теория вероятностей


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
ВАРИАНТ №1

1.1. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти
вероятность того, что два из них будут белыми.

2.1. В корзине 3 сорта яблок: 20


первого, 15


втор
ого и 25


третьего. Вероятности

высокого содержания сахара в кажд
ом из них соответственно равны 0,5, 0,6, 0,7. Наудачу
взятое яблоко оказалось с высоким содержанием сахара. Найти, вероятность того, что это
яблоко первого сорта.

3.1. Событие В произойдет в случае, если событие А наступит не менее 4 раз. Найти
вероятност
ь наступления события В, если будет произведено 5 независимых испытаний, в
каждом из которых вероятность наступления события А равна 0,8.

4.1 Станок


автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь
имеет
дефект

равна 0,01. Найти вероят
ность того, что среди 200 деталей окажется: а) 4
бракованных; б) более 165 небракованных. Найти наиболее вероятное число бракованных
деталей.

5.1. Имеются три базы с независимым снабжением. Вероятность отсутствия на базе нужного
товара равна 0,1. Предпри
ниматель решил закупить некий товар. Составить закон
распределения числа баз, на которых в данный момент этот товар отсутствует. Вычислить
математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.1. Задана плотность распределения случайной величины
Х:

f

(
x
)=
. Найти параметр А, интегральную функцию распределения,
математическо
е ожидание, дисперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7.1. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распреде
ленной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 15,


= 2,


= 16,


= 25,


= 4.

8.1. Дано статисти
ческое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическо
е
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генераль
ной совокупности с данными выборки
объема
n
=100:

х
i

102

112

122

132

142

152

162

n
i

4

6

10

40

20

12

8


9.1. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

5

10

15

20

25

30

35

4

2

-

-

-

-

6

45

-

5

3

-

-

-

8

55

-

-

5

45

5

-

55

65

-

-

2

8

7

-

17

75

-

-

-

4

7

3

14

n
x

4

7

10

57

19

3

n=100


ВАРИАНТ №2

1.2. Вероятности землетрясения в каждом из трех городов соответственно равны 0,1; 0,8 и
0,6. Найти вероятность того, что землетрясение
произойдет хотя бы в одном городе.

2.2. В библиотеке 90 учебников по математике разных лет издания: 25
-

1972г., 35


1983г и
30


1995г. Вероятности того, что учебники удовлетворяют программе соответственно равны
0,6, 0,7, 0,8. Наудачу взятый учебник соо
тветствует программе. Найти вероятность того, что
это учебник 1983 года.

3.2. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартная, равна 0,1. Найти
вероятность того, что среди взятых наудачу 5 деталей не более 2 стандартных.

4.2
.

Вероятность р
ождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 1000
новорожденных будет: а) 480 девочек; б) не более 350 девочек. Найти наиболее вероятное
число рожденных девочек.

5.2. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов имеется 5 неисправн
ых. Из партии
выбрано 4 аппарата. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и
дисперсию числа неисправных аппаратов среди отобранных.

6.2. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
) =

=
. Найти

параметр А, интегральную функцию распределения,
математическо
е ожидание, дисперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7.2. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) ве
роятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 14,


= 4,


= 18,


= 34,


= 8.


8.2. Дано статистическое распределение выборки: в первой с
троке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы

для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объем
а
n
=100.

х
i

10
,6

1
5,6

20,6

25,6

30,6

35,6

40,6

n
i

8

10

6
0

12

5

3

2

9.2. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

4

9

14

19

24

29

30

3

3

-

-

-

-

6

40

-

5

4

-

-

-

9

50

-

-

40

2

8

-

50

60

-

-

5

10

6

-

21

70

-

-

-

4

7

3

14

n
x

3

8

49

16

21

3

n=100




ВАРИАНТ №3

1.3. Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма
числа
очков равна
7.

2.3. На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит ¾ продук
ции с
процентом брака 4%, вторая
-

¼ продукции с процентом брака 6%. Найти вероятность того,
что наугад взятое бракованное изделие изготовлено второй бригадой.

3.3. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока,
равна

0,2. Найти вероятность того, что в течение этого срока из 6 телевизоров не более
одного потребует ремонта.

4.3. Работают 14 магазинов по продаже стиральных машин. Вероятность отказа покупателю
в магазинах равна 0,1. Найти вероятность того, что покупатель
получит отказ: а) в трех
магазинах; б) менее, чем в двух. Найти наиболее вероятное число отказавших магазинов.

5.3. Производится ряд выстрелов по мишени с вероятностью попадания 0,8 при каждом.
Стрельба ведется до первого попадания, но не свыше 4 выстрело
в. Составить закон
распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию числа произведенных
выстрелов.

6
.3. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
)




Н
айти параметр А, интегральную функцию распределения, математическо
е ожидание,
дисперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7.3. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти:

1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 13,


= 4,


= 15,


= 17,


= 6.

8
.
3.
Дано статистическое распределение выборки: в перво
й строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интерв
алы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
об
ъема
n
=100.

х
i

2
6

32

38

44

50

56

62

n
i

5

15

4
0

25

8

4

3

9
.3. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

12

17

22

27

32

37

25

2

4

-

-

-

-

6

35

-

6

3

-

-

-

9

45

-

-

6

45

4

-

55

55

-

-

2

8

6

-

16

65

-

-

-

4

7

3

14

n
x

2

10

11

57

17

3

n=100


x

3




А


ВАРИАНТ №4

1.4. В группе 12 человек, 4 из которых неуспевающих. По списку вызывают сразу пять
человек. Найти вероятность того, что два из них будут неуспевающими.

2.4. Трое рабочих изготавли
вают однотипные изделия. Первый изготовил 40 изделий, 15


второй и 25


третий. Вероятности брака у каждого рабочего соответственно равны 0,05,
0,01, 0,02. Найти вероятность того, что наудачу взятая бракованная деталь изготовлена
третьим рабочим.

3.4. В
ероятность выиграть по лотерейному билету равна
. Найти вероятность выиграть по
двум билетам из пяти.

4.4. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов.
Вероятность выхода из строя одного автомата в т
ечение часа равна 0,005. Найти вероятность
того, что в течение часа выйдут из строя: а) 5 автоматов; б) от 2 до 12 автоматов. Найти
наиболее вероятное число вышедших из строя автоматов.

5.4. Студент купил 4 билета новогодней лотереи. Вероятность выигрыша

по одному билету
равна 0,6. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и
дисперсию числа выигрышей

среди купленных билетов
.

6.4. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
) = =

Найти
параметр А,

интегральную функцию распределения, математическо
е ожидание, дисперсию и
среднее

квадратическое отклонение.

7
.4.
Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность
того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 12,


= 5,


= 17,


= 22,


= 15.

8.4.
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указан
ы выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки
неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

1
2,4

1
6,4

20,4

24,4

28,4

32,4

36,4

n
i

5

15

4
0

25

8

4

3

9.4.
Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

2

7

12

17

22

27

35

4

2

-

-

-

-

6

45

-

5

3

-

-

-

8

55

-

-

5

45

5

-

55

65

-

-

2

8

7

-

17

75

-

-

-

4

7

3

14

n
x

4

7

10

57

19

3

n=100




ВАРИАНТ №5

1.5. Вероятности выполнить норму для каждого из трех спортсменов соответственно равны
0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что ее выполнят только два из них.

2.5. В группе спортс
менов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятности
выполнить квалификационную

норму соответственно равны 0,9;

0,8
;

0,75. Найти
вероятность того, что выбранный наудачу спортсмен выполнит норму.

3.5. Устройство, состоящее из пяти независимо работающ
их элементов, включается на время
Т. Вероятность отказа каждого из элементов за это время равна 0,2. Найти вероятность того,
что за время Т откажут три элемента.

4.5. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле 0,75. Найти вероятность
того, чт
о при 10 выстрелах стрелок поразит мишень: а) 8 раз; б) от 2 до 5 раз. Найти
наиболее вероятное число попаданий.

5.5. Вероятность того, что необходимая студенту книга свободна в библиотеке, равна 0,3.
Составить закон распределения числа библиотек, которы
е посетит студент, если в городе 4
библиотеки. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

6.5. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
) = =

Найти параметр А, интегральную функцию рас
пределения, математическо
е ожидание,
дисперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7.5. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значен
ие,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 11,


= 3,


= 17,


= 26,


= 12.

8.5.
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математическ
ого ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

1
10

1
15

12
0

1
25

1
30

1
35

1
40

n
i

5

10

3
0

25

15

10

5


9.5.
Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

5

10

15

20

25

30

20

2

4

-

-

-

-

6

30

-

3

7

-

-

-

10

40

-

-

5

30

10

-

45

50

-

-

7

10

8

-

25

60

-

-

-

5

6

3

14

n
x

2

7

19

45

24

3

n=100






ВАРИАНТ №6

1.6. Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма
числа
очков
больше 3
.

2.6. В телевизионном ателье имеется
только
4
кинескопа. Вероятности

того, что кинескоп
ы

выдерж
а
т гарантийный с
рок сл
ужбы, соответственно равны 0,8;

0,85
;

0,9
;

0,95. Найти
вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

3.6. Производится пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность
непоявления события А равна 0,1. Най
ти вероятность того, что событие А появится не менее
4 раз.

4.6. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти
вероятность того, что из 625 пассажиров опоздает на поезд: а) 10 человек; б) не менее 5
человек. Найти наиболее

вероятное число опоздавших пассажиров.

5.6. Имеется 4 различных ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон
распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию числа опробованных
ключей, если опробованный ключ в дальнейшем ис
пытании не участвует.

6.6. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
)




Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическо
е ожидание,
дисперсию и
среднее

квадратическое отклонение.

7
.6. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятност
ь того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 10,


= 2,


= 11,


= 13,


= 5.


8.6.
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3.
Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

45

50

55

60

65

70

75

n
i

4

6

10

40

20

12

8

9.6.
Найти выборочное уравнени
е прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

10

15

20

25

30

35

35

5

1

-

-

-

-

6

45

-

6

2

-

-

-

8

55

-

-

5

40

5

-

50

65

-

-

2

8

7

-

17

75

-

-

-

4

7

8

19

n
x

5

7

9

52

19

8

n=100



А

x

2


ВАРИАНТ №7

1.7. В ящике

10 деталей, 6 из которых стандартных. Из ящика вынимают сразу пять деталей.
Найти вероятность того, что три из них будут стандартными.

2.7. В мастерскую поступают предметы бытовой техники: телевизоры


75% от общего
количества, стиральные машины
-

15% и м
икроволновые печи


10%. Вероятности того, что
отремонтированный бытовой прибор прослужит в течение гарантийного срока,
соответственно равны 0,9, 0,7 и 0,85. Найти вероятность того, что наудачу выбранный
прибор сломался в гарантийное время.

3.7. Изделия не
которого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что
среди пяти взятых наудачу изделия будут два испорченных.

4.7. Вероятность выиграть в студенческой новогодней лотерее равна 0,3. Найти вероятность
того, что среди 30 купленных студентом би
летов окажется: а) 10 выигрышных; б) не более 9
выигрышных. Найти наиболее вероятное число выигрышных билетов.

5.7. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но делает не более четырех выстрелов.
Составить закон распределения числа про
изведенных выс
трелов
, если вероятность
попадания при каждом выстреле равна 0,7. Вычислить математическое ожидание и
дисперсию этой случайной величины.

6.7. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f
(
x
) = =

Найти параметр А, интег
ральную функцию распределения, математическо
е ожидание,
дисперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7
.7. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того,
что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 9,


= 4,


= 15,


= 19,


= 18.

8.7.
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выбор
очные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвес
тного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

10
,
2

1
0
,9

1
1,6

1
2,3

1
3

1
3,7

1
4,4

n
i

8

10

60

12

5

3

2

9.7.
Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

5

10

15

20

25

30

30

1

5

-

-

-

-

6

40

-

5

3

-

-

-

8

50

-

-

9

40

2

-

51

60

-

-

4

1
1

6

-

21

70

-

-

-

4

7

3

14

n
x

1

10

16

55

15

3

n=100




ВАРИАНТ №8

1.8
. Вероятности попадания в цель для каждого из трех орудий соответственно равны 0,9; 0,8
и 0,6. Найти вероятность того, что попадет в цель только одно орудие.

2.8. Детали, изготовляемые

цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к
одному из двух контролеров. Вероятности того, что деталь попадет к одному из них,
соответственно равны 0,6 и 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана
стандартной первым контролером,
равна 0,96, а вторым 0,78. Годная деталь при проверке
была признана нестандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый
контролер.


3.8. Всхожесть семян огурцов равна 0,8. Найти вероятность того, что среди пяти посеянных
семян взойдут не

менее двух.

4.8. В новом микрорайоне построен новый дом, в котором 500 квартир. Вероятность
продажи квартиры в доме равна 0,9. Найти веро
ятность того, что продано: а) 470 квартир; б)
от 200 до 46
0 квартир. Найти наиболее вероятное число проданных квартир
.

5.8. В партии из 25 кожаных курток 5 имеют скрытый дефект. Покупают три куртки.
Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию числа
дефектных курток среди купленных.

6.8. Задана плотность распределения случайной величины Х
:
f

(
x
) = =
.
Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическо
е ожидание,
дисперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7.8. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распр
еделенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 8,


= 2,


= 6,


= 15,


= 8.

8.8.
Дано статистич
еское распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое

отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральн
ой совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

1
1,5

12

12
,5

13

1
3,5

1
4

1
4,5

n
i

5

15

4
0

25

8

4

3

9.8.
Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

15

20

25

30

35

40

25

4

2

-

-

-

-

6

35

-

6

4

-

-

-

10

45

-

-

6

45

2

-

53

55

-

-

2

8

6

-

16

65

-

-

-

4

7

4

15

n
x

4

8

12

57

15

4

n=100


ВАРИАНТ №9

1.9. Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма числа очков
больше 4, но меньше 7.

2.9. В магазин элитной одежд
ы поступает товар российских, американских и французских
модельеров в одинаковом количестве. Вероятность того, что будет куплена одежда из
России равна 0,9; из США


0,7; а из Франции


0,8. Найти вероятность того, что вышедший
из магазина покупатель

с обн
овкой

купил одежду французского производства.

3.9. При каждом выстреле из орудия вероятность попадания в цель равна 0,8. Найти
вероятность того, что при пяти выстрелах будет сделано три промаха.

4.9. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти
вероятность того, что из 700
семян

взойдет: а) не менее 650; б) 60
0 семян. Найти наиболее вероятное число взошедших
семян.

5.9. Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы, но не больше четырех.
Вероятность того, что студент ответит на каждый из н
их равна 0,8. Преподаватель
прекращает экзамен, как только студент не знает ответа на поставленный вопрос. Составить
закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию числа заданных
вопросов.

6.9. Задана плотность распределения случайной в
еличины Х:
f

(
x
)




Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическо
е ожидание,
дисперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7
.9. Заданы математическое ожида
ние
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 7,


= 5,


= 2,


= 22,


= 20.

8.9.
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений:

а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить,
согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

10
4

1
09

1
14

1
19

1
24

1
29

1
34

n
i

4

6

10

40

20

12

8

9
.9
.
Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корр
еляционной таблице:

Y

X

n
y

5

10

15

20

25

30

20

3

5

-

-

-

-

8

30

-

4

4

-

-

-

8

40

-

-

7

35

8

-

50

50

-

-

2

10

8

-

20

60

-

-

-

5

6

3

14

n
x

3

9

13

50

22

3

n=100


А

x

5

ВАРИАНТ №10

1
.
10.

Студент знает 20 вопросов из 25 вопросов программы. Найти вероятность

того, что
студент ответит на два из трех заданных вопросов.

2.10. Посеяли три сорта семян подсолнечника в отношении 2:3:5. Вероятность
невосприимчивости к некоторой болезни у первого, второго, третьего сортов соответственно
равны 0,7, 0,6, 0,8. Наудачу п
роверенные семена оказались здоровыми. Найти вероятность
того, что это семена третьего сорта.

3.10. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе руды равна 0,4.
Найти вероятность того, что среди 6 проб более четырех будут с промышленным
сод
ержанием металла.

4.10. В ралли принимают участие 500 экипажей, каждый из которых может сойти с
дистанции из
-
за технических неполадок с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что
среди них сойдут с дистанции: а) от 4 до 8 экипажей; б) 12 машин. Найти

наиболее
вероятное число сошедших с дистанции экипажей.

5.10. Трасса движения слаломиста состоит из четырех участков. Каждый из них он проходит
с вероятностью 0,7; в случае непрохождения одного из участков спортсмен снимается с
трассы. Составить закон ра
спределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию
числа пройденных слаломистом участков.

6.10. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
) = =

Найти параметр А, интегральную функцию распределения, матем
атическо
е ожидание,
дисперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7
.10. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее
интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 6,


= 3,


= 0,


= 9,


= 6.

8.10.
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
зада
нной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

10
5

11
0

1
15

1
20

1
25

1
30

1
35

n
i

4

6

10

40

20

1
2

8

9.10.
Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

10

15

20

25

30

35

15

1

4

-

-

-

-

5

25

-

7

3

-

-

-

10

35

-

-

2

50

2

-

54

45

-

-

1

10

6

-

17

55

-

-

-

4

7

3

14

n
x

1

11

6

6
4

15

3

n=100




ВАРИАНТ №11

1
.
11.

Батарея из трех орудий производит залп по цели. Вероятности попадания в цель для
каждого из них соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что попадет в
цель хотя бы одно орудие.

2.11. В корзине 3 сорт
а яблок: 20


первого, 15


втор
ого и 25


третьего. Вероятности

высокого содержания сахара в каждом из них соответственно равны 0,5, 0,6, 0,7. Наудачу
взятое яблоко оказалось с высоким содержанием сахара. Найти вероятность того, что это
яблоко третьего с
орта.

3.11. Событие В произойдет в случае, если событие А наступит не менее 4 раз. Найти
вероятность наступления события В, если будет произведено 5 независимых испытаний, в
каждом из которых вероятность наступления события А равна 0,7.

4.11. Радиомастерс
кая за год ремонтирует 730 магнитол. Вероятность неисправности в
механической части отдельной магнитолы равна 0,2. Найти вероятность того, что среди них
с указанной неис
правностью за год окажется: а)
50 магнитол; б) от 110 до 370 магнитол.
Найти наиболее в
ероятное число магнитол с данной неисправностью.

5.11. На втором курсе некоторого факультета 9 отличников и 21 хорошист. На
математическую олимпиаду наудачу отбираются 3 студента. Составить закон распределения,
вычислить математическое ожидание и дисперси
ю числа отличников среди отобранных
студентов.

6.11. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
) = =
.
Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое о
тклонение.

7
.11. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная ве
личина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 15,


= 2,


= 9,


= 19,


= 3.

8.11.
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака
Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсон
а, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

1
2,5

1
3

1
3,5

1
4

1
4,5

1
5

1
5,5

n
i

5

15

4
0

25

8

4

3

9.11.
Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

5

10

15

20

25

30

15

1

4

-

-

-

-

5

25

-

7

3

-

-

-

10

35

-

-

2

50

2

-

54

45

-

-

1

10

6

-

17

55

-

-

-

4

7

3

14

n
x

1

11

6

64

15

3

n=100

ВАРИАНТ №12

1.12. Бросаются два игральных

кубика. Найти вероятность того, что модуль разности числа
очков равен 2.

2.12. В библиотеке 90 учебников по математике разных лет издания: 25
-

1972г., 35


1983г
и 30


1995г. Вероятности того, что учебники удовлетворяют программе соответственно
равны 0
,6, 0,7, 0,8. Наудачу взятый учебник соответствует программе. Найти вероятность
того, что это учебник 1995 года.


3.12. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартная, равна 0,1. Найти
вероятность того, что среди взятых наудачу 5 деталей
менее 2 стандартных.

4.12. Вероятность появления опечатки на отдельно взятой странице книги равна 0,01. Найти
вероятность того, что в книге из 500 страниц окажется: а) 4 опечатки; б) менее 15 опечаток.
Найти наиболее вероятное число опечаток в этой книг
е.

5.12. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания, но делает не более пяти
бросков. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию
числа бросков, если вероятность попадания в корзину равна 0,6 для каждого из ни
х.

6
.12. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
)





Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическо
е ожидание,
дисперсию и среднее

квадратическое отклоне
ние.

7
.12. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина

отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 14,


= 4,


= 10,


= 20,


= 4.

8.12.
Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Тр
ебуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при

уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

10
0

11
0

1
20

1
30

1
40

1
50

1
60

n
i

4

6

10

4
5

15

12

8

9
.12. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

4

9

14

19

24

29

10

2

3

-

-

-

-

5

20

-

7

3

-

-

-

10

30

-

-

2

50

2

-

54

40

-

-

1

10

6

-

17

50

-

-

-

4

7

3

14

n
x

2

10

6

64

15

3

n=100



А

x


1

1


ВАРИАНТ №13

1.13
. В урне 4 белых и 7 черных ша
ров. Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти
вероятность того, что два из них будут белыми.

2.13. На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит ¾ продукции с
процентом брака 4%, вторая
-

¼ продукции с процентом брака 6%. Найти вероятность

того,
что наугад взятое бракованное изделие изготовлено первой бригадой.

3.13. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного
срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение этого срока из 6 телевизоров не
более дву
х потребуют ремонта.

4.13. Работают 15 магазинов по продаже водонагревателей. Вероятность отказа покупателю
в магазинах равна 0,1. Найти вероятность того, что покупатель получит отказ: а) в трех
магазинах; б) менее, чем в двух. Найти наиболее вероятное

число отказавших магазинов.

5.13. Вероятность попадания из орудия в цель при первом выстреле равна 0,1, при втором


0,4, а при третьем


0,7. Предполагается произвести три выстрела. Составить закон
распределения, вычислить математическое ожидание и дисп
ерсию числа попаданий в цель.

6.13. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f
(
x
)= =
.
Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическо
е ожидание,
дисперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7.
13. Зад
аны математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 13,


= 4,


= 11,


= 21,


= 8.

8.13. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется най
ти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне зна
чимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

1
30

1
40

1
50

1
60

1
70

1
80

1
90

n
i

5

10

3
0

25

15

1
0

5


9
.13. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

10

15

20

25

30

35

30

2

6

-

-

-

-

8

40

-

4

4

-

-

-

8

50

-

-

7

35

8

-

50

60

-

-

2

10

8

-

20

70

-

-

-

5

6

3

14

n
x

2

10

13

50

22

3

n=100



ВАРИАНТ №14

1.
14.

Вероятности землетрясения в каждом
из трех городов соответственно равны 0,1; 0,8 и
0,6. Найти вероятность того, что землетрясение произойдет только в одном городе.

2.14. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый изготовил 40 изделий, 15


второй и 25


третий. Вероятности брака
у каждого рабочего соответственно равны 0,05,
0,01, 0,02. Найти вероятность того, что наудачу взятая бракованная деталь изготовлена
первым рабочим.

3.14. Вероятность выиграть по лотерейному билету равна
. Найти вероятность выиграть
по
трем билетам из пяти.

4.14. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов.
Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,05. Найти вероятность
того, что в течение часа выйдут из строя: а)
2
5 автоматов
; б) от 2 до
3
0 автоматов. Найти
наиболее вероятное число вышедших из строя автоматов.

5.14. В партии из 7 деталей имеется 5 деталей первого сорта. Наудачу отобраны 3 из них.
Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию чис
ла
деталей первого сорта среди отобранных.

6.14. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f
(
x
) = =

Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое откл
онение.

7.
14. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная велич
ина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 12,


= 5,


= 12,


= 22,


= 10.

8
.14. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака

Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсо
на, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

80

90

1
00

1
10

1
20

1
30

1
40

n
i

4

6

10

40

20

1
5

5

9
.14. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

15

20

25

30

35

40

5

4

2

-

-

-

-

6

10

-

6

4

-

-

-

10

15

-

-

6

45

2

-

53

20

-

-

2

8

6

-

16

25

-

-

-

4

7

4

15

n
x

4

8

12

57

15

4

n=100


ВАРИАНТ №15

1.15. Бросаются два игральных
кубика. Найти вероятность того, что модуль разности числа
очков больше 1.

2.15. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятности
выполнить квалификационную норму
для каждого из них
соответственно равны 0,9, 0,8,
0,75. Найти вероят
ность того, что выбранный наудачу и выполнивший норму спортсмен


лыжник.

3.15.
Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается на
время Т. Вероятность отказа каждого из элементов за это время равна 0,2. Найти вероятность
того, чт
о за время Т откажут два элемента.


4.15.

Вероятность выиграть отдельному игроку 1000 рублей в игре «Кто хочет стать
миллионером» равна 0,3. За сезон в этой игре принимает участие 300 человек. Найти
вероятность того, что за сезон получат 1000 рублей: а)
95 игроков; б) от 80 до 100 игроков.
Найти наиболее вероятное число выигравших эту сумму.

5.15.
Бросают три игральных кубика
. Составить закон распределения

числа выпавших
«шестерок» на трех кубиков
, вычислить математическое ожидание и дисперсию

этой
случа
йной величины
.

6.15. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
)




Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическо
е ожидание,
дисперсию и среднее

квадратичес
кое отклонение.

7.15. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютн
ая величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 11,


= 4,


= 13,


= 23,


= 6.

8.15. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного при
знака Х).
Требуется найти:

1. методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием
Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

1
35

1
40

1
45

1
50

1
55

1
60

1
65

n
i

4

1
6

4
0

25

7

5

3

9.15. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

5

10

15

20

25

30

20

1

5

-

-

-

-

6

30

-

5

3

-

-

-

8

40

-

-

9

40

2

-

51

50

-

-

4

11

6

-

21

60

-

-

-

4

7

3

14

n
x

1

10

16

55

15

3

n=100


А

x

1

ВАРИАНТ №16

1.
1
6
. В группе 14 челове
к, 4 из которых неуспевающих. По списку вызывают сразу пять
человек. Найти вероятность того, что два из них будут неуспевающими.

2.16.

На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода
поступило 10 двигателей, от второго


6 и от

третьего


4 двигателя. Вероятности
безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны
0,9; 0,8; 0,7
. Какова вероятность того, что
установленный на машине двигатель будет
работать без дефектов в течение гарантийного срока
.

3.16.
Производится пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность
появления события А равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А появится не менее 4
раз.



4.16.

Студенты выполняют за два года 15 типовых расчетов по математике, содержащих по
20 задач. Вероятность неверно решить отдельную задачу равна 0,2. Найти вероятность того,
что за эти два года студент решил неверно: а) от 50 до 70 задач; б) 47 задач. Найти н
аиболее
вероятное число неверно решенных задач за период обучения.

5.16. На колышки одно за другим набрасывается 4 кольца, причем вероятность попадания
для каждого броска одна и та же и равна 0,8. Составить закон распределения, вычислить
математическое ож
идание и дисперсию числа колец, попавших на колышек, если броски
независимы.

6.16. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
) = =

Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическо
е ожидание,
д
исперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7.16. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2)
вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 10,


= 8,


= 14,


= 18,


= 2.

8.16. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные ч
астоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=
0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

21

28

35

42

49

56

63

n
i

7

11

12

6
0

5

3

2

9.16. Найти выборочное

уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

10

15

20

25

30

35

6

4

2

-

-

-

-

6

12

-

6

2

-

-

-

8

18

-

-

5

40

5

-

50

24

-

-

2

8

7

-

17

30

-

-

-

4

7

8

19

n
x

4

8

9

52

19

8

n=100

ВАРИАНТ №17

1.
17.

Вероятности выполнить норму для каждого из трех спортсменов соответственно равны
0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что ее выполнят хотя бы один из них
.

2.17. В мастерскую поступают предметы бытовой техники: телевизоры


75% от общего
количества, сти
ральные машины
-

15% и микроволновые печи


10%. Вероятности того, что
отремонтированный бытовой прибор прослужит в течение гарантийного срока,
соответственно равны 0,9, 0,7 и 0,85. Прибор сломался в гарантийный срок. Найти
вероятность того, что это была м
икроволновая печь.

3.17
.

Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что
среди пяти взятых наудачу изделия будут три испорченных.

4.17.

Известно, что левши составляют в среднем 1%. Найти вероятность того, что среди
двухсот
людей окажется: а)
четверо 4 левшей; б) от
5 до 27 левшей. Найти наиболее
вероятное число левшей среди этих 200 людей.

5
.17. В конверте 18

банкнот, среди которых 7 фальшивых
. Наудачу
берут 3 из них
.
Составить закон распределения, вычислить математическо
е ожидание и дисперсию числа
фальшивых банкнот
среди отобранных.

6
.17. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
) =
=
.
Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическо
е ожидание,
дисперсию и средне
е

квадратическое отклонение.

7.
17. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того,

что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 9,


= 3,


= 9,


= 18,


= 6.

8
.17. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количе
ственного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуя
сь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

130

140

1
50

1
60

1
70

1
80

1
90

n
i

1

9

10

40

20

1
2

8

9
.17. Найти выборочное уравнен
ие прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

5

10

15

20

25

30

8

2

4

-

-

-

-

6

12

-

3

7

-

-

-

10

16

-

-

5

30

10

-

45

20

-

-

7

10

8

-

25

24

-

-

-

5

6

3

14

n
x

2

7

19

45

24

3

n=100





ВАРИАНТ №18

1.18.
Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что произведение числа
очков не больше 10.

2.18. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к
одному из двух контролеров. Вероятности того, что деталь попадет к одно
му из них,
соответственно равны 0,6 и 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана
стандартной первым контролером, равна 0,96, а вторым 0,78. Годная деталь при проверке
была признана нестандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил

второй
контролер.

3.18.
Всхожесть семян огурцов равна 0,8. Найти вероятность того, что среди пяти
посеянных семян взойдут не менее трех.

4.18.

Вероятность выиграть в студенческой новогодней лотерее равна 0,15. Найти
вероятность того, что среди 30 купленн
ых студентом билетов окажется: а) 11 выигрышных;
б) не более 9 выигрышных. Найти наиболее вероятное число выигрышных билетов.

5
.18. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле равна 0,6.
Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он
не промахнется, но не более пяти. Составить
закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в
мишень.

6
.18. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
)




Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическо
е ожидание,
дисперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7.18. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной велич
ины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 8,


= 4,


= 8,


= 12,


= 8.

8.18. Дано статистическое распределение вы
борки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Довери
тельные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данн
ыми выборки
объема
n
=100.

х
i

20

30

40

50

60

70

80

n
i

4

11

25

3
0

15

1
0

5

9.18. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

2

7

12

17

22

27

10

2

4

-

-

-

-

6

20

-

6

2

-

-

-

8

30

-

-

3

50

2

-

55

40

-

-

1

10

6

-

17

50

-

-

-

4

7

3

14

n
x

2

10

6

64

15

3

n=100


А

x


1

1



ВАРИАНТ №19

1.19
. В ящике 11 деталей, 6 из которых стандартных. Из ящика вынимают сразу пять
деталей. Найти вероятность того, что три из них будут стандартными.

2.19. В мага
зин элитной одежды поступает товар российских, американских и французских
модельеров в одинаковом количестве. Вероятность того, что будет куплена одежда из
России равна 0,9; из США


0,7; а из Франции


0,8. Найти вероятность того, что вышедший
из магазина

покупатель
с обновкой
купил одежду российского производства.

3.19.

При каждом выстреле из орудия вероятность попадания в цель равна 0,8. Найти
вероятность того, что при пяти выстрелах будет сделано два промаха.



4.19 Вероятность появления погрешн
ости верстки на странице книги равна 0,3. Найти
вероятность того, что в книге из 400 страниц будут иметь погрешности верстки: а) 100
страниц; б) от 110 до 160 страниц. Найти наиболее вероятное число страниц с такими
погрешностями в этой книге.

5.19. Прои
зводится набрасывание колец на колышек до первого попадания, но не более пяти
колец. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию
числа брошенных колец, если вероятность попадания при каждом броске равна 0,2.

6.19. Задана пл
отность распределения случайной величины Х:
f

(
x
) = =
.
Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическо
е ожидание,
дисперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7.19. Заданы математическое ожидание
m

и среднее кв
адратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 7,


= 2,


= 6,


= 10,


= 4.

8.19. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. методом произведений: а) выборочную с
реднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
г
ипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

12,8

22,8

32,8

42,8

52,8

62,8

72,8

n
i

3

17

25

40

8

4

3

9.19. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционно
й таблице:

Y

X

n
y

11

16

21

26

31

36

25

2

4

-

-

-

-

6

35

-

6

3

-

-

-

9

45

-

-

6

45

4

-

55

55

-

-

2

8

6

-

16

65

-

-

-

4

7

3

14

n
x

2

10

11

57

17

3

n=100


ВАРИАНТ №20

1.20
. Вероятности попадания в цель для каждого из трех орудий соответственно равны
0,9;
0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что попадет в цель только два орудия.

2.20. Посеяли три сорта семян подсолнечника в отношении 2:3:5. Вероятност
и

невосприимчивости к некоторой болезни у первого, второго, третьего сортов соответственно
равны 0,7, 0,6
, 0,8. Наудачу проверенные семена оказались здоровыми. Найти вероятность
того, что это семена первого сорта.


3.20. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе руды равна 0,4.
Найти вероятность того, что среди 6 проб не менее двух будут с п
ромышленным
содержанием металла.

4.20. Вероятность выиграть отдельному игроку 32000 рублей в игре «Кто хочет стать
миллионером» равна 0,01. За сезон в этой игре принимает участие 300 человек. Найти
вероятность того, что за сезон получат 32000

руб
: а) 5 игр
оков; б) не более 4 игроков. Найти
наиболее вероятное число выигравших эту сумму.

5.20. Трасса движения велосипедиста состоит из четырех участков. Каждый из них он
проходит с вероятностью 0,7; в случае непрохождения одного из участков спортсмен
снимаетс
я с трассы. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и
дисперсию числа пройденных велосипедистом участков.

6.20. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
) = =

Найти параметр А, интегральную

функцию распределения, математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

7.20. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х пр
имет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 6,


= 2,


= 4,


= 12,


= 4.

8.20. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного
математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

30

35

40

45

5
0

55

60

n
i

4

1
6

2
0

40

13

4

3

9.20. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

4

9

14

19

24

29

8

3

3

-

-

-

-

6

18

-

5

4

-

-

-

9

28

-

-

40

2

8

-

50

38

-

-

5

10

6

-

21

48

-

-

-

4

7

3

14

n
x

3

8

49

16

21

3

n=100




ВАРИАНТ №21

1.21. Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что большее число очков
больше 4.

2.21. В корзине 3 сорта яблок: 20


первого, 15


второго и 25


третьего. Вероятност
и

высокого содержания са
хара в каждом из них соответственно равны 0,5, 0,6, 0,7. Наудачу
взятое яблоко оказалось с высоким содержанием сахара. Найти, вероятность того, что это
яблоко второго сорта.

3.21. Событие В произойдет в случае, если событие А наступит не менее 4 раз. Най
ти
вероятность наступления события В, если будет произведено 5 независимых испытаний, в
каждом из которых вероятность наступления события А равна 0,9.

4.21. В ралли принимают участие 500 экипажей, каждый из которых может сойти с
дистанции из
-
за болезни
водителя с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что среди

них сойдут с дистанции: а) от 1
2 до 28 экипажей; б) 2 машин
ы
. Найти наиболее вероятное
число сошедших с дистанции экипажей.

5.21. Студент купил 4 билета новогодней лотереи. Вероятность выигр
ыша по одному билету
равна 0,6. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и
дисперсию числа выигрышей.

6.2
1
. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
)




Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение (данный график составлен из участков
прямых и параболы).

7.21. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонен
ие


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 6,


= 6,


= 0,


= 12,


= 12
.

8.21. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочн
ое среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормально
м распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

10,2

15,2

20,2

25,2

30,2

35,2

40,2

n
i

2

1
6

1
2

6
0

5

3

2

9.21. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

5

10

15

20

25

30

11

4

2

-

-

-

-

6

21

-

5

3

-

-

-

8

31

-

-

5

45

5

-

55

41

-

-

2

8

7

-

17

51

-

-

-

4

7

3

14

n
x

4

7

10

57

19

3

n=100


А

x

1

-
1

ВАРИАНТ №22

1.22
. Студент знает 10 вопросов из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что
студент ответит на

два из трех заданных
ему
вопросов.

2.22. В библиотеке 90 учебников по математике разных лет издания: 25
-

1972г., 35


1983г
и 30


1995г. Вероятности того, что учебники удовлетворяют программе соответственно
равны 0,6, 0,7, 0,8. Наудачу взятый учебник
соответствует программе. Найти вероятность
того, что это учебник 1972 года.

3.22. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартная, равна 0,1. Найти
вероятность того, что среди взятых наудачу четырех деталей не более 2 стандартных.

4.22. Рад
иомастерская за год ремонтирует 730 магнитол. Вероятность неисправности в
электронной части отдельной магнитолы равна 0,005. Найти вероятность того, что среди
них с указанной неисправностью за год окажется: а) 3 магнитолы; б) не более пяти магнитол.
Найти

наиболее вероятное число магнитол с данной неисправностью.

5.22. В партии из 7 деталей имеется 5 деталей первого сорта. Наудачу отобраны 4 из них.
Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию числа
деталей первого сорта ср
еди отобранных.

6.22. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f
(
x
)= =
.
Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

7.22. Заданы математиче
ское ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажет
ся меньше

.

m

= 15,


= 4,


= 9,


= 19,


= 3.

8.22. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. методом

произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

=0,05
, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

10

15

20

25

30

35

40

n
i

3

7

10

40

20

1
5

5

9
.22. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по дан
ной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

10

15

20

25

30

35

20

3

5

-

-

-

-

8

30

-

4

4

-

-

-

8

40

-

-

7

35

8

-

50

50

-

-

2

10

8

-

20

60

-

-

-

5

6

3

14

n
x

3

9

13

50

22

3

n=100





ВАРИАНТ №23

1.23
. Батарея из трех орудий производит залп по цели. Вероятнос
ти попадания в цель для
каждого из них соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что попадет в
цель только одно орудие.

2.23. На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит ¾ продукции с
процентом брака 4%, вторая
-

¼ п
родукции с процентом брака 6%. Найти вероятность того,
что науд
ачу

взятое изделие оказалось бракованным.

3.23. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного
срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение этого срок
а из 6 телевизоров только
один потребует ремонта.

4.23. Станок


автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь
бракованная равна 0,05. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется:

а) 6
бракованных; б) более 2
0 небракован
ных. Найти наиболее вероятное число бракованных
деталей.

5.23. В группе 30 студентов, 9 из которых


отличники. На математическую олимпиаду
наудачу отобраны 3 студента. Составить закон распределения, вычислить математическое
ожидание и дисперсию числа отли
чников среди отобранных студентов.

6.23. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f
(
x
) = =

Найти
параметр А, интегральную функцию распределения, математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение.


7.23. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина откл
онения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 11,


= 5,


= 17,


= 26,


= 12.

8.23. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Тре
буется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при
уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

10

20

30

40

50

60

70

n
i

4

11

25

3
0

15

1
0

5

9.23. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

20

25

30

35

40

45

25

4

2

-

-

-

-

6

35

-

6

4

-

-

-

10

45

-

-

6

45

2

-

53

55

-

-

2

8

6

-

16

65

-

-

-

4

7

4

15

n
x

4

8

12

57

15

4

n=100



ВАРИАНТ №24

1.24. Бросаются два игральных кубика. На
йти вероятность того, что меньшее число очков
больше 4.

2.24. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый изготовил 40 изделий, 15


второй и 25


третий. Вероятности брака у каждого рабо
чего соответственно равны 0,05;

0,01
;

0,02. Найти вероятно
сть того, что наудачу взятая бракованная деталь изготовлена
вторым рабочим.

3.2
4.
Вероятность выиграть по лотерейному билету равна
. Найти вероятность выиграть не
менее, чем по двум билетам из пяти.

4.24.

Вероятность рождения мальчи
ка равна 0,5. Найти вероятность того, что среди 900
новорожденных будет: а) 480 девочек; б) не более 3
9
0 девочек. Найти наиболее вероятное
число рожденных девочек.

5.24. Три друга пришли сдавать экзамен. Вероятности успешной сдачи для каждого
соответстве
нно равны 0,7; 0,8; 0,5. Составить закон распределения числа успешно сдавших
экзамен среди них, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной
величины.

6.24. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
)





Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение (данный график составлен из участков
прямых и параболы).

7.24. Заданы математическое ожи
дание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньш
е

.

m

= 10,


= 2,


= 6,


= 15,


= 5.

8.24. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произве
дений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, устано
вить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

125

135

1
45

1
55

1
65

1
75

1
85

n
i

5

10

3
0

25

15

1
0

5

9.24. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по дан
ной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

15

20

25

30

35

40

30

4

2

-

-

-

-

6

40

-

6

4

-

-

-

10

5
0

-

-

6

45

2

-

53

60

-

-

2

8

6

-

16

70

-

-

-

4

7

4

15

n
x

4

8

12

57

15

4

n=100


А

x


1

1

ВАРИАНТ №25

1.25. Найти вероятность того, что среди шести карт, наудачу взятых
из колоды в 36 карт,
будет ровно два туза.

2.25. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятности
выполнить квалификационную норму
для каждого из них соответственно равны 0,9;

0,8
;

0,75. Спортсмен выполни
л

норму. Найти вероятность

того, что это был велосипедист.

3.25. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается на
время Т. Вероятность отказа каждого из элементов за это время равна 0,2. Найти вероятность
того, что за время Т откажут менее двух элементов
.

4.25. Работают 12 магазинов по продаже стиральных машин. Вероятность отказа покупателю
в магазинах равна 0,1. Найти вероятность того, что покупатель получит отказ: а) в трех
магазинах; б) менее, чем в двух. Найти наиболее вероятное число отказавших мага
зинов.

5.25. Сигнализатор снабжен 3 независимо работающими элементами. Вероятность того, что
при аварии сработает 1
-
ый элемент, равна 0,4, для остальных эти вероятности
соответственно равны 0,6 и 0,75.
Составить

закон распределения, вычислить математическ
ое
ожидание и дисперсию числа сработавших элементов.

6.25. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
) = =
.
Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратиче
ское отклонение.

7.25. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолют
ная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 8,


= 3,


= 5,


= 11,


= 6.

8.25. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного пр
изнака Х).
Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с
заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием

Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

104

114

1
24

1
34

1
44

1
54

1
64

n
i

3

6

10

40

20

1
2

9

9.25. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:


Y

X

n
y

25

30

35

40

45

50

35

5

1

-

-

-

-

6

45

-

6

2

-

-

-

8

55

-

-

5

40

5

-

50

65

-

-

2

8

7

-

17

75

-

-

-

4

7

8

19

n
x

5

7

9

52

19

8

n=100





ВАРИАНТ №26

1.26. Два спортсмен
а должны выполнить норму мастера спорта. Вероятность того, что
первый спортсмен выполнит норму равна 0,95, а второй


0,9. Найти вероятность того, что
норма будет выполнена только одним спортсменом.

2.26. Для участия в студенческих отборочных спортивных со
ревнованиях выделено из
первой группы


4 студента, из второй


6, из третьей


5. Вероятность того, что отобранный
студент из первой группы попадет сборную университета равна 0,5, для второй и третьей
группы эти вероятности соответственно равны 0,4 и 0,3.

Наудачу выбранный
студент

попал
в сборную. Найти вероятность того, что
он
из первой группы.

3.26. Производится пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность
непоявления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится два
раза.



4.26. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для продажи билетов.
Вероятность выхода из строя одного автомата в течение часа равна 0,008. Найти вероятность
того, что в течение часа выйдут из строя: а) 5 автоматов; б) от 2 д
о 14 автоматов. Найти
наиболее вероятное число вышедших из строя автоматов.

5.26. Испытуемый прибор состоит из трех малонадежных элементов. Отказы элементов за
некоторое время Т независимы, а их вероятности равны соответственно р
1

 0,2; р
2

 0,1; р
3

=
0,0
5. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа отказа
элементов
за время Т.

6.26. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
) = =
.
Найти параметр А, интегральную функцию распределения, матем
атическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

7.26. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально
распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность того, что х примет значение,
принадлежащее
интервалу (

;

); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 10,


= 7,


= 17,


= 31,


= 7.

8.26. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны выборочные
варианты х
i

, а во второй ст
роке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х).
Требуется найти:

1.
М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее квадратическое
отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания
а

с

заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить, согласуется ли
гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности с данными выборки
объема
n
=100.

х
i

10,8

15,8

20,8

25,8

30,8

35,8

40,8

n
i

8

10

6
0

12

5

3

2

9.26. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х по данной
корреляционной таблице:

Y

X

n
y

10

15

20

25

30

35

20

2

4

-

-

-

-

6

30

-

3

7

-

-

-

10

40

-

-

5

30

10

-

45

50

-

-

7

10

8

-

25

60

-

-

-

5

6

3

14

n
x

2

7

19

45

24

3

n=100


ВАРИАНТ №27

1.27. Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что число
очков
хотя бы на одном кубике четно
.

2.27. В мастерскую поступают предметы бытовой техники: телевизоры


75%
от общего количества, стиральные маш
ины
-

15% и микроволновые печи


10%. Вероятности того, что отремонтированный бытовой прибор прослужит в
течение гарантийного срока, соответственно равны 0,9, 0,7 и 0,85. Прибор не
сломался в течение гарантийного срока. Найти вероятность того, что это


ст
иральная машина.

3.27. И
зделия некоторого производства содержат 10% брака. Найти
вероятность того, что среди пяти взятых наудачу изделия будут два
испорченных.

4.27.
Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле 0,75.
Найти вероятность того, чт
о при 15 выстрелах стрелок поразит мишень: а) 9
раз; б) от 5 до 10 раз. Найти наиболее вероятное число попаданий.

5
.27. В коробке 20 одинаковых катушек ниток, из них


4 катушки с белыми
нитками. Наудачу вынимают 2 катушки. Составить закон распределения,

вычислить математическое ожидание и дисперсию числа катушек с белыми
нитками среди вынутых.

6
.27. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
)




Найти параметр А, интегральную
функцию распределения, математическо
е
ожидание, дисперсию и среднее

квадратическое отклонение (данный график
составлен из участков прямых и параболы).

7.27. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально распределенной слу
чайной величины х. Найти: 1) вероятность
того, что х примет значение, принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность
того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 5,


= 4,


= 2,


= 9,


= 6.

8
.27. Дано статистическое распр
еделение выборки: в первой строке указаны
выборочные варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х). Требуется найти:

1. методом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее
квадратическое отклонение
;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического
ожидания
а

с заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить,
согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной
совокупн
ости с данными выборки объема
n
=100.

х
i

24

30

36

42

48

54

60

n
i

5

15

4
0

25

8

4

3


А

x


1

1

9
.27. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х
по данной корреляционной таблице:

Y

X

n
y

1

6

11

16

21

26

110

2

4

-

-

-

-

6

120

-

6

2

-

-

-

8

130

-

-

3

50

2

-

55

140

-

-

1

10

6

-

17

150

-

-

-

4

7

3

14

n
x

2

10

6

64

15

3

n=100






ВАРИАНТ №28

1.28. Из студенческой группы, в которой 10 студентов и 12 студенток, для
анкетирования произвольным образом отбирают 5 человек. Найти вероятность

того, что среди них будет три студентки.

2.28. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на
стандартность к одному из двух контролеров. Вероятности того, что деталь
попадет к одному из них, соответственно равны 0,6 и 0,4. Вероятность то
го, что
годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,96, а
вторым 0,78. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти
вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.


3.28.
Всхожесть семян огурцов равна 0,
8. Найти вероятность того, что среди
пяти посеянных семян взойдут не более четырех.

4.28.
Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна
0,05. Найти вероятность того, что из 650 пассажиров опозда
ю
т на поезд: а) 1
2

человек; б) не менее

1
5 человек. Найти наиболее вероятное число опоздавших
пассажиров.

5
.28. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса
будет
допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на заключение представлено 3 баланса
предприятия. Составить закон распределени
я, вычислить математическое
ожидание и дисперсию числа положительных заключений на проверяемые
балансы.

6
.28. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
) =
=


Найти параметр А, интегральную функцию распределения,
мат
ематическо
е ожидание, дисперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7.
28. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность
того, что х примет значение, принадлежаще
е интервалу (

;

); 2) вероятность
того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 9,


= 8,


= 13,


= 23,


= 6.

8
.28. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны
выборочные варианты х
i

, а во второй с
троке


соответственные частоты
n
i

количественного признака Х). Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее
квадратическое отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического
ожидания
а

с заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить,
согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной
совокупности с данными выборки объема
n
=100.

х
i

105

110

1
15

1
20

1
25

1
30

1
35

n
i

5

10

3
0

25

15

1
0

5

9
.28. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х
по данной корреляционной таблице:

Y

X

n
y

15

20

25

30

35

40

15

4

1

-

-

-

-

5

25

-

6

4

-

-

-

10

35

-

-

2

50

2

-

54

45

-

-

1

9

7

-

17

55

-

-

-

4

3

7

14

n
x

4

7

7

63

12

7

n=100



ВАРИАНТ №29

1.29. Три станка работают независимо

друг от друга
. Вероятность того, что
первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,05; для второго и
третьего эти вероятности соответственно равны 0,1 и 0,15. Найти вероятность
того, что в течение смены хотя бы один станок

выйдет из строя.

2.29. В магазин элитной одежды поступает товар российских, американских и
французских модельеров в одинаковом количестве. Вероятность того, что
будет куплена одежда из России равна 0,9; из США



0,7; а из Франции


0,8.
Найти вероятность того, что вышедший из магазина покупатель
с обновкой
купил одежду американского производства.

3.29.
При каждом выстреле из орудия вероятность попадания в цель равна 0,8.
Найти вероятность того, что при пяти вы
стрелах будет сделано не менее трех
попаданий.

4.29.

Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле 0,7. Найти
вероятность того, что при 14 выстрелах стрелок поразит мишень: а) 8 раз; б) от
4 до 8 раз. Найти наиболее вероятное число попаданий.

5
.29.
Вероятность того, что аудитор допустит ошибку при проверке
бухгалтерского баланса, равна 0,05
.
Аудитору на заключение представлено 2
баланса.
Составить закон распределения числа

правильных заключений на
проверяемые балансы
. Вычислить математическое
ожидание и дисперсию этой
случайной величины.

6
.29. Задана плотность распределения случайной величины Х:

f

(
x
) =

Найти параметр А, интегральную функцию распределения,
математическо
е ожидание, дисперсию и среднее

квадратическое от
клонение.

7.
29. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность
того, что х примет значение, принадлежащее интервалу (

;

); 2) вероятность
того, что абсолютная вел
ичина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m

= 5,


= 6,


= 11,


= 17,


= 3.

8
.29. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны
выборочные варианты х
i

, а во второй строке


соответственные частоты
n
i

количественного признака

Х). Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее
квадратическое отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического
ожидания
а

с заданной надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсо
на, при уровне значимости

0,05, установить,
согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной
совокупности с данными выборки объема
n
=100.

х
i

40

45

50

55

60

65

70

n
i

4

6

10

40

20

1
2

8

9
.29. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х
по данной корреляционной таблице:

Y

X

n
y

5

10

15

20

25

30

45

2

4

-

-

-

-

6

55

-

3

5

-

-

-

8

65

-

-

5

35

5

-

45

75

-

-

2

8

17

-

27

85

-

-

-

4

7

3

14

n
x

2

7

12

47

2
9

3

n=100














ВАРИАНТ №30

1.30. Бросаются два игр
альных кубика. Найти вероятность того, что число
очков на обоих кубиках нечетно.

2.30. Посеяли три сорта семян подсолнечник
а в отношении 2:3:5. Вероятности

невосприимчивости к некоторой болезни у первого, второго, третьего сортов
соответственно равны 0,7,

0,6, 0,8. Наудачу проверенные семена оказались
здоровыми. Найти ве
роятность того, что это семена второ
го сорта.

3.30.
Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе руды
равна 0,4. Найти вероятность того, что среди 6 проб четыре будут с
пром
ышленным содержанием металла.

4.30.
Вероятность выиграть в студенческой новогодней лотерее равна 0,2.
Найти вероятность того, что среди 30 купленных студентом билетов окажется:
а) 10 выигрышных; б) не более 9 выигрышных. Найти наиболее вероятное
число выи
грышных билетов.

5
.30.
Испытуемый прибор состоит из трех малонадежных элементов. Отказы
элементов за некоторое время Т независимы, а их вероятности равны
соответственно р
1

 0,1; р
2

 0,2; р
3

= 0,25.
Составить

закон распределения,

вычислить

математическое

ожидание и дисперсию числа отказа за время Т
элементов.

6
.30. Задана плотность распределения случайной величины Х:
f

(
x
)




Найти параметр А, интегральную функцию распределения, математическо
е
ожидание, дисперсию и среднее

квадратическое отклонение.

7.
30. Заданы математическое ожидание
m

и среднее квадратическое отклонение


нормально распределенной случайной величины х. Найти: 1) вероятность
того, что х примет значение, принадлежащее интервал
у (

;

); 2) вероятность
того, что абсолютная величина отклонения |
x



m

| окажется меньше

.

m = 8,


= 2,


= 7,


= 13,


= 5.

8
.30. Дано статистическое распределение выборки: в первой строке указаны
выборочные варианты х
i

, а во второй строке


соо
тветственные частоты
n
i

количественного признака Х). Требуется найти:

1. М
етодом произведений: а) выборочную среднюю; б) выборочное среднее
квадратическое отклонение;

2. Доверительные интервалы для оценки неизвестного математического
ожидания
а

с заданной
надежностью

=0,95.

3. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости

0,05, установить,
согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной
совокупности с данными выборки объема
n
=100.

х
i

106

111

1
16

1
21

1
26

1
31

1
36

n
i

4

6

10

40

20

1
2

8

9
.30. Найти выборочное уравнение прямой

регрессии
Y

на Х
по данной корреляционной таблице:


А

x


1

1

Y

X

n
y

2

7

12

17

22

27

110

1

5

-

-

-

-

6

120

-

5

3

-

-

-

8

130

-

-

3

40

12

-

55

140

-

-

2

10

5

-

17

150

-

-

-

3

4

7

14

n
x

1

10

8

53

21

7

n=100



Приложенные файлы

  • pdf 3618166
    Размер файла: 661 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий