5 глава. Предельные теоремы теории вероятностей

5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Математические законы теории вероятностей получены абстрагированием реальных статистических закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям, которые порождают в своей совокупности случайную величину, подчиненную вполне определенному закону. Массовые случайные явления – рассматриваются как последовательности экспериментов, происходящих при сохраняющемся комплексе условий 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, или большое число случайных воздействий. Это означает, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы таких явлений. Устойчивость средних и представляет собой физическое содержание закона больших чисел. В теории вероятностей под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, в каждой из которых при тех или иных условиях устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа экспериментов к некоторым вполне определенным постоянным. Свойство случайных величин в определенных условиях вести себя практически как неслучайные позволяет предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.
Возможности таких предсказаний в массовых случайных явлениях расширяются наличием предельных теорем, касающихся предельных законов распределения. Мы уже говорили, что закон распределения суммы достаточно большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному распределению при соблюдении некоторых условий, которые содержатся в центральной предельной теореме.
Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность предельных теорем теории вероятностей.
С некоторыми из них мы уже познакомились.
Так, например, в гл. 2 доказывалось, что при n
· pn0 таким образом, что npn=13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– фиксированное неотрицательное число, распределение случайной величины сходится к распределению Пуассона
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
т.е. случайная величина Х рассматривалась как сумма независимых случайных величин Х, имеющих множество значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и эта сумма аппроксимировалась распределением Пуассона.
При изучении предельных теорем будем рассматривать различные виды сходимости случайных величин.

5.1. СХОДИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Рассмотрим различные определения понятия предела в теории вероятностей.
Пусть на вероятностном пространстве (, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ,P) определена последовательность случайных величин X1(
·), X2(
·),, Xn(
·), Для каждого значения 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 получаем числовые последовательности:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
которые могут сходиться или расходиться. Множество элементарных событий
·j , для которых соответствующие числовые последовательности сходятся, образует некоторое событие А13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Тот факт, что последовательность сходится на множестве А13 EMBED Equation.DSMT4 1415, будем записывать: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для любых
· 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 А, где случайная величина X(
·) определена на том же вероятностном пространстве (,13 EMBED Equation.DSMT4 1415,P).
Если вероятность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 множества тех

· 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, для каждого из которых числовая последовательность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 сходится к Х(
·), то последовательность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 сходится к Х(
·) с вероятностью 1.
Наиболее часто употребляется понятие сходимости по вероятности.
Определение 5.1. Последовательность случайных величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 сходится к случайной величине Х(
·) по вероятности и обозначается 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если для любого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415>0 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Следовательно, вероятность того, что Xn отличается от X меньше любой заданной величины, близка к единице при достаточно больших значениях n.
Определение 5.2. Последовательность случайных величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 сходится к случайной величине X по распределению и обозначается 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если для любой точки x, в которой функция F(x) непрерывна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Функция F(x) непрерывна в точке x в том и только в том случае, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Сходимость по распределению используется при аппроксимации одного распределения другим. Примером может служить сходимость биномиального распределения к пуассоновскому, о которой упоминалось выше.
Сходимость по распределению не налагает никаких требований на совместное распределение случайных величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и X.
Следует отметить, что из сходимости по вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 следует сходимость по распределению 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а из сходимости по распределению в общем случае не следует сходимость по вероятности. Сходимость по вероятности и сходимость с вероятностью 1 рассматривается в теоремах закона больших чисел и усиленного закона больших чисел.


5.2. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА

Чтобы доказать теоремы, относящиеся к закону больших чисел, докажем вначале одно весьма общее неравенство 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 неравенство Чебышева.
Рассмотрим случайную величину X с математическим ожиданием М(Х) и дисперсией D(X). Тогда справедлива теорема, приведенная ниже.
Теорема 5.1. Вероятность того, что величина X отклоняется от своего математического ожидания не меньше любого положительного числа13 EMBED Equation.DSMT4 1415, ограничена сверху величиной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть X, дискретная случайная величина, задана рядом распределения:
xi
x1
x2

xn


pi
p1
p2

pn



Пусть задано некоторое положительное 13 EMBED Equation.DSMT4 1415>0. Вычислим вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. вычислим вероятность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
________________
13 EMBED Equation.DSMT4 1415Выражение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - это сокращенное обозначение для вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415

Ясно, что эта вероятность равна сумме вероятностей pi для тех значений xi , для которых отклонения от М(Х) не меньше 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.1)
С другой стороны, по формуле (2.5) дисперсия
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.2)
Если в формуле (5.2) отбросить слагаемые, для которых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то сумма справа уменьшится, так как все члены суммы неотрицательны. Следовательно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.3)
________________
13 EMBED Equation.DSMT4 1415Выражение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - это сокращенное обозначение для вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415


Выразим в формуле (5.3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 через 13 EMBED Equation.DSMT4 14152. Тогда сумма уменьшится:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.4)
Но сумма, стоящая в правой части неравенства (5.4) – это вероятность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда из формулы (5.4) следует 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, что и требовалось доказать.13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Если X – непрерывная случайная величина, то знаки суммы следует заменить интегралами.
Заметим, что неравенство Чебышева иногда записывают в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 5.1. Дана случайная величина X с математическим ожиданием М(Х) и дисперсией
·2(Х). Оценить сверху вероятность того, что величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на 3
·(X).
Решение. Используя неравенство Чебышева, пологая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 3
·:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Следовательно, вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания выйдет за пределы трех средних квадратических отклонений, не может быть больше 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если воспользоваться правилом трех сигм, то эта же вероятность равна 0,0027. Таким образом, оценка, полученная с помощью неравенства Чебышева, не точная. Важность этого неравенства заключается в его универсальности, и поэтому его используют в основном для доказательства других теорем.
Более точную оценку дает неравенство Колмогорова. Сформулируем его без доказательства.
Теорема 5.2. Пусть X1,X2,,Xn - взаимно независимые случайные величины с математическими ожиданиями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и конечными дисперсиями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415>0 вероятность того, что одновременно выполняется n неравенств 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, не меньше чем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
При n=1 эта теорема сводится к неравенству Чебышева.
Вопросы для самопроверки
Вероятность какого неравенства оценивается в неравенстве Чебышева?
Как оценить вероятность неравенства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
В чем заключается важность неравенства Чебышева?
Что уточняет неравенство Колмогорова?


5.3. ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА

Теорема Чебышева – одна из простейших, но наиболее важных форм закона больших чисел.
Рассмотрим случайную величину X, закон распределения которой от эксперимента к эксперименту изменяется. Тогда будем иметь дело с несколькими (n) случайными величинами.
Теорема 5.3. (теорема Чебышева). Если X1, X2,, Xn, независимые случайные величины с конечными математическими ожиданиями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,и дисперсиями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ограниченными одним и тем же числом С, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то при возрастании n среднее арифметическое наблюденных значений величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т.е. для любого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415>0
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.5)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотри величину 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Ее математическое ожидание 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а дисперсия 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Применяя к величине Y неравенство Чебышева, получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
или
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т о
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (5.6)
Как бы ни было мало 13 EMBED Equation.DSMT4 1415>0, переходя к пределу в формуле (5.6) при n
·, получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
что и требовалось доказать.13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Из теоремы следует, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых переменных случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) перестает быть случайной величиной, т.е. оно является устойчивым и сходится по вероятности к определенной неслучайной величине, так как среднее арифметическое математических ожиданий 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - величина неслучайная.
Если в формуле (5.5) перейти к вероятности противоположного события, получим другую формулировку закона больших чисел:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Частным случаем теоремы Чебышева для одинаково распределенных случайных величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, является
Теорема 5.4 (теорема Хинчина). Пусть X1, X2, - независимые, одинаково распределенные случайные величины, имеющие конечные математические ожидания 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда последовательность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, сходится к m с вероятностью 1, т.е. для любого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415>0
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Закон больших чисел может быть распространен и на зависимые случайные величины.
Теорема 5.5 (теорема Маркова). Если для случайных величин X1, X2,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
то среднее арифметическое наблюденных значений случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
для любого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415>0.
Неравенство Колмогорова (см. теорему 5.2) позволяет доказать теорему Колмогорова, в которой приведены достаточные условия для осуществления усиленного закона больших чисел:
последовательность случайных величин X1, X2,, Xn, подчиняется усиленному закону больших чисел, если с вероятностью 1 при n
· выполняется предельное соотношение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Теорема 5.6 (теорема Колмогорова). Если последовательность взаимно независимых случайных величин X1, X2,, Xn, удовлетворяет условию
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
то она подчиняется усиленному закону больших чисел.
Из теоремы Колмогорова следует утверждение: существование математического ожидания является необходимым и достаточным условием для применимости усиленного закона больших чисел к последовательности одинаково распределенных и взаимно независимых случайных величин.
Усиленный закон больших чисел имеет большое принципиальное значение, так как, согласно этому закону, существует лишь конечное число случаев, когда среднее арифметическое случайных величин будет отличаться от среднего арифметического математических ожиданий.
Вопросы для самопроверки
При каких условиях среднее арифметическое наблюденных значений величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий?
Какая теорема является частным случаем теоремы Чебышева? Сформулируйте ее.
Сформулируйте закон больших чисел для зависимых случайных величин.


5.4. ТЕОРЕМЫ, УСТАВЛИВАЮЩИЕ СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТОСТЬЮ СОБЫТИЯ И ЕГО ВЕРОЯТНОСТЬЮ

Пусть производится n независимых экспериментов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие А. Вероятность появления этого события в каждом эксперименте равна р.
Теорема 5.7 (теорема Бернулли). При неограниченном увеличении числа экспериментов n относительная частота события А, вероятность которого в каждом эксперименте равна р, сходится по вероятности к вероятности р этого события:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
для любого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415>0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим независимые случайные величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– число появлений события А в i-м эксперименте, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Ясно, что эти величины дискретны и заданы следующим рядом распределения:
Xi
1
0

рi
р
q

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .

Значение Xi =1, если событие А наступило в i-м эксперименте, и Xi =0, если событие А не наступило. Математическое ожидание каждой из величин Xi равно 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а дисперсия 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. И так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (воспользовались неравенством 13 EMBED Equation.DSMT4 1415). Следовательно, дисперсии всех случайных величин Xi ограничены. Кроме того, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- числу появлений события А в n независимых экспериментах и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Тогда, применяя теорему Чебышева, получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
что и требовалось доказать.13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теорема Бернулли служит основой интуитивного представления о вероятности и является классическим законом больших чисел.
Более точным и вместе с тем также описывающим основные свойства случайности, которые присущи интуитивному представлению о вероятности, является усиленный закон больших чисел.
Теорема 5.8. Для любого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415>0 с вероятностью 1 осуществится лишь конечное число событий, для которых выполняется неравенство
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если вероятность появления события А изменяется от эксперимента к эксперименту, то справедлива
Теорема 5.9 (теорема Пуассона). При неограниченном увеличении числа независимых экспериментов, в которых событие А появляется с вероятностями р1, р2, , рn, относительная частота 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 события А сходится по вероятности к средней вероятности события
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
для любого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415>0.
Теорема Пуассона является частным случаем теоремы Чебышева, так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - число появлений события А в i-м эксперименте.
Теорема Пуассона имеет большое принципиальное значение для практического применения теории вероятностей. Дело в том, что нередко вероятностные методы используются для исследования явлений, которые в одних и тех же условиях не могут повториться достаточное число раз, но повторяются многократно при различных условиях, причем вероятности интересующих нас событий в значительной степени зависят от этих условий.
Вопросы для самопроверки
Какую сходимость определяет теорема Бернулли?
Что определяют независимые случайные величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Что обосновывает теорема Бернулли?
Чем отличается теорема Бернулли от теоремы Пуассона?


5.5. ПОНЯТИЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАК ПРЕДЕЛЬНОЕ ДЛЯ БИНОМИАЛЬНОГО И ПУАССОНОВСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Мы рассмотрели различные формы закона больших чисел, которые утверждают сходимость по вероятности тех или иных случайных величин к определенным постоянным. Причем ни в одной теореме не использовали законов распределения случайных величин. Законы распределения случайных величин рассматриваются в центральной предельной теореме. Согласно центральной предельной теореме, закон распределения суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму, сколь угодно близко к нормальному закону распределения.
Приведем несколько предельных теорем теории вероятностей без доказательств. При этом случайную величину вида
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5.7)
будем называть нормированной суммой (центрированной случайной величиной).
Теорема 5.10 (теорема Линдеберга- Леви). Если X1, X2,, Xn, - независимые случайные величины, имеющие один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то при неограниченном увеличении n закон нормированной суммы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 сходится по вероятности к нормальному закону с плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, для которого m=0, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=1.
Следует отметить, что и для неодинаково распределенных случайных величин справедлива центральная предельная теорема.
Теорема 5.11 (теорема Ляпунова). Если X1, X2,, Xn, - независимые случайные величины, имеющие математические ожидания mi, дисперсии
·
·i2 и конечные абсолютные центральные моменты третьего порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, удовлетворяющие условиям
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (5.8)
то при неограниченном увеличении n закон распределения нормированной суммы (5.7) сходится по вероятности к нормальному закону с плотностью вероятностей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, для которого m=0, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=1.
Смысл ограничения (5.8) состоит в том, чтобы случайные величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 были сравнимы по степени своего влияния на рассеивание суммы, т.е. дисперсия каждой случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 составляет лишь малую долю общей дисперсии суммы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Если бы это было бы не так, то закон распределения суммы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определялся бы в основном величиною 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, для которой дисперсия значительно больше, чем для других случайных величин.
В практических задачах центральную предельную теорему часто используют для вычисления вероятности того, что сумма нескольких случайных величин примет значение, принадлежащее интервалу.
Действительно, пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, - независимые случайные величины с математическими ожиданиями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и дисперсиями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда, если каждое из слагаемых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равномерно мало влияет на сумму 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то закон распределения случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 можно считать приближенно нормальным. И вероятность того, что случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 примет значение, принадлежащее интервалу 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, выражается формулой
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 5.2. Предположим, что распределение числа заменяемых кинескопов за двадцатилетний срок работы телевизора характеризуется математическим ожиданием m=5 и средним квадратичным отклонением
·=1,5. Найти вероятность того, что в течении 20 лет для 10 телевизоров понадобится от 40 до 60 кинескопов.
Р е ш е н и е. Представим общее число заменяемых кинескопов за 20 лет как сумму: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- число заменяемых кинескопов в i-м телевизоре в течение 20 лет работы.
Так как величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 распределены одинаково, можно использовать центральную предельную теорему:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
т.е. с вероятностью 0,53 можно утверждать, что в течении 20 лет для 10 телевизоров понадобится от 40 до 60 кинескопов.
Замечание. Следует отметить, что нормальное распределение получается из биномиального распределения и распределения Пуассона при некоторых условиях на n и p.
Пусть случайная величина X подчиняется биномиальному закону с параметрами n и p, тогда можно показать, что при достаточно большом n, если p и q=1-p не очень малы, распределение X стремится к нормальному распределению случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. С увеличением n аппроксимация биномиального распределения нормальным улучшается. Этот результат является одной из форм центральной предельной теоремы. Соответствующая нормальная функция распределения будет хорошим приближением к биномиальной, если nр и n(1-р) больше 5.
Распределение Пуассона может быть получено из биномиального. Поэтому если случайная величина X подчиняется распределению Пуассона с параметром 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то при n
· распределение X будет стремиться к нормальному распределению переменной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 5.3. Известно, что в среднем 3% электрических лампочек, выпускаемых заводом, бракованные. Найти вероятность того, что из 30 обследуемых лампочек забракованы будут 2. Эту вероятность вычислить с помощью биномиального распределения, его аппроксимацией распределением Пуассона и нормальным распределением.
Р е ш е н и е. Так как р=0,03; q=0,97; n=30; m=2, то:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
аппроксимация распределения Пуассона:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
аппроксимация нормальным распределением: как уже было сказано, биномиальное распределение хорошо аппроксимируется нормальным распределением, имеющим стандартизованную переменную 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Итак, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найдем стандартизованные значения z: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В нашем примере 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=0,9, поэтому нормальная аппроксимация не совсем удачна.
Вопросы для самопроверки
1. Какая случайная величина называется центрированной случайной величиной?
2. Чем отличается теорема Линдеберга-Леви от теоремы Ляпунова?
3. В чем смысл ограничений в теореме Ляпунова?
4. Если случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415подчиняется биномиальному закону (закону Пуассона), то при достаточно большом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, распределение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415стремится к нормальному закону какой величины?


5.6.ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ МУАВРА-ЛАПЛАСА
Центральная предельная теорема справедлива и для дискретных случайных величин при условии, что рассматриваются их функции распределения. Можно доказать, что если дискретные случайные величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 удовлетворяют условиям центральной предельной теоремы, то функция распределения их нормированной суммы
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
при увеличении n неограниченно приближается к нормальной функции распределения с параметрами m=0 и
·=1, т.е. к функции
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Частными случаями центральной предельной теоремы для дискретных случайных величин являются теоремы МуавраЛапласа.
Известно, что число появлений события А в n независимых испытаниях, вероятность появления которого в каждом испытании равна р, есть дискретная случайная величина X с биномиальным распределением вероятностей. Эту величину X можно представить в виде суммы случайных величин Хi т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где Хi число появлений события А в i-м испытании, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Все случайные величины Хi имеют одинаковые математические ожидания 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и дисперсии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а следовательно, и одинаковые квадратические отклонения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Тогда нормированная сумма Zn будет иметь вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Теорема 5.12 (локальная). Если 0< р < 1, то равномерно для всех m, удовлетворяющих неравенствам 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , где а и b - любые заданные постоянные числа, имеет место равенство
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
На практике локальная теорема используется при больших значениях n для вычисления вероятности того, что некоторое событие А наступает m раз в n испытаниях. Эту вероятность находят по приближенной формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (5.9)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Формулу (5.9) применяют и при малых n , когда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Отметим, что функция
·(z) четная, т.е.
·(-z) =
·(z) , поэтому при отрицательных значениях аргумента z используют положительные значения z, абсолютное значение которых совпадает.
Для удобства пользования формулой (5.9) составлены таблицы функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (см. прил. 4). График этой функции приведен на рис. 5.1. Кривая у =
·(z) называется кривой Гаусса.





Рис.5.1

Значение теоремы 5.12 заключается в том, что при большом числе испытаний n расчет вероятностей по точной биномиальной формуле становится весьма затруднительным и приходится использовать формулу (5.9). Если же речь идет не о вероятности отдельного равенства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а о более важной вероятности неравенства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то применяют следующую теорему.
Теорема 5.13 (интегральная). Если производится n испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то для любых а и b 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при n
· имеет место соотношение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (5.10)
Для достаточно больших n используется приближенное равенство
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (5.11)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Докажем его.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть производится n независимых экспериментов, в каждом из которых с вероятностью р может произойти событие А , и пусть Х1 число появлений события А в первом испытании, Х2 число появлений события А во втором испытании, Xi - число появлений события А в i-м испытании. Тогда случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415- числу появлений события А в n испытаниях. Случайные величины Xi имеют одинаковые законы распределения с математическим ожиданием M(Xi) = р и дисперсией D(Xi)=pq, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, закон распределения нормированной суммы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 неограниченно приближается к нормальному (см. теорему 5.10) . Тогда вероятность того, что значения случайной величины Zn принадлежат отрезку [а; b ] , равна:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (5.12)
где Ф* (х) нормальная функция распределения.
Кроме того,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Поэтому формулу (5.12) можно переписать в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
или
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, что и требовалось доказать. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В формуле (5.11) можно использовать и функцию Лапласа:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Для удобства пользования формулой (5.11) составлены таблицы функций Ф*(х) и Ф(х).
Функция Лапласа обладает следующими свойствами: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Используя эту функцию, формулу (5.11) можно записать:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
или, так 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (5.13)
По формуле (5.13) вычисляется вероятность того, что событие А в n испытаниях появится от а до b раз.
Пример 5.4. Из каждой поставляемой на оптовую базу партии яиц обследуется 60 шт. Если из этих 60 яиц не менее 3 признаются непригодными, то вся партия переводится в низшую категорию сортности. Вычислить вероятность того, что сортность партии из 500 яиц, в которой 5 % яиц непригодны, будет при таких условиях контроля понижена.
Р е ш е н и е. Если 5 % яиц непригодны, то можно допустить, что вероятность отбора непригодного яйца равна 0,05. Число обследуемых яиц составляет 60 шт. Вероятность Р(Х
·3), согласно свойствам функции распределения и теореме 5.13, равна:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Таким образом, поставщик, который систематически будет поставлять партии, содержащие 5 % непригодных яиц, должен ожидать, что в 50 % случаев поставляемый им товар будет понижен в сортности.
Замечание. Так как случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где случайные величины Хi, имеющие множество значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, независимы, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то теорему 5.13 можно сформулировать следующим образом:
Если m число появлений события А в n испытаниях Бернулли с вероятностью появления события в отдельном испытании р, то при n
· равномерно по х выполняется предельное соотношение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Вопросы для самопроверки
Какому закону распределения подчиняется случайная величина, характеризующая число появлений события в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415испытаниях?
В каких случаях применяется локальная (интегральная) теорема Муавра-Лапласа?
В чем отличие ограничений в теоремах Муавра-Лапласа?





5.7. ВЕРОЯТНОСТЬ ОТКЛОНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ ОТ ПОСТОЯННОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 <р < 1). Найдем вероятность того, что отклонение относительной частоты m/n от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа
·>0, т.е. вычислим вероятность неравенства
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (5.14)
которую обозначим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Относительная частота 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (случайная величина X число появлений события А в n испытаниях, X=m) имеет асимптотически нормальное распределение с центром 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и средним квадратическим отклонением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, так же как и случайная величинах X (см. § 5.5).
Поэтому для вычисления вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 используем теорему МуавраЛапласа.
Неравенство (5.14) равносильно неравенству13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Умножая последнее неравенство на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Применяя далее формулу (5.13), имеем
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
откуда искомая вероятность
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 5.5. Вероятность выполнения плана дневной выручки магазином равна 0,8 в каждом из 49 дней.
Найти вероятность того, что относительная частота выполнения плана дневной выручки отклонится от ее вероятности не более чем на 4 %.
Р е ш е н и е. По условию задачи n = 49; р = 0,8; q = 0,2; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 0,04. Требуется найти вероятность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Для этого воспользуемся формулой 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Подставив, получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
=213 EMBED Equation.DSMT4 14150,258 = 0б516.
Следовательно, с вероятностью 0,516 можно утверждать, что частость выполнения плана дневной выручки магазином отклонится от 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не более чем на 4 %.










13PAGE 15


13PAGE 1418215




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativezEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 3618058
    Размер файла: 675 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий