ЛЕКЦИЯ 11. ОПЕРАЦИИ НАД ИДЕАЛАМИ. КОЛЬЦА ГЛАВНЫ..


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 4с., 2010-11 учебный год ДоцентМартынова Т.А. ГЛАВА II. КОЛЬЦА ЛЕКЦИЯ 11 ДоцентМартынова Т.А. ГЛАВА II. КОЛЬЦА Основной задачей главы является рассмотрение понятий: кольцо и поле;изоморфизм колец и полей;подкольцо и подполе;поле частных;характеристика колец и полей;делимость в коммутативном кольце;идеалы и операции над ними;кольца главных идеалов;евклидовы кольца; сравнения по идеалам и фактор-кольца;гомоморфизмы колец;факториальные кольца многочленов. § 8. Идеалы и операции над ними Важные примеры идеалов доставляют так называемые главные идеалы. Пусть а – элемент кольца K. Обозначим через (а) множество всех элементов кольца K, кратных элементу а, т.е.(a) = {ax| x K}.Т е о р е м а 2. Множество (а) является наименьшим идеалом кольца K, содержащим элемент а.◘ Если y1,y2  (a), то y1= ax1, y2= ax2 для некоторых x1,x2 K. Отсюда y1- y2 = ax1-ax2 = a(x1-x2) и, следовательно, y1,y2  (a). Кроме того, для любых элементов y = ax из (а) и k K имеем yk = a(xk) и поэтому yk  (a). Таким образом, условия 1) и 2) определения 1 выполнены и поэтому (a)  K . Если I – идеал кольца K и a  I, то I содержит любое кратное элемента а, что обеспечивает включение (а)  I. ◙ Определение 2. Идеал (а) кольца K, состоящий из всех кратных элементов а, называется главным идеалом, порожденным элементом а.Идеалы в примерах 1, 2, 3 главные: 2Z=(2); O=(0), K=(1), K0[x]=(x). § 8. Идеалы и операции над ними Т е о р е м а 3 (о свойствах главных идеалов). В любом кольце K справедливы следующие свойства:1. (aK) a  (a). 2. O = {0}, (1) = K. 3. (a,b  K) a  (b)  a  b  (a)  (b), в частности, a  b  b  a  (a)  (b)  (b)  (a)  (a) = (b).4. (uK) 1  u  (1) = (u) = K; в частности, главный идеал кольца K, порожденный делителем единицы, совпадает с кольцом K. 5. Если K – область целостности, то (a,b  K) a  b  (a) = (b).6. Если K – целостное кольцо и b – нетривиальный делитель элемента a, то (a)  (b).7. Если a, b – любые элементы произвольного кольца K и (a)  (b), то a делится на b, но b не делится на a.◘ 1. а(a), так как a = a ·1. Свойства 2 и 3 также очевидны.4. 1  u  (1)  (u)  (1) =K  (u)  K = (u). § 8. Идеалы и операции над ними Т е о р е м а 3 (о свойствах главных идеалов). В любом кольце K справедливы следующие свойства:1. (aK) a(a). 2. O = {0}, (e) = K. 3. (a,bK) a(b)  a b  (a)  (b), в частности, a b  b a  (a)  (b)  (b)  (a)  (a) = (b).4. (uK) e  u  (e) = (u) = K; в частности, главный идеал кольца K, порожденный делителем единицы, совпадает с кольцом K. 5. Если K – область целостности, то(a,bK) a b  (a) = (b).6. Если K – целостное кольцо и b – нетривиальный делитель элемента a, то (a)  (b).7. Если a, b – любые элементы произвольного кольца K и (a)  (b), то a делится на b, но b не делится на a.◘ 5. Если K – область целостности, то по теореме 3 § 7 имеем a  b  a  b  b  a. Осталось воспользоваться свойством 3.6. Поскольку a  b, по свойству 3 (a)  (b). Если предположить, что (a) = (b), то в силу свойства 5 получили бы, что a  b, а это противоречит нетривиальности делителя b. 7. В самом деле, если предположить, что b  a, то, учитывая, что из условия (a)  (b) следует, что a  b, по свойству 3 получили бы, что (a)  (b) и (b)  (a), т.е. (a) = (b), что противоречиво. ◙ § 8. Идеалы и операции над ними Пусть теперь a, b – фиксированные элементы кольца K. Рассмотрим множество (a,b) = {ax+by| x,y K}.Т е о р е м а 4. Множество (a,b) является наименьшим идеалом кольца K, содержащим элементы а и b.◘ Нетрудно проверить, что множество (a,b) замкнуто относительно операций вычитания и умножения на элементы кольца K а , следовательно, является идеалом кольца K. Далее, равенства a = a·1+b·0 и b = a·0+b·1 означают, что a,b(a,b). Пусть I – любой идеал, содержащий элементы a и b. Тогда для любых элементов x,y кольца K элемент ax+by принадлежит идеалу I. Следовательно, (a,b)  I. ◙ § 8. Идеалы и операции над ними Определение 3. Идеал (a,b) кольца K, состоящий из всех линейных комбинаций элементов a и b, называется идеалом, порожденным элементами a и b.Можно рассматривать идеал (M), порожденный любым непустым подмножеством кольца K . Если M = {a1, a2,…, an}, то (M) = (a1,a2,…,an) = { a1x1+a2x2+…+anxn | x1,x2,…, xnK}.Если M – бесконечное множество, то идеал (M) состоит из всевозможных конечных сумм произведений вида aixi , где ai  M, xi  K, i = 1,2,…. § 8. Идеалы и операции над ними (напоминание) Определим теперь на множестве всех идеалов кольца K три операции. Определение 4. Суммой идеалов A и B кольца K называется множество A + B всевозможных сумм вида a + b, где a пробегает множество A, а b – множество B, т.е.A + B = {a + b | a  A, b  B}.Определение 5. Произведением идеалов A и B кольца K называется множество AB всевозможных сумм произведений вида aibi, где ai пробегает множество A, а bi – множество B, т.е.AB = {aibi | ai  A, bi  B, i = 1,2,…}.Определение 6. Пересечением идеалов A и B кольца K называется их теоретико-множественное пересечение A  B, т.е.A  B = {c | c  A, c  B}. § 8. Идеалы и операции над ними A + B = {a+b | a A, b B}.AB = {aibi | ai  A, bi  B, i=1,2,…}.A  B = {c | c A, c B}.Т е о р е м а 5. Сумма, произведение и пересечение любых двух идеалов A и B кольца K являются идеалами кольца K, причем AB  A  B.◘ Пусть x, y  A + B. Тогда x= a + b, y=a‘ + b' для некоторых элементов a, a' из A и b, b' из B. Имеем x – y = (a + b) – (a'+ b') = (a – a') + (b – b'), где a – a‘  A, а b – b'B, поскольку A и B – идеалы, а следовательно, подкольца, кольца K. Отсюда следует, что x + y  A + B. Далее, для любого элемента k  K имеем xk = (a + b)k = ak + bk, где ak  A, bk  B, поскольку A и B – идеалы кольца K. Это означает, что xk  A + B. Таким образом, множество A + B замкнуто относительно операции вычитания и умножения на элементы кольца K и поэтому является идеалом кольца K.Аналогично проверяется, что множества AB и A  B являются идеалами кольца K. § 8. Идеалы и операции над ними A + B = {a+b | a A, b B}.AB = {aibi | ai  A, bi  B, i=1,2,…}.A  B = {c | c A, c B}.Т е о р е м а 5. Сумма, произведение и пересечение любых двух иде алов A и B кольца K являются идеалами кольца K, причем AB  A  B.◘ Покажем, наконец, включение AB  A  B. Пусть x  AB. Тогда элемент x представим в виде x = a1b1+ a2b2+…+ anbn для некоторых натурального числа n и элементов ai  A, bi  B, i = 1,2,…, n. Поскольку A и B – идеалы кольца K, ясно, что каждое слагаемое a1b1, a2b2,…, anbn принадлежит как идеалу A, так и идеалу B, а поэтому и их пересечению A  B. Но тогда и элемент x принадлежит A  B. Итак, AB  A  B. ◙Упражнение. Доказать, что в кольце Z целых чисел для любых чисел a и b справедивы равенства:1) (a) + (b) = (d), где d = НОД(a, b); 2) (a)  (b) = (ab); 3) (a)  (b) = (k), где k = НОK(a, b). § 9. Кольца главных идеалов Определение 1. Целостное кольцо, в котором любой идеал главный, называется кольцом главных идеалов.Т е о р е м а 1. Кольцо Z целых чисел является кольцом главных идеалов.◘ Поскольку О = {0} = (0), нулевой идеал О является главным. Пусть I – ненулевой идеал кольца Z. Выберем в I наименьшее (не равное нулю) натуральное число m и покажем, что I = (m). Возьмем любой элемент x идеала I и поделим его с остатком на m. Тогда x = mq + r, где 0  r < m. Отсюда получаем, что число r = x - mq принадлежит идеалу I и поэтому r = 0 в силу выбора числа m. Но тогда x = mq. В силу произвольности выбора элемента x из идеала I, это и означает, что I = (m). ◙Таким образом, в силу теоремы 3 кольцо Z целых чисел является кольцом главных идеалов.Упражнение. Доказать, что кольцо многочленов P[x] над полем P является кольцом главных идеалов. § 9. Кольца главных идеалов Т е о р е м а 2. Для любых элементов a и b кольца K главных идеалов существует НОД(a,b) = d, представимый в виде:d = as + bt, (1)где s и t – некоторые элементы кольца K.◘ Рассмотрим идеал I, порожденный элементами a и b, т.е.I = (a,b) = {ax + by| x,y  K}.Поскольку I – главный идеал, то I = (d) = {dx| x  K} для некоторого элемента d кольца K. Поскольку по теореме 4 из § 8 a,b  I , в виду I = (d) имеем a  d и b  d. Таким образом, d – общий делитель элементов a и b. Далее, из того, что d  (a,b), вытекает существование элементов s и t таких, что d = as+bt. Это равенство показывает, в частности, что d делится на любой общий делитель элементов a и b, т.е. НОД(a, b) = d. ◙ § 9. Кольца главных идеалов Т е о р е м а 2. Для любых элементов a и b кольца K главных идеалов существует НОД(a,b)=d, представимый в виде:d= as+bt, (1)где s и t – некоторые элементы кольца K.Отметим три следствия из теоремы 3.Следствие 1. Элементы a и b кольца K главных идеалов взаимно просты тогда и только тогда, когда в K существуют такие элементы u и v, что 1= au + bv. (2)◘  Пусть элементы a и b кольца K взаимно простые. Тогда из определения 8, § 7 НОД(a,b) = d является делителем единицы. По теоремы 2 для d существует представление вида (1). Умножая его на d-1, получим равенство 1 = dd-1= a(sd-1) + b(td-1). Полагая в этом равенстве u = sd-1, v = td-1, получим требуемое равенство (2). Обратно, пусть справедливо равенство (2). Тогда любой общий делитель элементов a и b, в силу равенства (2), является делителем единицы 1 и, следовательно, элементы a и b кольца K взаимно простые. ◙ § 9. Кольца главных идеалов Т е о р е м а 2. Для любых элементов a и b кольца K главных идеалов существует НОД(a,b)=d, представимый в виде:d= as+bt, (1)где s и t – некоторые элементы кольца K.Отметим три следствия из теоремы 3.Следствие 2. Если в кольце K главных идеалов d = НОД(a,b), то элементы a1 = a/d и b1 = b/d взаимно просты.◘ В самом деле, сокращая равенство d= da1s+db1t (1) на d, получим равенствоe= a1s+b1t, (3)из которого легко вытекает взаимная простота элементов a1 и b1. ◙Следствие 3. Элементы s и t кольца K главных идеалов, входящие в равенство (1), взаимно просты.◘ Это следует из того, что в равенствах (1) и (3) элементы s и t одни и те же. ◙ § 9. Кольца главных идеалов Свойства взаимно простых элементов кольца главных идеалов1. Если в кольце K главных идеалов элемент a взаимно просто с каждым из элемент b и c, то взаимно прост и с произведением bc.◘ Поскольку элементы a и b кольца K взаимно простые, в силу следствия 1 в K существуют такие элементы u, v, что au + bv = 1. Умножая последнее равенство на с, получим a(uс) + (bс)v = с. Если d – общий делитель чисел a и bc, то из последнего равенства ввиду свойства 40 делимости (см. §7) следует, что d – делитель числа с. Учитывая взаимную простоту чисел a и с, отсюда получаем, что d  D1. Но это означает взаимную простоту элементов а и bc. ◙ § 9. Кольца главных идеалов Свойства взаимно простых элементов кольца главных идеалов2. Если в кольце K главных идеалов произведение ac делится на элемент b и один из сомножителей чисел а или с взаимно прост с элементом b, то другой сомножитель делится на b.◘ Пусть ac  b и элементы a и b кольца K взаимно простые. Тогда согласно следствию 1 имеем представление вида аu + bv = 1. Умножая это равенство на с, получим (aс)u + b(сv) = с. Левая часть последнего равенства ввиду свойства 40 делимости (см. § 7) делится на b и поэтому c  b . ◙ § 9. Кольца главных идеалов Свойства взаимно простых элементов кольца главных идеалов3. Если в кольце K главных идеалов элемент а делится на каждый из взаимно простых между собой элементов b и с, то а делится и на их произведение bс.◘ Из делимости a на b вытекает существование элемента q такого, что a = bq и, следовательно, bq  c, где элементы b и c кольца K взаимно простые. В силу свойства 2 отсюда получаем, что q  c, т.е. q = cq’ для некоторого элемента q’ из K. Значит, a = (bc)q’ и, сл-но, a  bc. ◙4. В кольце K главных идеалов для любого простое элемента р и всякого элемента а либо а делится на р, либо а взаимно прост с р.◘ Так как р имеет только тривиальные делителя, то либо НОД(а,р)  D1 и тогда а и р взаимно просты, либо НОД(a,р) = рu, где u  D1, и тогда а  p. ◙ § 9. Кольца главных идеалов Свойства взаимно простых элементов кольца главных идеалов5. Произведение двух или нескольких элементов кольца K главных идеалов делится на простой элемент р тогда и только тогда, когда один из сомножителей делится на р.◘ Рассмотрим сначала случай двух сомножителей. Пусть ab  p. Если а  p, то доказывать нечего. В противном случае согласно свойству 4 элементы a и p кольца K взаимно простые и тогда по свойству 2 взаимно простых элементов получим, что b  p. Обратное утверждение очевидно. С помощью индукции легко обосновывается случай любого конечного числа сомножителей. ◙ § 9. Кольца главных идеалов Т е о р е м а 3. В кольце K главных идеалов строго возрастающая цепочка идеалов не может быть бесконечной.◘ Пусть (a1)  (a2)  (a3)  … (4)строго возрастающая цепочка идеалов кольца K. Обозначим через I объединение всех идеалов цепочки (4), т.е. I = i (ai). Покажем, что I – идеал кольца K. Пусть x,y  I. Тогда существуют индексы k, m, что x  (ak), y  (am). При k  m имеем (ak)  (am) и поэтому x, y  (am). Но тогда x – y  (am), так как (am) – идеал кольца K, и следовательно, x – y  I. С другой стороны, для любого элемента k кольца K имеет место xk  (am) и поэтому xk  I. Таким образом, I – идеал кольца K и при этом главный. Следовательно, в кольце K существует такой элемент с такой, что I = (с). Но тогда существует такой индекс n, что с  (an). Отсюда легко следует, что (с)  (an), т.е. I  (an). С другой стороны, по определению идеала I имеем (an)  I. Таким образом, I = (an). Это означает, что идеал (an) является последним в цепочке (4). ◙ § 9. Кольца главных идеалов Определение 2. Говорят, что элемент a области целостности K обладает однозначным разложением на простые множители, если выполнены условия;1) элемент a представим в виде a = p1p2…pk, где p1, p2, …, pk – простые элементы кольца K;2) если a = q1q2…qm – другое разложение элемента a в произведе-ние простых множителей q1, q2, …, qm, то k = m и при соответст-вующей перестановке сомножителей p1  q1, p2  q2, …, pm  qm. Определение 3. Целостное кольцо K называется факториальным, если любой его ненулевой необратимый элемент a обладает однозначным разложением на простые множители.Пример 1. Кольцо Z целых чисел является факториальным. Пример 2. Кольцо P[x] многочленов над полем P является факториальным. § 9. Кольца главных идеалов Напомним, что кольца Z и P[x] являются кольцами главных идеалов. Оказывается, что справедливаТ е о р е м а 4. Любое кольцо главных идеалов является факториальным.◘ Существование разложения. Пусть K – кольцо главных идеалов и предположим, что в K существует необратимый ненулевой в K элемент a, который неразложим в произведение простых элементов. Тогда a разложим в произведение a= a1b1, где a1 и b1 – нетривиальные делители элемента a, причем, по крайней мере, один из них (пусть это будет, для определенности, a1) разложимый элемент. По свойству 6 теоремы 3 из § 8 имеем (a)  (a1). Проводя аналогичные рассуждения для элемента a1, получим строгое включение (a1)  (a2) и т. д. Получаем бесконечную строго возрастающая цепочка идеалов кольца K:(a)  (a1)  (a2)  (a3)  … ,что противоречит теореме 3. Таким образом, элемент a представим в виде произведения простых множителей. 6. Если K – целостное кольцо и b – нетривиальный делитель элемента a, то (a)  (b).

Приложенные файлы

  • ppt 4860774
    Размер файла: 703 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий