Задания 8-11 кл Муниципальный этап математика 2017


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике

201
7

год

8 класс


Продолжительность


4 часа (240 минут)
.


Максимальный балл


35



1
.
Красная Ш
апочка решила сходить к бабушке, домик которой находился в 1 км
ходьбы от ее

дома. Волк ей в тот день не попался, поэтому туда и обратно она шла
по одному и тому же маршруту. На горизонтальных участках ее скорость была 4
км/ч, в гору


3 км/ч, а с горы


6 км/ч. Сколько времени она была в пути?

2
. Петя утверждает, что два спинера
дороже пяти мороженых, Вася
--

что три
спинера дороже восьми мороженых. Известно, что прав из них только один. Верно
ли, что 7 спинеров дороже 19 мороженых?

3
.
В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей 2 и 4

см. Найти площадь че-
тырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины противополож-
ных сторон, равны.

4
.
Три прямые, пересекаясь, образуют 12 углов, причем
n

из них оказались рав-
ными. Каково может быть максимальное значение
n
?

5
. Рассмотрим че
тыре последовательных числа
n
,
n

+ 1,
n

+ 2,
n

+ 3. Для каких
n

НОК первых трех чисел больше, чем НОК последних трех?







Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год


8 класс


Продолжительность


4 часа (240 минут).


Максимальный балл


35


1
. Красная Шапочка решила сходить к бабушке, домик которой находился в 1 км
ходьбы от ее дома. Волк ей в тот день не попался, поэтому туда и обратно она шла
по одному и
тому же маршруту. На горизонтальных участках ее скорость была 4
км/ч, в гору


3 км/ч, а с горы


6 км/ч. Сколько времени она была в пути?

2
. Петя утверждает, что два спинера дороже пяти мороженых, Вася
--

что три
спинера дороже восьми мороженых. Известно,

что прав из них только один. Верно
ли, что 7 спинеров дороже 19 мороженых?

3
.
В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей 2 и 4

см. Найти площадь че-
тырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины противополож-
ных сторон, равны.

4
.
Три прям
ые, пересекаясь, образуют 12 углов, причем
n

из них оказались рав-
ными. Каково может быть максимальное значение
n
?

5
. Рассмотрим четыре последовательных числа
n
,
n

+ 1,
n

+ 2,
n

+ 3. Для каких
n

НОК первых трех чисел больше, чем НОК последних трех?


Муницип
альный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год


9

класс


Продолжительность


4 часа (240 минут).


Максимальный балл


35



1
.
При каких
p

один из корней уравнения
x
2

+
px

+ 18 = 0 вдвое больше другого?

2
.
Известно, что число
a

=


2


+
1

рационально.
Доказать, что

число

b

=

2

4


2
+
1

также

рационально.

3
.
Натуральное число
n

таково, что числа 2
n

+

1 и 3
n

+

1 являются квадратами.
Может ли при этом число
n

быть простым?

4
.
Угол при вершине

B

равнобедренного треугольника

ABC

равен

108

. Докажи-
те,

что биссектриса угла

A

вдвое больше биссектрисы угла

B
.

5
.
а)

Какое наибольшее количество неперекрывающихся поло-
сок 1

×

3 можно уместить на салфетке, изображенной на рисунке?
б) Какое наименьшее
количество полосок 1 × 3 потребуется, чтобы
покрыть салфетку целиком, если полоски могут перекрываться?







Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год



9 класс


Продолжительность


4 часа (240 минут).


Максимальный балл


35



1
.
При каких
p

один из корней уравнения
x
2

+
px

+ 18 = 0 вдвое больше другого?

2
. Известно, что число
a

=


2


+
1

рационально. Доказать, что число
b

=

2

4


2
+
1

также рационально.

3
. Натуральное число
n

таково, что числа 2
n

+

1 и 3
n

+

1 являются квадратами.
Может ли при этом число
n

быть простым?

4
.
Угол при вершине

B

равнобедренного треугольника

ABC

равен

108

. Докажи-
те,

что биссектриса угла

A

вдвое больше биссектрисы угла

B
.

5
. а)

Какое наибольшее ко
личество неперекрывающихся полосок 1

×

3 можно уместить на салфетке, изображенной на рисунке? б) Какое
наименьшее количество полосок 1 × 3 потребуется, чтобы покрыть
салфетку целиком, если полоски могут перекрываться?




Муниципальный этап всероссийской ол
импиады школьников по математике 2017 год


10

класс


Продолжительность


4 часа (240 минут).


Максимальный балл


35



1
.
Известно, что
sin
(


+

)

= 0,2
и
cos
(




) = 0,3
. Вычислите
sin
(α + 45

)

sin
(β +
45

)
.

2
.
При каких
q

один из корней уравнения
x
2



12
x

+
q

= 0
является квадратом дру-
гого
?

3
.

Пусть
x
1
,
x
2
, …

,
x
100



некоторые числа, принадлежащие отрезку
[
0; 1
]
. Верно
ли,

что на этом отрезке найдётся такое число
x
, что

|
x


x
1
| + |
x


x
2
| + . . . + |
x


x
100
| =
50?

4
.
Две окружности, радиусы которых относятся как 2 : 3, касаются внутренним
образом. Через центр меньшей окружности проведена прямая, перпендикулярная
линии центров, из точек пересечения этой прямой с большей окружностью проведе-
ны касательные к меньшей окружн
ости. Найти углы между этими касательными.

5
.
a
) Какое наибольшее количество неперекрывающихся полосок
1×3 можно уместить на салфетке, изображенной на рисунке? б) Какое
наименьшее количество полосок 1 × 3 потребуется, чтобы покрыть
салфетку целиком, если
полоски могут перекрываться?







Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год


10

класс


Продолжительность


4 часа (240 минут). Максимальный балл


35



1
.
Известно, что
sin
(


+

)

= 0,2
и
cos
(




) = 0,3
. Вычислите
sin
(α + 45

)

sin
(β +
45

)
.

2
.
При каких
q

один из корней уравнения
x
2



12
x

+
q

= 0
является квадратом дру-
гого
?

3
.
Пусть
x
1
,
x
2
, …

,
x
100



некоторые числа, принадлежащие отрезку
[
0; 1
]
. Верно
ли,

что на этом отрезке найдётся такое число
x
, что

|
x


x
1
| + |
x


x
2
| + . . . + |
x


x
100
| =
50?

4
. Две окружности, радиусы которых относятся как 2 :

3, касаются внутренним
образом. Через центр меньшей окружности проведена прямая, перпендикулярная
линии центров, из точек пересечения этой прямой с большей окружностью проведе-
ны касательные к меньшей окружности. Найти углы между этими касательными.

5
.
a
)

Какое наибольшее количество неперекрывающихся полосок
1×3 можно уместить на салфетке, изображенной на рисунке? б) Какое
наименьшее количество полосок 1 × 3 потребуется, чтобы покрыть
салфетку целиком, если полоски могут перекрываться?

Муниципальный этап в
сероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год



11

класс


Продолжительность


4 часа (240 минут). Максимальный балл


35



1
.
При каких
p

один из корней уравнения
x
2



px

+
p

= 0
является квадратом дру-
гого
?

(считаем, что корни уравнения различны)

2
.
Петя нашёл сумму всех нечётных делителей некоторого чётного натурального
числа
n
, а Вася


сумму всех его чётных делителей. Может ли произведение их ре-
зультатов оказаться равным 2016? Если может, найдите все такие числа
n
.

3
.
В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1

стороны
AB

= 2,
AC

= 3,
AA
1

= 4
.

Найти площадь сечения
AMK
, где
M



середин
а
BB
1

и
K



середина
DD
1
.

4
. Пусть
x
1
,
x
2
, …

,
x
100



некоторые числа, принадлежащие отрезку
[
0; 1
]
. Верно
ли,

что на этом отрезке найдётся такое число
x
, что

|
x


x
1
| + |
x


x
2
| + . . . + |
x


x
100
| =
50?

5
.
На доске размером 10×10 стоят 10 небьющих

друг друга ладей. Можно ли
остальные клетки доски замостить доминошками? (Доминошка


прямоугольник
размером 1×2 или 2×1.





Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017 год



11

класс


Продолжительность


4 часа (240 минут). Максимальный балл


35



1
.
При каких
p

один из корней уравнения
x
2



px

+
p

= 0
является квадратом дру-
гого
?

(считаем, что корни уравнения различны)

2
.
Петя нашёл сумму всех нечётных д
елителей некоторого чётного натурального
числа
n
, а Вася


сумму всех его чётных делителей. Может ли произведение их ре-
зультатов оказаться равным 2016? Если может, найдите все такие числа
n
.

3
. В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1

стороны
AB

= 2,
AC

= 3,
AA
1

= 4
.

Найти площадь сечения
AMK
, где
M



середина
BB
1

и
K



середина
DD
1
.

4
. Пусть
x
1
,
x
2
, …

,
x
100



некоторые числа, принадлежащие отрезку
[
0; 1
]
. Верно
ли,

что на этом отрезке найдётся такое число
x
, что

|
x


x
1
| + |
x


x
2
| + . . . + |
x


x
100
| =
50?

5
.
На доске размером 10×10 стоят 10 небьющих друг друга ладей. Можно ли
остальные клетки доски замостить доминошками? (Доминошка


прямоугольник
размером 1×2 или 2×1.



Приложенные файлы

  • pdf 5949955
    Размер файла: 703 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий