9_UMP_Ekonometrika_GOS-3_1


МИНИСТЕРСВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА «БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ И АУДИТ»
Учебно-методическое пособие к практическим занятиям
по дисциплине «Эконометрика»
для подготовки бакалавров по направлению 080100 «Экономика»
Уфа 2013
Учебно-методическое пособие предназначено для проведения практических занятий по дисциплине «Эконометрика». Содержит вводный теоретический и практический материал по разделам: парная и множественная регрессии и корреляции; системы эконометрических уравнений; анализ временных рядов. Даны практические задачи.
Предназначается бакалаврам по направлению 080100 «Экономика» по профилям «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», «Налоги и налогообложение», «Анализ и управление рисками», «Финансы и кредит», «Экономика предприятий и организаций» очной и заочной форм обучения, обучающимся в соответствии с ФГОС ВПО.
Составитель: Бутусов Е.В., ассистент кафедры «Бухгалтерский учет и аудит»
Рецензент: Халикова Э.А., к.э.н., старший преподаватель кафедры «Бухгалтерский учет и аудит»
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2013

СОДЕРЖАНИЕ
С.
1 ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ (ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ) .. 4
1.1 Практическое занятие № 1 ...…………………………………………… 4
1.2 Практическое занятие № 2 ……..….……………..…………………….. 7
2 ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ (НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ) ………………………………………………………………... 12
2.1 Практическое занятие …...……………………………………………… 12
3 МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ ………………. 15
3.1 Практическое занятие № 1 ……………….……………………….…… 15
3.2 Практическое занятие № 2 ……………….………………..…………… 19
3.3 Практическое занятие № 3 .…………….………….…………………… 23
4 СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ……………….. 27
4.1 Практическое занятие № 1 ……………………………………………... 27
4.2 Практическое занятие № 2 ..………………………….………………… 29
4.3 Практическое занятие № 3 …..………………….……………………… 33
5 АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ……………………………………… 38
5.1 Практическое занятие № 1 ………………………………………….….. 38
5.2 Практическое занятие № 2 ..………………………….………………… 41
5.3 Практическое занятие № 3 …..……….………………………………… 43
Рекомендуемый список литературы для выполнения практических работ …………………………………………………………………….. 51
Приложение …………………………………………………………….. 52
ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ (ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ)
Практическое занятие 1
Парная регрессия – уравнение связи двух переменных у и х:
y = f(x),
где у – зависимая переменная (результативный признак);
х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).
Различают линейные и нелинейные регрессии. Линейная регрессия:
у = a + b x + ε.Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических ŷх минимальна, т.е.:
.
Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b:

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:
,
.
Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции rху для линейной регрессии (-1 ≤ rху ≤ 1):
,
и индекс корреляции ρху – для нелинейной регрессии (0 < ρху < 1):
.
Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.
Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:
.
Допустимый предел значений – не более 8 – 10%.
Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей
средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения:
.
Задачи для самоконтроля
Задача 1
Наблюдения 16 пар (x,y) дали следующие результаты:

Оцените регрессию .
Задача 2
При анализе зависимости между двумя показателями x и y по 25 наблюдениям получены следующие данные:

Оценить наличие линейной зависимости между x и x. Будет ли коэффициент корреляции ρxy статистически значимым?
Задача 3
По территориям региона приводятся данные (таблица)
Регион Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
x y x y x y x y
1 15 61 66 53 75 95 98 52
2 8 60 4 74 80 81 16 80
3 87 64 47 77 60 67 93 51
4 84 83 23 72 34 56 79 87
5 3 71 21 58 43 86 53 82
6 81 82 79 64 84 92 68 70
7 40 63 46 61 85 69 71 89
8 98 93 100 73 51 81 16 72
9 73 85 15 88 92 92 88 77
10 49 54 37 66 65 64 39 93
11 7 57 30 76 45 54 84 56
12 45 72 8 73 23 53 77 63
где x – расходы на покупку продовольственных товаров в общих расзодах, %;
y – среднедневная заработная плата одного работающего.
Требуется:
1)построить линейное уравнение парной регрессии y от x;
2)рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.
Задача 4
Известна зависимость прибыли предприятия от различных факторов (таблица):
№ 1 вариант 2 вариант 3 вариант 4 вариант
регрессия регрессия регрессия регрессия
1 ŷ=0,61+4,53x1 13 ŷ=-3,86+1,26x1 -79 ŷ=-2,69+3,36x1 46 ŷ=0,34+14,48x1 -62
2 ŷ=57,08+x2^4,96 7,2 ŷ=-13,24+x2^2,39 9,2 ŷ=-8,51+x2^3,52 8,3 ŷ=36,43+x2^5,92 4,4
3 ŷ=48,05*9,03^x3 2,63 ŷ=54,1*10,05^x3 0,78 ŷ=90,15*5,45^x3 5,82 ŷ=7,6*2,41^x3 9,31
4 ŷ=13,63+24,48/x4 2,12 ŷ=40,48+7,31/x4 6,69 ŷ=28,19+55,22/x4 1,96 ŷ=1,47+18,72/x4 5,22
Найти коэффициенты эластичности и ранжировать факторы по силе их влияния.
Вид функции,  Первая производная,  Средний коэффициент эластичности, 








Задача 5
В таблице представлены исходные данные.
Район 1 вариант 2 вариант 3 вариант 4 вариант
y x y x y x y x
1 16 10 15 11 22 12 19 13
2 22 13 22 14 25 14 16 15
3 27 14 25 15 16 10 22 12
4 17 13 24 14 19 12 21 12
5 21 14 26 14 29 12 28 10
6 25 15 26 14 20 14 16 12
7 21 13 24 13 15 10 26 13
где y – средняя заработная плата, усл. ед.;
x – прожиточный минимум, усл. ед.
Для характеристики y от x рассчитать параметры линейной регрессии, оценить тесноту связи и качество построенной модели.

Практическое занятие 2
Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:
,
где – общая сумма квадратов отклонений;
– сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясняемая» или «факторная»);
– остаточная сумма квадратов отклонений.
Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака y характеризует коэффициент (индекс) детерминации R2:
.
Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.
F-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы H0 статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:
,
где n – число единиц совокупности;
m – число параметров при переменных х.
Fтабл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.
Если Fтабл < Fфакт, то Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт, то гипотеза Н0 не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:
, , .
Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:
;
;
.
Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значенияt-статистики – tтабл и tфакт – принимаем или отвергаем гипотезу H0.
Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством
.
Если tтабл < tфакт, то H0 отклоняется, т.е. а, b и rxy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если tтабл > tфакт, то гипотеза Н0 не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b или rху.
Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку Δ для каждого показателя:
, .
Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:
; ; ; ; ; .
Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.
Прогнозное значение ур определяется путем подстановки в уравнение регрессии ŷх = а + b х соответствующего (прогнозного) значения хр. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза mŷp:
,
где ;
и строится доверительный интервал прогноза:
; ; ,
где .

Задачи для самоконтроля
Задача 1
Предполагается, что месячный доход граждан страны имеет нормальное распределение с математическим ожиданием M = 1000 ($) и дисперсией σ2 = 40000 ($)2. По выборке из 500 человек определили выборочный средний доход = 900 ($).
1.Постройте 90 и 95%-ные доверительные интервалы для среднедушевого дохода в стране.
2.Следует ли на основании построенных доверительных интервалов отклонить предположение о ежемесячном доходе в 1000 $?
3.Как проверить то же предположение на основании общей схемы проверки гипотез? Какую альтернативную гипотезу вы выбрали и почему?
Задача 2
Предполагается, что месячная зарплата сотрудников фирмы составляет 1000 ($) при стандартном отклонении σ = 100. Выборка из 36 человек дала следующие результаты: = 900($) и Sx = 150 ($). Можно ли по результатам проведенных наблюдений утверждать, что средняя зарплата сотрудников фирмы меньше рекламируемой, а разброс в зарплатах больше? Какие критические области вы в этом случае использовали?
Задача 3
Бюджетное обследование десяти случайно выбранных семей дало следующие результаты (в млн. руб.):
n Доход Y Сбережения S
1 2,5 0,4
2 3,6 0,5
3 4,5 1,6
4 2,4 0,3
5 1,8 0,3
6 3,3 0,9
7 5,6 2,6
8 4,2 1,1
9 3,8 0,8
10 5,4 0,9
Постройте корреляционное поле и по его виду определите формулу зависимости между S и Y. (Можно использовать при этом средства MS Excel и подобрать несколько форм зависимости по величине достоверности аппроксимации).
Оцените парную линейную регрессию S на Y.
Проинтерпретируйте результаты, ответив в том числе на вопросы:
Спрогнозируйте накопления семьи, имеющей доход 4 млн. руб.;
Предположим доход вырос на 1,5 млн. руб. Оцените, как возрастут накопления;
Найдите значение эластичности сбережений по доходам в средней точке, если среднее значение доходов составляет 3,5 млн. руб.
Найдите 90% доверительные интервалы для коэффициентов линейной регрессии.
Найдите значения стандартных ошибок регрессии и коэффициентов.
Проверьте гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии.
Задача 4
Менеджер новой чебуречной не уверен в правильности выбранной цены на товар А, поэтому в течение 12 недель варьирует цену и записывает количество проданного товара А. Полученные данные приведены в таблице (t номер недели, qt количество проданного товара А, pt цена единицы товара А (руб.)).
t pt qt t pt qt
1 12,3 795 7 12,8 714
2 11,5 915 8 9,9 1180
3 11,0 965 9 12,2 851
4 12,0 892 10 12,5 779
5 13,5 585 11 13,0 625
6 12,5 644 12 10,5 1001
Постройте корреляционное поле и установите тесноту связи между ценой и количеством проданного товара А. Выдвиньте предположение о форме зависимости между показателями.
Выбрав нелинейную форму модели, осуществите линеаризацию. Определите новые переменные, как qt' = lnqt; pt' = lnpt. Оцените параметры модели qt' = α + βpt' + εt (или в исходных обозначениях: lnqt = α + βlnpt + εt).
Используя полученные оценки коэффициентов, найдите для максимальной выручки от продаж цену товара А.
Задача 5
Следующие результаты были получены при построении линейной регрессионной модели Q (натуральный логарифм объема продаж яблок в килограммах) на P (натуральный логарифм стоимости яблок за килограмм в рублях) и константу. По n = 22 наблюдениям построено уравнение регрессии Qt = 5,2 – 1,48Pt + εt. Оцененное значение дисперсии отклонений S2 = 0,05 и обратная матрица к матрице перекрестных произведений экзогенной переменной P.

Проверьте гипотезу о статистической значимости коэффициентов. Используйте при проверке гипотезы то, чтоP(t20 < –1,72) = 0,05 и P(t20 < –1,32) = 0,10.
Спрогнозируйте величину Q при P = 1. Постройте так же 90%-ый доверительный интервал для величины Q при P = 1.

ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ(НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ)
Практическое занятие
Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:
- полиномы разных степеней у = а + b1 x + b2 х2 + b3 х3 + ε;
- логарифмическая y = a + blnx + ε;
- равносторонняя гипербола .
Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:
- степенная у = a xb ε;
- показательная y = a bx ε;
- экспоненциальная у = еа+bх ε.
Нелинейные уравнения регрессии можно разделить на два класса:
- уравнения, которые с помощью замены переменных можно привести к линейному виду в новых переменных x', y'
y' = a' + b'x';
- уравнения, для которых это невозможно. Назовем их внутренне нелинейными.
Для того чтобы оценить параметры нелинейных уравнений регрессии можно использовать МНК, но необходимо сначала преобразовать уравнение регрессии. Если уравнение не линейно по объясняющим переменным, но линейно по своим параметрам, то можно сделать замену переменной.
ŷ = a0 + a1/x.
Делается замена переменной x' =1/x и уравнение преобразовывается к виду:
ŷ = a0 + a1x'.
Параметры этого уравнения рассчитываются по обычным формулам, где используются фактические значения параметра y из выборки и рассчитанные по данным выборки с помощью значений переменной x'. Если уравнение не линейно и по объясняющим переменным и по параметрам, то его необходимо линеаризовать.
Линеаризующие преобразования для нелинейных моделей приведены в таблице 1
Для общей оценки качества построенной эконометрической определяются такие характеристики как коэффициент детерминации, индекс корреляции, средняя относительная ошибка аппроксимации, а также проверяется значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера. Перечисленные характеристики являются достаточно универсальными и могут применяться как для линейных, так и для нелинейных моделей, а также моделей с двумя и более факторными переменными. Определяющее значение при вычислении всех перечисленных характеристик качества играет ряд остатков εi, который вычисляется путем вычитания из фактических (полученных по наблюдениям) значений исследуемого признака yi значений, рассчитанных по уравнению модели ŷi.
Таблица 1 – Линеаризующие преобразования для нелинейных моделей
Зависимость Формула Преобразование Зависимость между параметрами
Гиперболическая y' = y, a' = a, b' = b
Логарифмическая y' = y, x' = lnx a' = a, b' = b
Степенная y' = lny, x' = lnx a' = lna, b' = b
Показательная y' = lny, x' = x a' = lna, b' = lnb
Экспоненциальная y' = lny, x' = x a' = a, b' = b
В случае нелинейной зависимости между показателями нельзя использовать для тесноты связи линейный парный коэффициент корреляции.
Индекс корреляции для нелинейных регрессий рассчитывается по формуле, как корень из коэффициента детерминации:
.
Эта величина всегда лежит в интервале от 0 до 1. Если между показателями x и y существует функциональная зависимость, выражаемая построенным уравнением регрессии, то объясняемая дисперсия будет равна единице (R = 1). Если между показателями x и y отсутствует зависимость, то объясненная дисперсия будет равна нулю (R = 0).
Чтобы убедиться в пригодности и надежности построенной модели для использования в прикладных целях используют F-критерий Фишера.
Задачи для самоконтроля
Задача 1
Получены функции:
y = a + bx3, y = a + blnx, y = a + bxc, ya = b + cx2, y = 1 + a(1 – xb),y = a + bx/10.
Определите, какие из представленных выше функций линейны по переменным, линейны по параметрам, нелинейны ни по переменным, ни по параметрам.
Задача 2
Для трех видов продукции А, В и С модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядит следующим образом:
yA = 600; yB = 80 + 0,7x; yC = 40x0,5.
Определите коэффициенты эластичности по каждому виду продукции и поясните их смысл. Определите, каким должен быть объем выпускаемой продукции, чтобы коэффициенты эластичности для В и С были равны. Сравните эластичность затрат для продукции В и С при х = 1000.
Задача 3
Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам (см. таблицу).
Показатель Материалоемкость продукции по заводам
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Потреблено материалов на единицу продукции, кг., y 9 6 5 4 3,7 3,6 3,5 6 7 3,5
Выпуск продукции, тыс. ед., х 100 200 300 400 500 600 700 150 120 250
Найдите параметры уравнения ;
Оцените тесноту связи с помощью индекса корреляции;
Охарактеризуйте эластичность изменения материалоемкости продукции;
Сделайте вывод о значимости уравнения регрессии.
Задача 4
Некоторая организация в течении 6 кварталов вкладывала всю прибыль в свое развитие. При этом предполагается, что прибыль растет по показательному закону у = abx (здесь фактор x – номер квартала, y – прибыль, млн. руб.). Составить уравнение регрессии, найти коэффициент нелинейной корреляции, и при α = 0,0.5 проверить его значимость.
xi, номер квартала 1 2 3 4 5 6
yi, прибыль, млн.руб. 1 2 5 9 15 27
Задача 5
Владелец супермаркета доставил задачу определить зависимость между средней длинной очереди в кассу (фактор y, чел.) и количеством касс, обслуживающих клиентов (фактор x, шт.). По результатам наблюдений были получены выборки значений:
xi 2 3 4 5 6 7 8
yi 45 42 37 31 23 12 3
Предполагается, что зависимость между факторами имеет виду(х) = ах2 + bх + с. Построить уравнение параболической регрессии, найти нелинейный коэффициент парной корреляции и на уровне значимостиα = 0,05 проверить его значимость.
МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ
Практическое занятие 1
Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:
y = f(x1, х2, ..., хр),
где у – зависимая переменная (результативный признак);
x1, х2, ..., хр – независимые переменные (факторы).
Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:
- линейная – у = а + b1 х1 +b2 х2 + ... + bр хр + ε;
- степенная – ;
- экспонента – ;
- гипербола – .
Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.
Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Решение системы может быть найдено по формулам Крамера:
,,…,
где Δ – главный определитель системы нормальных уравнений:

Δa, Δb1, … Δbp – частные определители, получаемые путем замены соответствующего столбца матрицы главного определителя системы.
Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандаптизованном масштабе:

где ty, tx1, …,txp – стандартизованные переменные: , , для которых среднее значение равно нулю , а среднее квадратическое отклонение равно единице: ;
βj – стандартизованные коэффициенты регрессии, которые показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения σy (или на сколько σy) изменится результат у с увеличением соответствующего фактора xj на величину своего среднего квадратического отклонения σxj при неизменномсреднем уровне других факторов, оказывающих влияние на у.
К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК. Стандартизованные коэффициенты регрессии (β-коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:

Связь коэффициентов множественной регрессии bi со стандартизованными коэффициентами βj описывается соотношением:
, .
Параметр а определяется по формуле:

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии показывают, на сколько процентов в среднем изменится результат у при изменении соответствующего фактора xi на 1%, и рассчитываются по формуле:

Данные показатели эластичности можно сравнивать между собой и, тем самым, ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.
Частные коэффициенты эластичности рассчитываются по формуле:

где bj – коэффициенты регрессии для фактора хj в уравнении множественной регрессии;
– частное уравнение регрессии, которое связывает результативный признак у с соответствующими факторами х при закреплении фактора xj на среднем уровне.

Задачи для самоконтроля
Задача 1
Имеются следующие условные данные о сменной добыче угля на одного рабочего y, мощности пласта x1, и уровня механизации работника x2 характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x1 8 11 12 9 8 8 9 9 8 12
x2 5 8 8 5 7 8 6 4 5 7
y 5 10 10 7 5 6 6 5 6 8
1.Найти значения парных коэффициентов корреляции;
2.Найти параметры уравнения множественной регрессии в естественной и стандартизированной форме;
3.Рассчитать средние коэффициенты эластичности.
Задача 2
Изучается зависимость по 30 территориям России среднедневного душевого дохода у (руб.) от среднедневной заработной платы одного работающего х1 (руб.) и среднего возраста безработного х2 (лет). Данные приведены в таблице:
Признак Среднее значение Среднее квадратическое отклонение Парный коэффициент корреляции
у 86,8 11,44 = 0,8405
х1 54,9 5,86 = -0,2101
х2 33,5 0,58 = -0,116
Постройте уравнение множественной регрессии в нормальном и стандартизованном виде.
Задача 3
Перейти от уравнения регрессии в натуральном масштабе переменных, описывающей зависимость среднедневного душевого дохода (у, руб.) от среднедневной заработной платы одного работающего (х1, руб.) и среднего возраста безработного (х2, лет) у = 337,373 + 1,966х1 – 12,0867х2 к уравнению регрессии в стандартизованном масштабе переменных, если известно, чтоσy = 61,44, σx1 = 25,86, σx2 = 0,58 и интерпретировать коэффициенты уравнения регрессии.
Задача 4
Изменение спроса на некоторое благо (у) у домашних хозяйств определенной структуры можно объяснить с помощью цены этого блага (х1) и дохода домохозяйства (х2). Соответствующая информация представлена в таблице:
у 31,4 30,4 32,1 31 30,5 29,8 31,1 31,7 30,7 29,7
х1 4,1 4,2 4 4,6 4 5 3,9 4,4 4,5 4,8
х2 1050 1010 1070 1060 1000 1040 1030 1080 1050 1020
Оцените с помощью метода наименьших квадратов параметры линейного двухфакторного уравнения, и интерпретировать оценки.
Задача 5
Перейти от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе переменных, описывающей зависимость объема производства (у, тыс. руб.) от количества занятых (х1, чел.) и стоимости основных фондов (х2 тыс. руб.)ty = 0,4tx1 + 0,53tx2, к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных, если известно, что σy = 345,3, σx1 = 5,7, σx2 = 98,8, = 3173, = 48,3, = 597 и интерпретировать коэффициенты уравнения регрессии.

Практическое занятие 2
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределахот 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

Для линейного уравнения в стандартизованном масштабе индекс множественной корреляции может быть найден в виде:

При линейной зависимости возможно выражение через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где Δr – определитель матрицы парных коэффициентов корреляции:

Δr11 – определитель матрицы межфакторной корреляции (минор, получаемый при вычеркивании первой строки и первого столбца определителя):

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора х, при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:

или по рекуррентной формуле:

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до 1.
Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:
.
Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле:

где n – число наблюдений;
m – число факторов модели.
Задачи для самоконтроля
Задача 1
По 30 территориям России имеются следующие данные:
Признак Среднее значение Среднее квадратическое отклонение Линейный коэффициент парной корреляции
Среднедневной душевой доход, руб. у 86,8 11,44 -
Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., x1 54,9 5,86 ryx1 = 0.8405
Средний возраст безработного, лет, x2 33,5 0,58 rух2 = -0,2101rх1х2 = -0,116
1.Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме; рассчитайте частные коэффициенты эластичности, сравните их с β1 и β2, поясните различия между ними.
2.Рассчитайте линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравните их с линейными коэффициентами парной корреляции, поясните различия между ними.
Задача 2
По 19 предприятиям оптовой торговли изучается зависимость объема реализация (у) от размера торговой площади (х1) и товарных запасов (х2). Были получены следующие варианты уравнений регрессии:
у = 25+15х1 r2 = 0,90
у = 42+27x2 r2 = 0,84
у = 30+ 10х1 + 8х2
(2,5) (4,0) R2 = 0,92
у = 21+ 14х1 + 20х2 + 0,6х22
(5,0) (12,0) (0,2) R2 = 0,95
В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.
1.Проанализируйте тесноту связи результата с каждым из факторов.
2.Выберите наилучшее уравнение регрессии, обоснуйте принятое решение.
Задача 3
Для изучения рынка жилья в городе по данным о 46 коттеджах было построено уравнение множественной регрессии:
у = 21,1 – 6,2х1 + 0,95х2 + 3,57х3; R2 = 0,7,
(1,8) (0.54) (0,83)
где у - цена объекта, тыс. долл.;
x1 – расстояние до центра города, км;
х2 – полезная плошадь объекта, кв. м;
х3 – число этажей в доме, ед.;
R2 – коэффициент множественной детерминации.
В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов множественной регрессии.
1.Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b1 в генеральной совокупности равен нулю.
2.Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b2 в генеральной совокупности равен нулю.
3.Проверьте гипотезу о том, что коэффициент регрессии b3 в генеральной совокупности равен нулю.
4.Проверьте гипотезу о том, что коэффициенты регрессии b1, b2 и b3 в генеральной совокупности одновременно равны нулю (или что коэффициент детерминации равен нулю).
5.Поясните причины расхождения результатов, полученных в пп. 1, 2 и 3, с результатами, полученными в п. 4.
Задача 4
По 30 наблюдениям матрица парных коэффициентом корреляции оказалась следующей:
y x1 x2 x3
y 1,00 x1 0,30 1,00 x2 0,60 0,10 1,00 x3 0,40 0,15 0,80 1,00
1.Постройте уравнение регрессии в стандартизованном виде и сделайте выводы.
2.Определите показатель множественной корреляции (нескорректированный и скорректированный).

Задача 5
По 30 наблюдениям получены следующие данные:
Уравнение регрессии ŷ = а + 0,176x1 +0,014x2 + 7,75x3
Коэффициент детерминации 0,65
200
150
20
100
1.Найдите скорректированный коэффициент корреляции, оцените качество уравнения регрессии в целом.
2.Определите частные коэффициенты эластичности.
3.Оцените параметр а.

Практическое занятие 3
Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

Частный F-критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении. В общем виде для фактора хi частный F-критерий определится как:

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью t-критерия Стьюдента сводится к вычислению значения:

где mbj – средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии bj, определяемая по формуле:

Задачи для самоконтроля
Задача 1
По совокупности 30 предприятий концерна изучается зависимость прибыли у (тыс. руб.) от выработки продукции на одного работника х1 (ед.) и индекса цен на продукцию х2 (%):
Признак Среднее значение Среднее квадратическое отклонение Парный коэффициент корреляции
у 250 38 ryx1 = 0,08
х1 47 12 ryx2 = 0,61
х2 112 21 r x1x2 = 0,42
1.Постройте линейные уравнения парной регрессии, оцените их значимость с помощью F-критерия Фишера.
2.Найдите уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.
3.Рассчитайте множественный коэффициент корреляции, общий и частные критерии Фишера и сделайте выводы.
Задача 2
По 30 заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии у (тыс. кВт • ч) oт производства продукции – х1 (тыс. ед.) и уровня механизации труда х2 (%):
Признак Среднее значение Среднее квадратическое отклонение Парный коэффициент корреляции
у 1000 27 ryx1 = 0,77
х1 420 45 ryx2 = 0,43
х2 41,5 18 r x1x2 = 0,38
1.Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.
2.Определите показатели частной и множественной корреляции.
3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с β-коэффициентами.
4.Рассчитайте общий и частные F-критерии Фишера.
Задача 3
По 50 семьям изучалось потребление мяса – у (кг на душу населения) от дохода – x1 (руб. на одного члена семьи) и от потребления рыбы – х2 (кг на душу населения). Результаты оказались следующими:
Уравнение регрессии ŷ = – 180 + 0,2х1 – 0,4x2
Стандартные ошибки параметров 20 0,01 0,25
Множественный коэффициент корреляции 0,85
1.Используя t-критерий Стьюдента, оцените значимость параметров уравнения.
2.Рассчитайте F-критерий Фишера.
3.Оцените по частным F-критериям Фишера целесообразность включения в модель:
а)фактора х1 после фактора х2;
б)фактора х2 после фактора х1.
Задача 4
Изучается влияние стоимости основных и оборотных средств навеличину валового дохода торговых предприятий:
Номер предприятия Валовой доход за год, млн руб. Среднегодовая стоимость, млн руб.
основных фондов оборотных средств
1 203 118 105
2 63 28 56
3 45 17 54
4 113 50 63
5 121 56 28
6 88 102 50
7 110 116 54
8 56 124 42
9 80 114 36
10 237 154 106
11 160 115 88
12 75 98 46
1.Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните экономический смысл его параметров.
2.Рассчитайте частные коэффициенты эластичности.
3.Определите стандартизованные коэффициенты регрессии.
4.Сделайте вывод о силе связи результата и факторов.
5.Определите парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции; сделайте выводы.
6.Дайте оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего F-критерия Фишера.
Задача 5
Имеются данные по странам за 1997 г:
Страна Индекс человеческого развития, y Ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 1997 г., лет, x1 Суточная калорийность питания населения, ккал на душу, x2
Австрия 0,904 77,0 3343
Австралия 0,922 78,2 3001
Аргентина 0,827 72,9 3136
Белоруссия 0.763 68,0 3101
Бельгия 0,923 77,2 3543
Бразилия 0,739 66,8 2938
Великобритания 0,918 77,2 3237
Венгрия 0,795 70,9 3402
Германия 0,906 77,2 3330
Греция 0,867 78,1 3575
Дания 0,905 75,7 3808
Египет 0,616 66,3 3289
Израиль 0,883 77,8 3272
Индия 0,545 62,6 2415
Испания 0,894 78,0 3295
Италия 0,900 78,2 3504
Канада 0,932 79,0 3056
Казахстан 0.740 67,7 3007
Китай 0,701 69,8 2844
Латвия 0,744 68,4 2861
Нидерланды 0,921 77,9 3259
Норвегия 0,927 78,1 3350
Польша 0,802 72,5 3344
Республика Корея 0,852 72,4 3336
Россия 0,747 66,6 2704
Румыния 0,752 69,9 2943

Продолжение таблицы
Страна Индекс человеческого развития, y Ожидаемая продолжительность жизни при рождении в 1997 г., лет, x1 Суточная калорийность питания населения, ккал на душу, x2
США 0,927 76,6 3642
Турция 0,728 69,0 3568
Украина 0,721 68,8 2753
Финляндия 0,913 76,8 2916
Франция 0,918 78,1 3551
Чехия 0,833 73,9 3177
Швейцария 0,914 78,6 3280
Швеция 0,923 78,5 3160
ЮАР 0,695 64,1 2933
Япония 0,924 80.0 2905
1.Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции.
2.Постройте парные уравнения регрессии.
3.Оцените статистическую значимость уравнений и их параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента.
4.Постройте уравнение множественной регрессии.
5.Постройте графики остатков. Сделайте выводы.
6.Проведите тестирование ошибок уравнения множественной регрессии на гетероскедастичность, применив тест Гельфельда-Квандта.
7.Оцените статистическую значимость уравнения множественной регрессии. Определите, какое уравнение лучше использовать для прогноза:
•парную регрессию у на х1;
•парную регрессию у на х2;
•множественную регрессию.

СИСТЕМЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Практическое занятие 1
Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.
Различают несколько видов систем уравнений:
- система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная y рассматривается как фунуция одного и того же набора факторов х:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;
- система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде факторах в другом уравнении:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;
- система взаимосвязанных (совместных) уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую:

Такая система уравнений называется структурной формой модели.
Эндогенные переменные – взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы) у.
Экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы х.
Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.
Коэффициенты а и b при переменных – структурные коэффициенты модели.
Система линейных функций эндогенных переменных от всех
предопределенных переменных системы – приведенная форма модели:

где δ – коэффициенты приведенной формы модели.
Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила:
D + 1 = Н – уравнение идентифицируемо;
D + 1 < Н – уравнение неидентифицируемо;
D + 1 > И – уравнение сверхидентифицируемо,
где Н – число эндогенных переменных в уравнении,
D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.
Достаточное условие идентификации – определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.
Задачи для самоконтроля
Задача 1
Определить вид системы уравнений. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

Задача 2
Определить вид системы уравнений. Проверить идентификацию системы эконометрических уравнений.

Если: а) все параметры системы отличны от нуля;
б) a2 и b12 равны нулю.
Задача 3
Определить вид системы уравнений. Проверить идентификацию системы эконометрических уравнений.

Если: а) все параметры системы отличны от нуля;
б) a3 и b32 равны нулю.
Практическое занятие 2
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены различными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили следующие методы:
- косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);
- двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);
- трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК).
Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов. Он заключается в следующем:
-составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
-путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.
Например, требуется найти структурные параметры модели

при условии, что полученная приведенная форма модели описывается уравнениями

Проверим идентифицируемость уравнений. В модели имеется две эндогенные переменные y1, y2 и две экзогенные переменные x1, x2. В первое уравнение входят две эндогенные переменные у1, у2 и одна экзогенная переменная x2. Следовательно, H = 2, D = 1 и H = D + 1, и первое уравнение – идентифицируемо. Идентифицируемость второго уравнения доказывается аналогично. Для нахождения структурных коэффициентов можно применить косвенный МНК, т. е. получить их с помощью преобразования приведенных уравнений.
Для этого из 2-го уравнения приведенной формы выразим переменную x2 = x1 – y2 и подставим в 1-е уравнение приведенной формы модели
y1 = 2x1 + 4(x1 – y2) или y1 = -4y2 + 6x1.
Сравнивая это уравнение с 1-м уравнением структурной формыy1 = b12y2 + a11x1, определим значения структурных параметров
b12 = -4; a11 = 6.
Далее из первого уравнения приведенной формы выразим переменную x1 = 0,5y1 – 2x2 и подставим во 2-е уравнение приведенной формы модели
y2 = (0,5y1 – 2x2) – x2 или y2 = 0,5y1 – 3x2.
Сравнивая последнее уравнение с 2-м структурной формыy2 = b21y1 + a22x2, получим
b21 = 0,5; a22 = -3.

Таким образом, структурная форма модели определяется уравнениями:

Задачи для самоконтроля
Задача 1
Рассматривается макроэкономическая модель:

где y1 – валовой региональный продукт (млрд. руб.);
y2 – инвестиции в основной капитал (млрд. руб.);
y3 – валовая прибыль экономики (млрд. руб.);
x1 – численность занятых в экономике (млн. чел.);
x2 – темп роста объема промышленной продукции (%);
x3 – инвестиции в основной капитал предыдущего года (млрд. руб.).
1.Проведите идентификацию модели (двумя способами).
2.Укажите способ оценки параметров каждого уравнения системы.
3.Найдите структурные коэффициенты первого уравнений системы, если известна система приведенных уравнения:

4.Опишите методику оценки параметров третьего уравнения системы.
Задача 2
Рассматривается следующая модель:

где C – объем потребления;
I – объем инвестиций;
Y – доход;
G − объем государственных расходов.
1.Представьте данную систему в приведенной форме.
2.Определите, какие из структурных уравнений идентифицируемы?
3.Какой метод можно использовать для оценки параметров рассматриваемой модели?

Задача 3
Рассматривается следующая модель «спрос – предложение»:
предложение: qt = β0 + β1pt + ε1t,
спрос:qt = α0 + α1pt + α2yt + ε2t,
где qt, pt – эндогенные переменные – количество товара и цена в году t;
yt – экзогенная переменная – доход потребителей;
ε1t, ε2t – случайные отклонения.
На основании следующих статистических данных необходимо оценить коэффициенты функции предложения, используя для этого МНК и КМНК. Сравнить результаты.
pt qt yt 1 8 2 2 10 4 3 7 3 4 5 5 5 1 2 15 31 16 сумма
3 6,2 3,2 среднее
Задача 4
Имеются данные, характеризующие некоторое государство за семь последовательных лет:
№ Темп прироста % безработных, x1
Заработной платы, у1 цен, у2 дохода, у3 цен на импорт, x2 Экономически активного населения, x3 1 2 6 10 2 1 1
2 3 7 12 3 2 2
3 4 8 11 1 5 3
4 5 5 15 4 3 2
5 6 4 14 2 3 3
6 7 9 16 2 4 4
7 8 10 18 3 1 5
Определите параметры структурной модели вида:

Задача 5
Имеются данные, характеризующие годовое потребление мяса на душу населения, средние потребительские цены, среднедушевые денежные доходы, индекс цен производителей:

Год Годовое потребление мяса на душу населения, кг, y1 Средние потребительские цены на мясо, руб. за кг., у2 Среднедушевые денежные доходы населения в месяц, руб., x1 Индекс цен производителей на мясо, %, x2
2008 45 246,05 9100 196,7
2009 40 255,7 13370 121
2010 39 256,25 17700 137,6
2011 39 282,55 23240 105,2
2012 39 293,55 30770 102,6
Необходимо построить модель вида:

рассчитав соответствующие структурные коэффициенты модели.

Практическое занятие 3
Для решения сверхидентифицированных уравнений применяется двухшаговый МНК (ДМНК), который заключается в следующем:
-составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
-выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;
-обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.
Рассмотрим в качестве примера модифицированную модель Кейнса:
Ct = α + βYt + εt – функция потребления,
Yt = Ct + It + Gt – тождество дохода,
где Ct, Yt, It и Gt – объем потребления, совокупный доход, инвестиции и государственные расходы соответственно;
α и β – структурные коэффициенты;
εt – случайный член.
В исходной модели Ct и Yt – эндогенные переменные, It и Gt – экзогенные.
Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему уравнений вида:
,
.
Двухшаговый МНК можно рассматривать как частный случай метода инструментальных переменных. При описании применения метода инструментальных переменных было указано, что структурное уравнение функции потребления оказалось переопределенным, и сразу две переменные It и Gt могли быть использованы для определения функции Yt.
Однако вместо их раздельного применения можно предложить их комбинацию:
zt = γ0 + γ1It + γ2Gt,
где γ0, γ1 и γ2 – коэффициенты, подлежащие оценке.
Вместо zt может быть выбрана регрессионная оценка Ŷt, приведенного уравнения для Yt, которую получают с помощью обычного МНК:
Ŷt = γ0 + γ1It + γ2Gt,
Так осуществляется первый шаг двухшагового метода наименьших квадратов. Подставляя теоретические значения Ŷt вместо фактических значений в структурное уравнение функции потребления, получим уравнение:
Ct = α + βŶt + εt.
Оценки параметров аир этого уравнения получают с помощью обычного МНК. Так осуществляется второй шаг двухшагового метода наименьших квадратов. При этом оценки структурных коэффициентов будут состоятельными.
Двухшаговый МНК можно рассматривать как способ конструирования наилучшей из возможных комбинаций инструментальных переменных, если в уравнении имеется избыток экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные.
Более эффективным, но требующим существенно больших вычислительных затрат, является трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК). Он заключается в том, что двухшаговый метод наименьших квадратов применяется не к исходным уравнениям модели, а к уравнениям, преобразованным согласно обобщенному методу наименьших квадратов. Трехшаговый МНК является итерационной процедурой:
1)Параметры модели определяются обычным или двухшаговым МНК.
2)Вычисляются ошибки модели и определяется оценка корреляционной матрицы ошибок.
3)Уравнения преобразуются согласно обобщенному МНК.
4)Применяется двухшаговый МНК к преобразованным уравнениям и получается улучшенная модель (с улучшенными параметрами).
5)Процесс повторяется, начиная со второго шага, пока не будет достигнута заданная точность (либо превышено заданное количество итераций).
Если случайные члены структурной модели не коррелируют, то трехшаговый метод сводится к двухшаговому.
Задачи для самоконтроля
Задача 1
Имеются данные, характеризующие некоторое государство за семь последовательных лет:
№ Темп прироста % безработных, x1
Заработной платы, у1 цен, у2 дохода, у3 цен на импорт, x2 Экономически активного населения, x3 1 2 6 10 2 1 1
2 3 7 12 3 2 2
3 4 8 11 1 5 3
4 5 5 15 4 3 2
5 6 4 14 2 3 3
6 7 9 16 2 4 4
7 8 10 18 3 1 5

Определите параметры структурной модели вида:

Задача 2
Изучается модель вида:

где y – валовой национальный доход;
y-1 – валовой национальный доход предшествующего года;
C – личное потребление;
D – конечный спрос (помимо личного потребления).
Дана следующая информация за девять лет о приростах всех показателей:
Год D y-1 y С
1 -0,8 40,7 3,1 7,4
2 22,4 3,1 22,8 30,4
3 -17,3 22,8 7,8 1,3
4 12,0 7,8 21,4 8,7
5 5,0 21,4 17,8 25,8
0 44,7 17,8 37,2 8,0
7 23,1 37,2 35,7 30,0
8 51,2 35,7 40,0 31,4
0 32,3 40,0 50,0 30,1
I 107,5 230,1 248,4 182,7
Для данной модели была получена система приведенных уравнений:

Требуется:
–провести идентификацию модели;
–рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.
Задача 3
Построена следующая модель:

где Kt – стоимость основных фондов (эндогенная переменная);
Yt – количество работающих (эндогенная переменная);
It – объем инвестиций (экзогенная переменная);
Pt – объем продукции (эндогенная переменная);
Xt – использование сырья (экзогенная переменная).
Имеются наблюдения за 11 лет:
t Pt Yt Kt Xt It
1 55 4Д 29 2,8 1,2
2 58 4Д 30 2,9 1,3
3 59 4,2 30 3,8 1,3
4 62 4,4 31 4,1 1Д
5 62 4,6 32 4,1 1,3
6 65 4,6 32 4,1 1,4
7 68 4,7 34 4,0 1,3
8 71 4,8 35 4,1 1,6
9 71 5,2 37 4,2 1,8
10 72 5,4 40 4,2 1,9
11 73 5,8 42 4,3 2,0
Требуется:
–провести идентификацию модели;
–рассчитать параметры уравнений структурной модели;
–рассчитать стандартные ошибки полученных параметров.
Задача 4
Дана модифицированная модель Кейнса:

где C – потребление; Y – доход; I – инвестиции; G – государственные расходы; t – текущий период; t-1 – предыдущий период.
Годы Y C I
1 95,75 60,45 14,3
2 92,55 62,45 15,25
3 103,55 65,9 17,75
4 109 62,9 19,7
5 108,25 62,45 12,1
6 107,4 70 14,6
7 112,7 73,55 17,35
8 117,75 76,55 20
9 123,45 79,7 22,15
10 126,55 21,6 22,3
11 125,25 21,55 19,2
12 122,1 22,55 21
13 125,35 23,45 12
14 130,25 27,35 2D
15 132,3 91,55 25,25
16 142,65 95,5 2425
17 145,2 99 245
18 151,3 101,75 25
19 157,4 105,4 25,2
20 161,25 107,45 26,15
1.В предположении, что потребление зависит линейно от дохода (первое уравнение модели), оцените по МНК параметры a1 и b11 функции потребления;
2.Оцените те же параметры по ДМНК и по ТМНК;
3.Сравните полученные результаты. Сделайте выводы по качеству оценок.
Задача 5
Рассматривается следующая модель:

где Сt – расходы на потребление в период t;
Yt – совокупный доход в период t;
It – инвестиции в период t;
rt – процентная ставка в период t;
Мt – денежная масса в период t;
Gt – государственные расходы в период t;
Gt-1 – расходы на потребление в период t-1;
It-1 – инвестиции в период t-1;
u1, u2, u3 – случайные ошибки.
1.В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложите способ оценки ее параметров.
2.Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?

АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Практическое занятие 1
Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.
Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.
Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (T), циклической (S) и случайной (Е) компонент.
Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, – аддитивные модели, как произведение – мультипликативные модели временного ряда.
Аддитивная модель имеет вид: Y = Т + S + Е;
Мультипликативная модель: Y = T • S • E.
Автокорреляция уровней ряда – это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:
,
где , – коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка;
,
где , – коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.
Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) – коррелограммой.
Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:
•линейная ŷt = a + b • t;
•гипербола ŷt = а + b / t;
•экспонента ŷt =ea+b • t;
•степенная функция ŷt =a • tb;
•парабола второго и более высоких порядков ŷt =a + b1 • t + b2 • t2 +... + bk • tk.
Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время t = 1,2, ..., n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда уt. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .
Задачи для самоконтроля
Задача 1
Приведены данные, отражающие спрос (штук) на некоторый товар за двенадцатилетний период, т.е. временной ряд спроса.
Год, t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Спрос, yt 213 171 291 309 317 362 351 361 350 346 339 342
Найти коэффициенты автокорреляции первого, второго и третьего порядков.
Задача 2
По данным задачи 1 выявить с помощью МНК линейную тенденцию.
Задача 3
Имеются следующие данные об уровне безработицы уt (%) за 8 месяцев:
Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8
yt 8,8 8,6 8,4 8,1 7,9 7,6 7,4 7,0
Определите коэффициенты автокорреляции уровней этого ряда первого и второго порядка.
Задача 4
Имеется следующий временной ряд:
t 1 2 3 4 5 6 7 8
xt 20 … … … … … … 10
Известно, что , , .
1.Определите коэффициент автокорреляции уровней этого ряда первого порядка.
2.Установите, включает ли исследуемый временной ряд тенденцию.
Задача 5
Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев:
Стоимость акции по месяцам (руб.)
Месяц, t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Стоимость, yt 13,1 11,9 11,8 17,3 15,9 16,1 20,5 19,2 19,9 23,9 22,8 23,8
1.Найти коэффициенты автокорреляции со смещением на 1,2,3 и 4 месяца.
2.Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью p = 0,95.
3.Построить коррелограмму.
4.Построить модель тенденции временного ряда.

Практическое занятие 2
При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.
Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например ŷt и расчет отклонений от трендов: уt – ŷt и xt – , Для дальнейшего анализа используют не исходные данные, а отклонения от тренда.
Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:
Δt = yt – yt-1 = b + (εt – εt-1);
Если параболический тренд – вторыми разностями:
Δt2 = Δt – Δt-1 = 2b2 + (εt – 2εt-1 + εt-2);
В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.
Модель, включающая фактор времени, имеет вид:
yt = a + b1xt + b2t + εt.
Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков ε, за текущий и предыдущие моменты времени.
Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарвина - Уотсона и расчет величины:
, 0 ≤ d ≤ 4.
Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле:
, -1 ≤ ≤ 1.
Критерий Дарбина - Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением
d = 2(1 – ).
Если автокорреляция остатков отсутствует (r = 0) – d ~ 2. При положительной автокорреляции (r > 0) имеем 0 < d < 2. При отрицательной автокорреляции (r < 0) – 2 < d < 4.

Задачи для самоконтроля
Задача 1
Исключить тенденцию методом отклонений от тренда из временных рядов:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
у(t) 16 4 17 10 18 8 5 7 13 11
x(t) 15 9 19 21 12 9 9 14 24 8
Задача 2
Исключить параболическую тенденцию методом последовательных разностей из временных рядов:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
у(t) 3 6 9 14 20 26 34 43 52 63
x(t) 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
Задача 3
Исключить тенденцию методом включения в модель фактора времени из временных рядов:
t 1 2 3 4 5
y(t) 3 5 8 4 6
x(t) 8 7 4 2 9
Задача 4
Проверить гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для временных рядов:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y(t) 16 4 17 10 18 8 5 7 13 11
x(t) 15 9 19 21 12 9 9 14 24 8
Задача 5
Представлены данные об уровне дивидендов, выплачиваемых по обыкновенным акциям (%), и среднегодовой стоимости основных фондов компании (млн руб.) за несколько периодов:
Период 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Среднегодовая стоимость основных фондов 7 7,5 8 8 9 8,5 8 9 9,5
Дивиденды по обыкновенным акциям 4 4,2 3,8 3 3,4 4 4 3,7 4
С помощью критерия Дарбина-Уотсона определите наличие автокорреляции в остатках.

Практическое занятие 3
Существует несколько подходов при моделировании сезонных или циклических колебаний:
- расчет значений сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда;
- применение сезонных фиктивных переменных;
- использование рядов Фурье и др.
1. Наиболее простым является первый метод. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и Е для каждого уровня ряда.
Построение модели включает следующие шаги:
1)выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;
2)расчет значений сезонной компоненты S;
3)устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (T + Е) или в мультипликативной (T • Е) модели;
4)аналитическое выравнивание уровней (T + Е) или (Т • Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;
5)расчет полученных по модели значений (T + Е) или (Т • Е);
6)расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
2. При моделировании временного ряда, содержащего сезонные колебания, могут использоваться фиктивные переменные. Количество фиктивных переменных в модели временного ряда должно быть на единицу меньше числа периодов (или моментов) времени внутри одного цикла колебаний. Так, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре независимые переменные – фактор времени и три фиктивные переменные. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных.
Предположим, имеется ряд динамики, содержащий сезонные колебания периодичностью k. Тогда модель регрессии с фиктивными переменными будет иметь вид:
yt = a0 + a1t + b1x1 + … + bjxj + … + bk-1xk-1 + Δt,
где
При моделировании сезонных колебаний на основе поквартальных данных за несколько лет число кварталов внутри одного года k = 4, общий вид модели следующий:
yt = a0 + a1t + b1x1 + b2x2 + b3x3 + Δt,
где


Уравнение тренда для каждого квартала будет иметь следующий вид:
для I квартала: yt = a0 + a1t + c1 + Δt;
для II квартала: yt = a0 + a1t + c2 + Δt;
для III квартала: yt = a0 + a1t + c3 + Δt;
для IV квартала: yt = a0 + a1t + Δt.
Таким образом, фиктивные переменные дифференцируют величину свободного члена уравнения регрессии для каждого квартала. Величина свободного члена составляет:
для I квартала: (a0 + c1);
для II квартала: (a0 + c2);
для III квартала: (a0 + c3);
для IV квартала: a0.
Значение параметра а1 в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда динамики под воздействием тенденции.
По своей сути данная модель временного ряда с фиктивными переменными является аддитивной, поскольку фактический уровень ряда – это сумма трендовой, сезонной и случайной компонент.
Недостатком модели временного ряда с фиктивными переменными для описания периодических колебаний является большое число переменных.
3. Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, можно представить бесконечным рядом синусоидальных и косинусоидальных функций. Нахождение конечной суммы уровней с использованием функций косинусов и синусов времени называется гармоническим анализом.
Другими словами, гармонический анализ представляет собой операцию для выражения заданной периодической функции в идее ряда Фурье по гармоникам разных периодов (французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1736 – 1830). Каждый член ряда представляет собой слагаемое постоянной величины с функциями косинусов и синусов определенного периода.
В простейшем случае динамика явлений, обладающих периодичностью, может быть аппроксимирована синусоидой:
y = A × sin(α × t + β),
где t – время;
А – полуамплитуда колебания, т.е. наибольшее или наименьшее отклонение от оси t;
α – длина волны колебательного движения;
β – начальная фаза колебания.
Аппроксимация динамики экономических явлений с помощью ряда Фурье состоит в выборе таких гармонических колебаний, наложение которых друг на друга отразит периодические колебания фактических уровней динамического ряда.
С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде некоторой функции времени, в которой слагаемые расположены по убыванию периодов:
.
В уравнении Фурье величина k определяет гармонику ряда и может быть взята целым числом (обычно от 1 до 4).
При решении уравнения параметры определяются на основе положений метода наименьших квадратов. Определяя для функции частные производные и приравнивая их к нулю, получают систему нормальных уравнений, параметры которых вычисляются по формулам:
, , .
Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением (приростом), равным 2π/n, где n – число уровней ряда динамики.
При анализе ряда внутригодовой динамики по месяцам значение n принимается равным 12. Представляя месячные периоды как части окружности

ряд внутригодовой динамики можно записать в виде:
Периоды ti…0, π/6, π/3,π/2, 2π/3, 5π/6, π, 7π/6, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 11π/6.
Уровни yi… у1, у2, у3, у4, у5, у6, у7, у8, у9, у10, у11, у12,
Для определения в каждом конкретном случае t находят значения синусов и косинусов разных гармоник, которые для удобства расчетов представлены в таблице 2.
Полагая гармоники k соответственно равными 1, 2, 3, …, m находят все значения cos kt и sin kt. Тогда первая гармоника ряда Фурье имеет вид:
yt = a0 + a1cost + b1sint,
где , , .
Ряд Фурье с двумя гармониками:
yt = a0 + a1cost + b1sint + a2cos2t + b2sin2t,
где , .

Таблица 2 – Коэффициент гармонического анализа месячных наблюдений для расчета параметров аk и bk
t cos t cos 2t cos 3t cos 4t sin t sin 2t sin 3t sin 4t
0 1 1 1 1 0 0 0 0
π/6 0,866 0,5 0 –0,5 0,5 0,866 1 0,866
π/3 0,5 –0,5 –1 –0,5 0,866 0,866 0 –0,866
π/2 0 –1 0 1 1 0 –1 0
2π/3 –0,5 –0,5 1 –0,5 0,866 –0,866 0 0,866
5π/6 –0,866 0,5 0 –0,5 0,5 –0,866 1 –0,866
π –1 1 –1 1 0 0 0 0
7π/6 –0,866 0,5 0 –0,5 –0,5 0,866 –1 0,866
4π/3 –0,5 –0,5 1 –0,5 –0,866 0,866 0 –0,866
3π/2 0 –1 0 1 –1 0 1 0
5π/3 0,5 –0,5 –1 –0,5 –0,866 –0,866 0 0,866
11π/6 0,866 0,5 0 –0,5 –0,5 –0,866 –1 –0,866
Эффективно вычислять ряды Фурье можно, когда порядок гармоник является делителем числа 2N, при этом некоторые из возможных значений тригонометрических функций не требуются. Поэтому на практике часто используются значения 2N, равные 12, 24 и 60.
Особый случай, когда число точек равно 12 (N = 6), называется методом двенадцати ординат и представляет интерес, так как часто встречается и легко выполняется вручную.
Известно:
, .
Разобьем каждую сумму по x на две: от 0 до 6 и от 7 до 11, положив во второй части х = 12 – х', получим:
,
.
Запишем:
f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) f(6)
f(11) f(10) f(9) f(8) f(7) Сумма s(0) s(1) s(2) s(3) s(4) s(5) s(6)
Разность t(1) t(2) t(3) t(4) t(5) В результате имеем:
, .
Опять разобьем отрезок на две части: от 0 до 3 и от 4 до 6, положив во второй части x = 6 – х'.

Тогда получим:
,
.
Теперь можно записать:
s(0) s(1) s(2) s(3) t(1) t(2) t(3)
s(6) s(5) s(4) t(5) t(4) Сумма u(0) u(1) u(2) u(3) p(1) p(2) p(3)
Разность v(0) v(1) v(2) q(1) q(2) Результат, записанный полностью, выглядит так:





При решении ряда Фурье методом двенадцати ординат делают меньше 60 арифметических операций, большинство из которых простые сложения.
К методам сглаживания временного ряда можно отнести:
- метод скользящих средних;
- метод взвешенных средних;
- метод экспоненциального сглаживания.
Метод скользящих средних оказывается полезным, если можно считать, что уровни ряда будут мало изменятся во времени.
Прежде чем строить скользящие средние, необходимо выбрать количествово периодов скользящей средней.
Пусть скользящая средняя строится из K периодов.
Пусть ŷt0 – скользящая средняя в период t0, тогда
,
где ∑yt – сумма скользящих средних за предыдущие К периодов.
После каждого периода уровень ряда в последний период прибавляется к сумме уровней ряда за предшествующие периоды, а более ранних периодов в явном виде уже не учитывается.
Такая процедура позволяет сглаживать кратковременные особенности во временных рядах.
Метод взвешенных скользящих. Иногда бывает важно придать более высокую значимость. В этом случае можно использовать метод взвешенной скользящей средней. Предварительно выбирается количество периодов, за которые будут использоваться уровни ряда.
Затем, каждому из выбранных периодов приписывается определенный вес. Выбор весов обычно субъективен. Приданием последнему периоду более высокого веса можно добиться того, что прогноз будет немедленно реагировать на необычные изменения уровня ряда, т.е. будет восприимчив к изменениям. С другой стороны, если придать последнему периоду чрезмерно большой вес, то все предшествующие периоды в построении прогноза практически не будут участвовать.
Пусть строится взвешенная скользящая средняя за К периодов, тогда:
,
где t – номер периода;
wt – вес;
ŷt0 – взвешенная скользящая средняя в период t0.
Суммирование ведется по периодам, предшествующим периоду t0 и включает в себя К слагаемых.
Оба рассмотренных метода простой и взвешенной скользящих средних позволяет сгладить неожиданные изменения данных и получить стабильные оценки. Однако, использование методов скользящих средних связано с тремя проблемами:
-увеличение числа рассматриваемых периодов усреднения обеспечивает лучшее сглаживание, но делает метод менее восприимчивым к реальным изменениям данных;
-скользящие средние не очень хорошо отражают тренд, если он существует, т.к. это средние, то они всегда лежат далеко от последнего фактического значения и не может отражать отклонения в сторону увеличения или снижения данных;
-методы скользящих средних требуют длительного хранения последних данных.
Метод экспоненциального сглаживания. Данный метод является разновидностью методов скользящих средних, но при этом требует только краткосрочного хранения последних данных. Формула прогноза имеет вид:
ŷt= ŷt-1 + α(yt-1 – ŷt-1),
где α – константа сглаживания (0 ≤ α ≤ 1).
Константа α может меняться с целью увеличения роста последних данных, если α → 1, или с целью увеличения веса предыдущих данных, если α → 0. В зависимости от выбранного значения α можно получить более точный или менее точный прогноз.
Если нет никаких априорных предпосылок по выбору того или иного метода сглаживания, то определить наилучший среди них можно, например, с помощью средней ошибки аппроксимации, суммирование при расчете ошибок ведется по тем периодам, для которых известны их фактические и прогнозные значения.
Задачи для самоконтроля
Задача1
Представлена динамика котировки доллара США за период с 26 ноября 2010 по 31 декабря 2010.
26.11.2012 31,0081
27.11.2012 30,9567
28.11.2012 31,1235
29.11.2012 31,004
30.11.2012 30,8195
03.12.2012 30,8729
04.12.2012 30,9646
05.12.2012 30,8122
06.12.2012 30,8888
07.12.2012 30,9337
10.12.2012 30,8797
11.12.2012 30,7164
12.12.2012 30,7225
13.12.2012 30,6231
14.12.2012 30,6949
17.12.2012 30,7691
18.12.2012 30,9754
19.12.2012 30,7411
20.12.2012 30,7414
21.12.2012 30,7083
24.12.2012 30,7198
26.12.2012 30,589
27.12.2012 30,4744
28.12.2012 30,3189
Провести сглаживание временного ряда с помощью метода скользящего среднего, при L = 3; 5; 7, а также реализовать экспоненциальное сглаживание при w = 0,5; 0,33; 0,25.
Задача 2
Представлены данные, характеризующие среднемесячный объем продаж бензина на некоторой автозаправочной станции (млн. л):
Время 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Объем продаж 4 3 5 6 4 3 4 5,5 4 3 4,5 6 5 3,5 5 6
По этим данным произвести моделирование всех составляющих временного ряда.
Задача 3
По данным задачи 2 найти прогнозные данные на один период вперед, т.е. для t = 17.
Задача 4
Анализируется среднедушевой расход на развлечения люден до 25 лет. По 35-годовым данным по МНК построено следующее уравнение регрессии:
yt = 43,5 + 0,251xt + 0,545yt-1
(S) (0,105) (0,135)DW = 1,9,
где yt – среднедушевой расход на развлечения молодых людей в момент времени t;
xt – среднедушевой располагаемый доход в момент времени t.
1.Постройте 95 %-ный доверительный интервал для теоретического коэффициента регрессии при переменной xt.
2.Каков экономический смысл данного коэффициента?
3.Проверьте гипотезу об отсутствии автокорреляции остатков.
Задача 5
На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние три года была построена аддитивная модель временного ряда. Представлены скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы:
Месяц Скорректированные значения сезонной компоненты Месяц Скорректированные значения сезонной компоненты
Январь -1.0 Июль 3,0
Февраль 2.0 Август 1.0
Март -0,5 Сентябрь 2.5
Апрель 0,3 Октябрь 1.0
Май -2,0 Ноябрь -3,0
Июнь -1.1 Декабрь 7
Уравнение тренда выглядит следующим образом:
ŷt =2,5+ 0,03t.
При расчете параметров тренда использовались фактические моменты времени ().
1.Определить значение сезонной компоненты за декабрь.
2.На основе построенной модели дать прогноз общего числа браков, заключенных в течение первого квартала следующего года.

Рекомендуемый список литературы для выполнения практических работ
Основная литература
1.Елисеева И.И. Эконометрика. – М.: «Финансы и статистика» – 2011. – 288 с.
2.Елисеева И.И. Практикум по эконометрике. – М.: «Финансы и статистика» – 2007. – 344 с.
3.Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования. – М.: КомКнига, 2006. – 432 с.
Дополнительная литература
1.Бородич С.А. Эконометрика: Учебное пособие. – Мн., Новое знание, 2002. – 408 с.
2.Доугерти К. Введение в эконометрику. – М., 2003, – 402 с.
3.Магнус Я.Р. и др. Эконометрика. Начальный курс. – М., Дело, 2000. – 400 с.
4.Тихомиров Н.П, Дорохина Е.Ю. Эконометрика. – М., Экзамен, 2003. – 512 с.
Учебно-методическая литература
1.Янчушка З.И. Математическое моделирование экономических процессов с помощью парных регрессионных моделей. Учебно-методическое пособие по выполнению РГР по дисциплине «Эконометрика». – Уфа, Изд-во УГНТУ, 2010. – 27 с.
2.Янчушка З.И., Янчушка А.П. Математическое моделирование экономических процессов с помощью моделей множественной регрессии. Учебно-методическое пособие по выполнению РГР по дисциплине «Эконометрика». – Уфа, Изд-во УГНТУ, 2011. – 33 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А
Функция Лапласа (стандартизированное нормальное распределение)

Ф(1,65) = Р(0 < U < 1,65) = 0,4505 P(U > 1,65) = 0,0495 u 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
4,0 0,4999683 4,5 0,4999966 5,0 0,4999997 Приложение Б
Распределение Стьюдента (t - распределение)
Пример: tα;v = t0,05;20 = 1,725 v – число степеней свобод
P(T > 1,725) = 0,05 α – уровень значимости P(|T| > 1,725) = 0,10 v α
0,40 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005
1 0,3249 1,0000 3,0777 6,3138 12,7062 31,8205 63,6567 318,3088 636,6192
2 0,2887 0,8165 1,8856 2,9200 4,3027 6,9646 9,9248 22,3271 31,5991
3 0,2767 0,7649 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8409 10,2145 12,9240
4 0,2707 0,7407 1,5332 2,1318 2,7764 3,7469 4,6041 7,1732 8,6103
5 0,2672 0,7267 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 5,8934 6,8688
6 0,2648 0,7176 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 5,2076 5,9588
7 0,2632 0,7111 1,4149 1,8946 2,3646 2,9980 3,4995 4,7853 5,4079
8 0,2619 0,7064 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 4,5008 5,0413
9 0,2610 0,7027 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 4,2968 4,7809
10 0,2602 0,6998 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 4,1437 4,5869
11 0,2596 0,6974 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 4,0247 4,4370
12 0,2590 0,6955 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 3,9296 4,3178
13 0,2586 0,6938 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 3,8520 4,2208
14 0,2582 0,6924 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 3,7874 4,1405
15 0,2579 0,6912 1,3406 1,7531 2,1314 2,6025 2,9467 3,7328 4,0728
16 0,2576 0,6901 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 3,6862 4,0150
17 0,2573 0,6892 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,6458 3,9651
18 0,2571 0,6884 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,6105 3,9216
19 0,2569 0,6876 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,5794 3,8834
20 0,2567 0,6870 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,5518 3,8495
21 0,2566 0,6864 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,5272 3,8193
22 0,2564 0,6858 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,5050 3,7921
23 0,2563 0,6853 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,4850 3,7676
24 0,2562 0,6848 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7969 3,4668 3,7454
25 0,2561 0,6844 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,4502 3,7251
26 0,2560 0,6840 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,4350 3,7066
27 0,2559 0,6837 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,4210 3,6896
28 0,2558 0,6834 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,4082 3,6739
29 0,2557 0,6830 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3,3962 3,6594
30 0,2556 0,6828 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 3,3852 3,6460
40 0,2550 0,6807 1,3031 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 3,3069 3,5510
50 0,2547 0,6794 1,2987 1,6759 2,0086 2,4033 2,6778 3,2614 3,4960
60 0,2545 0,6786 1,2958 1,6706 2,0003 2,3901 2,6603 3,2317 3,4602
80 0,2542 0,6776 1,2922 1,6641 1,9901 2,3739 2,6387 3,1953 3,4163
100 0,2540 0,6770 1,2901 1,6602 1,9840 2,3642 2,6259 3,1737 3,3905
150 0,2538 0,6761 1,2872 1,6551 1,9759 2,3515 2,6090 3,1455 3,3566
200 0,2537 0,6757 1,2858 1,6525 1,9719 2,3451 2,6006 3,1315 3,3398
500 0,2535 0,6750 1,2832 1,6479 1,9647 2,3338 2,5857 3,1066 3,3101
∞ 0,2533 0,6745 1,2816 1,6449 1,9600 2,3263 2,5758 3,0902 3,2905
ПРИЛОЖЕНИЕ В
χ2 – распределение
Пример: при v = 15 P(χ2 > 8,55) = 0,9
P(χ2 > 22,31) = 0,1 при v > 100 v α
0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,500 0,250 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005
1 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 0,102 0,455 1,323 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879
2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 0,575 1,386 2,773 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597
3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,213 2,366 4,108 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838
4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,923 3,357 5,385 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860
5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,675 4,351 6,626 9,236 11,070 12,833 15,086 16,750
6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,455 5,348 7,841 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548
7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 4,255 6,346 9,037 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278
8 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 5,071 7,344 10,219 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955
9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,899 8,343 11,389 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589
10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,737 9,342 12,549 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188
11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 7,584 10,341 13,701 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757
12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 8,438 11,340 14,845 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300
13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 9,299 12,340 15,984 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819
14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 10,165 13,339 17,117 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319
15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 11,037 14,339 18,245 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801
16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,912 15,338 19,369 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267
17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,792 16,338 20,489 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718
18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 13,675 17,338 21,605 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156
19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 14,562 18,338 22,718 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582
20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 15,452 19,337 23,828 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997
21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 16,344 20,337 24,935 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401
22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 17,240 21,337 26,039 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796
23 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 18,137 22,337 27,141 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181
24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 19,037 23,337 28,241 33,196 36,415 39,364 42,980 45,559
25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 19,939 24,337 29,339 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928
26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 20,843 25,336 30,435 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290
27 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 21,749 26,336 31,528 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645
28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 22,657 27,336 32,620 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993
29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 23,567 28,336 33,711 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336
30 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 24,478 29,336 34,800 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672
40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 33,660 39,335 45,616 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766
50 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 42,942 49,335 56,334 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490
60 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 52,294 59,335 66,981 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952
70 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 61,698 69,334 77,577 85,527 90,531 95,023 100,425 104,215
80 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 71,145 79,334 88,130 96,578 101,879 106,629 112,329 116,321
90 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 80,625 89,334 98,650 107,565 113,145 118,136 124,116 128,299
100 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 90,133 99,334 109,141 118,498 124,342 129,561 135,807 140,169

ПРИЛОЖЕНИЕ Г
Распределение Фишера (F – распределение)
Пример: при v1 = 6, v2 = 5 P(F > 3,40) = 0,1
при v1 = 6, v2 = 5 P(F > 4,95) = 0,05 при v1 = 6, v2 = 5 P(F > 10,7) = 0,01 v2 v1
α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 0,1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,19 60,47 60,71
0,05 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 242,98 243,91
0,01 4052,18 4999,50 5403,35 5624,58 5763,65 5858,99 5928,36 5981,07 6022,47 6055,85 6083,32 6106,32
2 0,1 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,40 9,41
0,05 18,513 19,000 19,164 19,247 19,296 19,330 19,353 19,371 19,385 19,396 19,405 19,413
0,01 98,503 99,000 99,166 99,249 99,299 99,333 99,356 99,374 99,388 99,399 99,408 99,416
3 0,1 5,538 5,462 5,391 5,343 5,309 5,285 5,266 5,252 5,240 5,230 5,222 5,216
0,05 10,128 9,552 9,277 9,117 9,013 8,941 8,887 8,845 8,812 8,786 8,763 8,745
0,01 34,116 30,817 29,457 28,710 28,237 27,911 27,672 27,489 27,345 27,229 27,133 27,052
4 0,1 4,545 4,325 4,191 4,107 4,051 4,010 3,979 3,955 3,936 3,920 3,907 3,896
0,05 7,709 6,944 6,591 6,388 6,256 6,163 6,094 6,041 5,999 5,964 5,936 5,912
0,01 21,198 18,000 16,694 15,977 15,522 15,207 14,976 14,799 14,659 14,546 14,452 14,374
5 0,1 4,060 3,780 3,619 3,520 3,453 3,405 3,368 3,339 3,316 3,297 3,282 3,268
0,05 6,608 5,786 5,409 5,192 5,050 4,950 4,876 4,818 4,772 4,735 4,704 4,678
0,01 16,258 13,274 12,060 11,392 10,967 10,672 10,456 10,289 10,158 10,051 9,963 9,888
6 0,1 3,776 3,463 3,289 3,181 3,108 3,055 3,014 2,983 2,958 2,937 2,920 2,905
0,05 5,987 5,143 4,757 4,534 4,387 4,284 4,207 4,147 4,099 4,060 4,027 4,000
0,01 13,745 10,925 9,780 9,148 8,746 8,466 8,260 8,102 7,976 7,874 7,790 7,718
7 0,1 3,589 3,257 3,074 2,961 2,883 2,827 2,785 2,752 2,725 2,703 2,684 2,668
0,05 5,591 4,737 4,347 4,120 3,972 3,866 3,787 3,726 3,677 3,637 3,603 3,575
0,01 12,246 9,547 8,451 7,847 7,460 7,191 6,993 6,840 6,719 6,620 6,538 6,469
8 0,1 3,458 3,113 2,924 2,806 2,726 2,668 2,624 2,589 2,561 2,538 2,519 2,502
0,05 5,318 4,459 4,066 3,838 3,687 3,581 3,500 3,438 3,388 3,347 3,313 3,284
0,01 11,259 8,649 7,591 7,006 6,632 6,371 6,178 6,029 5,911 5,814 5,734 5,667
9 0,1 3,360 3,006 2,813 2,693 2,611 2,551 2,505 2,469 2,440 2,416 2,396 2,379
0,05 5,117 4,256 3,863 3,633 3,482 3,374 3,293 3,230 3,179 3,137 3,102 3,073
0,01 10,561 8,022 6,992 6,422 6,057 5,802 5,613 5,467 5,351 5,257 5,178 5,111
10 0,1 3,285 2,924 2,728 2,605 2,522 2,461 2,414 2,377 2,347 2,323 2,302 2,284
0,05 4,965 4,103 3,708 3,478 3,326 3,217 3,135 3,072 3,020 2,978 2,943 2,913
0,01 10,044 7,559 6,552 5,994 5,636 5,386 5,200 5,057 4,942 4,849 4,772 4,706
11 0,1 3,225 2,860 2,660 2,536 2,451 2,389 2,342 2,304 2,274 2,248 2,227 2,209
0,05 4,844 3,982 3,587 3,357 3,204 3,095 3,012 2,948 2,896 2,854 2,818 2,788
0,01 9,646 7,206 6,217 5,668 5,316 5,069 4,886 4,744 4,632 4,539 4,462 4,397
12 0,1 3,177 2,807 2,606 2,480 2,394 2,331 2,283 2,245 2,214 2,188 2,166 2,147
0,05 4,747 3,885 3,490 3,259 3,106 2,996 2,913 2,849 2,796 2,753 2,717 2,687
0,01 9,330 6,927 5,953 5,412 5,064 4,821 4,640 4,499 4,388 4,296 4,220 4,155
13 0,1 3,136 2,763 2,560 2,434 2,347 2,283 2,234 2,195 2,164 2,138 2,116 2,097
0,05 4,667 3,806 3,411 3,179 3,025 2,915 2,832 2,767 2,714 2,671 2,635 2,604
0,01 9,074 6,701 5,739 5,205 4,862 4,620 4,441 4,302 4,191 4,100 4,025 3,960
14 0,1 3,102 2,726 2,522 2,395 2,307 2,243 2,193 2,154 2,122 2,095 2,073 2,054
0,05 4,600 3,739 3,344 3,112 2,958 2,848 2,764 2,699 2,646 2,602 2,565 2,534
0,01 8,862 6,515 5,564 5,035 4,695 4,456 4,278 4,140 4,030 3,939 3,864 3,800
15 0,1 3,073 2,695 2,490 2,361 2,273 2,208 2,158 2,119 2,086 2,059 2,037 2,017
0,05 4,543 3,682 3,287 3,056 2,901 2,790 2,707 2,641 2,588 2,544 2,507 2,475
0,01 8,683 6,359 5,417 4,893 4,556 4,318 4,142 4,004 3,895 3,805 3,730 3,666
16 0,1 3,048 2,668 2,462 2,333 2,244 2,178 2,128 2,088 2,055 2,028 2,005 1,985
0,05 4,494 3,634 3,239 3,007 2,852 2,741 2,657 2,591 2,538 2,494 2,456 2,425
0,01 8,531 6,226 5,292 4,773 4,437 4,202 4,026 3,890 3,780 3,691 3,616 3,553
17 0,1 3,026 2,645 2,437 2,308 2,218 2,152 2,102 2,061 2,028 2,001 1,978 1,958
0,05 4,451 3,592 3,197 2,965 2,810 2,699 2,614 2,548 2,494 2,450 2,413 2,381
0,01 8,400 6,112 5,185 4,669 4,336 4,102 3,927 3,791 3,682 3,593 3,519 3,455
18 0,1 3,007 2,624 2,416 2,286 2,196 2,130 2,079 2,038 2,005 1,977 1,954 1,933
0,05 4,414 3,555 3,160 2,928 2,773 2,661 2,577 2,510 2,456 2,412 2,374 2,342
0,01 8,285 6,013 5,092 4,579 4,248 4,015 3,841 3,705 3,597 3,508 3,434 3,371
19 0,1 2,990 2,606 2,397 2,266 2,176 2,109 2,058 2,017 1,984 1,956 1,932 1,912
0,05 4,381 3,522 3,127 2,895 2,740 2,628 2,544 2,477 2,423 2,378 2,340 2,308
0,01 8,185 5,926 5,010 4,500 4,171 3,939 3,765 3,631 3,523 3,434 3,360 3,297

Продолжение приложения Г
v2 v1
α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
20 0,1 2,975 2,589 2,380 2,249 2,158 2,091 2,040 1,999 1,965 1,937 1,913 1,892
0,05 4,351 3,493 3,098 2,866 2,711 2,599 2,514 2,447 2,393 2,348 2,310 2,278
0,01 8,096 5,849 4,938 4,431 4,103 3,871 3,699 3,564 3,457 3,368 3,294 3,231
22 0,1 2,949 2,561 2,351 2,219 2,128 2,060 2,008 1,967 1,933 1,904 1,880 1,859
0,05 4,301 3,443 3,049 2,817 2,661 2,549 2,464 2,397 2,342 2,297 2,259 2,226
0,01 7,945 5,719 4,817 4,313 3,988 3,758 3,587 3,453 3,346 3,258 3,184 3,121
24 0,1 2,927 2,538 2,327 2,195 2,103 2,035 1,983 1,941 1,906 1,877 1,853 1,832
0,05 4,260 3,403 3,009 2,776 2,621 2,508 2,423 2,355 2,300 2,255 2,216 2,183
0,01 7,823 5,614 4,718 4,218 3,895 3,667 3,496 3,363 3,256 3,168 3,094 3,032
26 0,1 2,909 2,519 2,307 2,174 2,082 2,014 1,961 1,919 1,884 1,855 1,830 1,809
0,05 4,225 3,369 2,975 2,743 2,587 2,474 2,388 2,321 2,265 2,220 2,181 2,148
0,01 7,721 5,526 4,637 4,140 3,818 3,591 3,421 3,288 3,182 3,094 3,021 2,958
28 0,1 2,894 2,503 2,291 2,157 2,064 1,996 1,943 1,900 1,865 1,836 1,811 1,790
0,05 4,196 3,340 2,947 2,714 2,558 2,445 2,359 2,291 2,236 2,190 2,151 2,118
0,01 7,636 5,453 4,568 4,074 3,754 3,528 3,358 3,226 3,120 3,032 2,959 2,896
30 0,1 2,881 2,489 2,276 2,142 2,049 1,980 1,927 1,884 1,849 1,819 1,794 1,773
0,05 4,171 3,316 2,922 2,690 2,534 2,421 2,334 2,266 2,211 2,165 2,126 2,092
0,01 7,562 5,390 4,510 4,018 3,699 3,473 3,304 3,173 3,067 2,979 2,906 2,843
40 0,1 2,835 2,440 2,226 2,091 1,997 1,927 1,873 1,829 1,793 1,763 1,737 1,715
0,05 4,085 3,232 2,839 2,606 2,449 2,336 2,249 2,180 2,124 2,077 2,038 2,003
0,01 7,314 5,179 4,313 3,828 3,514 3,291 3,124 2,993 2,888 2,801 2,727 2,665
60 0,1 2,791 2,393 2,177 2,041 1,946 1,875 1,819 1,775 1,738 1,707 1,680 1,657
0,05 4,001 3,150 2,758 2,525 2,368 2,254 2,167 2,097 2,040 1,993 1,952 1,917
0,01 7,077 4,977 4,126 3,649 3,339 3,119 2,953 2,823 2,718 2,632 2,559 2,496
80 0,1 2,769 2,370 2,154 2,016 1,921 1,849 1,793 1,748 1,711 1,680 1,653 1,629
0,05 3,960 3,111 2,719 2,486 2,329 2,214 2,126 2,056 1,999 1,951 1,910 1,875
0,01 6,963 4,881 4,036 3,563 3,255 3,036 2,871 2,742 2,637 2,551 2,478 2,415
100 0,1 2,756 2,356 2,139 2,002 1,906 1,834 1,778 1,732 1,695 1,663 1,636 1,612
0,05 3,936 3,087 2,696 2,463 2,305 2,191 2,103 2,032 1,975 1,927 1,886 1,850
0,01 6,895 4,824 3,984 3,513 3,206 2,988 2,823 2,694 2,590 2,503 2,430 2,368
120 0,1 2,748 2,347 2,130 1,992 1,896 1,824 1,767 1,722 1,684 1,652 1,625 1,601
0,05 3,920 3,072 2,680 2,447 2,290 2,175 2,087 2,016 1,959 1,910 1,869 1,834
0,01 6,851 4,787 3,949 3,480 3,174 2,956 2,792 2,663 2,559 2,472 2,399 2,336
200 0,1 2,731 2,329 2,111 1,973 1,876 1,804 1,747 1,701 1,663 1,631 1,603 1,579
0,05 3,888 3,041 2,650 2,417 2,259 2,144 2,056 1,985 1,927 1,878 1,837 1,801
0,01 6,763 4,713 3,881 3,414 3,110 2,893 2,730 2,601 2,497 2,411 2,338 2,275
∞ 0,1 2,706 2,303 2,084 1,945 1,847 1,774 1,717 1,670 1,632 1,599 1,571 1,546
0,05 3,842 2,996 2,605 2,372 2,214 2,099 2,010 1,939 1,880 1,831 1,789 1,752
0,01 6,635 4,605 3,782 3,319 3,017 2,802 2,640 2,511 2,408 2,321 2,248 2,185

Продолжение приложения Г
v2 v1
α 15 20 24 30 40 50 60 100 120 200 500 ∞
1 0,1 61,22 61,74 62,00 62,26 62,53 62,69 62,79 63,01 63,06 63,17 63,26 63,33
0,05 245,95 248,01 249,05 250,10 251,14 251,77 252,20 253,04 253,25 253,68 254,06 254,31
0,01 6157,28 6208,73 6234,63 6260,65 6286,78 6302,52 6313,03 6334,11 6339,39 6349,97 6359,50 6365,86
2 0,1 9,42 9,44 9,45 9,46 9,47 9,47 9,47 9,48 9,48 9,49 9,49 9,49
0,05 19,429 19,446 19,454 19,462 19,471 19,476 19,479 19,486 19,487 19,491 19,494 19,496
0,01 99,433 99,449 99,458 99,466 99,474 99,479 99,482 99,489 99,491 99,494 99,497 99,499
3 0,1 5,200 5,184 5,176 5,168 5,160 5,155 5,151 5,144 5,143 5,139 5,136 5,134
0,05 8,703 8,660 8,639 8,617 8,594 8,581 8,572 8,554 8,549 8,540 8,532 8,526
0,01 26,872 26,690 26,598 26,505 26,411 26,354 26,316 26,240 26,221 26,183 26,148 26,125
4 0,1 3,870 3,844 3,831 3,817 3,804 3,795 3,790 3,778 3,775 3,769 3,764 3,761
0,05 5,858 5,803 5,774 5,746 5,717 5,699 5,688 5,664 5,658 5,646 5,635 5,628
0,01 14,198 14,020 13,929 13,838 13,745 13,690 13,652 13,577 13,558 13,520 13,486 13,463
5 0,1 3,238 3,207 3,191 3,174 3,157 3,147 3,140 3,126 3,123 3,116 3,109 3,105
0,05 4,619 4,558 4,527 4,496 4,464 4,444 4,431 4,405 4,398 4,385 4,373 4,365
0,01 9,722 9,553 9,466 9,379 9,291 9,238 9,202 9,130 9,112 9,075 9,042 9,020
6 0,1 2,871 2,836 2,818 2,800 2,781 2,770 2,762 2,746 2,742 2,734 2,727 2,722
0,05 3,938 3,874 3,841 3,808 3,774 3,754 3,740 3,712 3,705 3,690 3,678 3,669
0,01 7,559 7,396 7,313 7,229 7,143 7,091 7,057 6,987 6,969 6,934 6,902 6,880
7 0,1 2,632 2,595 2,575 2,555 2,535 2,523 2,514 2,497 2,493 2,484 2,476 2,471
0,05 3,511 3,445 3,410 3,376 3,340 3,319 3,304 3,275 3,267 3,252 3,239 3,230
0,01 6,314 6,155 6,074 5,992 5,908 5,858 5,824 5,755 5,737 5,702 5,671 5,650
8 0,1 2,464 2,425 2,404 2,383 2,361 2,348 2,339 2,321 2,316 2,307 2,298 2,293
0,05 3,218 3,150 3,115 3,079 3,043 3,020 3,005 2,975 2,967 2,951 2,937 2,928
0,01 5,515 5,359 5,279 5,198 5,116 5,065 5,032 4,963 4,946 4,911 4,880 4,859
9 0,1 2,340 2,298 2,277 2,255 2,232 2,218 2,208 2,189 2,184 2,174 2,165 2,159
0,05 3,006 2,936 2,900 2,864 2,826 2,803 2,787 2,756 2,748 2,731 2,717 2,707
0,01 4,962 4,808 4,729 4,649 4,567 4,517 4,483 4,415 4,398 4,363 4,332 4,311
10 0,1 2,244 2,201 2,178 2,155 2,132 2,117 2,107 2,087 2,082 2,071 2,062 2,055
0,05 2,845 2,774 2,737 2,700 2,661 2,637 2,621 2,588 2,580 2,563 2,548 2,538
0,01 4,558 4,405 4,327 4,247 4,165 4,115 4,082 4,014 3,996 3,962 3,930 3,909
11 0,1 2,167 2,123 2,100 2,076 2,052 2,036 2,026 2,005 2,000 1,989 1,979 1,972
0,05 2,719 2,646 2,609 2,570 2,531 2,507 2,490 2,457 2,448 2,431 2,415 2,404
0,01 4,251 4,099 4,021 3,941 3,860 3,810 3,776 3,708 3,690 3,656 3,624 3,602
12 0,1 2,105 2,060 2,036 2,011 1,986 1,970 1,960 1,938 1,932 1,921 1,911 1,904
0,05 2,617 2,544 2,505 2,466 2,426 2,401 2,384 2,350 2,341 2,323 2,307 2,296
0,01 4,010 3,858 3,780 3,701 3,619 3,569 3,535 3,467 3,449 3,414 3,382 3,361
13 0,1 2,053 2,007 1,983 1,958 1,931 1,915 1,904 1,882 1,876 1,864 1,853 1,846
0,05 2,533 2,459 2,420 2,380 2,339 2,314 2,297 2,261 2,252 2,234 2,218 2,206
0,01 3,815 3,665 3,587 3,507 3,425 3,375 3,341 3,272 3,255 3,219 3,187 3,165
14 0,1 2,010 1,962 1,938 1,912 1,885 1,869 1,857 1,834 1,828 1,816 1,805 1,797
0,05 2,463 2,388 2,349 2,308 2,266 2,241 2,223 2,187 2,178 2,159 2,142 2,131
0,01 3,656 3,505 3,427 3,348 3,266 3,215 3,181 3,112 3,094 3,059 3,026 3,004
15 0,1 1,972 1,924 1,899 1,873 1,845 1,828 1,817 1,793 1,787 1,774 1,763 1,755
0,05 2,403 2,328 2,288 2,247 2,204 2,178 2,160 2,123 2,114 2,095 2,078 2,066
0,01 3,522 3,372 3,294 3,214 3,132 3,081 3,047 2,977 2,959 2,923 2,891 2,868
16 0,1 1,940 1,891 1,866 1,839 1,811 1,793 1,782 1,757 1,751 1,738 1,726 1,718
0,05 2,352 2,276 2,235 2,194 2,151 2,124 2,106 2,068 2,059 2,039 2,022 2,010
0,01 3,409 3,259 3,181 3,101 3,018 2,967 2,933 2,863 2,845 2,808 2,775 2,753
17 0,1 1,912 1,862 1,836 1,809 1,781 1,763 1,751 1,726 1,719 1,706 1,694 1,686
0,05 2,308 2,230 2,190 2,148 2,104 2,077 2,058 2,020 2,011 1,991 1,973 1,960
0,01 3,312 3,162 3,084 3,003 2,920 2,869 2,835 2,764 2,746 2,709 2,676 2,653
18 0,1 1,887 1,837 1,810 1,783 1,754 1,736 1,723 1,698 1,691 1,678 1,665 1,657
0,05 2,269 2,191 2,150 2,107 2,063 2,035 2,017 1,978 1,968 1,948 1,929 1,917
0,01 3,227 3,077 2,999 2,919 2,835 2,784 2,749 2,678 2,660 2,623 2,589 2,566
19 0,1 1,865 1,814 1,787 1,759 1,730 1,711 1,699 1,673 1,666 1,652 1,639 1,631
0,05 2,234 2,155 2,114 2,071 2,026 1,999 1,980 1,940 1,930 1,910 1,891 1,878
0,01 3,153 3,003 2,925 2,844 2,761 2,709 2,674 2,602 2,584 2,547 2,512 2,489
20 0,1 1,845 1,794 1,767 1,738 1,708 1,690 1,677 1,650 1,643 1,629 1,616 1,607
0,05 2,203 2,124 2,082 2,039 1,994 1,966 1,946 1,907 1,896 1,875 1,856 1,843
0,01 3,088 2,938 2,859 2,778 2,695 2,643 2,608 2,535 2,517 2,479 2,445 2,421
22 0,1 1,811 1,759 1,731 1,702 1,671 1,652 1,639 1,611 1,604 1,590 1,576 1,567
0,05 2,151 2,071 2,028 1,984 1,938 1,909 1,889 1,849 1,838 1,817 1,797 1,783
0,01 2,978 2,827 2,749 2,667 2,583 2,531 2,495 2,422 2,403 2,365 2,329 2,305
24 0,1 1,783 1,730 1,702 1,672 1,641 1,621 1,607 1,579 1,571 1,556 1,542 1,533
0,05 2,108 2,027 1,984 1,939 1,892 1,863 1,842 1,800 1,790 1,768 1,747 1,733
0,01 2,889 2,738 2,659 2,577 2,492 2,440 2,403 2,329 2,310 2,271 2,235 2,211
26 0,1 1,760 1,706 1,677 1,647 1,615 1,594 1,581 1,551 1,544 1,528 1,514 1,504
0,05 2,072 1,990 1,946 1,901 1,853 1,823 1,803 1,760 1,749 1,726 1,705 1,691
0,01 2,815 2,664 2,585 2,503 2,417 2,364 2,327 2,252 2,233 2,193 2,156 2,131
28 0,1 1,740 1,685 1,656 1,625 1,592 1,572 1,558 1,528 1,520 1,504 1,489 1,478
0,05 2,041 1,959 1,915 1,869 1,820 1,790 1,769 1,725 1,714 1,691 1,669 1,654
0,01 2,753 2,602 2,522 2,440 2,354 2,300 2,263 2,187 2,167 2,127 2,090 2,064
30 0,1 1,722 1,667 1,638 1,606 1,573 1,552 1,538 1,507 1,499 1,482 1,467 1,456
0,05 2,015 1,932 1,887 1,841 1,792 1,761 1,740 1,695 1,683 1,660 1,637 1,622
0,01 2,700 2,549 2,469 2,386 2,299 2,245 2,208 2,131 2,111 2,070 2,032 2,006
Продолжение приложения Г
v2 v1
α 15 20 24 30 40 50 60 100 120 200 500 ∞
40 0,1 1,662 1,605 1,574 1,541 1,506 1,483 1,467 1,434 1,425 1,406 1,389 1,377
0,05 1,924 1,839 1,793 1,744 1,693 1,660 1,637 1,589 1,577 1,551 1,526 1,509
0,01 2,522 2,369 2,288 2,203 2,114 2,058 2,019 1,938 1,917 1,874 1,833 1,805
60 0,1 1,603 1,543 1,511 1,476 1,437 1,413 1,395 1,358 1,348 1,326 1,306 1,291
0,05 1,836 1,748 1,700 1,649 1,594 1,559 1,534 1,481 1,467 1,438 1,409 1,389
0,01 2,352 2,198 2,115 2,028 1,936 1,877 1,836 1,749 1,726 1,678 1,633 1,601
80 0,1 1,574 1,513 1,479 1,443 1,403 1,377 1,358 1,318 1,307 1,284 1,261 1,245
0,05 1,793 1,703 1,654 1,602 1,545 1,508 1,482 1,426 1,411 1,379 1,347 1,325
0,01 2,271 2,115 2,032 1,944 1,849 1,788 1,746 1,655 1,630 1,579 1,530 1,494
100 0,1 1,557 1,494 1,460 1,423 1,382 1,355 1,336 1,293 1,282 1,257 1,232 1,214
0,05 1,768 1,676 1,627 1,573 1,515 1,477 1,450 1,392 1,376 1,342 1,308 1,283
0,01 2,223 2,067 1,983 1,893 1,797 1,735 1,692 1,598 1,572 1,518 1,466 1,427
120 0,1 1,545 1,482 1,447 1,409 1,368 1,340 1,320 1,277 1,265 1,239 1,212 1,193
0,05 1,750 1,659 1,608 1,554 1,495 1,457 1,429 1,369 1,352 1,316 1,280 1,254
0,01 2,192 2,035 1,950 1,860 1,763 1,700 1,656 1,559 1,533 1,477 1,421 1,381
200 0,1 1,522 1,458 1,422 1,383 1,339 1,310 1,289 1,242 1,228 1,199 1,168 1,144
0,05 1,717 1,623 1,572 1,516 1,455 1,415 1,386 1,321 1,302 1,263 1,221 1,189
0,01 2,129 1,971 1,886 1,794 1,694 1,629 1,583 1,481 1,453 1,391 1,328 1,279
∞ 0,1 1,487 1,421 1,383 1,342 1,295 1,263 1,240 1,185 1,169 1,130 1,082 1,000
0,05 1,666 1,571 1,517 1,459 1,394 1,350 1,318 1,244 1,222 1,170 1,107 1,000
0,01 2,039 1,878 1,791 1,697 1,592 1,523 1,473 1,358 1,325 1,248 1,153 1,000

ПРИЛОЖЕНИЕ Д
Распределение Дарбина-Уотсона
Критические точки d1 и du при уровне значимости α = 0.05 (n – объем выборки, m – число объясняющих переменных в уравнении регрессии)
n m=1 m=2 m=3 m=4 m=5
d1 du d1 du d1 du d1 du d1 du
6 0,61 1,40 7 0,70 1,36 0,47 1,90 8 0,76 1,33 0,56 1,78 0,37 2,29 9 0,82 1,32 0,63 1,70 0,46 2,13 10 0,88 1,32 0,70 1,64 0,53 2,02 11 0,93 1,32 0,66 1,60 0,60 1,93 12 0,97 1,33 0,81 1,58 0,66 1,86 13 1,01 1,34 0,86 1,56 0,72 1,82 14 1,05 1,35 0,91 1,55 0,77 1,78 15 1,08 1,36 0,95 1,54 0,82 1,75 0,69 1,97 0,56 2,21
16 1,10 1,37 0,98 1,54 0,S6 1,73 0,74 1,93 0,62 2,15
17 1,13 1,38 1,02 1,54 0,90 1,71 1,7S 1,90 0,67 2,10
18 1,16 1,39 1,05 1,53 0,93 1,69 0,82 1,87 0,71 2,06
19 1,18 1,40 1,0S 1,53 0,97 1,68 0,85 1,85 0,75 2,02
20 1,20 1,41 1,10 1,54 1,00 1,68 0,90 1,83 0,79 1,99
21 1,22 1,42 1,13 1,54 1,03 1,67 0,93 1,81 0,83 1,96
22 1,24 1,43 1,15 1,54 1,05 1,66 0,96 1,80 0,86 1,94
23 1,26 1,44 1,17 1,54 1,08 1,66 0,99 1,79 0,90 1,92
24 1,27 1,45 1,19 1,55 1,10 1,66 1,01 1,78 0,93 1,99
25 1,29 1,45 1,21 1,55 1,12 1,66 1,04 1,77 0,95 1,89
26 1,30 1,46 1,22 1,55 1,14 1,65 1,05 1,76 0,98 1,88
27 1,32 1,47 1,24 1,56 1,16 1,65 1,08 1,76 1,01 1,86
28 1,33 1,48 1,26 1,56 1,18 1,65 1,10 1,75 1,03 1,85
29 1,34 1,48 1,27 1,56 1,20 1,65 1,12 1,74 1,05 1,84
30 1,35 1,49 1,28 1,57 1,21 1,65 1,14 1,74 1,07 1,83
31 1,36 1,50 1,30 1,57 1,23 1,65 1,16 1,74 1,09 1,83
32 1,37 1,50 1,31 1,57 1,34 1,65 1,18 1,73 1,11 1,82
33 1,38 1,51 1,32 1,58 1,26 1,65 1,19 1,73 1,13 1,81
34 1,39 1,51 1,33 1,58 1,27 1,65 1,21 1,73 1,15 1,81
35 1,40 1,52 1,34 1,58 1,28 1,65 1,22 1,73 1,16 1,80
36 1,41 1,52 1,35 1,59 1,29 1,65 1,24 1,73 1,18 1,80
37 1,42 1,53 1,36 1,59 1,31 1,66 1,25 1,72 1,19 1,80
38 1,43 1,54 1,37 1,59 1,32 1,66 1,26 1,72 1,21 1,79
39 1,43 1,54 1,38 1,60 1,33 1,66 1,27 1,72 1,22 1,79
40 1,44 1,54 1,39 1,60 1,34 1,66 1,29 1,72 1,23 1,79
45 1,48 1,57 1,43 1,62 1,38 1,67 1,34 1,72 1,29 1,78
50 1,50 1,59 1,46 1,63 1,42 1,67 1,38 1,72 1,34 1,77
55 1,53 1,60 1,49 1,64 1,45 1,68 1,41 1,72 1,38 1,77
65 1,57 1,63 1,54 1,65 1,50 1,70 1,47 1,73 1,44 1,77
70 1,58 1,64 1,55 1,67 1,52 1,70 1,49 1,74 1,46 1,77
80 1,61 1,66 1,59 1,69 1,56 1,72 1,53 1,74 1,51 1,77
90 1,63 1,68 1,61 1,70 1,59 1,73 1,57 1,75 1,54 1,78
100 1,65 1,69 1,63 1,72 1,61 1,74 1,59 1,76 1,57 1,78

Приложенные файлы

  • docx 798657
    Размер файла: 678 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий