ЕГЭ 2016_мат_СПб_пробный экзамен_БУ+ПУ_05.04.2016_отв_крит_вар 1-2_16 стр


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
ʛАТЕʛАТИКА 11 класс Базовый уровˈнь

Вариант 1
2016 СанктǦʞˈтˈрбург
Инструкция
Экзаменационная работа включает в себя 20 заданий.
На выполнение работы отводится 3 часа.
Ответы к заданиям записываются в в
иде числа или последовательно
Ответ Запись в бланк ответов
0,3
Вариант 1
Найдите значение выражения
(0,1)
Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная
плата Ивана Кузьмича
равна 22500 рублей. Какую сумму он
получит после уплаты налогов? Ответ дайте в
рублях.
Ускорение тела (в
) при равномерном движении по окружности можно вычислить по
где
ʊ угловая скорость вращения (в
), а
ʊ радиус окружности
(в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите
), если
Найдите значение выражения:
log21
Для ремонта требуется купить 23 лампочки. Каждая лампочка стои
т 37 рублей. Сколько
рублей сдачи получит покупател
ь, давший кассиру 1000 рублей за
такую покупку?
Решите уравнение:
78.
4 3 1 2
В) Объɺм ящика для овощей
В приведенной ниже таблице под каждой буквой, соответствующей в
еличине, укажите
А Б В Г
Английский, немецкий
Французский
5 Испанский, английский
6 Испанский, французский
Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой пер
еводчики вместе
владеют всеми четырьмя языками: английским, немецким, испанским
и французским; а
суммарная стоимость их услуг не превышает 12000 рублей в день.
В ответе укажите
какой-нибудь один набор номеров переводчиков без пробелов, запя
тых и других
ʛАТЕʛАТИКА 11 класс Базовый уровˈнь

Вариант 1
2016 СанктǦʞˈтˈрбург
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка ниже второ
й в четыре раза, а
вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объем первой
кружки меньше объема
второй?
На рисунке точками показаны объɺмы месячных продаж обогревател
ей в магазине
бытовой техники. По горизонтали указываются месяцы, по вертикал
и ʊ количество
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанн
ых периодов времени
характеристику продаж обогревателей.
ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОДАЖ
1) Ежемесячный объɺм продаж был меньше
40 штук в течение всего периода
2) Ежемесячный объɺм продаж достиг
максимума
3) Ежемесячный объɺм продаж падал в
4) Ежемесячный объɺм продаж рос в течение
В приведенной ниже таблице под каждой буквой, соответствующей в
ремени года,
укажите номер соответствующей характеристики.
А Б В Г
В бланк ответов запишите последовательно цифры из нижней строки
таблицы без
пробелов, запятых и других дополнительных символов (см. инструк
цию).
Стороны параллелограмма равны 8 и 16. Высота параллелограмма,
опущенная на
меньшую сторону, равна 12. Найдите его высоту, опущенную на большую сторону.
ʛАТЕʛАТИКА 11 класс Базовый уровˈнь

Вариант 1
2016 СанктǦʞˈтˈрбург
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона
A,B,C,D
(см. рисунок).
log5.
Установите соответствие между указанными точками и числами в пр
авом столбце,
которые им соответствуют.
Точки Числа
m
В приведенной ниже таблице под каждой буквой, обозначающей точк
у, укажите номер
соответствующего ей числа.
A B C D
В бланк ответов запишите последовательно цифры из нижней строки
таблицы без
пробелов, запятых и других дополнительных символов (см. инструк
цию).
Школа приобрела стол, доску, магнитофон и принтер. Известно, что принтер дороже
магнитофона, а доска дешевле м
агнитофона и дешевле стола. Выбер
ите утверждения,
которые верны при указанных условиях.
1) Магнитофон дешевле доски
2) Принтер дороже доски
3) Доска ʊ самая дешɺвая из покупок
4) Принтер и доска стоят одинаково
В бланк ответов запишите номера выбранных утверждений без пробе
лов, запятых и
других дополнительных символов.
Найдите четырехзначное число, кратное 66, все цифры которого различны и четны. В
ответе укажите какое-нибудь такое число.
На палке отмечены поперечные линии красного, желтого и зеленог
о цвета. Если
распилить палку по красным линиям, то получится 5 кусков, если
по желтым ʊ 7 кусков,
а если по зеленым ʊ 11 кусков. Сколько кусков получится, если р
аспилить палку по
линиям всех трех цветов?
ʛАТЕʛАТИКА 11 класс Базовый уровˈнь

Вариант 2
2016 СанктǦʞˈтˈрбург
Инструкция
Экзаменационная работа включает в себя 20 заданий.
На выполнение работы отводится 3 часа.
Ответы к заданиям записываются в в
иде числа или последовательно
Ответ Запись в бланк ответов
0,3
Вариант 2
Найдите значение выражения
1,56:1,30,4.
Найдите значение выражения
Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная
плата Ивана Кузьмича
равна 31500 рублей. Какую сумму он
получит после уплаты налогов? Ответ дайте в
рублях.
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле
, где
ʊ напряжение (в вольтах),
ʊ сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой,
P=
Найдите значение выражения:
5log2
На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак
24 литра бензина. Цена
бензина 36 рублей за литр. Сколько р
ублей сдачи должен получить
клиент?
Решите уравнение:
45.
=x+
Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ
укажите больший их них.
Диагональ прямоугольного телевизионного экрана равна 100 см, а
ширина экрана – 80 см.
Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.
А Б В Г
4 3 1 2
ʛАТЕʛАТИКА 11 класс Базовый уровˈнь

Вариант 2
2016 СанктǦʞˈтˈрбург
Установите соответствие между величинами и их возможными значе
ниями: к каждому
элементу первого столбца подберите соответствующий элемент второго столбца.
Возможные значения
Б) Объɺм пакета кефира
Г) Объɺм ящика для фруктов
В приведенной ниже таблице под каждой буквой, соответствующей в
еличине, укажите
А Б В Г
В бланк ответов запишите последовательно цифры из нижней строки
таблицы без
пробелов, запятых и других дополнительных символов (см. инструк
цию).
На птицеферме есть утки и гуси, причем гусей в 3 раза больше,
чем уток. Найти
вероятность того, что случайно в
я уткой.
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадко
в, выпавших в
Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются
числа месяца, по
вертикали – количество осадков, выпавших в соответствующий день
, в миллиметрах. Для
наглядности жирные точки на рисунке соединены линиями. Определи
те по рисунку,
какого числа выпало наибольшее количество осадков за данный пер
Для обслуживания международного семинара необходимо собрать гр
уппу переводчиков.
Сведения о кандидатах представлены в таблице.
Стоимость услуг (руб. в день)
Французский
2 Французский, английский
Французский, немецкий
Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой пер
еводчики вместе
владеют всеми четырьмя языками: английским, немецким, испанским
и французским; а
суммарная стоимость их услуг не превышает 12000 рублей в день.
В ответе укажите
какой-нибудь один набор номеров переводчиков без пробелов, запя
тых и других
ʛАТЕʛАТИКА 11 класс Базовый уровˈнь

Вариант 2
2016 СанктǦʞˈтˈрбург
Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка ниже второ
й в полтора раза, а
вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объем второй кружки бо
льше объема первой?
На рисунке точками изображɺн среднемесячный курс евро в период с октября 2013 по
года и по сентябрь 2014 года. По горизонтали указываются месяц
и год, по вертикали –
курс евро в рублях. Для наглядности точки соединены линиями.
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанн
ых периодов времени
характеристику курса евро.
ИНТЕРВАЛЫ ВРЕМЕНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ КУРСА ЕВРО
А) Октябрь-декабрь 2013
1) Курс евро был выше 46 рублей и на
г. 2) Курс евро был ниже 46 рублей
г. 3) После падения курс евро начал расти
г. 4) Курс евро достиг максимума
В приведенной ниже таблице под каждой буквой, соответствующей п
ериоду времени,
укажите номер соответствующей характеристики.
А Б В Г
В бланк ответов запишите последовательно цифры из нижней строки
таблицы без
пробелов, запятых и других дополнительных символов (см. инструк
цию).
В треугольнике
Найти длину медианы
ʛАТЕʛАТИКА 11 класс Базовый уровˈнь

Вариант 2
2016 СанктǦʞˈтˈрбург
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды,
сторона основания которой равна 4, а боковое ребро
,B,C,D
(см. рисунок).
3.
Установите соответствие между указанными точками и числами в пр
авом столбце,
которые им соответствуют.
Точки Числа
m+
m
В приведенной ниже таблице под каждой буквой, обозначающей точк
у, укажите номер
соответствующего ей числа.
A B C D
В бланк ответов запишите последовательно цифры из нижней строки
таблицы без
пробелов, запятых и других дополнительных символов (см. инструк
цию).
Некоторые сотрудники фирмы летом 2014 года отдыхали в Крыму, а
некоторые ʊ в
Сочи. Все сотрудники, которые отдыхали в Сочи, не отдыхали в Крыму. Выберите
утверждения, которые верны при указанных условиях.
1) Если сотрудник этой фирмы летом 2014 года отдыхал в Крыму, т
2) Каждый сотрудник этой фирмы отдыхал летом 2014 года в Крыму
3) Среди сотрудников этой фирмы, которые не отдыхали в Сочи
летом 2014 года, есть хотя бы один, который отдыхал в Крыму
4) Нет ни одного сотрудника этой фирмы, который летом 2014 года
отдыхал и в Крыму, и в Сочи
В бланк ответов запишите номера выбранных утверждений без пробе
лов, запятых и
других дополнительных символов.
Найти четырехзначное число, кратное 44, любые две соседние циф
ры которого
отличаются на 1. В ответе укажите любое такое число.
На палке отмечены поперечные линии красного, желтого и зеленог
о цвета. Если
распилить палку по красным линиям, то получится 6 кусков, если
по желтым – 5 кусков,
а если по зеленым – 12 кусков. Сколько кусков получится, если р
аспилить палку по
линиям всех трех цветов?
Ответы
заданиям
варианта
базовый
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3,5 100 19575 196 10 149
12 2134 0,1
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
20 134 9 2314 6 48 3421 23 2640 21
Замечание
эксперта
!
задачах
12
19
учащиеся
могут
привести
ВЕРНЫЕ
ответы
отличающиеся
авторских
Ответы
заданиям
варианта
базовый
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,8 81 27405 28 32 136 5 60 2143 0,25
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
15 234
24 16 3142 34 1012 21
Замечание
эксперта
!
задачах
12
19
учащиеся
могут
привести
ВЕРНЫЕ
ответы
отличающиеся
авторских
МАТЕМАТИКА 11 класс Профильный уровень

Вариан
2016 Санкт_Петербург
Вариант 1
целое
десятичная
задания
соответствии
приведенными
Единицы
Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее количество ф
лаконов можно купить
на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%
На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс
откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двиг
ателя, на оси ординат ²
температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику
, сколько минут
двигатель нагревался от температуры
до температуры
На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изображɺн угол
. Найдите тангенс этого
угла.
Фабрика выпускает сумки. В среднем 3 сумки из 25 имеют скрытые
дефекты. Найдите
вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Найдите корень уравнения
log(55)
В прямоугольном треугольнике
угол
tg0,75
411
=--
является касательной к графику функции
776
yxxx
=-
. Найдите
абсциссу точки касания.
МАТЕМАТИКА 11 класс Профильный уровень

Вариан
2016 Санкт_Петербург
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рис
унке (все двугранные
Найдите значение выражения
312sin
Трактор тащит сани с силой
кН, направленной под острым углом
к горизонту.
Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной
м вычисляется по формуле
cos
AFS
. При каком максимальном угле
(в градусах) совершенная работа будет не
кДж?
Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и
третий ² за 14 минут, а
первый и третий ² за 18 минут. За сколько минут эти три насоса
заполнят бассейн, работая
вместе?
Найдите наименьшее значение функции
9ln(9)3
yxx
=-
1818
а) Решите уравнение
sin(2sin3ctg)3
xxx
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
В правильной четырехугольной призме
делит боковое ребро
в
= 1:2. Через точки
и
проведена плоскость
, параллельная прямой
а) Докажите, что плоскость
б) Найдите площадь сечения, если известно, что
log(232)log(22)log4
xxxx
--
Окружность, вписанная в треугольник
KLM
, касается сторон
и
в точках
и
соответственно.
KLKMLM
, если известно, что
:3:2
KCCM
MKL
=
Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн.руб.
Вася может купить ее в
кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать
кредит Васе придется 20
лет равными ежемесячными платежами, при этом ему придется выплатить сумму, на 180%
превышающую исходную. Вместо этого, Вася может какое-то время с
нимать квартиру
(стоимость аренды ʊ 15 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый ме
сяц на покупку
квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа бан
ку (по первой схеме)
после уплаты арендной платы за съемную квартиру. За какое время
в этом случае Вася
сможет накопить на квартиру, если считать, что стоимость ее не
изменится?
МАТЕМАТИКА 11 класс Профильный уровень

Вариан
2016 Санкт_Петербург
Найдите все такие значения параметра
, при каждом из которых наименьшее значение
функции
yxaxx
=--
После того, как учитель доказал классу новую теорему, выяснило
сь, что большая часть
класса не поняла доказательство. На перемене один ученик вдруг
понял доказательство (и
только он). Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.
а) Могло ли получиться так, что теперь уже меньшая часть класса
не понимает
доказательство?
б) Могло ли получиться так, что исходно процент учеников, поняв
ших доказательство,
выражался целым числом, а после перемены ʊ нецелым числом?
в) Какое наибольшее целое значе
ние может принять процент ученик
ов класса, так и не
понявших доказательство этой теоремы?
МАТЕМАТИКА 11 класс Профильный уровень

Вариа
нт 2
2016 Санкт_Петербург
Вариант 2
целое
десятичная
задания
соответствии
приведенными
Единицы
Флакон шампуня стоит 170 рублей. Какое наибольшее количество ф
лаконов можно купить
на 900 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%?
На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автом
обиля. На оси абсцисс
откладывается время в минутах, п
рошедшее с момента запуска двиг
температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику
, сколько минут
двигатель нагревался от температуры 40
C до температуры 60
На клетчатой бумаге с размером клетки 1
1 изображɺн угол
. Найдите тангенс этого
угла.
Фабрика выпускает кепки. В среднем 7 кепок из 50 имеют скрытые
дефекты. Найдите
вероятность того, что купленная кепка окажется без дефектов.
Найдите корень уравнения
log(21)
В прямоугольном треугольнике
угол
tg0,75
Прямая 34
является касательной к графику функции
434
yxxx
=
. Найдите
ординату точки касания.
МАТЕМАТИКА 11 класс Профильный уровень

Вариа
нт 2
2016 Санкт_Петербург
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на ри
сунке (все двугранные
Найдите значение выражения
12cos
Трактор тащит сани с силой
кН, направленной под острым углом
к горизонту.
Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной
м вычисляется по формуле
AFS
. При каком максимальном значении угла
(в градусах) совершɺнная работа
будет не менее 4000 кДж
Первый и второй насосы наполняют бассейн за 6 минут, второй и
третий ² за 7 минут, а
первый и третий ² за 21 минуту. За сколько минут эти три насоса
заполнят бассейн,
работая вместе?
Найдите наибольшее значение функции
153sin5
yxx
=-
бланк
а) Решите уравнение
2cos3sin3
cos
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
В правильной четырехугольной призме
KLMNK
делит боковое ребро
в
3. Через точки
проведена плоскость
, параллельная прямой
а) Докажите, что плоскость
б) Найдите угол между плоскостью
и плоскостью грани
, если известно, что
log(21)log(1)log3
xxxx
-
Окружность, вписанная в треугольник
, касается сторон
и
в точках
и
соответственно.
BACBC
:4:3
ANNC
=
Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 2 млн. руб.
Вася может купить ее в
кредит, при этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать
кредит Васе придется
20 лет равными ежемесячными плате
жами, при этом ему придется вы
платить сумму, на
260% превышающую исходную. Вместо этого, Вася может какое-то вр
емя снимать
квартиру (стоимость аренды ʊ 1
каждый м
на покупку
квартиры сумму,
останется от его возможного платежа банку (по первой схеме)
после уплаты арендной платы за съемную квартиру. За сколько мес
яцев в этом случае Вася
сможет накопить на квартиру, если считать, что стоимость ее не
изменится?
МАТЕМАТИКА 11 класс Профильный уровень

Вариа
нт 2
2016 Санкт_Петербург
Найдите все такие значения параметра
, при каждом из которых наименьшее значение
функции
234
yxxxa
=--
не больше 3.
После того, как учитель проверил контрольную работу, выяснилос
ь, что первую задачу
верно решила меньшая часть класса. На перемене один ученик дока
зал учителю, что его
решение первого задания также является верным. Также известно,
что в классе учится не
более 30, но не менее 20 человек.
а) Могло ли получиться так, что
теперь уже большая часть класса
верно решила первую
б) Могло ли получиться так, что исходно процент решивших первую
задачу, выражался
нецелым числом, а после перемены ʊ целым числом?
в) Какое наименьшее натуральное значение может после перемены п
ринять процент
учеников класса, верно реш
ивших первую задачу?
Ответы
заданиям
варианта
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
8 3 1 0,88 6 3,2
1,5
4
13 14 15 16 17 18 19
kkZ
=r
86
221;
-f
5:2
12,5
;10;
--‰
) 96.
Ответы
заданиям
варианта
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
8 2 0,5 0,86 5 1,8 4
1,5
60 5,6 5
13 14 15 16 17 18 19
(1),
kZ
=-
arctg
1;2
5:7
мес
яц
;20;
--‰
) 4.
Решения
критерии
оценивания
выполнения
заданий
Вариант
Решите
уравнение
sin(2sin3ctg)3
xxx
Найдите
все
корни
этого
уравнения
принадлежащие
отрезку
Решение
2sin3cos30
sin(2sin3ctg)3
sin0
xxx
--=
-=œœ
2cos3cos10
sin0
=
2,
xkkZ
=-œ=r
Условию
--
удовлетворяет
только
одно
число
Ответ
:
kkZ
=r
;
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Обоснованно
получен
верный
ответ
пункте
верно
отобраны
корни
пункте
Верно
выполнен
пункт
Полученный
пунктах
ответ
неверен
результате
ОДНОɃ
допущенной
арифметической
ошибки
описки
),
повлиявшей
принципиально
ход
решения
упростившей
задачу
Пункт
доведен
верных
простейших
уравнений
которые
решены
ошибкой
этом
конкретные
решения
простейших
уравнений
необходимые
для
пункта
раны
верно
следовательно
ответ
пункте
верен
Замечание
Отбор
корней
может
быть
произведен
любым
способом
единичной
окружности
перебором
значений
.,
обязательно
показан
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл
правильной
четырехугольной
призме
ABCDA
точка
делит
боковое
ребро
отношении
1:2.
Через
точки
проведена
плоскость
параллельная
прямой
пересекающая
ребро
точке
Докажите
что
плоскость
делит
ребро
отношении
2:1.
Найдите
площадь
сечения
известно
что
Решение
Пусть
четырехугольник
KBNM
сечение
данной
призмы
плоскостью
рисунок
Прямая
плоскости
,
плоскость
ACK
пересекает
плоскость
прямой
следовательно
KNAC
значит
AKNC
прямоугольник
Прямые
являются
соответственно
проекциями
прямых
плоскость
значит
точка
пересечения
точка
является
проекцией
точки
пересечения
точки
эту
плоскость
Таким
образом
OHAKAA
другой
стороны
отрезок
средняя
треугольника
BDM
следовательно
DMOHAADD
===
откуда
следует
доказываемое
утверждение
A
Так
ACBD
ACBB
ACBDD
KNAC
значит
KNBDD
Следовательно
KNBM
поскольку
BMBDD
площадь
сечения
равна
BMKN
Имеем
:
242
KNACAB
===
321643
BMBDDM
===
4243
Ответ
86.
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Имеется
верное
доказательство
пункте
обоснованно
получен
верный
ответ
пункте
Имеется
верное
доказательство
пункте
обоснованно
получен
верный
ответ
пункте
даже
том
учащийся
опирался
невыполненное
выполненное
неверно
задание
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл
Решите
неравенство
log(232)log(22)log4
xxxx
--
Решение
Область
определения
неравенства
задается
условиями
230
-
откуда
получаем
этом
множестве
log40
данное
неравенство
равносильно
неравенству
log(232)
log4
-
log(22)1
-
которое
свою
очередь
равносильно
неравенству
log(232)log(22)1
xxxx
--
Положив
txx
=-
где
получаем
неравенство
log(2)log(1)1

Заметим
что
функция
()log(2)log(1)
fttt
=
возрастает
произведение
двух
положительных
возрастающих
функций
(2)1
Таким
образом
множество
решений
этого
неравенства
является
луч
имеем
:
270,
232,
221
-
-
Ответ
221;
-f
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Обоснованно
получен
верный
ответ
Обоснованно
получен
ответ
отличающийся
верного
только
ошибками
строгости
неравенства
Если
ответ
ОДЗ
включено
значение
переменной
котором
одна
частей
неравенства
имеет
смысла
следует
выставлять
оценку
«0
баллов
получен
неверный
ответ
вычислительной
ошибки
этом
имеется
верная
последовательность
всех
шагов
решения
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл
Окружность
вписанная
треугольник
KLM
касается
сторон
точках
соответственно
Докажите
что
KCpLM
где
полупериметр
треугольника
KLM
Найдите
отношение
если
известно
что
:3:2
KCCM
MKL
=
Решение
Отрезки
попарно
равны
так
это
отрезки
касательных
проведенных
окружности
одной
точки
рисунок
Тогда
2222
KCLBMBp
=
222()2()
KCpLBMBpLM
=-=-
откуда
KCpLM
что
требовалось
доказать
Положим
ALx
тогда
2,
AKMCMBBLx
====
Согласно
теореме
косинусов
получаем
222
2cos
LMKMKLKMKLK
=-
222
(2)5(3)5(3)
xxx
=-
откуда
Таким
образом
:5:2
LBBM
Ответ
5:2
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Имеется
верное
доказательство
утверждения
пункта
обоснованно
получен
верный
ответ
пункте
доказано
утверждения
пункта
обоснованно
получен
верный
ответ
пункте
без
использования
утверждения
пункта
Имеется
верное
доказательство
утверждения
пункта
при
обоснованном
решении
пункта
получен
неверный
ответ
результате
арифметической
ошибки
описки
Имеется
верное
доказательство
утверждения
пункта
),
получен
верный
ответ
пункте
ние
недостаточно
обоснованно
либо
обоснования
содержат
неточности
Имеется
верное
доказательство
утверждения
пункта
неверном
доказательстве
утверждения
пункта
обоснованном
решении
пункта
без
использования
утверждения
пункта
получен
неверный
ответ
результате
арифметической
ошибки
описки
обоснованно
получен
верный
ответ
пункте
использованием
утверждения
пункта
этом
пункт
выполнен
полнен
верно
получен
верный
ответ
пункте
решение
недостаточно
обоснованно
либо
обоснования
содержат
неточности
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл
мечтает
собственной
квартире
которая
стоит
3
млн
руб
может
купить
кредит
этом
банк
готов
выдать
эту
сумму
сразу
погашать
кредит
придется
20
лет
равными
ежемесячными
платежами
при
этом
ему
придется
выплатить
сумму
180%
превышающую
исходную
Вместо
этого
может
какое
время
снимать
квартиру
оимость
– 15
тыс
руб
месяц
откладывая
каждый
месяц
покупку
квартиры
сумму
которая
останется
его
возможного
платежа
банку
первой
схеме
после
уплаты
арендной
платы
съемную
квартиру
какое
время
этом
случае
сможет
накопить
квартиру
если
считать
что
стоимость
изменится
Решение
Пусть
купил
квартиру
кредит
Тогда
должен
погасить
кредит
20
лет
есть
240
одинаковых
ежемесячных
платежей
Сумма
которую
должен
выплатить
банку
условию
180%
превышает
исходные
3
млн
руб
есть
равна
30002,88400
тыс
руб
Разделив
эту
сумму
240,
получаем
ежемесячный
платеж
равный
35
тыс
руб
M
если
вместо
этого
снимал
квартиру
после
оплаты
аренды
него
будет
оставаться
ежемесячно
20
тыс
руб
Тогда
3
млн
руб
Вася
накопит
3000:20150
месяцев
12,5
лет
Ответ
12,5
лет
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Обоснованно
получен
верный
ответ
Верный
ответ
получен
недостаточно
обоснован
Верно
построена
математическая
модель
дальнейшее
решение
неверно
закончено
Верна
найден
ежемесячный
платеж
для
случая
кредита
банке
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл
Найдите
все
такие
значения
параметра
каждом
которых
наименьшее
значение
функции
yxaxx
=--
меньше
2.
Решение
Данная
функция
определена
непрерывна
множестве
действительных
чисел
точки
,1,2
xaxx
=-=-=
разбивают
действительную
ось
промежутки
каждом
которых
графиком
данной
функции
является
часть
некоторой
параболы
Заметим
что
при
значения
данной
функции
неограниченно
возрастают
Следовательно
свое
наименьшее
значение
данная
функция
принимает
одной
точек
или
нескольких
этих
точках
,1,2
xaxx
=-=-=
xxx
где
абсциссы
вершин
тех
парабол
ветви
которых
направлены
вверх
параболы
23()
yxxxa
=--
23()
yxxxa
=---
223
yxxa
=-
423
yxxa
=---
Абсциссы
вершин
соответственно
Таким
образом
наименьшее
значение
функции
yxaxx
=--
меньше
2
тогда
только
тогда
когда
выполняется
хотя
одно
неравенств
:
(1)2
(2)2
()2
Так
(1)31
-=-
(2)32
()2
yaaa
-=-
получаем
совокупность
неравенств
312,
322,
22.
<œ
-<
117
117
40,
-<-<
-<<-
-<<œ
<<-
(
Учитывая
что
174,217,64
получаем
3,2
117
223
1,61,66...
<=<=
Аналогично
5,2
117
223
2,62,66...
>-=->-=-
Таким
образом
окончательно
получаем
)
-<<-
Ответ
-<<-
,
a
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Обоснованно
получен
верный
ответ
Обосновано
получен
ответ
отличающийся
верного
только
исключением
включением
граничных
точек
Ответ
неверен
вследствие
одной
вычислительной
ошибки
описки
),
повлиявшей
ход
решения
упростившей
задачу
помощью
верного
рассуждения
получены
искомые
промежутки
значений
неверные
неверной
оценки
концов
промежутков
аналитическом
решении
Описано
поведение
функции
yxaxx
=--
дальнейшие
рассуждения
неверны
отсутствуют
аналитическом
решении
Описано
поведение
функции
yxaxx
=--
указаны
все
точки
которых
функция
может
принимать
наименьшее
значение
графическом
решении
Задача
сведена
исследованию
взаимного
расположения
графиков
функций
()2
fxxx
=--
()23
gxxa
=-
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл
После
того
учитель
доказал
классу
новую
теорему
выяснилось
что
бол
ьшая
часть
поняла
доказательство
перемене
один
ученик
только
вдруг
понял
доказательство
Также
известно
что
учится
более
30,
менее
20
человек
Могло
получиться
так
что
теперь
уже
меньшая
часть
понимает
доказательство
Могло
получиться
так
что
исходно
процент
понявших
доказательство
выражался
целым
числом
после
перемены

нецелым
числом
Какое
наибольшее
целое
значение
может
принять
процент
учеников
так
понявших
доказательство
этой
теоремы
Решение
Пусть
учится
29
человек
которых
сперва
15
человек
поняли
доказательство
большая
часть
затем
осталось
14 (
меньшая
часть
).
Замечание
подойдет
любой
пример
нечетным
количеством
учеников
21
29
количествами
понявших
понявших
отличающимися
1.
Пусть
было
24
ученика
которых
ровно
6
поняли
доказательство
Тогда
исходно
процент
понявших
25,
после
перемены
когда
понявших
станет
7,
процент
понявших
будет
нецелым
Замечание
Есть
другие
примеры
например
, 3
ученика
30
поняли
доказательство
уроке
Пусть
всего
учеников
количество
так
понявших
доказательство
равно
Очевидно
превосходит
– 1),
ведь
один
ученик
понял
доказательство
перемене
Тогда
искомый
равен
Чтобы
это
число
было
можно
большим
требуется
максимизировать
дробь
условии
что
Докажем
что
наибольшее
значение
дроби
равно
96.
Результат
96
достигается
= 24,
= 25.
Если
< 25,
очевидно
что
max
разберем
случаи
= 26, 27, 28, 29, 30.
= 26.
Чтобы
выполнялось
условие
необходимо
взять
кратное
13,
что
возможно
только
= 13,
2625
= 27.
Чтобы
выполнялось
условие
необходимо
взять
кратное
27,
что
возможно
только
= 0.
= 28.
Чтобы
выполнялось
условие
необходимо
взять
кратное
7,
что
возможно
только
большем
21,
2124
2825
= 29.
Чтобы
выполнялось
условие
необходимо
взять
кратное
29,
что
возможно
только
= 0.
= 30.
Чтобы
выполнялось
условие
необходимо
взять
кратное
3,
что
возможно
только
большем
271,
3025
Таким
образом
, 96 –
наибольшее
целое
значение
искомого
процента
Ответ

;
)
;
96.
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Верно
получены
все
перечисленные
результаты
критерий
1
балл
Верно
получены
три
перечисленных
результатов
критерий
1
балл
) 3
Верно
получены
перечисленных
результатов
критерий
1
балл
Верно
получен
один
перечисленных
результатов
верный
пример
пункте
);
обоснованное
решение
пункта
);
доказательство
того
что
пункте
процент
превосходит
96;
пример
того
что
процент
равный
96,
достигается
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл
Решения
критерии
оценивания
выполнения
заданий
Вариант

Решите
уравнение
2cos3sin3
cos
Найдите
все
корни
этого
уравнения
принадлежащие
отрезку
Решение
2cos3sin3
cos
2cos3sin30
cos0
-=
2sin3sin10
cos0
-=
2,,
sin
2,.
kkZ
kkZ
=
œ=œ
=
Условию
удовлетворяет
только
одно
число
Ответ
:
(1),
kkZ
=-
;
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Обоснованно
получен
верный
ответ
пункте
верно
отобраны
корни
пункте
) 2
Верно
выполнен
пункт
Полученный
пунктах
ответ
неверен
результате
ОДНОɃ
допущенной
арифметической
ошибки
описки
),
повлиявшей
принципиально
ход
решения
упростившей
задачу
Пункт
доведен
верных
простейших
уравнений
которые
решены
ошибкой
этом
конкретные
решения
простейших
уравнений
необходимые
для
пункта
аны
верно
следовательно
ответ
пункте
верен
Замечание
Отбор
корней
может
быть
произведен
любым
способом
единичной
окружности
перебором
значений
.,
обязательно
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл
правильной
четырехугольной
призме
KLMNK
точка
делит
боковое
ребро
отношении
3.
Через
точки
проведена
плоскость
прямой
пересекающая
ребро
точке
Докажите
что
плоскость
делит
ребро
пополам
Найдите
угол
между
плоскостью
плоскостью
грани
KLMN
известно
что
Решение
Пусть
четырехугольник
ELGF
сечение
данной
призмы
плоскостью
рисунок
Прямая
плоскости
,
плоскость
KMG
пересекает
плоскость
прямой
следовательно
EGKM
значит
KMGE
прямоугольник
Прямые
являются
соответственно
проекциями
плоскость
KLM
значит
точка
пересечения
точка
является
проекцией
точки
пересечения
точки
эту
плоскость
Таким
образом
OHEKKK
другой
стороны
отрезок
средняя
треугольника
FLN
следовательно
FNOHKKKK
===
откуда
следует
доказываемое
утверждение
Пусть
точка
середина
отрезка
Тогда
EKFD
EKFD
следовательно
EKDF
параллелограмм
значит
EFKD
Так
EGKM
()()
KDMEFG
значит
(();())(();())
EFGKMNKDMKMN
=
Поскольку
KLMN
квадрат
NHKM
тогда
согласно
теореме
трех
перпендикулярах
DHKM
Таким
образом
линейный
угол
двугранного
угла
DKMN
прямоугольного
треугольника
находим
===
arctg
Ответ
arctg
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Имеется
верное
доказательство
пункте
обоснованно
получен
верный
ответ
пункте
Имеется
верное
доказательство
пункте
обоснованно
получен
верный
ответ
пункте
даже
том
случае
учащийся
опирался
невыполненное
выполненное
неверно
задание
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл
Решите
неравенство
log(21)log(1)log3
xxxx
-
Решение
Область
определения
неравенства
задается
условиями
-
откуда
получаем
этом
множестве
log30
данное
неравенство
равносильно
неравенству
log(22)
log3
-
log(1)1

которое
свою
очередь
равносильно
неравенству
log(21)log(1)1
xxxx
-
Положив
txx
=-
где
получаем
неравенство
log(1)log(3)1

Заметим
что
функция
()log(1)log(3)
fttt
=
возрастает
произведение
двух
положительных
возрастающих
функций
(2)1
Таким
образом
множество
решений
этого
неравенства
является
промежуток
имеем
:
60,
22,
-
Ответ
1;2.
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Обоснованно
получен
верный
ответ
Обоснованно
получен
ответ
отличающийся
верного
только
ошибками
строгости
неравенства
Если
ответ
ОДЗ
включено
значение
переменной
котором
одна
частей
неравенства
имеет
смысла
следует
выставлять
оценку
«0
баллов
получен
неверный
ответ
вычислительной
ошибки
этом
имеется
верная
последовательность
всех
шагов
решения
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл
Окружность
вписанная
треугольник
касается
сторон
точках
соответственно
Докажите
что
ANpBC
Найдите
отношение
известно
что
:4:3
ANNC
BAC
=
Решение
Отрезки
попарно
равны
так
это
отрезки
касательных
проведенных
окружности
одной
точки
рисунок
Тогда
2222
ANBMCMp
=
222()2()
ANpBMCMpBC
=-=-
откуда
ANpBC
что
требовалось
доказать
Положим
BKx
тогда
3,
AKCNCMBMx
====
Согласно
теореме
косинусов
получаем
222
2cos
BCACABACABA
=-
222
(3)7(4)7(4)
xxx
=-
Таким
образом
:5:7
AKKB
Ответ
5:7
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Имеется
верное
доказательство
утверждения
пункта
обоснованно
получен
верный
ответ
пункте
доказано
утверждения
пункта
обоснованно
получен
верный
ответ
пункте
без
использования
утверждения
пункта
Имеется
верное
доказательство
утверждения
пункта
при
обоснованном
решении
пункта
получен
неверный
ответ
результате
арифметической
ошибки
описки
Имеется
верное
доказательство
утверждения
пункта
),
получен
верный
ответ
пункте
ени
достаточно
обоснованно
либо
обоснования
содержат
неточности
Имеется
верное
доказательство
утверждения
пункта
неверном
доказательстве
утверждения
пункта
обоснованном
решении
пункта
без
использования
утверждения
пункта
получен
неверный
ответ
результате
арифметической
ошибки
описки
обоснованно
получен
верный
ответ
пункте
использованием
утверждения
пункта
этом
пункт
выполнен
полнен
неверн
чен
верный
ответ
пункте
решение
недостаточно
обоснованно
либо
обоснования
содержат
неточности
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл
мечтает
собственной
квартире
которая
стоит
2
млн
руб
может
купить
кредит
этом
банк
готов
выдать
эту
сумму
сразу
погашать
кредит
придется
20
равными
ежемесячными
платежами
при
этом
ему
придется
выплатить
сумму
260%
превышающую
исходную
Вместо
этого
может
какое
время
снимать
квартиру
оимость
аренды

руб
откладывая
каждый
месяц
покупку
квартиры
сумму
кот
орая
останется
его
возможного
платежа
банку
первой
схеме
после
уплаты
арендной
платы
съемную
квартиру
сколько
месяцев
этом
случае
сможет
накопить
квартиру
считать
что
стоимость
изменится
M
B
Решение
Пусть
купил
квартиру
кредит
Тогда
должен
погасить
кредит
20
есть
240
одинаковых
ежемесячных
платежей
Сумма
которую
должен
выплатить
банку
условию
260%
превышает
исходные
2
млн
руб
есть
равна
20003,67200
тыс
руб
Разделив
эту
сумму
240,
получаем
ежемесячный
платеж
равный
30
тыс
руб
вместо
этого
снимал
квартиру
после
оплаты
аренды
него
будет
оставаться
ежемесячно
6
тыс
руб
Тогд
2
млн
руб
Вася
накопит
2000:1
10
5
яце
Ответ
10
5
месяцев
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Обоснованно
получен
верный
ответ
Верный
ответ
получен
недостаточно
обоснован
Верно
построена
математическая
модель
дальнейшее
решение
неверно
закончено
Верна
найден
ежемесячный
платеж
для
случая
кредита
банке
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл
Найдите
все
такие
значения
параметра
каждом
которых
наименьшее
значение
функции
234
yxxxa
=--
больше
3.
Решение
Данная
функция
определена
непрерывна
множестве
действительных
чисел
точки
,1,3
xaxx
===-
разбивают
действительную
ось
промежутки
каждом
которых
графиком
данной
функции
является
часть
некоторой
параболы
Заметим
что
при
значения
данной
функции
неограниченно
возрастают
Следовательно
свое
наименьшее
значение
данная
функция
принимает
одной
точек
или
нескольких
этих
точках
,1,3
xaxx
===-
xxxx
где
абсциссы
вершин
тех
парабол
ветви
которых
направлены
вверх
параболы
234()
yxxxa
=--
234()
yxxxa
=---
634
yxxa
=--
234
yxxa
=--
Абсциссы
вершин
соответственно
Таким
образом
наименьшее
значение
функции
234
yxxxa
=--
больше
3
тогда
только
тогда
когда
выполняется
хотя
одно
неравенств
:
(1)3
(3)3
()3
Так
(1)41
(3)43
-=
()23
yaaa
=-
получаем
совокупность
неравенств
413,
433,
233
œ
-
260,
--
-
-
159
172,
071.
--
---
(
Учитывая
что
72,77,29
получаем
712,711,71,75.
-<-=<=
Аналогично
1712,73,73,75
-->--=->-=-
Таким
образом
окончательно
получаем
)
-<<-
Ответ
-<<-
,
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Обоснованно
получен
верный
ответ
Обосновано
получен
ответ
отличающийся
верного
только
исключением
включением
граничных
точек
Ответ
неверен
вследствие
одной
вычислительной
ошибки
описки
),
повлиявшей
ход
решения
упростившей
задачу
помощью
верного
рассуждения
получены
искомые
промежутки
значений
неверные
неверной
оценки
концов
промежутков
аналитическом
решении
Описано
поведение
функции
234
yxxxa
=--
дальнейшие
рассуждения
неверны
отсутствуют
аналитическом
решении
Описано
поведение
функции
234
yxxxa
=--
указаны
все
точки
которых
функция
может
принимать
наименьшее
значение
графическом
решении
Задача
верно
сведена
исследованию
взаимного
расположения
графиков
функций
например
функций
()23
fxxx
=-
()34
gxxa
=--
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл
После
того
учитель
проверил
контрольную
работу
выяснилось
что
первую
задачу
верно
решила
меньшая
часть
перемене
один
ученик
доказал
учителю
что
его
решение
первого
задания
также
является
верным
Также
известно
что
учится
более
30,
менее
20
человек
Могло
получиться
так
что
теперь
уже
большая
но
решила
первую
задачу
Могло
получиться
так
что
исходно
процент
решивших
первую
задачу
выражался
нецелым
числом
после
перемены

целым
числом
Какое
наименьшее
натуральное
значение
может
после
перемены
принять
процент
учеников
верно
решивших
первую
задачу
Решение
Пусть
учится
29
человек
которых
сперва
14
человек
решили
первую
задачу
меньшая
часть
затем
стало
15 (
большая
часть
).
Замечание
Подойдет
любой
пример
нечетным
количеством
учеников
21
29
количествами
решивших
решивших
первую
задачу
отличающимися
1.
Пусть
классе
было
30
ученика
которых
ровно
2
решили
первую
задачу
Тогда
исходно
процент
учеников
решивших
первую
задачу
был
нецелым
после
перемены
когда
решивших
станет
3,
процент
решивших
будет
целым
Замечание
Есть
другие
примеры
например
, 11
учеников
24
поняли
доказательство
уроке
Пусть
всего
учеников
количество
решивших
первую
задачу
равно
Очевидно
меньше
1,
так
один
ученик
решил
задачу
верно
доказал
это
перемене
перемене
Тогда
искомый
процент
равен
Чтобы
это
число
было
можно
меньшим
требуется
минимизировать
дробь
условии
что
Докажем
что
наименьшее
значение
дроби
равно
4.
Результат
4
достигается
= 1,
= 25.
Если
< 25,
очевидно
что
Если
> 25,
либо
что
подходит
так
дроби
100100100100
26272830
;;;...,;
являются
натуральными
числами
либо
этом
случае
221
3025
>
Таким
образом
, 4 –
наибольшее
целое
значение
искомого
процента
Ответ

;
;
4.
Критерии
оценивания
выполнения
задания
Баллы
Верно
получены
все
перечисленные
результаты
критерий
1
балл
Верно
получены
три
перечисленных
результатов
критерий
1
балл
) 3
Верно
получены
перечисленных
результатов
критерий
1
балл
Верно
получен
один
перечисленных
результатов
верный
пример
пункте
);
обоснованное
решение
пункта
);
доказательство
того
что
пункте
процент
меньше
4;
пример
того
что
процент
равный
96,
достигается
Решение
соответствует
одному
критериев
перечисленных
выше
Максимальный
балл

Приложенные файлы

  • pdf 1032850
    Размер файла: 672 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий