Экзаменационные задания (3 сем. 2 курс)

Примерный вариант тестового задания для Д-211-213

Примерный вариант тестового задания, содержит 20 вопросов.
Экзаменационный тест будет содержать 15 вопросов.


Задание
Варианты ответов

1
Имеется три группы студентов: в первой 10 человек, во второй 15 человек, в третьей 12 человек. Количество способов выбора тройки студентов, в которой по одному студенту из каждой группы равно
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
А



13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Б



13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В



13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Г




Д

2
Количество перестановок из букв слова «СПИКЕР», в которых буква «С» на первом месте, равно
625
А



24
Б



720
В



120
Г

3
Из букв слова «ЗАДАЧА» наугад выбирается одна буква. Событие {выбрана буква К} является
случайным
А



достоверным
Б



невозможным
В



противоположным
Г

4
Вероятность наступления случайного события не может быть равна
1
А



0
Б



4
В



0,4
Г

5
Из колоды 52 карт наудачу вытягивается одна. Какова вероятность, что это будет король?
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
А



13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Б



13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В



13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Г

6
В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали. Последовательно по одной вынимают две детали, при этом каждый раз возвращают их обратно в коробку. Найти вероятность того, что обе вынутые детали бракованные.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
А



13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Б



13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В



13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Г

7
Вероятность того, что спортсмен выполнит норматив, равна 0,6. Тогда вероятность того, что из трех спортсменов, участвующих в забеге, хотя бы один выполнит норматив, равна
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
А



0,936
Б



0,36
В



0,064
Г



Задание
Варианты ответов

8
В первой урне 2 белых и 8 черных шаров. Во второй урне 3 белых и 7 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар. Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым, равна
0,25
А



0,11
Б



0,55
В



0,6
Г

9
В задачах на расчёт вероятности того, что в n независимых испытаниях (при малом числе испытаний) событие А появится ровно k раз, используется
локальная теорема Муавра-Лапласа
А



формула Пуассона
Б



интегральная теорема Муавра-Лапласа
В



формула Бернулли
Г

10
Закон распределения дискретной случайной величины задан следующей таблицей:
13 EMBED Equation.3 1415
0
1
2

13 EMBED Equation.3 1415
0,3
0,4
0,3

Значение функции распределения этой случайной величины на интервале 13 EMBED Equation.3 1415 равно
0
А



0,3
Б



0,4
В



1
Г



0,7
Д

11
Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения вероятностей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тогда значение С равно
0
А



1,5
Б



1
В



0,5
Г

12
Чему равно математическое ожидание суммы случайных величин?
0
А



1
Б



сумме их математических ожиданий
В



произведению их математических ожиданий
Г

13
Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения вероятностей

Х
2
3

Р
0,3
0,7


Математическое ожидание этой случайной величины равно
2,7
А



5
Б



1
В



2,3
Г

14
Если все значения случайной величины увеличить на какое-то число, то её дисперсия
не изменится
А



увеличится на это число
Б



уменьшится на это число
В



увеличится в это число раз
Г

15
Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с плотностью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
А



13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Б



13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В



Задание
Варианты ответов

16
Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 распределена по нормальному закону с 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 равна ...
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
А



13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Б



13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В



13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Г

17
График плотности вероятностей для нормального распределения изображен на рисунке

А




Б




В




Г

18
Статистическое распределение выборки имеет вид

13 EMBED Equation.3 1415
1
3
5
9

13 EMBED Equation.3 1415
2
2
10
6


Тогда относительная частота варианты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равна
10
А



0,2
Б



0,5
В



0,1
Г



Задание
Варианты ответов

19
По выборке объема 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 построена гистограмма частот:

Тогда значение а равно
18
А



17
Б



16
В



67
Г

20
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, полигон частот имеет вид

Тогда число вариант 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в выборке равно
10
А



8
Б



9
В



48
Г


Экзаменационные вопросы

Понятие о случайном событии. Совместные и несовместные события; противоположные, невозможные, достоверные события. Примеры.
Основные понятия комбинаторики. Типы соединений (перестановки, сочетания, размещения). Примеры. Правила умножения и сложения событий.
Классическое, геометрическое и статистическое определение вероятности. Относительная частота. Свойства вероятности.
Пространство элементарных событий. Диаграммы Венна.
Теоремы сложения вероятностей совместных и несовместных событий. Вероятность появления хотя бы одного события.
Условная вероятность. Теоремы умножения зависимых и независимых событий.
Полная группа событий. Противоположные события, сумма вероятностей противоположных событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Повторные независимые испытания. Схема испытаний и формула Бернулли. Наивероятнейшее число.
Асимптотические формулы для подсчета вероятностей по схеме Бернулли: Формула Пуассона, интегральная и локальная формулы Муавра-Лапласа. Интегральная и локальная функции Лапласа, их свойства.
Понятие о случайной величине. Дискретные и непрерывные случайные величины (ДСВ и НСВ). Примеры.
Закон распределения ДСВ. Способы задания. Интегральная функция распределения для ДСВ. Ее свойства.
Интегральная функция распределения НСВ, ее свойства.
Дифференциальная функция распределения НСВ, ее свойства.
Геометрическое изображение интегральной функции распределения ДСВ и НСВ. Вероятности попадания в интервал.
Математические операции над дискретными случайными величинами (произведение дискретной случайной величины на постоянную величину, возведение в степень дискретной случайной величины, сумма (разность) дискретных случайных величин, заданных рядом распределения).
Математическое ожидания ДСВ и НСВ. Ее свойства.
Дисперсия ДСВ и НСВ. Ее свойства.
Среднее квадратическое отклонение ДСВ и НСВ, ее свойства.
Мода и медиана. Примеры. Квантили. Моменты случайных величин Асимметрия и эксцесс.
Законы распределения для ДСВ (биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое распределение). Формулы, числовые характеристики.
Законы распределения для НСВ (равномерное и показательное распределение). Их интегральные и дифференциальные функции распределения, графики, числовые характеристики, вероятность попадания в интервал.
Нормальный закон распределения. Его интегральная и дифференциальная функции распределения. Графики. Вероятность попадания в интервал. Правило трех сигм.
Закон больших чисел (неравенства Маркова и Чебышева, теорема Бернулли и ее следствие).
Предмет и основные задачи математической статистики.
Генеральная совокупность и выборка. Размах выборки. Репрезентативность выборки.
Статистический и вариационный ряд. Полигон и гистограмма частот и относительных частот. Кумулятивная линия.
Эмпирическая функция распределения. Ее свойства.
Оценка параметра теоретического распределения. Виды оценок. Требования, предъявляемые к оценкам.
Точечные оценки (выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение, исправленная дисперсия, исправленное среднее квадратическое отклонение). Коэффициент вариации.
Интервальные оценки. Доверительная вероятность и уровень значимости. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания при нормальном распределении с известным и неизвестным Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения.
Статистические гипотезы. Виды гипотез. Основная и конкурирующая гипотезы. Основной принцип проверки гипотез. Виды критических областей.
Исключение грубых ошибок наблюдений. Критерий Стьюдента.
Проверка гипотезы о нормальности распределения по методу среднего абсолютного отклонения (САО).
Проверка гипотезы о нормальности распределения по методу показателей асимметрии и эксцесса.
Проверка гипотезы о нормальности распределения по критерию (2. Правило Штюргеса.
Примерные экзаменационные задания

Случайные события
Студент знает ответы на 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что он вытащит на экзамене известный ему вопрос?
В студенческой группе 15 девушек и 10 юношей. Случайным образом (по жребию) выбирают одного. Найти вероятность того, что отобран будет юноша.
Из 10 лотерейных билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что взятый на удачу билет окажется выигрышным.
В квадрате находится другой квадрат, сторона которого вдвое меньше. Найти вероятность того, что точка, брошенная в квадрат так, что любое ее положение в квадрате – равновозможное, окажется внутри второго квадрата.
Найти вероятность того, что брошенная в квадрат точка окажется внутри вписанного в этот квадрат круга, если ее любое положение в квадрате равновозможно.
Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0.4, 0.5 и 0.7. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов окажется: а) одно попадание в мишень; б) хотя бы одно попадание.
Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов программы только 24. Чему равна вероятность сдать зачет, если для этого надо ответить на случайно доставшийся ему вопрос, а в случае неудачи ответить на дополнительный вопрос, предложенный ему преподавателем случайным образом.
На сборку поступают однотипные детали с трех предприятий, причем первое поставляет 50%, второе – 30% и третье – остальное количество. Вероятность появления брака для первого, второго и третьего поставщиков соответственно равны 0.05, 0.1 и 0.15. Выборочный контроль обнаружил брак. Какова вероятность того, что брак произошел по вине второго предприятия?
В сеансе одновременной игры с гроссмейстером играют 10 перворазрядников,15 второразрядников. Вероятность того, что в таком сеансе перворазрядник выиграет у гроссмейстера, равна 0.2, для второразрядника эта вероятность равна 0.1. Случайно выбранный участник выиграл. Какова вероятность того, что это был второразрядник?
Вероятность того, что образец бетона выдержит нормативную нагрузку, равна 0.9. найти вероятность того, что из 7 образцов испытания выдержат: ровно 5; не менее 5.
Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0.7. Проведено 10 бросков. Что вероятнее: он забросит мяч в корзину 6 или 8 раз?
В первые классы школы должны быть приняты 200 детей. Вероятность рождения мальчика равна 0.515. Найти вероятность того, что среди них девочек и мальчиков будет поровну, и вероятность того, что мальчиков меньше, чем девочек.
На сборы приглашены 120 спортсменов. Вероятность того, что случайно выбранный спортсмен выполнит норматив равна 0.7. Определить вероятность того, что: выполнят норматив ровно 80 спортсменов; не менее 80.
Известно, что в среднем за месяц (30 суток) в районной сети водоснабжения возникает 90 ситуаций, требующих оперативного вмешательства аварийной службы. На сколько вызовов в сутки должна быть рассчитана эта служба, чтобы с вероятностью 0.9 она могла удовлетворить все поступающие за эти сутки заявки?

Случайные величины
1. Случайная величина X задана рядом распределения:

13 EMBED Equation.3 1415
1
2
3
4
5

13 EMBED Equation.3 1415
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1


Найти P(X<2), P(X>4), P(13 EMBED Equation.3 1415). Найти M(X), D(X), ((X). Найти и построить функцию распределения данной случайной величины. Построить таблицу распределения и найти M(X), D(X) для случайной величины Y=2X+2.

Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: Х1 и Х2, причем Х1 < Х2. Известны вероятность p1 = 0,1 возможного значения Х1 математическое ожидание М(Х) = 3,9 и дисперсия D(Х)= 0,09. Найти закон распределения этой случайной величины.

3. Случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
13 EMBED Equation.3 1415

4. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение 13 EMBED Equation.3 1415 нормально распределенной случайной величины. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415

5. Вес цемента, упакованного автоматом в бумажный мешок, есть случайная нормально распределенная величина с математическим ожиданием, равным 50 кг и среднеквадратическим отклонением, равным 2 кг. Найти вероятность того, что: а) случайно выбранный мешок будет содержать не менее 48 кг цемента; б) партия из 100 мешков будет содержать не более 5040кг.

6. Ошибка измерений прибора распределена нормально с дисперсией 0.16 мм2. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Найти вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по модулю 0.6 мм.

7. Вес груза одного вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т и среднеквадратическим отклонением 2 т. Найти вероятность того, что вес груза очередного вагона не превысит 70 т.

Математическая статистика
При проверке 100 деталей из большой партии обнаружено 10 бракованных деталей. Найти 95%-ный доверительный интервал для доли бракованных деталей во всей партии.

Построить график эмпирической функции распределения по данным выборки:

xi
4
7
8
12

ni
5
2
3
10


Через каждый час измерялось напряжение в электросети. Получены следующие значения:

227
219
215
230
232
223
220
222
218
219

222
221
227
226
209
211
215
218
220
226

216
220
220
221
225
224
212
217
219
220

Составить вариационный и интервальный (при h=4) ряды.
Построить гистограмму относительных частот: а) с шагом 1; б) с шагом 4.
Найти 99%-ный доверительный интервал для величины напряжения: а) по исходным данным; б) по интервальному ряду.

По данным 7 независимых измерений: 41,3; 42,4; 43,6; 39,6; 39,8; 40,1; 43 одной и той же физической величины оценить ее истинное значение с помощью 95%-ного доверительного интервала.

По данным n независимых измерений над нормально распределенной величиной получено выборочное среднее 13 EMBED Equation.3 1415. Найти (при данном 13 EMBED Equation.3 1415) доверительный интервал для математического ожидания этой величины, если среднеквадратичное ее отклонение известно:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

6. Построить график эмпирической функции распределения, полигон частот и относительных частот по данным выборки:

5,3,7,10,5,5,2,10,7,2,7,7,4,2,4.

7. Даны результаты выпускных экзаменов в школе (сумма баллов по 3 экзаменам у каждого выпускника):
15 13 10 11 12 12 13
12 14 15 10 11 12 09
11 12 13 15 12 13 14
14 12 11 12 13 14 15
13 12 14 11 12 13 14

а). Найти средний балл и 95%-ный доверительный интервал для него.
б). Провести проверку гипотезы о нормальности распределения по методу среднего абсолютного отклонения.
в) Провести проверку гипотезы о нормальности распределения по методу показателей асимметрии и эксцесса.

8. Определить, является ли выборка, содержащая значения роста случайно выбранных студентов некоторой группы, распределенной нормально согласно критерию (2-Пирсона с доверительной вероятностью 90%. Значения роста студентов заданы в таблице.

№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Рост, см
176
169
169
183
178
169
180
183
185
176










13PAGE 15


13PAGE 14215




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 37Рисунок 31Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 88Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 345055
    Размер файла: 696 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий