matem_yazyk_2016-V2


Государственный комитет Российской Федерации
по высшему образованию


В. А. Селезнев, Л.В.Пехтерева
Структурные свойства математического языка
Учебное пособие для студентов факультета гуманитарного образования.
Новосибирск
2016
СЕЛЕЗНЕВ В. А., ПЕХТЕРЕВА Л.В. Структурные свойства математического языка: учебное пособие. – Новосибирск: изд-во НГТУ, 2016г.
Настоящее пособие предназначается для студентов 1 курса факультета гуманитарного образования и содержит разделы: формирование числовых и геометрических аксиоматических систем в математике, структурные свойства аксиоматических систем, математическое моделирование случайных событий.
Объем пособия соответствует семестровому курсу «математика» для специальностей ….
Цель пособия – познакомить студентов, получающих гуманитарное образование с идеями и методами формирования математики как языкового инструмента. Демонстрация этих идей и методов основана на традиционных классических аксиоматических теориях числовых и геометрических моделей.
Список библ. … названий.
Рецензент: доктор физ.-мат. наук, профессор Судоплатов С.К.
Работа выполнена на кафедрах высшей и инженерной математики.
© Новосибирский Государственный
Технический Университет, 2016
.

Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u ВВОДНАЯ ГЛАВА. PAGEREF _Toc463868799 \h 6Назначение знаковых языковых систем PAGEREF _Toc463868800 \h 61. Язык как инструмент интеллекта PAGEREF _Toc463868801 \h 62. Функциональные свойства языковых систем PAGEREF _Toc463868802 \h 63. Определение и примеры языковых систем PAGEREF _Toc463868803 \h 74. Основные языковые понятия PAGEREF _Toc463868804 \h 85. Предметное назначение языковых систем PAGEREF _Toc463868805 \h 96. Цели краткого курса математики для гуманитариев PAGEREF _Toc463868806 \h 107. Вопросы и задания к теме «Назначение знаковых языковых систем» PAGEREF _Toc463868807 \h 11ГЛАВА I PAGEREF _Toc463868808 \h 12Формирование аксиоматических систем в математике PAGEREF _Toc463868809 \h 12§1. Формирование числовых систем PAGEREF _Toc463868810 \h 121.1Система натуральных чисел. PAGEREF _Toc463868811 \h 121.2Построение множества рациональных чисел. PAGEREF _Toc463868812 \h 141.3Аксиоматика рациональных чисел. PAGEREF _Toc463868813 \h 171.4Необходимость расширения множества рациональных чисел. PAGEREF _Toc463868814 \h 191.5Аксиоматическое построение множества действительных чисел. PAGEREF _Toc463868815 \h 201.6О представлении действительных чисел. PAGEREF _Toc463868816 \h 211.7Языковые свойствах числовых систем. PAGEREF _Toc463868817 \h 251.8Вопросы и задания к теме «числовые системы». PAGEREF _Toc463868818 \h 26§2. Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии. PAGEREF _Toc463868819 \h 282.1. О “Началах” Евклида. PAGEREF _Toc463868820 \h 282.1.1. Структура «Начал» Евклида PAGEREF _Toc463868821 \h 282.1.2 Историческое значение «Начал» Евклида PAGEREF _Toc463868822 \h 292.1.3 Историческое развитие дедуктивной схемы «Начал» Евклида PAGEREF _Toc463868823 \h 292.2 Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943) PAGEREF _Toc463868824 \h 302.2.1 Группа 1. Аксиомы соединения. PAGEREF _Toc463868825 \h 312.2.2 Группа 2. Аксиомы порядка. PAGEREF _Toc463868826 \h 322.2.3 Группа 3. Аксиомы конгруэнтности. PAGEREF _Toc463868827 \h 332.2.4 Группа 4. Аксиомы непрерывности. PAGEREF _Toc463868828 \h 352.2.5 Группа 5. Аксиома параллельности (евклидовой геометрии). PAGEREF _Toc463868829 \h 362.3 Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта. PAGEREF _Toc463868830 \h 372.4 Структурный характер аксиоматики Д.Гильберта PAGEREF _Toc463868831 \h 382.5. Вопросы и задания к теме «Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии». PAGEREF _Toc463868832 \h 38§3. Структура векторного пространства. PAGEREF _Toc463868833 \h 393.1 Модель направленных отрезков. PAGEREF _Toc463868834 \h 393.2 Построение арифметической модели векторного пространства направленных отрезков PAGEREF _Toc463868835 \h 423.3 Определение и примеры абстрактного векторного пространства. PAGEREF _Toc463868836 \h 453.4 Аксиомы скалярного произведения векторов. PAGEREF _Toc463868837 \h 473.5 Вопросы и задания к теме «Структура векторного пространства» PAGEREF _Toc463868838 \h 50§4 Модель Вейля евклидовой геометрии. PAGEREF _Toc463868839 \h 504.1 Арифметическая модель трехмерного евклидова пространства. PAGEREF _Toc463868840 \h 504.2 Арифметическая модель многомерного евклидова пространства PAGEREF _Toc463868841 \h 534.3. Вопросы и задания к теме «Модель Вейля евклидовой геометрии» PAGEREF _Toc463868842 \h 54§ 5. Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского. PAGEREF _Toc463868843 \h 565.1 Основные понятие модели А. Пуанкаре плоскости Лобачевского. PAGEREF _Toc463868844 \h 565.2 Основные неевклидовы факты в планиметрии Лобачевского. PAGEREF _Toc463868845 \h 595.3 Научная значимость открытия геометрии Лобачевского. PAGEREF _Toc463868846 \h 615.4 Вопросы и задания к теме «Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского» PAGEREF _Toc463868847 \h 62ГЛАВА II PAGEREF _Toc463868848 \h 63Структурные свойства аксиоматических теорий. PAGEREF _Toc463868849 \h 63§6 Математические структуры и аксиоматические теории. PAGEREF _Toc463868850 \h 636.1 Понятие отношений между объектами. PAGEREF _Toc463868851 \h 636.2 Понятие математической структуры. PAGEREF _Toc463868852 \h 646.3 Модель или реализация системы аксиом. PAGEREF _Toc463868853 \h 666.4 Формальная и содержательная аксиоматики, аксиоматические теории и математические структуры. PAGEREF _Toc463868854 \h 676.5 Изоморфизм. PAGEREF _Toc463868855 \h 686.6 Вопросы и задания к теме «Математические структуры и аксиоматические теории». PAGEREF _Toc463868856 \h 69§7 Требования, предъявляемые к системам аксиом. PAGEREF _Toc463868857 \h 707.1 Непротиворечивость системы аксиом. PAGEREF _Toc463868858 \h 707.2 Независимость аксиоматической системы. PAGEREF _Toc463868859 \h 717.3 Независимость аксиомы параллельности. PAGEREF _Toc463868860 \h 727.4 Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом. PAGEREF _Toc463868861 \h 737.5 Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики. PAGEREF _Toc463868862 \h 74§8 Смысловой анализ текстовых продуктов. PAGEREF _Toc463868863 \h 768.1 Понятие смыслового анализа текстового продукта. PAGEREF _Toc463868864 \h 768.2 Языковые свойства имен объектов. PAGEREF _Toc463868865 \h 768.3 Проблема выражения смысла. PAGEREF _Toc463868866 \h 778.4 Понятие искусственного языка. PAGEREF _Toc463868867 \h 788.5 Понятие и анализ парадоксов. PAGEREF _Toc463868868 \h 788.6 “Ахиллес и черепаха”. PAGEREF _Toc463868869 \h 798.7 Парадокс пустого множества. PAGEREF _Toc463868870 \h 808.8 Парадокс конечной достижимости в очереди. PAGEREF _Toc463868871 \h 808.9 Противоречивость в дедуктивных схемах PAGEREF _Toc463868872 \h 82ГЛАВА III PAGEREF _Toc463868873 \h 84Математическое моделирование случайных событий PAGEREF _Toc463868874 \h 84§ 9 Понятие вероятности случайного события. PAGEREF _Toc463868875 \h 849.1 Необходимость изучения случайных событий. PAGEREF _Toc463868876 \h 849.2 Относительная частота и вероятность случайного события. PAGEREF _Toc463868877 \h 859.3 Классическое определение вероятности. PAGEREF _Toc463868878 \h 86§10. Моделирование случайных событий случайными величинами. PAGEREF _Toc463868879 \h 8810.1 Понятие случайной величины. PAGEREF _Toc463868880 \h 8810.2 Геометрические вероятности. PAGEREF _Toc463868881 \h 8810.3 Парадокс Бертрана. PAGEREF _Toc463868882 \h 9010.4 Условия корректного моделирования случайного события PAGEREF _Toc463868883 \h 92Заключение PAGEREF _Toc463868884 \h 94Обозначения. PAGEREF _Toc463868885 \h 97Литература PAGEREF _Toc463868886 \h 98

ВВОДНАЯ ГЛАВА.Назначение знаковых языковых систем1. Язык как инструмент интеллектаРазвитие информационных систем и компьютерных технологий расширили горизонты интеллектуальных возможностей человека. Целью расширения таких возможностей является моделирование функций человеческого интеллекта и, в конечном счёте, автоматизации ряда процессов интеллектуальной деятельности. Что же это такое человеческий интеллект? Согласно энциклопедической информации принято считать, что интеллект – это способность человека реализовать процесс и продукт мыслительной деятельности. В процессе такой деятельности происходит отражение отношения объектов различной природы в виде мыслительных образов. Эти образы составляют субъективный информационный мир личности, а обмен информацией между людьми осуществляется посредством различных языковых систем. Знаковые или символьные языковые системы позволяют каждому индивидууму реализовать мысленную систему образов в виде языковых единиц – слов и их структурных образований – текстов.
Таким образом, мы приходим к пониманию того, что инструментом человеческого интеллекта являются языковые системы.
2. Функциональные свойства языковых системКакую знаковую систему мы можем считать языком?
Впервые определение языка через его функции дал великий математик Леонард Эйлер (1707 – 1763). Он писал: “Язык нужен людям, чтобы они могли следить за своими мыслями и развивать их, а также общаться друг с другом”, [1, с.282]. В связи с этим положением, выдвинутым Л.Эйлером, можно постулировать, что язык как знаковая система проявляется в следующих трёх функциях.
Три основополагающие функции языка, это:
отслеживание мысли (опорная функция);
формирование умозаключений (логическая функция);
средство общения (коммуникационная функция).
Множество человеческих языков как инструментов интеллекта многообразно, это языки музыки, живописи, национальной литературы, языки различных наук, в том числе и математических.
Какую же роль играет каждый язык среди множества языков – инструментов человеческого интеллекта?
Чтобы ответить на этот вопрос, вначале попробуем разобраться в том, как обрабатывает человеческий интеллект поступающую информацию об окружающем его мире. Начальную роль здесь играет взаимодействие опорной и логической языковых функций. Это взаимодействие языковых функций впервые систематически исследовал известный логик конца XIX века Готлоб Фреге (1848 – 1925). Вот его слова: “Нам удаётся управлять нашим вниманием и направлять мысль в желательное для нас русло благодаря знакам. Когда мы воспроизводим знак, то мы тем самым создаём определённую опору нашей мысли, – определённый центр, вокруг которого возникают различные представления. Из этих представлений мы выбираем одно и опять фиксируем его с помощью знака. Так удаётся шаг за шагом проникнуть во внутренний мир наших представлений и двигаться в этом мире в нужном направлении. Чувственно-наглядное (в форме знаков) позволяет нам не потонуть в потоке восприятий и представлений, непрерывно захлёстывающих наше внимание”.
Можно считать, что Фреге открыл «атомарную» структуру мышления в виде дискретных актов, которые формируют циклический процесс организации мыслительных образов из слов в предложения и тексты. Представим этот акт в виде следующей диаграммы, которая отражает процесс мышления как циклическую операцию над образами
Схема 1.1
Поступающая
информация

Продукт мышления – знаковая единица языка
Мыслительный образ
Реализация в знаковой системе
Согласно этой диаграмме, реализацию коммуникационной функции в виде текста можно считать итерацией, т.е. последовательной композицией, таких актов.
3. Определение и примеры языковых систем Три функции языковой системы можно объединить в определение языковых знаковых систем, представленное в виде следующего файла Ф.1
Ф.1 Определение символьного или знакового языка
Знаковая или символьная система, используемая для такой организации структуры мыслительных образов, которая представляет информацию, называется символьным или знаковым языком.
Рассмотрим некоторые примеры языковых систем.
Пример 1
Система дискретных звуковых знаков есть общепринятое понятие человеческого языка, являющегося средством общения.
Пример 2
Система последовательностей двух символов 0 и 1 представляет язык числовых кодов: 110001, 100100100, и т.д.
Пример 3. Система жестов или сигналов, при помощи которых передаётся информация: азбука Морзе, морские сигналы при помощи флажков, жестикуляция, при помощи которой общаются глухонемые люди.

Пример 4. Набор цветных красок, позволяющий создавать любые сочетания цветов и рисовать художественные картины.
Пример 5. Система знаков представляющих музыкальные звуки называется нотами и формирует язык музыки.
Ф.2
Нотные знаки гаммы целых звуков одной октавы

Пример 6. Система направленных отрезков формирует язык векторов в геометрии и физике.
Пример 7. Десятичная система знаков формирует язык действительных чисел.
Пример 8. Система дорожных знаков не является языком. В этой знаковой системе присутствует опорная функция, но отсутствует логическая функция, которая позволяет строить умозаключения.
4. Основные языковые понятияЯзыковой способ коммуникации, то есть передачи информации, основан на композиции знаковых единиц – потоке слов, организованных в предложения – тексты. Приведём те языковые понятия, при помощи которых формируется понятие текста любого языка в виде следующих файлов.
Ф.3Определение формального слова
Языковую знаковую или символьную единицу, представляющую мыслительный образ, назовём формальным словом
Ф.4 Определение формального предложения
Упорядоченное множество формальных слов, несущее в себе информацию законченного характера, назовём формальным предложением.
Ф.5 Определение формального текста
Последовательность формальных предложений, синтезирующая информационный поток, назовём формальным текстом.
Тексты, организованные в самостоятельные блоки, как это сделано выше, назовём файлами.
Ф.6 Определение файла
Текст
Файлы несут свой мыслительный образ, и поэтому их можно использовать для организации более сложных, нелинейных текстовых структур: каталогов, диаграмм, блок-схем и т.д., например, Схема 1, приведённая выше. Ещё пример – формирование понятия символьного языка в виде следующей блок-схемы:
Ф. 1
Ф. 4
Ф. 3
Ф. 5

5. Предметное назначение языковых системКаждый предмет (литература, математика, астрономия, экономика и т. д.) имеет свой язык. Разные модели одного предмета имеют разные языки, например:
литературное произведение на русском и английском языках;
геометрический и координатный языки в математических моделях;
геометрическая и аналитическая теории дифференцирования и интегрирования, и т. д.
Каждый из этих предметов и каждая из предметных моделей являются реализацией процесса мышления в виде языковой модели текста. Поэтому текст можно считать основным продуктом интеллектуальной деятельности. Следовательно, исследование интеллектуального уровня умственной деятельности и реализации интеллектуальных функций – это исследование языковых знаковых продуктов.
Вывод.
Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности интеллектуальной деятельности, отражающие мыслительные процессы в некоторой предметной области, реализуются в законах организации текстовых структур, несущих специфику данной предметной области.
А каковы общие закономерности знаковых языковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме? Имеют ли они общую природу независимо от предметной области?
Ответы на эти вопросы невозможны без анализа современных научных направлений, синтезированных исследованиями в психологии, лингвистике, математике, физики информационных процессов и др. и фактически подводит нас к проблеме моделирования смысловых отношений в знаковых системах, представляющих тексты.
В историческом плане работа в этом направлении только начинается. Впереди – открытия, которые помогут нам осознать закономерности функционирования интеллектуальных систем посредством изучения текстовых структур – основного интеллектуального продукта. С современным состоянием исследований в этом направлении можно познакомиться по трудам научных конференций, ссылки на которые можно найти в интернете по ключевым словам.
6. Цели краткого курса математики для гуманитариевДанное учебное пособие выполняет скромные функции семестрового курса математики, читаемого на гуманитарном факультете НГТУ.
Первой целью курса является знакомство с идеями и методами формирования математических языковых систем как инструментов реализации и оптимизации интеллектуальных функций в области математического предмета.
Автор считает, что математические тексты и структуры в определённом смысле являются образцами организации языковых систем, призванными создавать простейшие интеллектуальные продукты. Насколько значительна роль математических стереотипов в исследовании общих текстовых структур, автору неизвестно. Очевидно лишь то, что рождение новых информационных технологий и автоматизация интеллектуального труда требует ревизии понимания назначений многих сложившихся языковых систем в науке и практике, и соответствующие исследования лежат в пересечении гуманитарных и естественных наук.
Мы будем знакомиться с математикой, как с искусственным языком, и рассматривать математический язык в качестве интеллектуального ремесла. Поэтому достижение поставленной цели проходит через демонстрацию этого ремесла на примерах, доступных при начальном изучении числовых и геометрических структур.
Второй целью изучения математики следует считать обоснование того факта, что математика является искусственной составляющей естественного человеческого интеллекта, развиваемой самим интеллектом для оптимизации своей деятельности.
Если считать, что одна из целей развития информационных технологий есть автоматизация интеллектуального труда, то мы с необходимостью признаем, что возможность компьютерного оперирования «образами» связана с преобразованием образов человеческих мыслей на язык отношений в определенных математических структурах. Поэтому, для начала, необходимо ответить на следующие вопросы:
Как возникают математические структуры и что это такое?
Как устроены такие структуры и как они функционируют?
Изучению этих вопросов мы посвящаем первую и вторую главы, названных нами, соответственно, «формирование числовых и геометрических систем» и «структурные свойства аксиоматических теорий».
Ответ на поставленные вопросы позволит обнаружить ограниченность применения дедуктивных схем моделирования окружающего нас мира и с необходимостью прийти к моделям случайных событий. Этой теме посвящена третья глава «Математическое моделирование случайных событий».
В конце курса в заключении подводятся итоги в виде достигнутых целей и ответов на поставленные вопросы, о которых можно говорить только после ознакомления с данным курсом.
7. Вопросы и задания к теме «Назначение знаковых языковых систем»Вопросы.
Какими функциями, по Эйлеру, определяются языковые знаковые системы?
Как соотносятся между собой интеллект и мышление человека?
Что является аналогом слова, предложения и текста в музыкальной грамоте?
Что является аналогом слова, предложения и текста в живописи?
Задания.
Покажите, что в примерах 1-7 пункта 1.3 приведены языковые знаковые системы.
Приведите примеры знаковых систем, не являющихся языками.
Обоснуйте положение «язык – инструмент интеллекта и мышления»
“Господь Бог создал натуральные числа; все остальное дело рук человеческих”.
Леопольд Кронекер (1823-1891)
ГЛАВА IФормирование аксиоматических систем в математике§1. Формирование числовых системСистема натуральных чисел.
Человек обладает способностью образно различать количества предметов и представлять количественные образы в знаковой, или символьной, системе. Эта способность отражает свойство нашего интеллекта, которое мы называем умением считать или перечислять, а соответствующая символьная реализация этого процесса называется натуральным рядом.
Попробуем дать определение натурального ряда на русском языке, переведём это определение на английский, затем ещё на какой-нибудь язык и снова – на русский. К своему удивлению мы обнаружим, что получили новый текст, не вполне идентичный исходному. Несложно догадаться, что произошло. При переводе с другого языка мы подбираем слова, используя представителей класса синонимов, а математика использует слова как знаковые единицы, несущие вполне конкретный смысл. Чтобы избежать многозначности языкового толкования понятия «натуральный ряд», математики поступили следующим образом. Свойство человеческого интеллекта «перечислять объекты» рассматривается как функция интеллекта, сама же функция определяется наименьшим набором правил, которые полностью описывают действие этой функции. Чтобы найти искомые правила, построим файл, определяющий эмпирические, то есть опытные, способности человека, на которых основано построение интересующей нас знаковой системы натурального ряда.
Ф.1. Эмпирические свойства, определяющие построение натурального ряда
1о. Любой объект может быть выбран начальным элементом перечисления.
2о. Для любого количества перечисленных элементов определено единственное следующее за ним количество.
3о. начальному элементу не предшествует никакое количество.
4о. Двум одинаковым количествам предшествуют два одинаковых количества.
5о. Построенное множество количеств однозначно в том смысле, что все другие построенные таким образом количества совпадают и могут отличаться только символьными системами.
Теперь займемся формализацией перечисленных свойств. Это означает, что требуется построить систему аксиом (правил), отражающих перечисленные в файле операции 1о-5о в символьной форме.
Дадим символьную реализацию операций 1о-5о. Свойство 1о позволяет выбрать первый элемент, обозначим его 1. Свойство 2о устанавливает операцию следования на множестве элементов. Эту операцию представим в виде схемы
… → x → s(x) → …(1.1)
Заметим, что свойству 2о также удовлетворяет схема
… → x → s(x) → …
→ y (1.2)
Свойство 4о указывает, что схема (1.2) реализоваться не может. Свойство 3о устанавливает единственность первого элемента, и мы приходим к линейной цепочке
1 → s(1) → … → x → s(x) → …(1.3)
Эта цепочка образует «очередь», или, что, то же самое, линейный порядок. Последнее свойство 5о утверждает, что всякая другая линейная цепочка со свойствами 1о-4о будет отличаться только знаковой системой
1 → → … → → → …
При этом порядок следования и количество операций следования, необходимых для достижения данного элемента, не изменятся. Это означает, в частности, что если знак, обозначающий количество пять, следует за знаком количества четыре, то это свойство не зависит от того, в какой знаковой системе оно выражено.
Приведем в немного измененном виде систему аксиом Джузеппе Пеано (1858-1932), формализующую построение правил, записанных в файле Ф.1. При этом каждую аксиому сформулируем подробно и представим кратко на языке символов формальной логики, принятых в международной практике (см. обозначения на стр. 97).
Ф.2. Система правил, формирующих натуральный ряд.
Множество символов, элементы которого удовлетворяют следующим свойствам 1о-5о, называется натуральным рядом N.
1о. Некоторый элемент называется первым и обозначается символом 1:
x (x:= 1).
2о. Для всякого элемента x существует единственный элемент S(x) следующий за x:
x y (y = S(x))
x, y (y = x S(x) = S(y)).
3о. Единице не предшествует никакой элемент:
x (S(x) 1)
4о. Всякому элементу предшествует единственный элемент:
x, y (S(x) = S(y) x=y)
5о. Аксиома индукции. Пусть подмножество ΜΝ содержит 1, и для его элементов x выполняются свойства 2о-4о (обозначим выполнение свойств 1о-4о T(x)). Тогда Ν Μ.
x (xM)(T(x)) M=N
Заметим, что из этой системы правил нельзя выбросить ни одно. Попробуем, например, выбросить пятое правило. Для этого рассмотрим знаковую модель, предложенную норвежским математиком Торальфом Сколемом (1887-1963). К линейной цепочке (1.3) добавляются последовательности блоков вида
…→ a-2 → α-1 → α-0 → α1 → a2 → …
тогда в новой цепочке найдутся новые элементы, которые нельзя представить в виде конечного числа операций S. То есть, найдутся элементы “y” модели Сколема, которые не удовлетворяют условию
y = S (S (…S(1))),
где S (S (…S(1)))  конечное число композиций операции следования.
Такие элементы y назовем недостижимыми. Таким образом, наличие правил 1-4 позволяет построить только линейный порядок - очередь, но элементы этой очереди могут оказаться недостижимыми.
В школьной программе математики натуральный ряд строится в десятичной модели 1, 2, 3,…, n, n+1, …, в ней свойство конечной достижимости выполняется, т.к. десятичная запись содержит информацию о порядке числа. Десятичная система использует конечный цифровой алфавит 0, 1, 2, …, 9. Суть построения символа целого числа в этой системе в том, что вводятся операции сложения и умножения, и закон записи имеет вид a N
a = nn-1…10 = n˙10n + n-1˙10n-1 + …+ 1˙10 + 0 ,
где 0, 1, …, n(0, 1, …, 9)(n 0).
Поскольку операции сложения и умножения ранее не фигурировали в модели Ф.2, то для построения десятичной записи элементов натурального ряда следует добавить аксиомы, определяющие операции сложения, умножения и свойства этих операций.
Добавляя к аксиоматике натурального ряда новые операции вместе с определяющими их аксиомами, мы не только расширяем свойства натурального ряда, но и расширяем само множество натуральных чисел. Рассмотрим этот процесс подробнее.
Построение множества рациональных чисел.
Практическая необходимость перечислять предметы привела к формированию понятия натурального ряда. Одной из известных нам записей натурального ряда является римская знаковая система
I, II, III, …, IХ, Х, ХI, …
Практическая же необходимость арифметических операций над натуральными числами приводит к формированию более широкого класса величин - рациональным числам. Схематично это выглядит так:
Схема 1.2
Натуральный ряд N
 Операция сложения "+"; операция вычитания " " обратная к сложению.
Множество Z целых чисел (положительные, отрицательные и ноль)
Множество Z
 Операции: умножения "", обратная операция деление ":", операция сравнения.
Множество Q рациональных чисел
вида mn.

Вывод 1.
Множество чисел, представимых в виде несократимых дробей m/n, где: m, n, N, n 0 называется множеством рациональных чисел и обозначается Q. На этом множестве определены операции , , :, ≤, и результат действия этих операций над рациональными числами есть снова рациональное число.
Мы не будем обсуждать все свойства рациональных чисел, а ограничимся напоминанием свойств систематического представления рациональных чисел, известных из элементарного курса математики.
Наличие операций сложения и умножения позволяет построить представление целых чисел при помощи алфавита, содержащего К знаков, называемых цифрами.
Такое представление дается записью вида: a N
a = anKn+... + a1K+ao (1.4)
и называется систематической К-ичной записью по основанию К. Символы ao, a1, ... , an принимают одно из К значений 0,1,2, ... , K-1. Если K10, то для обозначения K цифр используют первые К цифр десятичной системы 0,1,2, ... , К-1. Для обозначения степеней оснований (классов) К1, К2, ..., Кn используются уже введенные числовые обозначения (классы “тиражируются” медленнее, чем числа, входящие в эти классы).
Запись целых чисел в K-ичной системе позволяет реализовать арифметические операции над рациональными числами в виде некоторых алгоритмов (известных в элементарной математике как правила «действий столбиком»), то есть правил выполнения последовательности простых операций над цифрами, представляющими рациональные числа.
В школьном курсе изучаются алгоритмы арифметических операций в десятичной системе.
Напомним для примера алгоритм сложения целых чисел.
Пусть а = 247 = 2 . 102 +4 . 10+7, b = 378 = 3 . 102 + 7 . 10 + 8. Требуется найти c = а+b.
Складывая цифры, нумерующие разряды единиц, десятков и сотен, получаем:
7+8 = 10+5 (единицы)
4 .10 + 7 . 10 = 102+10 (десятки)
2 . 102 + 3 . 102 = 5 . 102 (сотни)
Учитывая правила формирования разрядов, составляем десятичную запись числа c = а+в:
c = (102 +5 . 102) + (10+10)+5 = 6 . 102 +2 . 10+5 = 625
Кроме реализации арифметических операций, систематическое представление чисел дает алгоритм сравнения чисел по величине.
Для сравнения целых положительных чисел достаточно сравнить цифры разрядов по старшинству, например: 197<211, так как 197<2.102, а 211 > 2.102.
Алгоритм представления рационального числа mn в десятичной записи приводит к двум типам записи чисел, известным из школьного курса.
Всякое рациональное число может быть представлено конечной десятичной дробью вида:
αm…α1α0,β1…βn= αm∙10m+…+α1∙101+α0 + β110+β2102+…+βn10n, (1.5)
либо бесконечной периодической дробью вида:
αm…α1α0,β1…βnβ1…βn…=αm∙10m+…+α1∙101+α0++ β110+β2102+…+βn10n+β110n+1+β210n+2+…+βn102n+… (1.6)
Напомним также, что алгоритм десятичного представления рационального числа в виде (1.5) или (1.6) основан на следующем свойстве целых чисел:
для любых a,b N, (a > b) существуют m, n N, (m<a, n<b) такие, что
а = bm+n (1.7)
Замечание 1.
Запись рациональных чисел в виде (1.6) требует обоснования, которое заключается в объяснении сходимости числового ряда, т.е. существования конечного числа, являющегося результатом бесконечного суммирования в следующей записи:
β110+…+βn10n+β110n+1+…+βn102n+...+β110pn+1+…+βn10pn+n+... (1.8)
Объяснение того, что эта сумма представляет рациональное число, основано на том, что эта сумма есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Например, число 0,123123123… являющееся бесконечной периодической дробью преобразуется в запись p/q следующим образом:
0,123123... = 123103 + 123106 + ... = 123103∙1+1103+… = 123103∙11 - 1103 = 123103 - 1 = 123999=41333Здесь мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
a + aq + aq2 + … = a1-q , q<1 ,
где в нашем примере a = 1, q = 1103 .
Аксиоматика рациональных чисел.Конструктивное определение рациональных чисел Q дано в схеме 1.2. Приведем аксиоматическое построение множества рациональных чисел. Суть аксиоматического построения в том, что оно выдвигает такой минимум правил (аксиом), который обеспечивает построение множества Q со всеми операциями, перечисленными в п.1.2. Поэтому аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие действия с операциями сложения и вычитания, умножения и деления, сравнения чисел, и связь между этими операциями.
Определение 1.
Множество Q называется множеством рациональных чисел, а его элементы - рациональными числами, если выполняется следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой рациональных чисел:
Аксиомы операции сложения.
Для всякой упорядоченной пары х,у элементов из Q определен некоторый элемент х+у  Q, называемый суммой х и у. При этом выполняются следующие условия:
1. (Существование нуля) Существует элемент 0 (нуль) такой, что для любого хQ
х + 0 = 0 + х = х.
2. Для любого элемента х  Q существует элемент х  Q (противоположный х) такой, что
х + (х) = (х) + х = 0.
3. (Коммутативность) Для любых х,у  Q
х + у = у + х
4. (Ассоциативность) Для любых х,у,z  Q
х + (у + z) = (х + у) + z
Аксиомы операции умножения.
Для всякой упорядоченной пары х,у элементов из Q определен некоторый элемент ху  Q, называемый произведением х и у. При этом выполняются следующие условия:
5. (Существование единичного элемента) Существует элемент 1Q такой, что для любого х  Q
х 1 = 1 х = х
6. Для любого элемента х  Q , (х 0) существует обратный элемент х1 0 такой, что
хх 1 = х1х = 1
7. (Ассоциативность) Для любых х, у, z  Q
х (у z) = (х у) z
8. (Коммутативность) Для любых х, у  Q
х у = у x
Аксиома связи сложения и умножения.
9. (Дистрибутивность) Для любых х, у, z  Q
(х+у) z = x z+у z
Аксиомы порядка.
Всякие два элемента х, у,  Q вступают в отношение сравнения . При этом выполняются следующие условия:
10. (х у) (у x) x = у
11. (х у) (у z) x z
12. Для любых х, у  Q либо х < у, либо у < x .
Отношение < называется строгим неравенством,
Отношение = называется равенством элементов из Q.
Аксиома связи сложения и порядка.
13. Для любых x, y, z Q, (x y) x + z y + z
Аксиома связи умножения и порядка.
14. (0 x)(0 y) (0 xy)
Аксиома непрерывности Архимеда.
15. Для любых a > b > 0 существует m N и n Q такие, что m 1, n < b и a= mb+n.
Следствие.
Аксиомы множества рациональных чисел Q позволяют:
Построить систематическую запись рациональных чисел при помощи конечного алфавита (цифровых символов) в виде К-ичной системы.
Определить алгоритмы реализации операций , , :, в систематической записи рациональных чисел в выбранной К-ичной системе.
Необходимость расширения множества рациональных чисел.Решение задач, имеющих практический интерес, не исчерпывается арифметическими операциями над числами. Рассмотрим следующие две задачи измерения: длины отрезка и окружности при помощи выбранной единицы длины.
Задача 1.
Измерить длину диагонали квадрата, считая, что единица длины есть сторона этого квадрата.
Теорема Пифагора дает результат: искомая длина равна 2. Предположение о том, что 2 = p/q – несократимая рациональная дробь опровергается известным доказательством от противного. Предположим, что 2 = p /q, тогда p2= 2q2, откуда следует, что p =2k. Поэтому 2q2= 4k2 q = 2m. Следовательно, 2=2k/2m, что противоречит предположению, что исходная дробь несократима. Этот факт был известен ещё Пифагору.
Задача 2.
Измерить длину окружности, считая, что диаметр этой окружности есть единица длины.
Длина окружности L = 2R, где R – радиус. В нашем случае L=3,1415… . Число не является рациональным. То, что число не является рациональным числом, впервые было установлено в 1761 г. французским математиком Иоганном Генрихом Ламбертом (1728 – 1777).
Вывод 2.
Существуют числа, не представимые в виде p/q ни для каких целых p, q.
Эти числа не являются результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами, в противном случае можно было бы указать процедуру их вычислений за конечное число шагов.
Числа, не представимые в виде p/q ни для каких целых p, q, называются иррациональными.
Вывод 3. К понятию иррациональных чисел мы пришли в результате задач обычного измерения отрезков. А именно, мы решили результату измерения отрезка сопоставить определённое число. Оказалось, что множества рациональных чисел, вполне достаточного для реализации арифметических операций, выполняемых над заданным единичным отрезком, недостаточно для того, чтобы представить результат измерения произвольного отрезка.
Геометрически данная ситуация изображается на рисунках 1.1 и 1.2.
0 1 2 х
1
0 х


Рис.1.1 Рис.1.2
На рис.1 на оси ОХ согласно решению задачи 1 отложен отрезок равный диагонали квадрата с единичной стороной, конец этого отрезка отмечен символом 2. На рис.2 на оси ОХ согласно задаче 2 отложен отрезок равный длине окружности с единичным диаметром. Конец этого отрезка отмечен символом . Эта точка является образом точки О: если окружность прокатить вправо один раз по оси ОХ, то точка О совместится с точкой .
Таким образом, обычные задачи измерения отрезков потребовали расширить понятия рациональных чисел до понятия иррациональных чисел.
Множество всех рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел.
Нерациональные числа появляются и при решении алгебраических задач. Заметим, что величина 2 является решением уравнения x22=0. Действительные числа, являющиеся решениями алгебраических уравнений
xn + a1xn-1 + … +an-1x + a = 0 (1.9)
с целочисленными коэффициентами aiZ, k=1,…,n, называются алгебраическими числами. Таким образом, число 2 является алгебраическим числом и является результатом алгебраической операции – извлечения корня.
Фактически мы установили, что вычисление алгебраического числа 2 требует привлечения чисел, не являющихся рациональными. Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) доказал, что алгебраические числа являются либо целыми числами, либо не представимы в виде p/q ни для каких целых p, q Z.
Аксиоматическое построение множества действительных чисел.Конструктивное построение множества действительных чисел можно представить в виде схемы 1.3.
Рациональные числа Q
Непрерывные операции над множеством Q
Множество действительных чисел R
Схема 1.3.
Непрерывными операциями мы называем вычислительные алгоритмы, состоящие из арифметических и других простых операций (например, геометрических), пронумерованных натуральным рядом. Таким образом, для реализации непрерывной операции может потребоваться выполнение бесконечного множества арифметических операций. Описание непрерывных операций потребует разработки вспомогательных понятий. Избежать такой дополнительной работы можно аксиоматическим заданием множества действительных чисел. Поскольку рациональные числа являются подмножеством действительных чисел, то при расширении системы рациональных чисел мы сохраняем аксиомы рациональных чисел и добавляем утверждения (аксиомы), которые позволят нам решать задачи измерения любых отрезков.
Добавим к 15 аксиомам, определяющим в П. З. множество рациональных чисел Q следующую аксиому.
Аксиома непрерывности Кантора.
16. Пусть элементы x1, x2,…, xn ,…, и y1, y2,…, yn,… обозначают рациональные числа и удовлетворяют условию x1 < x2 < …< xn <…< yn <…y2<y1, и пусть для любого положительного рационального числа > 0 начиная с некоторого номера n выполняются условия: yk xk < , k = n, n+1, … . Тогда существует элемент Z такой, что при всех значениях n выполняется xn < Z < yn.
То, что элемент Z, о котором говорится в этой аксиоме, является единственным, несложно доказать от противного.
Определение 2.
Множество R называется множеством действительных чисел, а его элементы действительными числами, если они удовлетворяют всем тем же аксиомам 1-15, что и рациональные числа и, дополнительно, аксиоме непрерывности Кантора.
О представлении действительных чисел.Мы видели, что формирование числовых систем при помощи аксиоматик натуральных, рациональных и действительных чисел связано с выполнением следующих интеллектуальных функций: перечисление объектов (операция счёта), арифметические операции над натуральными числами и, наконец, измерение длин геометрических протяжённостей. Для реализации этих операций надо построить символьную систему, в которой станет возможным выполнение указанных функций нашего интеллекта. Таким образом, наша цель – решение следующей задачи.
Задача 3.
Построить символьную запись действительных чисел, в которой: а) допустимо измерение длины любого отрезка, б) реализуются арифметические операции над действительными числами.
Мы покажем, что запись действительных чисел в десятичной системе является подходящей для этой цели.
Нам потребуется понятие взаимно-однозначного соответствия множеств.
Определение взаимно-однозначного соответствия. Будем говорить, что между элементами х множества Х и элементами у множества У установлено взаимно-однозначное соответствие у fx), если каждому х из Х соответствует единственный у из У и наоборот, для каждого у из У существует единственный х из Х такой, что у fx).
Для решения задачи а) достаточно установить, что между точками прямой и действительными числами в десятичной записи существует взаимно-однозначное соответствие. Для простоты ограничимся записью чисел x [0,1]. Пусть точка М –произвольная точка единичного отрезка прямой. Разобьём этот отрезок на 10 равных частей и пронумеруем эти отрезки цифрами 0, 1, 2, …,9, разместив их с левой стороны отрезков, рис 1.3
0 М1
012……89

Рис. 1.3.
Если точка М попала в отрезок под номером α1, где α1 одно из чисел 0,1,2, 3, …, 9, то этой точке на данном этапе построения сопоставим число х 0,α1 и разделим этот α1-отрезок снова на десять равных частей, рис. 1.4. Точка М окажется в каком-то отрезке под номером α2, лежащем в предыдущем отрезке, и мы напишем х 0,α1 α2,
1 М 1+1
012……89

Рис. 1.4.
Продолжая этот процесс, мы можем оказаться в одной из следующих трёх ситуаций.
1) На n-ном этапе этого процесса точка М совпадёт с риской, разделяющей два смежных отрезка. Выберем для нумерации левый отрезок и закончим процесс построения координаты точки М. В этом случае точке М будет соответствовать координата
х 0, α1 α2 …αn,
имеющая конечную десятичную запись и являющаяся рациональным числом.
2) Точка М никогда не совпадёт с риской деления, процесс построения приведёт к бесконечной десятичной записи, в которой с некоторого места возникают периодические блоки вида α1 α2 …αk. В этом случае точке М ставится в соответствие координата в виде бесконечной периодической десятичной дроби (для простоты мы выписали случай, когда блоки стали повторяться с самого начала)
х 0, α1 α2 …αk α1 α2 …αk … α1 α2 …αk…
Как мы видели при построении рациональных чисел в п.1.2, эта запись так же представляет рациональное число.
3) Процесс построения приведёт к бесконечной непериодической десятичной записи, в которой нет повторяющихся блоков. Десятичной записью координаты точки М будет запись
х 0,α1 α2…αn…
которую назовём бесконечной непериодической десятичной дробью. В этом случае число х является иррациональным.
Таким образом, мы исчерпали все возможные появления десятичного адреса заданной точки М. Теперь надо проверить, что бесконечная десятичная запись определяет некоторое число. Для периодических дробей мы этот факт установили. Для непериодических дробей существование числа следует из оценки
αk10k≤910k, где k=1,2,3,…
Применяя эту оценку, получим
α110+α210+…+αk10+…≤9101+110+…+110k+…≤910∙11-110=1.Таким образом, запись вида х 0, α1 α2…αn… определяет число, меньшее единицы.
Замечание 2. В построении координат точки М мы воспользовались следующим свойством прямой. Последовательность вложенных друг в друга отрезков прямой при условии уменьшения их длин (на k-том шаге нашего процесса длина промежутка равна 1/10k) стягиваются к точке и эта точка единственна. Такое свойство прямой мы увидим при формировании аксиоматики геометрии Евклида в следующем параграфе.
Итак, для произвольной точки единичного отрезка мы построили её числовое значение в виде конечной или бесконечной десятичной записи.
Теперь решим обратную задачу. Покажем, что каждой из возможных записей действительного числа в десятичной системе соответствует некоторая точка М на прямой. Для этого десятичную запись рассмотрим как адрес этой точки на прямой. Первый знак α1 в десятичной записи х 0, α1 α2…αn … укажет положение точки М с точностью до 1/10, два знака α1 α2, определят точку М с точностью до 1/100, и так далее. Запись х 0, α1 α2…αn с n знаками после запятой определят точку М с точностью до 10-n. Если десятичная дробь конечна, то мы получим точное положение точки М. Если десятичная запись бесконечна, то процесс сужения промежутка нахождения точки теоретически может продолжаться до как угодно малого промежутка. Тогда согласно аксиоме Кантора (16-той в списке аксиом действительных чисел) найдётся общий элемент для всех промежутков и этот элемент является действительным числом.
Теперь обратимся к решению задачи б) о реализации арифметических операций над числами в десятичной записи. Если число является рациональным и имеет конечную десятичную запись, то все арифметические операции выполняются по правилу действия «столбиком» известным из школьного курса. Если число записывается бесконечной дробью, то в случае рационального числа можно вернуться к записи pq и проделать с ним арифметические операции. Если число иррациональное или рациональное с очень большим периодом, то оно заменяется близким рациональным числом с конечной десятичной записью и над ним совершаются операции по правилу «столбика». Какова будет потеря точности вычислений при замене бесконечной десятичной дроби конечной её частью? Рассмотрим десятичные приближения. Пусть m/n = a0, a1…ak – десятичное приближение с k знаками после запятой числа = a0,a1…akak+1… . Тогда погрешность этого приближения определяется разностью:
| – m/n | = ak+1/10k+1 + ak+2/10k+2 + … < 9/10k+1(1 + 1/10 +…) =
= 9/10 k+11/(1–1/10) = 1/10k
Любые практические измерения и вычисления имеют разумный предел точности, который устанавливается, исходя из реальных потребностей. Поэтому, выбирая достаточно хорошее приближение числа с длинной десятичной записью числом с разумно короткой десятичной записью, мы реализуем арифметические операции с необходимой точностью.
Замечание 3.
Можно поставить следующую задачу: построить такое представление действительных чисел, в котором иррациональные числа приближаются рациональными числами наилучшим образом. Рациональная дробь p/q приближает иррациональное число наилучшим образом, если для любого рационального числа m/n с nq выполняется равенство |–p/q| < |–m/n|.
Для приближений лучших, чем десятичные приближения используются представление числа цепной дробью, [6]. Если p/q - конечная цепная дробь, приближающая число , то [2], стр. 46, |–p/q| < 1/q2.
Таким образом, представление числа цепной дробью «более экономично», чем представление десятичной дробью.
Эффективные алгоритмы арифметических операций для представлений чисел в виде цепных дробей до сих пор не найдены, [2], стр. 29-30.
Языковые свойствах числовых систем.
В предыдущих пунктах 1.1 – 1.6 построены три числовые знаковые системы:
- система натуральных чисел N, предназначенная для реализации интеллектуальной функции перечисления объектов;
- система рациональных чисел Q , в которой реализуются арифметические операции;
- система действительных чисел R , которая даёт возможность как измерять протяжённости, так и реализовывать арифметические операции.
Напомним, что согласно определению Л. Эйлера знаковая система образует язык, если позволяет реализовать следующие три интеллектуальные функции. Сформировать образ – реализация опорной функции; построить умозаключение или, что то же, отследить смысл – логическая функция; реализовать эти две функции в виде высказывания – коммуникационная функция.
Несложно убедиться в том, что все три упомянутые числовые системы позволяют реализовать указанные функции. Поэтому можно заключить, что натуральный ряд – это язык счёта, рациональные числа – язык арифметики и, наконец, действительные числа – это язык измерений и арифметики одновременно.
Отметим некоторые свойства этих языковых систем.
1. Свойство оптимизации интеллектуальной деятельности. Действительно, эти языки построены с целью оптимизации интеллектуальных функций счёта, вычислений и измерений.
2. Язык натуральных чисел является простейшим среди всех языковых систем. Это следует из того, что любой язык среди прочих интеллектуальных функций реализует и функцию перечисления объектов. Язык натурального ряда реализует только функцию перечисления.
Рассматривая задачу измерения отрезков прямой действительными числами, мы установили взаимно-однозначное соответствие между множеством точек прямой и множеством действительных чисел в десятичном представлении. Это позволяет визуализировать арифметические операции, изображая результаты сложения, вычитания и деления отрезков прямой. Так, например, сумму двух действительных чисел 2 можно вычислить с любой степенью точности в десятичной системе, а можно и изобразить как суммарный отрезок, используя построения в задачах 1 и 2 из п.1.4. При этом результат суммы в одной из этих реализаций будет соответствовать результату суммы в другой реализации. То же можно сказать и об операциях вычитания, умножения и деления.
Взаимно-однозначное соответствие между множествами, которое сохраняет результат операций на этих множествах называется изоморфизмом.
Учитывая это понятие изоморфизма, мы устанавливаем следующее свойство.
3. Десятичная (и вообще, любая k-ичная) знаковая реализация действительных чисел изоморфна геометрической реализации действительных чисел в виде отрезков прямой.
Это свойство является простейшей демонстрацией удивительной способности человеческого интеллекта представлять свои чувства в числовом формате.
Вопросы и задания к теме «числовые системы». Вопросы.
1. Какую роль играет аксиома индукции в аксиоматике натурального ряда Д. Пеано?
2. Объясните, почему языка рациональных чисел не достаточно для реализации процессов измерения отрезков?
3. Какую роль играет аксиома Архимеда в аксиоматике рациональных чисел?
4. Какие интеллектуальные задачи реализуют языки натуральных, рациональных и действительных чисел?
5. Какую роль играет аксиома о вложенных промежутках в аксиоматике действительных чисел и как строится взаимно-однозначное соответствие между действительными числами и точками евклидовой прямой?
6. Используется ли в практической деятельности человека полная модель действительных чисел, или для практических нужд достаточно рациональных чисел? Почему?

Задания.
1. Покажите, что системы натуральных, рациональных и действительных чисел независимо от выбора знаковой реализации являются языковыми системами в смысле Л. Эйлера.
2. Как можно представить «слова» и «предложения » в языке рациональных чисел, действительных чисел? Приведите пример текстового формата в этих языках.
3. Постройте изоморфизм между реализацией действительных чисел в десятичной системе и геометрической реализацией в виде отрезков евклидовой прямой.
( Указание: задать единичный отрезок на евклидовой прямой, а операции умножения и деления определить как порции этого отрезка; использовать алгоритм построения рациональных чисел циркулем и линейкой на евклидовой прямой.)
4. Покажите, что реализации действительных чисел в виде k-ичных систем изоморфны для различных k 2, 3, …, n.
5. Как связаны аксиома Кантора «о вложенных отрезках» на евклидовой прямой и аксиома о вложенных промежутках в аксиоматике действительных чисел?
§2. Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии.2.1. О “Началах” Евклида.2.1.1. Структура «Начал» ЕвклидаАлександрийский ученый Евклид, живший в третьем веке до нашей эры, впервые в истории предпринял попытку глобальной систематизации математических фактов по дедуктивной схеме. Его “Начала” состояли из 13 книг, которые представляли собой, по существу, главы, посвященные отдельным вопросам математики. В них дано безупречное для того времени построение геометрии. Евклид начинал изложения с определений, постулатов и аксиом. Затем идут теоремы, которые представляют собой умозаключения, основанные на постулатах, аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах.
Математические построения начинаются с 23 определений. Приведем некоторые из них:
Точка есть то, что не имеет частей;
Линия же - длина без ширины;
Концы линии - точки;
Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней;
Параллельные прямые это прямые, которые находятся в одной плоскости и при неограниченном продолжении ни с той, ни с другой стороны не пересекаются и т.д.
Далее Евклид излагает постулаты и аксиомы, формулировки которых представляют для нас лишь исторический интерес.
Постулаты:
От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
Каждую прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
Из любого центра можно описать окружность любым радиусом.
Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние по одну сторону углы, меньшие в сумме двух прямых, то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы в сумме меньше двух прямых.
Аксиомы:
Равные одному и тому же равны между собой.
Если к равным прибавляются равные, то целые будут равны.
Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
Если к неравным прибавляются неравные, то целые будут не равны.
Удвоенные одного и того же равны между собой.
Половины одного и того же равны между собой.
Совмещающиеся друг с другом равны между собой.
Целое больше части.
Две прямые не содержат пространства.
Построения оснований геометрии были проделаны Евклидом с большим мастерством. “Начала” Евклида затмили сочинения его предшественников, и на протяжении более чем двух тысяч лет “Начала” представляли образец математической строгости изложения научных знаний по дедуктивной схеме.
2.1.2 Историческое значение «Начал» ЕвклидаСистематизация знаний, в том числе и в математике, в виде предметных энциклопедических сведений возникла очень и очень давно. Люди копили знания о съедобных и лекарственных растениях, строительных материалах, культуре земледелия и животноводства, о военном опыте и так далее. Но уже при возникновении первых инженерных технологий (конструирование при помощи системы рычагов, блоков и их соединений) потребовался другой способ систематизации знаний, такой, который позволил бы человеку мысленно создавать новые проекты конструкций, другими словами, на основе простых моделей строить более сложные. Так возникла необходимость систематизация знаний в виде дедуктивной схемы, в которой отправными объектами были эмпирические законы (у Евклида это постулаты) и правила логических действий (у Евклида это аксиомы). Такая дедуктивная систематизация знаний могла быть основана только на особом абстрактном языке символов, и такие символы уже имелись в математических языках: натуральных числах, рациональных числах, имелись объекты языка геометрии – точки, прямые, плоскости. Эти языковые объекты составили основу первой попытки систематизации знаний в виде дедуктивной схемы, и эта схема получила название «Начала» Евклида. На интуитивном уровне «Начала» предвосхитили многие математические построения, по образу и подобию «Начал» вплоть до середины девятнадцатого века формировались многие исследования в математических дисциплинах, а так же в механике и физике.
Вывод. «Начала» Евклида были первой исторической попыткой систематизации знаний в виде дедуктивной схемы. Предпосылкой появления дедуктивного метода построения знаний явилось развитие конструкторской деятельности древней инженерии.
2.1.3 Историческое развитие дедуктивной схемы «Начал» ЕвклидаС точки зрения современной математики дедуктивные построения Евклида не отражают всех отношений между геометрическими элементами, необходимых для строгих логических рассуждений. В его «Началах» отсутствуют также необходимые требования, предъявляемые к аксиоматическим теориям для построения строгой дедуктивной схемы в геометрии. На том историческом уровне развития математики не была чётко сформулирована роль постулатов и аксиом и неясными были требования, которые должны были предъявляться к аксиомам и постулатам. В связи с этим, невозможно было выделить базовые объекты в геометрии и указать основные отношения между ними для реализации дедуктивной схемы, поэтому часть определений оказалась логически не задействованной, а сами доказательства опирались на ряд неопределяемых понятий. Как следствие этого, четвёртый постулат был вскоре доказан.
А вот пятый постулат о параллельности прямых, который сформулирован в предыдущем пункте, создал интригу на два тысячелетия вперёд. Дело в том, что этот постулат эквивалентен следующему утверждению. Существует одна и только одна прямая, которая проходит через заданную точку и параллельна заданной прямой (не пересекает заданную прямую). То, что существует хотя бы одна такая прямая, было доказано еще Евклидом без ссылки на постулат о параллельности, (см. ниже п. 2.2.5, замечание 4). Если бы удалось доказать, что эта прямая в то же время единственна, то пятый постулат оказался бы доказанным. Иллюзия того, что эта прямая единственна долго оставалась и доминировала в математической среде. Поэтому математики пытались в течение двух тысяч лет этот факт доказать. Но каждый раз оказывалось, что при доказательстве неявно использовалось утверждение эквивалентное пятому постулату. Так, в попытке доказать пятый постулат, развивалась техника геометрических доказательств. Параллельно также развивались геометрические представления в описании объектов механики, астрономии и физики вплоть до конца девятнадцатого столетия. Развивались и инструменты языка дифференциального исчисления математики в механике и физике, и математики пришли к следующим выводам. При аксиоматическом изложении теории требуется выдвинуть следующие требования, во-первых, к аксиомам как утверждениям, принимаемым без доказательства в качестве эмпирических свойств объектов теории, во вторых, к самим объектам теории, и, в третьих, требуется точно указать список отношений, в которые вступают объекты выстраиваемой теории.
Вывод. Требования, предъявляемые к дедуктивному методу построения теорий, могли быть осознаны математиками и появиться только на определённом историческом этапе развитии математики, как языковом инструменте механики, астрономии и физики.
2.2 Аксиоматика Д. Гильберта(1862-1943)
На рубеже двадцатого века в геометрии был принят новый аксиоматический подход в геометрии – аксиоматика Давида Гильберта. Эта аксиоматика появилась в 1899 г. как триумф работы целой группы выдающихся математиков и с небольшими изменениями до сих пор считается одним из современных аксиоматических обоснований евклидовой геометрии. Вся система аксиом состоит из 20 аксиом и содержит 26 требований, которые описывают 5 видов отношений между тремя основными геометрическими объектами точками, прямыми и плоскостями. Отметим, что эти основные геометрические объекты точки, прямые и плоскости никак не определяются, рассматриваются как первичные понятия, суть которых раскрывается через описываемые отношения. По типам отношений аксиомы образуют 5 групп и формируются следующим образом:
2.2.1 Группа 1. Аксиомы соединения.
Эта группа аксиом описывает отношения инцидентности (связи и принадлежности) между точками, прямыми и плоскостям.
Для любых двух различных точек существует прямая, инцидентная этим точкам.
Для любых двух различных точек существует не более одной прямой, инцидентной этим точкам.
Для каждой прямой существуют, по крайней мере, две точки, ей инцидентные. Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.
Для любых трех точек, не инцидентных прямой, существует плоскость, инцидентная этим точкам. Для каждой плоскости существует, по крайней мере, одна точка, ей инцидентная.
Для трех различных точек, не инцидентных прямой, существует не более одной плоскости, инцидентной этим точкам.
Если две точки прямой инцидентны плоскости, то каждая точка этой прямой инцидентна плоскости (т.е. вся прямая инцидентна плоскости).
Если две плоскости имеют точку инцидентную им, то существует, по крайней мере, еще одна точка, им инцидентная.
Существуют четыре точки, не инцидентные одной плоскости.
Заметим, что аксиомы 3 и 4 содержат по два требования. Приведем примеры типичных утверждений, доказываемых в группе 1.
Теорема 1.
Две различные точки определяют одну и только одну прямую им инцидентную.
Теорема 2.
Три точки, не инцидентные одной прямой определяют одну и только одну плоскость им инцидентную.
Теорема 3.
Прямая и не инцидента ей точка определяют одну и только одну плоскость, им инцидентную.
И так далее.
2.2.2 Группа 2. Аксиомы порядка.
Аксиомы этой группы определяют линейный порядок точек на прямой и понятие полуплоскости относительно прямой на плоскости, первая аксиома содержит два требования.
9. Если А,В,С - три точки инцидентные прямой, и точка В лежит между точками А, С, то: а) точки А,В,С различны; б) точка В лежит между точкой С и точкой A.
10. Для любых двух точек А, В, инцидентных прямой а, существует точка С прямой а такая, что точка В лежит между точками А и С.
11. Для трех различных точек, инцидентных прямой, существуют не более одной из них, которая лежит между двумя оставшимися.
Для формулировки следующей аксиомы требуется дать некоторые определения, являющиеся логическими следствиями уже сформулированных аксиом 1-11.
Определение.
Две точки А и В определяют на прямой отрезок АВ.
Следствие.
Согласно аксиомам 9-11 на этой прямой существуют точки, внешние и внутренние по отношению к отрезку АВ.
Определение.
Совокупность трех точек А, В, С, не инцидентных одной прямой, и трех отрезков АВ, АС и ВС называется треугольником.
Аксиома Паша.
12. Пусть задан треугольник АВС и в его плоскости прямая а, не проходящая через точки А, B, C. Если прямая а пересекает одну сторону АС треугольника, то она пересекает, по крайней мере, еще одну сторону.

Е
D
B
C
A

Рис. 2.1
E
D
B
Вот типичная теорема этой группы аксиом.
Теорема 4.
Отрезок АВ имеет бесконечное множество внутренних точек (т.е. точек, лежащих между точками А и В).
Схема доказательства.
(1) существует точка С, не принадлежащая прямой АВ, (акс.3), рис.2.1;
(2) существует точка D на прямой АС такая, что точка C лежит между А и D;
(3) существует прямая ВD, (акс.1-2) и существует точка Е такая, что D лежит между В и Е;
(4) прямая ЕС по аксиоме Паша имеет общую с АВ точку F1 (иначе ЕС совпадет с ЕD).
(5) аналогично доказывается, что на АF1 существует еще одна точка F2, и т.д.
Теорема доказана.
Примечательно то, что для доказательства существования внутренних точек отрезка приходится “выходить” на плоскость. Далее можно определить понятия луча, полуплоскости, угла, многоугольника и т.д.
2.2.3 Группа 3. Аксиомы конгруэнтности.Отношение конгруэнтности понимается как отношение равенства, идентичности геометрических объектов. Группы аксиом 1-3 позволяют доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами, определить понятие движения в геометрии и установить признаки конгруэнтности геометрических фигур. Первая аксиома этой группы содержит два требования, а четвертая три.
13. Пусть дан отрезок АВ, а также прямая а/ и точка . точка с заданной стороны относительно точки такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку (обозначим это А´В´ = АВ), требуется также, чтобы АВ=ВА.
14.
15. Пусть АВ и ВС – отрезки на прямой , пусть АВВС=В, пустьи лежит между и .
16. Пусть есть угол с вершиной О. Для любой точки и любого выходящего из нее луча можно построить в заданной плоскости, инцидентной , по любую сторону от один и только один, второй луч такой, что .
Требуется также, чтобы (это означает, что угол конгруэнтен самому себе) и
17. Пусть даны два треугольника АВС и таких, что , , тогда .
На основании аксиом конгруэнтности вводятся понятия прямого угла, смежных и вертикальных конгруэнтных углов, операции сравнения углов и отрезков. Отрезок АВ больше отрезка СD, обозначается АВ>СD, если при совмещении точек А и С и откладывании точек В и D по одну сторону от точки А на некоторой прямой, точка D будет лежать между А и С.
В этой группе аксиом доказываются три признака конгруэнтности треугольников, свойства равнобедренных и равносторонних треугольников и т.д. Справедлива также теорема о внешнем угле треугольника в слабом варианте (известная еще Евклиду).
Теорема (о внешнем угле треугольника).
Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника.
Аксиомы 13-17 позволяют ввести операцию движения в геометрии.
Определение движения.
Взаимно-однозначное соответствие точек плоскости называется движением, если соответствующим парам точек , соответствуют конгруэнтные отрезки
Замечание 1.
В этой группе вместо аксиом 13-17 можно аксиоматически задать движение и некоторые его свойства. Тогда аксиомы 13-17 будут являться теоремами, которые доказываются на основании аксиом движения.
Вывод 1.
Аксиомы 1-17 первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом. В этой геометрии есть конгруэнтные и правильные фигуры, определено понятие движения, совмещающего конгруэнтные фигуры и т. д.
Но в этой геометрии еще нет понятия параллельного переноса, не определено соответствие между действительными числами и точками прямой, поэтому отсутствуют понятия длины отрезка, а также площади и объема геометрических фигур. Следовательно, в этой геометрии еще нет понятия расстояния и понятий «близости» и «непрерывности», связанных со свойствами расстояния между точками. Хотя абстрактные понятия близости и непрерывности уже можно вести на языке шаровых окрестностей.
Действительно, шаром В(O, OА) с центром в точке О и радиусом ОА назовем все точки М такие, что ОМ<ОА. Далее, шар В(О,ОА1) B(О,ОА2), если ОА1<ОА2, таким образом, множество окрестностей точки О есть множество всех шаров В(О, ОРк ), k, где Рк- любая точка пространства. Определим последовательность точек МкВ(О,ОРк), k условиями а) и b):
а) ОР1>ОР2>…>ОРк>…, что означает, что мы имеем последовательность вложенных шаров В(О,ОР1)В(О,ОР2)… В(О,ОРк) …;
b) МкВк+1 кN, что означает, что каждая последующая точка выбирается в следующем вложенном шаре.
Вывод 2.
Используя лишь аксиомы групп I-III мы не сможем установить существование предела у последовательности М1, М2, …, Мк, … , а в случае существования этого предела мы не сможем доказать его единственность.
2.2.4 Группа 4. Аксиомы непрерывности.Для описания свойства непрерывного расположения точек на прямой, взаимно-однозначного соответствия между точками прямой и действительными числами, определения длины отрезка и величины угла, установление взаимно однозначного соответствия между длинами всех отрезков и множеством действительных чисел вводятся две следующие аксиомы.
AC D 2 СD … B n CD
n CD
Рис. 2.2.
18. Аксиома Архимеда. Пусть даны два произвольных отрезка АВ и СD; существует такое натуральное n, что n·СD>АВ, (n-1)CD≤ AB, (n·СD - обозначаем отрезок, полученный откладыванием отрезка СD n раз так, что конец предыдущего откладывания есть начало следующего и два последовательных отрезка имеют только одну общую точку, рис.2.2).
19. Аксиома Кантора. Пусть на прямой дана последовательность отрезков [A1,B1], [A2,B2], …, [AN,BN], …, удовлетворяющая двум требованиям: 1) каждый последующий отрезок содержится в предыдущем 2) не существует отрезка, принадлежащего всем отрезкам последовательности. Тогда существует точка M, принадлежащая всем отрезкам последовательности, рис. 2.3.
[ [ [ … … ] ] ]
A1 A2 A3 . . . M . . . B3 B2 B1

Рис. 2.3.
Аксиомы непрерывности 18-19 в геометрии и аксиомы непрерывности Архимеда и Кантора действительных чисел позволяют установить взаимно однозначное соответствие между значениями длин всех отрезков и действительными числами так, что конгруэнтным отрезкам соответствуют равные значения длин.
Замечание 2.
Геометрия, построенная на 19 аксиомах групп 1-4, называется абсолютной геометрией. В этой геометрии ещё нет понятия параллельности прямых и параллельного переноса, поэтому ей принадлежат те и только те ,утверждения, которые не используют явно или неявно свойства параллельности прямых линий.
Замечание 3.
Конгруэнтные отрезки в абсолютной геометрии имеют равные длины, а конгруэнтные фигуры – равные числовые меры углов, площадей и объемов. Поэтому отношение двух фигур «быть конгруэнтными» в абсолютной геометрии превращается в числовые равенства длин, углов, площадей и объемов фигур или их частей.
В абсолютной геометрии определено расстояние (А,В) между любыми точками А и В, если определено понятие длины отрезка на прямой.
(А,В) = длине отрезка АВ.
Расстояние обладает свойствами:
(А,В) > 0АВ
(А,С) (А,В)+(В,С), А,В,С
Причем равенство выполняется только для точек А, В, С, лежащих на одной прямой так, что A<B<C.
Вывод 3.
Абсолютная геометрия содержит понятия числовых равенств элементов фигур (сторон, углов и т. д. ). В этой геометрии существует понятие «близости» и «непрерывности» основанные на понятии расстояния между точками фигур.
2.2.5 Группа 5. Аксиома параллельности (евклидовой геометрии).20. Через любую точку А не инцидентную прямой “a” , можно провести в плоскости (определяемой этой точкой А и прямой “a”) не более одной прямой, не пересекающейся с “a”.
Замечание 4.
То, что через точку А вне прямой “a” можно провести хотя бы одну прямую “b” не пересекающуюся с “a”, аb =, мог доказать еще Евклид.
Действительно, опустим перпендикуляр АВ на прямую “a”. Затем восстановим в точке А перпендикуляр “b” к прямой АВ (рис.2.3.).
A
B
a
P
b
Рис. 2.3
Если существует пересечение прямых “a” и “b” в точке Р, то в треугольнике АВР имеем прямой угол В равный внешнему прямому же углу при вершине А. Это противоречит теореме о внешнем угле треугольника (доказанной на основании I-III групп аксиом!). Следовательно, “b””а”=.
Итак, одна прямая, проходящая через точку и не пересекающая заданную прямую, существует. Но другую, отличную от этой, прямую никто построить не мог. Это породило иллюзию, что аксиома параллельности (V-постулат в «началах» Евклида) может быть доказана. На протяжении почти двух тысяч лет геометры пытались вывести V постулат из остальных, рассуждая от противного. Лишь в XIX веке Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792-1856) удалось построить мыслимую непротиворечивую геометрию, основанную на отрицании V постулата. Историческую роль V постулата мы исследуем отдельно, познакомившись с требованиями, предъявляемыми к системе аксиом.
2.3 Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта.
Огромное значение аксиоматики Д. Гильберта для всей математики, и геометрии в частности, неоспоримо и продолжает исследоваться до сих пор. А о той роли, которую сыграли выделенные ниже два «недостатка» упоминается нечасто, так как эти «недостатки» не влияют на формирование дедуктивной схемы в евклидовой геометрии. Можно сказать, что эти «недостатки» составляют суть дедуктивной схемы формирования евклидовой геометрии.
Первым недостатком является «язык» аксиоматики. Дело в том, что часть формулируемых аксиом содержит понятия, обоснование которых проводится на уровне теорем существования, доказываемых из предыдущих аксиом. Например, формулировка аксиомы Паша требует понятия отрезка и существования его внутренних точек (последнее приходится доказывать на основе уже сформулированных ранее аксиом, см. теорему 4 в группе II Аксиом порядка). Далее, требование откладывания конгруэнтного угла с заданной стороны прямой в аксиоме 16, требует доказательства существования двух сторон, на которые всякая прямая разбивает плоскость. Есть еще немало замечаний, которые, вместе с отмеченными выше двумя, приводят к вопросам о взаимной совместимости и зависимости аксиоматических требований и критериях проверки этих требований.
Второй «недостаток» состоит в том, что описание отношений между основными геометрическими объектами - точками, прямыми и плоскостями, приведенное в аксиоматике Д. Гильберта, не может быть индуктивно перенесено на «мыслимые» свойства «мыслимых» же геометрических объектов размерности большее трех. Необходимость построения многомерной геометрии была продиктована задачами аналитической механики систем n-точек уже в XIX веке. В XX веке модель многомерной геометрии возникла в экономических задачах линейного программирования и других задачах естествознания и социальной практики человека, а к концу ХХ века появились компьютерные модели, где размерность геометрического пространства определялась пиксельной размерностью мониторов персональных компьютеров (об этом будет сказано при построении векторных структур).
2.4 Структурный характер аксиоматики Д.ГильбертаАксиоматический подход, предложенный Д.Гильбертом, представил математическому миру совершенно новую дедуктивную схему систематизации геометрических знаний в виде геометрического языка. Выясним суть этой схемы. При построении аксиоматики выделяются основополагающие объекты Q(Q1,Q2,Q3) теории (в геометрии это точки, прямые и плоскости), которые изначально не определяются и имеют эмпирическое (опытное) происхождение, а строительная роль выделенных объектов раскрывается аксиоматикой. Каким образом? Задаётся основной набор отношений (они перечислены в предыдущем пункте) P(P1, P2, …, P5) , в которые вступают объекты Q(Q1,Q2,Q3) и формируют как новые отношения, так и новые объекты. Отношения P между объектами Q регулируются аксиомами T (T1 , T2, …, T20). В течение нескольких десятилетий, после появления аксиоматики Д.Гильберта, по этой схеме были построены основные математические языки, которые стали называться системами или структурами. Именно по такой схеме мы построили системы натуральных, рациональных и действительных чисел. И по этой же схеме продолжим построение следующих математических языков.
2.5. Вопросы и задания к теме «Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии».Вопросы.
1. Какую роль играют аксиомы и постулаты в «Началах» Евклида?
2. Каково историческое значение «Начал» Евклида?
3. Почему аксиоматика Гильберта разбита на пять групп?
4. Как устроена схема аксиоматики Гильберта?
5. Какие недостатки имеет аксиоматика Гильберта?
6. Почему систематизация математических языков по дедуктивной схеме начиналась с геометрического языка, а не с более « простых» числовых систем?
Задания.
1 .Объяснить назначение группы 1 аксиоматики Гильберта и привести примеры утверждений доказываемых в этой группе.
2. Объяснить назначение группы 2 аксиоматики Гильберта и привести примеры утверждений доказываемых в этой группе.
3. Объяснить назначение группы 3 аксиоматики Гильберта и привести примеры утверждений доказываемых в этой группе.
4. Объяснить назначение группы 4 аксиоматики Гильберта и привести примеры утверждений доказываемых в этой группе.
5. Объяснить назначение группы 5 аксиоматики Гильберта и привести примеры утверждений доказываемых в этой группе.
§3. Структура векторного пространства.3.1 Модель направленных отрезков.Рассмотрим следующую задачу. Нам надо переплыть речку и мы должны определить положение такой точки В, в которой мы достигнем противоположного берега, если начинаем плыть из точки А, рис.3.1.(а). Изобразим скорость пловца направленным отрезком v, а скорость речки направленным отрезком V, рис. 3.1.(б), при этом, отношение длин направленных отрезков должно соответствовать отношению числовых значений скоростей пловца и речки, а направление этих отрезков должно соответствовать направлениям течения речки и пловца. Эксперимент показывает, что из точки А нижнего берега мы попадём в точку В на верхнем берегу, как это указано на Рис. 3.1.(б).
речка
B
A
vA
речка
B
VV+v=UV
(а)(б)
Рис. 3.1
Теория этого эксперимента такова. Результирующая скорость U пловца изобразится направленным отрезком полученным сложением отрезков v и V по правилу параллелограмма, рис. 3.1.(б).
Правило параллелограмма сложения скоростей было открыто опытным путём, а знаковая система направленных отрезков возникла как инструмент описания эксперимента. Различные задачи механики и физики используют модели, элементами которых являются объекты, характеризуемые величиной действия в заданном направлении как в только что рассмотренном примере. Такими объектами являются силы, скорости, ускорения и др. Над этими объектами определены операция сложения по определенному выше закону параллелограмма и операция умножения на число. При этом как сами объекты, так и результаты операции над ними не зависят от параллельного переноса в пространстве.
Сформулируем нашу главную задачу.
Задача А. Построить систему свойств (аксиоматику), достаточную для описания модели направленных отрезков с операциями сложения по правилу параллелограмма и умножения на число.
Решение сформулированной задачи состоит из двух частей. В первой части, надо определить понятие направленных отрезков, определить указанные операции, и установить основные свойства этих операций. Во второй части надо указать критерии, согласно которым проверяется, что сформулированных основных свойств достаточно для однозначного описания модели.
Приступим к решению первой части задачи А. Направленный отрезок есть отрезок AB заданной длины, направленный параллельно некоторой прямой «l» причем порядок пары точек означает, что точка А - начало, В - конец направленного отрезка.
Для простоты будем направленные отрезки обозначать так же одной буквой = , и т.д.
Так как направление и длина направленного отрезка не зависит от параллельного переноса, то направленный отрезок изображает класс направленных отрезков, совместимых параллельными переносами. Этот факт будем называть инвариантностью направленного отрезка относительно параллельного переноса.
На множестве направленных отрезков , , , ... определим операции сложения и умножения на действительное число и установим свойства этих операций.
Суммой направленных отрезков и назовем направленный отрезок =+, который имеет то же начало, что и отрезок и тот же конец, что и , если начало отрезка параллельным переносом совместить с концом , рис 3.2. (а).
Учитывая инвариантность направленного отрезка относительно параллельного переноса, заключаем, что является направленной диагональю параллелограмма, построенного на сторонах и , рис. 3.2. (б). Правило






Рис. 3.2.
(a)
(б)
сложения (а) называется правилом треугольника, а правило сложения (б) - правилом параллелограмма.
Сложение обладает свойствами:
и +=+
, и (+)+=+(+)
Существует вектор такой, что += ( - нулевой вектор)
«-» такой, что +(-)=.
(«-» называется противоположенным вектору ).
Доказательство свойств 1 и 2 схематично изображены на рис 3.3(а) и 3.3(б), соответственно.























Рис. 3.3.
(a)
(б)
Свойство 3 представляет возможность вырождения в точку одного из слагаемых:
+=, =
Свойство 4 представляет правило сложения
+==,
где естественно считать =-. Длину направленного отрезка будем обозначать ||. Очевидно, что || = ||.
Операция умножения отрезка на число определяет направленный отрезок =. Длина ||= || ||; направление то же, что и у отрезка , если >0, и обратное, если <0.
Свойства операции умножения:
·1=.
, R и ( ) = ( ) .
R и , (+) = + .
, R и (+) = + .
Доказательство четырёх свойств сложения ( два мы уже доказали) и четырёх свойств умножения на число для направленных отрезков можно найти в школьных учебниках, и мы их опускаем.
Теперь сформулируем понятие вектора как элемента модели направленных отрезков.
Определение.
Направленные отрезки с операциями сложения по правилу треугольника (параллелограмма) и умножения на число называются векторами геометрической модели направленных отрезков.
В силу инвариантности направленных отрезков относительно параллельного переноса заключаем, что: 1) вектор - это класс направленных отрезков, определяемый всеми параллельными переносами любого из его представителей; 2) свойства операций сложения векторов и умножения на число так же инвариантны относительно параллельного переноса.
Множество всех векторов назовем векторным пространством, а построенную модель направленных отрезков - геометрической моделью векторного пространства направленных отрезков.
Первая часть сформулированной задачи A нами решена. Для решения второй части этой задачи построим ещё одну модель - арифметическую (координатную) модель векторного пространства.
3.2 Построение арифметической модели векторного пространства направленных отрезков В этом пункте для направленных отрезков, являющихся элементами геометрической модели векторного пространства, мы построим координатную (арифметическую) модель так, что нам потребуются лишь восемь свойств направленных отрезков сформулированных выше и следующая теорема размерности.
Выражения вида ++…+ называются линейными комбинациями векторов с действительными числами.
Теорема размерности.
Пусть вектор параллелен вектору 1, тогда существует единственное xR такое, что =x1.
x1
y2
1
2

Рис. 3.4
Пусть два вектора лежат в плоскости и пусть вектор 1 не параллелен вектору2. Тогда всякий вектор этой плоскости есть единственная линейная комбинация векторов 1 и 2:
= х 1 +у2.
Пусть векторы 1, 2 и 3 не лежат в одной плоскости. Тогда всякий вектор есть их единственная линейная комбинация:
= x1 + y2 + z3
Доказательство проведем только для второго случая.
Выберем произвольную точку О на плоскости и отложим из нее векторы 1, 2 и . На направления 1 и 2 отложим направленные проекции вектора , рис. 6, обозначив их, соответственно, х2 и у2. Тогда получим требуемое равенство = х 1 +у2. Случай 2 доказан. Случай 1 - тривиален, а случай 3 доказывается аналогично с построением параллелепипеда.
Будем говорить, что векторы 1 и 1, рис. 3.4, образуют векторный базис на плоскости векторов, а числа х и у в этом разложении назовем координатами вектора в этом базисе. Аналогично можно определить базис на прямой и в пространстве, используя случаи 1 и 3 рассмотренной теоремы.
Таким образом, каждый вектор имеет свои координаты в заданном базисе и, наоборот, всякая тройка чисел (x,y,z) (в заданном порядке) определяет единственный вектор в этом базисе.
Вывод 1.
Если в пространстве задан базис {1,2,3}, то между множеством векторов геометрической модели направленных отрезков и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно-однозначное соответствие
↔(x,y,z), (3.1)
которое определяется разложением вектора в заданном базисе: .
Чтобы объявить множество упорядоченных троек чисел арифметической или, что тоже, координатной моделью трехмерного векторного пространства, нам надо определить операции сложения векторов и умножения на число в координатной форме, учитывая определения этих операций в геометрической модели направленных отрезков.
Для удобства будем считать, что , , – известный в элементарной геометрии базис, состоящий из единичных взаимно-перпендикулярных векторов. Для простоты, также, ограничимся двумерным случаем.
Пусть , . Тогда и элементы геометрической модели и для них определена сумма
.
Учитываем, что , , и также элементы геометрической модели и, используя свойства 1-4 сложения и свойства 1-4 умножения, получаем:

Согласно соответствию (1.10), установленному выше, заключаем, что – координаты вектора . Аналогично показывается, что вектор имеет координаты .
Вывод 2.
Операции сложения по правилу параллелограмма в геометрической модели направленных отрезков соответствует операция сложения по координатам в арифметической (координатной) модели векторов, операции умножения направленного отрезка на число соответствует операция умножения всех координат этого вектора на число в координатной модели .
Наконец, для противоположного вектора находим координаты: .
Вывод 3.
В координатной модели определены операции сложения векторов и умножение векторов на число. Доказательство этих фактов использует в точности 8 свойств операций сложения и умножения, установленных в геометрической модели. При построении координат использовалась теорема размерности для направленных отрезков , поэтому эти 8 свойств и свойство размерности называют девятью аксиомами арифметической модели векторного пространства.
Мы завершили решение сформулированной в начале параграфа задачи А. Вот это решение:
На множестве направленных отрезков система восьми свойств операции сложения направленных отрезков и умножения на число и утверждение о размерности векторного пространства определяет арифметическую модель векторного пространства.
Попутно мы устанавливаем следующее свойство.
Вывод 4.
Между элементами геометрической модели векторного пространства и элементами арифметической модели векторного пространства существует взаимно однозначное соответствие (3.1), обозначим его
, . (3.2)
Это соответствие сохраняет результат линейных операций сложения векторов и умножения на число:
(3.3)
и называется изоморфизмом арифметической и геометрической моделей векторного пространства направленных отрезков.
3.3 Определение и примеры абстрактного векторного пространства. В этом параграфе будет построена аксиоматика и приведены примеры векторного пространства для многомерного случая N3. Для этого заметим, что с понятием размерности N в геометрической модели направленных отрезков связана только аксиома размерности векторного пространства, в которой определено понятие базиса для случаев размерностей 1, 2 и 3. Формулировка восьми свойств операций сложения векторов и умножения векторов на число от размерности базиса не зависят. Поэтому, чтобы построить аксиоматику многомерного векторного пространства, достаточно определить понятие базиса для векторного пространства при N3, а остальные восемь аксиом оставить без изменения.

Определение базиса и размерности векторного пространства для N3.
Наименьший по n набор n элементов e1, e2, …, en из X таких, что всякий элемент x из X представляется в виде линейной комбинации
x = x1e1 + x2e2 + … + xnen
называется базисом в X, а упорядоченный набор чисел (x1,x2, …, xn) называется координатами элемента x в пространстве X.
Рассмотрим примеры объектов, удовлетворяющих этим аксиомам и являющиеся моделями многомерных векторных пространств..
Пример 1.
Множество многочленов степени не выше

образует векторное пространство размерности n+1, в котором мономы – базисные элементы, а коэффициенты многочлена – координаты вектора в этом базисе.
Пример 2.
Пусть , ,…, - «-местные наборы», имеет 1 на -м месте и нули на остальных местах, . Тогда объекты

образуют векторное пространство с базисными элементами . Обозначим это пространство .
Пример 3.
Объекты вида
a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn=A(3.4)
называют матрицами размерности mxn, в которых элементы aij стоят в i-м ряду на j-м месте. Если объекты aij – числа, то матрица называется числовой.
Такие матрицы возникают, например, если пиксельную систему экрана персонального компьютера представить в виде чисел, указав для пикселя, находящегося на пересечении i-го ряда и j-го столбца, число, соответствующее частоте (или длине) световой волны. Таким образом, любая информация, изображаемая на мониторе, представляется числовой матрицей вида (3.4).
Сумма и разность двух матриц определяется по правилу
A B=a11…a1n………am1…amn b11…b1n………bm1…bmn =
=a11±b11…a1n±b1n………am1±bm1…amn±bmn=C,(3.5)
т.е.элементы матрицы С представляют собой суммы или разности соответствующих элементов матриц А и В.
Операция умножения матрицы А на некоторое число определяется умножением всех элементов матрицы А на это число.
Множество матриц одной размерности с только что определенными операциями образуют векторное пространство.
Учитывая определенные выше операции для матриц, заключаем, что базис этого векторного пространства образуют mxn элементов вида
jij=0…0…0……………0…1…0……………0…0…0iгде на всех местах, кроме aij, стоят нули, а aij=1.
С помощью этого базиса мы можем написать
А = i=1nj=1mεij∙aij = ε11∙a11+ε12∙a12+…+εmn∙amnРазмерность этого векторного пространства есть N=mxn.
Определение абстрактного векторного пространства.
Элементы х множества Х образуют абстрактное векторное пространство Х, если для них выполняется 8 аксиом векторного пространства относительно операций сложения элементов и умножения этих элементов на действительные числа и аксиома размерности x = x1e1 + x2e2 + … + xnen, где элементы e1, e2, …, en образуют базис в Х.
Замечание. Пространство En построенное в примере 2 выше является арифметической или координатной моделью абстрактного векторного пространства Х размерности n. Элементы этого векторного пространства могут быть произвольной природы, в чём мы убедились на примерах приведённых выше, но все они имеют одну и ту же арифметическую или, что тоже, координатную модель.
Следствие.
Все -мерные абстрактные векторные пространства имеют одну и ту же арифметическую модель, поэтому изоморфны друг- другу.
Если векторное пространство содержит для всякого подмножество, , которое само является векторным пространством и для него выполняется аксиома размерности с заданным , то назовем бесконечным векторным пространством. Примером такого пространства является множество всех многочленов. Подмножества многочленов степени не выше n-1 образуют n мерные подпространства в этом пространстве.
3.4 Аксиомы скалярного произведения векторов.
Модель арифметического -мерного пространства не содержит понятий длинны вектора и углов между векторами. Чтобы установить понятие длины вектора и углов между векторами в пространстве размерности рассмотрим какими свойствами определяется правило измерения длин и углов в геометрической трёхмерной модели направленных отрезков .
Напомним, что в геометрической модели трехмерного векторного пространства определяется скалярное произведение представлением
(3.6)
В школьном курсе геометрии из этого представления выводятся три свойства:
, (3.7)
, и
; .
Следствие.
Из формулы (3.6) находим представление длины вектора через скалярное произведение
, (3.8)
Если в качестве базиса выбрать векторы , то используя свойства 1-3 скалярного произведения, получаем координатное представление скалярного произведения:
,
(3.9)
Мы воспользовались тем, что , .
Следствие.
Используя (3.8) и (3.9), заключаем, что длина трёхмерного вектора вычисляется по правилу
(3.10)
А из формул (3.6), (3.9) и (3.10) находим формулу для вычисления углов между векторами
cos⁡(a^b) = x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12∙x22+y22+z22(3.11)
Вывод 4.
Вычисление длин и углов для векторов трёхмерного векторного пространства осуществляется при помощи скалярного произведения векторов. Структура скалярного произведения в трёхмерном случае определяется тремя свойствами (3.7), которые мы примем в качестве аксиом задания скалярного произведения. .
Для определения длинны вектора в при воспользуемся связью между длинной вектора и скалярным произведением в трёхмерном пространстве направленных отрезков. При этом скалярное произведение зададим аксиоматически теми же свойствами, которыми оно определяется в трехмерном векторном пространстве.
Схему, по которой мы из определения скалярного произведения (3.6) получили формулу длины вектора (3.10), повторим в абстрактном векторном пространстве с той разницей, что во первых, скалярное произведение векторов зададим при помощи трех аксиом (3.7) и во вторых, существование скалярного произведения в координатной модели установим формулой, аналогичной (3.9):
(3.12)
где , в .
Теперь, согласно нашей схеме, длина вектора определена формулой (3.8). Из (3.8) с учетом (3.12) получаем формулу длинны вектора в -мерном арифметическом пространстве аналогичную (3.10) в виде
. (3.13)
Формула для вычисления косинуса угла получаем в виде
cos⁡(a^b) = x1y1+x2y2+…+xnynx12+…+xn2 ∙y12+…+yn2 (3.14)
Определение n – мерного евклидова векторного пространства.
Абстрактное -мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее трем аксиомам (3.7) называем -мерным евклидовым векторным пространством. Его координатная модель со скалярным произведением (3.12) называется декартовой моделью.
Рене Декарт (1596-1650) впервые построил координатную модель трехмерного евклидова пространства.
В качестве примера применения языка многомерного векторного пространства с обобщённым понятием длины покажем, как можно оценить « близость» двух почти одинаковых изображений на пиксельном экране. Такие изображения моделируются векторным пространством матриц в примере 3. Это векторное пространство имеет размерность N = n × m. Пусть матрица А первого изображения имеет пиксельные координаты aij, а матрица В второго изображения имеет пиксельные координаты bij, где индексы i = 1, 2, …, n, j = 1, …, m, обозначают в матрицах А и В номер строки, и номер столбца, соответственно. Если в этом векторном пространстве задать структуру скалярного произведения со скалярным произведением, которое задаётся формулой
(А, В) = a11∙ b11 + a12∙ b12 + a13∙ b13 + … + a1m∙ b1m + … +
an1∙ bn1 + an2∙ bn2 + … + anm∙ bnm,

то квадрат длины вектора С = А – В оценит близость изображений А и В. Согласно формуле длины вектора (3.13), длина вектора С будет равна сумме квадратов разности одноимённых координат матрицы С:
|С| 2 = ( a11 - b11)2 + (a12 - b12)2 + … + (anm - bnm)2 = εЕсли число ε, стоящее в правой части этого равенства будет достаточно мало, то вектор С будет достаточно мал, а векторы А и В достаточно близки. Следовательно, достаточно «близкими» будут и пиксельные изображения, представляемые матрицами А и В.
3.5 Вопросы и задания к теме «Структура векторного пространства» Вопросы.
1. В каких задачах возник «язык» направленных отрезков?
2. Какую роль выполняет аксиома размерности векторного пространства?
3. Какую роль выполняют 8 аксиом сложения и умножения в аксиоматике векторной структуры?
4. Объяснить назначение структуры скалярного произведения.

Задания.
1. Привести примеры задач, в решении которых применяется векторная структура.
2. Объяснить, почему изображение на дисплее имеет векторную структуру.
3. Определите изоморфизм модели направленных отрезков на её координатную реализацию. Какой операции над координатами соответствует правило параллелограмма сложения отрезков при этом изоморфизме?
4. Покажите, что все векторные пространства одинаковой размерности изоморфны.
§4 Модель Вейля евклидовой геометрии.4.1 Арифметическая модель трехмерного евклидова пространства.Геометрической моделью трехмерного евклидова пространства будем называть множество точек, прямых и плоскостей, удовлетворяющих двадцати аксиомам Д. Гильберта, сформулированным в §2, а также множество всевозможных фигур со свойствами, которые логически доказываются в рамках сформулированной аксиоматики. Эту модель будем обозначать 3и называть трёхмерным евклидовым пространством.
В этом параграфе вначале будет построена арифметическая (координатная) модель трёхмерного евклидова пространства 3 по схеме Г. Вейля, а затем, по этой же схеме будет построена модель многомерного арифметического евклидова пространства. Эта схема называется обоснованием евклидовой геометрии по Вейлю (Герман Вейль, 1885-1955); она базируется на системе аксиом Вейля, называемой точечно-векторной, т.к. в ней неопределяемыми понятиями (объектами аксиоматики) являются точки и векторы. Точки и векторы называются основными геометрическими объектами в модели Вейля, вступающими в отношения, определяемыми тремя группами аксиом, образующими аксиоматику Г. Вейля. Вот эти три группы аксиом:
-группа аксиом векторного пространства;
- группа аксиом скалярного произведения;
-группа аксиом откладывания вектора.
Первые две группы аксиом нам уже известны. Для изложения третьей группы аксиом введем операцию откладывания вектора. Эта операция сопоставляет всяким двум точкам A,B3 вектор и обозначается как отображение . Операцию можно представить как изображение направленного отрезка и определить следующими свойствами.
Для всякой фиксированной точки A03 и произвольной точки B3 отображение
(4.1)
является взаимно-однозначным отображением точек B3 на множество векторов .
0
(Аксиома треугольника). Для любых трех точек A,B,C3 справедливо равенство
.




Рис. 4.1
(Аксиома реализуемости операции откладывания). Существует хотя бы одна точка 03, для которой определена операция откладывания вектора для любой точки
Эти три аксиомы будем называть аксиомами откладывания вектора.
Точку в аксиоме 3 называют началом координат в евклидовом пространстве 3, а вектор – радиус-вектором точки в этом пространстве. Координатами точки M3 называют координаты радиус-вектора (рис.4.1), где , , – направленные отрезки в 3, соответствующие базисным векторам , , векторного пространства при отображении (4.1) с . Таким образом, по построению операции откладывания вектора в 3, приходим к векторному равенству
. (4.2)
Это равенство, с учетом фиксированной точки 03, представляет взаимно-однозначное соответствие между точками M3 и арифметически упорядоченными тройками чисел и позволяет определить координаты всех точек М евклидова пространства 3.
Для вычисления длин отрезков и углов между ними воспользуемся свойством 1 операции откладывания отрезка, и группой аксиом скалярного произведения, согласно которой имеют место следующие свойства скалярного произведения (3.6), (3.8), (3.9), (3.10) из §3.
Пусть требуется найти длину отрезка , если заданы координаты его концов и . Учитывая, что , из формулы (8) § 3 находим длину
(4.3)
Пусть = (u1,v1,w1) и = (u2,v2,w2) - направленные отрезки в 3 и пусть их координаты (u1,v1,w1), (u1,v1,w1) в Е3. Тогда, используя формулы (3.6), (3.9), (3.10) из §3, получаем формулу для косинуса угла образованного векторами и
(4.4)
Определение.
Арифметической, или координатной, моделью трёхмерного евклидова пространства 3 называется множество упорядоченных троек чисел (x,y,z) определяемых соответствием (4.2) вместе с формулами длины отрезка (4.З) и углов между направленными отрезками (4.4), выраженными через скалярное произведение. Арифметическую модель трехмерного евклидова пространства будем обозначать R3.
Вывод 1.
Для построения координатной модели трёхмерного евклидова пространства требуется задать:
геометрическую модель направленных отрезков трехмерного векторного пространства 3 и изоморфную ей модель координатного векторного пространства Е3 ;
структуру скалярного произведения, посредством которого вычисляются длины и углы;
Структуру операции откладывания вектора состоящую из трёх аксиом Вейля.
Основные объекты геометрии - точки, прямые и плоскости в R3 определяются на «языке» векторов и координат и позволяют построить множество геометрических фигур. Рассмотрим пример такого построения.
Построение плоскости. Пусть плоскость П определяется точкой M0(x0,y0,z0) и вектором нормали (A,B,C). Это эквивалентно тому, что если М(x,y,z) - произвольная точка плоскости П, то , что эквивалентно условию ()=0, или в координатной форме П:
(x-x0)A+(y-y0)B+(z-z0)C=0
Таким образом, искомая плоскость П в R3 - это множество троек чисел (x, y, z), удовлетворяющих этому алгебраическому уравнению. Что даёт это уравнение? Оно позволяет для любой точки заданной своими координатами выяснить, где лежит эта точка: на плоскости, под плоскостью или над плоскостью.
Аналогичным образом, в виде алгебраических соотношений представляются все геометрические объекты в R3 и их метрические характеристики: длина, углы, площади и т.д.
Вывод 2.
Решение геометрических задач в модели R3 сводится к решению алгебраических задач: уравнений, систем уравнений, неравенств.
4.2 Арифметическая модель многомерного евклидова пространства
Мы отмечали в п.2.3, §2, что аксиоматика Д. Гилберта не может быть обобщена для построения модели геометрии высоких размерностей в мыслимом многомерном евклидовом пространстве. Обратимся к схеме Г.Вейля, согласно которой строилось арифметическое пространство R3. На самом деле эта схема не зависит от размерности вспомогательного векторного пространства Еn. При n=2 и n=3 она просто одна и та же и отличается набором координат. В случае «мыслимой» многомерной геометрии операция откладывания вектора (1) является формальным определением множества точек арифметического n-мерного евклидова пространства Rn, а в остальном схема построения Rn при n>3 такова же, как и при n3 и состоит в реализации следующих трёх групп аксиом.
1.Группа аксиом векторного пространства. Эта группа включает восемь аксиом векторного пространства, сформулированных в п. 3.1 §3 и дополнительную девятую аксиому размерности, сформулированную в п. 3.2 §3. Эти аксиомы определяют арифметическую модель Еn n-мерного векторного пространства, см. п. 3.3 §3.
2 .Аксиомы скалярного произведения.
Сюда входят три аксиомы 1) - 3) в формуле ( 5), приведенные в виде свойств в п.3.4 §3.
3. Аксиомы откладывания векторов.
Эта группа аксиом состоит из трех свойств операции откладывания векторов, определенной в начале этого параграфа.
Вывод 3.
Система аксиом Г. Вейля определяет абстрактное n-мерное арифметическое евклидово пространство Rn, в котором основные геометрические объекты – точки, прямые, плоскости размерности 2, 3, ..., n-1 - задаются системами алгебраических уравнений. При n>3 отсутствует «геометрическая модель» евклидова пространства, отождествляемая с реальными объектами .Например объектами четырёхмерного арифметического пространства R4 являются лишь мыслимые объекты, представляемые арифметической моделью и «несущие геометрические свойства» по аналогии с R3. Именно поэтому для определения координат точек «мыслимого» многомерного евклидова пространства требуется аксиома 3 - существования хотя бы одной точки O, для которой определена операция откладывания векторов из E4 и которая считается началом координат в R4: O (0,0,0,0)R4.
Замечание о схеме Г.Вейля.
Способ построения декартовой системы координат на плоскости и в пространстве известен всем из школьного курса математики. Этот способ состоит из изображения трёх взаимно перпендикулярных числовых осей OX, OY, OZ пересекающихся в общей точке О, которая является началом координат. Координатами точки М евклидова пространства считается упорядоченная тройка чисел ( x, y, z), которая получается в результате ортогональной проекции точки М на координатные оси. Такой способ построения координат опирается на наше визуальное представление и не может быть использован для построения арифметической модели многомерного пространства. Гениальность схемы Г.Вейля заключается в том, что операцию построения координат в двухмерном и трёхмерном случаях он представил как интеллектуальную операцию и эту операцию он реализовал тремя аксиомами откладывания вектора. Эти три аксиомы не зависят от размерности векторного пространства и с использованием структуры векторного пространства и скалярного произведения позволяют построить многомерную координатную модель евклидова пространства .
Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии по Вейлю - наиболее распространенная схема построения арифметической модели Rn, применяемой в задачах линейного программирования, исследования операций и других задачах физики, математики, информатики и естествознания.
4.3. Вопросы и задания к теме «Модель Вейля евклидовой геометрии» Вопросы.

1.Какие аксиомы позволяют вычислять длины отрезков и углы в многомерной геометрии?
2. Чем отличается аксиоматика Вейля трёхмерного евклидова пространства от многомерного?
3. Как задаются точки в модели Вейля? Как задаются координатные плоскости?
4. Как задаются плоскости в модели Вейля?

Задания.

1. Сформулируйте аксиоматику Вейля многомерной евклидовой геометрии.
2. Дайте геометрическую интерпретацию аксиомам Вейля 1 – 3.
3. Задайте следующие геометрические объекты в модели Вейля:
- шар и сфера в трёхмерном пространстве;
- шар и сфера в многомерном пространстве.
4. Постройте примеры других геометрических объектов.


§ 5. Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
5.1 Основные понятие модели А. Пуанкаре плоскости Лобачевского.
Для того чтобы разобраться с такими структурными свойствами аксиоматических систем как непротиворечивость и независимость (эти свойства будут изучаться далее в §7), а также для того, чтобы разобраться с исторической проблемой пятого постулата, нам потребуется познакомиться с одной из моделей плоской неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевского – моделью А. Пуанкаре..
Напомним, что аксиомы 1-3 из I-ой группы аксиом Д. Гильберта вместе с остальными аксиомами II-V групп образуют систему 15 аксиом евклидовой плоскости, (см. п.2.2 §2). Заменим в этой группе аксиом аксиому параллельности евклидовой геометрии на следующую аксиому параллельности Н.И. Лобачевского.
V’. Аксиома параллельности Лобачевского.
Через любую точку A, не инцидентную прямой a, можно провести в плоскости, определяемой точкой A и прямой a, по крайней мере, две различные прямые, не пересекающиеся с прямой a.
Определение плоскости Лобачевского.
Плоскостью Лобачевского называется мыслимая планиметрия, определяемая аксиомами 1-3 группы I, всеми аксиомами групп II-IV системы аксиом Д. Гильберта и аксиомой параллельности V’ Лобачевского.
Эта модель неевклидовой геометрии была опубликована Н. И. Лобачевским в его известной работе «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник» в 1829-1830г.г. Созданная им геометрия получила название мыслимой геометрии, т.к. в течение длительного времени в математическом мире отсутствовала общепризнанная реализация этой модели.
Тот факт, что существует хотя бы одна прямая, проходящая через точку A вне прямой a и не пересекающая прямую a, было доказано еще Евклидом без ссылки на постулат о параллельности, см. замечание 4, §2. Одна из моделей, в которой через точку A вне прямой a проходит более одной прямой, не имеющей общих точек с a, была построена великим французским математиком Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912). Эта модель (опубликована около 1883 г.) представляет множество точек полуплоскости, на которой «прямые» определены так, что реализуются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского, включая неевклидову аксиому параллельности Лобачевского.
Рассмотрим кратко эту модель, опуская доказательства, которые можно найти, например, в интернете по ключевым словам «Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского».
Представление основных объектов - точек и прямых в модели Пуанкаре. Пусть l - произвольная прямая евклидовой плоскости.
1. Точками плоскости Лобачевского будем называть все точки одной из полуплоскостей, например, верхней, лежащих по одну сторону от l.
2. Прямыми плоскости Лобачевского назовем либо вертикальные лучи, лежащие в заданной полуплоскости, либо полуокружности с центрами на l, также лежащими в этой полуплоскости, рис.5.1.
A



O
B
C
l
Рис. 5.1
3.Прямая l представляет «бесконечно удаленные точки» плоскости Лобачевского и называется абсолютом (абсолют можно рассматривать как параметризацию направлений прямых).
4.Углы между прямыми - это обычные евклидовы углы, образованные касательными в точке пересечения полуокружностей, представляющих эти «прямые», рис. 1.
5. Движение в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского представляется специальными дробно-линейными преобразованиями верхней полуплоскости на себя. Это преобразование сохраняет отношение 4-х точек, через которое определяется функция расстояния между двумя точками в модели Пуанкаре. Мы не будем иллюстрировать свойства конгруэнтности на плоскости Лобачевского, поэтому не приводим свойства дробно-линейных отображений и формулы, представляющие функцию расстояния. Подробно изложение свойств движения в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского можно так же найти в интернете по ключевым словам «движения в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского».
В модели, определяемой перечисленными выше условиями 1-5, выполняются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского. Эту модель будем обозначать L2 и ограничимся проверкой нескольких аксиом.
Проверим две первые аксиомы I группы. Они должны определять единственную прямую в модели L2 по двум любым точкам. Пусть абсолют l - линия OX в евклидовой плоскости. Тогда уравнения окружностей с центром в точках A(x0, О) l и радиусом R имеют вид:
(x-x0)2 + y2 = R2 (5.1)
Две точки B(x1,y1), C(x2,y2) лежат на некоторой «прямой» тогда и только тогда, когда их координаты удовлетворяют уравнению (5.1) для некоторых значений x0 и R:
(5.2)
В полученной алгебраической системе уравнений числа x1, y1 и x2, y2 заданы, а величины x0 и R - искомые. Раскрывая квадраты и вычитая второе уравнение из первого, находим
x12 – x22 + y12 – y22 = 2x0(x1 – x2).
Откуда

Это решение определено, если x1x2, т.е. точки B и C не лежат на общем перпендикуляре x1=x2=х к оси OX. (Если x1=x2=x, то этот перпендикуляр представляет прямую в L2, рис. 5.2(a)). Подставляя найденное значение x0, в любое из уравнений (5.2), находим значение радиуса R. Тем самым найдена «прямая» моделируемая полуокружностью (5.1), проходящей через точки B и C. Эта окружность единственна и в модели L2 представляет единственную же «прямую» , инцидентную точкам B и C, рис. 5.2.
x
O


x1=x2=x
B
A
(a)
x
O



x0
B(x1,y1)
C(x2,y2)
(b)
Рис. 5.2
Таким образом, аксиомы 1 и 2 группы I выполнены. Аксиома 3 этой группы выполняется очевидным образом.
B
A

A
1
2


Рис. 5.3
Оставляя проверку аксиом группы II-IV, займемся проверкой аксиомы V' (параллельности по Лобачевскому) в модели L2. Пусть - некоторая прямая и точка A в модели L2, рис.5.3. Пусть A и B - точки на абсолюте l, представляющие бесконечно удаленные точки прямой , рис.5.3. Используя формулу (5.1) точно так же, как при проверке аксиом 1-2 группы I, заключаем, что существует единственная окружность с центром на l, проходящая через точки A и A, обозначим ее 1(A,A), и, аналогично, единственная окружность 2(A,B), рис.5.3. Полуокружности 1 и 2 в верхней полуплоскости L2 моделируют две прямые, параллельные прямой , т.к. имеют с ней общие точки A=1 и B=2, лежащие на абсолюте l и являющиеся, по определению, бесконечно удаленными точками. Кроме этого, существует еще бесконечно много прямых , представляемых окружностями, проходящими через точку A внутри вертикального угла, образованного 1, и 2, рис 5.3. Эти прямые не имеют общих точек с в L2 даже на абсолюте и называются прямыми, расходящимися с .
Следствие 1.
В плоскости L2 через точку A вне прямой проходит бесконечное множество прямых, не имеющих общих точек с (расходящихся с ). При этом существует в точности две параллельные 1 и 2, имеющие общие точки с на абсолюте l:
A = 1 l, A = 2 l,
Вывод.
В модели L2 выполняются 15 аксиом планиметрии Лобачевского.
5.2 Основные неевклидовы факты в планиметрии Лобачевского.Принятие столь экзотической аксиомы параллельности V' позволяет «обнаружить» (точнее, строго доказать) на плоскости L2 неевклидовы «эффекты», т.е. такие отношения между геометрическими объектами, которые не реализуются в евклидовой плоскости.
Ограничимся иллюстрацией ряда свойств взаимного расположения прямых на плоскости L2. Строгое доказательство этих фактов можно найти, например, в [ ].
1. Сумма углов многоугольника в плоскости L2.
A1
A2
A3
(a)
A1
A1
A1

(б)
Рис. 5.4
Рассмотрим треугольник, рис. 5.4(а) с вершинами, лежащими на абсолюте. Т.к., по определению абсолюта вершины, А1,А2,А3 - бесконечно удалены, то этот треугольник образован тремя прямыми - сторонами А1А2, А1А3 и А2А3 бесконечной длины. Т.к. в вершинах А1, А2 и А3 окружности касаются друг друга, то представляемые ими «прямые» А1А2, А1А3 и А2А3 образуют нулевые углы между собой. Аналогично, на рис. 5.4(б) представлен n-угольник с бесконечно длинными сторонами и суммой углов, равной нулю.
Если внутренние окружности на рис. 5.4(a) и (б) взять чуть большего радиуса, то точки А1А2…Аn попадут в плоскость L2 (не будут лежать на абсолюте), перестанут считаться бесконечно удаленными. Тогда длины сторон многоугольника станут конечными, а сумма углов многоугольника станет несколько больше нуля. С другой стороны, если треугольник образован «малыми» кусками дуг окружностей, рис.5.5, то сумма его углов приближается к 180°, но остается все же несколько меньше 180°.
A3
A1
A2
Рис.5.5
Следствие 2.
В плоскости Лобачевского L2 сумма углов треугольника не постоянна и может принимать любое значение больше нуля и меньше .
2. Взаимное расположение прямых в плоскости L2.
Всякие две прямые в плоскости L2 либо пересекаются, либо параллельны, либо являются расходящимися, т.е. не параллельны и не пересекаются, рис. 3.
3. Перпендикуляр к стороне угла.
B
A
M’
M”
M
O
Рис. 5.6
Для любого угла, образованного пересечением прямых ОА и ОВ, рис. 5, на любой из его сторон (например, на стороне ОА) существует такая точка М, что перпендикуляр, восстановленный к ОА из точки М, будет параллелен второй стороне угла OB, рис. 5.6: MBOA, и MB||OB. При этом, всякий перпендикуляр, выходящий из точки М’ОМ, пересекает противоположную сторону угла ОВ, а всякий перпендикуляр, восстановленный из точки M"MA, не имеет общих точек со стороной OB, рис. 5.
5. Четвертый признак конгруэнтности треугольников.
В абсолютной геометрии без привлечения аксиомы параллельности доказываются три признака конгруэнтности треугольников. В планиметрии Лобачевского справедлив еще один, четвертый признак. Если три угла одного треугольника конгруэнтны соответствующим трем углам второго треугольника, то эти треугольники конгруэнтны, [ ].
Вывод 2.
Рассмотренные выше неевклидовы факты 1-4, выражающие необычные для евклидовой геометрии отношения между прямыми на плоскости Лобачевского, являются логическим следствием 15 аксиом планиметрии Лобачевского. Эти свойства реализуются в модели Пуанкаре L2, в евклидовой плоскости эти факты не имеют места.
5.3 Научная значимость открытия геометрии Лобачевского.Открытие мыслимой неевклидовой геометрии Лобачевского задолго до построения ее реализаций и последовавшие затем открытия ее реализаций Гауссом, Клейном, Бельтрами и Пуанкаре явились прологом пересмотра многих устоявшихся фундаментальных понятий в теории познания, и в построении математических дедуктивных теорий. После построения геометрии Лобачевского начали подвергаться анализу идеи и методы доказательства в классической математике и математической логике. Это привело к рождению теории множеств и развитию дедуктивных схем построения теорий в математике на новом структурном уровне. Новые геометрические идеи формирования математических языков подняли научный уровень теоретической физики, а затем и всего естествознания. Одним из итогов открытия геометрии Лобачевского является то, что в современной науке понятие реализации или модели некоторой системы аксиом используется для проверки основных требований, предъявляемых к аксиоматическому методу в моделировании реальных процессов в различных задачах человеческой практики.
Вывод 3.
Открытие и построение неевклидовой геометрии предшествовало, а затем и сопутствовало развитию современных математических языков. Роль математического моделирования в современной науке не сводится только к формированию математического аппарата. Многие законы, открытые в теории математического моделирования, т.е. в математических языках, моделируют интеллектуальную деятельность вообще и исследовательскую деятельность в частности.
Формирование математических текстов на основе дедуктивного метода, т.е. построение теории на базе системы аксиом, должно удовлетворять некоторым законам - свойствам аксиоматических систем. К изучению этих законов мы приступаем в следующей главе.
5.4 Вопросы и задания к теме «Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского» Вопросы.
1.Как формулируется аксиома параллельности в планиметрии Лобачевского?
2.Почему три признака равенства треугольников планиметрии Евклида выполняются и в планиметрии Лобачевского?
3.Может ли факт, доказанный в абсолютной планиметрии бать верным в планиметрии Лобачевского и неверным в планиметрии Евклида? Быть верным в планиметрии Евклида и неверным в планиметрии Лобачевского?
4. Изобразите в модели Пуанкаре две не параллельные прямые, которые не пересекаются, три и большее количество таких прямых.

Задания.
1. Приведите примеры геометрических фактов справедливых в планиметрии Евклида и несправедливых в планиметрии Лобачевского.
2. Приведите примеры фактов справедливых в планиметрии Лобачевского и несправедливых в планиметрии Евклида.
3.Приведите примеры утверждений абсолютной планиметрии, и изобразите их как в планиметрии Евклида, так и в модели Пуанкаре планиметрии Лобачевского.
4. Изобразите многоугольник в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского.
Изобразите такой многоугольник, у которого сумма всех углов достаточно мала.
“Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук”
Анри Пуанкаре.
ГЛАВА IIСтруктурные свойства аксиоматических теорий. §6 Математические структуры и аксиоматические теории.6.1 Понятие отношений между объектами.Принято считать, что понятие отношения выражает связи между объектами как элементами x, y, … , некоторых множеств Ax, By, … . Отношения между двумя элементами xA и yB называют двухместными или бинарными отношениями. Все такие отношения будем обозначать P(x,y), xA, yB. Отношение P(x,y) можно представлять разными способами: описывать словами, изображать чертежами и задавать формулами. Удобным является «язык» множеств. Всякое отношение P(x,y) определяет множество p упорядоченных пар (x,y) некоторых элементов xA и yB по следующему правилу:
(x,y) p {выполняется P (x,y)} (6.1)
Множество всех упорядоченных пар (x,y) xA и yB в математике называется декартовым произведением множеств A и B и обозначается AB.
Используя это определение и учитывая определение бинарного отношения, заключаем, что имеет место следующее.
Следствие 1. Всякое бинарное или двухместное отношение P(x,y) между элементами x, y двух множеств Ax и By представляется некоторым подмножеством p(x,y)AB по закону (1). Обратно, всякое подмножество p AB по закону (6.1) представляет некоторое отношение P(x,y).
Пример 1.
Пусть A=B=R –два экземпляра множеств действительных чисел. Тогда RR есть декартово произведение арифметических моделей евклидовых прямых. Это произведение представляет собой арифметическую модель евклидовой плоскости. Другими словами, множество числовых упорядоченных пар (x,y), xR, yR представляет все точки евклидовой плоскости.
Определение отношения эквивалентности.
Бинарное отношение P(x,y) между элементами множества M называется отношением эквивалентности, обозначим его P(x,y)(x~y), если выполняются три условия:
Рефлексивности: x~x;
Симметричности: если x~y, то y~x;
Транзитивности: если x~y, y~z, то x~z.
Примеры отношений эквивалентности: числовые равенства, конгруэнтность фигур, подобие фигур, параллельность прямых и т.д.
Любое отношение эквивалентности P(x,y) для (x,y)MM определяет новое множество - множество классов эквивалентности: два элемента x,yM образуют один класс эквивалентности тогда и только тогда, когда x~y. Множество классов эквивалентности называется фактор множеством M по отношению P и обозначается M/P или M/p, что равносильно в силу приведённого выше следствия 1 об эквивалентности отношения и соответствующего подмножества.
Отношение эквивалентности разбивает множество M на непересекающиеся классы. Обратно, всякое разбиение M на непересекающиеся классы задает на M отношение эквивалентности. Действительно, если M=MM…M… и MM= при ij, то отношение принадлежности элементов одному классу (xM)(yM)P(x,y) удовлетворяет условиям 1) - 3) отношения эквивалентности.
Следствие 2. Задание отношения эквивалентности на некотором множестве равносильно разбиению этого множеств на непересекающиеся подмножества.
Аналогично, двухместным отношениям, определяются n–местные отношения между элементами xA,…,xA некоторых n множеств A, …, A.
Декартово произведение AA…Aесть множество упорядоченных наборов (x,x,…,x) элементов xA,…,xA , а n–местное отношение P(x,…,x) представляется некоторым подмножеством p AA…A по следующему закону
{ P(x,x,…,x) выполняется} (x,x,…,x)p AA…A
6.2 Понятие математической структуры.Все рассмотренные в главе I системы аксиом:
Аксиоматика Пеано для натуральных чисел;
Аксиоматика рациональных чисел;
Аксиоматика действительных чисел;
Аксиоматика векторных пространств
Аксиоматика Гильберта евклидовой геометрии;
Аксиоматика Вейля арифметического евклидова пространства
Аксиоматика плоскости Лобачевского
можно характеризовать как системы утверждений T={T1, …,Tn}, задающих множество отношений P={P1 , …, Pm} между элементами некоторых объектов Q ={ Q1, …, Qs }
Например, 20 аксиом Гильберта T={T1, T2 …,T20} описывают отношения:
- P1 инцидентности,
-P2 порядка
- P3 конгруэнтности,
-P4 отношения, определяющие свойства непрерывности,
-P5 отношение параллельности.
Каждое из этих отношений определено на объектах из следующих множеств: M1 - множества точек, M2 - множества прямых, M3 - множества плоскостей, M4 - множества отрезков, M5 - множества углов, M6 - множества натуральных чисел. При этом, множества объектов M1, M2, M3 остаются основными, а множества M4, M5, M6 - дополнительно построенными- вспомогательными.
Аналогичным образом, в остальных системах аксиом можно выделить все три указанных понятия: T={T1, …,Tn} - собственно систему аксиом (систему утверждений), P ={ P1 , …, Pm} - систему отношений и {Q1, …, Qs}=Q – систему множеств базовых объектов. Эти понятия вступают в новое отношение, называемое математической структурой.
Определение. Математической структурой называется заданная система отношений P={ P1 , …, Pm} на базовых объектах Q={ Q1,…, Qm } и действующая посредством системы аксиом T={T1,…,Tn}.
Таким способом определенную математическую структуру будем обозначать
= {Q,P,T}.
Примеры.
Указанные в начале пункта аксиоматики задают, соответственно, структуры: натуральных чисел, действительных чисел, векторных пространств, структуру геометрического евклидова пространства и структуру арифметического евклидова пространства, структуру неевклидовой плоскости Лобачевского.
Числовые структуры принято также называть аксиоматическими системами.
Определение теории структуры.
Множество всех утверждений, полученных в виде логических следствий в структуре , называется аксиоматической теорией этой структуры. Аксиоматическую теорию структуры будем обозначать символом .
Пример.
Теорема о внешнем угле треугольника: внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника является элементом теории структуры абсолютной планиметрии (геометрии плоскости, построенной в системе 14 аксиом планиметрии без аксиом параллельности).
6.3 Модель или реализация системы аксиом.Модель системы аксиом T представляет собой такую совокупность некоторых объектов и отношений между ними, для которой выполняются все требования системы аксиом T, [9, стр. 117-118].
Понятие модели в математике принято отождествлять с понятием реализация.
Модель или реализация системы аксиом T называется также моделью или реализацией аксиоматической теории , и структуры . Эту реализацию будем обозначать R(T)=R(T, …,T).
Приведем примеры реализаций.
Модель Торальфа Сколема, см. п. 1.1, §1, является моделью или реализацией линейного порядка или, проще говоря, очереди, в которой каждый знает за кем стоит, кто за ним стоит, известен первый член очереди, но никто не знает какой он по счёту в этой очереди.
Известная Римская система знаков I, II, III, …, IX, X, XI, … является моделью или реализацией системы натуральных чисел.
Множество действительных чисел является арифметической реализацией евклидовой прямой.
Арифметическая модель векторного пространства , (см. п. 3.2, §3), является реализацией системы аксиом векторного пространства размерности три.
Арифметическая модель евклидова пространства , см. п. 4.1, §4, является реализацией, как системы аксиом Гильберта, так и системы аксиом Вейля евклидовой геометрии.
Множество n–местных наборов чисел (x,…,x) является реализацией n-мерного арифметического евклидова пространства , см. п. 4.2, §4.
Модель Пуанкаре L является реализацией планиметрии Лобачевского.
Замечание 1.
Понятия «модели» и «структуры» часто используются в качестве понятия «конкретного множества» и «множества с заданными свойствами». Именно в таком контексте мы использовали эти понятия в §§3-5. Это не вступает в противоречие с математическими определениями этих понятий, приведенными в этом §6.
6.4 Формальная и содержательная аксиоматики, аксиоматические теории и математические структуры.Пусть R(T) - реализация некоторой системы аксиом Т или, что тоже, реализация структуры и теории определяемой этой системой аксиом. Рассмотрим подробнее, что означает эта реализация. Согласно определению реализации, данному в предыдущем П.6.3, реализация R(T) содержит:
объекты Ri (Qi), являющиеся реализациями базовых объектов Q1…, Qm и обладающие таким свойством, что существует взаимно-однозначное соответствие Riri(Qi) между объектами Qi и объектами Ri, i = 1,2,…,m;
отношения pi(R1,…, Rm), которые представляют в реализации R(T) отношения Pi(P1,…,Pm) заданные системой аксиом для соответствующих объектов Q;
3 все утверждения, получаемые логическим следствием в теории данной системы аксиом входят в реализацию R(T) так же в виде некоторых утверждений , выраженных через отношения реализаций базовых объектов.
Рассмотрим пример.
Пусть R2 - арифметическая модель евклидовой плоскости, тогда базовое множество М1 - это все точки MR2, реализующиеся в виде упорядоченных числовых пар (x,y). Базовое множество М2 - это множество всех прямых lR2, реализующихся уравнениями вида ax+by+c = 0. Отношение P1(M,l)(Ml) , состоящее в том, точка М принадлежит прямой l, реализуется свойством P1: пара (x,y) удовлетворяет уравнению ax+by+c = 0, и т.д.
Вывод 1.
Всякая реализация R(T) системы аксиом Т устанавливает взаимно однозначное соответствие Riri(Qi) между базовыми объектами Qi и объектами Ri реализаций Qi в R(T) . При этом отношения P(P1,…,Pm) заданные в системе аксиом Т реализуются некоторыми отношениями p (Ri,…, Rm) между соответствующими объектами Ri в R(T) .
Вывод 2.
Всякое утверждение в виде отношений объектов в теории Т, которое получается логическим следствием, выполняется и в реализации R(T) в виде некоторого свойства реализованных объектов. Таким образом, существует взаимно-однозначное соответствие между утверждениями теории Т, и выполнением соответствующих им свойств в реализации R(T).
Изначально структуру можно строить безотносительно её реализации.
Определение.
Система аксиом Т, ее аксиоматическая теория Т и аксиоматическая структура определенные вне какой-либо реализации называются абстрактными или формальными системой аксиом, теорий или структурой соответственно.
Если существует реализация R(T) системы аксиом Т, её теории и её структуры, то система Т, её теория Т и структура называются содержательными.
Классическим примером формальной теории является мыслимая геометрия, построенная Н.И. Лобачевским. Эта мыслимая геометрия долгое время не воспринималась однозначно как содержательная аксиоматическая теория, пока не были найдены ее реализации, например, реализация Пуанкаре L2, построенная нами выше. Таким образом, исторический опыт с геометрией Лобачевского имеет "хороший конец": были найдены реализации этой геометрии, и абстрактное аксиоматическое построение неевклидовой плоскости Лобачевского стало содержательной теорией.
История науки знает немало примеров, когда построенные теории так и не нашли соответствующих реализаций. Это касается не только теорий в математике, физике и других естественных науках, но и теорий экономических и социальных.
6.5 Изоморфизм.
В следующем параграфе мы покажем, как используются реализации для исследования свойств аксиоматических систем и теорий. Для этого нам потребуется ещё одно понятие - изоморфизм моделей аксиоматических структур.
Пусть система аксиом Т имеет две реализации R(T) и R'(T). Тогда, согласно выводу 1, п.6.4, между реализациями Ri и R'i базовых объектов Qi устанавливается взаимно-однозначное соответствие:
Ri ˂= Qi ˂= R'i (6.2)
Это соответствие является отношением эквивалентности. Что можно сказать о соответствии между реализациями отношений Рi в Ri и реализациями этих же отношений P'i в R'i ? Рассмотрим два примера.
Пример 1.
Пусть система аксиом Т состоит из 14 аксиом аксиоматики Гильберта, определяющих абсолютную геометрию плоскости (геометрию без аксиомы параллельности). Мы имеем две реализации этой планиметрии:
- арифметическая модель R2 (евклидовой плоскости);
(2) - модель Пуанкаре L2 (плоскости Лобачевского). Можно установить взаимно однозначное соответствие между точками М R2 и точками N L2, а также установить некоторое соответствие между прямыми lR2 и прямыми aL2. В то же время не всем отношениям между точками и прямыми в модели L2 можно найти соответствующие отношения в модели R2. Например, отношение P(a1, a2, a3,) прямые a1, a2 и a3 не пересекаются в конечной части плоскости может так выполняться в L2, что не иметь аналога в R2, (см. Рис.5.4 (а), §5).
Пример 2.
Пусть 2 - геометрическая модель направленных отрезков (выполненная, например, карандашом на бумаге или реализованная на пиксельном экране компьютера). Пусть Е2- арифметическая модель векторного пространства. Операция откладывания вектора, указанная в модели Вейля, п.4.1, §4, устанавливает взаимно-однозначное отображение : (x,y) модели 2 на модель Е2(x,y). При этом, отображение сохраняет все определенные в векторной структуре отношения реализующимися между соответствующими векторами и ()=(x,y).
Определение изоморфизма.
Две реализации R(T) и R'(T) системы аксиом Т будем называть изоморфными, если выполняется два условия:
1.Существует взаимно-однозначное соответствие (6.2) между реализациями Ri(Qi) и R'i(Qi) базовых объектов Qi, i=1,2,…, m;
2. Отображение (6.2) устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми отношениями p'i( R'1,…,R'm) и pi(R1,…, Rm), представляющими в моделях R' и R' определённые отношения Pi(Q1,…, Qm).
Само отображение (6.2), при этом называется изоморфизмом моделей или изоморфизмом реализацией R(T) и R'(T), а также изоморфизмом аксиоматических структур T;P;R и T;P';R'.
Другими словами, изоморфизм моделей - это такое взаимно-однозначное соответствие между элементами моделей, которое сохраняет все отношения элементов в этих моделях.
В примере 1, приведенном выше модели R2 и L2 не изоморфны. В примере 2 модели 2 и E2 изоморфны.
6.6 Вопросы и задания к теме «Математические структуры и аксиоматические теории». Вопросы.
1. Приведите примеры отношений между базовыми объектами в геометрии.
2. Приведите примеры отношений эквивалентности.
3. Дайте определение математической структуры и приведите примеры.
4. Дайте определение реализации системы аксиом, структур.
5. Дайте определение изоморфизма структур.
Задания.
1. Перечислите базовые объекты и их отношения в числовых системах натурального ряда, рациональных чисел, действительных чисел.
2. Приведите примеры изоморфных структур, изоморфных реализаций аксиоматических систем.
3. Покажите, что модели плоскости Евклида и плоскости Лобачевского не изоморфны.
4. Постройте пример аксиоматической теории не имеющий реализаций.
5. Можно ли считать всякое свойство реализации структуры истинным утверждением теории этой структуры?
§7 Требования, предъявляемые к системам аксиом. 7.1 Непротиворечивость системы аксиом.Система аксиом называется непротиворечивой или совместной, если в теории Т∑ этой системы аксиом невозможно доказать какое-нибудь утверждение А и доказать его отрицание А. В противном случае система аксиом называется противоречивой или несовместной.
Теория Т∑ , содержащая вместе с некоторым утверждением АТ∑ и отрицание этого утверждения АТ∑ называется не классической теорией. С точки зрения "здравого смысла" такая теория абсурдна, так как в мире "реальных вещей" некоторое свойство А "выражает" отношение этих реальных вещей и не может одновременно "не выражать" это отношение.
Теоретическая проверка совместности системы аксиом, основанная на непосредственном определении совместности, затруднительна. Действительно, пусть мы доказали утверждения А1,А2,...,Аn теории Т∑ и пусть отрицание этих свойств А1,..., Аn невозможны в Т∑ . Где гарантия, что не найдется свойство Аn+1 , которое доказуемо вместе со своим отрицанием Аn+1 в теории Т∑ ? Такой гарантии нет, поскольку перебрать все возможные утверждения некоторой теории практически невозможно. Например, евклидова геометрия, согласно работе профессора Гарвардского университета Гаррета Биркгоффа [ ], основанная на 20 аксиомах Гильберта, включает около 20000 утверждений, получаемых логическим путем. Ясно, что нет никакой возможности проверить на непротиворечивость все эти 20000 утверждений, составляющий предмет геометрической теории Т∑ ={ А1,А2,...,А20000 }.
Мы уже говорили, что с точки зрения здравого смысла, противоречивая система аксиом не должна допускать никакой реализации или модели (кроме, быть может, мыслимой модели), так как ни одно свойство в реальной модели не может иметь место вместе со своим отрицанием. Отсюда, логично сформулировать достаточное условие совместности в следующем виде
Достаточное условие совместности (непротиворечивости) системы аксиом .
Система аксиом Т совместна (или непротиворечива), если существует хотя бы одна реализация R(T) этой системы.
Доказательство. Пусть выполняется некоторое логическое следствие ТА и его отрицание ТА. Тогда реализация R(T) содержит реализацию свойства А и реализацию его отрицания, что невозможно по определению самого понятия реализации.
Вывод 1.
Непротиворечивость всякой системы аксиом Т сводится к существованию хотя бы одной априорно не противоречивой реализации.
В качестве примера обратимся к трехмерной евклидовой геометрии. Так как одной из ее реализаций является арифметическая модель R3 (координатная модель), то евклидова геометрия не противоречива, если непротиворечива арифметика действительных чисел. Таким образом, вопрос о непротиворечивости евклидовой геометрии сводится к вопросу о непротиворечивости арифметики действительных чисел.
Если в качестве реализации евклидовой геометрии рассматривать окружающий нас мир, то непротиворечивость этой геометрии будет сведена к опытной проверке. Однако расширение границ опыта в конце ХІХ, начале ХХ столетия привело к открытию неевклидовых геометрий в мире электромагнитных явлений, в мире гравитации. Так возникла специальная теория относительности, которая построена на законах неевклидовой геометрии, связанной с геометрией Лобачевского.
В качестве второго примера рассмотрим планиметрию Лобачевского. Она имеет реализацию Пуанкаре L2, см. §5. В свою очередь L2 имеет арифметическую модель: {(x,y); y>0} –"точки", {(x-a)2+y2=k2 ,y>0} – "прямые", и так далее. Следовательно, вопрос о непротиворечивости планиметрии Лобачевского сводится, как и в случае евклидовой геометрии, к непротиворечивости арифметики.
7.2 Независимость аксиоматической системы.Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена (или опровергнута) из остальных аксиом как теорема. В противном случае система аксиом называется зависимой.
Для иллюстрации этого свойства обратимся снова к геометрической теории, основанной на аксиоматике Гильберта. Ясно, что непосредственная проверка независимости каждой из 20 аксиом затруднительна. История V постулата "Начал" Евклида является поучительным тому примером. Четвертый постулат о конгруэнтности всех прямых углов в последствии был доказан как логическое следствие других аксиом и постулатов (точнее других "очевидных" утверждений). Возник вопрос о независимости или прямом доказательстве следующего, пятого постулата о параллельных прямых. Тем более, см. замечание к аксиоме параллельности в §2 , что как бы "половина доказательства" аксиомы параллельности уже была известна. Более двух тысяч лет предпринимались попытки доказать одно из двух: либо то, что V постулат есть логическое следствие других "более очевидных" утверждений, либо то, что он не доказывается исходя из каких-либо "очевидных" утверждений, аксиом и постулатов.
Сформулируем назревший вопрос. Существует ли эффективное достаточное условие для проверки независимости какого-либо утверждения А от системы аксиом Т (проверенной уже на совместность). Такое условие существует и для совместной системы аксиом формируется следующим образом в терминах реализаций.
Теорема. Пусть Т – непротиворечивая система аксиом. Утверждение А не зависит от системы аксиом Т, если вместе с некоторой реализацией R1 (Т , А) системы Т и утверждения А существует некоторая другая реализация R2(T, А ) системы Т и отрицания утверждения А.
Доказательство. Пусть существует реализация R2(T, A) системы аксиом Т и отрицания утверждения - А, и пусть Т А. Тогда реализация R2(T, A) содержит вместе со свойством А и его отрицание А= (А), что несовместимо с понятием реализации (см. п.6.3, §6, если в реализации выполняется некоторое свойство, то не может выполнятся одновременно и его отрицание). Следовательно, предположение ТА (о том, что А следует из Т) неверно. Точно так же можно проверить, что наличие реализации R1(Т ,А) не позволяет опровергнуть утверждение А. Действительно, пусть Т˥ А, то есть, имеет место опровержение утверждения А. Тогда реализация R1(Т , А) вместе со свойством А обладает и свойством А, что невозможно по определению реализации. Теорема доказана.
В качестве применения этого достаточного условия докажем независимость аксиомы параллельности от всех остальных 14 аксиом планиметрии.
7.3 Независимость аксиомы параллельности.Напомним, что планиметрия строится на основе системы из 15 аксиом, включая аксиому параллельности (см. Аксиоматику Д. Гильберта в п.2.2.,§2). Пусть Т={T1,...,T14} – система аксиом абсолютной планиметрии без аксиомы параллельности, П – аксиома параллельности евклидовой геометрии. В качестве реализации R1(T,П) системы аксиом Т и П возьмем модель R2 - арифметической евклидовой плоскости : R2= R1(T,П). В качестве реализаций R2(T,П) возьмем модель Пуанкаре L2= R2(T,П). Непротиворечивость этих реализаций сводится, как было замечено в п.7.1, к непротиворечивости арифметики действительных чисел. Существование реализаций R1(T,П) и R2(T,П), согласно достаточному условию, сформулированному и доказанному в п.7.2, влечет независимость аксиомы параллельности П евклидовой геометрии от остальных 14 аксиом планиметрии. Действительно, допустим, что аксиому параллельности в формулировке евклидовой геометрии можно доказать. Тогда имеет место импликация Т={T1,...,T14}=> П. Но это противоречит существованию реализации L2= R2(T,П), в которой окажутся два взаимоисключающих утверждения П и П. Допустим, что эту аксиому параллельности можно опровергнуть. Тогда справедлива следующая импликация Т={T1,...,T14}=>П. Но это противоречит реализации R2= R1(T,П), в которой снова окажутся два взаимоисключающих утверждения П и П. Независимость аксиомы параллельности в евклидовой геометрии доказана.
Аналогично доказывается независимость аксиомы параллельности в геометрии Лобачевского с использованием тех же реализаций - реализации
R2= R1(T,П) и L2= R2(T,П).
Замечание 1.
Доказательство независимости остальных аксиом геометрии можно найти, например, в [7], [8].

7.4 Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом. Теория Т всякой структуры = {T, Ð, M} состоит из множества У – утверждений или высказываний, связывающих некоторым отношением заданные или вновь построенные объекты этой структуры. Любое высказывание «у» этой теории обладает одним из следующих трех свойств. Высказывание «у» является доказуемым в теории Т∑, то есть, истинным, обозначим множество таких высказываний И. Высказывание «у» опровержимо в системе Т∑, то есть, ложное, обозначим множество таких высказываний Л. Наконец, высказывание «у» является ни доказуемым, ни опровержимым, то есть неопределенным, множество таких неопределённых высказываний обозначим Н. Таким образом, множество всех высказываний У заявляющих о наличии некоторого отношения объектов структуры ∑Т, есть сумма непересекающихся классов истинных, ложных и неопределённых утверждений:
У=И U Л U Н (7.1)
Определение (дедуктивной полноты).
Непротиворечивая система аксиом Т называется дедуктивно-полной, если в определяемой ею теории всякое предложение либо доказуемо, либо опровержимо.
Другими словами, в теории всех высказываний такой системы Т недоказуемые и неопровержимые (неопределенные) утверждения отсутствуют и разложение (7.1) принимает вид:
У=И U Л (7.2)
Например, система аксиом Т абсолютной геометрии, состоящая из аксиом Д. Гильберта с исключенной аксиомой П - параллельности прямых, дедуктивно неполна. Действительно, аксиома параллельности П не доказуема и не опровержима в системе Т, так как П не зависит от Т, поэтому утверждения основанные на этой аксиоме будут так же ни доказуемыми, ни опровержимыми, то есть неопределёнными.
Вся система аксиом Гильберта обладает свойством дедуктивной полноты, см., например, [7], [8].
В случае дедуктивно неполной системы аксиом можно найти две неизоморфные модели. В качестве примера можно взять систему аксиом абсолютной планиметрии и ее две реализации в модели R2 и в модели L2. Мы уже показали, см. пример п.6.5. §6, что модели R2 и L2 неизоморфны.
Критерием дедуктивной полноты является следующее свойство категоричности системы аксиом.
Определение (категоричности).
Непротиворечивая, система аксиом называется категоричной, если любые ее модели (реализации) изоморфны.
Рассмотренный выше пример системы аксиом абсолютной геометрии представляет пример некатегоричной системы аксиом, так как существуют две неизоморфные реализации L2 и R2 этой системы.
Приведем без доказательства следующий критерий дедуктивной полноты.
Если система аксиом категорична, то она является дедуктивно полной.
Обратное утверждение не справедливо. Рассмотрим следующий пример аксиоматической теории, определяемой совместной (непротиворечивой) аксиоматической системой состоящей из следующих семи аксиом.Пример 1( дедуктивно полной, но не категоричной системы аксиом).
Аксиома рефлексивности: х(хх).
Аксиомы антисимметричности: х,у(ху ух х=у).
Аксиома транзитивности: х,у,z(ху уz ху).
Аксиома линейности: х,у(ху ух).
Аксиома плотности: х,уz(ху хzу yzx)
Аксиома отсутствия наименьшего элемента: хz (zy).
Аксиома отсутствия наибольшего элемента: хz (zy).
Эта система аксиом дедуктивно полна, см. например, [11], но не категорична, так как имеет две неизоморфные модели: Q - множество рациональных чисел и R - множество действительных чисел.
7.5 Историческая роль V постулата Евклида в развитии оснований математики. Исключительная роль V постулата "Начал" Евклида в развитии оснований математики состоит в том, что в течение почти двух тысяч лет предпринимались безуспешные попытки доказательства этого постулата в качестве Теоремы. Сложившуюся иллюзию у математиков по поводу возможности доказать этот постулат мы обсудили в п. 2.1.3 Историческое развитие дедуктивной схемы «Начал» Евклида.
Около 1826 года Н. И. Лобачевским была впервые осознана независимость аксиомы параллельности от остальных аксиом геометрии. Этот факт явился первым важным историческим шагом на начальном этапе развитии современной теории оснований математики. Осознать этот факт Лобачевский сумел благодаря тому, что к построению непротиворечивой геометрической теории он пришёл, основываясь на утверждении противном тому, что требовалось доказать. А именно, Лобачевский предположил, что аксиома параллельности, формулируемая в евклидовой геометрии не верна. Он сформулировал свою аксиому параллельности, предположив, что параллельных к заданной прямой линии, по крайней мере, две содержащих заданную точку не лежащую на этой прямой и стал строить в этих предположениях геометрию надеясь получить противоречие. Но вместо противоречия он получил совершенно новую мыслимую геометрию, в которой противоречий не было, но открывались удивительные факты.
Следующий важный шаг состоял в том, что математическим миром была принята "мыслимая" неевклидова геометрии и началось исследование отношений между аксиоматической геометрической теорией и ее моделью. Этот шаг был проделан трудами А. Пуанкаре, Ф. Клейна (1842- 1925г.г.), К. Ф. Гаусса и др. математиков ХIХ века.
Эти геометрические исследования второй половины ХIХ века послужили мощным импульсом пересмотра аксиоматических начал всей математики.
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1843-1918) предпринял попытку аксиоматического построения теории множеств, правда, не выдвигая ни каких требований к аксиоматическим теориям. Исследование противоречий языкового характера, с которыми столкнулись математики в его «наивной теории множеств» привели, наконец, к современному пониманию требований, предъявляемых к системам аксиом. И, в конце концов, в 1899 г. появляется практически современная геометрическая аксиоматика Д. Гильберта, которая легла в основу современного метода построения математических теорий по аксиоматической схеме и в последствии легла в основу формирования математических структур о которых мы говорим в этой главе.
7.6 Вопросы и задания к теме «Требования, предъявляемые к системе аксиом»
Вопросы
1. Сформулировать понятие непротиворечивости системы аксиом и достаточное условие этой непротиворечивости.
2. Сформулировать понятие независимости некоторой аксиомы от остальных аксиом и достаточное условие этой независимости.
3. Дать определение дедуктивной полноты системы аксиом и привести примеры дедуктивно полной и неполной аксиоматик в геометрии.
4. Какова историческая роль пятого постулата Евклида о параллельных прямых?
Задания
1.Как проверить независимость аксиом геометрии в аксиоматике Д.Гильберта?
2. Показать, что аксиомы параллельности в форме Евклида и в форме Лобачевского не зависит от остальных аксиом.
3. Показать, что аксиоматика векторного пространства дедуктивно полна. Указание: использовать тот факт, что все векторные пространства одинаковой размерности изоморфны арифметической модели векторного пространства той же размерности и воспользоваться критерием категоричности приобосновании дедуктивной полноты.
4. Показать, что существуют неизоморфные модели аксиоматической теории примера 1 п. 7.5.
§8 Смысловой анализ текстовых продуктов. 8.1 Понятие смыслового анализа текстового продукта. Под смыслом текста мы будем понимать языковую реализацию ( языковое описание) какого-либо явления или, что тоже самое, мысленное моделирование этого явления. Если текст не представляет реализацию какого-либо явления, то этот текст, а также соответствующую мысленную модель будем считать бессмысленными.
Исследование наличия смыслового содержания в тексте назовём смысловым анализом текстового продукта.
Мы остановимся на смысловом анализе только тех текстовых продуктов, в которых осуществляется построение или доказательство некоторых утверждений по дедуктивной схеме.
Систему аксиом Т и ее аксиоматическую теорию Т можно рассматривать как мыслимую или абстрактную теорию не заботясь о существовании её реализации. Если существует реализация R(T) этой построенной мыслимой теории, то соответствие между элементами мыслимой теории и элементами её реализации даёт изоморфизм между мыслимой структурой и реальной моделью этой структуры Таким образом, мы можем заключить следующее.
Вывод. Текст имеет смысл, если существует изоморфизм мыслимой структуры на реализацию этой структуры. Поэтому смысловой анализ текстового продукта сводится к построению такого изоморфизма.
8.2 Языковые свойства имен объектов.
Готлоб Фреге впервые обратил внимание на то, что имя каждого объекта имеет два значения: предметное и смысловое. По его “теории смысла” с понятием имени связаны три отношения к объекту: предметное, смысловое и знаковое. Определим их:
Денотат имени - это предметное значение имени, т.е. сам именуемый объект.
Концепт имени - это смысловое значение имени, т.е. то объективное содержание, которое выражается именем.
Константы - это сами имена индивидуальных предметов, но не имена свойств и отношений.
Наличие у имен двух значений - предметного и смыслового, приводит к двузначности имени: если имеется в виду концепт имени, то говорят об интенциональном значении имени, если же имеется в виду денотат имени, то говорят об экстенциональном значении имени.
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
“Число 2” - это имя имеет определенный денотат и концепт.
Пример 2.
Имена: “Отношение эквивалентности”, “подобие”, “параллельность” имеют определенный концепт, как некоторые отношения. В то же время денотаты этих имен не определены.
Пример 3.
Имя “4“ - символ, представляющий определенный денотат - число 2. Однако, его концепт неопределен: 4 - операция или 4 - величина?
8.3 Проблема выражения смысла.Двузначность “имени” придает гибкость языку, как средству коммуникации и, в то же время, делает его несовершенным как знаковое средство передачи информации. Действительно, последовательность слов, как знаковых единиц несущих двузначный смысл, накапливает смысловую неопределенность или смысловую многозначность от слова к слову. В конце концов, смысл предложения, как знаковой цепочки, может стать неопределенным. Мера определенности, будет также зависеть от свойства субъекта использовать синонимы – образные и смысловые словесные аналоги. Видимо, мера определённости является мерой символьной длины формального предложения, состоящего из знаковых единиц несущих смысл – слов. Потому построение изоморфизма между мыслимой и реальной моделями может оказаться затруднительным у достаточно длинного предложения.
Математики всегда сознавали несовершенство естественного языка, когда речь шла об однозначном толковании информации. Громоздкие языковые конструкции затрудняли математическую деятельность, которая сводилась к описанию моделей, структур и изоморфизмов. Это послужило причиной возникновения символьного языка математической логики, предметных языков геометрии, теории множеств и т.д. Однако, символьный язык не смог полностью заменить естественный язык, так как язык изложения по необходимости всегда шире предметного языка самой теории.
Требование математической строгости, с одной стороны, заключается в изоморфном описании структур, т.е. требуется, чтобы некоторый минимум свойств-аксиом однозначно представлял объекты по их отношениям. С другой стороны, всякое рассуждение должно начинаться с явного описания соответствующей предметной области. Эти два требования, как правило, несовместимы. А эта несовместимость и порождает проблему выражения смысла.
8.4 Понятие искусственного языка.Всякий предметный или искусственный язык состоит из следующих компонентов:
1. Алфавит (конечный список исходных символов).
2. Правила построения термов (имен и именных форм).
3. Правила построения формул (высказываний и высказывательных форм).
4. Интерпретации языка.
Пункты 1-3 представляют синтаксис языка; пункт 4 представляет семантику языка. Если вернуться к трём функциям Л.Эйлера языковой знаковой системы, то мы видим, что п.3 формирует логическую функцию, п.п.1-2 формируют коммуникационную функцию, а п.4 отвечает за реализацию опорной функции.
Математические языки является искусственными языками и носят исключительно информативный характер. В этих языках используются только повествовательные предложения (высказывания). Формы мыслительной деятельности не представляющиеся повествовательными предложениями в этих языках невыразимы.
Самым простым искусственным языком, позволяющим строить импликации, является язык математической логики первого порядка, [11].
Предметные языки – геометрический язык и язык теории множеств считаются более сложными, так как содержат отношения включения и другие, не заданные в языке логики первого порядка.
Искусственные языки делятся по уровням сложности в зависимости от типов отношений, которые они описывают.
Описание свойств моделей в зависимости от уровня языка требует специальных сведений по математической логике [11], которые не входят в круг рассматриваемых нами вопросов.
8.5 Понятие и анализ парадоксов.Проблема выражения смысла при помощи текста отражает несоответствие естественного и искусственного языков, а также несоответствие между самими искусственными языками, относящимися к моделям разного уровня сложности. Эти несоответствия мы обнаруживаем в виде различных парадоксов.
Парадоксами будем называть текстовые утверждение, логические следствие которых приводит к противоречиям.
Таким способом определённые парадоксы следует отнести к бессмысленным текстовым продуктам. Следовательно, анализ парадокса связан с исследованием изоморфизма - соответствия мыслимой и реальной структур.
Мы ограничимся нестрогим анализом текстов некоторых парадоксов, возникающих при дедуктивном построении теорий, используя лишь понятия изоморфизма мысленной и реальной структур, а также свойств совместности, независимости и категоричности систем аксиом и будем опираться на построенные примеры математических структур.
Мы выделим два следующих типа соответствий, возникающих при мысленном моделировании дедуктивных теорий.
Первый тип. Согласно выводу п. 8.1, изоморфизм мыслимой структуры на некоторую реальную структуру дает возможность “мысленно воспринимать объект” или, что тоже, выражать мысль в виде отношения каких-то элементов внешнего объекта в знаковой форме. Этот первый тип отношений мы назовём существованием реализации мыслимой теории.
Второй тип. Соответствие между языками моделей представляется структурными изоморфизмами. Этот второй тип соответствия мы назовём структурным изоморфизмом.
Рассмотрим текстовые противоречия с точки зрения нарушения одного из двух указанных типов соответствия между языками моделей на примерах известных парадоксов.
8.6 “Ахиллес и черепаха”.Понятийный аппарат человеческого разума способен создавать автономные модели. Эти мыслимые модели могут не иметь образов в реальном мире. Противоречие в таком случае снимается исследованием изоморфизма между мыслимой моделью и моделью определенного объекта. Рассмотрим пример.
Апория “Ахиллес и черепаха” принадлежит Зенону из Элен (483-375 гг. до н.э.) и состоит в следующем.
«Легендарный бегун Ахиллес движется в два раза быстрее черепахи. В момент старта черепаха находилась на расстоянии “а” от Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит этот отрезок “а”, то черепаха уползет вперед на расстояние “а”/2. Когда Ахиллес пробежит отрезок “а”/2, то черепаха уползет вперед на “а”/4. Когда Ахиллес пробежит “а”/4, то черепаха продвинется вперед еще на “а”/8 и т.д. Этот процесс бесконечен, и Ахиллес никогда не догонит черепаху».
Зенон считает, что в реальном мире каждая физическая операция требует некоторого времени, которое больше некоторого фиксированного временного интервала. Поэтому всякая бесконечная последовательность физических операций “выполнима” лишь за бесконечный промежуток времени.
Апория построена на интуитивном убеждении, что никакие бесконечные процессы завершиться не могут. Именно это и приводит к противоречию.
Надо объяснить каким образом рассматриваемый “мысленно” бесконечный процесс все же закончится.
Герман Вейль в начале XX века дал следующее объяснение этой апории. В мыслимой модели существует бесконечная последовательность 1,2,3,...,n,... временных событий (Ахиллес проходит расстояние “а”/2n) с неограниченно убывающим временным интервалом tn =1/2n. В реальности, сумма таких интервалов существует и равна 2 ед. времени, поэтому через эти две единицы времени Ахиллес догонит черепаху.
Мы видим, что в апории Зенона «Ахиллес и черепаха» отсутствует изоморфизм мыслимой и реальной структур, по нашей классификации нарушено соответствие первого типа. Изоморфизм нарушен там, где Зенон неверно оценил сумму временных интервалов.
8.7 Парадокс пустого множества.Рассмотрим высказывание Т{всё, что я скажу, ложь}. Первый вопрос, который у нас возникает истинно это утверждение или ложно?
По своему смыслу это высказывание ложно, так как заявлено, что любое моё высказывание – ложь. С другой стороны истина в том, что я только лгу, поэтому это высказывание истинно. Таким образом, Т не является ни истинным, ни ложным. В чем суть противоречия?
Рассмотрим утверждение “Т” как аксиому и будем считать, что есть некоторая мыслимая структура и теория этой структуры, построенные на основе этой аксиомы. Рассмотрим существование реализации R(T) мыслимой теории построенной по этой аксиоме Т. Реализация есть пустое множество, поскольку не существует языка, в котором все утверждения лживы. Если бы реализация такого языка нашлась, то в этой реализации мы имели бы некоторое свойство и его отрицание одновременно, что противоречит понятию реализации как совокупности конкретных свойств. Поэтому не существует изоморфизма мыслимой модели Т ни на какую реализацию R(T). Следовательно, согласно определению смысла текстового объекта в выводе п.8.1, заключаем, что утверждение Т{всё, что я скажу, ложь} является бессмысленным.
Вывод. Утверждение такого типа, когда мыслимые теории не имеют реальных моделей, можно называть бессмысленным, а парадоксы – противоречия, возникающие в таких теориях, будем называть парадоксами пустого множества.
8.8 Парадокс конечной достижимости в очереди.Моделью «очереди» или линейного порядка будем называть всякую реализацию аксиом 1 – 4 из 5 аксиом Пеано структуры натурального ряда, см. п. 1.1 §1. Элемент х будем называть достижимым в «очереди», если этот элемент х=S(...S(S(1))) получен конечным числом операций следования S из первого элемента “1”. Вопрос: всякий ли элемент «очереди» достижим?
В качестве первой модели возьмём модель натурального ряда N = { 1,2,3,…,} в десятичной записи. Для доказательства конечной достижимости всех элементов в этой модели воспользуемся аксиомой 5 “Математической индукции” аксиоматики Пеано, см. п.1.1. 1. Пусть М - множество всех достижимых элементов. Это множество удовлетворяет свойствам 1-4 аксиоматики Пеано: 1М, S(1) М; если М, то S(х)М и так далее. Следовательно, по аксиоме 5, заключаем, что МN, т.е. все элементы натурального ряда достижимы.
В качестве второй модели «очереди» возьмём модель Торальфа Сколема . Эта модель представляет линейную цепочку вида: ( п.1.1. 1)
Т = 1, 2, ... , n, ... ; ..., а-2, а -1, а0, а1, а2, ... ; ... ,
Первые четыре аксиомы аксиоматики Пеано, формирующие структуру «очереди», для этой цепочки выполняются. В этой модели второй и следующие за ним блоки имеют вид:
..., а-2, а -1, а0, а1, а2, ...
и содержат недостижимые элементы. Получили парадокс: в одной модели линейного порядка N все элементы достижимы, в другой модели линейного порядка – Т оказались недостижимые элементы.
Мы получили некоторое противоречие, которое состоит в том, что на вопрос достижимы (или не достижимы) все элементы «очереди» нет однозначного ответа: в одной модели есть, в другой модели нет этой достижимости.
Покажем, что свойство достижимости, назовем его аксиомой Д, не зависит от первых четырёх аксиом Пеано, следовательно, не является логически выводимым в теории аксиоматики состоящей только из первых четырёх аксиом.. Пусть П= П1, ... ,П4 - аксиоматика структуры линейного порядка, см. п.1.1, 1.
Модель Сколема Т реализует систему Аксиом П и отрицание аксиомы достижимости: Т=R1П,Д. Модель десятичного систематического представления N натурального ряда реализует аксиомы П и аксиому достижимости: N=R2(П, Д). Следовательно, согласно достаточным условиям независимости системы аксиом, п.7.3., 7, заключаем, что аксиома Д не зависит от системы четырёх аксиом линейного порядка П.
Вывод 1. В теории структуры линейного порядка определяемого первыми четырьмя аксиомами аксиоматики Пеано свойство достижимости не доказуемо и не опровержимо, подобно тому, как в абсолютной планиметрии не доказуема и не опровержима аксиома параллельности.
Вывод 2. Парадокс конечной достижимости в структуре линейного порядка есть следствие существования неизоморфных моделей этой структуры.
8.9 Противоречивость в дедуктивных схемах Можно ли в процессе дискуссии основываясь на одних и тех же фактах придти к противоречащим друг – другу выводам? Рассмотрим следующий пример.
Пример .
Из 15 аксиом планиметрии Евклида Е2 и 15 аксиом планиметрии Лобачевского L2 удалим аксиомы параллельности. Оставшиеся 14 аксиом составляют аксиоматику абсолютной планиметрии.
Напомним, что теория абсолютной планиметрии не категорична, т.к. существуют две её неизоморфные реализации: L2 не изоморфна R2. Эта теория дедуктивно не полна, т.к. аксиома параллельности не выводима из остальных аксиом. Начнём строить умозаключения в этой теории и посмотрим, к чему это может привести.
Три признака равенства треугольников справедливы в абсолютной планиметрии, так как при их доказательстве не используется свойство параллельности. Следовательно, как в реализации L2 , так и в реализации Е2 эти три признака равенства треугольников справедливы. Но если мы начнём строить логические следствия основанные на свойствах параллельных прямых, то обнаружим взаимно- исключающие факты. Например, в плоскости L2, см. §5, мы “видим” два равных треугольника по трем равным углам, а также две прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Этого “увидеть” в плоскости R2 мы не можем, в том же §5 есть и другие «неевклидовы » эффекты в плоскости Лобачевского L2 .
Таким образом, одна и та же система аксиом абсолютной планиметрии , реализованная в неизоморфных моделях имеет противоречивые, взаимно-исключающие “визуальные” эффекты. Почему это возможно? Дело в том, что неизоморфные модели в нашем случае содержат такие отношения, которые связаны с реализацией неучтённых нами аксиом параллельности в этих реализациях, а эти аксиомы имеют противоположное толкование.
Вывод 1. Дискуссии, основанные на дедуктивно не полных и не категоричных системах аксиом, могут привести к взаимоисключающим выводам по причине того, что неизоморфные реализации могут содержать неучтённые аксиомы, имеющие в неизоморфных реализациях взаимно-исключающее толкование.
Вывод 2. Дедуктивная схема построения теории может не дать однозначного вывода, если не известны все базовые аксиомы теории.8.10 Вопросы и задания к теме «Смысловой анализ текстовых продуктов»
Вопросы
1. Как определить наличие или отсутствие смысла в текстовом продукте?
2. Дайте определение парадоксу.
3. Приведите примеры парадоксальных умозаключений.
4. На чём могут быть основаны противоречия при дедуктивном построении утверждений.
Задания
1. Покажите, что доказательства «от противного» основаны на парадоксе пустого множества.
2. Приведите примеры парадоксов и проведите анализ смысла высказываний в этих парадоксах:
- парадокс «Ахиллес и черепаха »;
- парадокс конечной достижимости в системе линейного порядка.

ГЛАВА IIIМатематическое моделирование случайных событий§ 9 Понятие вероятности случайного события.9.1 Необходимость изучения случайных событий. Изучение аксиоматического метода построения математических моделей мы закончили неутешительным выводом о том, что если нам не известны все базовые положения - аксиомы модели, которую мы собираемся построить, или мы не уверены в полноте набора базовых аксиом модели, то нас могут ожидать парадоксальные выводы в виде логических противоречий. Что же делать, когда нельзя положиться на логику языка? Выход один, положиться на исход события в виде благоприятного случая, если, первое, мы можем вычислить меру интересующего нас благоприятного исхода и, второе, эта мера нас устроит при принятии определённого решения.
Рассмотрим традиционный пример бросания монеты. Известный математик К. Пирсон бросал монету 24 000 раз (вот это терпение!), и при этом сторона с гербом выпала 12 012 раз. Никакими логическими построениями предугадать исход именно с таким числом выпадения орла нельзя. Но можно обратить внимание на то, что при каждом бросании монеты допустимо два равновозможных исхода, и при 24 000 бросаниях почти половина приходится на каждый из них. В известных учебниках по теории вероятности приводится следующий результат десяти серий по 1000 бросаний монеты: 529, 504, 528, 507, 476, 504, 529, 497, 518, 502. Таким образом, мы видим, что при многократном повторении эксперимента (бросания монеты) наблюдается тенденция равновозможных реализаций двух сторон монеты.
Приведём ещё один пример. В России в последнее десятилетие ежегодно попадают под автомобили и погибают порядка 36 000 человек, в один день это порядка 100 печальных случаев по стране. Из многомиллионного населения страны проезжую часть ежедневно переходит не менее порядка 50 000 000 пешеходов (некоторые пешеходы пересекают дорогу многократно). Таким образом, шанс оказаться среди этих 100 несчастных случаев составляет что - то около 0, 0002 %. Логически мы не можем предопределить исход такого печального события, но столь малый процент прогноза нас не только не пугает, но и ни чему не учит (к сожалению, мы часто переходим проезжую часть в неположенном месте).
Этот второй пример принципиально отличается от первого. В первом примере мера появления герба при бросании монеты имеет тенденцию: каждая сторона любой монеты имеет половину шансов. Во втором примере мера несчастного случая 0,0002% неодинакова для всех пешеходов, эта мера очень сильно зависит от культуры пешехода.
Объективности ради следует сказать, что математики научились измерять долю «удачи» при ожидании «необходимого» нам случая, Для этого был построен специальный математический язык – теория вероятности.
Вывод. Когда нельзя положиться на логику языка, мы ищем возможность вычислить меру возможности реализации интересующего нас случая.
9.2 Относительная частота и вероятность случайного события.
Если событие неизбежно произойдёт, его называют достоверным, если событие в данных условиях не реализуется, его называют невозможным событием. Событие, которое при данных обстоятельствах может реализоваться или не реализоваться называют случайным событием.
Мерой реализации случайного события является его вероятность, как мера объективной возможности. Существование меры объективной возможности реализации случайного события объясняется следующим образом. Будем многократно повторять испытания, при которых возможна реализация случайного события А. Пусть n – общее число таких испытаний, и пусть nA - число реализации события А в этих n испытаниях. Отношение рА = nA / n называется относительной частотой случайного события А. Если при многократном повторении испытания относительная частота имеет тенденцию группироваться около некоторого числа РА , то это число объективно является мерой реализации случайного события А и называется вероятностью этого случайного события.
В первом примере п. 9.1 при бросании монеты случайное событие – выпадение орла имеет вероятность 1/2. В этом примере относительная частота рА имеет тенденцию группироваться около значения 1/2. Во втором примере относительная частота - показатель трагических происшествий на дороге, меняется из года в год, зависит от города, от дисциплинированности пешеходов и водителей и так далее, и не имеет тенденции группироваться около некоторой величины. Поэтому случайное событие этого примера не имеет точного измерения в виде относительной частоты, поэтому не имеет и фиксированной вероятности.
Свойство относительных частот группироваться около некоторой числовой величины называют статистической устойчивостью.
Вывод 1. Случайные события, которые при многократно повторяющихся испытаниях не проявляют свойство статистической устойчивости, не обладают такой характеристикой как вероятность.
Замечание. Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю
Пример . Бросается кубик с шестью гранями, помеченными цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность того, что при бросании кубика реализуется одно конкретное из этих чисел, равна 1/6. Реализация любого другого числа при однократном бросании есть невозможное событие и его вероятность ноль. Реализация хотя бы одного из указанных чисел при одном бросании, например, пяти есть событие достоверное и его вероятность единица.
9.3 Классическое определение вероятности. Нахождение вероятности посредством подсчёта относительных частот в серии испытаний дело хлопотное. Существует равнозначное или эквивалентное определение основанное на некоторых дополнительных понятиях.
Случайные события А1 и А2 несовместны, если реализация одного из них исключает возможность реализации другого. Например, реализация грани кубика с цифрой 1 исключает при одном испытании реализацию грани с другой цифрой.
Попарно несовместные случайные события А1, А2, …, Аn составляют полную группу элементарных событий, если при каждом испытании реализуется какое - либо одно из них.
Случайные события А1, А2, …, Аn называются равновозможными, если теоретические рассуждения о нахождении их относительных частот показывают, что их относительные частоты равны. Например, реализации граней кубика при его бросании можно считать равновозможными случайными событиями, реализации двух сторон монеты также равновозможные случайные события. Заметим, что если монета прогнута, то две её стороны не являются равновозможными событиями при бросании. Если центр тяжести кубика находится ближе к какой – либо грани, то реализация этой грани при бросании более вероятна, чем реализация других граней при бросании кубика.
Будем говорить, что случайное событие Ак благоприятствует случайному событию А, если реализация Ак влечёт реализацию события А. Например, случайному событию « при бросании кубика выпадет число равное или меньшее трёх» благоприятствуют реализации граней с номерами 1, 2 и 3.
Определение. Пусть n попарно несовместных случайных событий образует полную группу элементарных событий и пусть случайному событию А благоприятствуют nA случайных событий из этой полной группы, тогда вероятностью события А называется число, равное отношению
PA = nA / n
Пример 1. Какова вероятность того, что при двух бросаниях кубика в сумме выпадет число больше, чем 10?
Решение. При двух испытаниях полная группа элементарных равновозможных исходов состоит из 6х6 = 36 исходов: (1,1), (1,2), …, (1,6); (2,1), …, (2,6); …; (6,1),…, (6,6). Сумме больше десяти благоприятствуют три исхода (5,6), (6,5), (6,6). Поэтому искомая вероятность есть 3/36 = 1/12.
Пример 2. Вероятность того, что при семи бросаниях кубика выпадет сумма большая семи, равна единице, так как это событие достоверное.
9.4 Вопросы и задания к теме «Понятие вероятности случайного события»
Вопросы
1. Что такое статистическая устойчивость случайного события?
2. Как соотносятся относительная частота случайного события и его классическая вероятность?
3. Всякое ли случайное событие имеет вероятность?
4. Какова вероятность того, что сумма очков выпадет больше трёх при двух бросаниях кубика?
5. Можно или нет вычислить вероятность дождя на новый год?
Задания
1.Приведите примеры случайных событий, не обладающих статистической устойчивостью.
2. Приведите примеры случайных событий обладающих статистической устойчивостью.
3. Вычислите количество равновозможных элементарных исходов при десяти бросаниях кубика.
4. Вычислите вероятность того, что при трёх бросаниях кубика выпадет в сумме:
-более четырёх очков;
-менее семнадцати очков.
§10. Моделирование случайных событий случайными величинами.
10.1 Понятие случайной величины. Случайным событиям, которые могут реализоваться при некотором испытании, по условию задачи могут быть присвоены числовые значения. Тогда можно говорить о случайных числовых величинах. Например, грани кубика можно пронумеровать числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, тогда можно говорить о реализации этих чисел с вероятностями 1/6. В этом случае полную группу элементарных равновозможных исходов составляют указанные равновозможные случайные величины.
Пусть случайные величины x1, x2, …, xn, образуют конечное множество из n элементов, или пусть множество случайных величин x1,x2 , …, xn, … нумеруется натуральным рядом 1,2,…, n, …, (в последнем случае последовательность x1, x2, …, xn, …, называют счётной), тогда эти случайные величины называют дискретной случайной величиной.
Если дискретные случайные величины образуют полную группу элементарных событий, не обязательно равновозможных, то сумма их вероятностей pk должна равняться единице:
k=1k=npk = 1, k=1k=∞pk= 1
Множество случайных величин может быть не только дискретным, то есть конечным или счётным. Например, если случайное событие состоит в том, что выбирается наугад порция отрезка или квадрата, то в качестве случайных событий выступают геометрические объекты, а их мерой являются геометрические меры: длина, площадь, объём. Случайные величины - точки, заполняющие геометрические объекты, называют непрерывными случайными величинами.
10.2 Геометрические вероятности. Рассмотрим две следующие задачи, иллюстрирующие суть непрерывных случайных величин.
1. Игра « Мексиканский ковёр».
Хозяин ковра разлинованного на мелкие квадраты, каждый из которых несколько крупнее монеты, предлагает вам бросить на ковёр наугад монету. Когда монета пересекает контур квадрата, тогда хозяин ковра забирает монету себе, если монета не пересекает контур квадрата, а оказывается внутри квадрата, то хозяин отдаёт вам равнозначную монету. Какова вероятность выиграть или проиграть в этой игре?
Решение задачи. Можно считать, что все квадраты равноправны, поэтому можно ограничиться рассмотрением исходов испытаний в одном квадрате. Каждый исход однозначно определяется положением центра круглой монеты внутри квадрата. Поэтому множество всех исходов есть множество точек квадрата со стороной длины «а». Рассмотрим ситуацию изображённую справа на рисунке 10.1, когда монета касается контура квадрата.
a
выигрыш
проигрыш
r

Рис. 10.1.
Выигрышу соответствуют исходы, когда центр монеты попадает во внутренний квадрат со стороной длины (а – 2r), где r – радиус монеты. Проигрышу соответствуют исходы, когда центр монеты находится за пределами внутреннего квадрата. Таким образом, множество случайных событий в данной задаче есть непрерывная случайная величина – точки квадрата со стороной «а». В качестве меры таких исходов естественно выбрать геометрическую меру плоских фигур - площадь. Полная группа элементарных равновозможных случайных исходов в этой задаче состоит из точек внешнего квадрата. Мерой всех этих исходов является площадь квадрата S1 = a2. Благоприятные исходы измеряются площадью внутреннего квадрата S2 =
= (а-2r)2. Вероятностью выигрыша P (B) естественно считать отношение меры благоприятных исходов к мере всех исходов


P(B) = (a-2r)2a2 = ( 1- 2ra )2В этой формуле всегда должно выполняться условие 2r < a – диаметр монеты меньше стороны квадрата, иначе всегда проигрыш. Для того, чтобы шансов на выигрыш было больше, чем 50%, должно выполняться условие

( 1- 2ra )2 > 12
Несложно вычислить, это соответствует следующему соотношению радиуса монеты и стороны квадрата: r < 0,15a.
2. Задача о встрече.
А и В имеют обыкновение ужинать в кафе «Под яблоком Ньютона», случайно заходя туда между семью и восемью часами вечера. Каждый из них ужинает двадцать минут. Какова вероятность того, что они там встретятся?
Так как A и B случайно появляются в кафе в течение часа, то можно считать, что случайная величина Х заполняет отрезок (0,1) по оси ОХ, а случайная величина У заполняет отрезок (0,1) по оси ОУ. Тогда полная группа равновозможных элементарных исходов представляется точками квадрата
(0,1) × (0,1), рис.10.2.
0 1/3 1 X
1/3
1
Y
0 x 1 X
(x, y)
Y
1
y

Рис.10.2. Рис.10.3
Условие встречи состоит в том, что разность времён появлений А и В не должна превышать 1/3 часа, это выражается неравенством
| X – Y | ≤ 13 ,
которое выделяет в квадрате точки (Х, У), соответствующие благоприятным исходам – встречам А и В, рисунок 10.3. Искомая вероятность встречи Р есть отношение площади заштрихованной фигуры соответствующей благоприятным исходам к площади единичного квадрата. Вычисляя это отношение площадей, находим Р = 4/9.
10.3 Парадокс Бертрана. Условия задач на геометрическую вероятность в предыдущих двух задачах позволяют однозначно представить случайные исходы точками геометрических объектов – квадратов и их частей. На этом основании отношение меры благоприятных исходов к мере всех равновозможных исходов однозначно представляется отношением площадей конкретных геометрических фигур.
Если условия задачи позволяют двумя или более способами представить случайные исходы точками некоторого множества, то число методов решений и ответов задачи будет определяться числом таких способов. В качестве иллюстрации приведём задачу известного математика девятнадцатого века Жозефа Бертрана.
Задача о хорде. Наугад выбирается хорда в круге. Какова вероятность того, что её длина больше стороны вписанного в эту окружность равностороннего треугольника?
Решение 1. Зафиксируем один конец хорды в произвольной точке А на окружности. Тогда множеству всех равновозможных исходов, образующих полную группу элементарных событий, соответствуют любые возможные концы A1, A2,…, рис.10.4, заполняющие всю окружность длины 2r, где r – радиус окружности. Благоприятным исходам соответствуют точки Ak, лежащие на дуге ВС, где АВС – вписанный равносторонний треугольник. Длина дуги ВС равна 2r/3. Отношение меры благоприятных исходов к мере всех исходов даст искомую вероятность P1 = 1/3.
A
A1
A2

B C
Ak
y
2r
B
2r
3
0 2r/3 A 2r x
(x,y)

Рис. 10.4.Рис. 10.5.
Решение 2. Концы хорды А и В – наугад взятые точки на окружности длины 2r. Значит множество всех равновозможных исходов – это множество точек с координатами (x,y) в квадрате со стороной длины 2r, рис.10.5. Благоприятный исход выражается условием | x-y | > 2r/3. Такое условие соответствует тому, что начало и конец хорды лежат дальше друг от друга вдоль окружности, чем 1/3 длины этой окружности, рис.10.4. Мера всех исходов – площадь квадрата равная 4r2. Мера благоприятных исходов – площадь заштрихованных треугольников, равная 16r2/9. Искомая вероятность при таком решении есть P2 = 4/9.
Почему два решения дают два различных ответа? Всё дело в том, что условие «наугад выбирается хорда» не позволяет: 1) единственным способом задать соответствие между случайными исходами и точками определённого геометрического множества; 2) нет возможности однозначно определить меру случайных исходов.
Вывод. Парадокс в задаче Бертрана возник в силу неоднозначности толкования условия «наугад выбирается хорда».

10.4 Условия корректного моделирования случайного события Парадокс Бертрана, рассмотренный в предыдущем пункте, показывает, что не всякое случайное событие может иметь однозначную вероятность своего исхода. Пример трагического исхода с пешеходами, рассмотренный в п. 9.1 выражает случайное событие в процентах, но это случайное событие не имеет вероятности, так как не обладает свойством статистической устойчивости.
Математическую модель случайного события назовём корректной, если условия, определяющие это случайное событие, позволяют однозначно вычислить вероятность этого события.
Выясним, какой комплекс условий гарантирует корректное моделирование случайного события.
Свойство статистической устойчивости случайного события, о котором говорилось в п. 9.2, гарантирует существование вероятности случайного события. Вычисляется эта вероятность согласно классическому определению как отношение меры благоприятных исходов к мере полной группы элементарных исходов. В качестве меры может служить натуральное число или геометрическая мера. Чтобы так определяемая вероятность вычислялась однозначно, надо чтобы комплекс условий позволил единственным способом реализовать группу элементарных исходов числовым множеством, на котором определена мера представления этих исходов.
Вывод. Случайное событие имеет корректную математическую модель, если комплекс условий определяющих это случайное событие 1) позволяет говорить о статистической устойчивости и 2) гарантирует однозначное представление полной группы элементарных исходов числовым множеством с соответствующей мерой.

10.5 Вопросы и задания к теме «Моделирование случайных событий случайными величинами»
Вопросы
1.В каких задачах возникают геометрические вероятности?
2.Чем объясняется парадокс Бертрана?
3. Можно ли вычислить вероятность того, что спустившись в метро, вы не будете ожидать поезда?
4. Как определяются дискретная и непрерывная случайные величины?

Задания

1. Постройте другие случаи «решения» задачи Бертрана.
2. Объясните условия корректного моделирования случайного события.
3. Приведите примеры практических задач, которые приводят к задаче о встрече.



ЗаключениеЯзык изложения нашего краткого курса математики для гуманитариев по своей сложности не выходит за рамки школьной программы, но при изучении этот курс потребует дополнительных интеллектуальных усилий.
По возможности мы опирались на язык геометрических моделей. Этот язык максимально приближен к наглядности. Наглядность – это визуальное представление информации. Строгость такого представления не ниже, чем в абстрактной символьной модели. Строгость языка рассмотренных геометрических моделей определяется свойствами непротиворечивости, независимости, категоричности и дедуктивной полноты аксиоматик Гильберта, Вейля, Лобачевского и других современных аксиоматик.
Таким образом, уровень строгости языка определяется свойствами выразимости и не зависит от степени наглядности или абстрактности.
Примеры §8 показывают, что “дефекты” выразимости присущи как визуальным, так и абстрактным аксиоматическим системам.
Какой мы сделаем вывод в конце нашего краткого курса?
Следуя высказыванию Л. Эйлера, мы заключаем, что всякая языковая знаковая система обнаруживает три основные функции естественного языка: 1) отслеживание смысла, 2) формирование умозаключений и 3) средство коммуникаций.
Первые две функции в естественном языке используются для построения мыслимых моделей и являются инструментом процесса мышления. Третья функция использует знаковые системы для связи субъекта с внешним миром и является инструментом для реализации продукта мышления. Поскольку интеллект есть способность субъекта мыслить, то язык является единственным инструментом интеллекта.
Математический язык – это искусственный язык, который позволяет оптимально кодировать, хранить и передавать информацию. Например, 20 аксиом геометрии вместе с заданием точек, прямых, плоскостей и отношениями (принадлежности, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности) образуют геометрический язык и позволяют «хранить» в геометрической структуре около 20000 утверждений, которые составляют предмет геометрической теории и могут быть логически выведены в рамках этой теории.
Язык геометрии строился несколько тысячелетий. Можно предположить, что основные геометрические структуры, изученные нами, являются каноническими моделями, по образу и подобию которых строятся многие естественнонаучные модели и теории. Мы видели, что визуальность евклидовой геометрии не делает ее менее строгой, чем чисто логические построения. Действительно, геометрические аксиоматики обладают свойствами совместности, независимости и относительной дедуктивной полнотой, которая следует из категоричности геометрических аксиоматик. Поэтому можно считать, что качество модели, иллюстрирующих какие-либо явления, также определяются наличием свойств совместности, независимости и дедуктивной полноты системы аксиом, определяющих эти модели.
Рассмотрим следующий пример дискуссионной ситуации. Тему дискуссии назовем «Абсолютная геометрия». Цель дискуссии – установить свойства фигур в такой планиметрии, в которой нет аксиомы параллельности и подтвердить эти свойства визуальными примерами. Результат дискуссии состоит в правильном ответе: да или нет на любое утверждение, сформулированное на языке геометрических отношений, задаваемых 14 аксиомами планиметрии без аксиомы параллельности.
Вопрос: Равны или нет два треугольника по трем равным сторонам?
Ответ : Да.
Действительно, этот признак равенства треугольников не зависит от аксиомы параллельности.
Вопрос: Равны два треугольника по трем равным углам?
Ответ: Ни Да, ни Нет!
Действительно, в арифметической модели евклидовой плоскости R2 ответ – Нет; в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского ответ – Да! Такая неопределенность ответа связана с дедуктивной неполнотой абсолютной планиметрии. Следовательно, абсолютная планиметрия – “некачественная” модель плоскости, т.к. некоторые вопросы не имеют определенного ответа и мы знаем, что это связано с дедуктивной неполнотой абсолютной планиметрии. Дело в том, что человеку неизвестна визуальная модель абсолютной планиметрии без участия аксиомы параллельности. Когда мы представляем совокупность плоских фигур и изображаем отношения между ними, то обязательно вкладываем определённую реализацию аксиомы параллельности, будь это обычная сфера, плоскость Евклида или Лобачевского.
Теперь представим, что мы ведём дискуссию о свойствах объектов некоторой модели физической, экономической или социальной сферы, причём, мы не уверены, что знаем все основополагающие законы (аксиомы) этой модели. Участники дискуссии, при этом, будут использовать для формирования своих субъективных образов какие - то различные модели, которые возможно содержат взаимоисключающие интерпретации неизвестных законов (аксиом). В результате дискуссии участники вполне логичными умозаключениями придут к противоречивым выводам, как это было в дискуссии «абсолютная планиметрия». Таким образом, искать истину логическим путём мы можем только в теории, построенной на дедуктивно полном наборе законов (аксиом).
Мы выяснили, что объектами математического языка являются объекты математических структур. Языковые функции теории математических структур составляют те же три функции, которые выделяют в естественном языке. Поэтому математике отводится роль имитации мыслительных процессов в формализованной знаковой системе.
Вывод. Математический язык развивался, развивается и будет развиваться, формируя искусственный интеллект, который функционирует параллельно естественному интеллекту и в определенном смысле оптимизирует работу последнего.
Формы познания человеком окружающей действительности имеют единую сущность, которая выражается в законах самоорганизации языковых систем. В языковых системах, используемых человеком для создания мыслительного образа, преобразования этого образа и реализации в виде модели, концентрируются законы, по которым организуется любое мыслительное познание мира. Применяя математику как языковой инструмент исследования, мы накапливаем интеллектуальный опыт и концентрируем его в знаковой системе по закону математической структуры. Построенные мыслимые модели анализируются и составляют отношения интеллектуального опыта к реальности. Анализ этих отношений строится по различным реализациям, возникающим в человеческой практике.
Обозначения.В тексте используются следующие общепринятые обозначения:
– знак логического следствия “отсюда следует, что”;
– знак эквивалентности утверждений “тогда и только тогда, когда”;
– знак пересечения множеств;
– знак объединения множеств;
аА, (аА) – знак принадлежности (не принадлежности) элемента “а” множеству А;
– знак конъюнкции “и”;
– знак дизъюнкции “или”;
х, у(Р(х,у)) – для всякого х, для всякого у, обладающих свойством Р(х,у);
z(Р(z)) – существует z со свойством Р(z);
х у Р(х,у) Q(х,у)) – для всякого х существует у такое, что из свойства Р(х,у) следует Q(х,у);
– знак взаимно-однозначного соответствия;
а, АВ – векторы;
L( ) – изоморфизм;
а (х1, ...,хn) – координаты вектора;
Еn, (n=1,2,3) – арифметическая модель n-мерного векторного пространства;
Rn – арифметическая модель n-мерного евклидова пространства;
n – геометрическая модель n-мерного евклидова пространства;
L2 - модель Пуанкаре плоскости Лобачевского;
|| – знак параллельности;
– знак отношения эквивалентности;
– пустое множество;
Т – аксиоматическая теория;
т – аксиоматическая структура;
Т – система аксиом;
R(Т) – реализация системы аксиом Т.
ЛитератураКлайн М. Математика. Утрата определенности. – М.: Мир, 1988.
Орлов Ю.К. Невидимая гармония. Число и мысль. – М.: 1980. Вып.3 с.73.
Квантитативная лингвистика и семантика. Сборник научных трудов, вып.1, – Новосибирск, изд-во НГТУ,1999. – 168 с.
Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.:1960. – 575 с.
Гильберт Д., Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981.
Хинчин А.Я. Ценные дроби. – М.: ФМ, 1961. – 112 с.
Ефимов Н.В. Высшая геометрия. – М.: Наука, 1978.
Пуанкаре А. О науке. – М.: Наука, 1983.
Александров А.Д. Основание геометрии. – М.: Наука, 1987.
Биркгофф Г. математика и психология. – М.: “Советское радио”, 1977.
Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М.: МГУ, 1982.
Мандельброт. Б. Теория информации и психолингвистика: теория частот слов. «Математические методы в социальных науках». – М.: Прогресс, 1973, с.316-337.

Приложенные файлы

  • docx 660562
    Размер файла: 680 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий