 1415. ( (3; (13 EMBED Equation.3 1415) – две таких точки.


Лекция 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

План

1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи.
2. Знакоопределенность квадратичных форм. Критерии положительной и отрицательной определенностей.

Ключевые понятия

Квадратичная форма. Симметричная матрица. Невырожденность квадратичной формы. Положительная определенность. Отрицательная определенность. Критерий Сильвестра.
1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи

Квадратичной формой ( (х1, х2, , xn) n действительных переменных х1, х2, , xn называется сумма вида
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, (1)
где aij – некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что aij = aji.
Квадратичная форма называется действительной, если aij (  ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица
13 EMBED Equation.3 1415
то есть АТ = А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде ( (х) = хТАх, где
хТ = (х1 х2 xn). (2)
И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.
Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.
ПРИМЕР 1.
Записать матрицу квадратичной формы ( (х1, х2, x3) = 13 EMBED Equation.3 1415 – 6х1х2 – – 8х1х3 + 13 EMBED Equation.3 1415 + 4х2х3 – 13 EMBED Equation.3 1415 и найти ее ранг.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
( r(A) = 3 ( квадратичная форма невырождена.


2. Знакоопределенность квадратичных форм. Критерии положительной и отрицательной определенностей

Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если
( (х) > 0, для любого х = (х1, х2, , xn), кроме х = (0, 0, , 0).
Матрица А положительно определенной квадратичной формы ( (х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.
Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если
( (х) < 0, для любого х = (х1, х2, , xn), кроме х = (0, 0, , 0).
Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квад-ратичной формы также называется отрицательно определенной.
Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадра-тичная форма ( (х) достигает минимального (максимального) значения ( (х*) = 0 при х* = (0, 0, , 0).
Отметим, что большая часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются ни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 не только в начале системы координат, но и в других точках.
ПРИМЕР 2.
Определить знакоопределенность следующих квадратичных форм.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(13 EMBED Equation.3 1415 т. е. квадратичная форма 13 EMBED Equation.3 1415 является положительно определенной.
2) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(13 EMBED Equation.3 1415 т. е. квадратичная форма 13 EMBED Equation.3 1415 является отрицательно определенной.
3) 13 EMBED Equation.3 1415
( 13 EMBED Equation.3 1415
( данная квадратичная форма не является знакоопределенной, так как она равна 0 во всех точках прямой х1 = –х2, а не только в начале системы координат.
Когда n > 2 требуются специальные критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.
Главными минорами квадратичной формы называются миноры:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
то есть это миноры порядка 1, 2, , n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем матрицы А.
Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)
Для того чтобы квадратичная форма ( (х) = хТАх была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть:
М1 > 0, M2 > 0, , Mn > 0.
Критерий отрицательной определенности
Для того чтобы квадратичная форма ( (х) = хТАх была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, то есть:
М1 < 0, M2 > 0, М3 < 0, , (–1)n Mn > 0.
ПРИМЕР 3.
При каких значениях а и в квадратичная форма будет положительно определенной?
( (х1, х2, x3) = 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Построим матрицу А и найдем ее главные миноры.
13 EMBED Equation.3 1415 М1 = 1 > 0,
13 EMBED Equation.3 1415 = а – 1 > 0 ( а > 1.
13 EMBED Equation.3 1415= ав – а – в > 0 ( в > 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а > 1, в > 13 EMBED Equation.3 1415.
ПРИМЕР 4.
При каких значениях а и в квадратичная форма будет отрицательно определенной?
( (х1, х2, x3) = 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415 М1 = –1 < 0,
13 EMBED Equation.3 1415 = –а – 1 > 0 ( а < –1.
13 EMBED Equation.3 1415= –ав – а – в < 0 ( в > – 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: а < –1, в > –13 EMBED Equation.3 1415.
ПРИМЕР 5.
Доказать, что квадратичная форма ( (х1, х2, x3) = 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 положительно определена.
Решение.
Воспользуемся критерием Сильвестра. Построим матрицу А и найдем главные миноры матрицы А.
13 EMBED Equation.3 1415
М1 = 6 > 0, 13 EMBED Equation.3 1415 = 26 > 0, М3 = ( А ( = 162 > 0
( ( (х1, х2, x3) положительно определенная квадратичная форма.



































ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

Какое множество точек на плоскости определяет уравнение х2 + у2 – – 4х + 10у + 29 = 0?
Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением х2 – 6х + у2 + 12у + 36 = 0.
Записать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти фокусы и эксцентриситет эллипса 3х2 + 4у2 = 12.
Какую линию определяет уравнение 9х2 – 4у2 = 36. Найти фокусы и эксцентриситет.
Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением 5х2 – 4у2 = 20.
Записать уравнение асимптот и директрис гиперболы 4х2 – 9у2 = 36.
Большая ось эллипса равна 12, а директрисами его служат прямые х = (18. Составить уравнение эллипса.
Найти полуоси, составить уравнения асимптот и директрис гиперболы 3х2 – 4у2 = 12.
Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы у2 = 8х.
Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х2 = 4у. Вычислить расстояние от точки М(6; 9) до фокуса.
Составить уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее директрисами равно 4, а расстояние между фокусами 16.
Найти координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис гиперболы 9х2 – 16у2 = 144.
Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы у2 = 12х. определить расстояние от точки М(3; 6) до фокуса.
Записать матрицу квадратичной формы ( (х1, х2, x3) = 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Определить знакоопределенность квадратичных форм.
а) ( (х1, х2, x3) = 13 EMBED Equation.3 1415, б) ( (х1, х2, x3) = 13 EMBED Equation.3 1415.



ОТВЕТЫ

Точка М (2; -5).
М (3; -6), R = 3.
13 EMBED Equation.3 1415
F1 (-1; 0), F2 (1; 0), ( = 0,5.
13 EMBED Equation.3 1415
а = 2, в = 13 EMBED Equation.3 1415, F1 (-3; 0), F2 (3; 0), ( = 1,5.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
а = 2, в = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
F (2; 0), х = -2.
F (0; 2), у = -2, r = 10.
13 EMBED Equation.3 1415
F1 (-5; 0), F2 (5; 0), ( = 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
F (3; 0), х = -3, r = 6.
13 EMBED Equation.3 1415
а) положительно определена, б) квадратичная форма не является знакоопределенной.


ЛИТЕРАТУРА

1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.
2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Лекция 1. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 3
1. Окружность. Эллипс 3
2. Гипербола 6
3. Парабола 9

Лекция 2. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 14
1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи 15
2. Знакоопределенность квадратичных форм. Критерии положительной и отрицательной определенностей 16
Задачи и упражнения 20
Ответы 21

Литература 21


































( (
Учебное издание

МИНЧЕНКОВ Юрий Владимирович
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Кривые второго порядка
Учебно-методическое пособие

Ответственный за выпуск И. В. Лаврик
Компьютерный набор Л. В. Чернуха, С. Л. Дудко
Компьютерная верстка С. Л. Дудко



Подписано к печати 10.11.2006 г. Формат 60(841/16.
Бумага газетная. Гарнитура «Times New Roman».
Отпечатано способом ризографии в авторской редакции.
Усл. печ. л. 1,22. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 500 экз. Зак. 150.

Издатель и полиграфическое исполнение:
Учреждение образования
«Частный институт управления и предпринимательства».
220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
Лицензия ЛИ 02330/0133342 от 29.06.2004 г.








13PAGE 14415


13PAGE 14215






13 EMBED CorelDRAW.Graphic.11 1415

13 EMBED CorelDRAW.Graphic.11 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 121317
    Размер файла: 706 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий