Теория вероятностей. Случайные события. Случайные величины. ДВГУПС КР4

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
Теория вероятностей. Случайные события.
Случайные величины.
Методические указания и задания

Раздел 1. Элементы комбинаторики.

Если из множества, содержащего m элементов, требуется выбрать какие-то k элементов, то возникает вопрос: сколькими способами это можно сделать и какие подмножества при этом получаются. Такие задачи называются комбинаторными, а соответствующий раздел математики – комбинаторикой.
Все формулы для подсчета числа решений в комбинаторных задачах опираются на правило произведения: если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y можно выбрать n способами, то пару XY можно составить kn способами.

Размещение с повторением. Из множества, содержащего m элементов, нужно выбрать k элементов, причем выбранный элемент, после того, как его взяли, вновь возвращается в исходное множество (то есть элементы в выбранном множестве могут повторяться). Пользуясь правилом произведения, получим, что каждый из k элементов может быть выбран m способами. Таким образом, общее число комбинаций равно 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Имеются цифры 2, 3, 5, 7. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из этих цифр?
Решение. Первой цифрой в числе может быть любая из четырех имеющихся. То же самое можно сказать и о последующих цифрах числа, поэтому общее число комбинаций: 13 EMBED Equation.3 1415

Размещение без повторений. Из множества, содержащего m различных элементов, надо выбрать упорядоченное подмножество из k элементов (k(m), то есть такое подмножество, в котором элементы располагаются в определенном порядке, и изменение порядка элементов изменяет подмножество. Кроме этого, элементы в выбранном подмножестве не повторяются. Требуется выяснить, сколько таких комбинаций существует. По правилу произведения получаем, что первый элемент можно выбрать m способами, второй элемент – (m-1) способом, и так далее, а элемент с номером k можно выбрать (m – k + 1) способами. Следовательно, число упорядоченных k-элементных подмножеств, взятых из множества, содержащего m элементов равно m(m-1)(m-2)(m-k+1). Такие подмножества называются размещениями из m элементов по k элементов, а их общее число можно выразить формулой 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, при условии. Что цифры в числе не повторяются?
Решение. Общее число комбинаций равно числу размещений из 6 элементов по 4: 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановки. Пусть множество содержит m различных элементов. Рассмотрим все возможные варианты перестановок элементов этого множества. Получаемые при этом упорядоченные множества отличаются друг от друга только порядком входящих в них элементов. Такие упорядоченные множества называются перестановками. Число перестановок из m элементов равно: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5. 7, если цифры в числе не повторяются?
Решение. Количество чисел равно числу перестановок из четырех элементов: 13 EMBED Equation.3 1415

Сочетания. Пусть из множества, содержащего m различных элементов, требуется выбрать подмножество, содержащее k различных элементов (k ( m). Получаемые при этом подмножества не упорядочены. Такие неупорядоченные подмножества называются сочетаниями. Число сочетаний из m элементов по k элементов вычисляется по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. В группе 10 студентов. Сколькими способами можно выбрать из этой группы троих студентов для участия в конференции?
Решение. Число способов равно числу сочетаний из 10 элементов по 3 элемента: 13 EMBED Equation.3 1415.

Теоретические вопросы к разделу 1.

Сформулировать правило произведения.
Указать формулы для подсчета числа размещений при выборке с повторениями и без повторений.
Записать формулы для подсчета числа сочетаний.


Задание к разделу 1.

В группе 20 студентов. Сколькими способами можно выбрать троих студентов для участия в конференции?
В группе 24 студентов. Требуется выбрать старосту и профорга. Сколькими способам можно это сделать?
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9, если все цифры, входящие в одно и то же число, различные?
Сколькими способами четыре человека могут разместиться за круглым столом?
Сколько различных слов, каждое из которых содержит 4 буквы, можно составить из букв слова ВЫБОРКА? (Под словом понимаем любой набор букв.)
Электрическая цепь имеет 6 переключателей. Каждый переключатель может быть включен или выключен. Сколько существует различных положений, в которых могут оказаться все переключатели?
Сколько четырехзначных чисел можно образовать из нечетных цифр, если каждая из этих цифр в числе может повторяться?
В бригаде 8 человек. Для проведения работ требуется группа из четырех человек. Сколькими способами можно составить такую группу работников?
Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места из первого ряда. Сколькими способами можно выбрать из шести имеющихся билетов три так, чтобы два билета оказались на места первого ряда, а один билет – на место в другом ряду?

Раздел 2. Случайные события и их вероятности.

Будем называть испытанием (опытом, наблюдением, измерением) некоторую совокупность действий. Предполагается, в общем случае, что испытание можно повторить неограниченное число раз.
Событием (случайным событием) называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. События обозначаются буквами А, B, C, D,
Вероятностью события называется численная мера возможности появления события в результате данного опыта. Вероятность события А обозначается Р(А). Событие (, которое обязательно произойдет в результате опыта, называется достоверным: Р(() = 1. Событие (, которое никогда не может произойти в результате опыта, называется невозможным: Р(() = 0. Событие А, о котором нельзя заранее сказать произойдет оно или нет в результате опыта, называется случайным: 0(Р(А)(1.
Суммой событий А+В называется событие, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий А или В (безразлично, какого именно, или обоих, если это возможно).
События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при одном и том же испытании. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
Два случайных события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Если одно из этих событий обозначить А, то другое (противоположное) обозначают А (читается «не А»). Событие А означает, что А не произошло: Р(А)+Р(А)=1.
Произведением двух событий АВ называется событие, состоящее в том, что оба события произошли одновременно. Если появление каждого из событий не зависит от того, произошло или нет другое, то события называются независимыми, и вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ)=Р(А)(Р(В).
Если вероятность появления события В изменяется в зависимости от того, произошло или нет событие А, то такие события называются зависимыми. Вероятность события В при условии, что событие А уже произошло, обозначается 13 EMBED Equation.3 1415. Вероятность произведения зависимых событий определяется формулой 13 EMBED Equation.3 1415.
Если события А и В несовместные, то Р(АВ)=0.
Формула для вычисления вероятности суммы двух событий, все равно каких, совместных или нет, имеет вид: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)(Р(АВ).
Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.
Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем другое. События 13 EMBED Equation.3 1415 называются элементарными, если они образуют полную группу событий, несовместны (то есть никакие два из них не могут произойти одновременно) и равновозможны. Если некоторое событие А происходит в результате появления одного из элементарных событий 13 EMBED Equation.3 1415, то эти элементарные события называются благоприятствующими событию А.
Классическое определение вероятности. Пусть в результате опыта может произойти одно из n элементарных событий, причем событию А благоприятствуют m из них (m(n). Тогда вероятностью события А называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А, к общему числу равновозможных элементарных исходов: Р(А)= m/n.
Пример. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово ДОМИК. Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем выложил три из них в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него получилось слово КОД. (Предполагается, что ребенок не переворачивает буквы.)
Решение. Пусть случайное событие А состоит в том, что получено слово КОД. Число равновозможных элементарных исходов равно числу размещений из 5 элементов по 3: 13 EMBED Equation.3 1415.
Поскольку все буквы в первоначальном слове разные, то среди 60 исходов не будет двух одинаковых, то есть слово КОД встречается только один раз: m=1, Р(А)=1/60.
В некоторых случаях не удается перечислить или посчитать все элементарные и благоприятствующие исходы. Тогда принимается какая-либо другая мера подсчета (например, площадь фигуры или объем тела). Такие вероятности называются геометрическими. Если обозначить ( - пространство элементарных исходов, то можно записать 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. В круг радиуса R вписан квадрат. Из круга наудачу выбирается точка. Какова вероятность того, что эта точка лежит внутри квадрата?
Решение. Событие А состоит в том, что наудачу выбранная из круга точка оказалась лежащей внутри квадрата. Понятно, что посчитать количество точек внутри круга и внутри квадрата невозможно, поэтому мерой числа равновозможных элементарных исходов будет площадь круга 13 EMBED Equation.3 1415, а мерой числа благоприятных исходов – площадь квадрата 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим различные примеры решения задач с применением указанных выше формул.
Задача 1. В двух ящиках содержатся синие и красные шары: в первом ящике 6 синих и 7 красных, во втором ящике – 4 синих и 5 красных. Из каждого ящика извлекают по одному шару. Найти: 1) вероятность того, что хотя бы один из вынутых шаров будет красным; 2) вероятность того, что только один из шаров будет красным.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что хотя бы один их вынутых шаров красный. Обозначим за 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415события, состоящие в извлечении красного шара из первого и из второго ящиков соответственно. Тогда событие А будет выражено через события 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 формулой А=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415, а вероятность этого события, согласно правилу нахождения вероятности суммы двух событий Р(А)=Р(13 EMBED Equation.3 1415)+Р(13 EMBED Equation.3 1415) – Р(13 EMBED Equation.3 1415).
События 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - независимые, поэтому Р(13 EMBED Equation.3 1415)=Р(13 EMBED Equation.3 1415)Р(13 EMBED Equation.3 1415).
Вычислим вероятности событий. В первом ящике находится 13 шаров, из них 7 красные, следовательно Р(13 EMBED Equation.3 1415)=7/13. Во втором ящике = 9 шаров, из них 5 – красные, то есть Р(13 EMBED Equation.3 1415)=13 EMBED Equation.3 1415. Р(А)=13 EMBED Equation.3 1415. Этот же результат можно было получить, рассматривая противоположное событие(А, состоящее в том, что ни один из вынутых шаров не оказался красным: (А=(13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, Р(А)=1-Р((А) . Подставив числовые значения13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть событие В состоит в том, что только один из вынутых шаров оказался красным13 EMBED Equation.3 1415. События 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 несовместные, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 2 (задача о выборке). В лотерее 10 билетов, из них 4 выигрышных. Найти вероятность того, что среди взятых наугад пяти билетов будут два выигрышных.
Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, что среди выбранных наудачу пяти билетов оказались два выигрышных. По классическому определению вероятностей Р(А)=m/n, где n – число способов, которыми из 10 имеющихся билетов можно выбрать любые 5 все равно в каком порядке: n=. Число благоприятных исходов m равно числу способов, которыми можно выбрать два выигрышных билета из четырех имеющихся и еще три невыигрышных билета из шести: m=Р(А).

Теоретические вопросы к разделу 2.
Понятие случайного, достоверного и невозможного событий.
Вероятность суммы и произведения событий.
Классическое определение вероятности.

Задание к разделу 2.

а) Студент знает k вопросов из n вопросов программы. Экзаменатор задает три произвольных вопроса из имеющихся. Найти вероятность того, что студент знает ответы а) на все три вопроса; б) только на два вопроса; в) только на один вопрос; г) не знает ответа ни на один из заданных вопросов.


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

n
50
60
55
50
60
50
45
45
65
65

k
40
45
40
35
40
35
30
40
50
55



б) Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 13 EMBED Equation.3 1415, вторым - 13 EMBED Equation.3 1415, третьим - 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность того, что: а) только два стрелка попали в цель; б) все три стрелка попали в цель.


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10


0,9
0,6
0,7
0,9
0,7
0,6
0,5
0,4
0,5
0,7

13 EMBED Equation.3 1415
0,8
0,7
0,6
0,5
0,8
0,4
0,7
0,7
0,6
0,4

13 EMBED Equation.3 1415
0,7
0,8
0,5
0,7
0,7
0,5
0,8
0,9
0,9
0,9


Раздел 3. Последовательность независимых испытаний.

Пусть проводится серия из n испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью p или не наступить с вероятностью q=1-p, независимо от номера испытания и результата предыдущего опыта. Такие серии опытов называются последовательностью независимых испытаний или схемой Бернулли. В связи со схемой Бернулли рассматриваются такие задачи: 1) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит ровно k раз: 13 EMBED Equation.3 1415; 2) найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит не менее чем 13 EMBED Equation.3 1415 раз и не более, чем 13 EMBED Equation.3 1415 раза: 13 EMBED Equation.3 1415
Указанные вероятности находят по формуле Бернулли:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если число n велико, а p не слишком мало, то для вычисления вероятности можно воспользоваться приближенными (асимптотическими) формулами Муавра-Лапласа (локальная теорема Муавра-Лапласа; интегральная теорема Муавра-Лапласа).
Локальная теорема Муавра – Лапласа:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Интегральная теорема Муавра – Лапласа:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Функции (((( и Ф(х) табулированы, то есть таблицы значений этих функций приведены в каждом учебнике по теории вероятностей. Можно указать некоторые свойства этих функций: ((-x(=((x(; Ф(-х)=-Ф(х); Ф(0)=0; Ф(х) ( 0,5 при х ( (.
Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании мала, то для вычисления вероятности появления k раз события А в серии из n испытаний можно воспользоваться формулой Пуассона
13 EMBED Equation.3 1415, где ((n(p.
Число 13 EMBED Equation.3 1415 успехов, при котором достигается наибольшая из возможных вероятностей, называется наивероятнейшим числом успехов. Оно определяется как целое число на промежутке np – q ( m ( np+p.
Пример 1. По некоторой цели произведено четыре независимых выстрела. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что при четырех выстрелах было ровно одно попадание, и определить наивероятнейшее число попаданий.
Решение. Вероятность попадания при одном выстреле равна p=0,6, а вероятность промаха q = 1-p =0,4.Вероятность того, что буд
·ет ровно одно попадание находим по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Наивероятнейшее число попаданий
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, имеется два наивероятнейших числа 2 или 3.
Пример 2. Вероятность наступления события А в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие А наступит: а) ровно 1100 раз; б) от 1100 до 1200 раз.
Решение. Р(А) = p = 0,7 - вероятность появления события А при одном испытании. Р(А) = q =1 – 0,7 = 0,3 – вероятность непоявления события А при одном испытании.
а) Воспользуемся локальной формулой Муавра-Лапласа
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
По условию n= 1600, k= 1100.
13 EMBED Equation.3 1415
По таблице ([5], приложение 1) (((((((((((((((((0(((((.
13 EMBED Equation.3 1415
б) Воспользуемся интегральной формулой Лапласа
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
По таблице ([5], приложение 2) Ф(4,36) ( 0,5, Ф(-1,09)= - 0,3621.
13 EMBED Equation.3 1415

Теоретические вопросы к разделу 3.

Формула Бернулли.
Локальная формула Муавра-Лапласа.
Интегральная формула Муавра-Лапласа.
Формула Пуассона.

Задание к разделу 3.

Куплено n лотерейных билетов. Вероятность выигрыша на один лотерейный билет р=0,3. Найти а) вероятность того, что из n билетов k билетов выиграют; б) наивероятнейшее число выигрышных билетов.


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

n
12
10
11
14
13
9
15
12
14
10

k
3
4
3
4
3
4
3
4
3
2




Раздел 4. Дискретные случайные величины.

Пусть производится некоторое испытание, результатом которого является одно из несовместных случайных событий 13 EMBED Equation.3 1415 (число событий или конечно или счетно, то есть события можно пронумеровать). Каждому исходу 13 EMBED Equation.3 1415 поставлено в соответствие некоторое действительное число 13 EMBED Equation.3 1415, то есть на множестве случайных событий задана действительная функция Х со значениями 13 EMBED Equation.3 1415. Эта функция Х называется дискретной случайной величиной (термин «дискретная» используется потому, что значения случайной величины – это отдельные числа, в отличии от непрерывных функций). Поскольку значения случайной величины изменяются в зависимости от случайных событий, то основной интерес представляют вероятности, с которыми случайная величина принимает различные числовые значения. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь различные формы. Для дискретной случайной величины законом распределения является совокупность пар чисел (13 EMBED Equation.3 1415), где 13 EMBED Equation.3 1415 – возможные значения случайной величины, а 13 EMBED Equation.3 1415 – вероятности, с которыми она принимает эти значения: 13 EMBED Equation.3 1415. При этом 13 EMBED Equation.3 1415.
Пары 13 EMBED Equation.3 1415 можно рассматривать, как точки в некоторой системе координат. Соединив эти точки отрезками прямых, мы получим графическое изображение закона распределения – многоугольник распределения. Чаще всего закон распределения дискретной случайной величины записывается в виде таблицы, в которую внесены пары 13 EMBED Equation.3 1415.
X
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

p
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


Пример. Монета подброшена два раза. Составить закон распределения числа выпадения «гербов» в данном испытании.
Решение. Случайная величина Х – число выпадений «герба» в данном испытании. Очевидно, что Х может принимать одно из трех значений: 0, 1, 2. Вероятность появления «герба» при одном подбрасывании монеты равна р=0,5, а выпадения «решки» q = 1 – p = 0,5. Вероятности, с которыми случайная величина принимает перечисленные значения, найдем по формуле Бернулли: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Закон распределения случайной величины Х запишем в виде таблицы распределения

Х
0
1
2

Р
0,25
0,5
0,25


Контроль: 13 EMBED Equation.3 1415.
Некоторые законы распределения дискретных случайных величин, часто встречающиеся при решении различных задач, получили специальные названия: геометрическое распределение, гипергеометрическое распределение, биномиальное распределение, распределение Пуассона и другие.
Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью функции распределения F(x), которая равна вероятности того, что случайная величина Х будет принимать значения на промежутке ((((х(: F(x) = P(XФункция F(х) определена на всей действительной оси и обладает следующими свойствами:
( ( F(х) ( 1;
F(х) – неубывающая функция;
F((() = 0, F(+() = 1;
F(b) – F(a) = P(a ( X < b) – вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке [a,b).
График функции F(x) для дискретной случайной величины состоит из отрезков прямых и лучей, параллельных оси ОХ или совпадающих с ней.
Пример. Случайная величина Х задана таблицей распределения:

Х
- 1
2
3
5

Р
0,1
0,3
0,4
0,2


Составить функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график.

Решение. Если х(-1, то F(x)=P(Xесли –1если 2<х(3, то F(x)=P(X=-1)+P(X=2)=0,1+0,3=0,4;
если 3если х>5, то F(x)=P(X=-1)+P(X=2)+P(X=3)+ Р(Х=5)=1
13 EMBED Equation.3 1415
Построим график (рис. 3).
13 EMBED Visio.Drawing.6 1415
Рис. 1. График функции распределения.

Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Пусть случайная величина Х задана таблицей распределения

X
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

p
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений 13 EMBED Equation.3 1415 на соответствующие вероятности 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Математическое ожидание называют также средним значением случайной величины Х, подчеркивая статистический смысл понятия, или центром распределения случайной величины Х (по аналогии с понятием центра тяжести для системы материальных точек).
Свойства математического ожидания:
если случайная величина Х принимает постоянное значение Х=С= =const, то М(С)=С;
М(СХ)=СМ(Х), С = const;
Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y)=M(X)+M(Y);
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X(Y)=M(X)(M(Y).
Наряду с характеристиками положения большую роль играют характеристики рассеяния. Рассеяние случайной величины Х связано с отклонением этой величины от ее центра распределения М(Х). Чтобы учитывать отклонения противоположных знаков, удобно рассматривать квадраты отклонений.
Дисперсией D(X) случайной величины Х называют средний квадрат отклонения случайной величины от ее центра распределения:
13 EMBED Equation.3 1415
Используя свойства математического ожидания, можно записать более удобную формулу для подсчета дисперсии
13 EMBED Equation.3 1415.
Для того, чтобы рассматривать отклонение в тех же единицах, что и значения случайной величины, вводится еще одна характеристика – среднее квадратическое отклонение ((Х), которое определяется как
13 EMBED Equation.3 1415.
Свойства дисперсии:
D(X) ( 0;
если С=const, то D(С) = 0;
13 EMBED Equation.3 1415, С=const;
D(X ( Y) = D(X) + D(Y).
Пример. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения:

Х
2
3
5
6

Р
0,5
0,2
0,2
0,1


Найти М(Х), D(X), ((X).
Решение. Найдем математическое ожидание: М(Х)=2(0,5+3(0,2+5(0,2+6(0,1=3,2.
Дисперсию вычислим по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415




Теоретические вопросы к разделу 4.

Закон распределения дискретной случайной величины.
Функция распределения дискретной случайной величины.
Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

Задание к разделу 4.

Дискретная случайная величина может принимать только два значения: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, причем 13 EMBED Equation.3 1415. Известны вероятность 13 EMBED Equation.3 1415 возможного значения 13 EMBED Equation.3 1415, математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X). Найти закон распределения этой случайной величины.


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

13 EMBED Equation.3 1415
0,1
0,3
0,5
0,7
0,9
0,9
0,8
0,6
0,4
0,2

М(Х)
3,9
3,7
3,5
3,3
3,1
2,2
3,2
3,4
3,6
3,8

D(X)
0,09
0,21
0,25
0,21
0,09
0,36
0,16
0,24
0,24
0,16


Раздел 5. Непрерывные случайные величины.

В теории вероятностей и ее приложениях часто встречаются такие случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый интервал ((((( конечный или бесконечный. Такие случайные величины называются непрерывными. Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х должен позволять находить вероятность попадания ее значений в любой интервал, Лежащий внутри (((((. При этом вероятность попадания случайной величины в интервал (х,х+(х) малой длины (х>0 можно приближенно считать пропорциональной длине этого интервала: Р(хСвойства функции плотности:
f(x) ( (( x((((((((;
вероятность попадания случайной величины Х в интервал (13 EMBED Equation.3 1415) равна 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Плотность распределения вероятностей вполне определяет закон распределения непрерывной случайной величины Х.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то функция F(x) является первообразной функции f(x): F((x)=f(x), откуда следует, что для непрерывной случайной величины Х функция распределения F(x) является непрерывной. Если задана функция плотности f(x), то функция распределения может быть найдена по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Функция F(x) называется интегральной функцией, а функция f(x) – дифференциальной.
Математическим ожиданием (средним значением, центром распределения) М(Х) непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f(x):
13 EMBED Equation.3 1415
Дисперсию непрерывной случайной величины удобно вычислять по той же упрощенной формуле, что и в дискретном случае
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Укажем некоторые из наиболее часто встречающихся законов распределения непрерывных случайных величин.
Равномерное распределение в интервале (а,b). Говорят, что случайная величина распределена равномерно в конечном интервале (а,b), если все ее возможные значения сосредоточены на этом интервале, и плотность распределения ее вероятностей на этом интервале постоянна. Функция плотности распределения задается формулой:
13 EMBED Equation.3 1415
Числовые характеристики: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Нормальный закон распределения. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала 13 EMBED Equation.3 1415 определяется с помощью интегральной функции Лапласа
13 EMBED Equation.3 1415.
Справедливо «правило трех сигм»: (((((а((((((((((73, которое позволяет при решении практических задач применять нормальный закон распределения к случайным величинам, заданным на конечном интервале. К нормальному распределению обычно приводят задачи, связанные с распределением сумм большого числа случайных величин.
Показательный закон распределения. Плотность вероятностей определяется формулой
13 EMBED Equation.3 1415.
Формула распределения показательного закона
13 EMBED Equation.3 1415.
Числовые характеристики: 13 EMBED Equation.3 1415.
К показательному закону распределения вероятностей приводит задача о распределении промежутка времени Х между двумя последовательными событиями в простейшем потоке.
Пример. Случайная величина Х задана функцией распределения
13 EMBED Equation.3 1415
Требуется:
1) определить коэффициент А;
2) найти функцию распределения F(x);
3) схематично построить графики функций f(x) и F(x);
вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х;
определить вероятность того, что Х примет значения из интервала (8; 11).
Решение. 1)Коэффициент А можно определить из условия 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415,
откуда 13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415.
2) Функцию распределения найдем из соотношения13 EMBED Equation.3 1415. Если x(1, то 13 EMBED Equation.3 1415; если 19, то 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, функция распределения имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
3) Графики функций f(x) и F(x) изображены на рисунках.
13 EMBED Visio.Drawing.6 1415
Рис 4. Функция плотности. Рис. 5. Функция распределения.
4) Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х: 13 EMBED Equation.3 1415. Для вычисления дисперсии найдем 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 Воспользуемся формулой 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415. Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х: 13 EMBED Equation.3 1415 .
5). Вероятность того, что случайная величина попадет в некоторый интервал, можно найти или с помощью функции плотности, или с помощью функции распределения. Рассмотрим оба варианта : 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

Теоретические вопросы к разделу 5.

Функция плотности распределения вероятностей.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Равномерное распределение .
Показательный закон распределения.
Нормальный закон распределения.

Задание к разделу 5.

Непрерывная случайная величина Х задана своей плотностью распределения вероятностей f(x). Требуется:
1) определить коэффициент А;
2) найти функцию распределения F(x);
3) схематично построить графики функций f(x) и F(x);
вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение случайной величины Х;
определить вероятность того, что Х примет значения из интервала
((, ().

1. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
5. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
6. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
7. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
8. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
9. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
10. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Список рекоменДованной литературы
1, Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 и 2 / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: ОНИКС, 2008.
2, Шипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев. – М.: Высш. шк., 2003.
3, Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика./В.Е.Гмурман. – М.: Изд-во Высшая школа. 2004 – 479с.
4, Гмурман. В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике./ В.Е. Гмурман. – М.: Изд-во Высшая школа, 2004 – 400с.










13PAGE 15


13PAGE 142015




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native 
·
·
·
·
·я
·Н
·
·
·
·!Ђ
·
·
·
·
·
·3
·

Приложенные файлы

  • doc 83313
    Размер файла: 695 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий