СОМОВ 1 РГЗ№9


РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ №9
1. Общие закономерности электромагнитных явлений
Найти градиенты скалярных полей:
а) ;
б) ;
в) .
где - расстояние от начала координат, - постоянные.Решение:
a) grad φ=r0drr=r0.б) grad φ=r0d(1r)r=r0d(r-1)r=r0-1∙r-2=-r0∙1r2=-r0r2 .
в) grad φ=r0dωt-krdr=r0dωtdr-dkrdr=r0ωtddr-kdrdr=r00-k==-kr0.Вывод: для решения задачи используем формулу нахождения градиента
grad φ=r0dφr=r0Берем производные от функции φ(r). Производные от постоянных на значение градиента не влияют, так как равны 0.
1.2 Найти поток вектора сквозь сферическую поверхность , если .
Решение:
Формула потока вектора через поверхность:
Ф=Sa*dS=Sr0r*ndS=где единичный вектор нормали n - к сферической поверхности совпадает с вектором r0, поэтому их скалярное произведение равно 1.
Тогда:
=Sr0r*n dS=SRdS=RSdS=R*S=R∙4πR2=4πR3.Ответ: a=4πR3Вывод: решение задачи равно объему сферы, через поверхность которую проходит вектор а.
1.3. Плоская граница раздела между однородными изотропными идеальными диэлектриками с проницаемостями заряжена с поверхностной плотностью . Векторы электрического поля составляют с нормалью к границе раздела углы и равны (по модулю) соответственно (рис.1.1) Исходные данные к задаче представлены в таблице Определить недостающие величины и заполнить таблицу.
14033501656080E2τ020000E2τ109791580137000156718080137000584200678180E2n020000E2n
Рис. 1.1. Графическое пояснение к задаче 1.3
Таблица 1.1
Исходные данные к задаче 1.3

Вар.
1 1 0 60 0,88 0,88 2 1 2 1,088 45 1,22 Используем граничные условия для электрического поля:
D1n-D1n=ρs,E1τ=E2τ.И соотношение D=ε0εE.
ε0=8,85*10-12Ф/мВариант 1

Вар.
1 1 2.7 0 60 78 0.994 0.88 0,88 2.1
Решение:
Составляющие векторы электрического поля в первой среде:
D1=ε0ε1E1 →E1=D1ε0ε1=0,88*10-118,85*10-12*1=0.994 (B/м);
D1n=D1cosα1=0.88*10-11*cos60°=0.44*10-11(кл/м2);
E1τ=E1sinα1=0.994*sin60°=0.86 (B/м);
Составляющие векторы электрического поля во второй среде:
E1τ=E2τ=0.86 (B/м);
E2τ=E2sinα2→sinα2=E2τE2=0.860.88=0.9773→α2=78°;D2n-D1n=ρs=0 (по условию)→ D2n=D1n=0.44*10-11(кл/м2);
D2=D2ncos⁡(α2)=0.44cos⁡(78°)=2.12*10-11(кл/м2);
D2=ε0ε2E2→ε2=D2ε0E2=2.12*10-11;8.85*10-12*0,88=2.7;
Ответ: E1=0.994 (B/м); α2=78°; D2=2.12*10-11(кл/м2); ε2=2.7.
Вывод: Из исходных данных вектор ρs=0, это говорит о том, что влиять на электрическое поле будут только электрические проницаемости. Электрическая проницаемость повлияла на угол векторов Е и D, а также на их величину. Увеличение электрической проницаемости привело к увеличению вектора электрического смещения и увеличению угла отклонения от вектора нормали, и уменьшению вектора электрической напряженности.
Вариант 2

Вар.
2 1 2 1,088 60 45 0.996 1,22 0.882 2.16
Решение:
Составляющие векторы электрического поля во второй среде:
D2=ε0ε2E2=8.85*10-12*2*1.22=2.16*10 -11(кл/м2);
E2τ=E2*sin⁡(α2)=1.22*sin45°=0,863 (В/м);
D2n=D2cosα2=2.16*10 -11*cos45°=1.527*10-11(кл/м2);
т.к. α2=45°следует, что D2n=D2τ.
Составляющие векторы электрического поля в первой среде:
E1τ=E2τ= 0,863 (B/м);
D1τ=ε0ε1E1τ=1*8.85*10-12*0,863=0,764*10-11;
D2n-D1n=ρs→D1n=ρs-D2n=10-11*1.527-1.0888=0.44*10-11 (кл/м2);
D1n=ε0ε1E1n→E1n=D1nε0ε1=0.44*10-118.85*10-12*1=0.497(В/м);
E1=E1τ2+E1n2=0,8632 +0.4972=0.996 (B/м);
D1=D1τ2+D1n2=(0,764*10-11)2 +(1.527*10-11)2=0.882*10-11(кл/м2);
cos(α1)=E1nE1=0.4970.996=0.5→α1=60°.Ответ: D2=2.16*10 -11(кл/м2); E1=0.996 (B/м); α1=60°; D1=0.882*10-11(кл/м2).
Вывод: Вектор электрического смещения испытал скачек, обусловеленный ρs (так как ρs≠0) и разными электрическими проницаемостями веществ, соответственно так как электрическая проницаемость первой среды меньше электрической проницаемости второй среды, то D1<D2 и ρs>0, что увеличивает вектор D2.
1.4. По плоской границе раздела двух сред с магнитными проницаемостями протекает поверхностный ток с плотностью .
Векторы магнитного поля в плоскости перпендикулярной , составляют с границей раздела углы и равны , в первой и второй средах соответственно (рис.1.2).

Рис. 1.4. Графическое пояснение к задаче 1.4
Исходные данные к задаче представлены в таблице 1.2. Определить недостающие величины и заполнить таблицу.
Таблица 1.2
Исходные данные к задаче 1.4

Вар.
1 1 -0,25 30 1,256 1 2 2 1 0,502 45 1,256 Используем граничные условия для магнитного поля:
H2τ-H1τ=jS,B1n=B2n,И соотношение B=μ0μH.
μ0=4π*10-7Гн/мВариант 1

Вар.
1 1 2 -0,25 30 30 1,256 1,256 1 0.5
Решение:
Составляющие векторы магнитного поля в первой среде:
H1τ=H1sinα1=1*sin30°=0.5 (A/м);
B1=μ0μ1H1=4π*10-7*1*1=1.256 (T);
B1n=B1cosα1=1.256*cos30°=1.088 (T);
Составляющие векторы магнитного поля во второй среде:
B1n=Bn2=1.088 (T);
B2n=B2*cosα2→cosα2=B2nB2=1.088 1,256=0.866(T)→α2=30°;
H2τ-H1τ=js→H2τ=10-6(-0,25+0.5)=0.25*10-6 (A/м);
H2=H2τsin⁡(α2)=0.25*10-6 sin⁡(30°)=0.5* 10-6(B/м);
B2=μ0μ2H2→μ2=B2μ0H2=1.2564π*10-7=2.Ответ: B1=1.256 (T); α2=30°; H2=0.5* 10-6(B/м); μ2=2.Вывод: вектор Н испытал скачек из-за разных магнитных проницаемостей веществ и линейной плотности заряда. Векторы B1=B2, но магнитные проницаемости веществ различаются, равенство векторов B1,B2 обусловлено скачком вектора магнитной напряженности.
Вариант 2

Вар.
2 2 1 0,502 80.8 45 1.034 1,256 2 1
Решение:
Составляющие векторы магнитного поля во второй среде:
B2=μ0μ2H2→H2=B2μ0μ2=1.2564π*10-7*1=1*106 (T);
H2τ=H2sinα2=1*106*sin45°=0.71*106 (A/м);
B2n=B2*cosα2=1,256*cos45°=0.888Составляющие векторы магнитного поля в первой среде:
H2τ-H1τ=js→H1τ=H2τ-js=0.71*106-0.502*106=
=0.208*10-6 (A/м);
B1τ=μ0μ1H1τ=4π*10-7*2*0.208*106=0.53 (T);
B1n=Bn2=0.8881 (T);
B1=B1τ2+B1n2=(0.53)2 +(0.8881)2=5.4 (T);
B1n=B1*cosα1→cosα1=B1nB1=0.88815.4=0.164→α1=80.5°H1=B1μ0μ1=5.44π*10-7*2=2*106(A/м);
Ответ: H2=1*106 (T); B1=5.4 (T); α1=80.5°; H1=2*106(A/м).
Вывод: вектор Н испытал скачек из-за разных магнитных свойств веществ (магнитной проницаемости). Также отличаются углы отклонения из-за линейной плотности не равной нулю.
2. Электромагнитные волны в различных средах.
2.1. Точечный изотропный (ненаправленный) излучатель создает на расстоянии r =1000 м среднюю плотность потока мощности . Определить мощность излучения .
Решение:
Мощность излучения:
P∑=SсфПср⋅dS=α=02πθ=0πПср∙r0∙r2∙sinθdθdαP∑=α=02πθ=0πПср∙r0∙r2∙sinθdθdα=2πr2Псрθ=0π sinθdθ=-2πПсрr2cosθ0π==4πr2ПсрПодставим условия задачи в 4πr2Пср и получим:
P∑=4π∙10-6∙10002=12,57 Вт.
Вывод: Создаваемая плотность потока мощности будет незначительна, относительно мощности излучения, на расстоянии 1000м, что говорит о больших потерях.
2.2. Точечный изотропный излучатель расположен в свободном пространстве и излучает мощность P∑= 100 Вт при частоте f = 10 МГц. Определить амплитуду векторов E и H на расстоянии r = 5 км от источника.
Решение:
Мощность излучения:
P∑=SсфПср⋅dS=α=02πθ=0πПср∙r0∙r2∙sinθdθdαгде Пср=r0∙12Emθ2∙1Z0 тогда,
α=02πθ=0πПср∙r0∙r2∙sinθdθdα==12Emθ2∙r2z0∙α=02πdαθ=0πSinθdθ=-12Emθ2∙r2z0∙2π-2=2πEmθ2∙r2z0;Таким образом, P∑=2πEmθ2∙r2z0Выразим Emθ из полученного выражения P∑:
Emθ=P∑∙z02πr2=100∙3772π∙50002=0,0155=15,5 мВм;z0=377 Ом
Выражение для Hmα:
P∑=2πHmα2∙z0r2;Hmα=P∑2π∙z0r2=1002π∙377∙50002=4,11∙10-5=41,1 мкАм.Вывод: из-за малой мощности излучения в 100 Вт и быстрым уменьшением мощности с расстоянием амплитуда напряженности магнитного и электрического поля, на расстоянии пяти километров, будут очень малы.
2.3. Задан элементарный вибратор с направлением тока таблица 2.1 изобразить ориентацию и величину (качественно) векторов , и для точек 1-8 в дальней зоне вибратора.
Таблица 2.1
Исходные данные к задаче 2.3
Номер
варианта Задание
1 2 3
1 Изобразить ориентацию и величину (качественно) векторов , и для точек 1,2 в дальней зоне вибратора.
22860202565Решение и вывод:
Направление движения тока считается от плюса к минусу, линии напряженности электрического поля направлены от положительно заряженных частиц к отрицательным.
В нашем задании вектор Е в точке 1 направлен по касательной к окружности по часовой стрелке. В точке 2 вектор Е также направлен по касательной к окружности по часовой стрелке, но меньше по величине, чем в точке 1, так как он лежит на одной окружности с точкой 1 и находится на меньшем расстоянии от оси вибратора. Вектор Пойнтинга, который показывает направление распространения энергии, совпадает с направлением нормали сферы, то есть он будет совпадать с направлением радиус вектора в соответствующих точках. Осталось найти направление вектора магнитного напряжения Н. Вектор Пойнтинга П равен векторному произведению ЕхН. Из самого понятия векторного произведения векторы образуют правую тройку, значит вектор Н в точке 1 направлен на нас, так же как и в точке 2. Стоит отметить, что вектор Е и вектор Н меньше по величине в точке 2, нежели в точке 1, так как точка 2 находится на меньшем расстоянии от плоскости проходящая через середину вибратора и перпендикулярной к его оси.
Таким образом, заданный элементарный вибратор будет иметь наибольшую величину энергии волны в точке 1, чем в точке 2.
2.4. Волна в свободном пространстве и в полиэтилене характеризуется амплитудой и частотой .
Определить параметры волны , , и вычислить среднее за период значение вектора Пойнтинга для каждой из сред.
Исходные данные к задаче 2.4
Единицы
измерений Варианты 1 2 3 4 5 0,48π МГц 1 мкс0,5 В непроводящей среде:
Vф=ωβ=cμελ=2πβ=2πωεaμaβ=ωεaμa=k=2πλω=2πƒПолиэтилен Свободное пространство(воздух)
ε=2,35μ=1λ=2πωεaμa==11∙1062,35∙8,85∙10-12∙4π∙10-7=196,1 м ε=1μ=1λ=2πωεaμa==11∙1061∙8,85∙10-12∙1∙4π∙10-7=300 м
β=2πλ=0,032β=k=2πλ=0.021Vф=2πƒβ=1,96∙108м/с Vф=ωβ=2πƒβ=3∙108м/с
z0=μaεa=1,257∙10-62,35∙8,85∙10-12=246 Омz0=μaεa=1,257∙10-61∙8,85∙10-12=377 ОмПср=12Пmax=12r0Em2z0=1∙0,48π22∙246=4,6∙10-3Bт/м2Пср=12Пmax=12r0Em2z0=1∙0,48π22∙377=3∙10-3Bт/м2 Вывод: Длина волны λ в полиэтилене меньше, чем в свободном пространстве, это связано с тем, что полиэтилен обладает большей относительной диэлектрической проницаемостью ε, и волновое числоβ вследствие этого больше в полиэтилене. Скорость фронта волны Vф больше в свободном пространстве и равна скорости света. Среднее значение вектора Пойтинга Пср больше в полиэтилене, это связано с тем, что он обладает меньшим волновым сопротивлением.
2.5. Плоская волна с вертикальной поляризацией надает на границу раздела сред с параметрами = 1, = 81. Определить величину угла Брюстера.
Из условия видно ε2>ε1, значит n2>n1,
Следовательно, угол БрюстераθБ=arctgμ2ε2μ1ε1=arctgn2n1θБ=arctgε2ε1=arctg811=arctg9=83,7°Вывод: большое значение угла Брюстера обусловлено большим отношением электрических проницаемостей веществ.
3. Линии передачи и колебательные системы.
3.1. Определить величину коэффициентов бегущей волны Кб, стоячей волны Кс и модуль коэффициента отражения Г, если волновое сопротивление линии передачи = 75 Ом, сопротивление нагрузки равно:
= 25 - i 75 Ом;
Решение:
Искомые коэффициенты относятся к вторичным параметрам длинных линий.
Кб=ZвZн; Кс=ZнZв; Г=Zн-ZвZн+Zв;Кб=7525-i75=7525+75i252-i2752=1875+i56256250=0,3+i0,9;Кc=25-i7575=0,33-i;Г=25-i75-7525-i75+75=-50-i75100-i75=0,04-0,72i;Вывод:
3.2. Изобразить структуру электромагнитного поля в коаксиальной линии.
Решение:
Электромагнитное поле в коаксиальной линии заключено в пространстве между центральным и внешним проводниками. При передаче по коаксиальной линии высокочастотной энергии по проводникам текут переменные токи, которые благодаря скин-эффекту сосредоточены в тонком слое металла (единицы микрометров), причем толщина этого слоя уменьшается с ростом частоты сигнала. Ток, возбуждаемый источником сигнала протекает по внутренней поверхности оплетки. Токи, создаваемые внешними источниками (помехи), протекают по наружной поверхности оплетки.

Магнитные силовые линии Эл. силовые линии
3.3. Изобразить структуру поля волны в прямоугольном волноводе.


3.4. Изобразить структуру поля колебания в прямоугольном резонаторе.

3.5. Определить размеры прямоугольного волновода, если электромагнитную энергию требуется передать основным типом колебаний в диапазоне частот 8,2-12,5ГГц.
Основной тип колебаний в прямоугольном волноводе является волна H10.Тогда, определим размеры волновода:
λкр=2ab≈a/2λсм=3*104f(мггц)Для частоты 8,2ГГц:
fммгц=8,2*103;λсм=3*1048,2*103=3.65;3,65=2a;a=1,82 см;Для частоты 12,5ГГц:
fммгц=12,5*103;λсм=3*10412,5*103=2,4;2,4=2a;a=1,2 см;Вывод: Таким образом, прямоугольному волноводу, что бы передать электромагнитную энергию основным типом колебаний в диапазоне частот 8,2-12,5ГГц нужно иметь размеры (в волноводе типа H10 коэффициентом b можно принебречь):
12мм<a<18,2 мм6мм<b<9,1мм3.6. Будет ли распространяться электромагнитная энергия по прямоугольному волноводу с размерами 22×10,5мм основным типом волны, если частота генератора принимает значения 3, 6 и 9ГГц?
Основной тип колебаний в прямоугольном волноводе является волна H10.a×b=22×10,5 (мм)Критическая волна длины в прямоугольном волноводе с типом волны H10:В волноводе типа H10 коэффициентом b можно принебречь.a<λ<2a, но на практике 1,1a<λ<1,8a m=1, n=0;Для частоты 3ГГц:
fммгц=3*103;λсм=3*1043*103=10;2,42<10<3,96 (см)
Вывод: Электромагнитная энергия с частотой 3ГГц в прямоугольном волноводе с типом волны H10 и размерами 22×10,5 (мм) распространяться не будет.
Для частоты 6ГГц:
fммгц=6*103;λсм=3*1046*103=5;2,42<5<3,96 (см)
Вывод: Электромагнитная энергия с частотой 6ГГц в прямоугольном волноводе с типом волны H10 и размерами 22×10,5 (мм) распространяться не будет.
Для частоты 9ГГц:

fммгц=9*103;λсм=3*1049*103=3,3;2,42<3,3<3,96(см)
Вывод: Электромагнитная энергия с частотой 9ГГц в прямоугольном волноводе с типом волны H10 и размерами 22×10,5 (мм) будет распространяться.

Приложенные файлы

  • docx 7879236
    Размер файла: 666 kB Загрузок: 3

Добавить комментарий