ТР_ЛинАлгАнГеомМс15


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
ФГБОУ

ВПО

Воронежский государственный технический

университетª


Кафедра прикладной математики

и механики







ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к типовому расчету

по дисциплине Математикаª разделу

“Линейная алгебра и аналитическая геометрия”

для студентов

направления
15.03.0
1


Машиностроение
ª

(
профиль 
Оборудование и технология сварочного
производства
ª
)

очной формы обучения
















Воронеж 20
1
5

1


Составители:


канд. физ.
-
мат. наук В.В. Горбунов,


канд. физ.
-
мат. наук
Т.И. Костина,




канд. техн. наук О.А. Соколова


УДК 517.2

(07)

Задания и методические указания к типовому расчету
по
дисциплине Математикаª разделу 
Линейная алгебра и
аналитическая геометрия
ª

для студентов направления 15.03.0
1


М
ашиностроение
ª
(
профиль Оборудование и технология
сварочного производстваª
)

очной формы обучения / ФГБОУ

ВПО Воронежский государственный технический
университетª; сост. В.В. Горбунов,
Т.И. Костина,
О.А.
Соколова. Воронеж, 201
5
.
3
6

с.


Методические указан
ия предназначены для активизации
самостоятельной работы студентов по высшей математике.
Они содержат тридцать вариантов индивидуальных домашних
заданий и решение типового варианта. Методические указания
предназначены для студентов первого курса.

Методическ
ие указания подготовлены в электронно
м
в
и
де

в текстовом редакторе MS WOR

2003

и содержатся в
файле “ТР
_
Л
ин
А
лг
А
н
Г
еомМс15
.df”.


Библиогр.: 6 назв.


Рецензент канд. физ.
-
мат. наук, доц.
А.А. Сидоренко


Ответственный за выпуск зав. кафедрой д
-
р
техн
. наук,
п
р
оф. В.И. Ряжских


Издается по решению редакционно
-
издательского совета

Воронежск
ого

государственн
ого

техническ
ого

университет
а





ФГБОУ

ВПО


Воронежский


государственный технический


университет
ª
, 20
1
5

1


Задание 1
.

Найти значение многочлена

от заданной матрицы
.


1.
, 2.
,

3.
, 4.
,

5.
, 6.
,

7.
, 8.
,


9.
, 10.
,

11.
,

12.
,

13.
, 14.
,

15.
, 16.
,

2


17.
, 18.
,


19.
, 20.
,

21.
, 22.
,

23.
, 24.
,

25.
, 26.
,

27.
, 28.
,

29.
, 30.
.


Задание 2.

Решить матричное уравнение.


1.
,

3


2.
,

3.
,

4.
,

5.
,

6.
,

7.
,

8.
,

9.
,

10.


,

4


11.
,

12.
,

13.
,

14.
,

15.
,

16.

,

17.
,

18.
,

19.
,

5


20.
,

21.
,

22.
,

23.
,

24.
,

25.
,

26.
,

27.
,

28.
,

6


29.
,

30.
.


Задание 3.

Решить систему линейных ура
внений 1
методом Крамера, 2 методом обратной матрицы, 3 методом
Г
а
усса.


1.



2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.


12.

7


13.



14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.


24.

25
.



26.

27.



28.

29.

30.


8


Задание 4.

Проверить, образуют ли векторы

a
,
b
,
c

б
а
зис.
Если образуют, то разложить вектор
d

по этому базису


1.
a

= {
-
2, 4, 7},
b

= {0, 1 ,2},
c


= {1, 0, 1},
d

= {
-
3, 5, 8}.

2.
a
={1, 12,
-
1},
b

={1, 3, 0},
c

={2,
-
1, 1},
d
={5, 26,
-
1}.

3.
a
={1,
-
4, 4},
b
={2, 1,
-
1},
c

={0, 3, 2},
d

={0,
-
4, 9}.

4.
a
={
-
9, 5, 5},
b

={4, 1, 1},
c

={2, 0,
-
3},
d

={
-
12,11, 8}.

5.
a

={
-
5,
-
1, 5},
b

={
-
2, 0, 1},
c

={4, 3,
-
1},
d

={
-
8, 1, 10}.

6.
a

={3, 1, 7},
b

={5, 1, 0},
c

={2,
-
4, 1},
d

={10,
-
2, 8}.

7.
a

={
-
9,
-
1, 7},
b

={0, 8, 1},
c

={
-
2,
0, 6},
d

={
-
11, 7, 13}.

8.
a

={3,
-
3, 4},
b

={1, 0, 2},
c

={0, 1, 1},
d

={4,
-
1, 8}.

9.
a

={3, 3,
-
1},
b

={3, 1, 0},
c

={
-
1, 2, 1},
d

={5, 8, 1}.

10.
a

={
-
1, 7,
-
4},
b

={
-
1, 2, 1},
c

={2, 0, 3},
d

={2, 9, 3}.

11.
a

={6,
-
1, 1},
b

={1,
-
2, 0},
c

={
-
1, 5, 3},
d

={12, 1, 5}.

12.
a

={
-
6, 1, 7},
b

={1,
-
2, 0},
c

={
-
1, 1, 3},
d

={
-
6, 0, 10}.

13.
a

={5, 15, 0},
b

={1, 0, 5},
c

={
-
1, 3, 2},
d

={10, 33, 7}.

14.
a

={2,
-
1, 11},
b

={1, 1, 0},
c

={0, 1,
-
2},
d

={5, 0, 20}.

15.
a

={11, 4,
-
3},
b

={1, 0, 2},
c

={
-
1, 0, 1},
d

={22, 8,
-
3}

16.
a

={8, 0, 5}
,
b

={2, 0, 1},
c

={1, 1, 0},
d

={27, 1, 16}.

17.

a

={3, 1, 8},
b
={0, 1, 3},
c
={1, 2,
-
1},
d
={10, 6, 26}.

18.

a

={8, 1, 12},

b
={1, 2,
-
1},
c
={3, 0, 2},
d
={12, 3, 13}.

19.

a

={1,
-
1,
-
3},
b
={1, 4, 1},
c
={
-
3, 2, 1},
d
={
-
3, 11, 1}.

20.

a

={1, 7, 10},
b
={3, 4 ,5}
,
c

= {4, 3, 4},
d
= {0, 8, 11}.

21.

a

={
-
1, 5, 6},
b
={0, 5, 1},
c
={3, 2,
-
1},
d
={2, 12, 6}

22.

a

={1, 0,
-
1},
b
={1, 3, 0},
c
={2,
-
1, 1},
d
={2, 2, 2}.

23.

a

={2,
-
4,
-
3},
b
={2, 1, 4},
c
={1,
-
1, 0},
d
={7,
-
8,
-
2}.

24.

a

={
-
2, 4, 3},
b
={2, 1, 4},
c
={1,
-
1, 0},
d
={7,
-
8,
-
2}.

25.

a

={
-
1, 7, 0},
b
={1,
-
1, 2},
c
={3, 2, 0},
d
={3, 8, 2}.

26.

a

={1,
-
7, 0},
b
={1,
-
1, 2},
c
={3, 2, 0},
d
={5,
-
6, 2}.

9


27.

a

={3, 1, 7},
b
={5, 1, 0},
c
={2,
-
4, 1},
d
={6, 6, 6}.

28.

a

={0,
-
6, 7},
b
={0,
-
2, 1},
c
={3, 1,
-
1},
d
={
-
3,
-
9, 9}.

29
.

a

={1, 1, 9},
b
={0, 4, 1},
c
={3,
-
1, 1},
d
={4, 4, 11}.

30.

a

={1, 1, 8},
b
={0, 3, 1},
c
={3, 0, 1},
d
={4, 4, 10}.


Задание
5
.
Коллинеарны ли векторы
с
1

и
с
2
,
построенные по векторам
a

и
b
?


1.
a
={1,
-
2,3},
b
={3,0,
-
1},
c
1
=2
a
+4
b
,
c
2
=3
b
-
a
.

2.
a
={1,0,1},
b
={
-
2,3,5},
c
1
=
a
+2
b
,
c
2
=3
a
-
b
.

3.
a
={
-
2,4,1},
b
={1,
-
2,7},
c
1
=5
a
+3
b
,
c
2
=2
a
-
b
.

4.
a
={1,2,
-
3},
b
={2,
-
1,
-
1},
c
1
=4
a
+3
b
,
c
2
=8
a
-
b
.

5.
a
={3,5,4},
b
={5,9,7},
c
1
=
-
2
a
+
b
,
c
2
=3
a
-
2
b
.

6.
a
={1,4,
-
2},
b
={1,1,
-
1},
c
1
=
a
+
b
,
c
2
=4
a
+2
b
.

7.
a
={1,
-
2,5},
b
={3,
-
1,0},
c
1
=4
a
-
2
b
,
c
2
=
b
-
2
a
.

8
.


a
=
{3,4,
-
1},
b
={2,
-
1,1},
c
1
=6
a
-
3
b
,
c
2
=
b
-
2
a
.

9.
a
={
-
2,
-
3,
-
2}
b
={1,0,5},
c
1
=3
a
+9
b
,
c
2
=3
b
-
6
a
.

10.
a
={
-
1,4
,2},
b
={3,
-
2,6},
c
1
=2
a
-
b
,
c
2
=3
b
-
6
a
.

11.
a
={5,0,
-
1},
b
={7,2,3},
c
1
=2
a
-
b
,
c
2
=3
b
-
6
a
.

12.
a
={0,3,
-
2},
b
={1,
-
2,1},
c
1
=5
a
-
2
b
,
c
2
=3
a
+5
b
.

13.
a
={
-
2,7,
-
1},
b
={
-
3,5,2},
c
1
=2
a
+3
b
,
c
2
=3
a
+2
b
.

14.
a
={3,7,0},

b
={1,
-
3,4},
c
1
=4
a
-
2
b
,
c
2
=
b
-
2
a
.

15.
a
={
-
1,2,
-
1},
b
={2,
-
7,1},
c
1
=6
a
-
2
b
,
c
2
=
b
-
3
a
.

16.
a
={7,9,
-
2},
b
={5,4,3},
c
1
=4
a
-
b
,
c
2
=4
b
-
a
.

17.
a
={5,0,
-
2},
b
={6,4,3},
c
1
=5
a
-
3
b
,
c
2
=6
b
-
10
a
.

18.
a
={8,3,
-
1},
b
=
{4,1,3},
c
1
=2
a
-
b
,
c
2
=2
b
-
4
a
.

19.
a
={3,
-
1 6},
b
={5,7,10},
c
1
=4
a
-
2
b
,
c
2
=
b
-
2
a
.

20.
a
={1,
-
2,4},
b
={7,3,5},
c
1
=6
a
-
3
b
,
c
2
=
b
-
2
a
.

21.
a
={3,7,0},
b
={4,6,
-
1},
c
1
=3
a
+2
b
,
c
2
=5
a
-
7
b
.

22.
a

{2,
-
1,4},
b
={3,
-
7,
-
6},
c
1
=2
a
-
3
b
,
c
2
=3
a
-
2
b
.

23.
a
={5,
-
1,
-
2},
b
={6,0,7},
c
1
=3
a
-
2
b
,
c
2
=4
b
-
6
a
.

24.
a
={
-
9,5,3},
b
={7,1,
-
2},
c
1
=2
a
-
b
,
c
2
=3
a
+5
b
.

25.
a
={4,2,9},
b
={0,
-
1,3},
c
1
=4
b
-
3
a
,
c
2
=4
a
-
3
b
.

26.
a
={2,
-
1,6},
b
={
-
1,3,8},

c
1
=5
a
-
2
b
,
c
2
=2
a
-
5
b
.

10


27.
a
={5,0,8},
b
={
-
3,1,7},
c
1
=3
a
-
4
b
,
c
2
=12
b
-
9
a
.

28.
a
={
-
1,3,4},
b
={2,
-
1,0},
c
1
=6
a
-
2
b
,
c
2
=
b
-
3
a
.

29.
a
{4,2,
-
7},
b
={5,0,
-
3},
c
1
=
a
-
3
b
,
c
2
=6
b
-
2
a
.

30.
a
={2,0,
-
5},
b
={1,
-
3,4},

c
1
=2
a
-
5
b
,
c
2
=5
a
-
2
b
.


Задание
6
.
Даны точки
А
,
В
,
С
. Найти косинус угла
между векторами


и
.


1.



A

(1,
-
2,3),

B

(0,
-
1,2),


C

(3,
-
4,5).

2.




А
(0,
-
3,6),

В
(
-
12,
-
3,
-
3),
С
(
-
9,
-
3,
-
6).

3.


А
(3,3,
-
1),

В
(5,5,
-
2),


С
(4,1,1).

4.


А
(
-
1,2,
-
3),

В
(3,4,
-
6),


С
(1,1,
-
1).

5.


А
(
-
4,
-
2,0),

В
(
-
1,
-
2,4),

С
(3,
-
2,1).

6.




А

(5,3,
-
1),


В
(5,2,0),


С

(6,4,
-
1).

7.


А
(
-
3,
-
7,
-
5),
В
(0,
-
1,
-
2),


С
(2,3,0).

8.


А
( 2,
-
4,6),


В
(0,
-
2,4
),



С
(6,
-
8,10).

9.



А
(0,1,
-
2),
В
(3,1,2),


С
(4,1,1).

10.
А
(3,3,
-
1),
В
(1,5,
-
2),
С
(4,1,1).

11. .
А
(2,1,
-
1),
В
(6,
-
1,
-
4),
С
(4,2,1).

12.
А
(
-
1,
-
2,1),
В
(
-
4,
-
2,5),
С
(
-
8,
-
2,2).

13.
А
(6,2,
-
3),
В
(6,3,
-
2),
С
(7,3,
-
3).

14.
А
(0,0,4),



В
(
-
3,
-
6,1),
С
(
-
5,
-
10,
-
1).

15.
А
(2,
-
8,
-
1),


В
(4,
-
6,0),
С
(
-
2,
-
5,
-
1).

16.
А
(3,
-
6,9),
В
(0,
-
3,6),
С
(9,
-
12,15).

17.
А
(0,2,
-
4),
В
(8,2,2),


С
(6,2,4).

18.
А
(3,3,
-
1),
В
(5,1,
-
2),
С
(4,1,1).

19.
А
(
-
4,3,0),

В
(0,1,3),
С
(
-
2,4,
-
2).

20.
А
(1,
-
1,0),
В
(
-
2,
-
1,4),
С
(8,
-
1,
-
1).

21.
А
(7,0,2),
В
(7,1,3),
С
(8,
-
1,2).

22.
А
(2,3,2),
В
(
-
1,
-
3,
-
1),
С
(
-
3,
-
7,
-
3).

23.
А
(2,2,7),
В
(0,0,6),
С
(
-
2,5,7).

24.
А
(
-
1,2,
-
3
),


В
(0,1,
-
2),
С
(
-
3,4,
-
5).

25.
А
(0,3,
-
6),
В
(9,3,6),
С
(12,3,3).

26.
А
(3,3,
-
1),
В
(5,1,
-
2),
С
(4,1,
-
3).

27.
А
(
-
2,1,1),
В
(2,3,
-
2),
С
(0,0,3).


11


28.
А
(1,4,
-
1),
В
(
-
2,4,
-
5),
С
(8,4,0).

29.
А
(0,1,0),
В
(0
,2,1),

С
(1,2,0).

30.
А
(
-
4,0,4),
В
(0,2,
-
4),
С
(
-
6,8,
-
10).


Задание
7
.

Вычислить площадь параллелограмма,
построе
н
ного на векторах
a

и
b
.


1.

a
=
p
+2
q
;
b
=3
p
-
q
; |
p
|=1; |
q
|=2; (
p
^
q
)=
;

2.
a
=3
p
+
q
;
b
=
p
-
2
q
; |
p
|=4; |
q
|=1; (
p
^
q
)=
;

3.
a
=
p
-
3
q
;
b
=
p
+2
q
; |
p
|=1/5; |
q
|=1; (
p
^
q
)=
;

4.
a
=3
p
-
2
q
;
b
=
p
+5
q
; |
p
|=4; |
q
|=1/2; (
p
^
q
)=
;

5.
a
=
p
-
2
q
;
b
=2
p
+
q
; |
p
|=2; |
q
|=3;

(
p
^
q
)=
;

6.
a
=
p
+3
q
;
b
=
p
-
2
q
; |
p
|=2; |
q
|=3; (
p
^
q
)=
;

7.
a
=2
p
-
q
;
b
=
p
+3
q
; |
p
|=3; |
q
|=2; (
p
^
q
)=
;

8.
a
=4
p
+
q
;
b
=
p
-
q
; |
p
|=7; |
q
|=2; (
p
^
q
)=
;

9.
a
=
p
-
4
q
;
b
=3
p
+
q
; |
p
|=1; |
q
|=2; (
p
^
q
)=
;

10.
a
=
p
+4
q
;
b
=2
p
-
q
; |
p
|=7; |
q
|=2; (
p
^
q
)=
;

11.
a
=3
p
+2
q
;
b
=
p
-
q
; |
p
|=10; |
q
|=1; (
p
^
q
)=
;

12.
a
=4
p
-
q
;
b
=
p
+2
q
; |
p
|=5; |
q
|=4; (
p
^
q
)=
;

13.
a
=2
p
+3
q
;
b
=
p
-
2
q
; |
p
|=6; |
q
|=7; (
p
^
q
)=
;

14.
a
=3
p
-
q
;
b
=
p
+2
q
; |
p
|=3; |
q
|=4; (
p
^
q
)=
;

15.
a
=2
p
+3
q
;
b
=
p
-
2
q
; |
p
|=2; |
q
|=3; (
p
^
q
)=
;

16.
a
=2
p
-
3
q
;
b
=3
p
+
q
; |
p
|=4; |
q
|=1; (
p
^
q
)=
;

17.
a
=5
p
+
q
;
b
=
p
-
3
q
; |
p
|=1; |
q
|=2; (
p
^
q
)=
;

18.
a
=7
p
-
2
q
;
b
=
p
+3
q
; |
p
|=1
/2; |
q
|=2; (
p
^
q
)=
;

19.
a
=6
p
-
q
;
b
=
p
+
q
; |
p
|=3; |
q
|=4; (
p
^
q
)=
;

20.
a
=10
p
+
q
;
b
=3
p
-
2
q
; |
p
|=4; |
q
|=1; (
p
^
q
)=
;

21.
a
=6
p
-
q
;
b
=
p
+2
q
; |
p
|=8; |
q
|=1/2; (
p
^
q
)
=
;

22.
a
=3
p
+4
q
;
b
=
q
-
p
; |
p
|=2,5 |
q
|=2; (
p
^
q
)=
;

23.
a
=7
p
+
q
;
b
=
p
-
3
q
; |
p
|=3; |
q
|=1; (
p
^
q
)=
;

12


24.
a
=
p
+3
q
;
b
=3
p
-
q
; |
p
|=3; |
q
|=5; (
p
^
q
)=
;

25.
a
=3
p
+
q
;
b
=
p
-
3
q
; |
p
|=7; |
q
|=2; (
p
^
q
)=
;

26.
a
=5
p
-
q
;
b
=
p
+
q
; |
p
|=5; |
q
|=3; (
p
^
q
)=
;

27.
a
=3
p
-
4
q
;
b
=
p
+3
q
; |
p
|=2; |
q
|=3; (
p
^
q
)=
;

28.
a
=6
p
-
q
;

b
=5
q
+
p
; |
p
|=1/2 |
q
|=4; (
p
^
q
)=
;

29.
a
=2
p
+3
q
;
b
=
p
-
2
q
; |
p
|=2; |
q
|=1; (
p
^
q
)=
;

30.
a
=2
p
-
3
q
;
b
=5
p
+
q
; |
p
|=2; |
q
|=3; (
p
^
q
)=
;


Задание
8
.

Компланарны ли векторы
a
,
b

и

c
.



1.
a
={2,3,1};
b
={
-
1,0,
-
1};
c
={2,2,2}.

2.
a
={3,2,1};
b
={2,3,4};
c
={3,1,
-
1}.

3.
a
={1,5,2};
b
={
-
1,1,
-
1};
c
={1,1,1}.

4.
a
={1,
-
1,
-
3};
b
={3,2,1};

c
={2,3,4}.

5.
a
={3,3,1};
b
={1,
-
2,1};
c
={1,1,1}.

6.
a
={3,1,
-
1};
b
={
-
2,
-
1,0};
c
={5,2,
-
1}.

7.
a
={4,3,1};
b
={1,
-
2,1};
c
={2,2,2}.

8.
a
={4,3,1};
b
={6,7,4};

c
={2,0,
-
1}.

9.
a
={3,2,1};
b
={1,
-
3,
-
7};
c
={1,2,3}.

10.
a
={3,7,2};
b
={
-
2,0,
-
1};
c
={2,2,1}.

11.
a
={1,
-
2,6};
b
={1,0,1};
c
={2,
-
6,17}.

12.
a
={6,3,4};
b
={
-
1,
-
2,
-
1};
c
={2,1,2}.

13.
a
={7,3,4};
b
={
-
1,
-
2,
-
1};
c
={4,2,4}.

14.
a
={2,3,2};
b
={4,7,5};
c
={2,0,
-
1}.

15.
a
={5,3,4};
b
={
-
1,0,
-
1};
c
={4,2,4}.

16.
a
={3,10,5};
b
={
-
2
,
-
2,
-
3};
c
={2,4,3}.

17.
a
={
-
2,
-
4,
-
3};
b
={4,3,1};
c
={6,7,4}.

18.
a
={3,1,
-
1};
b
={1,0,
-
1};
c
={8,3,
-
2}.

19.
a
={4,2,2};
b
={
-
3,
-
3,
-
3};
c
={2,1,2}.

20.
a
={4,1,2};
b
={9
,2,5};
c
={1,1,
-
1}.

21.
a
={5,3,4};
b
={4,3,3};
c
={9,5,8}.

22.
a
={3,4,2};
b
={1,1,0};
c
={8,11,6}.

23.
a
={4,
-
1,
-
6};
b
={1,
-
3,
-
7};
c
={2,
-
1,
-
4}.

24.
a
={3,1,0};

b
={
-
5,
-
4,
-
5};
c
={4,2,4}.

13


25.
a
={3,0,3};
b
={8,1,6};
c
={1,1,
-
1}.

26.
a
={1,
-
1,4};
b
={1,0,3};
c
={1,
-
3,
-
8}.

27.
a
={6,3,4};
b
={
-
1,
-
2,
-
1};
c
={2,1,2}.

28.
a
={4,1,1};

b
={
-
9,
-
4,
-
9};
c
={6,2,6}.

29.
a
={
-
3,3,3};
b
={
-
4,7,6};
c
={3,0,
-
1}.

30.
a
={
-
7,
-
10,
-
5};
b
={0,
-
2,
-
1};
c
={
-
2,4,
-
1}.


Задание
9
.

Даны точки

А
1
,

А
2
,

А
3

и

А
4
.

Найти длину
о
т
резка
А
1
А
2
, площадь треугольни
ка
А
1
А
2
А
3
,

длину высоты

треугольника
А
1
А
2
А
3
,

длину м
е
дианы
А
1

треугольника
А
1
А
2
А
3

,
координаты точки
, делящей отрезок
А
2
А
3

в
отношении 1:2, в
ычислить объем тетраэдра
А
1
А
2
А
3
А
4

и его
высо
ту, опущенную из вершины
А
4

на грань
А
1
А
2
А
3
.


1.
A
1
(1,3,6),
A
2
(2,2,1),
A
3
(
-
1,0,1),
A
4
(
-
4,6,
-
3).

2.
A
1
(
-
4,2,6),
A
2
(2,
-
3,0),
A
3
(
-
10,5,8),
A
4
(
-
5,2,
-
4).

3.
A
1
(7,2,4),
A
2
(7,
-
1,
-
2),
A
3
(3,3,1),
A
4
(
-
4,2,1)
.

4.
A
1
(2,1,4),
A
2
(
-
1,5,
-
2),
A
3
(
-
7,
-
3,2),
A
4
(
-
6,
-
3,6).

5.
A
1
(
-
1,
-
5,2),
A
2
(
-
6,0,
-
3),
A
3
(3,6,
-
3),
A
4
(
-
10,6,7).

6.
A
1
(0,
-
1,
-
1),
A
2
(
-
2,3,5),
A
3
(1,
-
5,
-
9),
A
4
(
-
1,
-
6,3).

7.
A
1
(5,2,0),
A
2
(2,5,0),
A
3
(1,2,4
),
A
4
(
-
1,1,1).

8.
A
1
(2,
-
1,
-
2),
A
2
(1,2,1),
A
3
(5,0,
-
6),
A
4
(
-
10,9,
-
7).

9.
A
1
(
-
2,0,
-
4),
A
2
(
-
1,7,1),
A
3
(4,
-
8,
-
4),
A
4
(1,
-
4,6).

10.
A
1
(14,4,5),
A
2
(
-
5,
-
3,2),
A
3
(
-
2,
-
6,
-
3),
A
4
(
-
2,2,
-
1).

11.
A
1
(1,2,0),
A
2
(3,0,
-
3)
,
A
3
(5,2,6),
A
4
(8,4,
-
9).

12.
A
1
(2,
-
1,2),
A
2
(1,2,
-
1),
A
3
(3,2,1),
A
4
(
-
4,2,5).

13.
A
1
(1,1,2),
A
2
(
-
1,1,3),
A
3
(2,
-
2,4),
A
4
(
-
1,0,
-
2).

14.
A
1
(2,3,1),
A
2
(4,1,
-
2),
A
3
(6,3,7),
A
4
(7,5,
-
3).

15.
A
1
(1,1,
-
1),

A
2
(2,3,1),
A
3
(3,2,1),
A
4
(5,9,
-
8).

16.
A
1
(1,5,
-
7),
A
2
(
-
3,6,3),
A
3
(
-
2,7,3),
A
4
(
-
4,8,
-
12).

17.
A
1
(
-
3,4,
-
7),
A
2
(1,5,
-
4),
A
3
(
-
5,
-
2,0),
A
4
(2,5,4).

18.
A
1
(
-
1,2,
-
3),
A
2
(4,
-
1,0),
A
3
(2,1,
-
2),
A
4
(3,4,5).

14


19
.
A
1
(4,
-
1,3),
A
2
(
-
2,1,0),
A
3
(0,
-
5,1),
A
4
(3,2,
-
6).

20.
A
1
(1,
-
1,1),
A
2
(
-
2,0,3),
A
3
(2,1,
-
1),
A
4
(2,
-
2,
-
4).

21.
A
1
(1,2,0),
A
2
(1,
-
1,2),
A
3
(0,1,
-
1),
A
4
(
-
3,0,1).

22.
A
1
(1,0,2),
A
2
(1,2,
-
1),
A
3
(2,
-
2,1),

A
4
(2,1,0).

23.
A
1
(1,2,
-
3),
A
2
(1,0,1),
A
3
(
-
2,
-
1,6),
A
4
(0,
-
5,
-
4).

24.
A
1
(3,10,
-
1),
A
2
(
-
2,3,
-
5),
A
3
(
-
6,0,
-
3),
A
4
(1,
-
1,2).

25.
A
1
(
-
1,2,4),
A
2
(
-
1,
-
2,
-
4),
A
3
(3,0,
-
1),
A
4
(7,
-
3,1).

26.
A
1
(0,
-
3,1),
A
2
(
-
4,1,2),

A
3
(2,
-
1,5),
A
4
(3,1,
-
4).

27.
A
1
(1,3,0),
A
2
(4,
-
1,2),
A
3
(3,0,1),
A
4
(
-
4,3,5).

28.
A
1
(
-
2,
-
1,
-
1),
A
2
(0,3,2),
A
3
(3,1,
-
4),
A
4
(
-
4,7,3).

29.
A
1
(
-
3,
-
5,6),
A
2
(2,1,
-
4),
A
3
(0,
-
3,
-
1),
A
4
(
-
5,2,
-
8).

30.
A
1
(2,
-
4,
-
3),
A
2
(5,
-
6,0),


A
3
(
-
1,3,
-
3),


A
4
(
-
10,
-
8,7).


Задание
1
0
.

Даны уравнения двух плоскостей
,

и
координаты точки
. Найти угол между плоскостями, отрезки,
отсекаемые плоскостью

на координатных осях, уравнение
пло
скости, параллельной плоскости
, и проходящей ч
е
рез
точку
, канонические уравнения

прямой, являющейся линией
п
е
ресечения плоскостей
,
, уравнение плоскости,
проходя
щей через точку

и линию пересечения плоскостей
,
.


1. 3
x
+2
y
+
z
-
6=0, 5
x
+
y
-
z
-
7
=0,


.

2.
x
-
2
y
+3
z
-
1=0, 2
x
-
y
-
3
=0,


.

3. 2
x
-
3
y
-
z
-
5=0,
x
+
4
y
+
z
-
3=0,


.

4.
x
+4
y
-
2
z
-
1=0, 5
x
+
y
-
z
-
2=0,


.

5.
3
x
-
2
y
-
4
=0,
2
x
+
y
-
z
-
5
=0
,


.

6.
2
x
+
y
-
5
z
-
3
=0,
3
x
-
y
+2
z
-
5
=0,
.

7.
7
x
+
y
-
z
-
7
=0,
2
x
-
3
y
+
z
-
6
=0,


.

15


8.
8
x
-
5
y
-
8
=0,
4
x
+3
y
-
z
-
7
=0,


.

9.
2
x
+3
y
-
z
-
5
=0,
3
x
-
y
+
z
-
2
=0,




.

10.
6
x
+2
y
+
z
-
3
=0,
x
-
y
+5
z
-
4
=0,




.

11.
4
y
+3
z
-
7
=0,
x
+2
y
+3
z
-
5
=0,



.

12.
5
x
+
2
y
-
3
=0,
2
x
+4
y
-
z
+2
=0,



.

13.
7
x
-
y
+
z
-
6
=0,
3
x
+2
y
-
5
=0,


.

14.
5
x
+
3
y
-
2
z
-
2
=0,
3
x
-
y
+
4
z
-
4
=0,
.

15.
3
x
+
5
y
-
z
-
2
=0,
x
-
y
+
4
z
+2
=0,


.

16.
3
x
-
3
y
+
z
-
2
=0,
2
x
+5
y
-
4
z
+1
=0,
.

17. 4
x
-
y
+
z
-
4
=0,
2
x
+3
y
-
z
-
4
=0,


.

18.
5
x
-
y
+2
z
-
4
=0,
3
x
+
y
+2
z
-
2
=0,


.

19. 3
x
-
2
y
+
z
-
2
=0,
3
x
+2
y
-
z
-
4
=0,

.

20.
x
+
y
+3
z
-
3
=0,
3
x
+
z
-
7
=0,


.

21.
2
x
+
y
-
z
-
2
=0,
3
x
+
y
-
1
=0,


.

22.
3
x
+
5
y
-
z
-
6
=0,
x
+
y
-
2
z
+2
=0,


.

23.
2
x
-
2
y
+
z
-
3
=0,
3
x
+
y
-
3
z
-
4
=0,


.

24.
3
x
+
y
-
2
z
-
4
=0,
2
x
-
y
+
z
-
4
=0,


.

25.
4
x
-
z
-
3
=0,
2
x
+
y
+2
z
-
1
=0,


.

26.
2
x
+
y
+3
z
-
4
=0,
2
y
+
z
-
7
=0,


.

27.
5
x
-
y
+
z
-
5
=0,
2
x
+
z
-
3
=0,


.

28.
3
x
-
y
+
2
z
-
5
=0,
3
x
-
y
-
2
=0,

.

29.
4
x
+
y
-
2
z
+
1
=0,
3
x
+
y
-
z
=0,


.

30.
3
x
+3
y
-
z
-
1=0, 2
x
+
y
+
z
-
1
=0,

.


Задание
1
1
.

Даны две прямые
,

и пло
с
кость
.
Найти угол между прямой

и плоскостью
, уравнение
плоскости, проходящей через прямую

параллельно прямой
, коорд
и
наты точки пересечения прямой

и плоскости
.


16


1
.


2
x
-
3
y
+2
z
-
2=0.

2.



x
+
y
-
z
-
1
2=0.

3.





2
x
-
3
y
+
z
-
3
=0.

4.



2
x
-
y
-
4=0
.

5.




x
-
3
y
-
2
z
+11
=0.

6.



2
x
+3
y
+
z
=
11
.

7.




x
-
3
y
-
2
z
+
3
=0.

8.




x
-
y
+
z
-
5
=0.

9.




2
x
+3
y
-
1
3
z
+
6
=0.

10.


x
-
y
+
z
=0.

11.




3
x
-
2
y
+
z
-
1=0.

12.


x
+
2
y
-
2
z
+9
=0.

13.



3
x
-
2
y
+5
z
-
18
=0.

17


14.




2
x
+3
y
-
z
-
6
=0.

15.


x
+
y
+
z
-
4=0.

16.


2
x
+
3
y
+
z
+1
=0.

17.



x
+
y
-
z
-
6
=0.

18.



2
x
-
y
+
3
z
=0.

19.


5
x
+7
y
-
z
+
11
=0.

20.



3
x
+
2
y
-
z
+1=0.

21.


2
x
+
y
-
2
z
+
5
=0.

22.



5
x
-
y
+2
z
-
3
=0.

23.



3
x
-
2
y
-
5
z
+2
=0.

24.



x
+
2
y
-
z
-
1
=0.

25.


x
+
2
y
-
3
z
-
5
=0.

26.


2
x
-
y
+
z
-
2
=0.

18


27.


x
+
y
-
z
=
6
.

28.


2
x
+
y
-
z
-
5
=0.

29.


3
x
-
y
+2
z
+1=0.

30.


x
+3
y
-
2
z
-
7=0.


Задание

1
2
.

Пр
ивести общее уравнение кривой
к
каноническому виду и построить полученную кривую.


1.
;

2.

;

3.
;

4.
;

5.
;

6.
;

7.
;

8.
;

9.

10.
;

11.
;

12.
;

13.
;

14.
;

19


15.
;

16.
;

17.
;

18.
;

19.
;

20.
;

21.
;

22.
;

23.
;

24.
;

25.
;

26.
;

27.
;

28.
;

29.
;

30.
.


20


ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ


Задание 1.

Найти значение многочлена

от задан
ной матрицы
.

Решение.

Вычислим квадрат матрицы
:


.

Найдем значение матричного выражения
:

.

Найдем значение матричного многочлена
:

+
=




21


Задание 2.

Решить матричное уравнение.

.

Решение.

Преобразуем матричное уравнение к
приведенному виду


, или

.

Найдем обратную матрицу

для мат
рицы
. Вычислим определитель

матрицы
.


.

Для матрицы

найдем присоединенную матрицу
,
составленную из алгебраических дополнений элементов
матр
и
цы
:


.

Вычисляем элементы обратной матрицы:

22


=
.

После умножения слева матричного уравнения

приведе
н
ного вида на матрицу

получаем

=
=

.


Задание 3.

Решить систему линейных уравнений

1 методом Крамера, 2 методом обратной матрицы, 3
методом Гау
с
са.

Решение.

Решим систему

методом

Крамера. Вычислим
главный определитель системы:

=
=

.

23


Определ
и
тель си
стемы

отличен от нуля,
следовательно, си
с
тема имеет единственное решение.

Вычисляем определители

;
;



Используя формулы Крамера, имеем:

,
,
.

Решим

систем
у

линейных уравнений применим метод
обратной матрицы

матричны
й

методом.


Определитель системы:

=
,

следовательно, матрица системы имеет обратную матр
и
цу.

Для ее вычисления найдем алгебраические д
о
полнения:











24


В результате имеем:
.

Используя формулу
, находим решение
сист
е
мы


x
=1;
y
=1;
z
=1.

Решим систему уравнений методом Гаусса. Выпишем
расширенную матрицу системы:

.

Умножаем каждый элемент 1
-
й строки на
-
4 и
складываем со 2
-
й строкой. Умножаем ка
ж
дый элемент 1
-
й
строки на
-
3 и складываем с 3
-
й стро
кой. Получ
а
ем:

.

Умножаем каждый элемент 2
-
й строки на 
 и
складываем с 3
-
й строкой. Пол
у
чаем:


. После
д
няя строка означает, что
, т.е.
. С
овершая обратный ход, из второго
25


уравнения

получаем
. Из первого
ура
в
нения

получаем
.


Задание 4.

Проверить, образуют ли векторы
a
,

b
,
c

базис. Если образуют, то разложить
вектор
d

по этому б
а
зису

Решение.

Три вектора образуют б
азис в

трехмерном
пространстве,
если эти векторы некомпланарны
, т. е.
выполняется условие

равенств
а

нулю их смешанн
о
го
произведения. Тогда

(
a
b
,
c
)

Следовательно, векторы
a
,
b
,
c


образуют базис в
пр
о
странстве.

Найдем координаты вектора
d

в базисе

a
,
b
,
c

, т.е.
вычислим коэффициенты координаты

в векторном
равенстве
d
=
a
+
b
+
c
.
Проецируя данное векторное
раве
н
ство на координатные оси, получаем систему линейных
уравнений о
т
носительно координат
:

.

Решая систему любым и
з ранее перечисленных методов,
им
е
ем

Таким образом, вектор
d

в базисе векторов
a
,
b
,
c

выражается следующим образом:
d
=2
a
+
b
+4
c
. или

d

.


Задание
5
.

Коллинеарны ли векторы

с
1

и
с
2
, построенные
по векторам
a
={2,
-
7,3}

и
b
={1,5,
-
8}
, если

c
1
=4
a
-
b
,
c
2
=
b
+3
a

?

Решение
.

Найдем

декартовы

координаты векторов
с
1

и
с
2
:

26




c
1
=

4
a
-
b

=
{
;
;
}={7
;
-
33;4
}
.



c
2
=
b
+3
a

=

{
;
;
}={7
;
-
16;1
}
.

Условием колинеарности векторов является
пропорциональность пр
оекций векторов. Поскольку
, то векторы

не коллинеарны.


Задание 6
.
Найти косинус угла между векторами


и


, если известны координаты точек
A
(4,
-
2, 8),
B
(1,
-
1, 0),
C
(2,
-
7, 9).

Решение
.

Найдем координаты векторов

и


:

;

.

Косинус угла между векторами


Задание 7
.

Вычислить площа
дь параллелограмма,
построе
н
ного на векторах
a
=
p
-
3
q

и
b
= 2
p
+
q,
где |
p
|=5,
|
q
|=3, (
p
^
q
 π /6.

Решение.

Площадь параллелограмма есть модуль
ве
к
торного произведения векторов
a
и

b
.

Составим векторное произведение


a
b

=
(
p
-
3
q
)

(2
p
+
q
)

=
2
p
p
+
p
q
-

-
6
q
p
-
3
q
q

=
7
p
q
.


Найдем модуль вект
орного произведения, т.е. площадь
пара
л
лелограмма:

7

|
p
q
| =
7

|
p
| |
q
|
sin
(
p
^
q
) =

= 52,5.

27


Задание
8
.
Компланарны ли векторы
a
={3,
-
3, 1},
b
=
{
-
2,
0,
-
9},
c
={1, 7,
-
2}
?

Решение.

Если вектора компланарны, то их смешанное
прои
з
ведение равно нулю. Составим смешанное произведение
для вект
о
ров

а
,
b

и
c
.

(
a
b
,
c
) =

=
=
= 189+39
-
14 = =214

0.

Следовательно, вектора не комплана
р
ны.


Задание
9
.

Даны точки



и

Найти длину отрезка

, косинус угла
,
площадь тр
е
угольника
, длину высоты

треугольника
, длину медианы

треугольника
, к
о
ординаты
точки
, делящей отрезок

в отношении 1:2, объем
тетр
а
эдра
.

Решение.
Найдем координаты вектора
AB
.

1 Длина вектора
AB

совпа
дает с расстоянием
между точками

и
:


Для нахождения косинуса угла

находим координ
а
ты
векторов
BC

и
BA

Определим косинус
угла между векторами, используя скалярное произв
е
дение:

cos

φ
=
.

Площадь треугольника

равна половине площади
параллелограмма, построенного на векторах
BA

и
BC
. Площадь параллелограмма будем искать как
28


модуль векторного произведения векторов. Векторное
прои
з
ведение векторо
в
BA

и

BC

равно

BA
BC

Следовательно,

кв. ед..

Длина высоты

треугольника

может быть на
й
дена
по известной площади треугольника и длине основания отрезка
):
.

Для нахождения длины медианы

требуется найти
координаты середины отрезка
, т.е. точки
:

,
,
.

Длина медианы

равна

.

Координаты точки
, делящие отрезок

в отношении
, равны

,

,

.

29


Объем пирамиды

равен

части объема
паралл
е
лепипеда, построенного на векторах
AB
,
AC
,
AD
. Находим
смешанное произвед
е
ние
этих векторов
(
AB
AC
,
AD
)
=

Имеем
.


Задание
10
. Даны уравнения двух плоскостей
:
,
:

и коорд
и
наты точки
.
Найти угол между плоскостями, отрезки, отс
е
каемые
плоскостью

на координатных осях, уравнение плоскости,
параллельной плоскости
, и проходящей ч
е
рез точку
,
канонические уравнения прямой, являющейся линией
перес
е
чения плоскостей
,
, уравнение плоскости,
проходящей через точку

и линию перес
е
чения плоскостей
,
.

Решение.

Укажем векторы нормали к плоск
о
стям:
n
1
,
n
1
. Косинус угла между плоскостями может быть найден
с помощью скалярного произведения векторов норм
а
лей


cos

φ
=(
n
1
,

n
1
)/|

n
1

|·|
n
1
|=

.

Для нахождения отрезков, отсекаемых пло
скостью

на
координатных осях, необходимо перейти от уравнения пло
с
кости
общего вида

к уравнению плоскости в отрезках:
30



или
. Отрезки, отс
е
каемые плоскость

по осям


, равны соответс
т
венно


.

Уравнение плоскости, проходящей через точку

параллельно плоскости

(
, записывается с
использованием вектора нормали
n
1

плоскости

как
вектора нормали искомой плоскости
:


или
.

Найдем канонические уравнения прямой
-

линии
пересечения плоскостей

и
. Опишем прямую как
геометр
и
ческое место точек, одновременно принадлежащих
каждой из плоскостей, т.е. в виде системы


Направляющий вектор
q

прямой находится как
векто
р
ное произведение векторов нормалей

q
=
n
1
n
1
.

Для нахождения точки
, принадлежащей прямой,
положим
. Тогда для определения

и

получаем
си
с
тему


31


Решение системы дает
,
. Канонические
уравнения прямой

в данном случае
имеют вид:

.

Уравнение плоско
сти, содержащей точку

и
прямую
, получается с помощью вектора
нормали
n
1

к искомой плоскости, который может быть

в
ы
числен как векторное произведение направляющего вектора
q

и вектора
QM
:

n
1
=
q
QM
.

Искомое уравнение плоскости имеет вид


или
.


Задание
11
. Даны две прямые

(
),


(

 и плоскость

(

).
Найти угол между прямой

и плоскостью
, уравнение
плоскости, проходящей через пр
я
мую

паралл
ельно прямой
,
координаты точки пересеч
е
ния прямой

и плоскости
.

32


Решение.

Угол

между прямой

и
плоскостью

находится
как дополнительный
для угла м
е
жду направляющим вектором
q
2
=

и вектором
нормали
n
=


.

Уравнение плоскости, проходящей через прямую
, параллельно прямой
, в
данном случае

может быть записано, если известна точка,
прина
д
лежащ
ая

плоскости, а также известен вектор нормали к
искомой плоскости. В качестве точки плоскости можно взять
то
ч
ку

прямой
. Вектор но
рмали
n
1

должен быть
перпендикулярен направляющим векторам прямой
q
1
=

и
пр
я
мой
q
2
=
, поэтому находится как векторн
ое
произведение ук
а
занных направляющих векторов

n
1
=
q
1
q
2
.

В итоге
уравнение плоскости имеет вид:


или
.

Для нахождения точки пересечения этой прямой

с
плоскостью

(

 приведем к
а
нонические
уравнения прямой


к параметрическому в
и
ду:

33



и найдем общую точку прямой и плоскости
АВС
:

;

;


Получим искомые координаты точки
F

пересечения прямой с
плоск
о
с
тью
АВС

:



Задание

1
2
.

Привести общее уравнение кривой

к каноническому виду и построить
полученную кривую.

Решение.

Выделяя полные квадраты , преобразуем
л
е
вую часть уравнения. Имеем

;

;

.

Вводя новые координаты
, получаем
.

Таким образом получено уравнение эллипса с центром в
точке
:
.


34



O

O
1

x

X

y

Y

2

1


35


БИБЛИОГР
АФИЧЕСКИЙ СПИСОК


1.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии

и
л
и
нейной алгебры
/

Д.В.

Беклемишев
.

М.: Наука,

1980.

2.
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геоме
т
рии
/
Н.В.

Ефимов
.

М.: Наука,

19
75

3.
Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы
Н.В.

Ефимов
.

М.: Наука,

19
7
2.

4.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика.
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
/
Я.С.

Бугров
,
С.М.

Никольский
.

М.: На
у
ка,

1980.

5.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая
математика в упражнениях и задачах:

Учеб
.

пособие для
ст
у
дентов втузов
/

П.Е.

Данко
,
А.Г.

Попов
,
Т.Я.

Кожевникова
.


М.: Высш
.

ш
к
.
, 1986. Ч.1.

6.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической
геоме
т
рии
/

Д.В. Клетеник
.

М.: Наука,

19
75
.

36


СОДЕРЖАНИЕ


Задание №

1………………………………………….
1

Задание №

2……
…………………………………….
2

Задание №

3………………………………………….
6

Задание №

4………………………………………….
8

Задание №

5………………………………………….
9

Задание №

6………………………………………….1
0

Задание №

7………………………………………….1
1

Задание №

8………………………………………….
1
2

Задание №

9………………………………………….
1
3

Задание №

10
……

……
……………
..

.
…………

1
4

Задание №

11
……
……
……
…………………

……
1
5

Задание №

12
…………………………
………
………
18

Примеры решения заданий ……………………….
.
.
2
0

Библиографический список………
..



……
….3
5


37


ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ



к типовому расчету

по дисциплине Математикаª разделу

“Л
инейная алгебра и аналитическая геометрия”

для студентов
направления
15.03.01

Машиностроениеª
профиль
(

Оборудование и технология сварочного
производства
ª
)

очной формы обучения




Составители:

Горбунов Валерий Викторович

Костина Татьяна Ивановна

Соколова
Ольга Анатольевна



В авторской редакции


Компьютерный набор О.А. Соколовой






Подписано к изданию
2
0
.1
1
.2015.

Уч.
-

изд. л. 2,
2
. “
C
“.





ФГБОУ ВПО 
Воронежский государственный
технический университет
ª

394026 Воронеж, Московский просп., 14


Приложенные файлы

  • pdf 8210806
    Размер файла: 664 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий