УП_1сем_Геометрический_практикум


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Для ФН
-
11
.

Первый семестр.

Учебная практика


ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ


Плоскость общего положения


оставляет следы в форме треугольника на
координатных плоскостях декартовой прямоугольной системы координат




I

октанте)
. Вершины треугольника следов, лежащие на осях
Oy

и

Oz
, удалены от
начала координат на одинаковое расстояние, а вершина, лежащая на оси
Ox
, отстоит
от начала координат в
n

раз дальше, чем любая другая вершина, причём



=



,

(1)


где
N



номер варианта типового расчёта

(«по журналу»)
;


k



число, выдаваемое преподавателем.

Задача
Д


1) Задание по начертательной геометрии:

изобразить
*
условие задачи и
все

построения, необходимые для решения задачи, в пространственной
системе координат
**

и на эпюре Монжа. Обозначить оси координат,
ортонормированный базис
{

̅
;

̅
;

̅
}
, плоскости
ߨ
1
;

ߨ
2
;

ߨ
3
;



и все остальные
геометрические объекты.

2) Задание по векторной
алгебре:

вычислить линейную меру двугранного
угла
**
,
который плоскость


составляет с

координатной плоскостью
ߨ
3

߰
=

(

;
ߨ
3
)
.

Ответ представить в градусах и радианах.

3) Задание по начертательной геометрии:

на эпюре Монжа изобразить
угол
߰
=

(

;
ߨ
3
)

в

натуральную величину методом

замены плоскости
проекции
***
.

Задача
Д


4
) Задание по аналитической геометрии:

а) вычислить
линейную меру двугранных
углов
��
, которые плоскость


составляет с координатными плоскостями
ߨ
1

и
ߨ
2

߮
=

(

;
ߨ
1
)
;
߯
=

(

;
ߨ
2
)
;

б) составить все виды уравнений плоскости


и подписать их;

в) найти расстояние
ߩ
(

;

)

от начала координат до плоскости

;

г) найти точку


1
, симметричную точке начала координат относительно
плоскости

;

изобразить


1

в пространственной системе
координат и на
эпюре Монжа
;

д) показать, чему равны углы
߮
;

߯
;

߰

в двух случаях: при




и при


0
.

Примечание: повторить греческий и латинский алфавит.

Задача
Д


V

5)

Задание по начертательной геометрии:

п
усть в задаче
Д
3
:

=
1
.
Построить
*

в изометрии
треугольник следов плоскости


. Вписать в этот
треугольник окружность

. На этом же чертеже построить три проекции
окружности


,

′′
,

′′′
.

Защита


Задание. Ответьте письменно на следующие вопросы

(задачи)

в
зависимости от величины


(
по (1))
:

-

если

=
1
, то вопросы 1, 2, 4, 7, 16, 20, 23, 27
, 31
, 36
;

-

если

=
2
,

то вопросы 1, 2, 3, 6, 11, 14, 24, 28
, 32
, 37
;

-

если

=
3
, то вопросы 1, 2, 8, 9, 10, 19, 25, 26
, 33
, 36
;

-

иначе


на выбор:


-

вопросы 1,

2, 5, 13, 17, 22, 29
, 34
, 37
;


либо


-

вопросы 1, 2, 12, 15, 18, 21, 30
, 35
, 36
.

Вопросы приведены далее.



Развиваемые компетенции: пространственное мышление; умение выстраивать
логическ
ие доказательства;
навыки

формулирования точных высказываний
;

оформительские навыки;

навыки самостоятельной работы с источниками
информации.


*)

Желательно изображения строить на миллиметровой бумаге
, используя

линейку, циркуль,
треугольник, транспортир
.

Линии невидимого контура проводить пунктиром; линии видимого
контура должны быть сплошными.

**)

Желательно
чертить
на аксонометрической плоскости проекций

(в изометрии)
.

***)

См.:
Фролов С.А.

Начертательная геометрия. Учебник для втузов.


2
-
е изд., перераб. и
доп.


М.: Машиностроение, 1983 (§42), или
О.Э. Шарикян, А.Е.

Одинцова, А.А.

Кашу. Методические
указания к выполнению домашнего задания по начертательной геометрии: Изд
-
во МГТУ им. Н.Э.
Баумана, 2012 г.

(
c
.
13, 14, 16
)

IV
)

Линейная мера двугранного угла


это число, равное углу меж
ду линиями пересечения каждой
из

двух плоскостей (образующих между собой двугранный угол) с третьей плоскостью,
перпендикулярной ребру двугранного угла.

V
)

В
этой части необходимо сделать новый чертёж, чтобы не загромождать предыдущие
построения.




ВОПРОСЫ К ЗАЩИТЕ


Вопрос 1.

Сформулируйте основные свойства ортогонального проецирования.

Вопрос 2.

Выведите формулу


=


cos
߮
, где
߮



это двугранный угол
(острый),




площадь многоугольника (правильного),





площадь его
ортогональной проекции. Сделать поясняющий рисунок (пространственный).

Вопрос 3. Коническая линия и шары Данделена. Сделать рисунок.

Вопрос 4. Сформулировать и до
казать теорему Пифагора.

Вопрос 5. Сформулировать и доказать теорему Стюарта.

Вопрос 6.

Сформулировать первую и вторую теоремы Птолемея, а также
следствия из них. Сформулировать и доказать теорему Помпею.

Вопрос 7. Сформулировать определение равных треугол
ьников.
Сформулировать и доказать признаки равенства треугольников.

Вопрос 8. Сформулировать определение подобных треугольников.
Сформулировать и доказать признаки подобия треугольников.

Вопрос 9. Точка Микеля. Теорема Микеля для пятиугольника. Теорема
Мик
еля о шести окружностях.

Вопрос 10. Сформулировать и доказать соотношение Бретшнайдера и
следствия.

Вопрос 11.

Сформулировать и доказать теорему Аполлония для треугольника.

Вопрос 12. Формула Карно для треугольника. Японская теорема о вписанном
многоугольн
ике.

Вопрос 13. Фигуры Лиссажу.

Вопрос 14. Эволюта плоской кривой, эвольвента и нормаль. Определение,
свойства, применение.

Вопрос 15.

Теоремы Аполлония для эллипса. Вывод формулы площади
эллипса.

Вопрос 16. Сформулировать и доказать неравенство
треугольника в
евклидовой геометрии.

Вопрос 17. Сформулировать и доказать теорему Вариньона и следствия из неё.

Вопрос 18.

Сформулировать и доказать теорему Ньютона для
четырёхугольника.

Вопрос 19. Формулы для вычисления площади четырёхугольника (с выводом
).

Вопрос 20. Пирамида и параллелепипед: вывод формул для объёма. Теоремы
о пирамиде и сфере, пирамиде и конусе, пирамиде и цилиндре.

Вопрос 21. Окружности Сангаку.

Вопрос 22. Принцип Кавальери.

Вопрос 23. Неравенства о средних (геометрия).

Вопрос 24. Евкл
идова геометрия. Аксиоматика Гильберта.

Вопрос 25. Дан центральный эллипс, у которого

33
=

1
. Вывести
соотношения для его инвариантов:

=
1

2
+
1

2
;

=
1

2
1

2
;
Δ
=

1

2
1

2

Вопрос 26. В тетраэдре SABC

через каждое ребро и середину
противоположного ребра проведена плоскость. Доказать, что все эти
плоскости имеют общую точку.

Вопрос 27.
ܣܤܥܦ
ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1
ܦ
1



куб с ребром 2 см. Паук находится в центре грани
ܣܤ
ܣ
1
ܤ
1
. Какую наименьшую длину может иметь
путь паука по поверхности
куба в вершину С?

Вопрос 28. Непараллельные стороны трапеции продолжены до взаимного
пересечения и через полученную точку проведена прямая, параллельная
основаниям трапеции. Найдите отрезок её, ограниченный продолжениями
диагонале
й, если основания равны
a

и
b
.

Вопрос 29. Вася из бумаги склеил многогранник, затем разрезал его по рёбрам
на отдельные грани, сложил в конверт и послал Саше. Верно ли, что Саша
склеит такой же многогранник какой был у Васи?

Вопрос 30. В усечённый конус вп
исан шар. Сумма диаметров верхнего и
нижнего оснований конуса в 5 раз больше радиуса шара. Найдите угол между
образующей усечённого конуса и плоскостью основания.

Вопросы 31
-
35.
Написать определитель



поверхности
в виде
Ф(Г); [А].
Какое
место в общей
классификации




поверхностей занимает данная поверхность
(класс, подкласс, группа, подгруппа)?

Заданные поверхности:

-

вопрос 31: однополостный гиперболоид;

-

вопрос 32:
прямой круговой конус;

-

вопрос 33: эллиптический параболоид;

-

вопрос 34: гиперболич
еский параболоид;

-

вопрос 35: прямой круговой цилиндр.

Вопрос 36. Определение угла. Ориентированный угол. Угол между двумя
осями. Угол между двумя прямыми. Угол от одной прямой до другой

[6]
.
Градусная мера угла.

Вопрос 37. Полярная система координат на плоскости и в простра
нстве

[6]
.


*
)

См.:
Фролов С.А.

Начертательная геометрия. Учебник для втузов.


2
-
е изд., перераб. и доп.


М.:
Машиностроение, 1983 (§24)

*
*
)

См.:
Фролов С.А.

Начертательная геометрия. Учебник для втузов.


2
-
е изд., перераб. и

доп.


М.:
Машиностроение, 1983 (§26)



П
лан
-
график выполнения работ

студента


№ недели

Мероприятие


Неделя №2

Лекция №1
.

Ортогональное проецирование.

Эпюр Монжа

Неделя №4

Лекция №2
.

Метод замены плоскости проекции.

Общие сведения о поверхностях

Неделя №4

Получить у преподавателя число
k

Неделя №6

Выполнить задачу
Д


Неделя №8

Выполнить задачи

Д


и

Д


Неделя №9
1

Написать защиту задач

Неделя №10

Оформить отчёт по практике с титульным листом
установленного образца

(все листы отчёта скрепить)

Неделя №12

Защитить отчёт по практике и получить зачёт в
зачётную книжку







1

Начинать писать ответы на вопросы защиты можно и раньше указанного срока

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ


1.
Канатников А.Н. Аналитическая ге
ометрия: учеб. для вузов / А.Н.
Канатников, А.П. Крищенко; под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.


6
-
е
изд.


М.: Изд
-
во
МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 2014.

2
. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: Уч. пособие
для втузов.


17
-
е изд.


СПб., Изд
-
во «Профессия», 2009.


200

с., ил.

3
. Фролов С.А. Начертательная геометрия. Учебник для втузов.


2
-
е изд.,
перераб. и
доп.


М.: Машиностроение, 1983.

4
.
О.Э. Шарикян, А.Е. Одинцова, А.А. Кашу. Методические указания к
выполнению домашнего задания по начертательной геометрии: Изд
-
во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012 г.

5
. Моден
ов П.С. Аналитическая геометрия:

Издательство Москов
ского
университета, 1967

г.

6
. Розенфельд Б.А. Ап
оллоний Пергс
кий.


М:

МЦНМО, 2004.

7
. Жуков А.
В
.
Вездесущее число «пи».

М.: Едиториал УРСС, 2004

8
. Мир мате
матики:
в 40 т
. Т.7.
Хоакин Нав
а
рро
. Секреты числа пи / Пер. с
исп.


М:

Д
е Агостини, 2014

9
.
Мир мате
матики:
в 40 т
. Т.4
.
Жуан Гомес. Когда прямые искривляются /
Пер. с англ
.


М:

Д
е Агостини, 2014

10
. Информационно
-
телекоммуникационная сеть Интернет



Приложенные файлы

  • pdf 4017724
    Размер файла: 697 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий