МУ.Ольш._Цул_бак.


355602158900857251079500
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Брянский государственный технический университет
381017970500

УТВЕРЖДАЮ
Ректор университета
____________ О.Н. Федонин « » ____________ 2014 г.
МАТЕМАТИКА
Методические указания к самостоятельной работе
для студентов I курса очной формы обучения инженерно-технических направлений подготовки бакалавриата(I семестр)
Брянск 2014
УДК 511
Математика. [Текст]+[Электронный вариант]: методические указания к самостоятельной работе для студентов I курса очной формы инженерно-технических направлений подготовки бакалавриата (I семестр). − Брянск: БГТУ, 2014. − 33 с.

Разработали: Н.А. Ольшевская, доц.
Г.Г. Цуленева, доц.
К.А. Сенько, асс.
Рекомендовано кафедрой “Высшая математика” БГТУ
(протокол № от .14)
Темплан 2014 г., п.
Подписано в печать __.__.13 Формат 60х84х1/16 Бумага офсетная
Офсетная печать Печ. л. Уч.-изд. л. Т. 30 экз. Заказ бесплатно
Издательство Брянского государственного технического университета Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7
Лаборатория оперативной печати БГТУ, ул. Харьковская, 9
СОДЕРЖАНИЕ
Задания к расчетно-графической работе………………………….4
Пример заданий контрольной работы №1……………………....22
Пример заданий контрольной работы №2……………………....23
Теоретические вопросы к экзамену……………………………...23
Пример практической части экзаменационного билета………..25
Открытый банк экзаменационных заданий……………………..26
Список рекомендуемой литературы……………………………..33
ЗАДАНИЯ К РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЕ
Задание №1
Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя методами:
а) по правилу Крамера; б) методом Гаусса; в) С помощью обратной матрицы.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
16 17 18
19 20 21
22 23 24
25 26 27
28 29 30
Задание №2
Решить следующую задачу.
Определить модуль равнодействующей двух равных по модулю сходящихся сил |F1|=|F2|=5Н, образующих между собой угол .
0520700
yxF2

Рис.1
F1
000
yxF2

Рис.1
F1
2. Определить угол в градусах между равнодействующей двух сил , и осью Ох, если угол (рис.1).
877570184150
R
F1
yxF2

Рис.2
000
R
F1
yxF2

Рис.2

3. Равнодействующая R двух равных по модулю сходящих сил направлена по оси Оу и равна по модулю 10Н. Определить в градусах угол, образованный вектором силы с положительным направлением оси Ох (рис.2).
-9207536830

0
yxF2

Рис.3
F1
F3
00

0
yxF2

Рис.3
F1
F3
4. Определить модуль равнодействующей сходящихся сил
, если известны углы, образованные векторами этих сил с осью Ох:
(рис.3).
325628071755
0
yxF2

Рис.4
F1
F3
00
0
yxF2

Рис.4
F1
F3
5. Какую по модулю силу F3 надо приложить к сходящимся силам образующим с осью Ох углы , чтобы равнодействующая этих трех сил равнялась нулю (рис.4).
3569970196850
0
yxF2

Рис.5
F1
R
00
0
yxF2

Рис.5
F1
R

6. Равнодействующая |R|=10Н двух сходящихся сил образует с осью Ох угол . Сила |F1|=5Н образует с этой же осью Ох угол . Определить модуль силы |F2| (рис.5).
-92075132080А

0
xyF2
F1
Рис.6
00А

0
xyF2
F1
Рис.6

7. На твердое тело в точке А действуют силы F1 и F2, |F1|=6H, |F2|=3H, линии действия которых в плоскости Оху. Определить сумму проекций этих сил на ось Ох, если угол (рис. 6).
3754120-198755F1


F2
Рис.7
00F1


F2
Рис.7
8. На пресс в точке О действуют силы F1 и F2, линии действия которых находятся в плоскости чертежа (рис.7). Определить модуль вертикальной силы, сжимающей материал, если заданы углы .
-9779088265

F3
x
Рис.8
00

F3
x
Рис.8
9. К столбу в точке А приложена плоская система сходящихся сил . Определить
сумму проекций заданных сил на ось Ах, если (рис. 8).
126492088900А
Рис.9
0
х
y

F3
F4
F1
00А
Рис.9
0
х
y

F3
F4
F1

10. На твердое тело в точке О действует плоская система сходящихся сил
. Определить сумму проекций заданных сил на ось Оу, если заданы углы (рис. 9).

11. Для плоской системы сходящихся сил F1=3i+4j; F2=5j; F3=2i, определить модуль равнодействующей силы и угол, который она образует с положительным направлением оси Ох.
12. Равнодействующая сходящихся сил F1 и F2 равна по модулю 8Н и образует с горизонтальной осью угол . Вектор силы F1 направлен по оси Ох, а вектор силы F2 образует с этой осью угол . Определить модуль силы F1.
13. Плоская система трех сходящихся сил F1, F2 и F3 находится в равновесии. углы, образованные векторами сил F1 и F2 с положительным направлением горизонтальной оси Ох, соответственно равны . Определить модуль силы F3.
14. Задана проекция Rx=5Н равнодействующих двух сходящихся сил F1 и F2 на горизонтальную ось Ох. Проекция силы F1 на эту же ось F1x=7Н. Определить алгебраическое значение проекции на ось Ох силы F2
15. Определить модуль равнодействующей сходимости сил F1 и F2 если известны их проекции на декартовы оси координат: F1x=3H, F1y=6H, F2x=5H, F2y=4H.
16. Определить сходится ли данная плоская система трех сходящихся сил в равновесии, если известны проекции сил на оси координат: F1x=10H, F1y=2H, F2x= -4H, F2y=3H, F3x= -6H, F3y= -5H.
17. Равнодействующая плоской системы сходящихся сил F1 и F2; F3 и F4 равна 0. Определить модуль силы F1, если известны проекции трех других сил на оси координат: F2x= 4H, F2y=7H, F3x= -5H, F3y= -5H, F4x= -2H, F4y=0.
18. Известны проекции на оси Rx=18Н, Rу=24Н равнодействующей R плоской системы сходящихся сил F1, F2 и F3, а также проекции сил на F2 и F3 на эти же оси: F2x= -9H, F2y= -7H, F3x= 12H, F3y=0. Определить модуль силы F1.
-113665301625β
xF2
Рис.10
F1
F2
0
y00β
xF2
Рис.10
F1
F2
0
y19. Определить в градусах угол между вектором равнодействующей R системы сил F1=3i+2j; F2=5i+7j и положительным направлением оси Оу.
20.Определить модуль равнодействующей двух сил угол , угол (рис.10).
21. Определить угол, который образует равнодействующие R с положительным направлением оси Оу, если угол , угол (рис.11).
364109064770
Рис.11
F1
F2

0
yx00
Рис.11
F1
F2

0
yx22. На твердое тело в точке О действует плоская система сходящихся сил. Определить сумму проекций заданных сил на ось Ох, если заданы
,угол (рис.12).
-95885158115

Рис.12

F1
F2

0
yx00

Рис.12

F1
F2

0
yx
23. Равнодействующая R=10Н двух сходящихся сил образует с вертикальной осью угол . . Найти (рис.13).
-2566035332740
R
xРис.13
F3
F1

0
y00
R
xРис.13
F3
F1

0
y24. Равнодействующая двух сходящихся сил F1 и F2 образует с осью Ох угол
R=8Н, . Построить силу , определить ее модуль и направляющие углы (рис. 14).
1482725962660F2
R
F1

0
yxРис.13
Рис.14
00F2
R
F1

0
yxРис.13
Рис.14
25. Даны три сходящихся силы F1, F2, F3 . Эти силы образуют с осью Ох углы: . Найти силу S, уравновешивающую систему сил F1, F2, F3 .
26. По заданным проекциям силы F на оси координат Fх=20Н, Fу=25Н, Fz=30Н. Определить модуль этой силы.
27. Определить косинус угла между вектором силы F и осью координат Оz, если сила F=3i+4j+5k.
28. Определить косинус угла между вектором силы F=3i+2,45j+7k и осью координат Ох.
-8890511810
Рис.14
zR

0
yxРис.15
00
Рис.14
zR

0
yxРис.15
29. Модуль равнодействующей R пространственной системы сходящихся сил равен 150Н. Определить ее проекцию на координатную ось Оу, если даны углы (рис.15).
30. Определить модуль равнодействующей сил , приложенных к точке А, как показано на рис 16.
-32004088265
Рис.16
F2
А
F3
F1
z0
y00
Рис.16
F2
А
F3
F1
z0
y31. Определить модуль равнодействующей трех сходящихся сил, если заданы их проекции на оси координат: F1x=7H, F1y=10H, F1z=0; F2x= -5H, F2y=15H, F2z=12Н; F3x=6H, F3y=0, F3z= -6Н.
32. Две силы F1=5i+7j+9k и F2 =4i+9j+11k приложены в центре О системы прямоугольных координат Охуz. Определить модуль равнодействующей силы.
Задание №3
Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4.
Построить пирамиду.
Найти: 1) длину ребра А1, А2;
2) угол между ребрами А1, А2 и А1, А4;
3) площадь грани А1, А2, А3;
4) объем пирамиды.
Вариант А1А2А3 А41 ( 2; 3; 2 )(10; 7; 3 )( 6; 6; 3 )( 8; 9; 5 )2 ( 3; 5; 2 )( 1; 7; 5 )( 5; 6; 8 )( 1; 6; 4 )3 ( 6; 1; 4 )( 3;-3; 8) ( 5;-5; 8 )( 8; 3; 3 )4 ( 2; 5; 4 )( 5; 3; 6 )( 8; 3; 5 )( 8; 2; 10)
Вариант А1А2А3 А45 ( 3; 4; 3 )( 7;-4; 4 )( 6; 0; 4 )( 9; 10; 6)
6 ( 1; 2; 3 )( 3; 4; 6 )(-3; 1; 6 )( 3; 3; 5 )7 ( 3; 5; 1 )( 0; 1; 5 )( 1; 0; 5 )( 7; 9; -1)
8 ( 5;-2; 4 )(7; 1; 6 )( 7; 4; 5 )( 8; 4; 10)
9 ( 1; 2; 1 )( 9;-2; 2 )(-3; 5; 0 )( 7; 8;-2 )10 ( 4; 1; 3 )( 2; 3; 6 )( 5;-3; 6 )( 3; 3; 5 )11 ( 3;-1; 2 )( 7; 2; 6 )( 9; 0; 6 )( 5; 1; 3 )12 ( 3; 5; 4 )( 1; 8; 6 )(-1; 2; 6 )( 9;-1; 1 )13 ( 1; 1; 2 )(-3;9; 3 )(-2; 5; 3 )( 7; 7; -1)
14 ( 1; 4; 3 )( -1; 6; 6 )( 6; -4; 0 )( 2; 2; 1 )15 ( 2; 4; 1 )( 6; 7; 5 )( 7; 6; 5 )( 6; 8; 3 )16 ( 1; 2; 2 )( 3; 5; 4 )( 5;-1; 4 )(7; 8; 5 )17 ( 2;-2; 1 )(10; 2; 2 )( 6; 1; 2 )( 8; 4; 4 )18 ( 3; 4;-1 )(1; 6; 2 )( 5; 5; 5 )( 1; 5; 1 )19 ( 2; 5; 3 )(-1; 1; 7 )(1; -1; 7 )( 4; 7; 2 )20 ( 1; 4; 2 )( 4; 2; 4 )( 7; 2; 3 )( 7; 1; 8 )21 ( 3; 1; 4 )( 7; -7; 5; )( 6; -3; 5 )( 9; 7; 7 )22 ( 2; 4; 3 )(4; 6; 6 )(-2; 3; 6 )(4; 5; 5 )23 ( 5;-2;-1 )( 2; -6; 3) ( 3; -7; 3 )( 9; 2; -3 )24 ( 5; 2; 1 )( 7; 5; 3 )( 7; 8; 2 )( 8; 8; 7 )25 ( 2;-1; 7 )( 10;-5; 8 )(-2; 2; 6 )(8; 5; 4 )26 ( 4; 7; 8 )( 2; 9; 11 )(5; 3; 11 )( 3; 9; 10 )27 ( 2; 1; 3 )( 6; 4; 7 )( 8; 2; 7 )( 4; 3; 4 )28 ( 1; 5; 2 )(-1; 8; 4 )(-3; 2; 4 )( 7; -1;-1 )29 ( 6; 1; 4 )(2; 9; 5 )( 3; 5; 5 )(12; 7; 1 )30 ( 6; 5; 1 )( 4; 7; 4 )( 11; -3; -2) ( 7; 3;-1 )31 ( 3; 1; 5 )( 7; 4; 9 )( 8; 3; 9 )( 7; 5; 7 )32 (3; 2; 6 )( 5; 5; 8 )( 7; -1; 8 )( 9; 8; 9 )Задание №4
Дано: a=lp+mq, b=np-kq, угол между векторами p и q равен /f.
Значения коэффициентов l, m, n, k, f и модули векторов p и q даны ниже для каждого варианта.
Вычислить:
длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а и в ;угол между диагоналями;
площадь параллелограмма.
Вар. p q l m n k F
1 2 5 4 1 2 7 6
2 6 4 1 5 1 2 3
3 3 7 1 4 7 2 4
4 3 3 4 3 6 7 6
5 3 7 3 4 6 6 3
6 1 4 6 4 7 4 4
7 1 1 3 4 4 1 6
8 2 1 4 3 1 2 3
9 1 7 6 7 4 7 4
10 7 4 7 1 6 4 6
11 1 2 4 6 6 7 3
12 2 7 3 6 2 3 4
13 2 4 4 1 3 7 6
14 1 6 2 1 5 6 3
15 5 4 3 6 3 5 4
16 1 1 3 2 7 4 6
17 1 3 7 4 6 1 3
18 1 7 4 7 7 1 4
19 1 3 3 7 1 2 6
20 5 7 5 5 7 7 3
21 5 1 7 5 7 3 4
22 2 4 6 4 6 4 6
23 5 7 3 7 1 4 3
24 4 7 1 4 6 4 4
25 2 1 3 5 5 2 6
26 3 5 6 5 1 1 3
27 7 2 3 5 3 7 4
28 4 2 3 1 3 7 6
29 1 2 5 1 5 4 3
30 2 1 3 3 4 3 4
31 6 2 5 2 4 5 6
32 5 3 7 3 7 5 3
Задание №5
Решить следующую задачу.
Написать уравнение эллипса, проходящего через точку пересечения гиперболы х2-у2=2 с прямой х+у-2=0, если известно, что фокусы эллипса совпадают с фокусами гиперболы.
Составить уравнение гиперболы, имеющие общие фокусы с эллипсом 24х2+49у2=1176 при условии, что ее эксцентриситет =1,25.
Написать уравнение окружности такой, чтобы ее диаметром оказался отрезок прямой х+у-4=0, заключенный между осями координат.
Большая ось эллипса втрое больше его малой оси. Составить каноническое уравнение этого эллипса, если он проходит через точку М(3;3).
Дана гипербола х2-у2=8. Составить уравнение эллипса, проходящего через точку М(4;6) и имеющего фокусы, которые совпадают с фокусами данной гиперболы.
Найти точки пересечения параболы у2=8х с эллипсом, у которого правый фокус совпадает с фокусом этой параболы, большая полуось равна 4 и фокусы лежат на оси Ох.
Фокусы гиперболы лежат в точках F1(7;0) и F2(-7;0). Гипербола проходит через точку А(2;0). Найти уравнение ее асимптот.
Найти параметр р параболы у2=2рх, если известно, что эта парабола проходит через точки пересечения прямой у=х с окружностью х2+у2-6х=0.
Найти точки пересечения параболы у2=х с прямой, проходящей через фокус этой параболы параллельно ее директрисе.
Через правый фокус гиперболы 4х2-5у2=20 проведены прямые, параллельные ее асимптотам. Определить точки пересечения этих прямых с гиперболой.
Написать уравнение окружности такой, чтобы ее центр совпадал с фокусом параболы у2=8х и чтобы окружность прошла через начало координат.
Оси гиперболы совпадают с осями координат. Гипербола проходит через точки параболы х2=2у с прямой х-2у+6=0. Составить уравнение этой гиперболы.
Эллипс проходит через точку пересечения прямой 3х+2у=7 с параболой у2=4х (взять точку с меньшей абсциссой). Оси эллипса совпадают с осями координат. Составить уравнение этого эллипса, если его эксцентриситет равен 0,6
Эксцентриситет гиперболы в 2 раза больше углового коэффициента ее асимптоты. Гипербола проходит через точку М(3;-1), ее действительная ось лежит на оси Ох, а центр в начале координат. Найти точки пересечения этой гиперболы с окружностью х2+у2=10.
Написать уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, а осью симметрии является ось Ох, если известно, что расстояние от ее фокуса до центра окружности х2+у2-10х-8у+25=0 равно 5.
Составить каноническое уравнение эллипса, правая вершина которого совпадает с правым фокусом гиперболы 8х2-у2=8. Эллипс проходит через точки пересечения параболы у2=12х с данной гиперболой.
Вычислить расстояние от фокуса гиперболы 4х2-5у2=20 до ее асимптот. Найти эксцентриситет этой гиперболы.
Найти точки пересечения параболы у2=х с окружностью, которая проходит через начало координат, имеет центр на оси Ох и радиус, равный 5.
Составить уравнение эллипса, если его фокусы совпадают с фокусами гиперболы 4х2-5у2=20, а эксцентриситет эллипса равен 0,6.
Окружность имеет центр в левой вершине гиперболы х2-4у2=16 и радиус, равный вещественной полуоси этой гиперболы. Найти точки пересечения этой окружности с асимптотами данной гиперболы.
Составить уравнение гиперболы, имеющей эксцентриситет =1,5, если известно, что ее фокусы совпадают с фокусами эллипса 2х2+5у2=30.
Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок прямой х+у-4=0, вырезанный параболой у2=2х.
Найти расстояние от фокуса параболы 8у=х2 до прямой 3х+4у+2=0.
Написать уравнение окружности, проходящей через точки А(3;0) и В(-1;2), если известно, что ее центр лежит на прямой х-у+2=0.
Вычислить расстояние от центра окружности х2+у2=10х до асимптот гиперболы х2-4у2=20.
Составить каноническое уравнение эллипса, сумма полуосей которого равна 8 и расстояние между фокусами равно 8.
В эллипс 24х2+49у2=1176 вписан прямоугольник, две противоположные стороны которого проходят через фокусы. Вычислить площадь этого прямоугольника.
Составить уравнение окружности, проходящей через точки А(5;0) и В(1;4), если центр ее лежит на прямой х+у=3.
Написать каноническое уравнение эллипса, у которой эксцентриситет равен 0,8, а большая полуось больше малой полуоси на 2 единицы.
Найти каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку М(40;2) и имеющей асимптоты 3у=х.
В эллипс х2+4у2=4 вписан прямоугольник, площадь которого равна 4. Написать уравнения диагоналей этого прямоугольника.
Через фокус параболы у2=4х под острым углом к оси Ох проведена прямая. Написать уравнение этой прямой, если длина образовавшейся хорды равна 4,5.
Задание №6
Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4.
Построить пирамиду.
Найти: 1) уравнение плоскости А1, А2, А3;
2) уравнения прямой А1, А2;
3) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1, А2, А3;
4) угол между ребром А1, А4 и гранью А1, А2, А3.
Вариант А1А2А3 А41 ( 2; 3; 2 )(10; 7; 3 )( 6; 6; 3 )( 8; 9; 5 )2 ( 3; 5; 2 )( 1; 7; 5 )( 5; 6; 8 )( 1; 6; 4 )3 ( 6; 1; 4 )( 3;-3; 8) ( 5;-5; 8 )( 8; 3; 3 )Вариант А1А2А3 А44 ( 2; 5; 4 )( 5; 3; 6 )( 8; 3; 5 )( 8; 2; 10)
5 ( 3; 4; 3 )( 7;-4; 4 )( 6; 0; 4 )( 9; 10; 6)
6 ( 1; 2; 3 )( 3; 4; 6 )(-3; 1; 6 )( 3; 3; 5 )7 ( 3; 5; 1 )( 0; 1; 5 )( 1; 0; 5 )( 7; 9; -1)
8 ( 5;-2; 4 )(7; 1; 6 )( 7; 4; 5 )( 8; 4; 10)
9 ( 1; 2; 1 )( 9;-2; 2 )(-3; 5; 0 )( 7; 8;-2 )10 ( 4; 1; 3 )( 2; 3; 6 )( 5;-3; 6 )( 3; 3; 5 )11 ( 3;-1; 2 )( 7; 2; 6 )( 9; 0; 6 )( 5; 1; 3 )12 ( 3; 5; 4 )( 1; 8; 6 )(-1; 2; 6 )( 9;-1; 1 )13 ( 1; 1; 2 )(-3;9; 3 )(-2; 5; 3 )( 7; 7; -1)
14 ( 1; 4; 3 )( -1; 6; 6 )( 6; -4; 0 )( 2; 2; 1 )15 ( 2; 4; 1 )( 6; 7; 5 )( 7; 6; 5 )( 6; 8; 3 )16 ( 1; 2; 2 )( 3; 5; 4 )( 5;-1; 4 )(7; 8; 5 )17 ( 2;-2; 1 )(10; 2; 2 )( 6; 1; 2 )( 8; 4; 4 )18 ( 3; 4;-1 )(1; 6; 2 )( 5; 5; 5 )( 1; 5; 1 )19 ( 2; 5; 3 )(-1; 1; 7 )(1; -1; 7 )( 4; 7; 2 )20 ( 1; 4; 2 )( 4; 2; 4 )( 7; 2; 3 )( 7; 1; 8 )21 ( 3; 1; 4 )( 7; -7; 5; )( 6; -3; 5 )( 9; 7; 7 )22 ( 2; 4; 3 )(4; 6; 6 )(-2; 3; 6 )(4; 5; 5 )23 ( 5;-2;-1 )( 2; -6; 3) ( 3; -7; 3 )( 9; 2; -3 )24 ( 5; 2; 1 )( 7; 5; 3 )( 7; 8; 2 )( 8; 8; 7 )25 ( 2;-1; 7 )( 10;-5; 8 )(-2; 2; 6 )(8; 5; 4 )26 ( 4; 7; 8 )( 2; 9; 11 )(5; 3; 11 )( 3; 9; 10 )27 ( 2; 1; 3 )( 6; 4; 7 )( 8; 2; 7 )( 4; 3; 4 )28 ( 1; 5; 2 )(-1; 8; 4 )(-3; 2; 4 )( 7; -1;-1 )29 ( 6; 1; 4 )(2; 9; 5 )( 3; 5; 5 )(12; 7; 1 )30 ( 6; 5; 1 )( 4; 7; 4 )( 11; -3; -2) ( 7; 3;-1 )31 ( 3; 1; 5 )( 7; 4; 9 )( 8; 3; 9 )( 7; 5; 7 )32 (3; 2; 6 )( 5; 5; 8 )( 7; -1; 8 )( 9; 8; 9 )Задание №7
Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
1 fx=-3x при x≤0,tgx при 0<x<π/2,-1 при x≥π/2.2 fx=2-x при x<0,x2+2 при 0≤x≤1,-1 при x>1.3 fx=x2-1 при x≤0,x-1 при 0<x<1,3 при x≥1.4 fx=-1x при x≤-3,-x при -3<x<-1/2x+1 при x≥-1/2.5 fx=x+3 при x<-3,3-3x при -3≤x≤1lnx при x>1.6 fx=9x при x<-3,x при -3≤x≤14-x при x>1.7 fx=x2-4 при x<0,3x-4 при 0≤x≤1,4 при x>1.8 fx=4x при x≤0,sinx при 0<x<π/2,5 при x≥π/2.9 fx=1-x при x≤0,cosx при 0<x<π,2 при x≥π.10 fx=x-π/2 при x≤π/2,tgx при π/2<x<π,1 при x≥π.11 fx=x2+4 при x<0,3x+4 при 0≤x≤1,0 при x>1.12 fx=e-x при x<0,3x+1 при 0≤x≤1,2 при x>4.13 fx=lnx при 0<x<1,x-12 при 1≤x≤3,x при x>3.14 fx=-5x при x≤0,tgx при 0<x<π/2,4 при x≥π/2.15 fx=x2 при x≤0,2x-1 при 0<x<1,lnx при x≥1.16 fx=1/x при 0<x<2,1/4x+3 при 2≤x<4,1 при x≥4.17 fx=-sinx при 0≤x≤π,cosx+1 при π<x<2π,2 при x≥2π.18 fx=-3x при x≤0,sinx при 0<x≤π/2,4 при x≥π/2.19 fx=1xпри x≤-1,x2-2 при -1<x<1,3 при x≥1.20 fx=2x при x≤0,sinx при 0<x<π/2,5 при x≥π/2.21 fx=3x-1 при x≤1,2xпри 1<x≤2,x2-1 при x>2.22 fx=3 при x<1,2x2+1 при 1≤x<2,2x+2 при x≥2.23 fx=ex при -1≤x<0,x2+3x при 0≤x<1,4 при x≥1.24 fx=1x+5 при x<-6,-1 при -6≤x<0,-2x+1 при x≥0.25 fx=ctgx при π4≤x<π/6,3 при π/6≤x<2,-x2+4 при x≥2.26
27 28
29 30
31 32
Пример. Дана функция fx=2x+2 при x<0,x2+2 при 0≤x≤1,1 при x>1. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить ее график.
Решение. Функции у=2x+2, у=х2+2, у=1 непрерывны на всей числовой прямой, поэтому заданная функция y=f(x) может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, то есть в точках х=0 и х=1.
Исследуем функцию на непрерывность в этих точках. Для этого найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции.
Рассмотрим поведение функции при х=0:
limx→0-0fx=limx→0-02x+2=2∙0+2=2;limx→0+0fx=limx→0+0x2+2=02+2=2; f0=02+2=2.Так как limx→0-0fx=limx→0+0fx=f(0), то заданная функция непрерывная в точке х=0.
Рассмотрим поведение функции при х=1:
limx→1-0fx=limx→1-0x2+2=12+2=3; limx→1+0fx=limx→1+01=1.Так ка пределы limx→1-0fx и limx→1+0fx конечны и не равны, то точка разрыва х=1 – точка разрыва I рода (функция в этой точке претерпевает «скачок» на 3-1=2 единицы).
Сделаем чертеж (рис.17)
1301750132080у

16296461608320
1974215173990у=х2+2
0у=х2+2

163733564770
11258552184
298323094615у=1
0у=1
1373200965201
01
15647922005840
201833512700
281411782423х

342900154305у=2х+2
0у=2х+2
1339545850900
00
18205451524001
01
1942770755650544830876300
145506424841Рис.17
Рис.17

Задание №8
Провести полное исследование функции и построить график.
1 y = ex (2x2-5x+4) 17 y =
2 y = (lnx-2) 18 y = 1-+arctg2x
3 y = (3,3 +0,2x-0,3x2)
19 y = ln(x2-x+1)
4 y = 20 y = ex(2x2+x+1)
5 y = -1-arctg(x/2) 21 y = x3(3lnx-1)
6 y = 2x2+5x+lnx
22 y= (3,8+1,3x-0,3x2)
7 y = e-x(2x2+3x+2) 23 y = 2ln(x2+1)-3arctgx
8 y = x3/2(lnx-) 24 y = 0,3x-1-arctg3x
9 y = (2,8+0,8x-0,3x2) 25 y = (x2-5)
10 y = 26 y = ln(x2+9)-arctg
11 y = 1- +arctg(x/3) 27 y = x1/3
12 y = 8x2+10x+lnx
28 y = 16x-arcsin2x
13 y =xln(x2+)-2x+arctg
29 y = ln(x2-4x+13)
14 y = e-x(2x2+9x+11) 30 y =
15 y = x2(2lnx-1)
31 y =
16 y = (1,7+1,4x-0,3x2) 32 y =
Пример. Исследовать функцию y=arcsin2x1+x2 и построить ее график.
Решение. 1) Область определения найдем из условия:
-1≤2x1+x2≤1⟹-1+x2≤2x≤1+x2⟹x∈(-∞;+∞).
2) Возьмем любое x0∈-∞;+∞.
fx0-0=limx→x0-0arcsin2x1+x2=arcsin2x01+x02;fx0+0=arcsin2x01+x02, fx0=arcsin2x01+x02.Поскольку точка х0 любая из области определения, то функция непрерывна.
3) Заметим, что область определения функции симметрична относительно начала координат: хХ-хХf-x=arcsin2(-x)1+(-x)2=-arcsin2x1+x2=-fx-данная функция нечетная. f(x) не периодична, так как не существует Т0 такого, что f(x+T)=f(x).
4) Функция принимает значение, равное нулю, когда 2x1+x2=0 т.е. х=0. При х(-;0) функция принимает отрицательные значения, при х(0;+) – положительные.
5) Если y=kx+b – наклонная асимптота графика функции f(x), то k=limx→∞f(x)x, b=limx→∞(fx-kx) (обязательно отдельное вычисление пределов х- и х+).
Если х=а – вертикальная асимптота, то limx→afx=∞.
limx→-∞fxx=limx→-∞arcsin2x1+x2x=0=k;limx→+∞fxx=limx→+∞arcsin2x1+x2x=0=k;limx→∞fx-kx=limx→∞arcsin2x1+x2=0=b.Итак, у=0 – горизонтальная асимптота.
Вертикальных асимптот график данной функции не имеет.
6) f'x=21-x2(1-x2)2(1+x2).В нашем случае имеются 2 точки х=-1, х=1, в которых не существует f'(x). Они разбивают область определения на ряд интервалов:
x (-;1) -1 (-1;1) 1 (1;+)
f'(x) - ∃+ ∃-
f(x) min max
minf(x)|x=-1=-/2; maxf(x)|x=1=/2.
7) f"x=4x1-x2(1-x2)2(1+x2).
Заметим, что концами интервалов выпуклости могут быть точки, в которых f"(x) либо обращается в нуль, либо не существует. Имеем х1=-1, х2=0, х3=1.
x (-;-1) -1 (-1;0) 0 (0;1) 1 (1;+)
f"(x) - ∃+ 0 - ∃+
f(x)
8) График функции y=arcsin2x1+x2 (рис.18)
2262505154940у

27012591508820
24266911720851
01

22440901841501
01
24549102603502922549-6350
2817851774701
01
9394441631954462780117119х

1162546-275700
2734310104496-1
0-1

2411095199034Рис.18
0Рис.18

ПРИМЕР ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1
а) построить пирамиду АВСDб) VABCD - ?                        
в) SABC - ?                         
г) cos(ABAC) - ?              
д) прADAC - ?                     
1. А(4;2;5) В(0;7;1) С(0;2;7) D(1;5;0)
2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

3. Найти уравнение м.т., равноудаленных от начала координат и от прямой х+4=0.
4. Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус
эллипса 16х2+25у2=400 и точку А(2;3).
5. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
параллельно прямой .ПРИМЕР ЗАДАНИЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2
1. Найти производную функции.
2. Найти вторую производную функции.
3. Написать уравнение касательной и нормали к кривой в
указанной точке. Построить кривую, касательную, нормаль.
4. Дано уравнение движения. Определить траекторию. Найти
скорость и ускорение при заданных значениях (t).
5. Вычислить предел (правило Лопиталя).
6. а) Исследовать функцию на экстремум - нечетные варианты:
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25;
б) Найти наименьшее и наибольшее значения функции на
указанном отрезке - четные варианты. 1.
2. у=1/(3x+2)
3. у=ctg2x, х0 - /4
4.
5.
6. у=x4-8x2-9, [0;3]
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1.Определители 2-го и 3-го порядка, их свойства. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений.
2. Векторы и скаляры. Линейные операции над векторами. Базис. координаты вектора .
3.Линейная зависимость и независимость векторов.
4. Радиус – вектор точки. Модуль вектора, расстояние между двумя точками.
5. Скалярное произведение векторов и его свойства.
Векторное произведение векторов и его свойства.
Смешанное произведение трех векторов и его свойства.
Прямая линия на плоскости (основные виды уравнений).
Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.
Окружность и эллипс.
Гипербола.
Парабола.
Уравнение окружности, эллипса, гиперболы и параболы в полярной системе координат.
Приведение уравнений кривых 2-го порядка к каноническому виду.
Плоскость (основные виды уравнений).
Угол между двумя плоскостями, условие их перпендикулярности и параллельности. Расстояние от точки до плоскости.
Прямая в пространстве. Угол между прямыми.
Прямая и плоскость, угол между ними. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Понятие функции. Основные элементарные функции.
Предел функции. Два замечательных предела.
Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.
Понятие производной, ее геометрический и механический смысл.
Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций.
Таблица производных элементарных функций (ввод двух формул).
Производная сложной и обратной функций. Логарифмическое дифференцирование.
Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке.
Дифференциал функции и его геометрический смысл. Дифференциалы высших порядков.
Производные высших порядков, механический смысл второй производной.
Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, Коши).
Правило Лопиталя .Уравнения линий в параметрической форме (окружность, эллипс, циклоида). Производные параметрически заданных функций.
Функции, заданные в неявной форме. Правило их дифференцирования.
Векторная функция скалярного аргумента и ее производные (механический смысл 1-й и 2-й производной).
Исследование функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.
Исследование функции. Выпуклость графика функции, точки перегиба.
Асимптоты графика функции.
Кривизна и радиус кривизны кривой.
Формула Тейлора.
39.Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке.
ПРИМЕР ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА
Брянский государственный технический университет
Кафедра Высшая математика
Дисциплина Математика
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ
Предел функции. Два замечательных предела.
Дана матрица А=2031-25-8-54, тогда сумма элементов а13+а22+а31 этой матриц равна…
Найти скалярное произведение векторов (2a-3b)a, если a={4;-2;4}, b={6;-3;1}.
Составьте уравнение прямой, проходящей через нижнюю вершину эллипса 9x2+25y2=225 под углом 120˚ к оси абсцисс.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;-1;3) и В(1;2;4) перпендикулярно плоскости 2х-3у+z-2=0.
Найдите производную функции y=e-1/xcos2x.
Исследуйте функцию и постройте ее график y=x4x3-1.
ОТКРЫТЫЙ БАНК ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАНИЙ
Матрицы
Дана матрица А=2031-25-8-54, тогда сумма элементов а13+а22+а31 этой матриц равна…
Определитель матрицы 13α+2210 равен 0 при α=…
Чему равен определитель матрицы 1-122?
Решить следующую систему: 3x+y=7x+2y=4.
Решите уравнение 357x-46-1x-3=0.
Решите уравнение 315-x215=954x.
Решить систему уравнений 2x-7y+3z=5x+3y-5z=-43x+2y-z=2.
Векторная алгебра
Чему равна длина вектора АВ, если А(-2;2;1) и В(0;5;3)?
Чему равны направляющие косинусы вектора ={1;-1;-3}
Даны точки М(-3;1;2) и N(4;-2;5). Найти направляющие косинусы вектора МN.
Если a∙b=52, a=20 и b=0,5, тогда угол между векторами a и b равен …
Векторы a=-1;4;-3 и b=(5;m;2m) перпендикулярны при m=?
Даны векторы a=i-2j+3k и b=i+3j-uk. Тогда линейная комбинация -2a+b в этих векторов имеет вид…
Чему равно скалярное произведение векторов a={3;2;-1} и b={0;-1;2}?
Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах: a=2i+j, b=-2j+k.
Даны векторы a={3;5;3}, b={2;-4;6}. Найти конус угла между векторами 2a+b и b .При каких значениях р векторы a={p;3;6}, b={2;9;-1} перпендикулярны?
Даны точки А(-2;3;4), В(3;2;5), С(1;-1;2), Д(3;2;-4). Вычислить: предАВ.
Вычислить работу, производимую силой F=(3;-2;-5) когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения М1(5;3;27) в положение М2(4;-1;4).
Даны вершины треугольника АВС: А(1;2;0), В(3;0;-3), С(6;2;6). Вычислить площадь треугольника.
Определите, компланарны или некомпланарны вектора a,b,c если a=2i-j+k и b=i+3j-k, c=-i-2j+3k.
Найти момент силы F(-1;2;3), приложенной в точке А(3;0;-1) относительно начала координат.
При каких значениях p и q векторы a={p;3;6}, b={2;9;q} коллинеарны?
Сила F=i+2j+4k приложена в точке М(1;2;-3). Найти момент этой силы относительно точки А(3;2;-1).
Даны координаты вершин пирамиды А(5;1;-4), В(1;2;-1), С(3;3;-4), Д(2;2;2). Определить объем пирамиды.
Аналитическая геометрия
Выбрать среди прямых параллельные:
l1: x+5y+10=0
l2: 2x+10y-5=0
l3: 2x-10y-10=0
l4: -2x+10y-10=0.
Чему равен угол между прямыми х-2у+8=0 и 2х-4у+1=0?
Чему равно расстояние от точки А(1;1;-2) до плоскости х-4z+8=0?
Если уравнение эллипса имеет вид x214+y24=1, то длина его меньшей полуоси равна…
Если уравнение гиперболы имеет вид x29-y249=1, то длина ее действительной полуоси равна…
Радиус окружности, заданной уравнением х2+у2+4у+3=0 равен…
Расстояние между фокусами эллипса x2100+y264=1 равно…
Построить кривую 2у2-х-8у+9=0, приведя ее уравнение к каноническому виду.
Постройте кривую, приведите уравнение к каноническому виду: 2x2+3y2-4x-3y=0.
Написать уравнение прямой, проходящей через правый фокус гиперболы 16х2-9у2=144 параллельно прямой 3х+2у=0.
Составьте уравнение прямой, проходящей через верхнюю вершину эллипса 9x2+16y2=144 под углом 135˚ к оси абсцисс.Нормальный вектор плоскости 2х+у+z+1=0 имеет координаты…
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(0;0;0), М2(1;2;3), М3(5;4;-3).
Найти угол между плоскостями: 2х-у+3z=4 и x+5z+2=0.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;2;-1) перпендикулярно вектору N=(2;0;3).
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(0;1;3) перпендикулярно вектору N(1;-3;5).
Поверхность, определяемая уравнением x2100+y264+z24=1 является...
Прямая x+31=y-3-2=z+1-4 пересекает плоскость αх+у-z+15=0 только в том случае, когда α не равно….
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0,у0,z0) перпендикулярно вектору, если М0(1;1;1).
Найти каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(0;6;4), перпендикулярно плоскости: 3х-2у+z-4=0.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1;2;0), М2(2;1;0) параллельно вектору a(3;0;1).
Через точку М(2;-5;3) провести прямую, параллельную прямой 2x-y+3z-1=05x+4y-z-7=0.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2;1;-1) перпендикулярно двум плоскостям х-у+5z+3=0 и 2x+y-2=0.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;-1;3) и В(1;2;4) перпендикулярно плоскости 2х-3у+z-2=0.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(0;1;3) параллельно вектору N{1;-3;5}
Составьте уравнение плоскости, перпендикулярной плоскостям 2х+3у-z-1=0 и х-4у+3z+1=0, проходящей через начало координат.
Введение в анализ
Значение предела limx→∞2x2-9x+8x2-7x+6 равно…
limx→-2-054/(x+2)
limx→-2+054/(x+2)
Чему равно значение предела функции y=sin2xtg4xпри x→0Вычислить limх→0ex-e-x-2xx-sinx.
Вычислить: limx→0ex-cosxe-2x-1.
Вычислить limх→∞-3x3+2x2-x+22x3+3x-1.
Найдите предел limх→41+2x-3x-2.
Найдите пределы функции limx→+0xlnx, limx→+∞ln⁡xx, limx→-∞(xex).
Найдите предел limx→∞1-3x2x.
1948180417195y00yЧисло точек разрыва функции, заданной на отрезке [a,b], график которой имеет вид
2747010334010b00b1682749118745002161540260350002140584271145001694180100965001332230271145001013459387985001906269508000
3423920300990x00x863600341630а
00а
2852419258445001034415133350086106025780900
равно….
Какая из перечисленных функций: у=х3, y=sinx+1, y=1/x, y=ex или у=3-х2 является четной?
Найти все асимптоты графика функции y=x2+2x-2x+2.
Найдите асимптоты и постройте кривую y=x3x2+x-2.
Найдите асимптоты и постройте кривую y=x2+arctgx.
Производная
Найти производную функции:
Fx=cos-3x2+x-1f(x)=ln(x2-3x+2)
y=e5x+2+sin(3x)
y=e4x+6x3-2y=cos5xx2+1у=х3lnxy=9-3x-x2 при х=0
y=9+x+0,5x2 при х=0
y=xcos5xy=e3x-5sin2(3x)y=e-1/xcos2xy=arctgx+e2x+31-xy=sin2x35x-4y=5(3x+1)2+7cos3xНайдите вторую производную функции y=x2ctg2x.
Найдите вторую производную функции y=х∙е-х.
Укажите вид графика функции, для которой на всем отрезке [a,b] одновременно выполняются условия у<0 y'<0 y"<0
4915535321945005424169183515004903469186055004785360-110490a00a5290185-139700b00b5482590219710x00x4423410-254000y00y44170601733550
000
4478655186054004702175-1936750038512742235200029184601689100
000
2936240-214630y00y3712845-91440b00b3297555-83185a00a3923665236220x00x3425824213995003011170213994003170555-115570002548890253365x00x2447289235585001997709257175002351405-28575b00b1905000-29210a00a15767052317750
000
1575435256539001810385-168910001810385-247650y00y87630-182245y00y1222375184785x00x793752349500
000
949960-15240b00b394970-28575a00a1087119257810004921242578100014160525780900365125-8191500
343789063500200152031750004921252921000
Укажите вид графика функции, для которой на всем отрезке [a,b] одновременно выполняются условия у<0 y'>0 y">0
4915535321945005424169183515004903469186055004785360-110490a00a5290185-139700b00b5482590219710x00x4423410-254000y00y44170601733550
000
4478655186054004702175-1936750038512742235200029184601689100
000
2936240-214630y00y3712845-91440b00b3297555-83185a00a3923665236220x00x3425824213995003011170213994003170555-115570002548890253365x00x2447289235585001997709257175002351405-28575b00b1905000-29210a00a15767052317750
000
1575435256539001810385-168910001810385-247650y00y87630-182245y00y1222375184785x00x793752349500
000
949960-15240b00b394970-28575a00a1087119257810004921242578100014160525780900365125-8191500
343789063500200152031750004921252921000
Какой имеет вид уравнение касательной, проведенной к графику функции у=х2+2х в точке х=1?
Написать уравнение касательной у графику функции у=3х-х2-2 в точке х=1.
Написать уравнение касательной к графику функции y=3x-6x+2 в точке его пересечения с осью Оу.
Написать уравнение касательной к графику функции y=x3-4x2+3lnx в точке с абсциссой х=1.
Написать уравнение нормали к графику функции: y=xlnx в точке с абсциссой х=1.
Наибольшее значение функции y=-2ex2 на отрезке [0,1] равно…
При каких значениях х функция f(x)=x3-3x+5 достигает локального максимума?
Найдите экстремум функции fx=xlnx.
Какие координаты имеет точка перегиба графика функции f(x)=-3x5+5x3+2?
Исследовать функцию у=хе-х и построить ее график.
Исследуйте функцию и постройте ее график y=(x-3)x .
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Бугров, Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: учеб. для вузов./ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Дрофа, 2008.
Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: учеб. для инж.-техн. спец. вузов./ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Дрофа, 2009.
Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный. – 2-е изд. – М.: Астрис-пресс, 2009. – Ч.1.
Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов/ В.П. Минорский. – М:физ.мат.лит., 2008.
Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. /П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.:Оникс 21 век; Мир и образование, 2009. – Ч.1.

Приложенные файлы

  • docx 464665
    Размер файла: 690 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий