Лекция по псевдослучайным сигналам


Глава 10.
ОПТИМАЛЬНЫЕ (СОГЛАСОВАННЫЕ) ФИЛЬТРЫ ДЛЯ ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
10.1. ОПТИМАЛЬНЫЕ (СОГЛАСОВАННЫЕ) ФИЛЬТРЫ ДЛЯ СИГНАЛОВ, МАНИПУЛИРОВАННЫХ ПО ФАЗЕ В СООТВЕТСТВИИ С КОДОМ ЕАРКЕРА
10.1.1. Понятие о коде Баркера. Свойства сигналов
Два радиосигнала, имеющие одинаковую мощность и отличающиеся только фазой на , обладают максимально возможной степенью различия. Функция их взаимной корреляции при отсутствии временного сдвига равна —1. Именно поэтому использование таких сигналов при передаче дискретных сообщений (например, при телеграфии, которая называется в этом случае фазовой) обеспечивает наибольшую помехоустойчивость.
Внимательное рассмотрение сигналов с фазовой манипуляцией показало, что они представляют большой интерес и для радиолокации, поскольку корреляционные функции некоторых из них имеют требуемую форму: относительно малую длительность центрального выброса, сравнительно большое превышение центрального выброса над боковыми выбросами и т. п. Рассмотрим сначала один из классов таких сигналов, а затем в следующем параграфе— другой класс.
Возьмем N импульсных радиосигналов длительностью то и амплитуды V, которые различаются между собой смещением во времени на величину, кратную длительности, и могут отличаться начальной фазой на . Из этих элементарных импульсных сигналов образуем фазоманипулированный сигнал (рис. 10.1,а):
(10.1)
где начальная фаза (рис. 10.1,6)

причем i равно или 0 или в зависимости от применяемого кода. Здесь и далее для упрощения соотношений предполагается, что 00 кратно 2. Обозначив cos i = di, перепишем (10.1) так:

где I = l N, a di равно или +1 или —1.

Рис. 10.1. Фазоманипулированный сигнал:
а — изменение во времени мгновенного напряжения;
б— изменение начальной фазы;
в— изменение комплексной амплитуды
Комплексная огибающая этого сигнала (рис. 10.1,в) может быть представлена в виде следующей суммы:
(10.2)
Нормированная корреляционная функция комплексной огибающей при временном сдвиге t= k0 + , где k — целое неотрицательное число, а 0 0, равна, как это следует из внимательного рассмотрения временной диаграммы, изображенной на рис, 10.2.

(10.3)
Таким образом, анализируемая функция является линейной Функцией на интервале длительностью 0. Поэтому автокорреляционная функция комплексной амплитуды сигнала, составленного из элементарных радиоимпульсов, длительность которых одинакова и равна 0, а начальная фаза или 0 или , представляет собой линейно-ломаную линию, точки излома которой соответствуют временным сдвигам, кратным длительности 0. В этих точках
(10.4)
В частности, при отсутствии временного сдвига

при сдвиге на время (N - 1) 0

Кроме того, при положительном m, начиная с нуля, и любом положительном значении

При отрицательных временных сдвигах автокорреляционную функцию легко определить, используя ее свойство четности: r(—t) = r(t).

Рис. 10.2. Временная диаграмма, поясняющая вычисление корреляционной функции
Выберем последовательность {di}, где I = 1 N, так, чтобы при значениях аргумента t, абсолютная величина которых больше или равна длительности 0 элементарного импульса, нормированная автокорреляционная функция лежала в пределах —1/N r(t) 1/N при |t| 0.
Так как корреляционную функцию определяют ее значения в дискретных точках при сдвиге t = k0, то последнее неравенство для этих точек с учетом (10.4) можно представить в таком виде:

Поскольку элементы di последовательности, как и их произведения didi+k, могут принимать только значения ±1, то, как легко убедиться, взяв несколько примеров, сумма любого четного числа членов вида didi+k всегда четная, и сумма произвольного нечетного числа таких членов — нечетная. Кроме того, на интересующем нас интервале [—1, +1] имеется единственное четное число — нуль, на его границах расположены два нечетных числа:—1 и +1, а других целых чисел на рассматриваемом интервале не существует. Поэтому предыдущее неравенство при четном N эквивалентно следующей системе равенств — уравнений:
(10.5)
Аналогично при нечетном N
(10.6)
Одно из неизвестных di можно выбрать произвольно, положив; например, di = + l. Тогда каждая из систем (10.5) и (10.6) состоит из (N—1)-го уравнения с (N—1)-м неизвестным.
Из (10.5) и (10.6) следует, что выражение (10.3) может быть, упрощено. Так, при k=0 и нечетном N

ввиду чего

а при четном N вследствие того, что

При 1< k < N - 1 в случае четного N - k

откуда следует

В случае же нечетного N - k имеем

вследствие чего

При отрицательных временных сдвигах корреляционную функцию легко определить, используя ее свойство четности. При N = 2 система (10.5) представляет собой уравнение d1d2 = ±l. Кроме двух тривиальных решений di = d2 = l и d1 = d2 = - 1, имеется еще два решения: d1 = + l; d2 = -l и d1 = - 1; d2 = + l. При N = 4 эта система имеет восемь решений (табл. 10.1).
Таблица 10.1

Легко заметить, что решения б, г, е и з являются соответственно зеркальными отображениями решений а, в, д и ж (т. е. изображающие их последовательности различаются друг от друга обратным порядком следования членов), а решения в, г, ж и з получены соответственно из решений а, б, д и е умножением каждого члена последовательности на —1. Поэтому независимыми решениями являются только а и д. Сравнение их корреляционных функций (рис. 10.3,а и б) показывает, что код а является несколько лучшим. При других четных N система (10.5) не имеет решений вида ±1.
При нечетном N решения системы (10.6) существуют только при N = 3, 5, 7, 11 и 13 (табл. 10.2).
Корреляционные функции сигналов при N=7, 11 и 13 построены соответственно на рис. 10.3,е, г и д. Интересно отметить, что при ,N = 5 и 13 они везде неотрицательны, тогда как при N = 3, 7 и 11 неположительны, за исключением участка —0 < t < 0.
Последовательности {di} при N = 3, 7 и 11 были впервые предложены Бэркером. Вследствие этого последовательности, удовлетворяющие условиям (10.5) и (10.6), носят название кодов Баркера.

При N > 13 кодов Баркера, к сожалению, не существует. Вследствие этого при оптимальной фильтрации невозможно получить превышение главного максимума модуля корреляционной функции над прочими максимумами более чем в 13 раз. Иначе говоря, при использовании сигнала, манипулированного по фазе в соответствии с кодом Баркера, главный максимум напряжения на выходе оптимального фильтра сопровождается побочными максимумами, относительная величина которых не может быть сделана меньше 1/13.



Рис 10 3. Корреляционные функции последовательностей Баркера
Рассмотренная корреляционная функция r(t) является сечением совместной корреляционной функции модуляции при F=0; . Другим сечением этой функции (уже плоскостью t = 0) является

-которое приводит к равенству

Это выражение совпадает с (6.3), так как полная длительность сигнала Как уже отмечалось, формула (6.3) справедлива для любого сигнала с постоянной амплитудой в течение всей его длительности. Как видно из рис. 6.5, побочные максимумы функции (6.3) или (6.10) меньше главного максимума приблизительно в 5 раз.
Вычисление автокорреляционной функции сигнала, манипулированного по фазе достаточно сложным законом, представляет собой, если для этой цели не применяется цифровая ЭВМ, громоздкую и утомительную процедуру. Она может быть значительно упрощена использованием следующей методики. Как показано выше, при анализе выражения (10.3), вычисление корреляционной функции сводится к определению ее значений (10.4) в дискретных точках, соответствующих временным сдвигам, кратным длительности элементарного импульса 0. Последнее нетрудно сделать с помощью ромбовидной таблицы (см. табл. 10.3), построенную для последовательности Баркера с N=7. В боковике этой таблицы запишем рассматриваемую последовательность снизу вверх. Если в строке боковика стоит +, то перепишем без изменения эту последовательность в горизонтальную строку, а если на указанном месте находится —, то сменим знаки всех ее элементов.
Таблица 10.3

Иными словами, в верхнюю строку запишем последовательность, элементы которой являются произведением соответствующего элемента исходной последовательности на ее последний элемент (он записан в верхней строке боковика). Во второй строке запишем со сдвигом вправо на один элемент аналогичную последовательность произведений элементов исходной последовательности на ее предпоследний элемент (он записан во второй строке боковика). Повторим эту операцию столько раз, сколько элементов в последовательности. Просуммировав элементы каждого вертикального столбца образовавшейся ромбовидной таблицы, определим значения автокорреляционной функции этой последовательности в дискретных точках (они записаны внизу таблицы). Построив эти значения на графике и соединив соседние значения отрезками прямых линий, получим автокорреляционную функцию последовательности, которая отличается от нормированной автокорреляционной функции (рис. 10.3,в) только масштабом по оси ординат. Изложенная методика является по существу матричным представлением соотношения (10.4).
Пользуясь тем, что автокорреляционная функция сигнала, фаза которого манипулирована по закону Баркера, известна, легко определить его амплитудный спектр. Действительно, энергетический спектр сигнала связан с его автокорреляционной функцией R() преобразованием Фурье:

С другой стороны, энергетический спектр равен удвоенному квадрату амплитудного спектра .
Поэтому амплитудный спектр сигнала
(10.7)
В данном случае ненормированная автокорреляционная функция R() (см. рис. 10.3) последовательности Баркера при нечетных значениях N (которые только и представляют практический интерес) состоит из N симметричных треугольных импульсов длительности 20 смещенных друг относительно друга на время, кратное 20, и имеющих соответственно комплексные амплитуды NV20 (центральный выброс) и ±V210 (боковые выбросы), причем положительный знак соответствует N = 5 и 13, а отрицательный — N = 3, 7 и 11.
Поскольку треугольный симметричный (относительно t = 0) импульс амплитуды Uи и длительности tи имеет спектральную плотность

то спектральная плотность автокорреляционной функции последовательности Баркера

Следовательно, рассматриваемая последовательность имеет энергетический спектр (положительных частот)

Суммируя геометрические прогрессии в предпоследнем выражении и произведя элементарные преобразования, получаем

Тогда согласно (10.7) амплитудный спектр последовательности Баркера

Здесь, как и выше, положительный знак перед скобкой имеет место при N = 5 и 13, а отрицательный — при N=3, 7 и 11.
Таким образом, амплитудный спектр последовательности Баркера представляет собой произведение амплитудного спектра одного из импульсных сигналов, из которых составлена эта последовательность, и функции (фактора сложности формы) :

Последняя является периодической относительно с периодом /0.
Рассмотрение амплитудных спектров двух последовательностей Баркера при N=11 и 13 (рис. 10.4) показывает, что они практически совпадают, за исключением области очень низких частот и окрестности частоты /0. Это отличие спектров объясняется различием структуры кодов Баркера при указанных значениях N.

Рис. 10.4. Амплитудные спектры последовательностей Баркера

Рис. 10.5. Структурная схема генератора фазоманипулированного сигнала при N=7 и временные диаграммы напряжения:
ГОИ — генератор одиночного импульса
Из предыдущего рассмотрения следует, что ширина спектра анализируемого сигнала совпадает с шириной спектра элементарного радиоимпульса этого сигнала, которая составляет П1/0.
Следовательно, база сигнала, т. е. произведение его длительности 1 = N0 на ширину П спектра, равна B = П1 = N, а значит больше единицы. Именно поэтому такой сигнал и будет сложным' причем в тем большей степени, чем больше число N элементов сигнала.
10.1.2. Получение сигналов. Оптимальный фильтр
Сигнал, манипулированный по фазе на л по закону кода Баркера, можно получить сравнительно простыми средствами. Для этого можно применить балансный модулятор БМ (рис. 10 5,а), питаемый от генератора высокой частоты ГВЧ и манипулируемый последовательностью кодированных видеоимпульсов, воспроизводящей закон изменения комплексной амплитуды сигнала (10.2).
Последовательность же кодированных импульсов можно образовать путем алгебраического (т. е. с учетом полярности) суммирования импульсов, снятых с отводов линии задержки общей длительностью (N-1)0, на вход которой поступает прямоугольный импульс длительности 0 (рис. 10.5,6). Линия задержки имеет всего N - 2 отвода, обеспечивая задержку на величину, кратную то. Импульсы, снятые с начала линии, со всех отводов и конца линии, складываются в суммирующем устройстве с весами, соответствующими значениям членов di кода Баркера. В результате этого суммирования и образуется последовательность кодированных видеоимпульсов (рис. 10.5,в).
Импульс, поступающий на вход линии задержки, можно получить или с помощью обычной импульсной схемы (рис. 10.5,а) или путем возбуждения очень коротким импульсом оптимального фильтра для видеоимпульса длительностью 0.
При манипуляции последовательностью видеоимпульсов (рис 10.5,6) балансного модулятора (рис. 10.5,а) и подаче на его вход колебания высокой частоты (рис. 10.5,г) на его выходе вырабатывается сигнал (рис. 10.5,5), фаза которого манипулирована по закону кода Баркера.
Если же на вход линии задержки подать радиоимпульс частоты 0 и длительности 0 образованный при возбуждении дельта-импульсом радиочастотного оптимального фильтра для такого одиночного сигнала РОФОС, то при этом на выходе суммирующего устройства (рис. 10.6,6) будет образован фазоманипулированныи кодированный сигнал (рис. 10.б.а). Следовательно импульсная характеристика этой системы (рис. 10.6,6) совпадает с этим сигналом. Импульсная характеристика отличается от функции, изображающей сигнал, в основном знаком аргумента времени. Поэтому если у устройства для генерирования сигнала (рис. 10.6,6) поменять своими местами вход и выход, т. е. изменить направление прохождения сигнала, то получим оптимальный фильтр для данного сигнала (рис 10.6.в) поскольку его отклик на дельта-импульс (рис. 10.6.г) является зеркальным отображением сигнала.
При подаче на вход этого фильтра оптимального ему сигнала (рис. 10.6,а) на его выходе образуется напряжение, воспроизводящее с некоторым временным сдвигом автокорреляционную функцию этого сигнала (рис. 10.6,д). В результате его амплитудного детектирования образуется напряжение (рис. 10.6,е), которое в некотором масштабе и с некоторым временным смещением отображает модуль корреляционной функции комплексной огибающей этого сигнала.

Рис. 10.6. Фазоманипулированный сигнал при N = 3, структурные схемы его генератора и оптимального фильтра и временные диаграммы напряжений
Рис. 10.7. Структурная схема оптимального фильтра при N = 7 (а) и временные диаграммы напряжений (б).
Заметим, что рассмотренная выше методика вычисления автокорреляционной функции огибающей фазоманипулированного сигнала (табл. 10.3) детально воспроизводит механизм прохождения этой огибающей (рис. 10.5,е) через входящую в состав оптимального фильтра (рис. 10.7,а) совокупность многоотводной линии задержки и суммирующего устройства с законом суммирования сигналов в отводах, зеркальным относительно кода сигнала.
Если же на вход этого оптимального фильтра поступают два сигнала, перекрывающиеся во времени, но разнесенные на время больше 0, то вследствие линейности этого фильтра они образуют выходное напряжение с двумя раздельными главными максимумами (рис. 10.7,б), которые и позволяют определить временное положение каждого из сигналов. Следовательно, эти сигналы система разрешает по времени (по дальности).
Заметим, что инверторы, поворачивающие фазу колебаний на угол в схемах оптимальных фильтров (рис. 10.6,б и в и 10.7,а), с целью упрощения последних заменяются смещением соответствующего отвода на половину волны колебания несущей частоты.
Так как кодов Баркера при N > 13 не существует, то системы с сигналами, манипулированными этими кодами, обладают ограниченными возможностями в отношении улучшения разрешающей способности по дальности (при сохранении той же дальности действия) и увеличения дальности действия (при сохранении разрешающей способности по дальности). Уменьшение относительной величины боковых выбросов ниже величины 1/N можно получить с помощью специальной весовой обработки после оптимальной фильтрации. Однако выполнение весовой обработки связано с усложнением схемы и приводит к некоторым (хотя и небольшим) потерям в отношении сигнал-шум и расширению области боковых лепестков выходного сигнала. В отличие от ЛЧМ импульсов подавление боковых выбросов корреляционных функций ФМ сигналов не сопровождается расширением центрального выброса.
При реализации устройств обработки фазоманипулированных сигналов в той же степени, что и для ЛЧМ сигналов, раскрываются преимущества линий задержки на ПАВ, описанных в § 9.7. На рис. 10.8,а схематически изображен оптимальный фильтр для обработки одиночного радиоимпульса. В этом фильтре электроды преобразователей расположены с интервалом где v — скорость распространения ПАВ в пьезокристалле (для пьезокварца v = 3,2 м/мс).


Рис. 10.8. Фильтр на ПАВ для одиночного (а) и трехэлементного (б) сигналов

Если число электродов n входного преобразователя выбрать равным , то он будет осуществлять оптимальную обработку одиночного радиоимпульса длительностью 0 на частоте f0. Тогда выходной преобразователь должен быть широкополосным, т. е. иметь минимальное число электродов.
Способ построения оптимального фильтра для одиночного радиосигнала легко распространить на фазоманипулированный сигнал. Для этого достаточно увеличить в N раз число пар электродов выходного преобразователя, расположив их на расстоянии l0 = dn. Для фазоманипулированного сигнала поворот фазы на обеспечивается простым изменением полярности подключения электрода к суммирующей шине. Сказанное иллюстрируется рис. 10.8,6, на котором изображен оптимальный фильтр для обработки трехэлементного сигнала Баркера (++ -). Таким образом, на одном кристалле пьезокварца длиной l можно выполнить оптимальный фильтр для фазоманипулированного сигнала общей длительностью = l/v. Например, при l =16 см можно получить = 50 мкс.
К сожалению, технология выращивания монокристаллов не позволяет получить кристаллы больших размеров, что, в свою очередь, не позволяет использовать устройства на ПАВ для обработки сигналов длительностью больше чем 100 200 мкс.
10.2. ОПТИМАЛЬНЫЕ (СОГЛАСОВАННЫЕ) ФИЛЬТРЫ ДЛЯ СИГНАЛОВ,
МАНИПУЛИРОВАННЫХ ПО ФАЗЕ ДВОИЧНОЙ
ПСЕВДОСЛУЧАЙНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ
10.2.1. Понятия о двоичной псевдослучайной последовательности и ее свойствах.
В процессе поиска наилучшей формы сигнала было обращено внимание на сигналы, манипулированные по фазе на двоичными псевдослучайными последовательностями или линейными рекуррентными последовательностями, или линейными последовательностями сдвигового регистра максимальной длительности, или М-последовательностями, которые были предложены при разработке вопросов кодирования в общей теории передачи сообщений.
Двоичные псевдослучайные последовательности представляют собой набор N периодически повторяющихся символов di, каждый из которых может принимать одно из двух значений: +1 или — 1. Это значение определяется взятым с противоположным знаком произведением значений двух или большего числа (но всегда четного) предыдущих символов:

причем,

В частном случае двух сомножителей
(10.8)
Если взять , то при правильном выборе числа k должна образоваться неповторяющаяся элементарная последовательность {di} из N символов, где
(10.9)
Она должна содержать все комбинации п символов из двух элементов —1 и +1, кроме комбинации, составленной из одних отрицательных единиц. Вследствие этого каждая последовательность {di}, где , содержит 2n-1 положительных единиц и 2n-1 -1 отрицательных единиц. Поэтому
(10.10)
При i > N символы повторяются в том же порядке, т. е. при любом целом р:
(10.11)
Та же последовательность символов образуется и при i < 0. Из (10.11) видно, что число N характеризует период бесконечной последовательности. Образованную таким путем бесконечную последовательность называют двоичной псевдослучайной.
В качестве примера возьмем сначала простейший случай n =2: Тогда, если , то ; и т. д.
Следовательно, искомая последовательность имеет вид..., —1, +1, +1, —1, +1, +1, —1, +1, +1,.... Она содержит все возможные комбинации из двух символов: —1, +1, +1, +1 и +1, —1, кроме «запрещенной» комбинации —1, —1. Элементарная последовательность —1, +1, +1 повторяется через N=22 - 1 = 3 символа. Она совпадает с кодом Баркера при N =3.
При n=3 возможны два правила (10.8) образования

и
(10.12)
которые приводят соответственно к следующим элементарным последовательностям из N = 23 - 1 = 7 символов: —1, —1, +1, —1, + 1, +1, +1 и —1, —1, +1, +1, +1, —1, +1. Бесконечные последовательности, образованные из этих элементарных, отличаются друг от друга только порядком следования одинаковых символов, т. е. являются зеркальным отображением одна другой. Если n = 4 и то получим последовательность из N = 24 - 1 = 15 символов: —1, —1, —1, +1, —1, —1, +1, +1, —1, +1, —1, +1, +1, +1, +1. Согласно же правилу di = —di-4di-1 образуется «зеркальная» последовательность —1, —1 —1, +1, +1, +1.+1,—1, +1,-1, +1, +1,-1,-1, +1.
Число элементов последовательности N с увеличением п резко возрастает, практически удваиваясь при увеличении я на единицу (табл. 10.4).
Таблица 10.4

Почти каждому целому числу n соответствует несколько чисел k, при которых образуется по правилу (10.8) рассматриваемая последовательность. Некоторые из этих комбинаций n и k помещены в табл. 10.5. Если при образовании последовательности по правилу (10.8) взять иное значение k, чем указанное в этой таблице, то будет образована двоичная последовательность, но ее период будет меньше, чем (10.9).
Таблица 10.5

При n = 8, 12, 13 и 16 не существует таких чисел k, при которых по правилу (10.8) формируется рассматриваемая последовательность с максимальным периодом (10.9). Но такая последовательность может быть образована по более сложному правилу:
(10.13)
Некоторые комбинации четырех чисел m, n, l и k, которые приводят к образованию по правилу (10.13) последовательности максимального периода (10.9), помещены в табл. 10.6.
Каждой комбинации (n, k), приводящей к последовательности максимального периода, соответствует другая комбинация (n, n - k), которая образует последовательность того же периода, но зеркальную — первой.
Последнее справедливо и для комбинаций другого четного количества целых чисел, например для комбинаций четырех чисел (n, m, l, k), которые соответствуют правилу (10.13) образования рассматриваемой последовательности. Каждой такой комбинации соответствует комбинация (n, n - k, n - l, n - m), которая приводит к образованию «зеркальной» последовательности. (Такие комбинации расположены в табл. 10.6 рядом, занимая соответственно нечетное и четное порядковые места.)
Таблица 10.6

Общее количество различных комбинаций (а следовательно, последовательностей) для любого п составляет

где (x) —фи-функция Эйлера, определяющая количество целых положительных чисел, которые меньше данного целого положительного числа х и являются взаимно простыми с х. Числами, взаимно простыми с данным числом х, называют такие, которые не имеют с ним общих делителей или множителей. При n = 10 количество типов последовательностей составляет уже 60 (табл. 10.7).
Таблица 10.7

Двоичная псевдослучайная последовательность обладает рядом весьма интересных свойств.
Если бесконечную последовательность {di} с периодом в N элементов сдвинуть на k элементов (k pN) вправо или влево, то образуется последовательность {ai+h}. Перемножив элементы первоначальной и сдвинутой последовательностей di и di+h и сменив знак у их произведения, вновь получим ту же последовательность, смещенную на некоторое число элементов, т. е. {—didi+h} = {di+m}, где т отлично от k и pN.
Перемножая в качестве примера элементы последовательностей (n = 2)

получим
..., —1, —1, +1, —1, —1, +1,...,
или после изменения знаков
.... +1, +1, —1, +1, +1, —1, ...
Эта последовательность отличается от исходной сдвигом на 2 элемента вправо.
Докажем указанное свойство для последовательности, построенной по правилу (10.12). На основании этого правила, равенства (10.11) и очевидного соотношения d2i = 1 имеем

Эти равенства и доказывают вышеизложенное. Для других п доказательство аналогично.
Так как последовательность {—didi+k} при k pN полностью эквивалентна последовательности {di}, для которой справедливо соотношение (10.10), то
(10.14)
при k pN. Кроме того,
(10.15)
10.2.2. Корреляционная функция и амплитудный спектр огибающей сигнала
Применим рассмотренную выше двоичную псевдослучайную последовательность {di} для получения фазоманипулированного сигнала. С этой целью проманипулируем фазу колебаний высокой частоты

на угол в те моменты времени t = i0, для которых изменение начальной фазы составляет

что соответствует di = — 1. В остальные дискретные моменты t = i0 начальную фазу оставим без изменения, поскольку для них
Тогда полученный в результате этого фазоманипулированный сигнал (рис. 10.9,а) будет иметь период и комплексную амплитуду (рис. 10.9,6)
(10.16)
Это выражение отличается от (10.2) только бесконечными пределами суммы. По аналогии с (10.3) нормированная корреляционная функция комплексной амплитуды этого сигнала при временном сдвиге где, как и раньше, k — целое число, 0 < < 0, имеет вид

Все отличия этого выражения от (10.3) обусловлены тем, что рассматриваемый сигнал является непрерывным и периодическим и продолжается во времени от — до +. Поэтому корреляционная функция вычисляется путем интегрирования во времени на интервале длительности периода сигнала. Используя (10.14) и (10.15), преобразуем предыдущее выражение для двух частных случаев следующим образом:
и
или иначе (10.17)
Кроме того, поскольку сигнал периодический, то его корреляционная функция имеет тот же период: , где р — любое целое число.

Рис. 10.9. Сигнал (а), манипулированный по фазе двоичной псевдослучайной последовательностью, образованной по правилу и его комплексная амплитуда (б)

Рис. 10.10. Корреляционная функция двоичной псевдослучайной последовательности
Корреляционная функция (рис. 10.10) имеет за период Т = -N0 один максимум шириной порядка 0. В большую часть периода длительностью (1 — 2/N)T ее абсолютная величина в N раз меньше максимума. Так как в принципе N можно выбрать сколь угодно большим, то корреляционная функция таких сигналов может быть получена весьма близкой к идеальной.
Из-за большого сходства этой функции с корреляционной функцией шума образовавшая такой сигнал последовательность из двух дискретных символов и называется двоичной псевдослучайной или шумоподобной.
Дополнительные максимумы совместной корреляционной функции 0(t, F) на плоскости t, F имеют высоту порядка , т. е. могут быть сделаны достаточно малыми.
Рассмотрим методику вычисления значений автокорреляционной функции двоичной псевдослучайной последовательности в дискретных точках с помощью таблицы-матрицы. Ввиду периодичности этой последовательности эта методика несколько отличаеся от методики, изложенной в п. 10.1.1.
Сначала составляют вспомогательную ромбовидную таблицу-матрицу для одного периода последовательности (см. табл. 10.8, построенную для двоичной псевдослучайной последовательности N = 7).
Таблица 10.8

Далее все элементы, находящиеся справа от малой диагонали этой таблицы, переписываются в том же порядке слева направо в той же строке левее ромбовидной таблицы так, чтобы образовалась прямоугольная таблица-матрица. Суммируя элементы ее вертикальных столбцов, получаем значения периода автокорреляционной функции последовательности в дискретных точках.
В отличие от сигнала с фазовой манипуляцией по закону кода Баркера, спектр которого непрерывный, рассматриваемый сигнал является периодическим и поэтому имеет дискретный спектр. Рассчитаем амплитудный спектр огибающей сигнала по ее автокорреляционной функции.
Вследствие (10.11) автокорреляционная функция последовательности является периодической, а ее спектр, т. е. энергетический спектр этой последовательности, линейчатым (дискретным).
Очевидно, амплитуда k-й гармоники автокорреляционной функции последовательности

а постоянная составляющая этой функции

Вследствие этого постоянная составляющая двоичной псевдослучайной последовательности
, а амплитуда ее k-й гармоники

Если же рассмотреть периодическую последовательность, период которой имеет ту же длительность, что и период двоичной псевдослучайной последовательности, и состоит из одного прямоугольного импульса тех же амплитуды и длительности, что и у импульсов двоичной псевдослучайной последовательности, то, пользуясь результатами, приведенными в [13], легко установить, что эта последовательность имеет постоянную составляющую В(0) = V/N и амплитуду А-й гармоники
.
Из попарного сопоставления четырех последних выражений следует, что кодирование прямоугольных импульсов по закону двоичной псевдослучайной последовательности не изменяет постоянной составляющей (что объясняется структурой этой последовательности), но увеличивает в раз амплитуды всех гармонических составляющих (рис. 10.11).
Таким образом, как и в предыдущем случае, ширина спектра этого сигнала равна ширине спектра элементарных радиоимпульсов длительности 0, из которых составлен этот сигнал, т. е.

Поэтому база сигнала, т. е. произведение ширины его спектра на длительность его периода T = N0, составляет B = ПT = N = 2n – 1 и обычно много больше единицы. Следовательно, этот сигнал является сложным.
Сигналы, манипулированные по фазе двоичными псевдослучайными последовательностями, применяются в широкополосных системах связи. Возможности различения таких сигналов определяются их взаимно-корреляционными свойствами. Ввиду псевдошумового характера этих последовательностей можно ожидать, что различные их виды обладают малой взаимной корреляцией. Действительно, две любые различные двоичные псевдослучайные последвательности с периодом и то, где Т1 и Т2 являются взаимно простыми числами, имеют постоянную нормированную взаимно-корреляционную функцию, которая равна величине, обратной произведению N1N2:

при любом , где 0 — длительность элементарного импульса этих последовательностей; —числа элементов в одном периоде последовательностей; n1 и n2 — целые числа; —нормированные комплексные амплитуды сигналов, кодированных по фазе этими последовательностями.

Рис. 10.11. Амплитудные спектры некодированных (а и в)
и двоичных псевдослучайных (б и г) последовательностей
Сделанное выше утверждение иллюстрируется примером вычисления взаимно-корреляционной функции двух двоичных псевдослучайных последовательностей с N1 = 7 и N2 = 3 для временного сдвига = 0; 0 и 20 (рис. 10.12). Так как вторая последовательность повторяется с периодом 30, временные сдвиги = 30, 40, 50, 60, 70, ..., сводятся соответственно к рассмотренным случаям для = 0, 0, 20, 0, 0, ... При сдвиге на , отличающемся от целого числа 0, нормированная взаимно-корреляционная функция имеет ту же величину. Итак, при любых нормированная взаимно-корреляционная функция постоянна и равна 1/21, что подтверждает сделанное выше утверждение.



Рис. 10.12. Вычисление значений взаимно-корреляционной функции двух двоичных псевдослучайных последовательностей при трех значениях временного сдвига
Если взять N1 и N2 достаточно большими (и взаимно простыми) числами, то нормированная взаимно-корреляционная функция соответствующих двоичных псевдослучайных последовательностей будет столь малой, что эти последовательности можно считать практически некоррелированными. Это свойство двоичных псевдослучайных последовательностей можно с успехом использовать и для обеспечения электромагнитной совместимости двух и более РЛС, работающих в одном частотном диапазоне и применяющих сигналы, фаза которых манипулирована указанными последовательностями.
10.2.3. Получение сигнала. Структура оптимального фильтра
Чтобы получить сигнал, фаза которого манипулирована на по закону двоичной псевдослучайной последовательности, необходимо выработать модулирующее колебание. Последнее проще всего образовать с помощью схемы неравнозначности, так как правило (10.8) представляет собой соотношение неравнозначности.
Структурная схема устройства для генерирования ФМ сигнала (рис. 10.13,а) состоит из схемы неравнозначности (или сумматора по модулю два), выполненной на двух элементах И, элементе ИЛИ и элементе НЕ, генератора одиночного импульса длительностью то, дополнительной схемы ИЛИ, линии задержки длительностью n0 = 20 с отводом от средней точки, балансного модулятора и генератора высокой частоты 0. Механизм формирования псевдослучайной последовательности с периодом T = (2n - 1)0 = = 30 и соответствующего ей ФМ сигнала легко понять путем внимательного рассмотрения временных диаграмм (ряс. 10.13,6) напряжений в различных точках структурной схемы генератора (рис. 10.13.а).

Рис. 10.13. Структурная схема генератора сигнала с двоичной псевдослучайной
манипуляцией фазы при n = 2 и временные диаграммы напряжений
В случае применения более длинных последовательностей, образованных по правилу (10.8), в структурной схеме меняется только электрическая длина линии задержки n0 и положение отвода от этой линии, обеспечивающее задержку на время k0.
Схему генератора двоичной последовательности можно выполнить и с использованием сдвигового регистра. В простейшем случае (n = 2) она содержит кроме указанных выше элементов два триггерных каскада сдвигового регистра и генератор тактовых импульсов (рис. 10.14,а). Период повторения последних равен длительности элементарной посылки.

Рис. 10.14. Структурная схема генератора двоичной псевдослучайной
последовательности со сдвигающим регистром
В общем случае сдвиговый регистр должен иметь n триггеров. Если последовательность формируется по правилу (10.8), то на схему неравнозначности подаются сигналы с k-го и последнего триггеров регистра, а если по правилу (10.13), то — с k-то, l-го, m-го и последнего триггеров (см. рис. 10.14,6, где k= 1, l = 2, n = 3 и m = 5).
Оптимальный фильтр для сигнала с псевдослучайным законом фазовой манипуляции (рис. 10.15,а) состоит из оптимального фильтра для одиночного радиоимпульса длительности 0, линии задержки на время (N - l) 0 с (N - 2)-мя равномерно расположенными отводами, сумматора и накопителя импульсных сигналов НИС с периодом повторения N0 = T. Последний осуществляет межпериодную обработку принимаемого сигнала и подробно рассматривается в гл. 12.
Механизм работы этого фильтра при подаче на вход одного и двух сигналов можно уяснить из рассмотрения временных диаграмм комплексных амплитуд напряжений в различных точках его структурной схемы, которые изображены соответственно на рис. 10.15,6 и в. Так как входные сигналы действуют непрерывно, они перекрываются при любом временном смещении между собой. Ввиду линейности оптимального фильтра он обрабатывает каждый из сигналов независимо от других. Поэтому максимумы выходных сигналов разрешаются, если вызвавшие их входные сигналы смещены на время больше длительности то элементарного импульса (рис. 10.15,в).
Рассмотренная схема фильтра (рис. 10.15,а) работает на промежуточной частоте (ПЧ). Вследствие этого требования к точности поддержания равенства времени задержки между соседними отводами линии задержки и длительностью элементарного импульса оказываются очень жесткими (временное рассогласование должно быть много меньше периода несущего колебания ПЧ).
С целью значительного ослабления этих требований до того, чтобы временное рассогласование было много меньше лишь длительности элементарного импульса, необходимо видоизменить схему оптимального фильтра так, чтобы линия задержки (и накопитель) работали на видеочастоте.

Рис. 10.15. Структурная схема оптимального фильтра для ФМ сигнала (a) и
временные диаграммы напряжений при подаче на вход одного (б)
и двух (в) отраженных сигналов
Так как начальная фаза принимаемого сигнала обычно заранее неизвестна, такая схема оптимального фильтра должна быть квадратурной (рис. 10.16,а). Она состоит из двух когерентных детекторов, управляемых сдвинутыми на 90° колебаниями гетеродина, двух линий задержки с отводами, двух накопителей, двух квадраторов и сумматора.
Но и в этом случае наибольшие трудности вызывает осуществление линий задержки с отводами. Чтобы избежать этих трудностей, применяют так называемые цифровые оптимальные (согласованные) фильтры, в которых вместо этих линий используют сдвигающие регистры из триггеров (рис. 10.16,6), На вход первого триггера регистра с выхода одного из когерентных детекторов поступает сигнал в виде последовательности видеоимпульсов. Последняя «проталкивается» импульсами генератора тактовых импульсов, следующими с периодом то, на следующие триггеры сдвигового регистра. Напряжения, снимаемые с выхода одной из половин каждого триггера в зависимости от кода, на который настроен этот цифровой фильтр, суммируются в выходном сопротивлении, образуя большой выброс напряжения на выходе только в том случае, когда на триггерах сдвигового регистра «записана» оптимальная данному фильтру последовательность импульсов.

Рис. 10.16. Структурные схемы оптимального приемника для ФМ сигнала
и цифрового оптимального фильтра при N=7
Перед подачей на когерентные детекторы колебания с целью дискретизации подвергаются жесткому ограничению в полосовом ограничителе, что приводит при слабом сигнале к потерям в отношении сигнал-шум порядка 1 дБ.
Достоинства цифрового оптимального фильтра заключаются в его надежности, отсутствии ограничений длины регистра (а следовательно, и числа N импульсов в периоде последовательности), отсутствии затухания последовательности импульсов при перемещении вдоль регистра и возможности простым путем изменять скорость сдвига импульсов.
10.2.4. О влиянии рассогласования фильтра и сигнала
Анализ амплитудных, фазовых и временных искажений сигнала вследствие неточности весов отводов линии задержки по амплитуде и фазе, неточности момента манипуляции фазы сигнала, неточности установки отводов линии задержки и т. п. показывает, что влияние этих искажений на уровень боковых лепестков выходного сигнала уменьшается по мере увеличения числа N элементарных импульсов сигнала. Это объясняется тем, что вследствие псевдослучайного характера сигнала оптимальный фильтр имеет псевдослучайную структуру, в результате чего регулярные искажения сигнала после его прохождения через оптимальный фильтр приобретают случайный характер и суммируются как случайные величины. Случайные же искажения сигнала, вызванные случайными отклонениями амплитуд и фаз весов отводов линии задержки, будут складываться в сумматоре. Вследствие независимости искажений на каждом отводе дисперсия суммарных искажений будет в N раз больше, чем на каждом отводе. Мощность же выходного сигнала в № раз больше мощности сигнала на каждом отводе. Поэтому отношение дисперсии искажений к мощности сигнала на выходе в N раз меньше, чем на отводе линии задержки.
Наиболее неблагоприятными являются линейные фазовые искажения, обусловленные временным рассогласованием между длительностью элементарного импульса и временем задержки между соседними отводами линии задержки. В отличие от искажений, рассмотренных выше, в оптимальном фильтре происходит не усреднение этих искажений, а их накопление. Поэтому влияние таких искажений возрастает при увеличении N. Вследствие этого необходимо принимать специальные меры для уменьшения таких искажений.
10.2.5. Преимущества и недостатки системы с псевдослучайной фазовой манипуляцией
Системы, в которых сигнал имеет псевдослучайную фазовую манипуляцию (ПФМ), позволяют получить весьма высокую разрешающую способность как по дальности, так и по скорости. Однако указанное достигается при больших значениях N порядка тысячи. Это требует выбора n порядка десяти.
При той же пиковой мощности и сохранении той же разрешающей способности по дальности применение этой системы по сравнению с простейшей импульсной системой позволяет увеличить энергию сигнала в N раз, а следовательно, дальность действия в раз, что при N = 1023 дает раза.
По-видимому, лучших кодов, чем бинарная псевдослучайная последовательность, вообще не существует, так как использующие их системы практически реализуют потенциальные возможности, вытекающие из принципа неопределенностей в радиолокации (6.16).
При осуществлении радиопередающего устройства (генератора импульсов последовательности, балансного модулятора и генератора высокой частоты) не возникает особых затруднений.
Однако осуществление широкополосной линии задержки с (N - 2)-мя (т. е. порядка тысячи) отводами в оптимальном фильтре связано с большими техническими трудностями. Чтобы избежать их, применяют цифровые оптимальные фильтры или интегральные схемы на ПАВ. Второй недостаток системы вытекает из непрерывного характера излучения сигнала и заключается в необходимости весьма тщательной развязки передатчика и приемника. Несмотря на серьезность этих трудностей, они преодолимы [26, 28].
Кроме непрерывного режима работы системы с ПФМ, возможен и импульсный режим. При этом излучаемый импульсный сигнал в течение своей длительности манипулируется по фазе одним периодом двоичной псевдослучайной последовательности. В этом случае работу передающего и приемного устройств можно разнести во времени. Длительность сигнала составляет долю периода повторения системы. Поэтому значительно легче осуществить оптимальный фильтр для такого сигнала.
Однако при той же пиковой мощности передатчика меньше энергия сигнала, а следовательно, и дальность действия системы. Кроме того, автокорреляционные свойства такого сигнала значительно хуже, чем при непрерывном режиме работы: превышение максимума автокорреляционной функции сигнала над наибольшей абсолютной величиной ее боковых выбросов составляет не N, а приблизительно .
Такие псевдошумовые сигналы применяются не только в радиолокации, но и в космической радиосвязи.
В заключение заметим, что автокорреляционную функцию комплексной амплитуды, изображенную на рис. 10.10, имеет сигнал, фаза которого манипулирована не только двоичной псевдослучайной последовательностью, но и последовательностями квадратичного вычета (или Лежандра) и некоторыми другими, описанными в книгах [14, 21, 30, 32]. В качестве примера приведем две последовательности квадратичного вычета: + + — + + + — — — + — (N=11) и + +— — + + + + — + — — — — + + — (N = 19).
Эти последовательности генерируются более сложными схемами, чем в случае двоичных псевдослучайных последовательностей. Оптимальные фильтры для таких сигналов строятся по тем же структурным схемам (см. рис. 10.15,а и 10.16,а и б).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
10.1. Какие из последовательностей

являются кодами Баркера?
10.2. Фаза радиоимпульсного сигнала манипулирована по закону кода Баркера
+ + +— — + —. Суммарная длительность сигнала равна 35 мкс, а частота несущего колебания 100 МГц.
Нарисуйте структурную схему оптимального фильтра для этого сигнала. Изобразите временную диаграмму огибающей сигнала на выходе фильтра. Чему равна разрешающая способность по дальности у системы с такими сигналом и фильтром?
Каковы достоинства таких сигналов?
10.3. Радиоимпульсный сигнал, фаза которого манипулирована по закону кода Баркера — + — —, суммарная длительность равна 8 мкс, а частота несущего колебания — 300 МГц, поступает на оптимальный фильтр.
Нарисуйте структурную схему этого фильтра.
Изобразите временные диаграммы комплексных огибающих (амплитуд) сигналов в различных точках структурной схемы оптимального фильтра. Постройте структурную схему генератора такого сигнала.
10.4. Образуйте двоичную (бинарную) последовательность по рекуррентному правилу
Является ли эта последовательность псевдослучайной и почему?


Приложенные файлы

  • docx 7713685
    Размер файла: 691 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий