МУ к контр раб


Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Кузбасский государственный технический университет имени Т. Ф. Горбачева»
Кафедра математики
Составители
Е. А. Николаева
Е. В. Гутова
МАТЕМАТИческие методы в управлении
Методические указания к контрольной работе
для магистрантов заочной формы обучения
Рекомендовано учебно-методической комиссией направления
подготовки 38.04.01 «Экономика» в качестве электронного издания
для самостоятельной работы
Кемерово 2016

Рецензент
В. М. Волков – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики
Николаева Евгения Александровна
Гутова Елена Владимировна
Математические методы в управлении [Электронный ресурс]: методические указания к контрольной работе для магистрантов направления подготовки 38.04.01 «Экономика», заочной формы обучения / сост.: Е. А. Николаева, Е. В. Гутова; КузГТУ. – Кемерово, 2016.
Приведены задания и методические указания по их решению, а также список вопросов для подготовки к экзамену.
Задания в контрольной работе охватывают все темы, изучаемые в I семестре по дисциплине «Математические методы в управлении». Выполнение заданий позволит студенту качественно подготовиться к экзамену.
© КузГТУ, 2016
© Е. А. Николаева.
Е. В. Гутова, составление, 2016

Номера задач контрольных работ студент должен выбрать по таблице «Выбор номеров контрольных задач» следующим образом:
найти строку, соответствующую первой букве фамилии;
найти столбец, соответствующий последней цифре шифра;
на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольной работы.
Контрольные работы, выполненные не по своему варианту,
возвращаются непроверенными.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
А, В 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Б, Ё 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Г, Ж 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
К, О 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
М, Н 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
П, Ы 23 24 25 26 27 28 29 30 1 2
С, У 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Р, Т 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Х, Ц25 26 27 28 29 30 1 2 3 4
Ч, Щ7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Д, З17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
И, Л 27 28 29 30 1 2 3 4 5 6
Е, Ф 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Ш, Я 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Э, Ю29 30 1 2 3 4 5 6 7 8

ТЕМА 1. Построение математических моделейМатематическая модель – это упрощенная схема реального объекта (системы, процесса), составленная при помощи математических символов и соотношений.
Алгоритм построения математической модели:
изучить условия задачи;
определить важнейшие факторы;
выделить известные и неизвестные параметры;
выявить управляемые и неуправляемые параметры;
дополнить условия задачи недостающими сведениями;
ввести систему обозначений;
составить математическую модель задачи.
Пример 1.1. (Задача об использовании ресурсов)
Для изготовления двух видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице.
Вид ресурса Запас ресурса Число единиц ресурсов, затрачиваемыхна изготовление единицы продукции
P1 P2
S1 18 1 3
S2 16 2 1
S3 5 – 1
S4 21 3 –
Прибыль, получаемая от единицы продукции 2 и 3 руб. соответственно.
Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.
Решение: Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим x1, x2 – число единиц продукции соответственно P1 и P2, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (х1 + 3х2) единиц ресурса S1, (2x1 + 1x2) единиц ресурса S2, (x2) единиц ресурса S3 и (3x1) единиц ресурса S4. Так как потребление ресурсов S1, S2, S3 и S4 не должно превышать их запасов, соответственно 18, 16, 5 и 21 единицы, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:
x1 + 3 x2 18,
2 x1 + x2 16,
x2 5,
3 x1 21,
По смыслу задачи переменные неотрицательны, то есть
x1 0, x2 0.
Суммарная прибыль f составит 2х1 руб. от реализации продукции Р1 и 3x2 руб. – от реализации продукции P2, т.е.
f(x) = 2 x1 + 3 x2 max.
Пример 1.2. (Задача о раскрое материалов)
Для изготовления брусьев длиной 1,2 м, 3 м и 5 м в соотношении 2:1:3 на распил поступают 195 бревен длиной 6 м. Определить план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов. Составить математическую модель задачи.
Решение: Определим всевозможные способы распила бревен.
Способ распила Число получаемых брусьев длиной, м1,2 3,0 5,0
1 5 – –
2 2 1 –
3 – 2 –
4 – – 1
Обозначим: хi – число бревен, распиленных i-м способом (i = 1, 2, 3, 4); x – число комплектов брусьев.
Учитывая, что все бревна должны быть распилены, а число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности, экономико-математическая модель задачи примет вид:
f = x max
при ограничениях:
х1 + х2 + х3 + х4 = 195,
5x1 + 2x2 = 2x,
х2 + 2х3 = х,
x4 = 3х,
xi 0 (i =1,2, 3,4).
ТЕМА 2. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ
В задаче управления запасами требуется определять количество заказываемой продукции и сроки размещения заказов. Спрос можно удовлетворить путем однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени или посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода. Эти два случая соответствуют избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду времени).
Решение обобщенной задачи управления запасами определяется следующим образом:
- в случае периодического контроля состояния запаса следует обеспечивать поставку нового количества ресурсов в объеме размера заказа через равные интервалы времени.
- в случае непрерывного контроля состояния запаса необходимо размещать новый заказ в размере объема запаса, когда его уровень достигает точки заказа.
Размер и точка заказа обычно определяются из условий минимизации суммарных затрат системы управления запасами, которые можно выразить в виде функции этих двух переменных. Суммарные затраты системы управления запасами выражаются в виде функции их основных компонент следующим образом:
= + +
+ +
Затраты на приобретение становятся важным фактором, когда цена единицы продукции зависит от размера заказа, что обычно выражается в виде оптовых скидок в тех случаях, когда цена единицы продукции убывает с возрастанием размера заказа.
Затраты на оформление заказа представляют собой постоянные расходы, связанные с его размещением. Таким образом, при удовлетворении спроса в течение заданного периода времени путем размещения более мелких заказов (более часто), затраты возрастают по сравнению со случаем, когда спрос удовлетворяется посредством размещения более крупных заказов (и, следовательно реже).
Затраты на хранение запаса, которые представляют собой расходы на содержание запаса на складе, обычно возрастают с увеличением уровня запаса.
Потери от дефицита представляют собой расходы, обусловленные отсутствием запаса необходимой продукции. Обычно они связаны с ухудшением репутации поставщика у потребителя и с потенциальными потерями прибыли.
Обобщенная модель управления запасами выглядит довольно простой. Однако большое разнообразие моделей этого класса определяется характером спроса, который может быть детерминированным (достоверно известным) или вероятностным (задаваемым плотностью вероятности). Детерминированный спрос может быть статическим, в том смысле, что интенсивность потребления остается неизменной во времени, или динамическим, когда спрос известен достоверно, но изменяется в зависимости от времени. Вероятностный спрос может быть стационарным, когда функция плотности вероятности спроса неизменна во времени, и нестационарным, когда функция плотности вероятности спроса изменяется во времени.
В реальных условиях случай детерминированного статического спроса встречается редко. Такой случай можно рассматривать как простейший. Так, например, хотя спрос на такие продукты массового потребления, как хлеб, может меняться от одного дня к другому, эти изменения могут быть столь незначительными, что предположение статичности спроса несущественно искажает действительность.
Наиболее точно характер спроса может быть, возможно, описан посредством вероятностных нестационарных распределений. Однако с математической точки зрения модель значительно усложняется, особенно при увеличении рассматриваемого периода времени.
Хотя характер спроса является одним из основных факторов при построении модели управления запасами, имеются другие факторы, влияющие на выбор типа модели. К их числу относятся:
Запаздывания поставок или сроки выполнения заказов.
Пополнение запаса.
Период времени.
Число пунктов накопления запаса.
Число видов продукции.
Однопродуктовая статическая модель
Модель управления запасами простейшего типа характеризуется 1) постоянным во времени спросом, 2) мгновенным пополнением запаса, 3) отсутствием дефицита.
На рис. 1. показано изменение уровня запаса во времени. Предполагается, что интенсивность спроса (в единицу времени) равна . Наивысшего уровня запас достигает в момент поставки заказа размером у (предполагается, что запаздывание поставки является заданной константой). Уровень запаса достигает нуля спустя единиц времени после получения заказа размером у.

Рис. 1.
Чем меньше размер заказа у, тем чаще нужно размещать новые заказы. Однако при этом средний уровень запаса будет уменьшаться. С другой стороны, с увеличением размера заказов уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже (рис. 2).

Рис. 2.
Так как затраты зависят от частоты размещения заказа и объема хранимого запаса, то величина у выбирается из условия обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат.
Пусть К – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении и предположении, что затраты на хранение единицы заказа в единицу времени равны h. Следовательно, суммарные затраты в единицу времени TCU(y) как функцию от у можно представить в виде
TCU(y) = (Затраты на оформление заказа в единицу времени) + (Затраты на хранение запасов в единицу времени) =
.
Как видно из рис. 1, продолжительность цикла движения заказа составляет и средний уровень запаса равен у/2.
Оптимальное значение у получается в результате минимизации TCU(y) no у. Таким образом, в предположении, что у – непрерывная переменная, имеем

откуда оптимальное значение размера заказа представляется выражением

Можно доказать, что у* доставляет минимум TCU(у), показав, что вторая производная в точке у* строго положительна. Полученное выше выражение для размера заказа обычно называют формулой экономичного размера заказа Уилсона.
Оптимальная стратегия модели предусматривает заказ у* единиц продукции через каждые единиц времени. Оптимальные затраты TCU(у*), получаемые путем непосредственной подстановки, составляют.

Рис. 3.
Для большинства реальных ситуаций существует (положительный) срок выполнения заказа (временное запаздывание) L от момента размещения заказа до его действительной поставки. Стратегия размещения заказов в приведенной модели должна определять точку возобновления заказа. Рис. 3 иллюстрирует случай, когда точка возобновления заказа должна опережать на L единиц времени ожидаемую поставку. В практических целях эту информацию можно просто преобразовать, определив точку возобновления заказа через уровень запаса, соответствующий моменту возобновления заказа. На практике это реализуется путем непрерывного контроля уровня запаса до момента достижения очередной точки возобновления заказа. Возможно, по этой причине модель экономичного размера заказа иногда называют моделью непрерывного контроля состояния заказа. Следует заметить, что с точки зрения анализа в условиях стабилизации системы срок выполнения заказа L можно всегда принять меньше продолжительности цикла t0. Справедливость этого положения подтверждается следующим примером.
Пример 2.1. Ежедневный спрос на некоторый товар составляет около 100 ед. Затраты на размещение каждого запаса постоянны и равны 100 долл. Ежедневные затраты на хранение единицы запаса составляют 0,02 долл. Нужно определить экономичный размер партии и точку заказа при сроке выполнения заказа, равном 12 дням.
Из приведенных выше формул для экономичного размера партии получаем

Соответствующая оптимальная продолжительность цикла составляет

Так как срок выполнения заказа равен 12 дням и продолжительность цикла составляет 10 дней, возобновление заказа происходит, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на два дня. Таким образом, заказ размером у* = 1000 размещается, когда уровень запаса достигает 2100 = 200 ед.
Следует заметить, что «эффективный» срок выполнения заказа принят равным 2, а не 12 дням. Это объясняется тем, что этот срок больше, чем . Однако после стабилизации системы (в этом примере она достигается за два цикла) можно считать, что срок выполнения заказа равен при . В описанных условиях в любой момент времени имеется более одного размещенного, но еще не выполненного заказа.
Однопродуктовая статическая модель с «разрывами» цен
Рассмотрим модель управления запасами с мгновенным пополнением запаса при отсутствии дефицита. Предположим, что цена единицы продукции равна при y < q и равна с2 при y  q, где с1 > с2 и q – размер заказа, при превышении которого предоставляется скидка.
Тогда суммарные затраты за цикл помимо издержек оформления заказа и хранения запаса должны включать издержки приобретения. Суммарные затраты на единицу времени при y < q равны
.
При y  q эти затраты составляют
.
Графики этих двух функций приведены на рис. 4. Пренебрегая влиянием снижения цен, обозначим через ут размер заказа, при котором достигается минимум величин TCUl и ТСU2. Тогда
/
Из вида функций затрат TCUl и TCU2, приведенных на рис. 6, следует, что оптимальный размер заказа у* зависит от того, где по отношению к трем показанным на рисунке зонам I, II и III находится точка разрыва цены q. Эти зоны находятся в результате определения (> ут) из уравнения
.

Рис. 4.
Так как значение ут известно, то решение уравнения дает значение величины q1. Тогда зоны определяются следующим образом:
Зона I: ,
Зона II:
Зона III:
Алгоритм определения у* можно представить в следующем виде:
1.Определить . Если q < ym (зона I), то у* = ут и алгоритм закончен. В противном случае перейти к шагу 2.
2.Определить из уравнения TCU1(ym) = TCU(q1) и установить, где по отношению к зонам II и Ш находится значение q.
(а)Если (зона II), то .
(б)Если (зона III), то у* = ут.
Пример 2.2. Рассмотрим модель управления запасами при следующих исходных данных: K = 10 долл., h = l долл., 5 ед., с1 = 2 долл., с2 = 1 долл. и = 15 ед. Вычислим сначала значение ут:

Так как q > ут, необходимо определить, где находится q: в зоне II или III. Значение вычисляется из уравнения

или

Отсюда получаем = 26,18 или = 3,82. По определению, в качестве выбирается большее значение. Так как ут < q < , величина q находится в зоне П. Таким образом, y* = q = 15 ед. Суммарные затраты в единицу времени определяются следующим образом:

Многопродуктовая статическая модель с ограничениями
на емкость складских помещений
Эта модель предназначена для системы управления запасами, включающей п (>1) видов продукции, которая хранится на одном складе ограниченной площади. Данное условие определяет взаимосвязь между различными видами продукции и может быть включено в модель как ограничение.
Пусть А – максимально допустимая площадь складского помещения для п видов продукции; предположим, что площадь, необходимая для хранения единицы продукции i-гo вида, равна аi. Если уi – размер заказа на продукцию i-го вида, то ограничения на потребность в складском помещении принимают вид

Допустим, что запас продукции каждого вида пополняется мгновенно и скидки цен отсутствуют. Предположим далее, что дефицит не допускается. Пусть , Кi и – интенсивность спроса, затраты на оформление заказа и затраты на хранение единицы продукции в единицу времени для i-гo вида продукции соответственно. Общие затраты по продукции каждого вида, по существу, будут теми же, что и в случае эквивалентной однопродуктовой модели. Таким образом, рассматриваемая задача имеет вид

,

Общее решение этой задачи находится методом множителей Лагранжа. Однако прежде чем применять этот метод, необходимо установить, действует ли указанное ограничение, проверив выполнимость ограничения на площадь склада для решения

неограниченной задачи. Если ограничение выполняется, то оно избыточное, и им можно пренебречь.
Ограничение действует, если оно не выполняется для значений . В таком случае нужно найти новое оптимальное значение , удовлетворяющее ограничению на площадь склада в виде равенства:

Этот результат достигается построением функции Лагранжа вида

где(< 0) – множитель Лагранжа.
Оптимальные значения и можно найти, приравняв нулю соответствующие частные производные, что дает

Из второго уравнения следует, что значение должно удовлетворять ограничению на площадь склада в виде равенства. Из первого уравнения следует, что

Заметим, что зависит от оптимального значения множителя . Кроме того, при значение является решением задачи без ограничения.
Значение можно найти методом систематических проб и ошибок. Так как по определению в поставленной выше задаче минимизации , то при последовательной проверке отрицательных значений найденное значение будет одновременно определять значения у*, которые удовлетворяют заданному ограничению в виде равенства. Таким образом, в результате определения автоматически получаются значения .
Пример 2.3. Рассмотрим задачу управления запасами для случая трех видов продукции (п = 3), исходные данные которой приведены в таблице.
Вид продукции
1 10 2 0,3 1
2 5 4 0,1 1
3 15 4 0,2 1
Предположим, что общая площадь складского помещения составляет А = 25 фут2. Исходя из формулы

построена следующая таблица:

0 11,5 20,0 24,5 +31
–0,05 10,0 14,1 17,3 +16,4
–0,10 9,0 11,5 14,9 +10,4
–0,15 8,2 10,0 13,4 +6,6
–0,20 7,6 8,9 12,2 +3,7
–0,25 7,1 8,2 11,3 +1,6
–0,30 6,7 7,6 10,6 –0,1
При А = 25 фут2 ограничение на складскую площадь удовлетворяется в виде равенства при некотором значении , лежащем между –0,25 и –0,3. Это значение равно *, и его можно оценить с помощью линейной интерполяции. Соответствующие значения yi определяют значения . Поскольку из таблицы видно, что значение * очень близко к –0,3, то оптимальные значения у приближенно равны
 = 6,7,  = 7 и у = 10,6.
Если , то значения yi без учета ограничения, соответствующие = 0, определяют у. В этом случае ограничение избыточно.
ТЕМА 3. Транспортная задачаПостановка задачи. Пусть имеется m пунктов производства с объемами производства ai, i=1,…,m, и n пунктов потребления с объемами потребления bj, j=1,…,n. Обозначим cij – стоимость перевозки единицы продукции из пункта i в пункт j. Задача заключается в нахождении объемов перевозок xij из пунктов i в пункты j таких, что объемы перевозок из пунктов производства не превосходят объемов производства, в пунктах потребления полностью удовлетворяется спрос и общая стоимость перевозок минимальна.
(1)
(2)
(3)
(4)
Сбалансированная транспортная модель. Если общий объем производства совпадает с общим объемом потребления
(5)
тогда ограничения (2), (3) принимают вид
(6)
(7)
Теорема. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения.
В случае превышения запасов над потребностью (потребностей над запасами) вводится фиктивный (n+1) - й пункт назначения с потребностью ((m+1) - й пункт производства ) и нулевыми тарифами перевозок.
Метод решения транспортной задачи
Метод решения ТЗ рассмотрим на примере. В таблицу внесем данные ТЗ :
a = (60, 120, 100),
b = (20, 110, 40, 110),
.
1. Найдем начальный план перевозок по методу минимальной стоимости: находим в таблице клетку с наименьшим тарифом, таких клеток две. Найдем максимально возможные поставки для этих клеток:
x11= min{60,20} = 20,
x21 = min{120,20} = 20,
заполним клетку (1, 1), таким образом, спрос первого потребителя полностью удовлетворен, вычеркиваем соответствующий ему столбец. Затем в оставшейся части таблицы снова находим клетку с наименьшим тарифом и заполняем ее. Продолжаем до тех пор пока не будет распределен весь груз.
Пункты
отправления Пункты назначения
1
2
3
4
1
1
20 2-
40 5 +
0 3
0 60
2
1
0 6
0 5
10 2
110 120
3
6
0 3 +
70 7 –
30 4
0 100
20 110 40 110 2. Полученный план перевозок необходимо проверить на оптимальность. Для этого используем метод потенциалов. Обозначим u = (u1,…,um), v = (v1,…,vn), потенциалы потребителей и поставщиков соответственно. Чтобы рассчитать потенциалы, составляем систему уравнений для заполненных клеток:
ui + vj = cij. (8)
Поскольку неизвестных больше, чем уравнений, произвольно полагают одно из значений u1 = 0. Остальные находим из системы:

Условие оптимальности записываются в виде
ui + vj cij, (9)
оно должно выполняться для пустых клеток.
Если условие оптимальности не выполнено, выбирается переменная xij с наибольшим положительным значением величины
ui + vj – cij.
Вычислим значения критерия

Отсюда следует, что переменную x13 следует заполнить.
Далее строится замкнутый цикл, состоящий из горизонтальных и вертикальных линий, который начинается в клетке (1, 3), а остальные узлы находятся в заполненных клетках таблицы.
Клетку (1, 3) будем заполнять, поэтому в ней ставим «+». Для сохранения объемов перевозок в соседних к ней узлах цикла клетках значения xij должны убывать пометим их знаком «–». Общая величина убывания определяется минимальным значением заполненных клеток, которые убывают. Обозначим эту величину d. После определения величины d производится изменение переменных в соответствии со знаком, поставленным при обходе цикла. Результаты сводятся в новую таблицу.
1
2
3
4

1
1
20 2
10 5
30 3
0
2
1
0 6
0 5
10 2
110
3
6
0 3
100 7
0 4
0
Полученный план перевозок снова проверяется на оптимальность:
u1 + v3 – c13 = 0
u1 + v4 – c14 = –1
u2 + v1 – c21 = 0
u2 + v2 – c22 = –4
u3 + v1 – c31 = –4
u3 + v3 – c33 = –1
u3 + v4 – c34 = –1
На этом процесс вычислений заканчивается, решение найдено.

f(X) = 1*20 + 2*10 + 5*30 + 5*10 + 2*110 + 3*100 = 760 – минимальная стоимость перевозок.
ТЕМА 4. ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Теория игр изучает математические модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта. В теории игр под конфликтом понимается всякое явление, применительно к которому можно говорить, кто и как в этом явлении участвует и какую цель преследует. Участники конфликта называется игроками, принимаемые ими решения – (чистыми) стратегиями, а цель участников конфликта отражается посредством функции выигрыша. Формально процесс принятия решения в модели конфликта (игре) сводится к выбору каждым игроком своей стратегии с целью максимизации своего выигрыша. При этом конфликтность ситуации отражается в том, что исход игры для каждого игрока зависит от поведения всех его партнеров.
Таким образом, всякий конфликт можно представить в виде системы
,
где N =  – множество игроков, – множество чистых стратегий игрока i, – выигрыш i-го игрока в ситуации, где .
Такая система называется игрой.
В зависимости от количества игроков различают игры двух и многих игроков, в свою очередь игры многих игроков делятся на игры игроков и игры с бесконечным числом игроков.
По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий игра называется бесконечной.
По характеру взаимодействия игры делятся на бескоалиционные – игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции, и коалиционные (кооперативные) игроки могут вступать в коалиции. В кооперативных играх коалиции наперёд определены.
Среди всех бескоалиционных игр выделяется класс антагонистических игр, в которых число игроков равно двум, значения их функций выигрыша в каждой ситуации равны по величине и противоположны по знаку:

Такую игру можно записать в виде .
Антагонистическая игра, в которой каждый игрок имеет конечное множество стратегий, называется матричной игрой.
Это название объясняется следующей возможностью описания игр такого рода. Пусть 1-й и 2-й игроки располагают конечным множеством стратегий X = , соответственно. Составим прямоугольную таблицу, в которой строки соответствуют стратегиям первого игрока, столбцы – стратегиям второго, а клетки таблицы, стоящие на пересечении строк и столбцов, соответствуют ситуациям игры. Если в каждую клетку (i, j), соответствующую ситуации (xi, уj), , , поставить выигрыш первого игрока в данной ситуации H(xi, уj) = aij, то получим описание игры в виде некоторой матрицы А.

Матричная игра полностью определяется своей матрицей выигрыша и обозначается . Стратегии игрока 1 обозначаются номерами соответствующих строк, а стратегии игрока 2 – номерами столбцов, ситуацией можно считать пару чисел (i, j).
Обсудим вопрос, как себя должны вести игроки в матричной игре, чтобы получить по возможности больший выигрыш. Другими словами, в чем заключается оптимальность в матричной игре.
Число , равное нижнему выигрышу игрока 1 , называется нижним значением (нижней ценой) игры. Строка матрицы, соответствующая числу , называется максиминной стратегией игрока 1.
Число представляет собой «верхний выигрыш» игрока 1 и называется верхним значением (верхней ценой) игры. Столбец, соответствующий числу , называется минимаксной стратегией игрока 2.
Если = , то минимаксная и максиминная стратегии называются оптимальными чистыми стратегиями игроков. Величина называется значением или ценой игры.
В случае = одностороннее отклонение от минимаксной (максиминной) стратегии невыгодно.
Оптимальные стратегии будем обозначать через i*, j*. Пара оптимальных стратегий (i*, j*) составляет седловую точку функции выигрыша, то есть верно неравенство , для любых , .
Значение игры в чистых стратегиях есть выигрыш игрока 1 в седловой точке:
.
Седловая точка и значение игры называются решением игры.
Пример 4.1.

Седловой точкой является пара (о = 3; о = 1), при которой  = 2.
Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (3;3) также равен 2 = = , она не является седловой точкой, так как этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца.
Свойства решений матричной игры:
Стратегия u1 игрока 1 доминирует (строго доминирует) над стратегией u2, если А (u1, w) А (u2,w) (А (u1, w) А (u2,w)), w W.
Стратегия w1 игрока 2 доминирует (строго доминирует) над стратегией w2, если А (u, w1) А (u, w2) (А (u,w1) А (u,w2)), u U.
При этом стратегии u2 и w2 называются доминируемыми (строго доминируемыми).
Пример 4.2. Рассмотрим игру:
(Здесь стрелками указаны доминируемые стратегии). Получим игру 2×2, в которой все стратегии недоминируемые.
Принцип доминирования можно обобщить на тот случай, когда одна из стратегий доминируется некоторой выпуклой линейной комбинацией других стратегий.
1/3
2/3

Здесь вторая строка доминируется выпуклой линейной комбинацией первой и третьей строк, так как

Следовательно, вторую стратегию можно исключить и рассматривать игру:
Аналогично, если в матрице игры один из столбцов доминируется некоторой выпуклой линейной комбинацией других столбцов, то этот столбец можно исключить.
Решение 22–игры. В общем случае игра 2×2 определяется матрицей
.
Прежде всего, необходимо проверить, есть ли у данной игры седловая точка. Если да, то игра имеет решение в чистых стратегиях, причём оптимальными стратегиями игроков 1 и 2 соответственно будут чистая максиминная и чистая минимаксная стратегии. Если же игра с матрицей выигрышей А не имеет решения в чистых стратегиях, то оба игрока имеют только такие оптимальные стратегии, которые используют все свои чистые стратегии с положительными вероятностями.
Пусть U = (, 1  ) оптимальная стратегия игрока 1. Тогда
; .
Аналогично, если W = (, 1 – ) – оптимальная стратегия игрока 2, то
.
Графоаналитический метод решения игр 2n и m×2. Рассмотрим игру 2n:

Задача игрока 1 состоит в максимизации функции .
Так как , мы имеем .
Таким образом, v является минимумом n линейных функций одной переменной ; можно вычертить графики этих функций и затем максимизировать их минимум g() графическими методами. Покажем на примере игры 2×3.
Пример 4.3. Рассмотрим игру, заданную матрицей.

На плоскости хО введём систему координат и на оси Ох отложим отрезок единичной длины С1С2, каждой точке которого поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию игрока 1 (u, 1 u). В частности, точке С1(0; 0) отвечает стратегия С1, точке С2(1; 0) стратегия С2 и т.д.
В точках С1 и С2 восстановим перпендикуляр и на полученных прямых будем откладывать выигрыш игроков. На первом перпендикуляре (в данном случае он совпадает с осью О) отложим выигрыш игрока 1 при стратегии С1, а на втором при стратегии С2. Если игрок 1 применит стратегию С1, то выиграет при стратегии В1 игрока 2 – 2, при стратегии В2 3, а при стратегии В3 11. Числам 2, 3, 11 на оси Ох соответствуют точки В1, В2 и В3.
Если же игрок 1 применит стратегию С2, то его выигрыш при стратегии В1 равен 7, при В2 5, а при В3 2. Эти числа определяют точки В1, В2, В3 на перпендикуляре, восстановленном в точке С2. Соединяя между собой точки В1 и В1, В2 и В2, В3 и В3 получим три прямые, расстояние до которых от оси Ох определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий.
B1
B2
B3
B3
B2
B1


0
х
11
7
5
3
2 2
y
Рис. 5.
Таким образом, ординаты точек, принадлежащих ломаной В1MВ3, определяют минимальный выигрыш игрока 1 при применении им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина является максимальной в точке ; следовательно, этой точке соответствует оптимальная стратегия u* = (u, 1  u), а её ордината равна цене игры v. Координаты точки находим как точку пересечения прямых В2B2 и В3B3.
Соответствующие два уравнения имеют вид
.
Следовательно, u*= при цене игры v=. Таким образом, мы можем найти оптимальную стратегию при помощи матрицы
.
Оптимальные стратегии для игрока 2 можно найти из системы

и, следовательно, w*=. (Из рисунка видно, что стратегия B1 не войдёт в оптимальную стратегию).
Укажем основные этапы нахождения решения игры 2n (m2):
1. Строим прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока.
2. Определяем нижнюю (верхнюю) огибающую графиков, соответствующих столбцам (строкам).
3. Находим две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствует две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой.
4. Определяем цену игры и оптимальные стратегии.
Задания для контрольной работы
Задание №1. Составить математическую модель задачи принятия решения.
Вариант 1.
Текстильный комбинат производит 2 вида ткани: вид А состоит из 80% шерсти и 20% синтетического волокна, вид В состоит из 20% шерсти и 80% синтетики.
Ткань производится партиями (большими рулонами, бабинами). Время изготовления каждого рулона – 2 часа времени технологического процесса. Технологический процесс может длиться сутки (24 часа). Ткацкий станок может переключаться с производства одного вида ткани на другой.
Для производства ткани вида А ткацкий станок использует 4 ед. шерстяной пряжи и 1 ед. синтетических волокон. Для производства ткани вида В – 1 ед. синтетического волокна и 4 ед. шерстяного волокна. В сутки станок расходует 36 ед. синтетического волокна и 24 ед. шерстяного волокна.
Стоимость 1 рулона ткани вида А – $ 2000, ткани вида В – $ 1000.
Сколько рулонов каждого вида ткани нужно выпускать в день, чтобы выручка была максимальной ?
Вариант 2.
Необходимо распределить площадь пашни между двумя культурами по следующим данным:
Культура Урожайность (ц/га) Затраты
тракторо-смен на 1 га Цена
(руб. за 1 ц) Затраты (человеко-дней на 1 га)
А 10 0,1 6 2
В 15 0,24 8 10
Кроме того, заданы ресурсы производства:
земли – не более 1800 га
затраты тракторосмен – не более 300
затраты труда человеко-дней – не более 8000
потребности в культуре А – 10 000 ц; В – 7 500 ц
Критерий оптимальности – максимальная прибыль от реализации.
Вариант 3.
Завод производит продукцию двух видов А и В, используя сырье, запас которого составляет 570 т. Согласно плану выпуск продукции А должен составлять не менее 60% от общего объема выпуска. Расход сырья на изготовление 1 т продукции А и В составляет соответственно 10 и 70 т. стоимость 1 т продукции А и В соответственно 3 и 8 тыс. руб.
Определить план выпуска продукции А и В, при котором стоимость выпуска продукции будет максимальной.
Вариант 4.
На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31, 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.
Вид заготовки Количество заготовок (шт.) при раскрое по способу
1 2
I 2 6
II 5 4
III 2 3
Величина отходов (см3) 12 16
Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.
Вариант 5.
Хозяйству требуется приобрести два вида азотных удобрений: А – аммиачную селитру, В – сульфат аммония. Удобрения вида А необходимо иметь не более 15 т, а удобрения вида В не более 10 т.
Содержание действующего вещества для А и для В соответственно 35% и 25 %. Отпускная оптовая цена удобрения А –53 руб., В – 35 руб за тонну.
Хозяйство может выделить на приобретение удобрений 600 руб. Сколько тонн каждого вида удобрений следует приобрести, чтобы общая масса действующего вещества была максимальной ?
Вариант 6.
В хозяйстве установили, что откорм животных выгоден только тогда, когда животные будут получать в дневном рационе не менее 10 ед. питательного вещества А, не менее 16 ед. вещества В и не менее 5 ед. вещества С. Для откорма животных используют два вида корма. Содержание питательных веществ в 1 кг каждого вида корма, а также цена 1 кг корма (руб.) величины известные и приведены в таблице:
Питательные вещества Корма Дневная норма
I II А 1 2 10
В 3 2 16
С 0 3 5
ЦЕНА кормов 5 4 Установить, какое количество корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затраты на его приобретение были минимальными.
Вариант 7.
Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в следующей таблице.
Ресурсы Нормы затрат ресурсов на одно изделие Общее кол-во ресурсов
стол шкаф Древесина (м3)
I вида
II вида 0,2
0,1 0,1
0,3 40
60
Трудоемкость (чел.-ч) 1,2 1,5 371,4
Прибыль от реализации одного изделия (руб.) 6 8 Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовить, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.
Вариант 8.
Для производства двух видов изделий А и В используется токарное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат времени для каждого из типов оборудования на одно изделие данного вида приведены ниже в таблице. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия.
Тип оборудования Затраты времени
(станко-часов) на обработку одного изделия Общий фонд полезного рабочего времени оборудования (ч)
А В фрезерное 10 8 168
токарное 5 10 180
шлифовальное 6 12 144
Прибыль от реализации одного изделия (руб.) 14 18 Найти план выпуска изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
Вариант 9.
Завод производит продукцию двух видов А и В, используя сырье, запас которого составляет 700 т. Согласно плану выпуск продукции А должен составлять не менее 80% от общего объема выпуска. Расход сырья на изготовление 1 т продукции А и В составляет соответственно 5 и 7 т. стоимость 1 т продукции А и В соответственно 2 и 4 тыс. руб.
Определить план выпуска продукции А и В, при котором стоимость выпуска продукции будет максимальной.
Вариант 10.
На звероферме могут выращивать черно-бурых лисиц и песцов. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используют три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.
Вид корма Количество единиц корма, которое ежедневно должны получать Общее кол-во корма
лисица песец I 2 3 180
II 4 1 240
III 6 7 426
Прибыль от реализации одной шкурки (руб.) 16 12 Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.
Вариант 11.
Фирма "Лесная пилорама" столкнулась с проблемой наиболее рационального использования ресурсов лесоматериалов, имеющихся в одном из принадлежащих этой фирме лесных массивов. В районе данного массива имеется лесопильный завод и фабрика, на которой изготовляется фанера. Таким образом, лесоматериалы можно использовать как для производства пиломатериалов, так и для изготовления фанеры.
Чтобы получить 2,5 м3 коммерчески реализуемых комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 2,5 м3 еловых и 7,5 м3 пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 100 м3 фанеры требуется 5 м3 еловых и 10 м3 пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 м3 еловых и 180 м3 пихтовых лесоматериалов.
Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести, по крайней мере, 10 м3 пиломатериалов и 1200 м3 фанеры. Доход с 1 м3 пиломатериалов составляет 16 долл., а со 100 м3 фанеры – 60 долл.
Вариант 12.
Фирме «Иерихонская сталь» предстоит решить, какое количество x1 чистой стали и какое количество х2 металлолома следует использовать для приготовления (из соответствующею сплава) литья для одного, из своих заказчиков. Пусть производственные затраты в расчете на 1 т чистой стали равняются 3 усл. ед., а затраты на 1 т металлолома – 5 усл. ед. (последняя цифра больше предыдущей, так как использование металлолома сопряжено с его предварительной очисткой). Заказ предусматривает поставку не менее 5т литья; при этом заказчик готов купить и большее количество литья, если фирма «Иерихонская сталь» поставит перед ним такие условия.
Предположим, что запасы чистой стали ограничены и не превышают 4 т, a запасы металлолома не превышают 6 т. Отношение веса металлолома к весу чистой стали в процессе получения сплава не должно превышать 7 : 8. Производственно-технологические, условия таковы, что на процессы плавки и литья не может быть отведено более 18 ч; при этом на 1 т стали уходит 3 ч, а на 1 т металлолома – 1 ч производственного времени.
Вариант 13.
Фирмой «Супертранзистор» выпускаются радиоприемники трех различных моделей: модель А, модель В и модель С. Каждое изделие указанных моделей приносит доход в размере 8, 15 и 25 соответственно. Необходимо, чтобы фирма выпускала за неделю не менее 100 приемников модели А, 150 моделей приемников модели В и 75 приемников модели С.
Каждая модель характеризуется определенным временем, необходимым для изготовления соответствующих деталей, сборки изделия и его упаковки. Так, в частности, в расчете на 10 приемников модели А требуется 3 ч для изготовления соответствующих деталей, 4 ч на сборку и 1 ч на упаковку. Соответствующие показатели в расчете на 10 приемников модели В равняются 3.5, 5 и 1.5ч, а на 10 приемников модели С – 5, 8 и 3. В течение ближайшей недели фирма может израсходовать на производство радиодеталей 150 ч, на сборку 200 ч и на упаковку 60 ч.
Для решения задачи производственного планирования требуется построить соответствующую модель.
Вариант 14.
Авиакомпания «Небесный грузовик», обслуживающая периферийные районы страны, располагает 8 самолетами типа 1, 15 самолетами типа 2, 12 самолетами типа 3, которые она может использовать для выполнения рейсов в течение ближайших суток. Грузоподъемность (в тысячах тонн) известна: 45 для самолетов типа 1, 7 для самолетов типа 2, 4 для самолетов типа 3.
Авиакомпания обслуживает города А и В. Городу А требуется тоннаж в 20000 т, а городу В – в 30000 т. Избыточный тоннаж не оплачивается. Каждый самолет в течение дня может выполнить только один рейс.
Расходы, связанные с перелетом самолетов по маршруту «Центральный аэродром – пункт назначения», указаны в приведенной ниже таблице:
тип 1 тип 2 тип 3
город А 23 5 1,4
город В 58 10 3,8
Обозначим через xi (i = 1, 2, 3) число самолетов i-го Типа, отправленных в город А, а через yj (j = 1, 2, 3) число самолетов j-го типа, отправленных в город В. Построить модель оптимальных перевозок.
Вариант 15.
Авиакомпании «Ночной полет» необходимо решить, какое количество топлива для реактивных самолетов следует закупить у фирм поставщиков, если число последних равно трем и имеют место следующие требования и ограничения:
Заправка самолетов производится регулярно в четырех аэропортах.
Нефтяные компании констатируют следующие возможности поставки топлива в течение ближайшего месяца: а) 2500000 л – нефтяная компания 1; б) 5000000 л – нефтяная компания 2; в) 6000000 л – нефтяная компания 3.
Авиакомпании требуется следующее количество топлива: а) 1000000 л в аэропорту 1; б) 2000000 л в аэропорту 2; в) 3000000 л в аэропорту 3; г) 4000000 л в аэропорту 4.
Стоимости 1л реактивного топлива с учетом расходов, связанных с доставкой, имеют значения, приведенные в следующей таблице.
компания 1 компания 2 компания 3
Аэропорт 1 12 9 10
Аэропорт 2 10 11 14
Аэропорт 3 8 11 13
Аэропорт 4 11 13 9
Построить модель оптимизации управляющего решения.
Вариант 16.
Фирма «Нитроткань» производит определенного типа мелкие детали для промышленных изделий и продает их через своих посредников-оптовиков по фиксированной поставочной цене 2,50 долл. за штуку. Число посредников-оптовиков равняется пяти. Коммерческие прогнозы указывают на то, что объем месячных поставок, составит: посреднику 1 – 3000 штук, посреднику 2 – 3000 штук, посреднику 3 – 10 000 штук, посреднику 4 – 5000 штук, посреднику 5 – 4000 штук.
Фирма располагает следующими производственными мощностями: завод 1 – 5000 деталей в месяц, завод 2 – 10000 деталей в месяц, завод 3 – 12500 деталей в месяц. Себестоимость одной детали, изготовленной на заводе 1, равняется 1 долл., на заводе 2 – 0,90 долл., на заводе 3 – 0,80 долл.
Транспортные расходы (в долларах), связанные с доставкой одной детали в точки оптовой продажи, приведены ниже:
Компания 1 Компания 2 Компания 3 Компания 4 Компания 5
Завод 1 0,05 0,07 0,10 0,15 0,15
Завод 2 0,08 0,06 0,09 0,12 0,14
Завод 3 0,10 0,09 0,08 0,10 0,15
Требуется построить модель с целью определения оптимальных объемов продукций, подлежащих выпуску на каждом заводе данной фирмы, и количества деталей, поставляемых фирмой своим посредникам-оптовикам.
Вариант 17.
Фирма «Комфорт» производит холодильники, газовые плиты и кухонные раковины. В наступающем году ожидается следующий уровень сбыта:
Кварталы
кварталы
1 2 3 4
холодильники 2000 1500 3000 1000
газовые плиты 1500 1500 1000 1500
кухонные раковины 1000 3000 1500 3000
Фирма разрабатывает производственный план, который был бы в состоянии удовлетворить указанный спрос. Кроме того, фирмой принято решение в конце каждого квартала иметь запасы в размере 1000 единиц каждого вида продукции. В начале первого квартала запасы отсутствуют.
В течение квартала фирма может израсходовать не более 8000 «приведенных часов» (п. ч.) рабочего времени. На изготовление холодильника требуется 0,5 п. ч., газовой плиты – 2 п. ч., а кухонной раковины – 1,5 п. ч. В четвертом квартале холодильники не могут изготовляться, так как фирма планирует произвести в это время частичное переоборудование предприятия в связи с введением в действие новой конвейерной линии.
Допустим, что хранение каждой единицы продукции на складе в течение квартала обходится фирме в 5 усл. ед. Фирма разрабатывает производственный план с учетом поквартальных лимитов производственного времени, ориентируясь при этом на полное удовлетворение спроса. Она стремится также к минимизации издержек, связанных с хранением продукции на складе.
Вариант 18.
Фирма «Всякая всячина», выпускающая лезвия для бритв, объявила о переходе к производству совершенно новых лезвий улучшенного качества. Реакция потребителей на проведенную фирмой рекламную кампанию оказалась вполне удовлетворительной. Фирма имеет два предприятия и три оптовых склада, размещенных в различных географических пунктах. Лезвия на склады доставляются по железной дороге партиями. Выпуск лезвий в течение одного месяца на предприятиях 1 и 2 составляет S1 = 100 и S2 = 200 соответственно. Возможности сбыта на складах 1, 2 и 3 в течение этого месяца равны соответственно D1=150, D2=200 и D3 = 250. Как видно, возможный сбыт, т.е. спрос, значительно превышает поставки, вследствие чего часть потребностей останется неудовлетворенной.
Предположим, что транспортные расходы на доставку одного вагона лезвий с предприятия i на склад j равны tij и что доход от сбыта этого вагона на складе j равен рj. (Фирма может продавать свои лезвия по различным ценам в различных пунктах страны).
Постройте транспортную модель с целевой функцией, тождественной прибыли.
Вариант 19.
Задача о доставке грузов (задача о покрытии). Фирма «Автопегас» должна доставить грузы пяти своим клиентам в течение рассматриваемого дня. Клиенту А нужно доставить груз весом в 1 единицу, клиенту В – в 2 единицы, клиенту С – в 3 единицы, клиенту D – в 5 единиц и клиенту Е – в 8 единиц. Фирма располагает четырьмя автомашинами следующей грузоподъемности: машина 1 – 2 единицы, машина 2 – 6 единиц, машина 3 – 8 единиц, машина 4 – 8 единиц. Стоимость эксплуатации автомашины j составляет cj. Предположим, что одна машина не может доставлять груз обоим клиентам А и С, аналогично одна машина не может использоваться для доставки груза обоим клиентам B и D.
Постройте модель для определения такого назначения автомашин для доставки всех грузов, при котором минимизируются суммарные затраты.
Вариант 20.
Текстильный комбинат производит 2 вида ткани: вид А состоит из 70% шерсти и 30% синтетического волокна, вид В состоит из 10% шерсти и 90% синтетики.
Ткань производится партиями (большими рулонами, бабинами). Время изготовления каждого рулона – 3 часа времени технологического процесса. Технологический процесс может длиться сутки (24 часа). Ткацкий станок может переключаться с производства одного вида ткани на другой.
Для производства ткани вида А ткацкий станок использует 3 ед. шерстяной пряжи и 1 ед. синтетических волокон. Для производства ткани вида В – 1 ед. синтетического волокна и 4 ед. шерстяного волокна. В сутки станок расходует 36 ед. синтетического волокна и 24 ед. шерстяного волокна. Стоимость 1 рулона ткани вида А – $ 2200, ткани вида В – $ 1500.
Сколько рулонов каждого вида ткани нужно выпускать в день, чтобы выручка была максимальной?
Вариант 21.
Необходимо распределить площадь пашни между двумя культурами по следующим данным:
Культура Урожайность (ц/га) Затраты
тракторо-смен на 1 га Цена
(руб. за 1 ц) Затраты (человеко-дней на 1 га)
А 8 0,15 8 3,5
В 10 0,25 6 11
Кроме того, заданы ресурсы производства:
земли – не более 1750 га
затраты тракторосмен – не более 300
затраты труда человеко-дней – не более 8500
потребности в культуре А – 10 000 ц; В – 7500 ц
Критерий оптимальности – максимальная прибыль от реализации.
Вариант 22.
Завод производит продукцию двух видов А и В, используя сырье, запас которого составляет 570 т. Согласно плану выпуск продукции А должен составлять не менее 65% от общего объема выпуска. Расход сырья на изготовление 1 т продукции А и В составляет соответственно 12 и 75 т. стоимость 1 т продукции А и В соответственно 13 и 9 тыс. руб.
Определить план выпуска продукции А и В, при котором стоимость выпуска продукции будет максимальной.
Вариант 23.
На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 35, 45, 15 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.
Вид заготовки Количество заготовок (шт.) при раскрое по способу
1 2
I 3 6
II 4 4
III 8 3
Величина отходов (см3) 10 6
Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовок при минимальных отходах.
Вариант 24.
Хозяйству требуется приобрести два вида азотных удобрений: А – аммиачную селитру, В – сульфат аммония. Удобрения вида А необходимо иметь не более 150 т, а удобрения вида В не более 100 т.
Содержание действующего вещества для А и для В соответственно 45% и 35 %. Отпускная оптовая цена удобрения А – 530 руб., В – 305 руб за тонну.
Хозяйство может выделить на приобретение удобрений 6000 руб. Сколько тонн каждого вида удобрений следует приобрести, чтобы общая масса действующего вещества была максимальной?
Вариант 25.
В хозяйстве установили, что откорм животных выгоден только тогда, когда животные будут получать в дневном рационе не менее 10 ед. питательного вещества А, не менее 16 ед. вещества В и не менее 5 ед. вещества С. Для откорма животных используют два вида корма. Содержание питательных веществ в 1 кг каждого вида корма, а также цена 1 кг корма (руб.) величины известные и приведены в таблице:
Питательные вещества Корма Дневная норма
I II А 3 3 12
В 5 0 15
С 6 6 7
ЦЕНА кормов 50 40 Установить, какое количество корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затраты на его приобретение были минимальными.
Вариант 26.
Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида, прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов каждого вида приведены в следующей таблице:
Ресурсы Нормы затрат ресурсов на одно изделие Общее кол-во ресурсов
стол шкаф Древесина (м3)
I вида
II вида 0,15
0,15 0,2
0,4 60
50
Трудоемкость (чел.-ч) 1,2 1,5 450
Прибыль от реализации одного изделия (руб.) 60 85 Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовить, чтобы прибыль от их реализации была максимальной.
Вариант 27.
Для производства двух видов изделий А и В используется токарное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат времени для каждого из типов оборудования на одно изделие данного вида приведены ниже в таблице. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия.
Тип оборудования Затраты времени
(станко-часов) на обработку одного изделия Общий фонд полезного рабочего времени оборудования (ч)
А В фрезерное 8 10 185
токарное 12 10 200
шлифовальное 6 5 150
Прибыль от реализации одного изделия (руб.) 140 108 Найти план выпуска изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.
Вариант 28.
Завод производит продукцию двух видов А и В, используя сырье, запас которого составляет 700 т. Согласно плану выпуск продукции А должен составлять не менее 50% от общего объема выпуска. Расход сырья на изготовление 1 т продукции А и В составляет соответственно 8 и 5 т. стоимость 1 т продукции А и В соответственно 5 и 4 тыс. руб.
Определить план выпуска продукции А и В, при котором стоимость выпуска продукции будет максимальной.
Вариант 29.
На звероферме могут выращивать черно-бурых лисиц и песцов. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используют три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.
Вид корма Количество единиц корма, которое ежедневно должны получать Общее кол-во корма
лисица песец I 3 3 130
II 7 1 250
III 6 2 530
Прибыль от реализации одной шкурки (руб.) 30 50 Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.
Вариант 30.
Фирма «Лесная пилорама» столкнулась с проблемой наиболее рационального использования ресурсов лесоматериалов, имеющихся в одном из принадлежащих этой фирме лесных массивов. В районе данного массива имеется лесопильный завод и фабрика, на которой изготовляется фанера. Таким образом, лесоматериалы можно использовать как для производства пиломатериалов, так и для изготовления фанеры.
Чтобы получить 50 м3 коммерчески реализуемых комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 27 м3 еловых и 70 м3 пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 80 м3 фанеры требуется 7 м3 еловых и 12 м3 пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 180 м3 еловых и 580 м3 пихтовых лесоматериалов.
Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести, по крайней мере, 10 м3 пиломатериалов и 1200 м3 фанеры. Доход с 1 м3 пиломатериалов составляет 16 долл., а со 100 м3 фанеры – 60 долл.
Задание №2. Изделие продается по цене А долл., но за партию размером более В изделий предоставляется С%-ная скидка. Фирма, потребляющая D изделий в день, хочет решить, стоит ли воспользоваться скидкой. Затраты на размещение заказа на одну партию составляют E долл., затраты на хранение одного изделия F долл. в день. Определите размер заказа.
Вариант A B C D E F
1 1 100 5 10 10 0,01
2 1,25 100 5 11 12 0,02
3 1,5 100 5 12 14 0,03
4 1,75 70 5 13 16 0,04
5 2 70 5 10 18 0,05
6 2,25 70 5 11 20 0,06
7 2,5 70 5 12 22 0,07
8 2,75 70 5 13 24 0,08
9 3 70 5 10 26 0,09
10 3,25 70 5 11 28 0,1
11 3,5 70 7 12 30 0,11
12 3,75 30 7 13 10 0,12
13 4 30 7 10 12 0,13
14 4,25 30 7 11 14 0,14
15 4,5 30 7 12 16 0,15
16 4,75 30 7 13 18 0,16
17 5 30 7 10 20 0,17
18 5,25 30 7 11 22 0,18
19 5,5 30 7 12 24 0,19
20 5,75 30 9 13 26 0,2
21 6 30 9 10 28 0,21
22 6,25 30 9 11 30 0,22
23 6,5 30 9 12 10 0,23
24 6,75 30 9 13 12 0,24
25 7 30 9 10 14 0,25
26 7,25 30 9 11 16 0,26
27 7,5 30 9 12 18 0,27
28 7,75 30 9 13 20 0,28
29 8 30 9 10 22 0,29
30 8,25 30 9 11 24 0,3
Задание №3. Различные виды продукции хранятся в запасе с целью непрерывного использования в производственном процессе. Интенсивность спроса постоянна для всех видов. Дефицит не допускается, и запас должен пополняться мгновенно после поступления заказа. Пусть – количество требуемого -го вида продукции ( = 1, 2, 3, 4, 5) в год. Найдите экономичные размеры заказов для всех видов продукции, предполагая, что суммарный оббьем склада не может превышать А.
Вариант Вид продукции аi А
1 1,2,3,4,5 10,20,15,30,10 5,10,7,8,5 0,1; 0,2; 0,2; 0,1; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
2 1,2,3,4,5 5,12,10,7,8 5,7,8,9,5 0,1; 0,1; 0,2; 0,3; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
3 1,2,3,4,5 14,10,12,12,15 8,7,6,1,9 0,2; 0,2; 0,5; 0,1; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
4 1,2,3,4,5 9,12,13,12,5 5,6,7,1,9 0,1; 0,2; 0,2; 0,1; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
5 1,2,3,4,5 6,12,15,18,14 5,10,7,8,5 0,1; 0,1; 0,2; 0,3; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
6 1,2,3,4,5 12,15,12,14,15 5,7,8,9,5 0,2; 0,2; 0,5; 0,1; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
7 1,2,3,4,5 10,20,15,30,10 8,7,6,1,9 0,1; 0,2; 0,2; 0,1; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
8 1,2,3,4,5 5,12,10,7,8 5,6,7,1,9 0,1; 0,1; 0,2; 0,3; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
9 1,2,3,4,5 14,10,12,12,15 5,10,7,8,5 0,2; 0,2; 0,5; 0,1; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
10 1,2,3,4,5 9,12,13,12,5 5,7,8,9,5 0,1; 0,2; 0,2; 0,1; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
11 1,2,3,4,5 6,12,15,18,14 8,7,6,1,9 0,1; 0,1; 0,2; 0,3; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
12 1,2,3,4,5 12,15,12,14,15 5,6,7,1,9 0,2; 0,2; 0,5; 0,1; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
13 1,2,3,4,5 10,20,15,30,10 5,10,7,8,5 0,1; 0,2; 0,2; 0,1; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
14 1,2,3,4,5 5,12,10,7,8 5,7,8,9,5 0,1; 0,1; 0,2; 0,3; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
15 1,2,3,4,5 14,10,12,12,15 8,7,6,1,9 0,2; 0,2; 0,5; 0,1; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
16 1,2,3,4,5 9,12,13,12,5 5,6,7,1,9 0,1; 0,2; 0,2; 0,1; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
17 1,2,3,4,5 6,12,15,18,14 5,10,7,8,5 0,1; 0,1; 0,2; 0,3; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
18 1,2,3,4,5 12,15,12,14,15 5,7,8,9,5 0,2; 0,2; 0,5; 0,1; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
19 1,2,3,4,5 10,20,15,30,10 8,7,6,1,9 0,1; 0,2; 0,2; 0,1; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
20 1,2,3,4,5 5,12,10,7,8 5,6,7,1,9 0,1; 0,1; 0,2; 0,3; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
21 1,2,3,4,5 14,10,12,12,15 5,10,7,8,5 0,2; 0,2; 0,5; 0,1; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
22 1,2,3,4,5 9,12,13,12,5 5,7,8,9,5 0,1; 0,2; 0,2; 0,1; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
23 1,2,3,4,5 6,12,15,18,14 8,7,6,1,9 0,1; 0,1; 0,2; 0,3; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
24 1,2,3,4,5 12,15,12,14,15 5,6,7,1,9 0,2; 0,2; 0,5; 0,1; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
25 1,2,3,4,5 10,20,15,30,10 5,10,7,8,5 0,1; 0,2; 0,2; 0,1; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
26 1,2,3,4,5 5,12,10,7,8 5,7,8,9,5 0,1; 0,1; 0,2; 0,3; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
27 1,2,3,4,5 14,10,12,12,15 8,7,6,1,9 0,2; 0,2; 0,5; 0,1; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
28 1,2,3,4,5 9,12,13,12,5 5,6,7,1,9 0,1; 0,2; 0,2; 0,1; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
29 1,2,3,4,5 6,12,15,18,14 5,10,7,8,5 0,1; 0,1; 0,2; 0,3; 0,2 0,2; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1 20
30 1,2,3,4,5 12,15,12,14,15 5,7,8,9,5 0,2; 0,2; 0,5; 0,1; 0,2 0,3; 0,2; 0,1; 0,2; 0,3 20
Задание №4. Найти решение транспортной задачи и расчитать минимальные суммарные издержки на транспортировку.
Вариант 1.
a1 = 200,b1 = 90,
a2 = 150,b2 = 100,
a3 = 150,b3 = 70,
b4 = 130,
b5 = 110;
Вариант 2.
a1 = 300,b1 = 180,
a2 = 280,b2 = 140,
a3 = 220,b3 = 190,
b4 = 120,
b5 = 170;
Вариант 3.
a1 = 250,b1 = 180,
a2 = 200,b2 = 120,
a3 = 150,b3 = 90,
b4 = 105,
b5 = 105;
Вариант 4.
a1 = 400,b1 = 200,
a2 = 250,b2 = 170,
a3 = 350,b3 = 230,
b4 = 225,
b5= 175;
Вариант 5.
a1 = 150,b1 = 160,
a2 = 200,b2 = 70,
a3 = 150,b3 = 90,
b4 = 80,
b5= 100;
Вариант 6.
a1 = 280,b1 = 170,
a2 = 300,b2 = 120,
a3 = 220,b3 = 190,
b4 = 140,
b5= 180;
Вариант 7.
a1 = 150,b1 = 180,
a2 = 250,b2 = 120,
a3 = 200,b3 = 90,
b4 = 105,
b5= 105;
Вариант 8.
a1 = 250,b1 = 300,
a2 = 400,b2 = 160,
a3 = 350,b3 = 220,
b4 = 180,
b5= 140;
Вариант 9.
a1 = 150,b1 = 100,
a2 = 150,b2 = 70,
a3 = 200,b3 = 130,
b4 = 110,
b5 = 90;
Вариант 10.
a1 = 280,b1 = 190,
a2 = 220,b2 = 140,
a3 = 300,b3 = 180,
b4 = 120,
b5= 170;
Вариант 11.
a1 = 200,b1 = 120,
a2 = 250,b2 = 180,
a3 = 150,b3 = 105,
b4 = 90,
b5= 105;

Вариант 12.
a1 = 350,b1 = 120,
a2 = 400,b2 = 110,
a3 = 250,b3 = 230,
b4 = 170,
b5= 200;
Вариант 13.
a1 = 250,b1 = 120,
a2 = 250,b2 = 110,
a3 = 200,b3 = 85,
b4 = 195,
b5= 190;
Вариант 14.
a1 = 250,b1 = 160,
a2 = 180,b2 = 120,
a3 = 270,b3 = 100,
b4 = 150,
b5= 170;
Вариант 15.
a1 = 350,b1 = 160,
a2 = 300,b2 = 160,
a3 = 350,b3 = 180,
b4 = 220,
b5= 280;
Вариант 16.
a1 = 250,b1 = 150,
a2 = 350,b2 = 170,
a3 = 300,b3 = 190,
b4 = 210,
b5= 180;
Вариант 17.
a1 = 220,b1 = 160,
a2 = 400,b2 = 180,
a3 = 280,b3 = 170,
b4 = 200,
b5= 190;
Вариант 18.
a1 = 160,b1 = 170,
a2 = 400,b2 = 190,
a3 = 240,b3 = 140,
b4 = 180,
b5= 120;
Вариант 19.
a1 = 300,b1 = 190,
a2 = 330,b2 = 150,
a3 = 370,b3 = 240,
b4 = 200,
b5= 220;
Вариант 20.
a1 = 280,b1 = 170,
a2 = 340,b2 = 160,
a3 = 280,b3 = 190,
b4 = 200,
b5= 180;
Вариант 21.
a1 = 60,b1 = 20,
a2 =120,b2 = 100,
a3 = 100,b3 = 40,
b4 = 50,
b5= 60;
Вариант 22.
a1 = 160,b1 = 170,
a2 = 400,b2 = 190,
a3 = 240,b3 = 140,
b4 = 180,
b5= 120;
Вариант 23.
a1 = 200,b1 = 120,
a2 = 250,b2 = 180,
a3 = 150,b3 = 105,
b4 = 90,
b5= 105;

Вариант 24
a1 = 250,b1 = 160,
a2 = 180,b2 = 120,
a3 = 270,b3 = 100,
b4 = 150,
b5= 170;
Вариант 25.
a1 = 350,b1 = 160,
a2 = 300,b2 = 160,
a3 = 350,b3 = 180,
b4 = 220,
b5= 280;
Вариант 26.
a1 = 250,b1 = 150,
a2 = 350,b2 = 170,
a3 = 300,b3 = 190,
b4 = 210,
b5= 180;
Вариант 27.
a1 = 220,b1 = 160,
a2 = 400,b2 = 180,
a3 = 280,b3 = 170,
b4 = 200,
b5= 190;
Вариант 28.
a1 = 160,b1 = 170,
a2 = 400,b2 = 190,
a3 = 240,b3 = 140,
b4 = 180,
b5= 120;
Вариант 29.
a1 = 300,b1 = 190,
a2 = 330,b2 = 150,
a3 = 370,b3 = 240,
b4 = 200,
b5= 220;
Вариант 30.
a1 = 280,b1 = 170,
a2 = 340,b2 = 160,
a3 = 280,b3 = 190,
b4 = 200,
b5= 180;

Задание №5. Теория игр.
Вариант 1
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 2
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 3
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 4
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 5
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 6
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 7
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 8
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 9
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 10
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 11
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 12
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 13
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 14
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 15
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 16
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 17
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 18
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 19
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 20
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 21
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 22
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 23
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 24
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 25
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 26
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 27
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 28
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 29
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Вариант 30
Найти решение матричной игры: а) показать существование или отсутствие чистых оптимальных стратегий; б) выполнить доминирование.
;
Найти решение матричных игр.

Учебно-методическое и информационноеобеспечение дисциплины «Математические методы в управлении»
1. Акулич, И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – Санкт-Перербург : Лань, 2011. – 352 c. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=2027. – Загл. с экрана.
2. Кузнецов, А. В. Высшая математика. Математическое программирование. – Санкт-Перербург : Лань, 2013. – 352 c. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=4550. – Загл. с экрана.
3. Тынкевич, М. А. Экономико-математические методы (исследование операций) : учеб. пособие для студентов инженерно-экономических специальностей и направлений вузов / ГОУ ВПО «Кузбас. гос. техн. ун-т». – Кемерово, 2011. – 222 c. – Доступна электронная версия:
http://library.kuzstu.ru/meto.php?n=90515&type=utchposob:common4. Бородин, А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. – Москва : Лань, 2011. – 256 c. URL: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=20265. Балдин, К. В. Эконометрика: учебное пособие. – Москва : Юнити-Дана, 2015. – 254 c. – Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=114533. – Загл. с экрана.
6. Фадеева, Л. Н. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика. Задачи и упражнения : учеб. пособие для студентов вузов, обуч. по направлению 080100 «Экономика» / Л. Н. Фадеева, Ю. В. Жуков, А. В. Лебедев; под ред. Л. Н. Фадеевой. – Москва : Эксмо, 2007. – 336 c.
7. Тихомиров, Н. П. Методы эконометрики и многомерного статистического анализа : учебник для студентов вузов, обучающихся по экон. специальностям и направлениям / Н. П. Тихомиров, Т. М. Тихомирова, О. С. Ушмаев. – Москва : Экономика, 2011. – 647 c.
8. Гладких, Б. А. Методы оптимизации и исследование операций для бакалавров информатики Линейное программирование: учебное пособие, Ч. 1. Введение в исследование операций. – Томск : Издательство 'НТЛ', 2009. – 200 c. – Режим доступа: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=200774. – Загл. с экрана.
9. Туганбаев, А. А. Теория вероятностей и математическая статистика. – Санкт-Перербург : Лань, 2011. – 320 c. – Режим доступа: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=652. – Загл. с экрана.
10. Горелова, Г. В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel : учеб. пособие для вузов / Г. В. Горелова, И. А. Кацко. – Ростов-на-Дону : Феникс, 2005. – 480 c.
11. Теория игр [Электронный ресурс] : учебное пособие для студентов направления 080100.62 «Экономика», профиль 080109.62 «Экономика предприятий и организаций» всех форм обучения /Е. А. Николаева; ФГБОУ ВПО «Кузбас. гос. техн. ун-т им. Т. Ф. Горбачева», каф. математики. – Кемерово, 2013. – 38 с.
12. Математические методы в управлении [Электронный ресурс] : методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе для студентов направления подготовки магистров 38.04.01 (080100.68) «Экономика», образовательная программа «Управление корпоративными финансами», очной формы обучения / Е. А. Николаева, И. А. Ермакова; ФГБОУ ВПО «Кузбас. гос. техн. ун-т им. Т. Ф. Горбачева», каф. математики. – Кемерово, 2015. – 47 с.

Приложенные файлы

  • docx 649764
    Размер файла: 698 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий