МетодичкаТВдляИЭиБ

Оглавление Введение
Существование и развитие современной экономики немыслимо без использования разнообразных математических методов, одним из которых является вероятностно-статистический метод исследования. Теория вероятностей, подобно другим математическим наукам, развилась из потребностей практики, а, именно, страхового и военного дела.
Теория вероятностей занимается изучением случайных событий и явлений, под которыми понимаются такие, результат которых нельзя предсказать заранее.
В настоящем методическом пособии собраны основные понятия и факты курса теории вероятностей. Также пособие содержит решение типовых примеров и упражнения по основным разделам курса теории вероятностей для студентов экономического факультета.
В методическом пособии приняты следующие сокращения:
ПЭИ – пространство элементарных исходов;
ФПВ – формула полной вероятности;
с.в. – случайная величина;
ф.р. – функция распределения;
п.в. – плотность вероятностей;
ЗБЧ – закон больших чисел;
ЦПТ – центральная предельная теорема.

Основные определения и понятия теории вероятностей

В теории вероятностей первичным понятием, не определяемым через другие, является понятие пространства элементарных исходов 13 EMBED Equation.3 1415, состоящего из элементарных исходов w.
Элементарные исходы соответствуют единственно возможным неразложимым результатам эксперимента.
Упражнение. 1. Опишите пространства элементарных исходов, соответствующие : а) подбрасыванию монеты: б) подбрасыванию двух монет в) подбрасыванию игральной кости: г) подбрасыванию двух игральных костей.
Определение 1. Событием называется произвольное подмножество пространства
·. Если А - событие, то элементы А называют элементарными исходами, благоприятствующими появлению А. Говорят, что событие А происходит, если в результате эксперимента, осуществляется элементарный исхода w13 EMBED Equation.3 1415A, т.е. благоприятствующий А.
Сумма, произведение и разность событий определяются соответственно как объединение, пересечение и разность соответствующих множеств элементарных исходов,
· называют достоверным событием, а Ш невозможным.
Определение 2. События А и В называются несовмеcтными, если A
·B=Ш
Определение 3. События А и
· называются противоположными, если
· =
·\A или A13 EMBED Equation.3 1415
· =
·, а A
·
·=Ш
Определение 4. Говорят, что события H1,H2,..,Hn образуют полную группу, если Н1UН2U,,UНn =
·, а Нi
·Hj=Ш, для i
·j, i,j=1,2,..,n
Упражнение 2. Подбрасывается 3 монеты. Событие А состоит в выпадении двух "гербов", а событие В в выпадении не более двух "решек''. Определить сумму, произведение и, разность событий А и В.
Предположим, что N раз производится некоторый эксперимент и пусть N(А) раз произошло некоторое событие A. Тогда число W(A)= 13 EMBED Equation.3 1415, называется относительной частотой появления события А.
Упражнение 3. Покажите, что относительная частота обладает следующими фундаментальными свойствами:

1.( A, W(A)(0
2. W(()=1
3.Если A(B =(, то W(A(B)=W(A)+W(B).

Во многих случаях, как показывает практика, относительные чаcтоты обладают статистической устойчивостью, которая заключается в том, что при больших N относительная частота W(A) лишь изредка будет отклоняться от некоторого среднего числа P(A), которое естественно назвать вероятностью события А. Таким образом, P(A) характеризует среднюю относительную частоту появления A в большой серии экспериментов и является мерой возможности появления A. В рамках математической теории такое определение вероятности не является корректным. Поэтому существование вероятности постулируется с помощью аксиом, при этом, поскольку вероятность представляется нам как идеализированная относительная частота, ее фундаментальные свойства 1-3 должны выполняться для вероятности.
Приведем аксиоматику, предложенную А.Н. Колмогоровым. Пусть ( - пространство элементарных исходов, F некоторая система подмножеств (. Элементы F называются событиями. Каждому событию A(F ставится в соответствие число P(A): называемое вероятностью события A, таким образом, чтобы выполнялись аксиомы:
I. Аксиома неотрицательности: Р(А) > О, (A(F
II.Аксиома нормированности: Р(() = 1.
III.Аксиома аддитивности: Если А (В=( ( Р(А U В)=P(A)+P(B)
Если ( конечно или счетно, то ( называется дискретным ПЭИ. В случае дискретного ПЭИ вероятность случайного события можно определить следующим образом.
Определение 5. Каждому элементарному исходу (, ставится в соответствии число p(wi) > 0, называемое вероятностью элементарного исхода, так. что при этом
13 EMBED Equation.3 1415
Вероятностью произвольного события А называется число
P(A) = 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим важный частный случай. Пусть
1.(={w1,w2,,wn} конечно.
2.Все исходы равновероятны p(w1)=p(w2)==p(wn). Тогда, т.к., 13 EMBED Equation.3 1415,то p(wi)=1/n, i=1,2,..,n. Поэтому P(A)= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 , где m - число элементарных исходов, содержащихся в А, т.е. благоприятствующих А. Приходим к так называемому классическому определению вероятности.

Определение 6. Если пространство элементарных исходов конечно и все исходы равновероятны, то вероятностью события А называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению А. к числу всех возможных элементарных исходов.
Рассмотрим еще один важный случай.
Классическое определение вероятности нельзя применять к опыту с бесконечным числом равновероятных исходов. Однако, если результат опыта определяется случайным положением точки в некоторой области, при этом любые положения точек в этой области считаются равновероятными, то используют геометрическое определение вероятности. Суть его в следующем.
Пусть результат опыта определяется случайным положением точки в некоторой области G, причем любые положения точки в данной области равновероятны. Тогда множество точек области G будет представлять собой ПЭИ, а случайное событие А некоторое подмножество точек g из G . Назовем мерой области ее длину, площадь и объем в одно-, двух- и трехмерном случае соответственно и будем обозначать символом mes т.е., например, mes G, mes g. Тогда по аналогии с классическим определением вероятности, вероятность события А в данном случае определяется равенством
Р(А) = 13 EMBED Equation.3 1415
Такое определение вероятности случайного события называется геометрическим.
Определение 7. Условной вероятностью события В при условии А называется число
P(B/A)=13 EMBED Equation.3 1415, P(A)(0
Определение 8. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) =Р(А)Р(В).
Определение 9. События A1,A2,..,An называются попарно независимыми, если
P(AiBj)=P(Ai)P(Bj) для любых i(j

Определение 10. События A1,A2,,An называются независимыми в совокупности, если
P(AiAj) - Р( Ai)P(AJ ), при i
·j,
P(AiAj Ak)= Р( Ai)P(AJ )P(Ak), при i
·j, j
·k, i
·k
P(A1,A2,,An )= P(А1)P(А2). Р( An)
Упражнение 4.Покажите, что если А и В независимы, то А и В тоже независимы.
Упражнение 5. Покажите, что если Р(А) / О, то А и В независимы, тогда и только тогда, когда Р(В/А) Р(В).
Под испытанием будем понимать некоторый эксперимент, исходами которого являются случайные события.
Предположим, что испытания повторяются многократно при неизменных условиях.
Определение 11. Повторные испытания называются независимыми, если вероятность осуществления любого исхода в каждом испытании не зависит от реализации исходов предыдущих испытании.
Определение 12. Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если в каждом из них возможны только два исхода, причем вероятности этих исходов не меняются от испытания к испытанию.
Обозначим эти исходы У и Н и назовем успехом и неудачей. Пусть Р(У)=p, Р(Н)= q, тогда р + q=1. Предположим, что мы провидим n независимых испытаний Бернулли. Тогда ПЭИ, соответствующее сложному эксперименту, состоящему из n испытаний, будет иметь вид:

·={wi/wi=(xi,x2,,xn)} где х3 = У или Н, j = {1, 2,, n}. В силу независимости испытаний вероятность элементарного исхода:
P(w)=p(x1)p(x2)p(xn)=pkpn-k
где k - число У в n испытаниях Бернулли. Пусть
· - дискретное ПЭИ.
Определение 13. Действительная функция
·=
·(w), определенная на
· называется случайной величиной.
В общем случае под с.в. будем понимать действительную функцию
·=
·(w), определенную на ПЭИ
· и такую, что для любого действительного х выражение {
·(w)Таким образом, областью определения с.в.
· является
·, а областью значении множество действительных чисел. Любое

правило, позволяющее находить вероятности событий, связанных со сл.в.
· будем называть законом распределения данной с.в.

Определение 14. Функция F(x)=F
·(x)=P
·{
·(w)·
Очевидно, ф.р. с.в.
· является законом распределения с.в.
·.

Упражнение 6. Покажите, что ф.р. облагает свойствами:
а)0 < F(x)< 1:
б)F(x) не убывает;
в)Р(a
·
·Определение 15. С.в. множество значений которой конечно или счетно называется дискретной.

Определение 16. Таблица вида

·
X1
X2
..

P
P1
P2
..


Возможные значения с.в.
·, а р1, p2вероятности этих значений (т.е. pi=P{
·(w)=xi}) называется рядом распределения сл.в.
·.

Ряд распределения является законом распределения только дискретных с.в.
Определение 17. Дискретная с.в
· , принимающая целые неотрицательные значения k = 0. 1, 2,, n называется имеющей биномиальное распределение с параметрами (n,p), (О
·p
·1), если Р{p=k}=Cnkpkqn-k , где й=1-p, (k=0,1,2,n)
Определение 18. Говорят, что дискретная с.в.
· , принимающая целые неотрицательные значения k=0, 1, 2, имеет распределение Пуассона с параметром X > 0, если P{
·=k}=(
·k/k!)e-
·

Пусть имеется N изделий, среди которых M бракованных. Наудачу выбирается n изделий. Тогда с.в.
· число бракованных изделии среди n отобранных будет иметь гипергеометрическое распределение. Очевидно с.в.
·, принимает неотрицательные целые значения
K=0,1,2,,min(n,M), при этом P{
·=k}=(CMk cn-kN-M)/CNn
Определение 19. Сл.в.
· называется непрерывной, если существует неотрицательная функция p(х), такая, что для любого действительного

X ф.р. c.в.
· может быть представлена виде:
13 EMBED Equation.3 1415
при этом p(х) называют плотностью вероятности или плотностью распределения вероятностей.
Очевидно, множеством значений непрерывной сл.в является конечный или бесконечный интервал.
Плотность вероятности является законом распределения годным лишь для непрерывных с. в.
Упражнение 8. Покажите, что 13 EMBED Equation.3 1415=1
Определение 20. Говорят, что с.в.
· имеет равномерное (прямоугольное) распределение на отрезке [a, b], если она имеет плотность:
1/b-a, если xє[ a,b] 13 EMBED Equation.3 1415
P(x) =
0, если x [a,b]
Определение 21. Говорят, что с.в.
· имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром А > 0, если она имеет плотнос13 EMBED Equation.3 1415ть:

·e
·x , x
·0
P(x) =
O , x<0
Определение 22. Говорят, что с.в. 13 EMBED Equation.3 1415 имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами (а,а2) (а>0), если она имеет плотность вероятности.
p(x)=13 EMBED Equation.3 1415
В частности,
· имеет стандартное нормальное распределение, если она имеет нормальное распределение с параметрами (a,
·>0).
Если
· имеет нормальное распределение с параметрами (а,
·2}, то будем писать
· ~ N(а,
·2).

Упражнение 9. Покажите, что если
· ~ N(а,
·2), то
·0=13 EMBED Equation.3 1415, то будем писать
· ~ N(а,
·2),
Определение 23. Вектор
·(w) = (
·1(w),
·2(w),,
·n(w)), где
·0=13 EMBED Equation.3 1415, i=1,2,n - с.в.. называется случайным вектором или n мерной c.в..



Определение 24.
Функция F(x1,x2,..,xn)=P{
·1(w)·n(w)распределения
·1,
·2,..,
·n
Определение 25. С.в.
·1,
·2,..,
·n, называются независимыми, если для любых действительных чисел x1,x2,..,xn
F
·1,
·2,..,
·n(x1,x2,..,xn)=F
·1(x1)F
·2(x2),..,F
·n(xn)
Определение 26. Математическим ожиданием или средним значением дискретной с.в,
· с рядом распределения

·
x1
x2

xn

p
p1
p2

pn

называется число М
· =13 EMBED Equation.3 1415
Если дискретная с.в.
· принимает счетное число значений, то математическое ожидание с.в.
· существует, если сумма произведении значении с.в. на их вероятности конечна.
Определение 27. Математическим ожиданием непрерывной с.в.
· с плотностью вероятности р(х) называется число
M
·=13 EMBED Equation.3 1415
пpи условии, что последний интеграл сходится абсолютно.
Если с.в.
· принимает значения на конечном интервале [а,b], то
M
·=13 EMBED Equation.3 1415
Определение 28. Начальным моментом k-го порядка с.в.
· называется число Lk = M
·k.
Определение 29. Центральным моментом k го порядка с.в.
· называется число Сk=M(
·-M
·)k
Определение 30. Центральный момент второго порядка D
·=M(
·-M
·)2 называется дисперсией с.в.
·.
Определение 31. Средним квадратическим (стандартным) отклонением называется число

·
· =(D
·)13 EMBED Equation.3 1415

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение используются в качестве мер разброса значении с.в.
· вокруг среднего значения M
·.
Упражнение 10. Выведите формулу: D
· M
·2 (M
·)2.
Определение 32. Ковариацией между с.в.
· и
· называется число cov (
· ,
·) = М[(
· – М
·)(
· - M
·)].
Упражнение 11. Выведите формулу: cov(
·,
·) M(
·
·)- M
·M
·.
Определение 33. Коэффициентом корреляции между с.в.
· и
·; называется число
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
Упражнение 12. Покажите, что если
· и
· - независимы, то они и некоррелuрованы, т .е. со v (
·,
·) =0.
Пусть (
· и
·) дискретные с.в., заданные рядами распределений


·
X1
X2



·
Y1
Y1



·
p1
p2



·
q1
q2



и совместным распределением
pij=P{
·=xi,
·=yj) (i,j=1,2,)
Определение 34. Условным законом распределения дискретной с. в.
· при условии, что
· примет какое-то значение
· = хi называетется распределение с.в.
·, определяемое отношением
P {
·=yj/
·=xi} = 13 EMBED Equation.3 1415

Определение 35. Условным математическим ожиданием с.в.
· при условии, что
· = хi называется число
13 EMBED Equation.3 1415
Определение 36. Если (
·,
·) - непрерывный случайный вектор, то условной плотностью распределения при условии, что
·=x, называется
13 EMBED Equation.3 1415

где P
·,
·(x,y) - совместная плотность вероятности с.в.
· и
·, а p
·(x) – плотность вероятности с.в.
·.

Определение 37. Если (
·,
·)- непрерывный случайный вектор, то условным математическим ожиданием с.в.
· при условии, что
·=x называется число
13 EMBED Equation.3 1415
Определение 38. Пусть
·,
· – с.в. f(
·) = M(
·/
·, g(
·) = M(
·/
·). Уравнение y=f(x) называется уравнением регрессии
· на
· (прогноза
· по
·); Уравнение x=g(y) называется уравнением регрессии
· от
·.

Определение 39. Регрессия
· на
· называется линейной, если функция f(
·) = a
·+b.

3. Основные свойства понятии теории вероятностей

2.1. Свойства вероятности
Р(Ш) =0, Р(
·) = 1
Для любого случайного события A 0
· Р(А)
· 1
3.Если А и В несовместные события, то есть А
·В=Ш, то Р(AUB) = P(A)+P(B)
4.Вероятность противоположного события Р(
·) = 1 - Р(A)
5.Если А и В - любые события из
·, то P(AUВ)=Р(А)+Р(В)-Р(AВ)
6.Если Н1 ,Н2 ,, Нn составляют полную группу событии, то Р(Н1) +P(H2)+,,P(Hn)=13 EMBED Equation.3 1415
i=1
2.2. Свойства функции распределения с.в.
·
1..Множество значений F(x) есть отрезок [0.1], т.е. О
· F(x)
· 1
F(x) не убывает
F(x) непрерывна слева
F(-
·)-01F(+
·) = 1
5.P{a
·
·
·b}=F(b)-F(a) 6 P{
·
·x}=1-F(x)
7.Если F(x) непрерывна, то P{
·=a}=0.
2.3.Свойства ряда распределения
1.pk=P{
·=xk}
·0 (k=1,2,)
2. 13 EMBED Equation.3 1415
2.4.Свойства плотности
1. р(х) > О
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3.P{a<
·2.5. Свойства распределения дискретного двумерного случайного вектора
1.Pij>0 (i,j=1,2,)- где pij=P{
·=xi,
·=yj}
2.13 EMBED Equation.3 1415
3. pi=P{
·=xi}=
·ipij; qj=P(
·=yj)=
·ipij
2.6.Свойства ф.р. двумерного случайного вектора
1. 0
·F
·,
·(x,y)
·1
F
·,
· (x,y) не убывает по каждой переменной
F
·,
·(x,+
·)= F
·, , F
·,
·(+
·,y)=F
·(y)
F
·,
·(+
·,+
·)=1
F
·,
·(-
·,y) = F
·,
· (x,-
·)= F
·,
·(-
·,+
·)=0
2.7.Свойства математического ожидания
1.Если С - постоянная, то М(С)=С
2.M(C
·)=CM(
·)
3.M(
· +
·i)-M
· + M
· 13 EMBED Equation.3 1415
4.Если
· и
· - независимы, го M(
·
·) =M
·M
·
2.8.Свойство дисперсии
1.D(
·)
·0
2.Если С-постоянная, то D(C) =0
3.Если D(C
·)=C2D
·
4.Если
· и
· независимы, то D(
·+
·)=D(
·)+D(
·), D(
·-
·)=D(
·)+D(
·)
5.Если
· 1,
·2 ,,
· n независимы то 13 EMBED Equation.3 1415
6.Для любых с.в.
· и
· D(
·+
·)=D(
·)+D(
·)+2cov(
·,
·)
2.9.Свойства коэффициента корреляции
1.-1
·r
·1
2.Если
· и
· независимы, то r = О
3.Если г = -1, то с.в.
· и
· линейно зависимы, т.е.
·=a
·+b, причем a > 0. если
r =1 и а < 0. если r=±1
4.Если с.в.
· и
· линейно зависимы, то r=±1.
2.10.Свойства условного математического ожидания
1.Если С- постоянная, то М(С/
·)=С
2.M(
·1+
·2/
·)=M(
·1/
·)+M(
·2/
·)
3. Формула полного математического ожидания M{M(
·/
·)}=M(
·)
4. M[g(
·)
·/
·]=g(
·)M(
·/
·)


4. Основные утверждения и формулы
1. Формула сложения
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)
2.Формула умножения.
Р(АВ) = Р(A)Р(В/A) - Р(В)Р(А/В)
3.Обобщенная формула умножения.
P(A 1,A 2,,A n)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A 1A 2)P(An/A 1A 2An)
4. Формула полной вероятности
Если события H 1,H 2,,H n образуют полную группу событии, то для любого события А: 13 EMBED Equation.3 1415
5. Формула Байеса: Если события H1,H2,,H n образают полную группу событий и P(A)
· 0, то
13 EMBED Equation.3 1415
6. Формула Бернулли
Pn(k)=P{13 EMBED Equation.3 1415}=13 EMBED Equation.3 1415, (k=0,1,..,n)


7.Формула связи между ф.р. и плотностью непрерывной с.в.
·
13 EMBED Equation.3 1415 p(x)=F’13 EMBED Equation.3 1415(x)
8. Критерий независимости дискретных с.в.
Для того, чтобы дискретные с.в.
·1,
·2,,
·n были независимы, необходимо и достаточно, чтобы для любых действительных х1,x2 ,, хn
P{
·1=x1,
·2=x2,...,
·n=xn}=P{
·1=x1} P{
·2=x2} P{
·n=xn }

9.Критерий независимости непрерывных с.в.
Для того, чтобы непрерывные с.в.
· 1,
· 2 ,.,
· n были независимы необходимо и достаточно, чтобы совместная плотность вероятностей была равна произведению плотностей вероятностей с.в.
· 1,
· 2 ,.,
· n
p
· 1,
· 2 ,.,
· n(x1,x2,..,xn)=p
·1,...,p
·n
10.Формулы для вычисления дисперсии:
a) На основе формулы: D(
·)=M(
·-M
·)2

D(
·)=
·(xk-M
·)2pk , если
·-дискретна

13 EMBED Equation.3 1415
б) на основе формулы D
·=M(
·)2-|M(
·)2| , где
· –дискретна;

13 EMBED Equation.3 1415
Замечание. Здесь pk=P{
·=xk}
11.Числовые характеристики с.в. с заданными распределениями:
а)Если с.в.
· имеет биноминальное распределение с параметрами (n,p), то M(
·)=np; D(
·)=npq
б)Если с.в.
· имеет распределение Пуассона с параметром
·, то М(
·)=D(
·)=
·.
в)Если
·~N(a,
·2), то M(
·)=a, D(
·)=
·2
12.Неравенство Маркова
Если существует конечное математическое ожидание M
·, то для любого
·>0
P{|
·|
·
·}
·M|
·|/
·
13.Неравенство Чебышева
Для любой с.в. с конечной дисперсией при любом
·>0
P{|
·-M(
·)|
·
·}
·D(
·)/
·2
14.ЗБЧ в форме Чебышева
Если
·1,
·2 последовательность попарно независимых с.в. имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной С (D
·
·C, k=1,2,). то эта последовательность с.в. удовлетворяет ЗБЧ. т.е.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
15.ЗБЧ в форме Бернулли.
В схеме Бернулли 13 EMBED Equation.3 1415 р, где р - вероятность успехов.
16. Центральная предельная теорема (ЦПТ) для одинаково распределенных с.в.
Пусть
·1
·2 последовательность независимых одинаково распределенных с. в., имеющих конечные М(
·) =a2, D(
·k)=
·2 , Sn =
·
·k
Тогда при n
·
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Где функция стандартного нормального распределения.
17. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа
Если в схеме Бернулли 0 < р < 1 . то при n
·
13 EMBED Equation.3 1415

где 13 EMBED Equation.3 1415 - плотность стандартного нормального распределения.
18. Интегральная теорема Муавра - Лапласа
Пусть
· число успехов в n независимых испытаниях Бернулли с вероятностью успеха 0 < р < I. Тогда при n
·

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
где Ф(х) - функция стандартного нормального распределения.
19.Предельная теорема Пуассона
Пусть в схеме Бернулли n
· и p 0 таким образом, что
·=np остается постоянной. Тогда при n
·
13 EMBED Equation.3 1415(k=0,1,2,)



5. Решение типовых примеров и упражнения

4.1. Классическое определение вероятности
Для решения задач данного раздела необходимо усвоить такое понятие как пространство элементарных исходов (ПЭИ). Особое внимание нужно обратить на то. что в данном случае это множество представляет собой конечное множество равновероятных исходов. Чтобы описать ПЭИ необходимо четко уяснить для себя в чем заключается вероятностный эксперимент в данной задаче и представить возможный результат этого эксперимента. Тем самым мы определим элементарные исходы, из которых состоит ПЭИ. После этого в ПЭИ необходимо выделить те элементарные исходы, которые благоприятствуют событию. Вероятность которого нужно определить.
При подсчете числа элементарных исходов ПЭИ и благоприятствующих исходному событию используются Формулы комбинаторики. Рекомендуется для усвоения элементов комбинаторики четко различать две принципиально отличные схемы выбора: с возвращением и без возвращения элементов. Если набор элементов, определяющий элементарный исход эксперимента, в принципе может содержать одинаковые элементы, то мы находимся в рамках схемы выбора с возвращением. Если же набор одинаковых элементов содержать не может, то данный эксперимент определяет выбор без возвращения. Кроме этого следует еще различать упорядоченные и неупорядоченные наборы. Набор будем считать упорядоченным, если существенен порядок следования элементов внутри набора. В противном случае он считается неупорядоченным. Если упорядоченность набора не следует непосредственно из условия задачи, необходимо мысленно поменять местами любые два элемента набора и если по смыслу задачи набор не изменился, то он считается неупорядоченным.
Принимая во внимание схему выбора и упорядоченность или неупо-рядоченность набора, число способов, которыми можно выбрать k элементов из n, определяются следующей таблицей.

Nk
Ckn+k-1
С возвращением

Akn=n!/(n-k)!
Ckn=n!/k!(n-k)!
Без возвращения

Упоряд.
Неупоряд.
Набор/выбор


Решение типовых примеров
При решении примеров через |
·| будем обозначать число элементарных исходов ПЭИ, а через число элементарных исходов благоприятствующих событию А.
Пример 1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность выпадения на двух костях в сумме 7 очков? Чему равна вероятность выпадения "шестерки" по крайней мере на одной кости?
Решение. Определим эксперимент и его результат, т.е. элементарный исход. Эксперимент заключается в бросании двух костей. Результат эксперимента - пара значений (x1,x2). где x1 - число очков на первой кости. Х2 - число очков на второй кости. Таким образом. ПЭИ состоит из элементарных исходов вида wi=( x1,x2) Так как x1 и x2могут принимать любые значения от 1 до 6, то число различных пар по правилу умножения равно 6*6 = 36, т.е. число элементарных исходов ПЭИ |
·| = 36. Число элементарных исходов можно сосчитать и применял приведенную выше таблицу. Для этого нужно определить какой выбор осуществляется в данной модели (с возвращением или без] и является ли набор упорядоченным. Поскольку возможны исходы (1,1), (2,2) и т.д.. т.е. с одинаковыми элементами, то нужно пользоваться строкой таблицы, которая определяет выбор с возвращением: а так как. напри мер, (1,6) и (6,1) для нашей задачи являются различными исходами, поскольку определяют число очков на первой и второй кости, то набор упорядочен. Таким образом, находим клетку в таблице, отвечающую упорядоченному набору с возвращением, т.е. |
·| = 62 = 36.
Обозначим через А = {выпадение на двух костях в сумме 7 очков }, а через В = {выпадение "'шестерки" по крайней мере на одной кости }.
Событию А благоприятствуют исходы (1;6), (6;1), (2;5), (5;2). (3;4). (4:3), т.е. |A| = 6.
По классическому определению вероятности Р(А) =13 EMBED Equation.3 1415, т.е. Р(А)=6/36=13 EMBED Equation.3 1415
Событию В благоприятствуют исходы, когда "шестерка выпадает либо на первой кости, либо на второй, либо на обеих одновременно, т.е. (6;1),(6;2) ... (6;6), (1:6), (5;6). Таких исходов 11. Тогда Р(В) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность события В можно найти также, используя понятие противоположного события. Противоположным событию В является событие В { ни на одной кости не выпала "шестерка" }. Событию В благоприятствуют все исходы wi=( x1,x2) в которых отсутствуют "шестерки", т.е. x1 и x2 могут принимать любые значения от 1 до 5. По правилу умножения таких исходов будет |B|=5*5=25. Тогда P(B)=25/36
Но по свойству вероятностей Р(В)= 1 - Р(В). Р(В]=1-25/36=13 EMBED Equation.3 1415
Вывод. Если в задаче при описании события, вероятность которого следует определить присутствуют слова "хотя бы'',”по крайней мере", то очень часто следует вначале найти вероятность противоположного события.

Пример 2. На оптовой базе имеется 100 телевизоров, из которых 5 неисправны. В магазин случайным образом отбирается 10 телевизоров. Найти вероятность что 2 из отобранных телевизоров неисправны.
Решение. Эксперимент заключается в выборе 10 телевизоров из 100. Результат эксперимента wi=(x1,x2,..,x10) любые из 100 телевизоров. Очевидно, в данном случае осуществляется выбор без возвращения и поскольку нас не интересует в какой последовательности выбираются телевизоры, то наборы неупорядочены. Таким образом, общее число исходов определяется числом сочетаний из 100 по 10, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Обозначим через А = {среди 10 отобранных два неисправных}. Благоприятствующими событию А являются исходы, когда из общего числа 5 неисправных телевизоров взято 2 (это можно сделать C25 способами), а остальные 8 телевизоров исправны, т.е. они взяты из общего числа 95 исправных (количество способов C895 число благоприятствующих событию А исходов по правилу умножения |А|= C25 C895
Искомая вероятность

P(A)=13 EMBED Equation.3 1415
·0,07
Пример 3. Из колоды карт (52 карты) наудачу извлекаются три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.
Решение. Эксперимент - извлечение случайным образом трех карт из 52. Результат эксперимента wi=(x1,x2,x3) - комбинация из трех любых карт из 52 карт. Очевидно, эксперимент определяет неупорядоченный выбор без возвращения. Тогда общее число элементарных исходов - это число сочетаний из 52 по 3, т.е. |
·| 13 EMBED Equation.3 1415, Пусть А = {выбраны тройка, семерка и туз}. Благоприятствующими событию А исходами являются только комбинации из тройки, семерки и туза. Поскольку в колоде содержится по 4 тройки, семерки и туза различных мастей, то каждую из указанных карт можно выбрать 4 способами. По правилу умножения |A|=4 4 4 = 43.
Следовательно, искома.я вероятность
P(A)= 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. В группе 25 студентов. Найти вероятность того, что дни рождения у всех различны.
Решение. ПЭИ состоит из элементарных исходов wi=(x1,x2,..,x25) где x1,x2,..,x25 могут принимать любые значения из 365 дней в году.

Тогда по правилу умножения общее число исходов 365*365 365 = 36525.
Это же число элементарных исходов можно получить, если пользоваться таблицей. Для этого нужно заметить. что среди x1,x2,..,x25 могут быть одинаковые даты, следовательно, нужно воспользоваться строкой таблицы, определяющей выбор с возвращением. Поскольку дни рождения связаны с конкретными людьми, то наборы упорядочении. Таким образом, нужно определить число упорядоченных наборов с возвращением из 365 по 25, т.е. |
·|=36525
Пусть B = {дни рождения у всех 25 студентов различны}. Благоприятствующими событию А будут исходы, в которых x1,x2,..,x25 различны. Очевидно они определяют упорядоченные наборы без возвращения, общее число которых это число размещений из 365 по 25, т.е. |B| = A25365
Таким образом P(B) = 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 5. Слово "СТАТИСТИКА" составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешивают и наудачу раскладывают в ряд. Найти вероятность того, что вновь получится слово "СТАТИСТИКА".
Решение. Эксперимент заключается в случайном расположении 10 букв в ряд. Результат эксперимента (элементарный исход) последовательность из 10 букв. Очевидно, множество элементарных исходов ПЭИ определяется числом перестановок из 10 букв, т.е. |
·|=10!
Пусть A = {получится слово "СТАТИСТИКА"}. Благоприятствующими событию А будут исходы, когда получится слово "СТАТИСТИКА''. Некоторые буквы в слове "СТАТИСТИКА" повторяются (С-2 раза. Т - 3 раза, А - 2 раза, И - 2 раза), поэтому возможны перестановки из данных букв, при которых слово не изменится. Число таких перестановок определяет число благоприятствующих событию A исходов и равно |A| = 2!3!2!2! = 48.
Таким образом P(A) = 48/10!=13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения.
Брошено три игральные кости. Найти вероятность того, что хотя бы на одной из них появится "шестерка".
При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная из ящика деталь (после перевозки) оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.
В цехе работают 10 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 6 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажется 2 женщины.
4.1.4. В конверте среди 100 фотокарточек находится разыскиваемая.
Из конверта наудачу извлечены 10 фотокарточек. Найти вероятность
того, что среди них окажется нужная.
4.1.5. При наборе телефонного номера абонент забыл три последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры разные.
Найти вероятность того, что номер набран правильно.
В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии наугад выбирается 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.
Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы годы.
В лифт девятиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что: а) все пассажиры выйдут на и этаже, б) все пассажиры выйдут одновременно; в) все пассажиры выйдут на разных этажах.
Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом.
4.1.10. Общество из 20 человек садится за круглый стол. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.
Из колоды в 52 карты наугад выбирают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.
Каждая из букв К,Н,О,Э,О,М,С,Т,И написана на отдельной карточке. Карточки раскладываются в произвольном порядке. Найти вероятность, что при этом образуется слово "ЭКОНОМИСТ".
Телефонный номер абонента состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что все цифры номера различны.
10 команд спортсменов по жребию разбиваются на две под группы по о команд. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.
Группа состоит из четырех мужчин и восьми женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке по три человека в каждой группе будет мужчина.
9 человек рассаживаются наудачу в три вагона. Найти вероятность того, что: а) в каждый вагон сядут по три человека; б) в первый - 5; во-второй - 3; в третий - 1 человек.
4.2. Геометрические вероятности
Прежде чем приступить к решению задач на геометрическую вероятность, нужно четко усвоить, что в данном случае нахождение вероятности возможно
только тогда, когда вероятность попадания случайной точки в любую часть области пропорциональна мере этой области ( длине , площади , о6ъем у ).
Решение типовых примеров.
Пример 1. Поезда метро идут в данном направлении с интервалом 1 мин. Пассажир в случайный момент времени приходит на станцию метро. Определять вероятность того, что пассажиру придется ждать поезда не более 10 сек.
Решение. Эксперимент заключается в случайном приходе пассажира в пределах интервала I мин. Таким образом, ПЭИ рассматриваемого эксперимента состоит из точек интервала длительностью 1 мин., так как в данном случае нет никаких оснований считать какой-нибудь один момент прихода пассажира в интервале между поездами более вероятным, чем любой другой. Событие А, состоящее в том, что пассажир ожидает поезда меньше 10 сек. состоит из точек интервала длительностью 1 мин, отстоящих от его конца меньше, чем на 10 сек. Поэтому, исходя из геометрического определения вероятности.
Пример 2. На конвейере происходит сборка изделий из двух комплектующих, поступающих независимыми потоками из двух цехов. Поступления комплектующих равновозможны в любые промежутки времени длины 30 мин. Конвейер будет остановлен, если разность между моментами поступлений комплектующих будет более 5 минут. Определить вероятность того, что конвейер не будет остановлен.
Решение. Пусть х и у - моменты поступления комплектующих из первого и второго цехов соответственно. По условию задачи: 0 < х < 30 и О < у < 30. Таким образом, множество всех возможных исходов данного эксперимента - множество точек квадрата, площадью S=30*30=900. Пусть А = { конвейер не будет остановлен }. Конвейер будет работать нормально, если разность между моментами поступления комплектующих не будет превышать 5 мин, т.е. событие А состоит из точек (х,у) квадрата, для которых |х – у| < 5. Данная область лежит между прямыми х-у =5 и у-х = 5. Ее площадь S= S - (30 5)2 = 900 252 = 900 - 625 = 275.
Поэтому Р(А) = 275/900=13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения.
4.2.1. В точке С, положение которой на телефонной линии А В длины L равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние не меньше l.
4.2.2. На отрезке длиной L наудачу выбраны две точки. Какова вероятность, что расстояние между ними будет меньше kL, где 0 < k < 1.

4.2.3 На отрезке AВ длины L наудачу поставлены две точки L и М. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке М, чем к точке А.
4.2.4. Какова вероятность того, что сумма двух наудачу взятых положительных чисел, каждое из которых не больше четырех будет не меньше пяти.
4.2.5.На плоскости проведены параллельные прямые, расстояния между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией.
4.2.6.Внутри круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника.
4.2.7.Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождение причала, если время стоянки первого парохода один час, а, второго два часа.
4.2.8. На пол. разграфленный параллельными прямыми на полосы ширины L бросается наудачу игла длины 1 (l < L). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.
4.2.9. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуры пропорциональна площади этой фигуры.
4.2.10. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, при чем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительности Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t < Т). Найти вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
4.3. Условная вероятность, Теоремы умножения и сложения вероятностей
Решение задач данного раздела требует прежде всего умения обращаться с событиями, четко представлять как одни события связаны с другими. Основными понятиями здесь являются понятия совместности и зависимости событий, которые не следует путать.

Решение типовых "примеров.

Пример 1. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6. а второй - с вероятностью 0.7. Первый делает 2 выстрела по цели, а второй - 3 выстрела. Найти вероятность того, что ни одна пуля не попала в цель.
Решение. Пусть A = {ни одна нуля не попала в цель}. A1 = {попадание в цель первым стрелком при одном выстреле}, A2 = {попадание в цель вторым стрелком при одном выстреле}. Тогда A =
·1
·1
·2
·2
·2 . Так как первый и второй стрелки стреляют независимо друг от друга, Р(А) = Р(А1А1А2А2А2} - Р(А1)Р(А1)Р(А2)Р(А2)Р(А2) = (1-0,6)2(1 -О,7)3 = 0,420:33 = 0,16-0,027= 0,004.
Пример 2. Имеется две партии изделий брак среди которых составляют 3 % и 5 % соответственно. Из обоих партий наудачу извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что оба изделия будут бракованные или оба годные.
Решение. Пусть A = { оба изделия бракованные или годные }, В = { оба изделия годные },С = { оба изделия бракованные }. Тогда А = В U С и так как события В и С несовместные, то Р(А) Р(В) 4 Р(С) = 0,97 -0,95 + 0,03 -0,05 = 0,9215 + 0,0015 = 0, 923
Пример 3. Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру любой масти или карту пиковой масти (фигурой называются валет, дама или король)?
Решение. Пусть А = {фигура любой масти или карта пиковой масти), В {фигура любой масти}, С ={фигура пиковой масти}. Тогда А= В U С. Но события В и С совместны, т.к. в колоде имеются фигуры пиковой масти.
Следовательно, Р(А) - Р(В U С) - Р(В) + Р(С)-Р(ВС).
Поскольку в колоде из 52 карт имеется 12 фигур и 13 карт пиковок масти, то Р( В) = 12/52; Р(С) = 13/52 .
Так как события A и В независимы, то Р(AВ) = Р(А)Р(B).
Таким образом Р(А) = 12/52+13/52-12/52*13/*52=3/13*1/4+1/4=11/26
Пример 4. Вероятность того, что в течение одной смены возникает неполадка станка равная 0,05. Какова возможность того, что не произойдет ни одой неполадки за три смены?
Решение. Пусть А = { не произойдет ни одной неполадки за три смены }, a Bi = { в i-й смене не произойдет неполадка },i =1,2,3. Тогда A=B1B2B3. Так как возникновение неполадки- не зависит от смены, то события B1,B2,B3 являются независимыми. Следовательно. Р(A) = Р(В1) Р(В2)Р(Вз)=(1 - 0,05)3 - 0,953
· 0,857.
Пример 5. Партия из 100 деталей, среди которых 5 бракованных, подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всей партии
является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой.
Решение. Пусть А={ партия деталей не принята }. a Bk = {к-я проверенная деталь доброкачественная} k=1,2,3,4,5. Будем искать вероятность противоположного события
· = { партия деталей принята }. Очевидно,
·=B1B2B3B4B5.Следовательно,P(А)=Р(В1В2ВзВ4В5}=P(B1)P(B2/B3)P(B3/B1B2)P(B4/B1B2B3)Р(В5/В1В2В3В4}. Вероятность события P(B1)=95/100, т.к. всего деталей 100. а пригодных 95. После осуществления события B1 деталей остается 99. среди которых пригодных 94. по этому Р(В2/ В1) =94/99. Аналогично, Р(Вз/ B1В2) =93/98, Р(В4/ B1В2B3)=92/97, Р(В5/ B1B2B3B4)=91/96
Таким образом,Р(A)=1- Р(
·)95*94*93*93*92*91/100*99*98*97*96
·0,77. Тогда Р(А)= 1 - Р(
·) =
1 -0, 77 = 0,33.
4.3.1. Два стрелка для которых вероятности попаданий в мишень равны соответственно 0.7 и 0,8 производят по одному выстрелу. Определить вероятность хотя бы ид пот о попадания в мишень
4.3.2. Вероятность наступления события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты производятся последовательно до наступления события. Определить вероятность того, что придется производить четвертый опыт.
4.3.3. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной равна 0,7.При изготовлении такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. Па первом станке изготовлены две детали, а на втором три. Найти вероятность того, что все детали первосортные.
4.3.4. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью не меньшей 0.9. хотя бы один раз выпала шестерка.
4.3.5. Вероятность того, что в результате четырех независимых опытов событие А произойдет хотя бы один раз, равна 1/2. Определить вероятность появления события при одном опыте, если она во всех опытах остается неизменной.
4.3.6. При выборочном контроле продукции вероятность того, что первое выбранное контролером изделие будет доброкачественным равна 2/3. Если первое выбранное изделие доброкачественное, контролер выбирает второе изделие. Вероятность того, что оба выбранных изделия будут доброкачественными равна 0,5. Определить вероятность того, что второе изделие будет доброкачественным.
4.3.7 Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее началу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.
4.3.8. В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы: Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?
4.3.9. Студент пришел на зачет зная, 24 из 30 вопросов. Какова вероятность
сдать зачет если после отказа отвечать. На вопрос преподаватель задает еще один вопрос.
Вероятность для данного спорет мена улучшить свои предыдущий рекорд с одной попытки равна р. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой рекорд, если разрешается делать две попытки.
Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тог. у которого раньше появится герб. Определить вероятность выигрыша для каждого игрока.
Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый равна 0,95, второй - 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,33. Найти вероятность поражения цели при одном вы стреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,9.
Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет только два изделия высшего сорта,
4.5.15.Студент разыскивает нужную ему книгу в трех библиотеках. Вероятность нахождения ее в первой, второй, третьей библиотеке соответственно равны 0,6; 0,7: 0,8. Найти вероятность того, что: а) студент найдет нужную книгу только в одной библиотеке; б) студент найдет нужную книгу хотя бы в одной библиотеке.
4.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Чтобы успешно решать задачи этого раздела, нужно научиться правильно подбирать систему несовместных событий (гипотез) {Н1,Н2,...,-Нn} так, чтобы зависимость интересующего нас события А от гипотез Нk была предельно ясна и вычисление условных вероятностей Р(А/Hk) было бы достаточно просто. При этом следует всегда проверять, чтобы система гипотез {Н1,Н2,...,Нn} была полной.
Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н1),Р(Н2),, P(Hn)а в результате опыта появилось событие А, то с учетом этого события условные вероятности гипотез Р(Нk/А) вычисляются по формуле Байеса.
Решение типовых примеров
Пример 1. Имеется два одинаковых ящика с шарами: в первом о белых шаров и 3 черных, а во втором 7 белых и 4 черных шара. Из первого ящика во второй перекладывают не глядя два шара. После этого из второго ящика берут шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Решение. Пусть А – { выбор белого шара из второго ящика после перекладывания двух из первого}. Очевидно, это событие зависит от того, какие шары переложены во второй ящик. Поэтому выдвигаем следующие гипотезы: H1 = { переложены два белых шара, }. H2 = { переложены два черных шара, а H3 - { переложены один белый и один черный шары ). События H1,H2,H3 - несовместные и образуют полную группу. Вероятности гипотез найдем, используя классическое определение вероятности:
P(H1)= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 , P(H2)= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 , P(H3)= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
убеждаемся. что Р(A1) + P(A2)+Р(A3) = 1, что является характерным для полной группы событии. Находим теперь условные вероятности P(A/K), k=1,2,3 при условии, что гипотеза Hk произошла. Если произошло событие H1, то во втором ящике будет 9 белых и 4 черных шара и вероятность выбрать белый из второго ящика Р(А/Н1)=9/13. Аналогично, Р(А/Н2)=7/13 ,Р(A/Hз) = 8/13. По формуле полной вероятности
P(A)=10/28*9/13=3/28*7/13+15/28*8/13=33/52
Пример 2. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если брак в каждой партии составляет соответственно 5, 4 и 2 %
Решение. Пусть А = {выбрана бракованная деталь}. Очевидно, событие А зависит от того, из какой партии взята эта деталь. Поэтому в качестве гипотез выберем следующие события: Нi - {деталь взята из i-й партии}, i=1, 2,3. События несовместны и составляют полную группу. Так как, деталь равновероятно мы можем взять из любой из трех партии, то P(Hi) - Р(H2) - Р(H3) =1/3. Поскольку брак в этих партиях составляет соответственно 5, 4 и 2 %, то P(A/Hi) = 0,05, Р(А/Н2) = 0,04, Р(,A/Hз) = 0,02. Тогда по формуле полной вероятности:
P(A)=1/3*0,05+1/3*0,04+1/3*0,02
Пример 3. Из 18 стрелков 5 попадает в мишень с вероятностью 0.8, 7 с вероятностью 0,7, 4 - с вероятностью 0,6 и 2 с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. Найти вероятность того, что стрелок принадлежит к первой группе из 5 стрелков,
Решение. Пусть A = {наудачу выбранный стрелок в мишень не попал}. Так как событие А уже произошло, то очевидно, нам нужно с помощью формулы Баиеса найти условную вероятность гипотезы. Событие А зависит от того, к какой группе принадлежал выбранный стрелок, поэтому в качестве гипотез выбираем следующие: Hi = (выбранный стрелок принадлежит i-й группе},i=1,2,3,4. Так как первой группе принадлежит 5 из 18 стрелков, то P(H1) = 5/18. Аналогично, Р(H2) = Р(H3) = Р(H4) = 2/18. Поскольку стрелки из первой группы попадают в мишень с вероятностью 0,8. то P(A/Hi)= 0,2. Аналогично, Р(А/H2) = 0,3. Р(А/H3)=0,4.
Р( А/ H4) = 0,5. По формуле полной вероятности Р( А) = 5/18*0,2+7/18*0,3+4/18*0,4+2/18*0,5=19/60. В задаче нам следует найти условную вероятность р(H1/A). По формуле Байеса:
P(H1/A) = 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. Из партии в 100 изделий случайным образом выбраны 10 изделий, которые оказались доброкачественными. Найти вероятность того, что все изделия в партии доброкачественны, если известно, что число бракованных изделии на 100 штук равно возможно от 0 до 3.
Решение. Пусть А = {10 изделий, выбранных из 100 доброкачественных в качестве гипотез выдвигаем предположения о возможном числе бракованных изделий среди 100, т.е. H1 = { среди 100 изделий нет бракованных }, H2 - { среди 100 изделий 1 бракованное }, H3 = { среди 100 изделий 2 бракованных }, H4 { среди 100 изделий 3 бракованных }. Поскольку все гипотезы равновозможны, то P(H1) = Р(H2) = Р(H3) = Р(H4)
В задаче требуется определить P(H1/A). Вначале найдем Р(А/Hi), i = 1,2,3,4. Если имеет место гипотеза H1 , то P(A/Hi) = 1. Если имеет место гипотеза H2 ,т.е. среди 100 изделий одно бракованное, то Р( A/H2) = 13 EMBED Equation.3 1415=0,9 Аналогично, Р(A/H3) = 13 EMBED Equation.3 1415
·0,81. Р(A/H4) =13 EMBED Equation.3 1415
· 0.73.
По формуле данной вероятности Р(А) = 1/4+1/4*0,9+1/4*0,81+1/4*0,73 = 0,83

По формуле Байеса Р(H1/A) = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 0,29
Упражнения.
Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
4.4.2.В двух урнах находится соответственно 10 и 15 белых шаров и 6 и 4 черных. Из каждой урны наудачу извлекается один шар, а затем из этих двух наудачу берется один. Найти вероятность того, что этот план белый.
4.4.3. В тире имеется пять ружей, вероятности попадания из которых соответственно равны 0.5: 0,6; 0,7; 0,8; 0.9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.
4.4.4. В сосуд, содержащий n шаров опушен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров равновозможны?
4.4.5. В ящике находится 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся 3 мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры новые.
4.4.6.Имеется 10 одинаковых урн. из которых в 9 находится 5 белых и 2 черных шара, а в одной 7 белых и 3 мерных шара. Извлеченный из случайно взятой урны шар оказался белым. Какова вероятность, что шар извлечен из последней урны.
4.4.7. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Цель не поражена, вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0,7 для третьего 0,9. Найти вероятность того, что выстрелы произведены вторым стрелком.
4.4.8. Из полного набора костей домино (28 штук) наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.
4.4.9. Некто заблудившийся в лесу вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Известно, что вероятность выхода из леса за 1 час для различных дорог равны 0,6; 0,3; 0,2; 0.1; 0.1. Чему равна вероятность того, что заблудившийся пошел по первой дороге, если известно, что он вышел из теса через час?
4.4.10. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что вепрь; убит третьим охотником, если вероятности попадания для них соответственно равны 0,6: 0,2: 0,1.
4.4.11. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомашин как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машины равна 0.3: для легковой машины эта вероятность равна 0,6. К бензоколонке для заправки подъехала машина. Найти вероятность, что эта машина легковая.
4.4.12. Три стрелка произвели залп, причем две пули попали в цель. Найти вероятность того, что в цель, попали 1 и 2 стрелки, если вероятность попадания в цель первым, вторым и третьим соответственно равны 0,6;0,7;0,8

4.4.13. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 25 %., вторая 35 %, третья - 40 % всех изделии. В их продукции брак составляет 3,2 и 1 % соответственно.
а) Какова вероятность, что случайно выбранный болт дефектный;
б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он произведен первой машиной?
4.4.14. В правом кармане имеется 3 монеты по 20 копеек и 4 монеты по 3 копейки, а в левом - 6 монет по 20 копеек и 3 монеты по 3 копейки. Из правого кармана в левый наудачу перекладывают пять монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монеты в 20 копеек, если монета берется наудачу.
Два автомата производят детали, которые поступают на конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате 0,07. а на втором - 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше первого. Наудачу взятая с конвейра деталь оказалась не стандартной. Найти вероятность того, что ее изготовили на первом автомате.
4.5. Повторные испытания. Формула Бернулли.
Для успешного решения задач данного раздела следует прежде всего четко представлять себе, что такое испытания Бернулли и можно ли использовать формулу Бернулли в той или иной задаче. Особое внимание необходимо обращать на сохранение от испытания к испытанию постоянной вероятности события, которое принято за успех. В случае, когда число испытаний велико, вместо формулы Бернулли применяю! приближенные формулы Пуассона и Муавра-Лапласа.

Решение типовых примеров

Пример 1. 30 % изделий некоторого предприятия это продукция высшего сорта. Потребитель приобрел 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность того, что половина из них высшего сорта?
Решение. Пусть А = { 3 изделия из 6 высшего сорта}. Приобретение 6 изделий можно считать последовательностью независимых испытаний, в каждом из которых возможны два исхода: приобретение изделия высшего сорта или нет. При этом, если за успех мы примем У { приобретение изделия высшего сорта}, то р = Р(У) = 0,3 и эта вероятность остается неизменной. Поэтому для решения данной задачи мы можем применить формулу Бернулли. Событие А равносильно тому, что в б испытаниях 3 раза будет успех, поэтому P(A) = P6{µ = 3} =C13 EMBED Equation.3 14150,330,73
· 0,185
Упражнения.
4.5.1 Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход парии исключен): три партии из четырех или пять из восьми?
4.5.2. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий будет два бракованных.
4.5.3. Вероятность рождения мальчика 0,515, девочки о, 465. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не более четырех девочек.
4.5.4. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретал 8 облигаций, выиграет больше половины из них?
4.5.5. Определить вероятность того, что номер первой встретившейся машины содержит:
а) ровно две пятерки;
б) не менее трех пятерок.
4.5.6. За один цикл автомат изготовляет 10 деталей. За какое количество циклов вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее 0,8. если вероятность того, что любая деталь бра кованная, равна 0.01.
4.5.7. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0.4. Произведено 10 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.
4.5.8. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью равной 0,8. Посеяно 20 семян. Найти наименьшее число всходов и соответствующую вероятность.
4.5.9. Вероятность изделия стандартным при каждом испытании равна 0.8. Сколько нужно проверить изделий, чтобы наивероятнейшее число стандартных изделий было равно 20?
Событие В наступает в том случае, если событие А появится не менее трех раз. Определить вероятность появления события В. если вероятность появления события А при одном опыте равна 0,3 и проведено 5 независимых опытов.
4.5.11. Произведено три независимых испытания, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,2. Вероятность появление другого события В зависит от числа появлений события А: при одно кратном появлении А эта вероятность равна 0,1; при двухкратном - 0,3 при трехкратном 0,7. Если событие А не имело место ни разу, то со бытие В невозможно. Определить наиболее вероятное число появлений события А, если событие В имело место.
4.5.12. (Задача Банаха). Для прикуривания гражданин пользовало двумя коробками спичек, доставая наудачу ту или иную коробку. Через некоторое время он обнаружил, что одна коробка пуста. Каково вероятность, что во второй коробке при этом k спичек, если вначале i каждой коробке было по n спичек.
4.5.13. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 801 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов.
4.5.14. На факультете 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.
4.5.15. Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что взятых на исследование 1100 изделии выбраковано будет не больше 17.
4.5.16. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить вероятность тоги, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0.515.
4.5.17. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих не зависимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0.8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольный момент времени окажутся включенными: а) менее 50 станков; б) от 70 до 86 станков?
4.6. Случайные величины
Прежде, чем приступить к решению задач данного раздела, необходимо твердо усвоить понятие с.в. и ее законов распределения: ряда распределения, функции распределения и ее свойств, плотности вероятностей. Кроме этого нужно четко знать, что представляют собой и как вычисляются такие числовые характеристики с.в. как математическое ожидание и дисперсия.

Решение типовых примеров.

Пример 1. Из партии в 25 изделий, среди которых 6 бракованных. выбраны случайным образом 4 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения и функцию распределения числа бракованных изделий, содержащихся в выборке. Найти вероятность того, что число бракованных изделий в выборке будет не меньше одного, но не больше 3. Найти среднее число и дисперсию числа бракованных изделии.
Решение.
Обозначим через
· - число бракованных изделий в выборке. Очевидно,
· может принимать значения 0,1,2,3,4 т.е. с. в.
· является дискретной. Чтобы построить ряд распределения, нужно найти P(
·=k), k =0,1,2,3,4. Поскольку выбирается 4 изделия из 25, среди которых 6 бракованных, то

P(
·=k) = 13 EMBED Equation.3 1415 ,k=0,1,2,3,4.
Для различных k получаем: p1 = Р{
· = 0) = 0.31}; p2=Р{
· = 1} = 0.45; p3=Р{
· =2} = 0.2; р4 =Р{
· = 3] = 0.03: р5 = Р{
· = 4} = 0.001.
По свойствам ряда распределения сумма наиленной вероятностей должна
быть равна 1.
Действительно p1+p2+p3+p4+p5 =0,31+0,459+0,2+0,03+0,001 =1.
Таким образом, ряд распределения с.в.
· имеет вид:


·
0
1
2
3
4

P
0,31
0,459
0,2
0,03
0,001


Решение.
c. в.
· непрерывна и для нее р(х) = F’(x) Следовательно
0, если x<2
p(x) = 2x-4, если 2
·x
·3
0, если x>3
б)Вероятность попадания с.в.
· интервал (2,5;3,5) можно найти, иcпользуя свойства ф.р. или свойства плотности, т.е.
Р{2,5 <
· < 3, 5} = F
·(3,5) – F
· (2,5) =1-0.52 = 0, 75.
Или P{2,5<
·<3,5} = 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 = (x-2)2 |13 EMBED Equation.3 1415 = 1- 0,52 = 0,75.
в) Найдем математическое ожидание и дисперсию, используя формулы для их вычисления в случае непрерывной с. в.
M
· =13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=(13 EMBED Equation.3 1415x3-2x2)|13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415

M
·2=13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415

D
·=M
·2-(M
·)2=13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. Случайная величина
· имеет плотность распределения
0, при x
·0
P(x) = asinx, при 0·П
0, при x>П
Найти : а) коэффициент а; 6) функцию распределения сл.в.
·; в) вероятность того, что в результате испытания с.в.
· примет значение, заключенное в интервале (0,13 EMBED Equation.3 1415).
Решение.
а) Коэффицент а найдем из условия 13 EMBED Equation.3 1415=1. В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415 или –acosx|13 EMBED Equation.3 1415=2a=1 отсюда следует a=13 EMBED Equation.3 1415
б) Найдем теперь функцию распределения, учитывая, что F
·(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем теперь функцию распределения, принимал во внимание, что F
·=P{
··.
Если x
·0, то F
·=0. Действительно значений, меньших нуля с.в.
· не принимает. Следовательно, при х < О F
· = Р{
· < х}= 0. Если 0 < х
· 1, то F
·(x)=0,31, так как в этом случае
· может принять значение 0 с вероятностью 0,31.
Если 1 < х
· 2. то F
·(x) = 0.31 + 0,459 = 0,769, так как с.в.
· может принять значение 0 с вероятностью 0,31 или значение 1 с вероятностью 0,459. Аналогично, если 2 < х
· 3. то F
·(x) = 0,31+0,459 + 0,2 = 0,969 Если 3 < х
·4, то F
·(x)= 0,999. И, наконец, если х > 4, то F
·(x) = 1, т.к. все значения сл.в. меньше х, т.е. событие Р{
· < х} в этом случае является достоверным. Таким образом, искомая ф.р. имеем вид:

0 при х < 0,
0,31 при 0 < x< 1,
0,769 при 1<х
·2, F
·= 0,969 при 2<х
·3, 0,999 при 3 < х
· 4,
1, при х > 4,
Найдем вероятность того, что число бракованных изделий в выборке будет меньше одного, по больше трех, т.е. P{1
·
·
·3} Для этого воспользуемся формулой P{a
·
·
·b}=F
·(b)-F
·(a), найденными рядом распределения и ф.р. с.в.
·: P{1
·
·
·3}= P{1
·
·
·3}+P{
·=3}=F
·(3)-F(1)+P{
·=3}=0,069-0,31+0,03=0,689
Используя формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии дискретной с.в.получим:
M
·= 0 * 0.31 + 1*0,459 + 2*0,2 + 3*0,03 + 4*0,001 = 0,953
M
·2= 1*0,459 + 22 -0,2 + 32 -0,03 + 42*0,001 = 1,545
D
· = М
·2-(M
·)2 = 1,545 – (0.953)2 = 0,637
Пример 2. Случайная величина
· задана функцией распределения:
0, если x<2
F
·(x) = (x-2)2, если 2
·x
·3
1, если x>3
Найти :
а) плотность вероятности р(х):
б) вероятность попадания с.в.
· в интервал (2,5; 3,5);
в)математическое ожидание и дисперсию с.в.
·.

Решение.
а) с. в.
· - непрерывна и для нее р(х) = F\(x) следовательно,

o, если x<2
p(x) = 2x-4, если 2
·x
·3
0, если x>3

б) Вероятность попадания с. в.
· интервал (2,5: 3,5) можно найти, используя свойства ф.р. или свойства плотности, т.е.
Р{2,5 <
· < 3,5} – F
·(3,5) – F
· (2, 5) =1-0,52 = 0,75.

Или P{2,5<
·<3,5}= 13 EMBED Equation.3 1415


в) Найдем математическое ожидание и дисперсию, используя формулы для их вычисления в случае непрерывной с. в.

M
·=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415

M
·2=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415

D
·=M
·2=(M
·)2= 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. Случайная величина
· имеет плотность распределения
o, при x
·2
p(x) = asinx , при 0·П
0, если x>П
Найти :
а) коэффициент а;
б) функцию распределения с.в.
·;
в) вероятность того, что в результате испытания с.в.
· примет значение. заключенное в интервале (0,13 EMBED Equation.3 1415)
Решение. а) Коэффицент а найдем из условия 13 EMBED Equation.3 1415=1. В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415 или –acosx|13 EMBED Equation.3 1415=2a следовательно a=13 EMBED Equation.3 1415
Найдем теперь функцию распределения, учитывая, что F
·(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
Если x
·0, то F
·= 13 EMBED Equation.3 1415
Если 0·П, то F
·=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415=-13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Если x>П, то F
·(x)= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом,
0, если x
·0
F
· = 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, если 0·П
1, если x>П
в) Найдем вероятность того, сто с.в.
· примет значение, заключенное в интервале(0,П)
P{0<
·<13 EMBED Equation.3 1415}=13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. Дискретная с.в.
· имеет ряд распределения


·
-2
-1
0
1
2

P
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1

Построить ряд распределения с.в.
· =
·2 + 1.
Решение^ Используя функциональную зависимость между с.в.
· и
·, найдем возможные значения с.в.
·:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, возможные значения c.в.
· - 1,2,5 Найдем теперь вероятность того, что
· примет данные значения. С.в. г/ примет значение 1, когда
· примет значение 0., т.е. Р{
· = 1} = Р{
· = 0} =0,3. С.в.
· примет значение 2, когда с.в.
· примет значение -1 или 1, т.е. {
· = 2} = {
·=-1}U{
·=1} причем события {
·=-1} и {
·=1} несовместны. Поэтому P{
·=2}=P{{
·=-1}U{
·=1}=P{
·=1}+P{
·=1}=0,2+0,3=0,5
Аналогично, P{
·=5}=P{{
·=-2}U{
·=2}}=P{
·=-2}+P{
·=2}=0,1+0,1=0,2
Таким образом ряд распределения с.в.
· имеет вид:

·
1
2
5

P
0,3
0,5
0,2


Пример 5. Случайная величина
· распределена по нормальному закону с плотностью вероятности
P
·(x)=13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Т.к.
·=e
· то, очевидно, множество возможных значений с. в.
· есть множество положительных действительных чисел. Исходя из этого, при х
· 0 F
·(x)=P{
·< х}= 0. Найдем теперь ф.р. с. в.
· для
x > О
F
·(х) - Р{
· < х} = Р{c
· < х} = Р{
· < lnx} = F
·(lnx). Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим
F
·’(x)=F
·’(lnx)13 EMBED Equation.3 1415

Р
·(х)= p
·(lnx)13 EMBED Equation.3 1415. Подставляя в это равенство выражение для плотности с.в.
· с аргументом lnх, получим для положительных значений х:
P
·(x)= 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, получили закон распределения с.в.
·:
13 EMBED Equation.3 1415, если x>0
P
·(x) =
0, если x
·0

Замечание. Распределение с.в.
· называется логарифмически нормальным распределением.
Пример 6. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина) 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется больше 55 мм.
Решение. Пусть
·- длина наудачу взятой детали. Поскольку фактическая длина находится в пределах от 32 до 68 мм, то Р{32 <
· < 68}=1.
По условию
· распрелделена нормально с математическим ожиданием 50 мм. т.е.
·~N(50,
·2). При нахождении вероятностей, связанных c нормально распределенной с.в., обычно, пользуются таблицами стандартного нормального распределения. Используя свойства нормального распределения, получим P{32 <
· < 68) = Р{13 EMBED Equation.3 1415 < 13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415}= P{-13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415<13 EMBED Equation.3 1415=Ф(13 EMBED Equation.3 1415)}-Ф(13 EMBED Equation.3 1415)=2Ф(13 EMBED Equation.3 1415)-1, где Ф(x)-функция стандартного нормальною распределения. По условию задачи 2Ф(13 EMBED Equation.3 1415 ) 1 =1 след. Ф(13 EMBED Equation.3 1415 ) = 1. По таблицам стандартного нормального распределения находим значение аргумента, отвечающее значению функции 1, получим: 13 EMBED Equation.3 1415=5 след.
·=3,6 Теперь найдем вероятность того, что длина наудачу взятой детали окажется больше 55 мм. т.е.
P(
·>55)=1-P(
·
·55)=1-P{13 EMBED Equation.3 1415}=1-P{13 EMBED Equation.3 1415}=1-Ф(13 EMBED Equation.3 1415)=1-0,9177=0,0823
Упражнения.

4.6.l. Построить ряд распределения и функцию распределения числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0,6.
4.6.2. В партии деталей 10% нестандартных. Наудачу отобраны 4 детали. Пост роить ряд распределения и функцию распределения числа нестандартных деталей среди отобранных. Найти математическое ожидание и дисперсию числа нестандартных деталей среди отобранных.
4.6.3.Охотник, имеющий пять патронов, стреляет в цель до первого попадания или пока не израсходует всех патронов. Построить ряд распределения, функцию распределения и найти математическое ожидание и дисперсию числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при любом выстреле равна 0,4.
С.в.
· принимает значения 1,2,3 с вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415. Написать выражение и построить график ф.р. с.в.
·.
4.6.5. В партии из 6 деталей 4 стандартных. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди трех отобранных.
4.6.6 Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пир. Пока один из них не попадает. Построить ряд распределения случайного числа бросков, производимых каждым из баскетболистов. если вероятность попадания для первого равна 0.3, а для второго 0.6.
4.6.7. Функция распределения с.в.
· задана формулой F(x)= A+Barctgx( -
·< х <
·}. Найти: а) постоянные А и В: 6) плотность вероятности p(x); в) вероятность того, что с.в.
· попадпет в отрезок [-1;1]
4.6.8. Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет вил: F(t) = 1-e13 EMBED Equation.3 1415 (t
·0). Найти: а) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т; б) плотность вероятности; в) математическое ожидание времени безотказной работы.
4.6.9. Случайная величина
· задана функцией распределения
0, при x
·2
F(x) = 0,5x-1, при 2·4
1, при x>4
Найти: а) вероятность того, что с.в.
· примет значение не меньше 5; 6) математическое ожидание и дисперсию с.в.
·.
4.6.10. Случайная величина
· задана функцией распределения
0, при x
·0
F(x) = x2, при 0·1
1, при x>1
Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний с.в.
· ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,75).
4.6.11. Плотность непрерывной с.в.
· равна
0, при x
·1
F(x) = x-13 EMBED Equation.3 1415, при 1·2
0, при x<2.
Построить функцию распределения и начертить ее график.
4.6.12. Плотность распределения непрерывной с.в.
· в интервале (0, 13 EMBED Equation.3 1415) равна р(х) = csin2x, вне этого интервала р(х) = 0.
Найти: а) постоянный параметр с; б) функцию распределения с.в.
·: в) математическое ожидание и дисперсию с.в.
·.
4.6.13. Плотность распределения непрерывной с.в.
· в интервале (-13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415) равна р(х) = 13 EMBED Equation.3 1415cos2x, вне этого интервала р(х) = 0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях с.в.
· ровно два раза примет значение, заключенное в интервале (0. 13 EMBED Equation.3 1415).
4.6.14.Задана плотность распределения с.в.
·
0, при x
·13 EMBED Equation.3 1415
F(x) = 3sinx3x, при 13 EMBED Equation.3 1415·13 EMBED Equation.3 1415
0, при x>13 EMBED Equation.3 1415.
Найти функцию распределения с.в.
· и ее среднее значение.
4.6.15.Дискретная с.в.
· имеет ряд распределения.

·
1
3
5

P
0,4
0,1
0,5

Построить ряд распределения с.в.
·=5
·.
4.6.16. Дискретная с.в. имеет ряд распределения

·
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

P
0,2
0,7
0,1


Построить ряд распределения
·=cos
·.
4.6.17. С.в.
· распределена равномерно в интервале (13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415). Найти плотность распределения с. в.
· = sin
·
4.6.18. C.в. имеет показательное распределение с плотностью p(x)=e-x, x>0. Найти функцию распределения и плотность с.в.
·=e-
·.
4.6.19. Математическое ожидание и дисперсия с.в,
· равны соответственно 10 и 2. Найти математическое ожидание и дисперсию с.в.
·=5-3
·
4.6.20. Доказать, что дисперсия числа, появлении успеха при одно кратном проведении опыта не превосходит 13 EMBED Equation.3 1415.
4.6.21. Найти математическое ожидание и дисперсию:
а) числа очков, выпадающих при бросании одной игральной кости;
б) суммы очков, выпадающих при бросании n игральных костей.
4.6.22. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено,40 билетов, причем вероятность выигрыша равна 0,05.
4.6.23. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной с.в.
· соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что с.в.
· попадет в интервал (15; 25).
4.6.24. с.в.
· имеет стандартное нормальное распределение. Что больше: Р{-0,5
·
·
·1} или Р{1
·
·
·2}?
4.6.25. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических погрешностей. Случайные погрешности взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением т = 20л. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
4.6.26.. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически и их средняя масса равна 1,06 кг. Найти стандартное отклонение, если 5% коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.
4.6.27. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение диаметра шарика от проектного размера но абсолютной величины меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина .диаметра шарика распределена нормально со средним (отклонением
· = 0. 1 мм. найти сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.
4.6.28. С. в.
· распределена, нормально с математическим ожиданием а=10. Вероятность попадания с.в.
· интервал (10,20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания с. в.
· в интервал (0,10)?














Литература
1; Колемаев И. Д., Староверов О.В., Турундаевский В. Б. Теория вероятностей и математическая статистика.- М. ВШ. 1991
2; Захаров В.К., Севастьянов Б.A., Чистяков В.П. Теория вероятностей. - М. Наука. 1983.
3; Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., ВШ. 1979.
4; Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. -М. ВШ, 1986.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativedEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeCEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 403727
    Размер файла: 678 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий