Лекция 05. Основные понятия алгебры логики. Логические выражения и логические операции


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ.ЛОГИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ Алгебра – это раздел математики, предназначенный для описания действий над переменными величинами, которые принято обозначать строчными латинскими буквами, например a, b, x, y и т.д. Логика (древнегреч. – слово logos, означает «мысль, понятие, рассуждение, закон») - наука о законах и формах мышления.Алгебра логики изучает общие операции над высказываниями. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Logos (греч.) – слово, понятие, рассуждение, разум.Слово «логика» обозначает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления.Основными формами абстрактного мышления являются:понятия,суждения,умозаключения.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ


Понятие - форма мышления, в которой отражаются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. (Трапеция, дом)Суждение - мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах. (Весна наступила, и грачи прилетели)Умозаключение - прием мышления, посредством которого из исходного знания получается новое знание.(Все металлы - простые вещества)ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Логика (формальная) – наука о законах и формах правильного мышления.Математическая логика – изучает логические связи и отношения, лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
Аристотель (384-322 гг. до н.э.) – древнегреческий философ, основоположник логики.Книги: «Категории» «Первая аналитика» «Вторая аналитика»Исследовал различные формы рассуждений, ввел понятие силлогизма.ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ
style.rotation


Силлогизм - рассуждение, в котором из заданных двух суждений выводится третье.Все млекопитающие имеют скелет. Все киты - млекопитающие. Следовательно, все киты имеют скелет.Все квадраты - ромбы. Все ромбы - параллелеграммы. Следовательно, все квадраты - параллелограммы.ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ

Аристотель выделил все правильные формы силлогизмов, которые можно составить из рассуждений вида: «Все а суть в» «Некоторые А суть В» «Все А не суть В» «Некоторые А не суть В»Логика, основанная на теории силлогизмов, называется классической. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ


Декарт Рене (1596-1650, французский философ, математик) – ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИрекомендовал в логике использовать математические методы.
style.rotation
Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716, немецкий ученый и математик) –ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИпредложил использовать в логике математическую символику и впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счисления.Логика обретает символьный язык, конкретность законов, распространяется за рамки гуманитарных наук.Его идеи оказали влияние на последующие работы ученых в этой области.
style.rotation

Джордж Буль (1815-1864, английский математик-самоучка, основоположник математической логики)ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИВ 1846 году Джордж Буль подхватил идею Лейбница о создании логического универсального языка, подчиняющегося строгим математическим законам. Буль изобрел своеобразную алгебру – систему обозначений и правил, применимую к всевозможным объектам, от чисел и букв до предложений. Его именем она теперь и называется: алгебра Буля или булева алгебра.
style.rotation

Огастес де Морган (1806 – 1871, шотландский математик и логик) -ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИизложил (1847) элементы логики высказываний и логики классов, дал первую развитую систему алгебры отношений.
style.rotation
Платон Сергеевич Порецкий (1846-1907) – русский астроном, математик.ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИАвтор первых в России трудов по математической логике, активно занимался популяризацией этой дисциплины, первый из русских учёных, кто читал лекции по математической логике.Занимался проблематикой алгебры высказываний. Его работы оказали влияние на последующие исследования в данной области.Хотя основной его специальностью была астрономия, как астроном Порецкий малоизвестен, популярность ему принесло его «хобби» — занятия математической логикой.
style.rotation

Логика оказала влияние на развитие математики, прежде всего теории множеств, функциональных систем, алгоритмов, рекурсивных функций.В гуманитарных науках (логика, криминалистика).Математическая логика является средством для изучения деятельности мозга – для решения этой самой важной проблемы биологии и науки вообще.Идеи и аппарат логики используется в кибернетике, вычислительной технике и электротехнике (компьютеры построены на основе законов математической логики).Идеи и аппарат логики используется в программировании, базах данных и экспертных системах (PROLOG – язык логического программирования).ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ


1938 г. – американский инженер и математик и инженер Клод Шеннон (1916 – 2001) связал Булеву алгебру (аппарат математической логики), двоичную систему кодирования и релейно-контактные переключательные схемы, заложив основы будущих ЭВМ.ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
style.rotation Алгебра логики (высказываний) - раздел математической логики, изучающий высказывания и логические операции над ними.АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Высказывание (суждение) – любое повествовательное предложение в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.Примеры высказываний: 1) Земля - планета Солнечной системы. 2) 2+8<5 3) 55=25 4) Всякий квадрат есть параллелограмм5) Каждый параллелограмм есть квадрат 6) 22=5 АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ



Высказываниями не являются:1) восклицательные и вопросительные предложения; 2) определения;3) предложения типа: «он сероглаз» «x2-4x+3=0»АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Определите какие из следующих выражений являются высказываниями:Число 6 – четное.Здравствуйте!Все роботы являются машинами.Кто отсутствует?Выразите 1 ч 15 мин в секундах.А – первая буква в алфавите.АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ



Определите истинность высказываний.Треугольник – геометрическая фигура.У каждой лошади есть хвост.Париж – столица Китая.Лед – твердое состояние воды.Все люди – космонавты.АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation Алгебра логики (высказываний) работает с высказываниями.Различают:1. Логические константы (логические утверждения) – конкретные частные утверждения (Истина/Ложь) {Аристотель - основоположник логики} {На яблонях растут бананы}АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ


2. Логические переменные (предикаты) – логические высказывания, значения которых меняются в зависимости от входящих в них переменных, обозначаются заглавными латинскими буквами А, В, С, D, F,… А = {Аристотель - основоположник логики} В = {На яблонях растут бананы}. Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
style.rotation
style.rotation
3. Логические функции ( логические формулы) – сложные логические выражения, образованные из простых и связанные логическими операциями И, ИЛИ, НЕ и др.) Высказывание «Все мышки и кошки с хвостами» является сложным и состоит из двух простых высказываний.А=«Все мышки с хвостами» и В=«Все кошки с хвостами»Его можно записать в виде логической функции, значение которой истинно: F(A,B)=A и BАЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно.Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только ложно (0) или истинно (1).АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
В алгебре логики высказывания принято обозначать прописными латинскими буквами: A, B, X, Y. Действия, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений.Высказывание (логическое выражение) может принимать только одно из двух значений – ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).Истина, ложь – логические константы.АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Логические выражения бывают простыми или сложными. Простое логическое выражение состоит из одного высказывания и не содержит логические операции. В нём возможно только два результата – либо «истина», либо «ложь».На улице светит солнце. (А) На улице идет дождь. (В)АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

style.rotation
style.rotation Сложное логическое высказывание строится из простых с помощью связок «И», «ИЛИ», «НЕ», которые называются логическими операциями.На улице светит солнце и на улице идет дождь. (А и В)На улице светит солнце или на улице идет дождь. (А или В)АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Основные логические операции:НЕ (логическое отрицание, инверсия)ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)И (логическое умножение, конъюнкция)ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Конъюнкция (логическое умножение) – соединение двух логических выражений (высказываний) с помощью союза И.Обозначение: и, and, ×, & ,  Логическая операция конъюнкция истинна только в том случае, если оба простых высказывания истинны, в противном случае она ложна.А – У меня есть знания для сдачи зачета.В – У меня есть желание для сдачи зачета.У меня есть знания и желание для сдачи зачета.A  BОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ



Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений.Таблица истинности определяет результат выполнения операций для всех возможных логических значений исходных высказываний.ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Таблица истинности конъюнкции: ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
style.rotation Дизъюнкция (логическое сложение) – соединение двух логических высказываний с помощью союза ИЛИ.Обозначение: или, or, +, VЛогическая операция дизъюнкция ложна, если оба простых высказывания ложны. В остальных случаях она истинна.A – Летом я поеду в лагерьB – Летом я поеду к бабушкеЛетом я поеду в лагерь или поеду к бабушкеA V BОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ



ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИТаблица истинности дизъюнкции:
style.rotation Отрицание (инверсия) – операция логического отрицания.Добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО,ЧТО… Обозначение: не, not, ¬ , ¯.Если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то оно будет истинным.А – Земля вращается вокруг Солнца – истинно¬А – Земля не вращается вокруг Солнца – ложноОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ


ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИТаблица истинности отрицания:
style.rotation Импликация (логическое следование) – связывает два логических выражения, из которых первое является условием, а второе – следствием из этого условия. Операция обозначается словами: «Если…, то…» (Если А, то В).Обозначение: →, Результат операции импликации ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.А – идёт дождьВ – на улице сыроЕсли идёт дождь, то на улице сыро.А → ВОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ



ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИТаблица истинности импликации: Эквивалентность (логическое тождество, равнозначность) – определяет результат сравнения двух логических выражений. Операция обозначается словами: «…тогда и только тогда, когда…» (А т. и т. т. когда В)Обозначение:  ,  ,  , ~Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.А – день сменяет ночьВ – солнце скрывается за горизонтомДень сменяет ночь тогда и только тогда, когда солнце скрывается за горизонтом.А ~ ВОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИТаблица истинности эквивалентности:
Приоритет выполнения логических операций в сложном логическом выражении:Инверсия (отрицание)Конъюнкция (умножение)Дизъюнкция (сложение)Импликация (следование)Эквивалентность (тождество)Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки. ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ



а) (1&1)&0 =14325121) 1&1 = 1 2) 1&0 = 0 0б) ((1v0)&(1&1))&(0v1) =1) 1v0 = 1 2) 1&1 = 1 3) 1&1 = 1 4) 0v1 = 1 5) 1&1 = 1 1ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИНайдите значение логических выражений:









в) ((1&1)v0)&(0v1) =1) 1&1 = 1 2) 1v0 = 1 432112г) ((0v0)&(1&0))v(0&1) =1) 0v0 = 0 2) 1&0 = 0 343) 0v1 = 1 4) 1&1 = 1 13) 0&0 = 0 4) 0&1 = 0 55) 0v0 = 0 0ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ










Построение таблицы истинности сложных ЛВ:1) определить число простых ЛВ (n);2) определить число строк в таблице истинности (q=2n);3) записать все возможные значения простых ЛВ;4) определить количество логических операций и их порядок;5) записать логические операции в таблицу истинности и определить для каждой значение.ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ


Задание 1: Постройте таблицу истинности сложного ЛВОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИAB1) ¬AvB0001111012¬A¬AvB11001101











2) (¬AvB)&(¬BvA)AB0001111012345¬A¬AvB¬B¬BvA(¬AvB)&(¬BvA)11001101101010111001ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ






















3) ¬A&(BvC)ABC000001010011100101110111123(BvC)¬A¬A&(BvC)011101111111000001110000





























4) AvB&C ABC000001010011100101110111= не (AvB&C)123B&CAvB&Cне (AvB&C)000100010001111111100000































Задание 2: Постройте таблицы истинности сложных ЛВ и сравните их:1) А и В или С и А2) (А или В) и (А или С)3) А и (В или С)4) А или (не В или не С)5) не (не A и не (B и C))ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Задание 3: Определите с помощью таблиц истинности, какие из логических выражений являются тождественно-истинными:1) А и А или В и (А и В или В)2) ((А или В) => В) и (А или В)3) А и В <=> (A или B)4) А и B и (А и В)5) A и (B и (А или В))






Построение логических выражений по таблице истинности:1) записать логическое умножение всех простых ЛВ для каждой строки, в которой сложное ЛВ = 1 (если значение простого ЛВ = 0, то берется его отрицание); 2) логически сложить полученные выражения.ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Составьте сложное логическое выражение по таблице истинностиABCF00000011010101101000101111001110А)не A и не B и Сне A и B и не СA и не B и С(не A и не B и С) или (не A и B и не С) или (A и не B и С)(¬A¬BС)(¬AB¬С)(A¬BС)




ABCF00010010010001111000101011001111Б)не A и не B и не Сне A и B и СA и B и С(не A и не B и не С) или (не A и B и С) или (A и B и С)(¬A¬B¬С)(¬ABС)(ABС)





Приложенные файлы

  • pptx 3939747
    Размер файла: 654 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий