modul_teor_ver_ua


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Міністерство освіти і науки України


ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ






Напрями підготовки бакалаврів:

6.040106; 6.050202; 6.050502;
6.060101
;
6.060103








МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання завдань модуля



ВИ
ПАДКОВІ ПОДІЇ ТА ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ


з курсу „В
ИЩА МАТЕМАТИКА











Затверджено

н
а засіданні кафедри

вищої математики.

Протокол №
2
від
20
.
1
0.2008











Харків 20
1
0



2


Методичні вказівки до виконання завдань модуля „
Випадкові події та
випадкові
величини
” з курсу „Вища математика” для
бакалаврів
напрям
ів

підготовки
6.040106; 6.050202; 6.050502;
6.060101
; 6.060103

/ Укладачі: О.О.
Аршава, С.Г
.
Ізмайлова, Л
.
І
.
Щелкунова
.

Харків, ХДТУБА, 20
10
.


76
с.

























Рецензент А.П. Харче
нко















Кафедра вищої математики



































3

ВСТУП



Дане видання призначено для надання допомоги студентам в організації
самостійної роботи на тему Випадкові події та випадкові величини”.


Результативність самост
ійної роботи забезпечується системою контролю,
яка включає наступні етапи:



виконання індивідуальних домашніх завдань;



виконання контрольної роботи на тему Випадкові події та випадкові
величини”;



виконання та складання підсумкового завдання з теми Випадко
ві
події та випадкові величини”;



виконання модульної контрольної роботи за всіма темами модуля.


Методичні вказівки містять робочу програму модуля, індивідуальні
домашні завдання, варіанти підсумкового завдання і приклад його виконання, а
також варіанти те
стових завдань, приклад виконання модульного контролю і
питання для підготовки до його складання.

1 ПРОГРАМА МОДУЛЯ


1.1

Основні поняття теорії ймовірностей



1 Випробування і події.


2 Класифікація випадкових подій.


3 Класичне означення й
мовірності, її влас
тивості.


4 Відносна частота
. Статистична й
мовірність.


5 Геометрична ймовірність.


1.2

Теорема додавання ймовірностей



1 Теорема додавання й
мовірностей несумісних подій.


2

Повна група подій.


3

Протилежні події.


1.3

Теорема множення й
мовірностей



1
Незалежні
й
залежні події.


2

Теорема множ
ення й
мовірностей незалежних подій.


3

Імовірність появи хоча б однієї події.


4
Умовна й
мовірність.


5
Теорема множення й
мовірностей залежних подій.


1.4

Наслідки теорем додавання та множення



1
Теорема додавання й
мові
рностей
сумісних подій.



4

2
Формула повної імовірності.


3
Імовірність гіпотез. Формули Бейеса.


1.5

Повторення випробувань

1 Формула Бернуллі.

2 Локальна теорема Лапласа.

3 Інтегральна теорема Лапласа.

4 Імовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності
в

не
-

залеж
них випробуваннях.

5 Формула Пуас
с
она.


1.6
Класифікація випадкових величин. Дискретна випадкова величина

1 Означення випадково
ї
величини
.

2
Дискретні та неперервні випадкові величини.

3
Закон розподілу й
мовірностей дискретних випадкових величин
.

4
Біноміальний
закон
розподіл
у дискретної випадкової величини
.

5 Закон Пуассона.


1.7
Числові характеристики дискретних випадкових величин


1
Математичне сподівання дискретної випадкової величини.

2
Імовірні
сний зміст математичного сподівання.

3 Властив
ості математичного сподівання.

4

Математичне сподівання числа появи події
в
незалежних
випробу
-
ваннях.

5
Дисперсія дискретної випадкової в
еличини. Формула для обчислення

дисперсії.


6
Властивості дисперсії.

7
Дисперсія числа появи події в незалежних випроб
уваннях.

8
Середнє квадратичне відхилення, його властивіст
ь
.


1.8
Інтегральна функція розподілу й
мовірностей випадкової величини

1
Означення інтегральної функції розподілу.

2
Властивості інтегральної функції.

3
Графік інтегральної функції.


1.9
Диференціал
ьна функція роз
поділу ймовірностей

неперервної
випадкової величини

1
Означення диференціальної функції розподілу.

2
Імовірність попадання неперервної випадкової величини в заданий
інтервал.

3
Властивості диференціальної функції.




5

1.10
Закони розподілу та ч
ислові характеристики неперервних

випадкових величин


1
Закон рівномірного розподілу, йог
о інтегральна та диференціальна

функції.

2
Числові характеристики рівномірного розподілу.

3
Нормальний розподіл, його параметри, нормальна крива.

4
Числові характерист
ики нормального розподілу.

5
Імовірність попадання в заданий інтервал норм
альної випадкової

вели
-
чини.

6
Обчислення й
мовірності заданого відхилення.

7
Правило трьох сигм.


1.11
Закон великих чисел

1
Однаково розподілені взаємно незалежні випадкові величин
и.

2
Нерівність Чебишева.

3
Теорема Чебишева, її сутність.

4
Теорема Бернулі.

5 Поняття збіжності за ймовірністю
.



2
ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ДОМАШНІХ ЗАВДАНЬ

2.1 Означення й
мовірності


Варіант
1

1
В урні
знаходиться 30 чорних, 24 червоних, 32 синіх та 14 білих куль.
Навмання з урни беруть 1 кулю. Знайти імовірність того, що ця куля буде білою
або чорною?

2 Знайти й
мовірність того, що точка, яка пост
авлена навмання в круг
радіуса
R
,
буде знаходитись у сере
дині вписаного в круг квадрата?


3
У ящику знаходяться картки з номерами від 1 до 50. Яка ймовірність
того, що номер навмання взятої картки не містить цифри чотири?


Варіант
2

1
Учасники жеребкування беруть жетони з
номерами від 1 до 100. Знайти
й
мовірніст
ь того, що номер
навма
ння взятого жетона не містить цифри 4?

2
Знайти й
мовірність того, що точка, яка поставлена навмання в квадрат
зі стороною
а
, буде знаходитися в колі, вписаному в цей квадрат?

3
Корoбка містить 5 однакових, занумерованих кубіків. Навм
ння по
одному ді
стають усі кубіки. Знайти ймовірність того, що номера в
сіх кубіків
з`являться в зростаючій послідовності.






6

Варіант
3

1
Абонент забув дві останні цифри телефонного номера
,
і пам`
ятаючи, що
вони різні та
утворюють двозначне число менше 40,
навмання набрав дві
цифри. Знайти
й
мовірність того, що набрані потріб
ні цифри.

2
Знайти й
мовірність того, що точка, яка поставлена в рівносторонній
трикутник зі стороною
а
, буде в середині кола, яке вписано в цей трикутник?

3 У
ящику 20 деталей, серед яких
10 пофарбованих. На
вмання беруть 4
деталі. Знайти й
мовірність того, що
в
сі деталі будуть пофарбованими
?



Варіант
4

1
Серед 300 приладів, які взяті були
на перевірку, 20


несправних.
Знайти й
мовірність тог
о, що взятий на перевірку прилад
буде справним?

2

Знайти й
мовірність того, що точка, яка пост
а
влена в коло радіуса
R
,

буде в середині рівностороннього трикутника, вписаного в це коло.

3
Прист
рій

містить 7 елементів, з яки
х 4




зношені. При включенні
пристро
ю випадково
включаються 2 елементи. Знайти й
мо
вірність того, що
включилися незношені елементи.

Варіант
5

1
Учасники жеребкування беруть жетони з
номерами від 1 до 100. Знайти
й
мовірність того, що номер навмання взятого жетона не містить цифру 3?

2
На площині накреслені два концетричних кола, радіуси
яких
5см і 10 см
відповідно. Знайти й
мовірні
сть того, що точка, яка кинута у
велике коло,
попаде у кільце, утворене цими колами.

3 У
групі 20 студентів, серед яких 8
відмінників. Зп списком навмання
відібрані 9 студентів. Знайти й
мовірність того,
що серед
відібраних студентів 5
відмінників.

Варіант
6

1 У процесі
запису прізвищ учасників деяких зборів, загальне число яких
дорівнює
300, виявилось, що початковою
літерою
у 10
прізвищ
б
ула А, у 6



Є,
у 9



І, у 12



О, у 5



У і у 3



Ю,
а
решта

прізвищ почина
лася з приголосних.
Знайти й
мовірність того, що прізвище

учасника
цих
зборів
, якого викликали

навмання
,

починалося
з
голосної?


2

Коло радіуса
R
містить мале коло радіуса

r
. Знайти й
мовірність того, що
точка, яка навмання кинута у велике коло, попаде також
і в мале.


3 У
ящику 10 деталей, сер
ед яких 7 пофарбованих. Знайти й
мовірність
того, що 3 вибрані деталі будуть пофарбовані?



Варіант
7

1
Із цифр 1, 2, 3, 4, 5 вибираю
ть навмання одну цифру. Знайти
й
мовірність того, що буде вибрана непарна цифра?

2 З
найти й
мовірність того, що точка, яка кинута в шар радіуса
R
попаде
в
середину куба, вписаного в цю кулю
?



7

3 Ки
нули
2 гральні кістки. Знайти й
мовірність того, що
в сума
оч
ок
на
випавших гранях дорівнює 5, а добуток

4.

Варіант
8

1 У
ящику 100 деталей,
і
з
них 10 бракованих. На
вмання беруть 3 деталі.
Знайти й
мовірність того, що усі взяті деталі браковані.

2 Набираючи номер телефону
, абонент за
був 3 останні цифри
і,
памя`таючи
, що ці цифри різ
ні, набрав їх навмання. Знайти й
м
овірність того,
що набрані потріб
ні
цифри.

3 Ки
нули
2 гральні кістки. Знайти й
мові
рність того, що в сумі випаде 7
очок?

Варіант
9

1 У
крамницю надійшла партія взуття одного фасону й
розміру, але
різного кольору. Патія склада
є 40 пар чорного кольору, 26


коричньового, 22


червоного. Зна
йти й
мовірність того, що взята навмання пара взуття буде
червоного кольору?

2 Із
шести карток з буквами Т, Є, Р, М, О, С вибираю
ть навмання по черзі
4. Знайти й
мовірність того, що отримаємо слово СОРТ»
.

3
Устрій містить 9 елементів, з яких 3

зношені. Пр
и включенні устрою
випадково включаються 4 елементи.
Знайти й
мовірність того, що
включилися
незношені елементи.

Варіант
10

1
Збори, на яких присутнні 30 чоловіків, в тому числі 7 жінок, вибираю
ть
делегацію з 4 людей. Знайти й
мовірність того, що в делегаці
ю увійдуть 3 жінки
і 1 чоловік.

2 Ки
нули
2 гральні кісткі. Знйти й
мовір
ність того,

що сума випавших
очок
дорівнює 8?


3 У
квадрат зі стороною
а
кинули точку. Знайти й
мовірність попадання
точки в круг, вписаний в цей квадрат?

Варіант
11

1

Усі натуральні чи
сла від 1 до 30 записані на однакових картках і
вміщені в ур
ну. Після перемішування карток з урни беруть 1 картку. Знайти
й
мовірність того, що число на вибраній картці буде кратним 5?

2
У партії
з 15 пральних машин 5 виготовлені на заводі А, 10

на заводі

В. Випад
ково відібрано 5 машин. Знайти й
мовірність того, що 2 з них
виготовлені на заводі А.


3 Під час пострілу по мішені
відносна частота влучень дорівню
є 0,75.
Знайти число влучень під час 40 пострілів
.

Варіант
12

1
К
инули 2 гральні
кістки. Знайти й
мов
ірність того, що сума очок на
випавших гранях дорівнює 9?



8

2
На станцію прибули 10 вагонів різної продукції, які помічен
і номерами
від 1 до 10. Знайти й
мовірність того, що серед 5 відібраних для контролю
вагонів, будуть вагони з номерами 2 і 5?


3
Ві
дносна
частота нормального сходження
насіння дорівнює 0,97. З
посіяного насіння зійшло 970
одиниць
. Скільки насіння було посіяно?

Варіант
13

1
Навман
ня вибране натуральне число
, яке
менше 10. Знайти й
мовірність
того, що вибрано просте число.

2
Комісія по якості
раз у місяць перевіряє якість продуктів в 2
і
з 30
магазинів,
серед яких 2 вам відомі.Знайти ймовірність того, що протягом
місяця
відомі магазини будуть перевірені?


3
На відрізку натурального ряда від 1 до 20 знайти відносну частоту
простих чисел.

Варіант
14

1 Кинули 2 монети. Чому дорівнює й
мовірність того, що на обох монетах
випадуть цифри?

2
Виготовлена парті
я з 200 виробів,
у якій виявлено
3 бракованих.
Навмання вибрано 5 виробів.
Знайти й
мовірність того, що серед 5 відібраних


виробів 1 буде бракований
?


3
У куб вписано кулю
.

Яка ймовірність того, що точка, кинута навмання
всередину куба, виявиться в середині кулі?

Варіант
15

1 Яка й
мовірність того, що в навмання вибраному двозначному числі
будуть однакові цифри?

2
Із 100 вироблених деталей 10 мають деф
ект. Для перевір
ки відібрані 5
деталей. Знайти й
мовірність того, що серед відібраних деталей 2 будуть з
дефектом?


3
Знайти відносну частоту появи
надпису при 100 киданнях монети у
випадку, коли надпис з’явився 48 разів.

Варіант
16

1 Із
букв слова дифере
нціал» навмання
вибирається одна буква. Знайти
й
мовірність того, що ця буква голосна?


2 Із
20 акціонерних товариств (АТ) 4 є банкрутами. Громадянин при
дбав
по 1 акції з 6 АТ. Знайти й
мовірність того, що серед придбаних акцій 2
банкрути.


3
Гральну кістку
кидають 90 разів.
Шестірка з’явилася 12 разів.
Знайти
відносну частоту появи шестірки.

Варіант
17

1
Ки
дають 2 гральні кістки. Знайти й
мовірність того, що на гранях обох
кісток випаде однакове число очок.



9

2
На склад привезли 50 ящиків комплектуючих виробі
в, серед них
виявилось 4 ящики некомплектних. Н
авмання взяли 6 ящиків. Знайти
й
мовірність того, що серед взятих ящиків 1 буде некомплектний.


3
Знайти відносну частоту появи простих чис
ел на відрізку натурального
ряду
від 41 до 50.

Варіан
т
18

1 У книзі 30
0 сторінок. Знайти й
мовірність того, що навмання відкрита
сторінка буде мати номер, кратний 5?

2
На 6 картках написані букви І, В, А, К, Х, Р. Картки навмання
ро
зкладають в ряд. Чому дорівнює й
мовірність, що отримане слово




ХАРКІВ.


3
На площині намаль
овані еліпси
1
9
25
,
1
16
49
2
2
2
2
=
+
=
+
y
x
y
x
так, що їх
центри співпадають.
Навмання кидають точку. Знайти й
мовірність того, що
точка попаде в малий еліпс? (Площа еліпса дорівнює

ав
).

Варіант
19

1
У
партії з 10 деталей 7


ста
ндартних. Знайт
и й
мовірність того, що
серед 6 взятих навмання деталей 4


стандартних.

2
У
партії з 20 холодильників 8 вироблені на заводі А, 12

на заводі В.
Випадково від
ібрано 6 холодильників. Знайти й
мовірність того, що 2 з них
вироблені на заводі А.


3 Під час пос
трілу
по мішені відносна частота влучень дорівнює 0,8.
Знайти число влучень при 60 пострілах.

Варіант
20

1
Серед 25 студентів групи 10 дівчат.
Розігруються 5 білетів. Знайти
й
мовірність того, що серед володарів білетів будуть 2 дівчини.


2
У
партії зі 10
0 виробів 5



нестандартних. Навмання вибирають 6
виробів.
Знайти й
мовірність того, що серед них не буде нестандартних.


3

Знайти відносну частоту появи простих чисел на відрізку натурального
ряд
у
від 51 до 70.

Варіант
21

1
В ящику 15 куль, з яких 5 блак
итних і 10 червоних. Нав
мання
вибирають 6 куль. Знайти й
мовірність того, що серед вибраних куль 2 блакитн
і
.

2
Ки
дають 2 гральні кістки. Знайти й
мовірність того, що сума випавших
очок дорівнює 8, а різниця 4.


3
На по
лиці 25 підручників, з яких 5 з
теорії
й
мовірностей. Ст
удент
навмання бере 2 підручники. Знайти й
мовірні
сть того, що взяті підручники з
теорії й
мовірностей.



10

Варіант
22

1 Із
50 виготовлених деталей 10 мають дефект. Для пере
вірки відібрані 5
деталей. Яка й
мовірність того, що серед відібраних дет
алей 2 будуть

бракованими?

2 У
ящику 4 блакитних і 5 червоних куль.
Навмання беруть 2 кулі. Знайти
й
мовірність того, що ці кулі різного кольору.


3

Під час пострілу
відносна частота влучень дорівню
є 0,65. Знайти число
влучень під час 70 пострілів.

Варі
ан
т
23

1
У
партії з 200 виробів виявлено 3 з дефектом. Навм
ання вибрано 5
виробів. Знайти й
мовірність того, що серед вибраних виробів не має
бракованих
.

2
Ки
дають 2 гральні кістки. Знайти й
мовірність того, що сума випавших
очок дорівнює 8, а різниця

2
.


3

У
коло радіуса
R
вписан
ий квадрат. Яка й
мовірність того, що точка,
кинута навмання в коло, попаде в квадрат?

Варіант
24

1 У
книз
і 200 сторінок. Чому дорівнює й
мовірність того, що навмання
відкрита сторінка буде
мати номер,
кратн
ий

3
?

2 Із
30 акціонерни
х товариств (АТ)
6 є банкрутами. Чому дорівнює
й
мовірність того, що серед 8
куплених акцій 3 будуть банкрутами?


3
Скількома способами можна вибрать 3 особи на 3 різні посади з 10
кандидатів?

Варіант
25

1 У
партії
з 25 телевізорів 10 виготовлені на зав
оді А, а 15

на заводі В.
Знайти й
мовірність того, що серед випадково відібраних 6 телевізорів 2
виготовлені заводом В.

2
Відносна частота сходження
насіння дорівнює 0,95. Зійшло 950 зерен.
Скільки насіння було посіяно?


3
У
ящику 15 куль, з яких 5 блакит
них і 10 червоних. Нав
мання
вибирають 6 куль. Знайти й
мовірність того, що серед вибраних куль 2 червоні.

Варіант
26

1 У
коробці 5 однакових виробів, причо
му 3 з них пофарбовані. Знайти
й
мовірність того, серед 2 отриманих виробів 1 буде пофарбований.

2 У
ко
ло радіуса
R
=
5 см вписан
ий
квадрат. Знайти й
мовірність того, що
точка кинута в коло
,
попаде в квадрат.


3
Знайти відносну частоту появи простих чисел на відріку
натурального
ряду
від 81 до 100.



11

Варіант
27

1 У
коробці 5 однакових виробів, причому 3 з н
их пофарбовані
. Знайти
й
мовірність того, серед 2 отриманих виробів 2 будуть пофарбованими.

2
На площ
ині область G обмежен еліпсом

1
9
25
2
2
=
+
y
x
, а область g




еліпсом
1
4
16
2
2
=
+
y
x
. В область G
кинули точку. Знайти й
мовірність тог
о, що
точка попаде в область g ? (Площа еліпса дорівнює

ав
)

3
.Під час пострілу
по мішені відносна частота влучень дорівню
є 0,88.
Знайти число влучень під час 50 пострілаів
?


Варіант
28

1
У
партії з 15 деталей
,
6



стандартних. Навм
а
ння відібрані 4 деталі.
Знайти й
мовірність того, що серед відібраних деталей 2


стандартні.

2
На площині намальовані 2 концентричних кола, радіуси яких 9
см і 6
см. Знайти й
мовірні
сть того, що точка, яку кинули у
велике коло, попаде також
в кільце, утво
рене цими колами.

3
Для з`ясування якості насіння б
уло відібрано і посіяно 100 насінин. 95
насінин дали нормальние схо
д
ження. Знайти відносну частоту сходження

насіння.

Варіант
29

1
У
партії з 15 деталей
,
7



стандартних. Навман
ня відібрані 5 деталей.
Зн
айти й
мовірність того, що серед відібраних деталей 3



стандартні.

2
Відносна частота влучень по мішені дорівню
є 0,85. Знайти число
влучень під час 20 пострілів
.

3 У кулю
радіуса
R
вписан
ий
куб. На
вмання кидається точка. Знайти
й
мовірність того, що точка п
опаде в куб. (Об`єм шара
3
3
4
R
V

=
, сторона куба
3
2
R

=
).

Варіант
30

1 Кинуто 2 гральних кістки. Знайти й
мовірність того, що сума очок на
випавших гранях дорівнює 9?

2
У
партії
з 15 кінескопів 10 виготов
лені Лвівським заво
дом. Знайти
й
мовірність того, що серед 5 взятих навмання
кінескопів
3

Львівського
заводу
.


3 У середину круга радіуса

R
навмання
кинуто точку. Знайти ймовірність
того, що точка виявиться в серед
и
ні вписаного в круг правильного трикутника.





12

2.2
Основні
теореми теорії ймовірностей

Варіант 1

1
Кинуто
гра
льну кістку. Чому дорівнює й
мовірність того, що випаде
парне число очок?

2 Два стрільці
стріляють по мішені 1 раз. І
мовірності влучення в мішень
під час одного пострілу
дорівнюють для 1 стрі
льця 0,6, для 2


0,7. Знайти
й
мовірність того, що
в
мішень буде влучен
о
: а) тільки одним стрільцем; б)
хоча б одним стрільцем.

3 В урні 5 білих, 6 чорних і 4 синіх кулі. Випробування полягає в тому,
що навмання з урни беруть кулю, не повертаючи її в урну. Знайти ймові
рність
того, що під час першого випробування з`явиться біла куля, під час другого


чорна, під час третього

синя.

4 Перша коробка містить 25 радіоламп, з яких 20


стандартних, друга


15 ламп, з яких 10


стандартних. Із другої коробки навмання взята л
ампа і
перекладена в першу. Знайти ймовірність того, що лампа
,
взята навмання з
першої коробки
,
буде стандартна.

5 Два автомати виготовляють однакові детали. Продуктивність першого
автомата вдвічі більше другого. Виготовлення деталей відмінної якості для
автоматів відповідно дорівнює 0,65; 0,8. Взята навмання деталь виявилась
відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь зроблена першим
автоматом.

Варіант
2

1
В урні 40 куль: 15 блакитних
, 5 зелених і 20 білих. Знайти й
мовірність
того, що взята на
вмання куля буде кольоровою?

2
Три студенти склада
ють екз
амен. І
мові
рність того, що 1 студент складе

екзамен дорівнює
0,9, 2

0,7, 3

0,6. Знайти й
мовірність того, що: а) 2 студент
и
скл
адуть екзамен; б) хоча б 1 студент
складе
екзамен.


3 У
ящику 1
0 д
еталей, з яких 3

першого типу
і 7

другого. Для збирання
агрегата потрібно вз
яти спочатку деталь першого типу, а потім

другого.
Знайти й
мовірність того, що навмання взяті детали будуть в необхідній
послідовності.

4 У
групі спортсменів: 25 лижників,
10
велосипедистів, 5 бігунів.
І
мовірність виконати кваліфікаційну норму така: для лижника 0,8, для
велосипедиста
0,85, для бігуна 0,75. Знайти й
мовірність того, що спортсмен
,

вибраний навмання
,
виконає норму.

5 Виріб перевіряють на стандартність одним із кон
тролерів. І
мовірність
того, що виріб потрапи
ть
до контролерів відповідно дорівнює 0,6; 0,4. Взятий
навмання виріб був
визнаний стандартним. Знайти й
мовірність того, що цей
виріб перевірив другий контролер.



13

Варіант
3

1 Кинуто 2 гральні кістки. Знайти й
мовір
ність того, що сума випавших
очок буде не більше 4 ?

2 Робітник обслуговує 3 верстати. Імовірність того, що протягом
години
п
отребує його уваги перший
верстат
дорівнює 0,8, друг
ий

0,7, третій

0,6.
Знайти ймовірність того, що протягом

години уваги робіт
ник
а: а) не потребує
жоден
верстат
; б) хоча
б один верстат
.

3 У ящику 10 деталей, з яких 5

першого тип
у
, 3

другого, 2

третього.
Знайти ймовірність того, що навмання взяті почерзі 3 детали будуть 1, 2, 3
типів.

4 Складальник отримав 3 коробки деталей
, вироблених на заводі №1, і 2
коробки деталей завода №2. Імовірність того, що деталь завода №1 стандартна
дорівнює 0,7, а завода №2

0,8. Складальник навмання взяв деталь із навмання
вибраної коробки. Знайти ймовірність того, що взята стандартна деталь.

5 У трьох партіях по 20 деталей
у
кожній. Число стандартних деталей
у

партіях відповідно дорівнює 5, 10, 15. Із навмання вибраної партії навмання
беруть деталь, яка
виявилася стандартною. Знайти й
мовірність того, що деталь
була взята з третьої партії.

Вар
іант
4

1
Спортсмен стріляє по мішені, розділеній на 3 сектори. Імовірність
попадання в 1 сектор д
орівнює 0,4, в 2

0,3. Знайти й
мовірність попадання в 1
або в 2 сектор?

2
Робітник обслуговує 3 верстати. Імовірність того, що протягом
години
він
буде обслу
говувати
перший верстат
дорівнює 0,7, друг
ий

0,6, третій

0,5.
Знайти ймовірність того, що протягом
го
дини робітник буде обслуговувати
: а)
всі 3
верстати; б) хоча б один верстат
.

3

Студент знає 2
5 з 30 питань програми. Знайти й
мовірність того, що
студ
ент знає запропоновані йому екзаменатором 3 питання.




4
Перший ящик містить 20 деталей, з яких 18


стандартних, другий

30
деталей, з яких 25

стандартних
, третій

10 детал
ей з них 7


стандартних.
Знайти й
мовірність того, що взята навмання детал
ь
із навмання вибраного
ящика


стандартна.


5
На складі знаходяться делали, які вироблені на двох заводах.
Продуктивність першого завода в 4 рази вище другого. Імовірність бракованих
деталей відповідно дорівнює 0,05; 0,01. Навмання взята детал
ь виявилась
б
ракованою. Знайти й
мовірність того, що ця деталь виготовлена першим
заводом.

Варіант
5

1
На полиці зна
ходяться 10 книг, розставлених у
довільному порядку. З
них
3 книги з теорії ймовірностей, 3

з математичного аналізу, 4

з
ліній
ної
алгебри
. Студент ви
падкови
м чином дістає 1 книгу. Знайти й
мовірніст
ь того,
що студент узяв книгу з теорії ймовірностей, або з
ліній
ної алгебри
?



14

2
Три студенти
складають
екзамен. Імовірність
скласти
екзамен першим
студентом дорівнює 0,8, друг
им

0,6, третім

0,5. Знайти й
м
овірніст
ь того,
що: а) тільки 2 студенти складуть
екзаме
н; б) хоча б один студент складе

екзамен.


3 У
ящику 10 деталей, з яких 6


пофарбовані. Навмання вибирают
ь 3
детал
і
. Знайти й
мовірність того, що всі взяті детали пофарбовані.

4 У
телевізійному ател
ьє
4 кінескопи
. Імовірності того, що кінескоп
витримає гарантійний строк відповідно дорівнюют
ь: 0,9
;
0,7
;
0,6
;
0,95. Знайти
й
мовірність того, що взятий навмвння кінескоп витримає гарантійний

строк.

5 На склад надходя
ть вироби трьох фабрик, при чому вироби
першої
фабрики складають 20 %, другої

45 %, третьої 35 %. Середній відсоток
нестандартних виробів для фабрик відповідно
дорівнює 3 %, 2 %, 1 %. Знайти
й
мовірність того, що навмання взятий нестандартний виріб зроблений третьою
фабрикою.

Варіант
6

1

У
пор
т приходять кораблі з 3 пунктів відправлення. Імовірність появи
корабля з 1 пункта дорівнює
0,2, з 2 пункта

0,6. Знайти й
мовірність прибуття
корабля з 3 пункта?

2

Із трьох гармат зробили
залп по цілі. Імовірність влучення в ціль 1, 2, 3
гарматами відпові
дно
дорівнює 0,7; 0,6; 0,9. Знайти й
мовірність того, що
влучать в ціль: а) тільки 2 гармати; б) всі 3 гармати.

1.

3
Знайти й
мовірність того, що навмання взяте двозначне число буде
кратне 2 або 7, або 2 і 7.

4

У
коробці знаходяться 60 ламп, виготовлених зав
одом №1 і 40


заводом №2. Імовірність того, що лампа виготовлена заводом №1 стандартна
дорівнює 0,9, для
ламп завода №2

0,75. Знайти й
мовірність того, що взята
навмання лампа буде стандартна.

5

На фабриці три машини виробляють відповідно 20 %, 35 %, 45
%
виробів.
У
їх продукції брак складає ві
дповідно 3 %
;
2 %
;
1 %. Знайти
й
мовірність того, що навмання взятий нестандартний виріб зроблений на другій
фабриці.

Варіант
7

1.Спортсмен стріляє по мішені, розділеній на 3 сектори. Імовірність
попадання в 1 сектор
д
орівнює 0,6, в 2

0,2. Знайти ймовірність попадання в 1

або в 2 сектор
.

2
Для сигналізації про аварію встановлені три незалежно працюючих
пристрої. Імовірність того, що під час аварії спрацює перший пристр
ій
дорівнює 0,6, друг
ий

0,9, третій

0,8. Зн
айти й
мовірність того, що п
ід час

аварії спрацює: а) тільки 2 пристрої; б) хоча б один прист
рій.

3
На 30 картках написані 30 двозначних чисел від 1 до 30. На
вмання
беруть 1 картку. Знайти й
мовірність того, що число на картці буде кратним 2,
або 3.



15

4
В обч
ислюваній лабораторії
10 клавішних автоматів і 5 напів
автомат
ів.
Імовірність того, що під час виконання деякого розрахунку автомат не вийде із
ладу дорівнює 0,9, для напів
автомата

0,85. Навма
ння вибирається машина.
Знайти й
мовірність того, що під час роз
рахунку вибрана машина не вийде із
ладу
.

5
Деякий виріб випускається двома заводами, причому другий завод
випускає виробів в 3 рази б
ільше першого. Імовірність браку для кожного
заводу
відпов
ідно дорівнює 2 %, 1 %. Знайти й
мові
рність того,
що
придбаний
бра
ковани
й виріб виготовлено на другому заводі.

Варіант
8

1
Заочний факультет університета приймає па
кети з контрольними
роботами з трьох
мі
ст. Імовірність появи пакета з одного
міста д
орівнює 0,7, з
другого


0,2. Знайти й
мовірність
того, що пакет буде отрим
ан
им

і
з третього

міста.

2
Три стрільці
зробили по одному пострілу по мішені. Імовірність
влучення в мішень першим с
т
рільцем дорівнює 0,9, другим

0,8, тр
етім 0,7.
Знайти й
мовірність того, що: а) ті
льки один із стрільців влучить у

мішень; б)
хоча б один
влучить у
мішень.

3
На ше
с
ти
картках написані літери
Т
, А,
Т
, А, Х,
О
. Навмання беруть по
черзі
чотири
карт
ки і розкладають
у
ряд. Знайти й
мовірність того, що
отримають слово
ТАТО
.

4
На фабриці виготовляють бол
ти: перша машина виробляє
35%, д
руга


25%, т
ретя

40% всіх бол
тів. Брак продукції складає
відповідно 1%, 3%, 2% .
Знайти й
мовірніст
ь того, що навмання вибраний бол
т буде дефектним.

5
На виробництві виготовля
ються вироби на трьох
поточних лініях.
Кількість виробів кожної лінії відповідно складає 30
%, 25 %, 45%. Відсоток
стандартних виробів для кожної лінії відповідно дор
івнює 96 %, 97 %, 98 %.
Знайти й
мовірність того, що взятий навмання стандартний виріб виготовлен
ий
на третій
лінії.

Варіант
9

1 Крамниця отримала продукцію з чотирьох оптових склад
ів: з першого


4 ящики, з другого

5 ящиків, з третього

7

ящиків, з четвертого


4 ящики.
Випадково вибран
ий один ящик для продажу. Знайти й
мові
рність того, що це
буде ящик з першого або третього складу
.

2
Студент знає 45 з 60 питань програми. Кож
ний екзаменаційний б
ілет
містить 3 питання. Знайти й
мовірність того, що студент знає:

а) тільки 2
питання; б) всі три питання.


3 У
ящику 1
0 деталей, з яких 4 першого типу
і 6

другого. Для збирання
агрегату
потрібно взяти споча
тку деталь першого типу
, а потім

другого.
Знайти й
мовірність того, що навмання взяті детали будуть в необхідній
послідовності.




16

4
У п
арті
ї
елект
роламп 25 % виготовлених
заводом №1, 35 %


заводом
№ 2, 40 %

заводом

3. Імовірності випуска бракованих ламп відповідно
дорівню
ють 0,01; 0,004; 0,005. Знайти й
морвірність того, що навмання вибрана
лампочка буде стандартною.
склада.

5
У цеху три типи
автоматичних верстатів. Продуктивність їх однакова, а
якість


різна. Відмінна якість верстатів відповідно дорівнює 0,95
;
0,9
;
0,
85.
Кількість верстаті типів відповідна 5, 3, 2. Взятий навмання виріб вия
вився
відмінної якості. Знайти й
мовірність того, що цей вирі
б належить верстату
першого типу
.

Варіант
10

1 Кинуто гральну кістку. Чому дорівнює й
мовірність того, що випаде
непарне ч
исло очок?

2
Для сигналізації про аварію встано
влені три незалежно працюючих
пристрої. Імовірність того, що під час аварії спрацює перший пристрій
дорівнює 0,8;
друг
ий

0,9; третій

0,7. Знайти ймовірність того, що під час
аварії спрацює: а) тільки
один

прис
трі
й; б) хоча б один прис
трій.

3
У мішку знаходиться 10 куби
ків.
Навмання беруть по одному 4 кубики.
Знайти й
мовірність того, що послідовно з`яв
ляться куби
ки з номерами 1, 2, 3, 4,
якщо їх беруть не повертаючи.

4 На склад потрапляють деталі
з трьох авт
оматів.
Брак відповідно складає
0,2 % ; 0,3 % ;
0,4 %. Знайти й
м
овірність по
трапляння
на склад
ання
бракованої

детали, якщо з першого автомату надійшло
1500,

з другого

2000, з третього


2500

деталей.

5
У групі 10 стрільців. Для п

яти
з них й
мовірність
влучення дорівнює
0,8; для трьох других

0,5; для інших

0,25. Постріл, зроблений одним із
с
трільців, дав влучення. Знайти й
мовірність того, що цей постріл зробив
стрілець з другої групи.



Варіант
11

1

В урні 40 куль: 10 червон
их, 12 синіх, 18 білих.
Знайти й
мовірність
появи кольорової кулі.

2 Для руйнування мосту достатньо влучення однієї авіаційної бомби.
Знайти ймовірність того, що міст буде зруйновано, якщо на нього скинут
о
три
бомби, ймовірність влучення відповідно дорівнює
0,8
;
0,9 та
0,8
5.

3
Ім
овірність того, що перши
й спортсмен влучить
у
мішень під час
одного пострілу
дорівнює 0,9, для другого спотсмена

0,8. Здійсн
ено по
одному пострілу. Знайти й
мовірність того, що в мішені виявиться одне
влучення.

4
На двох автоматичних верстатах виробляютьс
я однакові вироби.
Продуктивність першого верстата вдвічі більше
,
ніж другого.
Імовірність
виготовлення виробу
вищої якості відповідно д
орівнюють 0,8 і 0,95. Знайти
й
мовірність того, що взятий навманн
я вирі
б буде вищої якості.



17

5
Третя частина однієї з т
рьох партій виробів другосортна, інші вироби у
всіх партій першого сорта. Виріб, взятий з однієї партії
,
виявився
першосортним. Знайти й
мовірність того, що виріб був взятий із п
артії, яка мала
другосортні виро
би.

Варіант
12

1
Стріл
ець стріляє по мішені, ро
зділеній
на 3 ч
астини. Імовірність
влучення в першу частину дорівнює 0,4, в другу

0,25. Знайти й
мовірність
того, що стріл
ець
влучить в 1 або 3 частини мішені.

2
Робітник обслуговує 3 верстати. Імовірність того, що протягом
годин
и
він буде обслуговувати
перший верстат
дорівнює 0,2, друг
ий

0,3, третій

0,4.
Знайти ймовірність того, що протягом
го
дини робітник буде обслуговувати: а)
тільки 2 верстати; б) хоча б один верстат.

3

У
контейнері міститься 10 виробів, з них 7 стандартних
. Знайти
й
мовірність т
ого, що навмання вибрані
по черзі з контейнера три вироби
будуть
стандартні.

4

На підприємст
в
і працюють три поточні лінії.

На кожній лінії
виробляють
відповідно виробів: 35 %, 25 %, 40 % . Стандартність виробу
для
кожної лінії відповідно дор
івнює 93 %, 94
%, 95 %. Знайти й
мовірність того, що
навмання взятий виріб буде бракованим.

5

У
групі 20 чоловік, з них 12 хлопців і 8 дівчат. Із хлопців до семінар
у

підготувались 5 чоловік, а з дівчат

6. Когось ви
кликали й
відповідь була дана.
Знайти
й
мовірність того,
що
ви
кликали
дівчин
у
.

Варіант
13

1 Заочний факультет університету
отримує пакети з контрольними
роботами з 3 міст: А, В, С. Імовірність отримання пакета з міста А дорівню
є 0,6,
з міста В

0,3. Знайти й
мовірність того, що черговий пакет буде отриман
ий
з
мі
ста А або С.

2 Із трьох гармат зробили
залп по цілі. Імовірність влучення в ціль 1, 2, 3
гарматами відповідно
дорівнює 0,9
;
0,7
;
0,6. Знайти й
мовірність того, що
влучать в ціль: а) тільки 2 гармати; б) всі 3 гармати
.

3
Три верстати
пр
ацюють незалежно один
від одного
. Імовірність

безперебійної роботи протягом
зміни для першого верстата дорівнює 0,9, для
другого

0
,8, для третього

0,7. Знайти ймовірність того, що протягом
зміни
хоча б один верстат працює безперебійно.

4 У
піраміді 6 гвинтівок, 4 з яких об
ладнані оптичним прицілюванням.
Імовірність того, що стрілець влучить в мішень з гвинтівки з прицілюванням
дорівнює 0,9,
без прицілювання

0,8. Знайти й
мовірність того, що
в мішень
буде влучено
із навмання взятої гвинтівки.

5
Число пасажирських пароплав
і
в, які пропливають по річці повз
навігаційного знаку
,
відноситься до числа вантажних пароплавів, як 2 : 3.
Імовірність того, що знак буде збитий пасажирським пароплавом дорівнює


18

0,01, а вантажним



0,03. Пароплав проплив і знак був зби
тий. Знайти
й
мовірні
сть того, що знак був збитий вантажним пароплавом.

Варіант 1
4

1
Імовірність того, що день
у червні
бу
де ясним дорівнює 0,75. Знайти
й
мовірність того, що
1 і 2 червня
буде
хмарно
.

2
Студент знає 50 з 60 питань програми. Кожний екзаменаційний білет
м
істить 3
питання. Знайти й
мовірність того, що студент знає: а) тільки 2
питання; б) хоча б одне питання.

3
У
читальному
залі бібліотеки 6 підручників з
теорії
й
мовірностей, з
яких 3


в палітурці. Бібліотекар навм
ання взяв 2 підручники
. Знайти
й
мовірність того, щ
о обидва підручник
и
в палітурці.

4
Партія електроламп складає: 20 % виготовлена заво
дом №1, 30 %
заводом № 2, 50 %



№ 3. Імовірності випуска бракованих ламп відповідно
дорівню
ють 0,01; 0,005; 0,006. Знайти й
мовірність того, що навмання вибрана
лампочка б
уде стандартною.

5
Сигнальні лампи для радіоапаратури виготовляють на двох заводах.
Кількість їх відноситься як 7 : 3. Імовірність ст
андарту відповідно дорівнює 0,6
;

0,8. Знайти й
мовірність того, що взята навмання лампа виготовлена другим
заводом.

Варіант
15

1 У
ящику 10 деталей
, з яких 5

стандартних. Знайти ймовірність того,
що серед трьох
н
авмання взятих деталей, хоча б одна
була стандартна.

2 Три стрільці
зробили по одному пострілу по мішені. Імовірність
влучення в мішень першим с
т
рільцем дорівнює 0,
4
, другим

0,5, третім

0,6.
Знайти й
мовірність того, що: а) ті
льки один із стрільців влучить у

мішень; б)
хоча б один влучить у
мішень.

3
В урні 6 білих, 4 чорних і 5 синіх кулі. Випробування полягає в тому,
що навмання з урни беруть кулю, не повертаюч
и
її в урну. Знайти й
мовірність
того, що при першому випробуванні з`явиться біла куля, при другому

чорна,
при третьому

синя.

4
На підприємстві працюють три поточні лінії.

На кожній лінії
виробляють відповідно виробів: 30 %
;
25 %
;
45 % . Стандартність ви
р
обу
для
кожної лінії відповідно дор
івнює 95 %
;
96 %
;
97 %. Знайти й
мовірність того, що
навмання взятий виріб буде бракованим.

5
Число вантаж
івок
, які проїжджають по шосе, на якому знаходиться
бензоколонка
,
відноситься до числа легкових машин, як 5 : 3. На
зап
равку
під`їхала машина. Знайти й
мовірність того, що під`їхала вантаж
івка
.

Варіант
16

1
І
мовірність того, що стрілець під час одного пострілу
виб`є 10 очок
дорівнює 0,1, для 9 очок

0,3, для 8 і м
енше очок дорівнює 0,6. Знайти
й
мовірність того
, що під ч
ас одного пострілу
стрілець виб`є не менше 9 очок.



19

2

Студент знає 40 з 50 питань програми. Кожний екзаменаційний б
ілет
містить 3 питання. Знайти й
мовірність того, що студент знає:

а) тільки 2
питання; б) хоча б одне питання.

3 У
ящику 10 деталей, з як
их
4



першого типу
і 6

другого. Для
збирання аг
регату
потрібно вз
яти спочатку деталь першого типу, а потім




другого. Знайти й
мовірність того, що навмання взяті детали будуть в
необхідній послідовності.

4
У
піраміді 5 гвинтівок, 3 з яких обладнані опт
ичним прицілюванням.
Імовірність того, що стрілець влучить в мішень з гвинтівки з прицілюванням
дорівнює 0,95, без прицілювання

0,7.
Знайти й
мовірність того, що мішень
буде влучена із навмання взятої гвинтівки.

5
На автозавод надійш
ли двигуни від трьох м
оторних заводів: першого


10 двигунів, другого

6, третього

4. Імовірності безперервно
ї роботи цих
двигунів протягом
гарантійного
терміну
відповідно до
рівнюють 0,9
;
0,8
;
0,7.
Знайти й
мовірність того, що
двигун,
працю
ючий
без дефект
у,
виготовлен
ий
на
др
угому заводі.



Варіант
17

1
Події А, В, С, D утворюють повну групу. Імовірності цих подій: Р(А) =
0,1, Р(
В) = 0,4, Р(С) = 0,3. Знайти й
мовірність події D.

2. Для сигналізації про аварію встановлен
і три незалежно працюючих
пристрої
. Імовірність того, щ
о при аварії спрацює перший прист
рій дорівнює
0,7, друг
ий

0,8, третій

0,6. Знайти й
мовірність того, що п
ід час
аварії
спрацює: а) тільки
два
пристрої; б) хоча б один прис
трій.

3 У
ящику 10 деталей, з яких 7


пофарбовані. Навма
ння вибирають 3
детали.
Знайти й
мовірність того, що всі взяті детали пофарбовані.

4
На
фабриці виготовляють вироби на трьох
поточних лініях. Вироби з
кожної лінії відповідно складаю
ть: 45 %
;
35 %
;
20 %. Стандартність виробів на
кожній лінії відповідно дор
івнює 98 %
;
96 %
;
94 %. З
найти й
мовірність того,
що навмання взятий виріб буде бракованим.

5 На підприємстві в трьох
цехах виготовляють замки. Кількість замків,
виготовлених в цехах
розподіляється відповідно: 25 %
;
35%
;
40%. Брак складає
відповідно 5%, 4%, 2 %. Навмання взятий зам
ок виявився дефектним.
Знайти
й
мовірність того, що цей замок виготовлен в третьому цеху.

Варіант
18

1 У
ящику 10 деталей, сер
ед яких 2

нестандартні. Знайти й
мовірність
того, що серед навмання відібраних 6 деталей буде не більше
1
нестандартної.

2
Студе
нт
знає 35 з 50 питань програми. Кожний екзаменаційний б
ілет
містить 3 питання. Знайти й
мовірність того, що студент знає:

а) тільки 2
питання; б) хоча б одне питання.

3 У
ящику 1
0 деталей, з яких 6 першого типу
і 4

другого. Для збирання
агрегату
потріб
но взяти спочатку д
еталь першого типу, а потім
-
другого.


20

Знайти й
мовірність того, що навмання взяті детали будуть в необхідній
послідовності.

4
Ящик містить однакові вироби
,
40 %
з яких
виготовлені першим
автоматом, інші


другим. Брак продукції відповід
но складає 3 %, 2 %. Знайти
й
мовірність того, що навмання взятий виріб буде бракованим.

5 Три робітники
виготовляють типові вироби. Відповідно кожний
виробляє: 45
;
30
;
25 виробів. Імовірності брака робітників: 0,03
;
0,02
;
0,01.
Взятий навмання вир
іб виявив
ся бракованим. Знайти й
мовірність того, що
взятий виріб зробив другий робітник.

Варіант
19

1
За
статистичним
и
даним
и
ремонтної майстерні в середні
м на 20
зупинок токарного верстата
пр
ипадає: 10 для зміни різця, 3


через
зіпсування
привода, 2


через
несво
єчасн
у
подач
у
заготівок, решта
зупинок через інші
причини. Знайти ймовірність зупинки верстата через інші причини
.

2
Робітник обслуговує 3

верстати
.
Імовірність того, що протягом години
він буде обслуговувати
перший

верстат
дорівнює 0,5, другий

0,3, трет
ій

0,8.
Знайти
й
мовірність того
, протягом
го
ди
ни робітник буде обслуговувати:
а)
тільки два верстати; б) хоча б один верстат
.

3
Знайти ймовірність того, що навмання взяте двозначне число буде
кратне 3 або 8, або 3 і 8.

4
На підприємс
т
ві працюють три по
точні лінії. На кожній лінії
виробляють відповідно виробів: 30 %
;
2
5 %
;
45 % . Стандартність виробу
для
кожної лінії відповідно дор
івнює 97 %
;
98 %
;
96 %. Знайти й
мовірність того, що
навмання взятий виріб буде бракованим.

5 У
майстерню для ремонту
взуття
приносять чоботи і черевики в
співвідношенні 2 :
3. Імовірність якісного ремонту
відповідно дорівнює 0,9;
0,85. На
вмання взята пара взуття, яка відремонтована якісно. Знайти
й
мовірність того, що взяті були черевики.

Варіант
20

1 У
ящику 10 деталей, з яки
х 5

стандартних. Знайти й
мов
ірність того,
що серед чотирьох
н
авмання взятих деталей, хоча б одна
буде стандартна.

2
Для сигналізації про аварію встановлен
і три незалежно працюючих
пристрої
.

Імовірність того,
що
під час
аварії спрацює перший прис
трій
д
орівнює 0,7, другий

0,9, третій

0,6. Знайти
й
мовірність того, що п
ід час
аварії спрацює: а) тільки два
прис
трі
ю
; б) хоча б один
прис
трій.

3
На 30 картках написані 30 двозначних чисе
л від 1 до 30. Навмання
беруть одну картку. Знайти й
мовірність того, що
число на картці буде кратним
3 або 4.

4
На двох автоматичних верстатах виробляються однакові вироби.
Продуктивність першого верстата вдвічі більше
,
ніж другого. Імовірність
виготовлення вироба вищої якості відповідно
дорівнює 0,9 і 0,81. Знайти
й
мовірн
іст
ь того, що взятий навмання вирі
б буде вищої якості.



21

5
На підприємстві працюють 2 бригади робітників: перша виготовляє 0,75
продукції з відсотком брака 4 %, друга 0,25 продукції
з відсотком брака 6 %.
Знайти й
мовірність того, що взятий навмання бракова
ний виріб був
виготовлений другою бригадою.


Варіант
21

1 У
класі 25 учнів. Із них 10 хлопчиків, а решта


дівчатка. Навмання за
списком

журнал
у
вибирають 5 учнів. Яка й
мовірність того, що всі вони
виявляться хлопчиками або дівчатками?

2
Імовірності своєч
асного виконання завдання трьома незалежно
працюючими підприєм
свами відповідно дорівнюють 0,5
;
0,6
;
0,7. Знайти
й
мовірність своєчасного виконання завдання: а) тільки двома підприємс
т
вами;
б) хоча б одним підприємс
т
вом?

3
На 6 картках написані літери М, А,
М, А, Л, А. Навмання беруть по
черзі 4 картки і розклад
ають в ряд. Знайти й
мовірність того, що отримають
слово МАМА.

4 На складення потрапляють деталі
з трьох автоматів. Брак відповідно
складає
0,1
%
;
0,2
%
;
0,3
%. Знайти й
мовірність
потрапляння на склад
ання

бракованої деталі, якщо з першого автомату

надійшло
1000, з другого

2000, з
третього

3000

деталей.

5
У
будзагоні 70 % першокурсників і 30 % студентів другого курса. Серед
першокурсників 10 % дівчат,
а серед другокурсників

5%. У
сі дівчата по
ч
ерзі
чергують на кухні. Знайти й
мовірність то
го, що в навмання о
браний день
на кухні чергуюють дівчата.


Варіант
22

1
Серед 14 за зовнішнім виглядом електролампочо
к: 8 штук на 220В, а
решта на
127В. Навм
ання вибирають 4 лампочки. Яка й
мовірність того, що
вон
и всі виявляться 220В або на 127В?


2
Імовірність правильного оформлення рахунку на підприємстві складає
0,95. В час аудиторської перевірк
и були взяті 3 рахунки. Знайти ймовірність
того, що: а) тільки два

з
них оформлені правильно;
б) хоча б один із
у
зяти
х
рахунків оформлен
ий
правильно?


3 У
мішку знаходятьс
я 10 куби
ків.
Навмання беруть по одному 3 кубики.
Знайти й
мовірність то
го, що послідовно з’я
в
ляться куби
ки з номерами 1, 2, 3,
якщо їх беруть не повертаючи.


4
Партія електроламп складає: 20 % виготовл
ена заводом №1, 30 %

заводом № 2, 50 %

№ 3. Імовірно
сті випуску
бракованих ламп відповідно
дорівню
ють 0,01; 0,005; 0,006. Знайти й
мовірність того, що навмання вибрана
лампочка буде стандартною.


5
Ящик містить 5 виробів завода №1, серед яких
1 браковани
й, 10 виробів
заводу № 2, серед яких 2 бракованих,
5
виробів заводу
№ 3, серед яких 2
браковані. Навмання взятий вир
іб виявився бракованим. Знайти й
мові
рність
того, що цей виріб заводу
№ 3.



22

Варіант
23

1
Серед 16 однотипних телевізорів: 10 виготовлено заво
дом №1, а решта

заводом №2. Навмання із них виби
рають 5 штук. Яка й
мовірність того, що
вони виявляться виготовленими заводом №1 або заводом №2 ?

2
У
районі 100 селищ.
У
5
з них знаходяться пункти прокату

сільхозтехніки. Випадковим чи
ном відібрані 3 селищ
а. Знайти й
мовірність того,
що: а) тільки в двох з
них знаходяться пункти прокату; б) хоча б в одному

селищі знаходиться пункт прокату
?

3
Імовірність того, що перший спорт
смен влучить у
мішень під час
одного пострілу
дорівнює 0,7, для другого спотсмена


0,8. Здійсн
ено по
одному пострілу. Знайти й
мовірність того, що в мішені виявиться одне
влучення.

4 На фабриці виготовляють болти: перша машина виробляє
30%, д
руга


25%, третя

45% всіх бол
тів. Брак продукції складає
відповідно 2%
;
1%
;
3% .
Знайти й
мовірн
іст
ь того, що навмання вибраний бол
т буде дефектним.

5
По команді постр
іл може бути зробленим з будь
-
якої з трьох гармат.
Імовірності влучення г
армат відповідно дорівнюють 0,7
;
0,8
;
0,9.
Після пострілу
мішень була влучена. Знайти й
мовірність того, що постр
іл був зроблений
другою гарматою.

Вар
іант 2
4

1 На чотирьох
картках написані літери А, Т, Е, М. Картки н
авмання
розкладають в ряд. Яка й
мовірність того, що при цьому одержимо слово ТЕМА
або МЕТА?


2
У
місті знаходяться 15 продовольчих і 5 непродовольчих кр
амниць.
Випадковим чином для приватизації бул
и відібрані 3 крамниці. Знайти
й
мовірність того, що: а) всі відібрані кра
мниці непродовольчі; б) хоча б одна
з
відібраних крамниць продовольча?


3
У
контейнері міститься 10 виробі
в, з них 6 стандартних. Знайти
й
мовірність того, що навмання вибрані по
черзі з контейнера чотири вироб
и

будуть стандартні.

4
У
обчислюваній лабораторі
ї 4 клавішних автоматів і 6
напів
автоматів.
Імовірніст
ь того, що під час
виконанн
я
деякого розрахунк
у
автомат не вийде
з
ладу дорівнює 0
,95, для
нап
ів
автомата

0,8. Навма
ння вибирається машина.
Знайти й
мовірність того, що під час розрахунку
вибрана машина не вийде з
ладу
.

5
Чотири верстати виготовляють детал
і
. Брак відпов
ідно до верстатів
складає: 0
,
25
%
;
0,3%
;
0,25%
;
0,4%. Продуктивності
верстатів відносяться як 9:
3: 2: 1. На зб
и
рання наді
йшла стандартна деталь. Знайти й
мовірність того, що
ця деталь зроблена на четвертому верстаті.


Варіант
25

1
Задана множина цілих чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Із
цієї множини
беруть 4 числа поодинц
і і розкладують у ряд. Яка й
мовірність того, що при
цьому одержано число 1945 або 1965?



23

2
Контролер перевіряє вироби на відповідність стандарту. Імовірність
того, що виріб стан
дартний дорівнює 0,9. Знайти й
мовірність того, що
:
а) з
д
вох перевірених вироб
ів тільки один стандартний; б) хоча б один

стандартний?

3 У
читальному
залі бібліотеки 8 підручників з
теорії й
мовірностей, з
яких 5


в палітурці. Бібліотекар навм
ання взяв 3 підручника. Знайти
й
мовірність того, що в
сі вибрані підручники є підручниками в
палітурці.

4 У
коробці знаходяться 60 ламп, виготовлених заводом №1 і 40


заводом №2. Імовірність того, що лампа виготовлена заводом №1 стандартна
дорівнює 0,95, для
ламп завода №2

0,85. Знайти й
мовірність того, що взята
навмання лампа буде стандартна.

5
Третя частина виробів однієї з трьох партій другосортна, інші вироби в
усіх партіях першосортні. Навмання взятий виріб з однієї партії
виявився
першосортним. Знайти й
мовірність того, що виріб був взятий із партії, яка має
другосортні вироби.

Варіант 2
6

1
На 10 картках написані літери Т, Р, А, Н,
С, Л, Я, Ц, І, Я. Навмання по
одній
беруть 5 карток і розкладають
у
ряд. Як
а й
мовірність того, що при цьому
одержані слова РАЦІЯ або ТРАНС ?


2
Для сигналізації про аварію встановлен
і три незалежно працюючих
п
ристрої. Імовірність того, що під час аварії спрацює перший пристр
ій
дорівнює 0,7, друг
ий

0,5, третій

0,8. Знайти й
мовірність того, що п
ід час

ав
арії спрацює: а) тільки два
пристрої; б) хоча б один прист
рій.



3
В урні 7 білих, 5 чорних і 3 синіх кулі.
Випробування полягає в тому,
що навмання з урни беруть кулю, н
е повертаючи її в урну. Знайти й
мовірність
того, що при першому випробуванні з’явиться біла куля, при другому

чорна,
при третьому

синя.


4 У
телевізійному ательє 4 кінескоп
и
. Імовірності то
го, що кінескоп
витримає гарантійний ст
рок, відповідно дорівнюють: 0,8
; 0,85; 0,9; 0,95.
Знайти
й
мовірність того, що взятий навм
а
ння кіне
скоп витримає гарантійний


термін
.

5
На трьох фабриках виготовляють відповідно: 10%
;
50%
;
40% усіх
виробів. Брак серед
фабрик с
кладає відповідно: 4%
;
5%
;
3%.
Вибраний
навмання вирі
б виявив
ся бракованим. Знайти й
мовірність того, що цей виріб
виготовили на другій фабриці.

Варіант
27

1 Серед 10 однотипних електромо
торів, що надійшли на склад, 7
відповідають вимогам стандарту
, а решта

з похибками
.

Навмання вибирають
3 електромотори. Яка й
мовірність того, що всі вони виявляться
відповідни
ми
до
вимог стандарту щодо
експлуатації або ні?


2
Імовірності своєчасного виконання завдання трьома незалежно
працюючими підприємс
т
вами від
повідно дорівнюють 0,6
;
0,7
;
0,8. Знайти
й
мовірність своєчасного виконання завдання: а) тільки двома підприємс
т
вами;
б) хоча б одним підприємс
т
вом ?




24

3
У
ящику 1
0 деталей, з яких 3


першого типу
і 7

другого. Для
збирання агрегату
потрібно вз
яти спочатку
деталь першого типу, а потім


другого. Знайти й
мовірність того, що навмання вз
яті деталі
будуть в необхідній
послідовності.

4 Перший ящик містить 20 деталей, з яких 15 стандартних, другий

30
деталей, з яких 24 стандартні, третій


10 деталей
, з яких 6
стандартних. Знайти
й
мовірність того, щ
о
взята навмання дета
ль із навмання вибраного ящика



стандартна.


5
Із
першого верстат
а
на з
б
и
рання
надійш
ло 45%, з

другого

25%, з
третього

5%, з четвертого

25% усіх деталей. Брак деталей серед вер
статів
від
повідно складає: 0,2%
;
0,3%
;
0,4%
;
0,5%. На

з
б
и
рання
надійш
л
а

бракована
деталь. Знайти
й
мовірність того, що вона виготовлена третім верстатом.


Варіант
28

1
Три
гральних кістки підкидають по одному разу. Яка й
мовірність того,
що на 3 гранях випадуть всі о
днакові числа або всі різ
ні?

2
Робітник обслуговує 3

верстати. Імовірність того, що протягом години
він буде обслуговувати
перший
верстат

дорівнює 0,6, друг
ий

0,9, третій

0,8.
Знайти ймовірність того, що протягом
години р
обітник буде обслуговувати
: а)

тільки два

верстати
; б) хоча б один
верстат.


3 У
ящику 10 деталей, з яких 8 пофарбовані. Навма
ння вибирають 3
деталі. Знайти й
мові
рність того, що всі взяті деталі
пофарбовані.

4 Складальн
ик отримав 3 коробки деталей, вироблених на заво
ді №1 і 2
коробки д
еталей заводу
№2. Ім
овірність того, що деталь заводу
№1 с
тандартна
,

дорівнює 0,8, а заводу
№2

0,9.

Складальн
ик навмання взяв деталь із нав
мання
вибраної коробки. Знайти й
мовірність того, що взята стандартна деталь.

5
Маємо 10 урн, в 9 з яких знаходяться
по дві чорних і дві білих кулі, а в
одній п

ять білих і одна чорна куля. Із навмання взятої у
рни дістають білу
кулю. Знайти ймовірність того, що куля взята
з урни, яка
містить 5 білих і 1
чорну кулю.

Варіант
29

1
Серед 13 деталей, що містяться в
ящику, 8


стандартних, а решта



браковані. Навма
ння беруть 4 деталі. Яка й
мовірність того, що взяті всі
стандартні деталі або 2 стандартні і 2 браковані?

2

Імовірність правильного оформлення рахунку на підприємстві складає
0,9. В час аудиторської перевірки були
взяті
3 рахунки. Знайти й
мовірність
того, що: а) тільки 2 них оформлені правильно;
б) хоча б один із взятих
рахунків оформлен
ий
правильно?

3
У
ящику 10 деталей, з яких 3 першого тип
у
і 7

другого. Для збирання
агрегата потрібно вз
яти спочатку деталь першо
го типу, а потім
-
другого.
Знайти й
мовірність того, що навмання взяті детали будуть в необхідній
послідовності.

4
У
групі спортсменів 20 лижників, 6 велосипедистів, 4 бігуна.
Імовірність виконати кваліфікаційну норму така: для лижника 0,9, для


25

велосипед
иста 0,8, для бігуна 0,75. Знайти і
й
овірність того, що спортсмен
,

вибраний навмання
,
виконає норму.

5 Два автомати виробляють детали, які
надходять на загальний конве
єр.
Імовірність отримати браковану деталь від автомата відповідно дорівнює 0,05
;

0,08. Про
дуктивність першого автомата вдвічі менша продуктивності другого.
Навмання взята з конвейера деталь
виявилась стандартною. Знайти й
мовірність
того, що вона виготовлена другим автоматом
.


Варіант
30

1

Серед 10 водяних насосів 3



мають дефект. На
вмання виби
рають 4
насоси. Яка й
мовірність того, що серед вибраних насосів 2

без дефекту
і 2


з
дефектом, або 3 без дефекту
і 1



з дефектом.


2
Імовірність правильного оформлення рахунку на підприємстві складає
0,95. В час аудиторської перевірк
и були взяті 3 рахун
ки. Знайти й
мовірність
того, що: а) тільки 2 них оформлені правильно;
б) хоча б один із взятих
рахунків оформлен
ий
правильно?


3 Знайти й
мовірність того, що навмання взяте двозначне число буде
кратне 4, або 8, або 4 і 8.



4
Перша коробка містить 20 раді
оламп, з яких 18


стандартних, друга


10 ламп, з яких 9


стандартних. Із другої коробки навмання взята лампа
і
перекладена в першу. Знайти й
мовірність того, що лампа взята навмання з
першої коробки буде стандар
тна.

5
Прилад складається з двох вузлів. І
мовірність відмовлення вузла
відповідно дорівнює 0,2; 0,3. При вип
робуванні прилад вийшов із ладу
. Зна
йти
ймовірність того, що відмовив
перший вузол.


2.3

Повторні випробування

Варіант
1

1 У
партії з 20 виробів 4


браковані. Яка й
мовірність того, що сере
д
взятих навмання 5 виробів 2


будуть бракованими.

2 Знайти й
мовірність того, що подія А наст
ає
70 р
азів у
250
випробуваннях, якщо й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,25.


3
Імовірність появи події в кожному із 100 випробувань д
ор
івнює 0,6.
Знайти й
мовірність того, що ця подія з’явиться від 70 до 85 разів.


Варіант
2

1 У
партії
з 50 виробів 5

браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих навмання 5 виробів 3


будуть бракованими.

2 Знайти й
мов
ірність того, що подія А наста
є
80 р
азів у
300
випробуваннях, якщо й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,3.




26

3
Імовірність появи події в кожному з 600 незалежних ви
пробувань
дорівнює 0,8. Знайти й
мовірність того, що відносна частота
появи події
відхилиться від
її ймовірності за
абсолютн
ою
величин
ою
не більше
, ніж
на
0,04.


Варіант
3

1 У
партії з 20 виробів 5


браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих навмання 4 виробів 2


будуть бракованими.

2 Знайти й
мовірність того,
що подія А настає
60 р
азів у
400
випробуваннях, якщо й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,35.


3
Завод відправив на базу 1000 якісних виробів. Імовір
ність пошкодження
кожного виробу
в
дорозі дорівнює 0,0001. Знайти й
мовірність того, що в дорозі
буде пошкоджено 2
вироб
и
.

Варіант
4

1 У
партії
з 25 виробів 6

браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих навмання 5 виробів 3


будуть бракованими.

2 Знайти й
мовірність того, що подія А наст
ає
90 р
азів у
350
випробуваннях, якщо й
мовірність появи цієї події в кожном
у випробуванні
дорівнює 0,4.


3
Імовірність появи події в кожному із 500 ви
пробувань дорівнює 0,7.
Знайти й
мовірність того, що ця подія зявиться від 60 до 75 разів.

Варіант
5

1 У
партії
з 15 виробів 4


браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих нав
мання 3 виробів 2


будуть бракованими.

2 Знайти й
мов
ірність того, що подія А настає
85 р
азів
у
400
випробуваннях, якщо й
мовірність по
яви цієї події в кожному випроб
уванні
дорівнює 0,35.


3
Імовірність появи події в кожному з 700 незалежних ви
пробувань
до
рівнює 0,7. Знайти й
мовірність того, що відносна частота
появи події
відхилиться від її ймовірності за
абсолютн
ою
величин
ою
не більше
, ніж
на
0,03.

Варіант
6

1 У
партії
з 20 виробів 6

браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих навмання 4 виробів 1


буде бракованим.

2 Знайти й
мов
ірність того, що подія А настає
65 р
азів у
500
випробуваннях, якщо й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,4.


3 У
автобусному парку 100 автобусів. Імовірність бути зламаним
пр
отя
гом
дня дорівнює 0,1.
Знайти ймовірність того, що протягом
дня вийдуть
із
ладу
12 автобусів.




27

Варіант
7

1 У
партії з 30 виробів 4


браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих навмання 3 виробів 2


будуть бракованими.

2 Знайти й
мовірніст
ь того, що подія А настає
80 р
азі
в у
550
випробуваннях, якщо й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,45.


3
Імовірність появи події в кожному із 600 вип
робувань дорівнює 0,75.
Знайти й
мовірність того, що ця подія з’явиться від 65 до 75 разів.

Вар
іант №
8

1 У
партії з
16 виробів 4


браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих навмання 3 виробів 2


будуть бракованими.

2
Знайти й
мов
ірність того, що подія А настає
85 р
азів у
600
випробуваннях, якщо й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,4.


3

Імовірність появи події в кожному з 800 незалежних ви
пробувань
дорівнює 0,9. Знайти й
мовірність того, що відносна частота появи події
в
ідхилиться від її й
мовірності за абсолютною величиною
не більше
, ніж
на
0,02.

Варіант
9

1.В партії з 18 виробів 6



браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих навмання 5 виробів 3


будуть бракованими.

2 Знайти й
мовірність того, що подія А наст
ає
45 р
азів у
800
випробуваннях, якщо й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,6.


3
В автобусному п
арку 200 автобусів. Імов
ірність бути зламаним
протягом
дня дорівнює 0,3.
Знайти й
мовірність того, що протягом дня вийдуть
із ладу
10 автобусів.

Варіант
10

1 У
партії з 12
виробів 5


браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих навмання 4 виробів 2



будуть бракованими.

2 Знайти й
мов
ірність того, що подія А настає
70 р
азів у
650
випробуваннях, якщо й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,8.


3
Імовірність появи події в кожному із 1000 вип
робувань дорівнює 0,85.
Знайти й
мовірність
того, що ця подія з’явиться від 85 до 95 разів.

Варіант
11

1 У
партії з 30 виробів 10


браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих

навмання 5 виробів 3


будуть бракованими
.

2 Знайти й
мовірність того, що под
ія А настає
75 р
азів у
900
випробування
х, якщо й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,6.


3
Імовірність появи події в кожному з 1000 незалежних ви
пробувань
дорівнює 0,8. Знайти й
мовірність того, що відносна частота появи події


28

ві
дхилиться від її й
мовірності за абсолютн
ою величиною
не більше
, ніж
на
0,04.

Варіант
12

1 У
партії
з 20 виробів 8

браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих навмання 6 виробів 4


будуть бракованими.

2 Знайти й
мов
ірність того, що подія А настає
50 р
азів у
800
випробуваннях, якщо й
мовірн
ість появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,7.


3
Імовірність того, що будь
-
який з 1000 абонентів
зателефонують
на
к
омутатор дорівнює 0,01. Знайти ймовірність того, що протягом
години
зателефонують
3 абонент
и
.

Варіант
13

1 У
партії
з 24 виробі
в 8

браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих навмання 5 виробів 3


будуть бракованими.

2
Знайти
й
мов
ірність того, що подія А настає
80 р
азів у
950
випробуваннях, якщо й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,7.


3
Імовірніс
ть появи події в кожному із 2000 ви
пробувань дорівнює 0,9.
Знайти й
мовірність того, що ця подія з’явиться від 75 до 85 разів.

Варіант
14

1 У
партії з 22 виробів 6


браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих навмання 4 виробів 2


будуть бракованими
.

2 Знайти й
мов
ірність того, що подія А настає
85 ра
зів у
1000
випробуваннях, якщо й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,8.


3
Імовірність появи події в кожному з 1000 незалежних випробувань
дорі
внює 0,6. Знайти й
мовірність того,
що відносна частота появи події
в
ідхилиться від її й
мовірності за абсолютною величиною
не більше
, ніж
на
0,02.

Варіант
15

1 У
партії
з 20 виробів 5

браковані. Яка й
мовірність того, що серед
взятих навмання 3 виробів 2


будуть бракованими.

2
Знайти
й
мов
ірність того, що подія А наст
ає
60 разів
у
800
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,75.


3 Імовірність того, що будь
-
який з 1000 абонентів
зателефонують
на
комутатор прот
ягом
години, дорівнює 0,02. Знайти
й
мові
рність того, що
прот
я
гом
години
зателефонують
4 абоненти.

Варіант
16

1 У
партії з 20 виробів 5


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 4 виробів 1

буде
бракованим.



29

2
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
90 разів у
980
випробува
ннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,8.


3
Імовірність появи події в кожному із 1500 випробувань дорівнює 0,6.
Знайти
й
мовірність того, що ця подія з’явиться від 65 до 73 разів.

Варіант
17

1 У
партії з 16 виробів 6


б
раковані. Яка імовірність того, що серед
взятих навмання 5 виробів 3


будуть бракованими.

2

Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
86 разів у
1000
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,7.


3
Імовірність поя
ви події в кожному з 1400 незалежних випробувань
дорівнює 0,62. Знайти
й
мовірність того, що відносна частота
появи події
відхилиться від її й
мовірності
за
абсолютн
ою величиною
не більше
, ніж
на
0,03.

Варіант
18

1 У
партії з 18 виробів 5


браковані. Яка

й
мовірність того, що серед
взятих навмання 4 виробів 2


будуть бракованими.

2
Знайти й
мовірність того, що подія А наст
ає
60 разів у
700
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,85.


3
Імовірність того, що будь
-
як
ий з 1000 абонентів
зателефонують
на
комутатор протя
гом
години
дорівнює 0,04. Знайти й
мовірність того, що

протягом
години
зателефонують
2 абонент
и
.

Варіант
19

1 У
партії з 14 виробів 4


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 3 виробів
1

буде бракованим.

2
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
60 разів у
950
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,85.


3
Імовірність появи події в кожному із 1500 випробувань дорівнює 0,8.
Знайти
й
мовірність
того, що ця подія з’явиться від 65 до 75 разів.

Варіант
20

1 У
партії з 10 виробів 4


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 3 виробів 2


будуть бракованими.

2
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
78 разів у
1000
випробуваннях,
якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,6.


3 І
мовірність появи події в кожному з 1300 незалежних випробувань
дорівнює 0,64. Знайти
й
мовірність того, що відносна частота
появи події
відхилиться від її й
мовірності
за
абсолютн
о
ю
величин
ою
не більше
, ніж
на
0,02.



30

Варіант
21

1 У
партії з 16 виробів 5


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 3 виробів 2


будуть бракованими.

2
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
66 разів у
800
випробуваннях, якщо
й
мовірніс
ть появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,75.


3
Імовірність того, що будь
-
який з 1300 абонентів
зателефонують

на
комутатор
протягом
години дорівнює 0,14. Знайти
й
мовірність того, що
протя
гом
години
зателефонують

3 а
боненти
.

Варіант № 22

1 У
па
ртії з 20 виробів 6


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 4 виробів 3


будуть бракованими.

2
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
87 разів у
960
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0
,45.


3
Імовірність появи події в кожному із 1700 випробувань дорівнює 0,82.
Знайти
й
мовірність того, що ця подія з’явиться від 75 до 85 разів.

Варіант
23

1 У
партії з 26 виробів 5


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 4 виробів 2



будуть бракованими.

2
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
86 раз
ів у
1600
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,7.


3
Імовірність появи події в кожному з 1300 незалежних випробувань
дорівнює 0,53. Знайт
и
й
мовірність того, що відносна частота появи події
відхилиться від її
й
мовірності
за
абсолютн
ою
величин
ою
не більше
, ніж
на
0,01.

Варіант
24

1 У
партії з 32 виробів 8


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 5 виробів 3


будуть бракова
ними.

2
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
56 разів у
900
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,65.

3
Імовірність того, що будь
-
який з 1700 абонентів
зателефонують

на
комутатор
протягом
години дорівнює 0
,03. Знайти
ймовірність того, що
протягом години
зателефонують
2 абоненти
.

Варіант
25

1 У
партії з 34 виробів 10


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 6 виробів 4


будуть бракованими.

2
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
88 р
азів у
1960
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,65.




31

3
Імовірність появи події в кожному із 1780 випробувань дорівнює 0,86.
Знайти
й
мовірність того, що ця подія з’явиться від 75 до 83 разів.

Варіант
26

1 У
па
ртії з 30 виробів 6


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 5 виробів 3


будуть бракованими.

2
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
96 разів
у
1650
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожно
му випроб
уванні
дорівнює
0,73.


3
Імовірність появи події в кожному з 1400 незалежних випробувань
дорівнює 0,63. Знайти
й
мовірність того, що відносна частота
появи події
відхилиться від її й
мовірності
за
абсолютн
ою
величин
ою
не більше
, ніж
на
0,02.

Варіант
27

1 У
партії з 25 вир
обів 5


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 3 виробів 2


будуть бракованими.

2
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
76 разів у
900
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,85.


3
Імові
рність того, що будь
-
який з 1780 абонентів
зателефонують

на
комутатор
протягом
години дорівнює 0,02. Знайти
й
мовірність того, що
протя
гом
години
зателефонують

3 абонент
и.

Варіант
28

1 У
партії з 24 виробів 6


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взя
тих навмання 4 виробів 3


будуть бракованими.

2
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
95 разів у
990
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,85.


3
Імовірність появи події в кожному із 1750 випробувань дорів
нює 0,82.
Знайти
й
мовірність того, що ця подія з’явиться від 75 до 87 разів.

Варіант
29

1 У
партії з 28 виробів 8


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 5 виробів 2


будуть бракованими.

2
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
87
разів у
1300
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,75.

3
Імовірність появи події в кожному з 1500 незалежних випробувань
дорівнює 0,58. Знайти
й
мовірність того, що відносна частота появи події
відхилиться від
її й
мовірності за
абсолютн
ою
величин
ою
не більше
, ніж
на
0,02.

Варіант
30

1 У
партії з 24 виробів 6


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 3 виробів 2


будуть бракованими.



32

2
Знайти
й
мовірність тог
о, що подія А наступе 95 разів у
1900

випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,75.


3
Імовірність того, що будь
-
який з 1800 абонентів
зателефонують

на
комутатор
протягом
години дорівнює 0,02. Знайти
й
мовірність того, що
протя
гом години

зателефонують
3
абоненти
.

2.4 Дискретні випадкові величини

Варіант
1

У партії 20% нестандартних деталей. Навмання беруть 3 деталі.

Потрібно:

1 Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа появи
нестандартних деталей серед відібраних;

2
П
обуду
вати многокутник розподілу;

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),


(Х)
.

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 2

У
трьох урнах міститься по 8 чорних і 2 білих кулі. Із кожної урни
навмання

беруть по одній

кулі
.


Потрібно:

1
С
класти закон розподілу дискретної випа
дкової величини
Х


числа появи
білих куль серед відібраних.

2
П
обудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати
її графік.

Варіант
3

Імовірність того, що баскетболіст влуч
ить в корзину
під час
одно
го

кид
ання
,

дорівнює 0,9. По корзині було здійснено
3
кид
ання
:

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа влу
чень
баскетболістом по корз
ині.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 4

Імовірність того, що покупець, який навідався до взуттєвого магазину,
здійснить покупк
у, дорівнює 0,7.

У
магазин завітало три покупці
.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа покупців,
як
і здійснять покупку в магазині.

2 П
обудувати мно
гокутник розподілу.



33

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 5


У
партії з
7
деталей 4


с
тандарт
ні. Навмання відібрані 3 деталі.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа
станда
ртних деталей серед відібр
аних.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 6

Прис
трій складається з трьох незалежно працюючих елементів.
Імовірність відмови кожно
го елемента в д
аному експеременті дорівнює 0,8.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа
елементів, які
відмовили в даному експерименті.

2 П
обудувати многокутник
розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(
Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 7

Пр
оведено 3 незалежних випробуваня
. Імовірність появи події в ко
жному
випробуванні дорівнює 0,6.

Потрібно:


класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа п
ояви
події в трьох випробуваннях;

2 П
обудувати многокутник розподілу;

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант
8

Перевіркою якості встановлено, що з кожних 100 деталей 75
не мають
де
фект
у
. Навмання беруть 3 деталі.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа
приго
дних деталей серед взятих трьох.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти
інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.



34

Варіант 9

Проводиться 3 незалежни
х випробування, й
мовірність появи події в
кожному випробуванні дорівнює 2
/3
.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


чис
ла
можливих в
иходів появи події.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 10

У
місті 3 оптових бази. Імовірність того, що потрібний товар відс
утній
на
цих базах дорівнює 0,2.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа баз, на
яких товар відсутній
.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розпо
ділу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант
11

Імовірність того, що в даний день р
обочого тижня на заводі не буде

в
и
трачено
електроенергії
вище норми
, дорівнює 0,8
.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа днів в
тиждень п
ри п
`
яти робочих днях в тижні, в який електроенергія витрачена вище
норми.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант
12

Імовірність влу
чень в ціль при одному пострілі до
рівнює 0,7. Зроблено 3
постріли.

Потрібно:

1

С
класти закон розподілу дискретної випадкової ве
личини
Х

числа влучень в
ціль.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти
інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 13


Імовірність придбання в магазині потрібної студенту книги дорівнює 0,3.
У
місті 3 магазини.



35

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа
магазинів, які в
ідвідав студент.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 14

Гральну кістку кинули 3 рази.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискрет
ної випадкової велич
ини
Х


числа випавших
шестірок, що з’явилися.

2 П
обудувати многокутник розподіл
у.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант

15

Імовірність нар
одження
хлопчика дорівнює 0,515.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа хлоп
чиків
в сімї, де троє дітей.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розпо
ділу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 16

У
грошовій лотореї 50 білетів. Роз
і
грується 2 виграш
у
по 10 гривень і
один

30 гривень.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


вартості
можливого виграша для володаря 1 білета
.

2
П
обудувати многокутник розподілу
.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 17

У
партії 25 виробів, серед яких 6


бракован
их, навмання відібрані 3
вироби.

Потрібно:

1 С
к
ласти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа
брак
ованих виробів серед відібраних.

2 П
обудувати мн
огокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.



36

В
аріант 18

Імовірність влучення м`яча в корзину при одному
киданні
дорівнює 0,6.
Проведено 3
кидання.


Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа влучень
м`яча в корзину.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові
характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 19

На базу поступило 1000 приборів. Імовірність пошкодження прибор
у в
дорозі дорівнює 0,003.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випад
кової величини
Х


числ
а
пошкоджених приборів в дорозі.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 20

Імовірність влучення в літак при к
ожному пострілі з гармати дор
івнює
0,8.
Зроблено
3 постріли.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа влучень в
літак
.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтег
ральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 21


Серед 10 годинників 6


потрібен ремонт. Навмання відбираються 3
годинники:

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа
годинників
, що не потребують ремонт,

серед відібраних.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант

22

У
партії з
10 виробів 8


стандартних.
Навмання відбираються 3 вироби.

Потрібно:



37

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа
станд
артних виробів серед відібраних.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудув
ати її графік.

Варіант 23

Імовірність влучення в ціль при одному пострілі з гармати дорівнює 0,4.

Зроблено 3 постріли
.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа вл
учень з
гармати при 3 пострілах.

2 Побудувати многокутник
розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.


Варіант 24

У рекламних цілях торгова фірма вкладає у кожну дес
яту одиницю товару
приз
1000 гривень
. Зроблено 3 покупки
.

Потрі
бно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


розміру
виграшу
в результаті зроблених покупок.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 25

Двом танкам
необхідно
подолати мінне поле. Імовірність того, що
перший танк подолає мінне поле дорівнює 0,6,

другий

0,7
.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числ
а танків,
подолавших
мінне поле.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 26

На шляху руху автомобіля 3 світлофори, кожен
з яких дозволяє, або
забороня
є

по
дальший рух із імовірностю 0,5
.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа
світлофорів, пройдени
х автомобілем до першої зупинки.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).



38

4
З
най
ти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант 27

У деякому цеху брак складає 10 % від усіх виробів. Навмання беруть 3
вироби
.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа
брак
ованих виробів серед віді
браних.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант
28

На 20 приладів припадає 6


неточних. Навмання беруть 3 прилади
.

Потрібно:

1 С
клас
ти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа т
очних
приладів серед відібраних.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побудувати її графік.

Варіант

29

Із 10 телевізорів, виставлених на виставці, 4 виявились фірми Soni”.
Навмання для огляду взято 3 телевізори
.

Потрібно:

1

С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа
телевізорів фірми
Soni” серед взятих
.

2 Побудувати многокутник р
озподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побу
дувати її графік
.

Варіант
30

Радіолокаційна станція
здійснює
спостереження
за трьома об`єктами,
кожен
з яких може бути втраченим з ім
овірностю 0,
1
.

Потрібно:

1 С
класти закон розподілу дискретної випадкової величини
Х


числа об`єк
тів,
які можуть бути втраченими.

2 Побудувати многокутник розподілу.

3
З
найти числові характеристики
М(Х), D(Х),

(Х).

4
З
найти інтегральну функцію розподілу
F(x)
і побуд
увати її графік.







39

2.5
. Неперервні випадкові величини

Дана щільність


(x)
розподілу випадкової величини
Х
.

Знайти:


1 К
оефіцієнт с
.

2 І
нтегральну функцію розподілу
F(x).

3 П
обудувати графіки функцій
(x)
і
F(x).


4 Ч
ислові характеристики
M(X); D
(X);

(X).



Варіант 1
Варіант 2

0,2,
(),23,
0,3.
x
xcx
x
-


=-<


>


0,
1,
1
(),12,
2
2.
0,
x
xcxx
x




=-<


>




Варіант
3
Варіант 4


2
0,0,
(),01,
0,1.
x
xcxx
x



=<


>


3
0,1,
(),12,
0,2.
x
xcxx
x



=<


>


Варіант
5 Варіант 6

0,2,
()(3),21,
0,1.
x
xcxx
x
-


=+-<-


>-




0,0,
()(2),02,
0,2.
x
xcxx
x



=-<


>




Варіант
7 Варіант 8

0,2,
()4,23,
0,3.
x
xcx
x
-


=-<


>




0,1,
(),14,
0,4.
x
xcxx
x



=<


>


Варіант
9 Варіант 10

4
0,0,
(),01,
0,1.
x
xcxx
x



=<


>


0,0,
()(1),01,
0,1.
x
xcxxx
x



=+<


>


Варіант
11 Варіант 12

2
0,0,
(),02,
0,2.
x
xcxx
x



=<


>


0,0,
()(1),01,
0,1.
x
xcxxx
x



=-<


>


Варіант 1
3
Варіант 14



0,0,
()2,01,
0,1.
x
xcxx
x



=<


>







3
0,0,
()(4),02,
0,2.
x
xcxxx
x



=-<


>







40

Варіант 1
5
Варіант
16


2
0,0,
()(3),03,
0,3.
x
xcxxx
x



=-<


>




2
0,0,
()(2),01,
0,1.
x
xcxxx
x



=+<


>



Варіант 1
7
Варіант
18


2
0,2,
()(6),23,
0,3.
x
xcxxx
x



=+-<


>


3
0,
0,
(),01,
0,1.
x
xcxx
x




=<


>




Варіант 1
9
Варіант 2
0



0,2,
()(2),22,
0,2.
x
xcxx
x
-


=+-<


>


2
0,1,
()(1),11,
0,1.
x
xcxx
x
-


=--<


>



Варіант
2
1
Варіант
2
2


0,1,
()(1),12,
0,2.
x
xcxx
x
-


=+-<


>


0,3,
()(3),30,
0,3.
x
xcxx
x
-


=+-<


>



Варіант
23

Варіант 2
4



2
0,1,
()(2),12,
0,2.
x
xcxxx
x



=+-<


>





2
0,3,
()(43),34,
0,4.
x
xcxxx
x



=--<


>



Варіант
25
Варіант 2
6



2
0,3,
()(3),32,
0,2.
x
xcxxx
x
-


=+-<-


>-



2
0,2,
()(2),21,
0,1.
x
xcxxx
x
-


=+-<-


>-



Варіант
27 Варіант 28

2
0,2,
()(2),23,
0,3.
x
xcxxx
x



=-<


>





2
0,4,
()(4),43,
0,3.
x
xcxxx
x
-


=+-<-


>-



Варіант
29 Варіант 30


2
0,5,
()(710),54,
0,4.
x
xcxxx
x
-


=+--<-


>-




2
0,4,
()(68),43,
0,3.
x
xcxxx
x
-


=+--<-


>-





41

2.6. Рівномірний та нормальний розподіли випадкових величин


1 Дана щільність
(x)

рівномірно розподіленої випадкової величини
Х
(таблиця 1)
.

,
,
0
,
1
,
0
)
(





>

<

-

x

x


x


x


Знайти:

а)
інтегральну функцію розподілу
F(x);

б) побудувати графіки функцій
F(x), (x);

в) числові характеристики рівномірного розподілу
M(X), D(X),

(X).


Таблиця 1


Варіант





Варіант





1

1

5

16

7

11

2

2

7

17

8

13

3

3

6

18

9

12

4

4

8

19

1

6

5

5

9

20

2

5

6

6

10

21

3

7

7

7

12

22

4

8

8

8

11

23

5

9

9

9

14

24

6

11

10

1

4

25

7

10

11

2

6

26

8

12

12

3

5

27

9

14

13

4

8

28

1

3

14

5

7

29

2

5

15

6

9

30

3

8


2 Непе
рервна випадкова величина має нормальний розподіл. Її
математичне сподівання дорівнює
а
, середнє квадратичне відхилення


(таблиця 2).

Знайти:


а) імовірність попадання випадкової величини
Х
в інтервал
(

;

);


б) імовірність абсолютної величини відхиле
ння випадкової величини
Х

від її математичного сподівання;


в) імовірність того, що

<
-
)
(
X
M
X
, якщо звісна дисперсія
D(X).






42

Таблиця 2


Варіа
н
т













D(X)

1

10

1

8

14

2

0.2

0.004

2

12

2

8

14

4

0.3

0.009

3

14

3

10

15

6

0.4

0.016

4

16

2

15

18

8

0.5

0.025

5

18

1

16

21

10

0.6

0.036

6

20

2

17

22

12

0.1

0.001

7

24

1

20

26

14

0.15

0.0225

8

26

3

23

27

16

0.16

0.0256

9

28

2

24

30

18

0.17

0.0289

10

30

1

27

32

20

0.18

0.0324

11

32

3

30

35

3

0.2

0.004

12

34

1

30

36

5

0.3

0.009

13

3
6

2

34

37

7

0.4

0.016

14

38

3

37

41

9

0.5

0.025

15

40

2

39

42

11

0.6

0.036

16

40

4

36

43

1

0.1

0.001

17

38

2

35

40

2

0.15

0.0225

18

42

4

40

43

3

0.16

0.0256

19

44

5

41

45

3

0.17

0.0289

20

45

5

43

48

2

0.18

0.0324

21

46

4

44

48

1

0.2

0.004

22

48

5

45

49

4

0.3

0.009

23

50

6

48

53

5

0.4

0.016

24

52

4

50

55

6

0.5

0.025

25

54

3

53

56

7

0.6

0.036

26

56

4

55

58

2

0.1

0.001

27

58

5

56

61

8

0.15

0.0225

28

60

6

58

63

4

0.16

0.0256

29

62

5

59

64

5

0.17

0.0289

30

64

6

60

66

7

0.18

0.0324


3 ВАРІАНТИ
ПІДСУМКОВОГО ЗАВДАННЯ


3.1
Розв’язати задачі, використовуючи теорію випадкових подій.


Варіант
1

1 У
конверті серед 100 фотографій знаходиться 1, яку розшукують. Із
конверта навмання беруть 10 фотографій. Знайти
й
мовірність того, що серед
них знаходиться р
озшукувана.



43

2
Перша коробка містить 30 радіоламп, з яких 12 стандартних, друга

20
ламп, з яких 15 стандартних. Із другої коробки навмання взята лампа і
перекладена в першу. Знайти
ймовірніст
ь того, що лампа взята навмання з
першої коробки буде стандартн
а.


3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
60 разів у
350
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,65.


4
Імовірність появи події в кожному із 200 випробувань дорівнює 0,7.
Знайти
й
мовірність того, що ця поді
я з’явиться від 60 до 85 разів.

Варіант
2

1 У
партії з 15 деталей 8


стандартних. Знайти
й
мовірність того, що
серед 6 взятих навмання деталей 4 будуть стандартні.

2 У
групі спортсменів: 25 лижників, 10 велосипедистів,

15 бігунів.
Імовірність виконати квал
іфікаційну норму така: для лижника 0,9, для
велосипедиста 0,85, для бігуна 0,7. Знайти
й
мовірність того, що спортсмен
вибраний навмання виконає норму.

3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
80 разів
у
500
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї по
дії в кожному випробуванні
дорівнює 0,6.


4
Імовірність появи події в кожному з 800 незалежних випробувань
дорівнює 0,9. Знайти
й
мовірність того, що відносна частота
появи події
відхилиться від її й
мовірності
за абсолютною величиною
не більше
, ніж
на
0,0
3.

Варіант
3

1
У першості з
футболу брали
участь 18 команд, з яких 5 ліди
ру
є
.
Команди розподіляють на 2 групи по 9 команд.

Яка
й
мовірність попадання
в
сіх
команд, що
лід
ирує,
в одну групу.

2
Складальник
отримав 3 коробки деталей, вироблених на заводі №1 і 4

коробки деталей завода №2. Імовірність того, що деталь завода №1 стандартна
дорівнює 0,7, а завода №2

0,9.
Складальник

навмання взяв деталь із навмання
вибраної коробки. Знайти
й
мовірність того, що взята стандартна деталь.

3
Знайти
й
мовірність того, що
подія А наст
ає
70 разів у 400
випробуваннях, якщо й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,55.

4
Завод відправив на базу 1500 якісних виробів. Імовірність пошкодження
кожного вироб
у
в дорозі дорівнює 0,0001. Знайти
й
мовірність того, щ
о в дорозі
буде пошкоджено
3 вироби
.

Варіант
4

1
Навмання взятий телефонний номер складається з 5 цифр. Яка
й
мовірність того, що в номері всі цифри різні.

2
Два автомати виготовляють однакові детал
і
. Продуктивність першого
автомата вдвічі більше другого. В
иготовлення деталей відмінної якості для


44

автоматів відповідно дорівнює 0,7; 0,8. Взята навмання деталь виявилась
відмінної якості. Знайти
й
мовірність того, що ця деталь зроблена першим
автоматом.


3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
80 разів у
300

випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,7.


4
Імовірність появи події в кожному із 400 випробувань дорівнює 0,8.
Знайти
й
мовірність того, що ця подія з’явиться від 65 до 75 разів.

Варіант
5

1
На полиці 25 підручн
иків, з яких 5
з
теорії імовірностей. Студент
навмання бере 2 підручник
и
. Знайти
й
мовірність того, що вони
з
теорії
імовірностей.

2
У
телевізійному ательє 4 кінескоп
и
. Імовірності того, що кінескоп
витримає гарантійний строк, відповідно дорівнюють: 0,6
;
0,
7
;
0,8
;
0,9. Знайти
й
мовірність того, що взятий навмання кінескоп витримає гарантійний

строк.

3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
75 разів у
600
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,75.


4
Імовірність
появи події в кожному з 750 незалежних випробувань
дорівнює 0,8. Знайти
й
мовірність того, що відносна частота
появи події
відхилиться від її й
мовірності
за
абсолютн
ою
величин
ою
не більше
, ніж
на
0,02.

Варіант
6

1
Тризначне число утворене неповторними ци
фрами із цифр 1, 2, 3, 4, 5.
Знайти
й
мовірність того, що це число парне.

2
Знайти
й
мовірність того, що навмання взяте двозначне число буде
кратне 3 або 7, або 3 і 7.


3
У
партії з 24 виробів 6


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 4 в
иробів 2


будуть бракованими.

4
Знайти
й
мовірність тог
о, що подія А наступе 65 разів у
550
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,6
.

Варіант
7
.

1
Задумано двозначне число, цифри якого різні. Знайти
й
мовірність т
ого,
що задуманим числом виявиться випадково назване двозначне число.

2
Деякий виріб випускається двома заводами, причому другий завод
випускає виробів в 4 рази більше першого. Імовірність брака для кожного
завода відповідно дорівнює 0,02
;
0,01. Знайти
й
мо
вірність того, що придбаний
бракованій виріб виготовлено на другому заводі.

3
У
партії з 30 виробів 6


бракованих. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 5 виробів 2

будуть бракованими.



45

4
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
85 разів у 750
в
ипробуваннях, якщо й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,65.

Варіант
8

1
При перевезенні ящика, в якому знаходились 21 стандартний і 10
нестандартних виробів, загубили 1 виріб, причому не
відомо
який. Навмання
взятий з ящика виріб в
иявився стандартним. Знайти
й
мовірність того, що
загубили стандартний виріб.
.

2
На виро
бництві виготовляють вироби на трьох
поточних лініях.
Кількість виробів кожної лінії відповідно складає 35 %, 20 %, 45%. Відсоток
стандартних виробів для кожної лінії ві
дповідно дорівнює 0,96
;
0,97
;

0,98.
Знайти й
мовірність того, що взятий навмання стандартний виріб виготовлен на
3 лінії.

3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
90 разів у
1600
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
до
рівнює 0,7.


4
Імовірність появи події в кожному з 1000 незалежних випробувань
дорівнює 0,8. Знайти
й
мовірність того, що відносна частота появи події
від
хилиться від її й
мовірності
за
абсолютн
ою
величин
ою
не більше
, ніж
на
0,03.

Варіант
9

1
У
ящику 100 д
еталей, серед них 10

бракованих. Навмання беруть 4
детал
і
. Знайти
й
мовірність того, що серед взятих деталей будуть 3 стандартні.

2
У
цеху
три
тип
и
автоматичних верстатів. Продуктивність їх однакова, а
якість різна. Відмінна якість верстатів відповідно дорі
внює 0,8
;
0,9
;
0,85.
Кількість верстаті типів відповідна 5, 3, 2. Взятий навмання виріб виявився
відмінної якості. Знайти
й
мовірність того, що цей виріб належить верстату
першого тип
у
.

3
У
партії з 30 виробів 6


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
в
зятих навмання 10 виробів 4


будуть бракованими.

4.Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
65 разів у
800
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,7.


Варіант 10

1
Гральну кістку кидають двічі. Знайти
й
мовірніс
ть того, що обидва рази
з'явиться однакове число очок.

2
На склад
а
ння
потрапляют
ь детал
і
з трьох автоматів. Брак відповідно
складає 0,2 % , 0,3 % , 0,4 %. Знайти
й
мовірність попадання на склад
а
ння
бракованої детали, якщо з першого автомат
а
поступило 1600,
з другого

2000,
з третього

2400

деталей.

3 У
партії з 20 виробів 5



браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 4 виробів 3 будуть бракованими.



46

4
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
60 разів
у
900
випробуваннях, якщо
й
мовірність
появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,8.

Варіант
11

1 У
групі 25 студентів, серед яких 6 відмінників. Навмання відбирають 10
студентів. Знайти
й
мовірність того, що серед них будуть 5 відмінників.


2
На двох автоматичних верстатах виробляються
однакові вироби.
Продуктивність першого верстата вдвічі більше
,
ніж другого. Імовірність
виготовлення вироба вищої якості відповідно дорівнює 0,75 і 0,9. Знайти
й
мовірність того, що взятий навманння виріб буде вищої якості.

3 У
партії з 30 виробів 6


б
раковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 4 виробів 3 будуть бракованими.

4
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
100 разів у
1900
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,7.


Варіант
12

1 У
кор
обці 10 однакових виробів, серед яких 7 пофарбованих. Навмання
беруть 5 виробів. Знайти
й
мовірність того, що серед них 3 пофарбовані.

2 У
групі 30 чоловік, з них 12 хлопців і 18 дівчат. Із хлопців до семінара
підготувались 8 чоловік, а з дівчат

12. Когос
ь визвали і відповідь була дана.
Знайти
й
мовірність того, що була визвана дівчина.

3 У
партії з 20 виробів 4



браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 3 виробів 2 будуть бракованими.

4
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
75 разів у
600
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,7.


Варіант
13

1
Збори, на яких присутні 25 чоловік, в тому числі 5 жінок
,
обирають
делегацію з 3 чоловік. Знайти
й
мовірність того, що в делегацію
у
війдуть 2
жінки і 1
чоловік.


2 Три верстати
працюють незалежно
один від
іншого
. Імовірність

безперебійної роботи протягом
зміни для першого верстата дорівнює 0,6, для
другого

0,8, для третього

0,7. Знайти

й
мовірність
того, що протягом
зміни
тільки один верстат працює без
перебійно.

3
У
партії з 32 виробів 8


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 5 виробів 2 будуть бракованими.

4
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
70 разів у
1000
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробу
ванні
дорівнює 0,8.


Варіант 1
4

1 У
лот
е
реї 100 білетів, з яких 25 виграшних. Знайти
й
мовірність того, що
кожний
і
з двох отриманих білетів буде виграшним.




47

2
Студент знає 40 з 60 питань програми. Кожний екзаменаційний білет
містить 3 питання. Знайти
й
мові
рність того, що студент знає хоча б одне
питання.


3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
65 разів у
1000
випробуваннях, якщо
й
мовірність п
ояви цієї події в кожному випроб
уванні
дорівнює 0,7.


4
Імовірність появи події в кожному з 1000 незалежних
випробувань
дорівнює 0,8. Знайти імовірність того, що відносна частота
появи події
відхилиться від її й
мовірності
за
абсолютн
ою величиною не більше, ніж на
0,03.

Варіант
15

1
На тепловій електростанції 15 змінних інженерів, з яких 4 жінки. В
зміну зайнято
3 інженери. Знайти
й
мовірність того, що

в навмання в
ибрану
зміну попадуть 2 чоловік
а
.


2
В урні 6 білих, 4 чорних і 10 синіх кулі. Випробування полягає в тому,
що навмання з урни беруть кулю, н
е повертаючи її в урну. Знайти й
мовірність
того, що при першом
у випробуванні з’явиться біла куля, при другому

чорна,
при третьому

синя.

3 У
партії з 25 виробів 5


браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 4 виробів 2 будуть бракованими.

4
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
70 разів у
900
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,85.


Варіант 1
6

1
На п’яти картках написані літери А, З, І, Л, К. Після перемі
шування
беруть по одній картці й
кладуть послідовно рядом. Знайти
й
мовірність того,
що буде отр
имано слово ЗАЛІК.

2
У
піраміді 15 гвинтівок, 5 з яких обладнані оптичним прицілюванням.
Імовірн
ість того, що стрілець влучить у
мішень з гвинтівки з прицілюванням
дорівнює 0,95, без прицілювання

0,77.Знайти
й
мовірність того, що
в
мішень
буде влучен
о
з
навмання взятої гвинтівки.

3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
90 разів у
1800
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,6.


4
Імовірність того, що будь
-
який
і
з 3000 абонентів
зателефонує
на
комутатор прот
я
гом
години дорівнює 0,03. Знайти
й
мовірність того, що
протя
гом
години
зателефонує
2 абонент
и
.

Варіант
17

1
Збори, на яких присутні 25 чоловік,
у
тому числі 6 жінок, обирають
делегацію з трьох чоловік. Знайти
й
мовірність того, що в делегацію
у
війдуть 1
жін
ка і
2 чоловіки
.



48

2
На
фабриці виготовляють вироби на трьох
поточних лініях. Вироби з
кожної лінії відповідно складають: 40 %, 35 %, 25 %. Стандартність виробів на
кожній лінії відповідно дор
івнює 97 %, 96 %, 94 %. Знайти й
мовірність того, що
навмання взяти
й виріб буде бракованим.

3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає
90 разів у
1500
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,7.

4
Імо
вірність появи події в кожному
з 1800 випробувань дорівнює 0,6.
Знайти
й
мовірн
ість того, що ця подія з’явиться від 63 до 73 разів.

Варіант
1
8

1
Кинуто
дві гральні кістки. Знайти
й
мовірність того, що сума очок на
них дорівнює 7, а добуток 12.

2
Ящик містить однакові вироби, де
30 % виготовлені першим авто
матом,
інші



другим. Брак пр
одукції відповідно складає 3 %, 5 %. Знайти
й
мовірність
того, що навмання взятий виріб буде бракованим.

3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
а
є 65 разів у
800
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,75.


4
Ім
овірність того, що будь
-
який з 1500 абонентів
зателефонує
на
комутатор
протягом
години дорівнює 0,03. Знайти
й
мовірність того, що
протя
гом
години
зателефонує
2 абонент
и
.

Варіант
19

1 У
партії
з 100 виробів 10


бракованих. Знайти
й
мовірність того, що
сере
д взятих
4
виробів
3
будуть не браковані.


2
На підприємст
в
і працюють три поточні лінії.На кожній лінії
виробляють відповідно виробів: 30 %, 25 %. 45 % . Стандартність вироб
у
для
кожної лінії відповідно дорівнює 95 %, 96 %, 97 %. Знайти
й
мовірність того, щ
о
навмання взятий виріб буде бракованим.


3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
а
є 70 разів у
950
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,75.


4
Імо
вірність появи події в кожному
з 1800 випробувань дорівнює 0,
6.
Знайти
й
мовірність того, що ця подія з’явиться від 55 до 65 разів.

Варіант
20

1
На 100 картках написані числа від 1 до 100. Знайти
й
мовірність того, що
випадково взята картка містить цифру 5.


2
На
підприємс
т
ві працюють дві
бригади робітників: перша


виготовляє
0,8 продукції з відсотком брака 4 %, друга



0,2 продукції з відсотком брака

5 %. Знайти
й
мовірність того, що взятий навмання бракований виріб був
виготовлений другою бригадою.


3 У
партії з 15 виробів 6


бракованих. Яка
й
мовірність того,
що серед
взятих навмання 4 виробів 2 будуть бракованими.




49

4
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
а
є
75 разів
у
1000
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,7.

Варіант
21

1
Ки
нуто
дві гральні кістки. Знайти
й
мов
ірність того, що
сума очок, які
з’явилися
на
випавши гранях, дорівнює
6.


2
Ящик містить 15 виробів завода №1, серед яких 1



бракований, 10
виробів завод
у
№ 2, серед яких 2


бракованих, 25 виробів завод
у
№ 3, серед
яких 3


браковані. Навмання взятий в
иріб виявився бракованим. Знайти
й
мовірність того, що цей виріб завод
у
№ 3.

3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
ає 80 разів у
1000
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,7.


4

Імовірність появи події в ко
жному з 1500 незалежних випробувань
дорівнює 0,75. Знайти
й
мовірність того, що відносна частота
появи події
відхилиться від її й
мовірності
за
абсолютн
ою
величин
ою
не більше
, ніж
на
0,03.

Варіант
22

1
На 30 однакових картках написані 30 двозначних чисел ві
д 11 до 40.
Картки ретельно перемішують. Знайти
й
мовірність того, що навмання
витягнута картка буде з номером кратним 5.

2 У
будзагоні 60 % першокурсників і 40 % студентів другого курс
у
. Серед
першокурсників


20 % дівчат,
а серед другокурсників

10%. У
сі дівчата по
черзі чергують на кухні. Знайти
й
мовірність того, що в навмання вибраний день
на кухні чергуюють дівчата.


3 У
партії з 35 виробів 7


браковані. Яка
й
мовірність того, що се
ред
взятих навмання 5 виробів 3


будуть бракованими.


4
Знайти
й
мовір
ність того, що подія А наст
а
є
75 разів
у
950
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,65.


Варіант
23

1 У
студентській групі 28 чоловік, серед яких 20 студентів старше 22
років. При жеребкуванні розигрується 1 зап
рошувальний білет на вечір. Знайти
й
мовірність того, що білет виграє студент старше 22 років.

2
У
обчислюваній лабораторії 4 клавішних автоматів і 6
напів
авт
оматів.
Імовірність того, що під час виконання
деякого розрахунку
автомат не вийде із
ладу
дорівнює
0,9, для
напів
автомата

0,85. Наавмання вибирається машина.
Знайти
й
мовірність того, що під час розрахунку
вибрана машина не вийде із
ладу
.

3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
а
є 82 рази в
1600
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кож
ному випробуванні
дорівнює 0,76.




50

4
Імовірність появи події в кожному з 1200 незалежних випробувань
дорівнює 0,63. Знайти
й
мовірність того, що відносна частота
появи події
відхилиться від її й
мовірності
за
абсолютн
ою величиною
не більше
, ніж
на
0,02.

Вар
іант
24

1
Ки
нуто
дві гральні кістки. Знайти імовірність того, що сума очок на них
буде менше 8.

2
Чотири верстати виготовляють детал
і
. Брак від
повідно до верстатів
складає: 0,2
%
,
0,35%,

0,3%,

0,4%. Продуктивності верстатів віднося
ться як 5:
3: 2: 1. На
з
б
и
рання надійшла стандартна деталь. Знайти
й
мовірність того, що
ця деталь зроблена на четвертому верстаті.

3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
а
є 58 разів у
950
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,75.


4
Імовірність того, що будь
-
який з 1800 аб
онентів
зателефонують
на
комутатор
протя
гом
години дорівнює 0,02. Знайти
ймовірність того, що

протя
гом години
зателефонують
3 абоненти
.

Варіант
25

1
В студентській групі 10 спортсменів, се
ред яких 7 юнаків і 3 дів
чини.
Трьох
спортсмен
ів
обирають для участі
в
змаганнях. Знайти
й
мовірність того,
що обраними будуть 3 юнак
и
.


2
Четверта частина виробів однієї з трьох партій


другосортна, інші
вироби в усіх партіях


першосортні. Навмання взятий виріб
і
з однієї партії

виявився першосортним. Знайти
й
мовірність того, що виріб був взятий із партії,
яка має другосортні вироби.


3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
а
є

85 разів у
1950
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,85.


4
Імовірність появи події в кожному із 1780 випробувань дорівнює 0,86.
Знайти
й
мовірність того, що ця подія з’явиться від 75 до 83 разів.

Варіант
26

1 У
коробці 10
однакових виробів, серед яких 7



пофарбовані. Навмання
беруть 5 виробів. Знайти
й
мовірніс
ть того, що серед взятих виробів 3



пофарбованi.

2 У
телевізійному ательє 5 кінескопів. Імовірності того, що кінескоп
витримає гарантійний строк, відповідно дорівнюють: 0,7
;
0,8
;
0,9
;
0,6
;
0,65.
Знайти
й
мовірність того, що взятий навм
а
ння
кінескоп витрима
є гарантійний

строк.

3 У
партії з 40 виробів 8



браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 6 виробів 4 будуть бракованими.



51

4
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
а
є 95 разів у
1750
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожно
му випробуванні
дорівнює 0,75.

Варіант
27

1
Учасники жеребкування беруть
і
з ящика жетони з номерами від 1 до

100. Знайти
й
мовірність того, що навмання взятий перший жетон не містить
цифри 5.

2
Складальник
отримав 3 коробки деталей, вироблених на заводі №1
,
і
коробки деталей заводу
№2. Імовірність того, що деталь завод
у
№1 стандартна
дорівнює 0,7, а завод
у
№2

0,8.
Складальник
навмання взяв деталь із навмання
вибраної коробки. Знайти
й
мовірність того, що взята стандартна деталь.

3
Знайти
й
мовірність того,
що подія А наст
а
є
78 разів у
980
випробуваннях, якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні
дорівнює 0,8.


4
Імовірність того, що будь
-
який з 1000 абонентів
зателефонує
на
комутатор
протягом
години дорівнює 0,02. Знайти
й
мовірність того, що
п
ротя
гом
години
зателефонує
3 абонент
и
.

Варіа
нт
28

1
На 6 картках написані літери А, А,
А,
Н, Н, С. Картки ретел
ьно
перемішані
,
потім їх розклад
а
ють в ряд. Знайти
й
мовірність того, що отримали
слово АНАНАС.

2
Прилад складається з двох вузлів. Імовірність ві
дмовлення вузла
відповідно дорівнює 0,02; 0,03. П
ід час
випробуванн
я
прилад вийшов
з
ладу
.
Знайти
й
мовірність того, що відмови
в
перший вузол.

3
У
партії з 32 виробів 8



браковані. Яка
й
мовірність того, що серед
взятих навмання 5 виробів 3 будуть бракован
ими.
кіл.

4
Імовірність появи події в кожном
у
з 1850 вип
робувань дорівнює 0,85.
Знайти й
мовірність того, що ця подія з’явиться від 77 до 87 разів.

Варіант
29

1
У середині круга
з радіусом
20 см проведено два кола, які не
перетинаються

одне
з
радіус
ом
5 с
м
, друге

з радіусом
10 см. Знайти
ймовірність того, що точка, поставлена навмання у середині великого кола,
буде знаходитися у середині одного із малих кіл.

2
Два автомати виробляють детал
і
, які
надходять на загальний конве
єр.
Імовірність отримати браков
ану деталь від автомата відповідно дорівнює 0,03
;

0,05. Продуктивність першого автомата вдвічі менша продуктивності
другого.
Навмання взята з конве
єра деталь виявилась стандартною. Знайти імовірність
того, що вона виготовлена другим автоматом.

3

Імовірніст
ь появи події в кожному з 1400 незалежних випробувань
дорівнює 0,63. Знайти
й
мовірність того, що відносна частота
появи події
відхилиться від її й
мовірності
за
абсолютн
ою величиною
не більше
, ніж
на
0,02.




52

4
У
партії з 24 виробів 4


браковані. Яка
й
мові
рність того, що серед
взятих навмання 5 виробів 2 будуть бракованими.

Варіант
30

1
Із п’яти букв розрізної азбуки складаємо слово книга”. Дитина, яка не
вміє читати, розсипала ці букви і потім зібрала їх в довільному порядку. Знайти
ймовірність того, що в
она знову отримає слово книга”.

2
Два стрільці
стріляють по мішені 1 раз. Імовірності влучення в мішень
під
час
одно
го пострілу дорівнюють для першого стрільця 0,65, для другого


0,75.
Знайти
й
мовірність того, що
в
мішень буде влучен
о
тільки одним стрі
льцем.

3
Знайти
й
мовірність того, що подія А наст
а
є 70 разів у
400 випробуваннях,
якщо
й
мовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,8.


4
Завод відправив на базу 1000 якісних виробів. Імовірність пошкодження
кожного вироб
у
в дорозі дорівн
ює 0,0002. Знайти
й
мовірність того, що в дорозі
буде пошкоджено 3 вироб
и
.

3
.
2

Розв

язати
ти
задачі, використовуючи теорію випадкових величин

Варіант 1

1 Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
<
х
2
. Імовірність
того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,1.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 3,9
, а
дисперсія
D(Х) = 0,09
.

2 Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=12
і се
реднім квадратичним відхи
ленням


= 4
. Знайти інтервал,
у
який
і
з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Оцінити й
мовірність того, що число осіб, які мають вищу освіту, в групі
з 800 чоловік, відрізняється від свого математичного сподівання, рівного 200,
менше
,

н
іж
на 40.


Варіант
2

1 Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,3.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 3,7
, а
дис
персія
D(Х) = 0,21
.

2 Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=10
і середнім квадратични
м відхиленням

= 6
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3 Скільки повинно бути проведено не
залежних вимірювань деякої
величини, щоб з імовірністю, не меншою
ніж
0,95, можна було стверджувати,
що середнє арифметичне результатів вимірювання відрізняється від істинного
значення
за
абсолютн
ою
величин
ою
менше
, ніж
на 2, якщо середнє
квадратичне відхи
лення кожної величини менше 10?

Варіант 3

1 Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,5.


53

Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподів
ання
М(Х) = 3,5
, а
дисперсія
D(Х) = 0,25
.

2 Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=8
і середнім квадратичним відхиленням

= 3
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3 Імовірніст
ь виготовлення нестандартної радіолампи дорівнює 0,02. Яку
кількість радіоламп треба відібрати, щоб з імовірністю більшою 0,8, можна
було стверджувати, що частина серед них нестандартних радіоламп буде
відрізняться від імовірності виготовлення нестандартно
ї лампи
за
абсолютн
ою

величин
ою
не більше
,

ніж
на 0,005?

Варіант 4

1 Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1

і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,7.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання М(Х) = 3,3,
а дисперсія
D(Х) = 0,21
.

2 Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=10
і сер
еднім квадратичним відхиленням


= 8
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті ви
пробування.

3 При штампуванні 70 % виробів є першосортними. Скільки треба взяти
виробів, щоб з імовірністю, яка не превищує 0,9973, можна було б
стверджувати, що частина першосортних серед них буде відрізняться
за

абсолютн
ою
величин
ою
від імовірності р = 0
,7 не більше
,

ніж
на 0,05?

Варіант 5

1 Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що Х приймає значення
х
1
дорівнює 0,9.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 3,1
, а
дисперсія
D(Х) = 0,09
.

2 Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=9
і середнім квадратичним відхиленням

= 4
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде Х в результаті випробування.

3
Середня вага
ка
ртоплини
дорівнює 120 г. Яка
й
мовірність того, що
навмання взята
картоплина
має вагу не більше 360 г?

Варіант 6

1 Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення: х
1

і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дор
івнює
0,9. Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) =
2,2,
а дисперсія
D(Х) = 0,36.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=9
і середнім квадратичним відхиленням

= 6
. Знайти інтервал,
у
який
з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.



54

3
Середнє число молодих спеціалістів, яких щорічно направляють до
аспірантури, складає 200 чоловік. Оцінити
й
мовірність того, що в цьому році
до аспірантури буде направлено не більше 220 молодих сп
еціалістів.

Варіант 7

1 Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення х
1
дорівнює 0,8.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 3,2
, а
дисперсія
D(Х) = 0,16
.

2 Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=7
і середнім квадратичним відхиленням

= 4
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде Х в результаті випробування.

3 Імовірність появи події А в к
ожному випробуванні
р
=0,5
.
Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити
й
мовірність того, що число
появи події А
в
ключено в межах від 40 до 60, якщо буде проведено 100
випробувань.

Варіант 8

1 Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення
:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення х
1
дорівнює 0,6.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне
сподівання
М(Х) = 3,4
, а
дисперсія
D(Х) = 0,24
.

2 Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподів
анням
а=10
і середнім квадратичним відхиленням

= 3
. Знайти
інтервал, у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3 Імовірність ви
готовлення нестандартного виробу
в деяких
технологічних умовах дорівнює 0,1. Оцінити
й
мовірність того,
що число
нестандартних виробів серед 10000 буде
в
ключено в межах від 950 до 1030

включно
.

Варіант 9

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,4.
З
найти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 3,6
, а
дисперсія
D(Х) = 0,24
.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=8
і середнім квадратичним відхиленням

= 2
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю
0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Імовірність сход
ження
насіння деякої культури дорівнює 0,75. Оцінити
й
мовірність того, що з посіяних 1000 зерен насіння, зійде від 700 до 800 зерен
включно.


Варіант
10

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тіль
ки два можливих значення:
х
1

і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення х
1
дорівнює 0,2.


55

Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 3,8
, а
дисперсія
D(Х) = 0,16.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормаль
но з математичним
сподіванням
а=11
і середнім квадратичним відхиленням

= 4
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Електростанція обслуговує мережу в 20000 ламп, імовірність
включення кожної з яких в зимовий пе
ріод дорівнює 0,8. Яка
й
мовірність того,
що число ламп, включених в мережу зимовим вечором, відрізняється від свого
математичного сподівання
за
абсолютн
ою
величин
ою
не більше,
ніж
на 300.

Варіант 11

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливи
х значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,2.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 2,6
, а
дисперсія
D(Х) = 0,64.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математич
ним
сподіванням
а=9
і середнім квадратичним відхиленням

= 2
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Імовірність появи події А в кожному з 1500 випробувань дорівнює 0,4.
Використовуючи нерівність Чебишева, оці
нити
й
мовірність того, що
відхилення числа появи цієї події від математичного сподівання буде більше 25.

Варіант 12

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення х
1

дорівнює 0,9.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 3,2
, а
дисперсія
D(Х) = 0,36.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=14
і сер
еднім квадратичним відхиленням


= 8
. Знайти інтервал,
у
я
кий з імовірностю 0,9973 попаде Х в результаті випробування.

3
Число телевізорів вищої якості складає в середньому 75 % від їх
загального випуска. Оцінити за допомогою нерівності Чебишева
й
мовірність
того, що серед 2000 телевізорів число телевізорів вищої
якості буде від 1790 до
1920 включно.

Варіант 13

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,8.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне
сподівання
М(Х) = 1,8
, а
дисперсія
D(Х) = 2,56
.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=12
і середнім квадратичн
им відхиленням


= 6
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.



56

3

Скіл
ьки треба перевірити виробів, щоб з імовірністю, не менш
ою ніж

0,98, можна було
б
чекати, що абсолютна величина відхилення частоти
придатних
виробів від імовірності вироба бути
придатним
, рівній 0,95, не
п
е
ревищує 0,01.

Варіант 14

1
Дискретна випадкова ве
личина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,8.
Знайти закон розподілу величини Х, якщо математичне сподівання
М(Х) = 1,2
,
а дисперсія
D(Х) = 0,16.

2
Випадкова величина
Х
ро
зподілена нормально з математичним
сподіванням
а=14
і сер
еднім квадратичним відхиленням


= 5
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Імовірність того, що випущений годинник має точність ход
у
в межах
стандарта, д
орівнює 0,97. Оцінити
й
мовірність того, що серед 1000 годинників
частина годинників з точністю ход
у
в межах норми відхилиться
за
абсолютн
ою

величин
ою
від імовірності 0,97 не більше
,

ніж
на 0,02.

Варіант 15

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два мо
жливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення х
1
дорівнює 0,7.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 2,2
, а
дисперсія
D(Х) = 3,36.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з мате
матичним
сподіванням
а=15
і сер
еднім квадратичним відхиленням

= 4
.
Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
У процесі
штампування
платівок з плас
т
маси
за
даним
и
ВТК брак
складає 3%. Знайти
й
мовірність того, що
пі
д час
перегляд
у
партії в 2000
платівок виявиться відхилення від установленого процента брак
у
менше
, ніж
на
1 %.


Варіант 16

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значе
ння х
1
дорівнює 0,3.
Знайти закон розподілу величини Х, якщо математичне сподівання
М(Х) = 3,7
,
а дисперсія
D(Х) = 0,21
.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=14
і сер
еднім квадратичним відхиленням


= 7
. Знайти інтер
вал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Дисперсія кожної з попарно незалежних випадкових величин не
п
е
ревищує 6. Визначити, скільки таких випадкових величин треба взяти, щоб з
імовірністю, не менше 0,99, можна було б ствердж
увати, що
)
(
X
M
X
-

не
п
е
ревищує 0,25.



57

Варіант 17

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,6.
Знайти закон розподілу величини


Х
,
якщо математичне сподівання
М(Х) = 3,2
,
а дисперсія
D(Х) = 0,16
.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=14
і середнім квадратичним відхиленням

= 8
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випр
обування.

3
Дисперсія кожної з попарно незалежних 15000 випадкових величин не
п
е
ревищує 8. Оцінити
й
мовірність того, що відхилення середнього
арифметичного цих величин від математичного сподівання їх середньої не
п
е
р
е
вищує 0,3.



Варіант 1
8

1
Дискретна ви
падкова величина
Х
має тільки два можливих значення: х
1

і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює
0,4. Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) =
=
2,8
, а дисперсія
D(Х) = 2,16.

2
Випадкова ве
личина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=14
і сер
еднім квадратичним відхиленням


= 9
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Відомо
, що дисперсія кожної з незалежних випадкових величин не
прев
ищує 4.

Визначити число таких велич
ин, при якому й
мовірність відхилення
середнього арифметичного випадкових величин від середнього арифметичного
їх математичних сподівань не більше,
ніж
на 0,25, п
е
ревищує 0,99.

Варіант 19

1
Дискретна випадкова величина
Х

має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,5.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 4,5,
а
дисперсія
D(Х) = 0,25
.

2
Випадкова величина
Х
розподілена
нормально з математичним
сподіванням
а=15
і сер
еднім квадратичним відхиленням


= 5
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Довжина виробляємих стрижнів представляє випадкову величину з
математичним сподіванням
рівним 90 см і дисперсією

0,0225. Оцінити
й
мовірність того, що відхилення довжини виробленого ст
е
ржня від
математичного сподівання
за
абсолютн
ою
величин
ою
не п
е
ревищує 0,4 см.

Варіант 20

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:

х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,5.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 3,0
, а
дисперсія
D(Х) = 1,0.



58

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіван
ням
а=14
і сер
еднім квадратичним відхиленням


= 10
. Знайти
інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Середнє значення довжини вироб
у
50 см, а дисперсія 0,1.

Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити
й
мовірність того, щ
о навмання
взятий вир
і
б буде
за довжиною
не менше 49,5 і не більше 50,5 см.

Варіант 21

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,4.
Знайти закон
розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 2,2
, а
дисперсія
D(Х) = 0,96
.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=
14
і сер
еднім квадратичним відхиленням


= 4
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попа
де
Х
в результаті випробування.

3
Скільки повинно бути проведено незалежних вимірювань деякої
величини, щоб з імовірністю, не менш
ою
,
ніж
0,98 можна було стверджувати,
що середнє арифметичне результатів вимірювання відрізняється від істинного
значення
за
а
бсолютн
ою
величині менше,
ніж
на 0,01, якщо дисперсія кожного
результата вимірювання не п
е
ревищує 1?

Варіант 22

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
,
причому
х
1
< х
2
.
Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дор
івнює 0,6.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 2,4
, а
дисперсія
D(Х) = 0,24.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=16
і сер
еднім квадратичним відхиленням


= 9.
Знайти інтервал,
у
який
з імовірностю 0,9973 попаде Х в результаті випробування.

3
Дискретна випадкова величина задана законом розподілу

Х

0,3

0,6

Р

0,2

0,8

Використовуючи

нерівність

Чебишева,

оцінити

й
мовірність

того,

що

.
2
,
0
)
(
<
-
X
M
X

Варіант 23

1
Ди
скретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1

дорівнює 0,3.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 3,4
, а
дисперсія
D(Х) = 0,84
.



59

2
Вип
адкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=
16

і сер
еднім квадратичним відхиленням


=
5
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Нехай в результаті 100 незалежних спроб знайдені значення
випадкової
величини
Х: х
1
, х
2
, ...., х
100
. Відомі: математичне сподівання
М(Х) = 10
і
дисперсія
D(Х) = 1
. Оцінити й
мовірність того, що абсолютна величина різниці
між середнім арифметичним
X
значень
, що спостерігаються,
випадкової
вел
ичини і математичним сподіванням менше 0,5.

Варіант 24

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,7.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо мате
матичне сподівання
М(Х) = 1,3
, а
дисперсія
D(Х) = 0,21
.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=
15
і се
реднім квадратичним відхиленням


= 8
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Імовірність появи події в кожному випробуванні дорівнює 0,3.
Застосував
ши
нерівність Чебишева, знайти число випробувань, необхідних для
того, щоб імовірність відхилення частоти події

від її й
мовірності була б
за

абсолютн
ою
величин
ою
більше 0,99.

Варіант
25

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1

і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,1.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 1,9
, а
дисперсія
D(Х) = 0,
09
.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=
15
і се
реднім квадратичним відхиленням


=
7
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Зріст дорослих чоловіків в їх сукупності
, що

розг
лядається,
є нормально
розподіленою величиною з математичним сподіванням
а
= 170 см і дисперсією
D
= 36 см. Визначити
й
мовірність того, що хоча б один навмання вибраний
дорослий чоловік буде мати зріст від 165 см до 175 см.

Варіант 26

1
Дискретна випадков
а величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,7.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 1,6
, а
дисперсія
D(Х) = 0,84
.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням а=
18
і сер
еднім квадратичним відхиленням


=
7
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.



60

3
Діаметр виготовлених поршнів є випадковою величиною, розподіленою
за
норма
льн
им
закон
ом
, з математичним сподіванням
а
= 4 і дисперсією
D(Х)
=
=
9*10
-
6
. Поршні з діаметром 3,994 і 4,006 є браком. Як
ий
при цих умовах
очіку
ється
процент брак
у
?

Варіант 27

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1

і
х
2
,
причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,5.
Знайти закон розподілу величини

Х,
якщо математичне сподівання
М(Х) = 2,5
,
а дисперсія
D(Х) = 0,25
.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=14
і середнім квадратичним відхиленням

= 2
.
Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Відхилення довжини виготовлених виробів від стандарта є випадковою
величиною, розподіленою
за
нормальн
и
м закон
ом
. Якщо стандартна
довжина
дорівнює 40 см і середнє квадратичне відхилення

= 0,4
см, то
ді
яку точність
довжини вироб
у
можна гарантувати з імовірністю 0,8?

Варіант 28

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірні
сть того, що
Х
приймає значення
х
1

дорівнює 0,8.
Знайти закон розподілу величини

Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 1,4
,
а дисперсія
D(Х) = 0,64
.

2
Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=18
і середнім квадратичним в
ідхиленням

= 10
. Знайти
інтервал, у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
У
читальному залі установлено 200 настільних ламп, які включаються і
виключаються незалежно одна від
іншо
ї. Для кожної лампи
й
мовірність бути
включено
ю
до
рівнює 0,8. Знайти
й
мовірність того, що абсолютна величина
різниці між числом включених ламп і математичним сподіванням цього числа
буде більше 10.

Варіант 29

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1

і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імо
вірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,9.
Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 2,2
, а
дисперсія
D(Х) = 0,36.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=15
і сер
еднім квадратичн
им відхиленням

= 7
. Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в результаті випробування.

3
Математичне сподівання швидкості повітря на даній висоті дорівнює

25 км /год. Середнє квадратичне відхилення дорівнює 4,5 км/год. Які швидкості
повітр
я на цій висоті можна
очикувати
з імовірністю
,
не
меншою за
0,9?




61

Варіант
30

1
Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
приймає значення
х
1
дорівнює 0,9.
Знайти закон розподілу
величини
Х
, якщо математичне сподівання
М(Х) = 1,3
, а
дисперсія
D(Х) = 0,81
.

2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=18
і сер
еднім квадратичним відхиленням


= 9.
Знайти інтервал,
у
який з імовірностю 0,9973 попаде
Х
в рез
ультаті випробування.

3
Електростанція обслуговує мережу в 18000 ламп, імовірність
включення кожн
ої дорівнює 0,9. Чому дорівнює й
мовірність того, що число
включених ламп в мережу відрізняється від свого математичного сподівання
за

абсолютн
ою
величин
ою
не б
ільше
, ніж
на 200 ламп?


4. ЗРАЗОК ВИКОНАННЯ ПІДСУМКОВОГО ЗАВДАННЯ


4.
1.
1
В урні знаходяться 15 червоних, 10 блакитних і 5 зелених куль.
Навмання дістають 6 куль. Знайти ймовірність того, що ви
тягнули
1
зелену, 2 блакитних, 3 червоних кулі (подія А).


Розв
’яз
ання
.
В урні всього 30 куль. При даному випробуванні число
в
сіх
рівноможливих елементарних вихідів буде
6
30
C
.
Підрахуємо число
елементарних виходів, які сприяють появі події
А
. Одну зелену кулю можна
вибрати з 5
1
5
C
способами, 2 блакитних кулі з 10 можна вибрати
2
10
C

способами, 3 червоних з 15
3
15
C


способами. Отже ( в силу пр
авила
добутку в
комбінаториці), число виходів, які сприяють події
А
,
буде
.
3
15
2
10
1
5
C
C
C
m


=

Шукану
й
мовірність знаходимо
за
формул
ою

.
172
,
0
25
26
27
28
29
30
3
2
1
2
1
1
6
5
4
3
2
1
13
14
15
9
10
5
)
(
6
30
3
15
2
10
1
5
=






















=


=
=
C
C
C
C
n
m
A
P


4.1.2
Два автомати виготовляють однакові детали, які
надходять на
загальний конве
єр. Продуктивність першого автомата вдвічі більше
другого. Перший автомат виготовляє 70% деталей відмінної
якості,
другий



85%. Навмання взта з конвеєра деталь виявилась відмінної
якості. Знайти
й
мовірність того, що ця деталь виготовлена першим
автоматом.


Розв’яз
ання.
Позначимо: подія
А


деталь відмінної якості. Можна
зробити два припущення: В
1


деталь ви
готовлена першим автоматом, причому
за умовою задачі, перший автомат виготовляє вдвічі більше деталей, ніж
другий, тому

;
3
2
)
(
1
=
B
P

B
2


деталь виготовлена другим автоматом, причому

.
3
1
)
(
2
=
B
P



62

Умовна
й
мовірність того, що деталь від
мінної якості виготовлена першим
автоматом
.
7
,
0
)
(
1
=
A
P
B

Для другого автомату
ця
й
мовірність
дорівнює
.
85
,
0
)
(
2
=
A
P
B

Імовірність того, що взята навмання деталь виявиться
відмінної якості, обчислюється
за
формул
ою
повної й
мовірності
:

.
75
,
0
85
,
0
3
1
7
,
0
3
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
=

+

=

+

=
A
P
B
P
A
P
B
P
A
P
B
B


Шукана
й
мовірність того, що взята деталь відмінної якості, виготовлена
першим автоматом,
за
формул
ою
Бейєса дорівнює
:

.
62
,
0
75
,
0
7
,
0
3
2
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
=

=

=
A
P
A
P
B
P
B
P
B
A

4.1.3
Для нормальної роботи автобази на лінії повинні бути не менше
8 машин, а їх всього 10. Ім
овірність невиход
у
на лінію кожної автомашини
дорівнює 0,1. Знайти
й
мовірність нормальної роботи автобази на
найближчий день.


Розв’яз
ання.
Автобаза буде
працювати
нормально (подія
D
), якщо на
лінію вийдуть або 8 (подія
А
), або 9 (подія
В
), або 10 (подія
С
) автомашин.
За
теоремою
додавання
й
мовірностей

Р(D) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = Р
10
(8) + Р
10
(9) + Р
10
(10)
.

Кожний доданок знайдемо
за
формул
ою
Берну
л
лі.


Оскільки
й
мовірність невиход
у
автомашини на лінію дорівнює 0,1, то
й
мовірність виход
у
автомашини на лінію
буде рівна 0,9,
оскільки

р
=0,9,
q
=0,1.
Із умови задачі
n
= 10,
k
= 8, 9, 10. Отже,
.
)
(
k
n
k
k
n
n
q

C
k
P
-


=

.
9298
,
0
3487
,
0
3874
,
0
1937
,
0
)
1
,
0
(
)
9
,
0
(
1
,
0
)
9
,
0
(
)
1
,
0
(
)
9
,
0
(
)
(
0
10
10
10
9
9
10
2
8
8
10
=
+
+
=
=


+


+


=
C
C
C
D
P


4.
1.4
Імовірність появи події в кожному з 900 незалежних
випробувань дорівнює 0,5. Знайти
й
мовірність того, що відносна час
тота
появи події відхилиться від її й
мовірності
за
абсолютн
ою
величин
ою
не
більше
, ніж
на 0,02.


Розв’яз
ання.
За умовою задачі
n
= 900,
р
= 0,5,
q
= 0,5,

= 0,02. Треба
знайти й
мовірність

.
02
,
0
5
,
0
900







-
m
P



Скористаємося
формулою

.
2








F
=







-
q
n

n
m
P




Маємо



63

).
2
,
1
(
2
5
,
0
5
,
0
900
02
,
0
2
02
,
0
5
,
0
900
F
=










F
=







-
m
P

Із доданка

Б
знаходимо
.
3849
,
0
)
2
,
1
(
=
F

Отже, шукана
й
мовірність

.
7698
,
0
3849
,
0
2
02
,
0
5
,
0
900
=









-
m
P


4.2
.1 Дискретна випадкова величина
Х
має тільки два можливих
значення:
х
1
і
х
2
, причому
х
1
< х
2
. Імовірність того, що
Х
прийме
значення
х
1
дорівнює 0,45. Знайти закон розподілу величини
Х
, якщо
математичне сподівання
М(Х) = 3,1
і дисперсія
D(Х) = 0,99
.


Розв`яз
ання
.
Сума
й
мовірностей усіх можливих значень дискретної
випадкової величини дор
івнює 1, тому
й
мовірність того, що
Х
прийме значення
х
2
, дорівнює 1

0,45 = 0,55. Запишемо закон розподілу
Х
:

Х


х
1


х
2

Р

0,45

0,55

Для знаходження
х
1
і
х
2
треба скласти два рів
няння, які зв`язують ці
числа. З
цією метою вира
жаємо відомі

М(Х)
і
D(Х)
через
х
1
і
х
2
. Знайдемо

М(Х):М(Х) = 0,45х
1
+ 0,55х
2
.
За умовою
М(Х) = 3,1
,

отже
,

0,45
х
1
+ 0,55
х
2
= 3,1.

Одне рівняння, яке звязує
х
1
і
х
2
отримали. Для того, щоб отримати друге
рівняння, виразим
о

відому
дисперсію через
х
1
і
х
2
. Напишемо закон розпод
ілу
Х
2
:

Х
2


2
1
x

2
2
x

Р

0,45

0,55

Знайдемо дисперсію:

D
(
X
) = М(Х
2
)

М
2


)
=

.
1
,
3
55
,
0
45
,
0
2
2
2
2
1
-
+
x
x

Підставля
ючи
D
(
X
) = 0,99
, після елементарних перетворень отримаємо

.
6
,
10
55
,
0
45
,
0
2
2
2
1
=
+
x
x

Таким чино
м, отримали систему двох рівнянь з двома
невідомими
:




=
+
=
+
.
6
,
10
55
,
0
45
,
0
,
1
,
3
55
,
0
45
,
0
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x

Помножив
ши
обидві частини кожного рівняння системи на 20, отримаємо




=
+
=
+
.
212
11
9
,
62
11
9
2
2
2
1
2
1
x
x
x
x

Із
першого рівняння знайдемо
х
1
і підставимо у друге рівняння
:

;
9
11
62
2
1
x
x
-
=


.
212
11
9
11
62
9
2
2
2
2
=
+






-
x
x


Після перетворень розв`язуємо квадратне рівняння:

,
0
1908
99
121
1364
3844
2
2
2
2
2
=
-
+
+
-
x
x
x

,
0
484
341
55
2
2
2
=
+
-
x
x



64

(
)
.
110
99
341
110
9801
341
110
106480
116281
341
2
,
1
2

=

=
-

=
x

(
)
;
4
110
440
110
99
341
1
2
=
=
+
=
x


(
)
;
2
,
2
110
242
110
99
341
2
2
=
=
-
=
x

(
)
;
2
9
18
9
44
62
9
4
11
62
1
1
=
=
-
=

-
=
x

(
)
.
2
,
4
9
8
,
37
9
2
,
24
62
9
2
,
2
11
62
2
1
=
=
-
=

-
=
x


За умовою задачі
х
1
< х
2
, тому задачі задовольняє перший розвязок:


х
1
= 2
,
х
2
= 4
. Підставимо ці значення в закон розподілу:

Х


2


4

Р

0,45

0,55.

4.
2.
2
Випадкова величина
Х
розподілена нормально з математичним
сподіванням
а=20
і се
реднім квадр
атичним відхиленням


=3
. Знайти
інтервал, у
який з імовірностю 0,9973 попаде величина
Х
в результаті
випробування.


Розв`яз
ання
.
Якщо
й
мовірність відхилення випадкової величини
Х
від
свого математичного сподівання
а
дорівнює 0,9973, то відхилення менше
по
трійного середнього квадратичного відхилення. Тому інтервал, в який попаде
ця величина, визначається нерівністю:

,
3

<
-

X


,
3
3


<
-
<
-

X
або
,
3
3


+
<
<
-

X


20
-
3

3 <
X
< 20+3

3.


Отже, шуканий інтервал дорівнює (11, 29),
або

11
<
X
<
29
.


4.2.
3
Імовірність появи події
А
в кожному випробуванні дорівнює
0,55. Застос
овуючи
нерівність Чебишева, оцінити
й
мовірність того, що
число
Х
появи події
А
буде заключено в межах від 40 до 70, якщо буде
проведено 100 незалежних випробувань
.


Розв`яз
ання
.
Знайдемо математичне сподівання і дисперсію дискретної
випадкової величини
Х


числа появи події в 100 незалежних випробуваннях:

M
(
X
)
= 100•
0,55 = 55;
D
(
X
)
=
nq
= 100•
0,55

0,45 = 24,75.


Mаксимальн різниця між заданим чи
слом появи події
і математичним
сподіванням
М(Х)
= 55:


.
15
55
70
=
-
=



Скористаємося нерівністю Чебишева
:


(
)
2
()
()1.
DX
PXMX


-<-


Підставля
ючи

M
(
X
)
= 55,
D
(
X
)
= 24,75,
,
15
=

отримаємо

(
)
.
89
,
0
11
,
0
1
15
75
,
24
1
15
55
2
=
-
=
-

<
-
X
P



65

5 ВАРІАНТ МОДУЛЬНОГО КОНТРОЛЮ
ТА ПРИКЛАД

ЙОГО
ВИКОНАННЯ


Варіант МК



Тестова частина


1

Як
а
подія називається достовірною?

А
Подія, яка може наступати, або не наступати.

Б
Подія, яка обов’язково наступає при виконанні визначеної сукупності
умов.

В
Подія, яка не наступає при виконанн
і визначеної сукупності умов.

Г Подія, появу якої не можна спрогнозувати.



2

Подія
А


випадкова. Які значення приймає її
й
мовірність
Р(А)
?

А

Р(А) = 0.


Б

Р(А)>1
.

В

0

Р(А)

1
.

Г

Р(А) = 1
.



3

Події
А
і
В


сумісні, їх імовірності:
Р(А), Р(В)
. Чому дорівнює
й
мовірність появи хоча б однієї події
Р(А+В)
?

А

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)
.

Б

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

Р(АВ)
.

В

Р(А+В) = Р(А)

Р(В)
.

Г

Р(А + В) = Р
В
(А)

Р(А)
.



4

Імовірність влучення
в
мішен
ь
п
і
д час
одно
го
постріл
у
дорівнює 0,8. За
якою формулою обчислюється
й
мовірність того, що при 900 пострілах
в
мішень
буде влучен
о
125 разів?

А
Формула Берну
л
лі:

.
)
(
k
n
k
k
n
n
q

C
k
P
-
=

Б
Формула Лапласа:

.
),
(
1
)
(
nq
n
k
x
x
nq
k
P
n
-
=
=


В
Формула Пуас
с
она:

.
,
!
)
(
n
k

k
P
k
n
=

=
-




Г

().
m
PA
n
=


5

Як знаходиться ймовірн
і
сть попадання випадкової величини в заданий
інтервал
(

;

)

за допомогою функції розподілу?


А
()()()
PXFF
<<=-
.

Б
()()


PXxx
<<=

.



66

В
()()()
PX
<<=-
.


6
Для яких випадкових величин застосовується інтегральна функція
розподілу?


А Дискретних.

Б Неперервних.

В Дискретних і неперервних.

Г Тільки неперервних.



Ч
астина
друга

1
Теорема про ймовірність появи хоча б однієї події та її частинний
випадок.

2
Прядил
ьниця

обслуговує 1000 веретен. Імовірність обрива
ння
нитки на
одному веретені протя
гом
однієї хвилини дорівнює 0,002. Знайти
й
мовірність
того, що протя
гом
однієї хвилини обрив
ання
виникне більше
, ніж
на трьох
веретенах.

3

Випадкова величина

Х

задана щільні
стю розподілу
:


0,
0,
1
()(0,5),03,
6
3.
0,
x
xxx
x




=+<


>



Знайти математичне сподівання випадкової величини
Х
.


4

Математичне сподівання швидкості повітря на даній висоті дорівнює

36 км/год. Середнє квадратичне відхилення дорівнює 6 км
\
год. Які швидкості
повітря на цій вис
оті можна очікувати з імовірністю не меншою за 0.9?

Розв`язання


Тестова частина



1

2

3

4

5

6

Б

В

Б

Б

А

В



Частина друга

1
Теорема про ймовірність появи хоча б однієї події та її частинний
випадок.



Теорема
.
Імовірність появи хоча б
однієї з подій
12
,,...,
n
AAA
,
незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком
імовірностей протилежних подій
12
,,...,
n
AAA
:

12
()1...
n
PAqqq
=-
.



67


Доведення
:

Позначимо через

А

подію
, що полягає в появі хоча б однієї з
подій

12
,,...,
n
AAA
. Події
А

та
ь
12
...
n
AAA

(жодна з подій не мала мі
сце)
протилежні, отже, сума їх і
мовірностей дорінює одиниці
:

12
()(...)1.
n
PAPAAA
+=


Із цього випливає, використовуючи теорему множення
, що

1212
()1(...)1()()...(),
nn
PAPAAAPAPAPA
=-=-

або
12
()1...
n
PAqqq
=-
.


Частинний випадок
.
Якщо події

12
,,...,
n
AAA

мають однакову ймовірність,
яка дорівнює
р
,
тоді ймовірність появи хоча б однієї з цих подій

()1
n
PAq
=-
.

2
Прядильниця

обслуговує 1000 веретен. Імовірність обрива
ння
нитк
и на
одному веретені протя
гом
однієї хвилини дорівнює 0,002. Знайти
й
мовірність
того, що протя
гом
однієї хвилини обрив
ання
виникне більше
, ніж
на трьох
веретенах.


Розв`язання
.


Відповідно до

умови задачі маємо
n
= 1000,

= 0,002,
,
2
002
,
0
1000
=

=
=
n


k
> 3.

)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
0
(
1
)
3
(
1
)
3
(
n
n
n
n
n
n
P
P
P
P
k
P
k
P
-
-
-
-
=

-
=
>
.

Оскільки

n
велике, а

мале, то застосовуємо формулу Пуас
с
она
:

!
)
(
k

k
P
k
n


-
=
.


Отже,

.
1428
,
0
1805
,
0
2707
,
0
2707
,
0
1353
,
0
1
!
3
2
!
2
2
!
1
2
!
0
2
1
)
3
(
3
2
2
2
1
2
0
2
=
-
-
-
-
=
=
-
-
-
-
=
>
-
-
-
-




k
P
n


3

Випадкова величина

Х

задана щільністю розподілу
:

0,
0,
1
()(0,5),03,
6
3.
0,
x
xxx
x




=+<


>



Знайти математичне споді
вання випадкової величини
Х
.


Розв`язання
.

Скористаємося
формулою
для знаходження математичного
сподівання
:


3
33
32
2
00
0
1111915
()()(0,5)(0,5)9
66634648


xx
MXxxxxxxxxx


==+=+=+=+=





.




68

4

Математичне сподівання швидкості повітря на даній висоті дорівнює

36 км/год. Середнє квадратичне відхилення дорівнює 6
км
\
год. Які швидкості
повітря на цій висоті можна очікувати з імовірністю не меншою за 0.9?


Розв`язання
.

Скористаємося нерівністю Чебиш
е
ва
:


(
)
2
()
()1.
DX
PXMX


-<-

Швидкість повітря буде визначати нерівність

().
XMX

-<


Після перетворень от
римаємо інтервал швидкості повітря:

.
)
(
)
(


+
<
<
-
X
M
X
X
M

Невідоме значення відхилення



знайдемо, підставляючи в нерівність
Чебишева
(
)
()0,9;6:
PXMX

-<==


22
22
3636
0,91;0,1;0,136;360;19.


=-===


Таким чином, шуканий інтервал швидкості повіт
ря дорівнює

36193619,
1755
X
X
-<<+
<<


6 ПЕРЕЛІК ТЕСТОВИХ ЗАДАЧ


1.
1
Подія
А

-
достовірна. Яке значення може приймати її ймовірність
Р(А)
?

А
Р(А)<1
.

Б


Р(А)
=
1
.

В


Р(А)>1
.

Г

Р(А)
=0
.


1.2 Чому дорівнює ймовірність події
(А+В)
, якщо події
А
і
В
сумісні
й їх
імовірності дорівнюють відповідно
Р(А)
і
Р(В)?


А

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
-
Р(АВ)
.
Б
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
.


В

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
+
Р(АВ)
.
Г
Р(А+В)=Р(А)
-
Р(
В
)
+
Р(АВ)
.


1.3 Яка величина називається випадковою?

А
Величина випадково приймає своє значення.

Б
Величина,
яка приймає своє значення.

В
Величина, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне
можливе значення невідоме і залежне від випадкових причин.

Г
Величина, яка приймає постійне значення.

1.4 Чому дорівнює сума ймовірностей подій
12
,,...,
n
AAA
, які утворюють
повну групу?

А
0.

Б
1.

В
2.

Г
>0
.

2.1
Яка з наведенних формул визнача
є формулу повної ймовірності?

А

12
()1...
n
PAqqq
=-
.
Б

1
()()()
i
n
iB
i
PAPBPA
=
=

.

В

()
m
PA
n
=
.

Г

()1
PA
=
.



69

2.2 Якою формулою
визначається ймовірність появи хоа б однієї з подій

12
,,...,
n
AAA
,
незалежних у сукупності?

А

12
()1...,1
nii
PAqqqq
=-=-
.

Б

1
()()
n
i
i
PAPA
=
=

.

В

1
()()
n
i
i
PAPA
=
=

.

Г

()1
PA
=
.

2.3 Якою формулою визначається нерівність Чеби
шева?

А

(
)
2
()
()1.
DX
PXMX


-<-

Б

(
)
2
()
()1.
DX
PXMX


->-

В

(
)
2
()
()1.
DX
PXMX


-<<-

Г

(
)
2
()
().
DX
PXMX


-<

2.4 Випробування повторюється 1000 разів. У кожному випробуванні
подія
А
з

являється з імовірністю 0,001. За якою формулою обчислюється
ймовірні
сть того, що подія
А
з

явиться 3 рази?

А

.
)
(
k
n
k
k
n
n
q

C
k
P
-
=

Б

.
),
(
1
)
(
nq
n
k
x
x
nq
k
P
n
-
=
=


В
1221
(,)()().
n
Pkkxx

=-



Г
(),.
!
k
n

Pkn
k



-
==

3.1
Чому дорівнює
математичне сподівання нормально розподіленої
випадкової величини, яка задана диф
еренціальною функцією розподілу

50
)
1
(
2
2
5
1
)
(
-
-
=
x

x


?

А
2
.
Б
1.
В
3.
Г
5.

3.2
Чому дорівнює
дисперсія нормально розподіленої випадкової
величини, яка задана диференціальною функцією розподілу

50
)
1
(
2
2
5
1
)
(
-
-
=
x

x


?

А
2
.
Б
1.
В
3.
Г
25.

3.
3
Чому дорівнює
математичне сподівання рівномірно розподіленої
випадкової величини, яка задана диференціальною функцією розподілу






>


<
=
.
5
,
0
;
5
1
,
4
1
;
1
,
0
)
(
x
x
x
x


А
3.
Б
2.
В
1.
Г
5.

3.4
Чому дорівнює
дисперсія рівномірно розподіленої випадкової
величини, як
а задана диференціальною функцією розподілу






>


<
=
.
5
,
0
;
5
1
,
4
1
;
1
,
0
)
(
x
x
x
x




70

А
3.
Б
2.
В
1.
Г
4
3
.

4.1 Ки
нуто
дві гральні кістки. Яка ймовірність того, що різниця
з’явившихся
очок дорівнює трьом?

А
1
12
.
Б

3
4
.
В
1
6
.
Г
5
7
.

4.2 В урні 3 білих і 5 чорних куль. По черзі витягують 2 кулі. Чому
дорівнює ймовірність того, що перша куля біла (подія
А
), а друга (подія
В
)



чорна?

А
1
12
.
Б

3
4
.
В
1
6
.
Г
15
56
.

4.3 Радіолокаційна станція здійснює спостереження за 5
-
ма об

єктами,
кож
е
н з яких може бути втраченим із імовірністю р=0,2. Чому
дорівнює
ймові
рність того, що
буде втраченим хоча б один об

єкт?

А

5
(0,2)
.
Б

5
1(0,2)
-
.
В

5
(0,8)
.
Г
5
1(0,8)
-
.

5.1 Чому дорівнює
()
xx
+
-

?

А
1.
Б
0,8.
В
1,5.
Г
3.

5.
2 Яка формула виражає правило

трьох сигм

?

А

(
)
2
PX




-<=


.
Б

(
)
(
)
2
PX

->=
.

В

(
)
PX




-<=


.
Г

(
)
(
)
323
PX

-<=

5.3
Чому дорівнює ймовірність
попадання випадкової величини
Х
в
інтервал
(а,

)

через функцію розпод
ілу?

А

F()
-
F().

Б
F(

)
-
F(

).

В

F
(

-

)
.

Г

F
(

-

)
.


7
ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПІДГОТОВКИ


7
.1 Основні поняття теорії
й
мовірностей

1
Яка подія називається достовірною, неможливою, випадковою?

2
Які події
називаються несумісними, єдино
можливими, рівномож
-
ли
вими?

3
Що називається
й
мовіністю події
А
?

4
Сформу
люйте властивості й
мовірності.

5
Що називається відносною частотою події
А
?

6
Дайте поняття статистичної
й
мовірності?


7
.2
Основні теореми теорії
імовірностей

1
Що називається сумою двох або декількох под
ій?

2
Сформулюйте і доведіть теорему додавання несумісних подій, її
наслідок.



71

3
Що називається повною групою подій?

4
Сформулюйте теорему про повну групу подій.

5
Які події називаються протилежними?

6
Сформулюйте теорему про протилежні події та зауваження
до неї.

7
Які події називаються незалежними, попарн
о незалежними,
незалежними в
сукупності?

8
Що називається добутком двох подій?

9

Сформулюйте і доведить теорему множення
й
мовірностей незалежних
подій, її наслідок.

10

Довести теорему про
й
мовірність появи
хоча б однієї події, її наслідок.

11

Які події називаються залежними?

12

Що називається умовною
й
мовірністю
однієї події по відношенню до
інш
ої?

13

Сформулюйте теорему множення залежних подій, її наслідок.

1
4

Які події називають сумісними?

15

Сформулюйте
і доведіть теорему додавання
й
мовірностей несумісних
подій та зауваження до неї.

16

Сформулюйте і доведіть теорему про повну
й
мовірність.

17
Вивести формул
у
Бейеса.


7.3
Повтор
ні випробування

1
Які випробування називають незалежними?

2
Вивести формулу Бе
рну
л
лі.

3
Сформулювати локальну теорему Лапласа.

4
Сформулювати інтегральну теорему Лапласа.

5
Вивести формулу для відхилення відносної частоти від сталої
й
мовірності в незалежних випробуваннях.

6
Вивести формулу Пуас
с
она.

7
У
яких випадках застосовуються
формули Берну
л
лі, Лапласа, Пуас
с
она.


7.4 Дискретнівипадкові величини

1 Яку величину називають випадковою?

2 Дайте означення дискретної і неперервної випадкових величин.

3 Що називається законом розподілу дискретної випадкової величини?

4 Як
им чином
можна
задати закон розподілу?

5 Що називається біноміальним розподілом?

6 Запишіть біноміальний закон розподілу,

його числові характеристики.



7.5 Числові характеристики дискретних випадковиї величин

1 Що називається математичним сподіванням? Формула для обчис
лення
математичного сподівання.

2 Імовірнісний зміст математичного сподівання.

3 Властивості математичного сподівання.



72

4 Математичне сподівання біном
іаль
ного розподілу.

5 Що називається дисперсією дискретної випадкової величини?

6 Відхилення випадкової в
еличини від її математичного сподівання, його
властивість.

7 Формула для обчислення дисперсії.

8 Властивості дисперсії.

9 Дисперсія біном
іаль
ного розподілу.

10 Середнє квадратичне відхилення, його властивість.


7.6
Інтегральна функція розподілу
й
мовірносте
й випадкової величини

1
Означення інтегральної функції розподілу.

2
Сформулюйте в
ластивості інтегральної функції розподілу,
що уявляє
собою її
графік.


7
.
7
Диференціальна функція розподілу
й
мовірностей неперервної
випадкової величини

1

Означення диференціа
льної функції розподілу.

2

Імовірність попадання неперервної випадкової величини в заданий
інтервал.

3
Знаходження інтегральної функції розподілу
за відомою диферен
-
ціальн
ою
функці
єю
.

4

Властивості диференціальної функції.


7
.
8
. Закони розподілу та числові
характеристики неперервних

випадкових величин

1
Дайте визначення закону рівномірного розподілу.


2

Що називається д
иференціальн
ою
функці
єю
рівномірного розподілу.


3

Який має вигляд і
нтегральна функція рівномірного розподілу.

4
Числові характеристики
рів
номірного розподілу.

5

Дайте в
изначення нормального розподілу, нормальна крива.

6
Імовірність попадання в заданий інтервал нормальної випадкової
величини.

7
Обчислення й
мовірності заданого відхилення.

8
Сформулюйте п
равило трьох сигм.


7.9
Закон великих ч
исел


1
Довести нерівність Чебишева,
сформулювати
його значення.

2 Довести теорему Чебишева,

її сутність і значення для практики.

3
Довести теорему Бернул
л
і.

4
Поняття збіжності
за ймовірністю
.





73

Д
ОДАТОК
А


Таблиця значень функції Гауса
.
2
1
)
(
2
2
x

x
-
=




x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,399

399

399

399

399

398

398

398

398

397

0,1

397

397

396

396

395

395

394

393

393

392

0,2

391

390

389

389

388

387

386

385

384

383

0,3

381

380

379

378

377

375

374

373

371

370

0,4

368

367

365

364

362

361

359

357

356

354

0,5

352

350

349

347

345

343

341

339

337

335

0,6

333

331

329

327

325

323

321

319

317

314

0,7

312

310

308

306

303

301

299

297

294

292

0,8

290

287

285

283

280

278

276

273

271

269

0,9

266

264

261

259

257

254

252

249

247

244

1,0

242

2
40

237

235

232

230

228

225

223

220

1,1

218

216

213

211

208

206

204

201

199

197

1,2

194

192

190

187

185

183

180

178

176

174

1,4

150

148

146

144

142

140

137

135

133

132

1,6

111

109

107

106

104

102

101

099

097

096

1,8

079

078

076

075

073

072

071

069

068

067

1,9

066

064

063

062

061

059

058

057

056

055

2,0

054

053

052

051

050

049

048

047

046

045

2,1

044

043

042

041

040

040

039

038

037

036

2,2

036

035

034

033

033

032

031

030

030

029

2,4

022

022

021

021

020

020

019

019

018

018

2,6

014

013

013

013

012

01
2

012

011

011

011

2,8

008

008

008

007

007

007

007

007

006

006

2,9

006

006

006

006

005

005

005

005

005

005

3,0

004

004

004

004

004

004

004

004

004

003

3,1

003

003

003

003

003

003

003

003

003

003

3,2

002

002

002

002

002

002

002

002

002

002

3,3

002

002

002

002

002

002

001

001

001

001

3,4

001

001

001

001

001

001

001

001

001

001

3,5

001

001

001

001

001

001

001

001

001

001

3,6

001

001

001

001

001

001

001

001

001

000




74


Д
ОДАТОК Б


Значення функції Лапласа

(
)

-
=
x
t
t
x

0

2

2
π
2
1
Φ
.


x

Ф(
x
)

x

Ф(
x
)

x

Ф(
x
)

0.0

0.00000





0.05

0.01994

1.05

0.35314

2.05

0.47982

0.10

0.03983

1.10

0.36433

2.10

0.48214

0.15

0.05962

1.15

0.37493

2.15

0.48422

0.20

0.07926

1.20

0.38493

2.20

0.48610

0.25

0.09871

1.25

0.39435

2.25

0.48778

0.30

0.11791

1.30

0.40320

2.30

0.489
28

0.35

0.13683

1.35

0.41149

2.35

0.49061

0.40

0.15542

1.40

0.41924

2.40

0.49180

0.45

0.17364

1.45

0.42647

2.45

0.49286

0.50

0.19146

1.50

0.43319

2.50

0.49379

0.55

0.20884

1.55

0.43943

2.55

0.49461

0.60

0.22575

1.60

0.44520

2.60

0.49534

0.65

0.24215

1.65

0.45053

2.65

0.49598

0.70

0.25804

1.70

0.45543

2.70

0.49653

0.75

0.27337

1.75

0.45994

2.75

0.49702

0.80

0.28814

1.80

0.46407

2.80

0.49744

0.85

0.30234

1.85

0.46784

2.85

0.49781

0.90

0.31594

1.90

0.47128

2.90

0.49813

0.95

0.32894

1.95

0.47441

2.
95

0.49841

1.00

0.34134

2.00

0.47725

3.00

0.49865

3.1

0.49903

3.2

0.49931

3.3

0.49952

3.4

0.49966

3.5

0.49977

3.6

0.49984

3.7

0.49989

3.8

0.49993

3.9

0.49995

4.0

0
.499968

4.5

0
.499997

5.0

0
.49999997





2

2
π
2
1
x

y
-
=

y

x

x

0

Ф(
x
)



75


С
ПИСОК ЛІТЕРАТУРИ



1
Гмурман В. Е. Теория веро
ятностей и математическая статистика


М.:
В
ы
сш.

шк., 1977
.


2

Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике


М.:
В
ы
сш.

шк., 1977
.


3
Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории
вероятностей и ма
тематической статистики.


М.:
В
ы
сш.шк., 1976
.


4

Данко П.Е., Попов А.Г.

В
ысш
ая
математик
а в упражнениях и задачах



Т.3.


М.:
В
ы
сш.

шк., 1978
.


5

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика


М.:
ЮНИТИ, 2010.




ЗМІСТ


Вступ
.............
.......................................................................................

3

1 Програма модул
я
.............................................................................

3

2 Варіанти індивідуальних домашніх завдань
.......................
..........

5

3 Варіанти підсумкового завдання

................
...................................


42

4 Зразок виконання підсумкового завдання
....................................

61

5 Варіант модульного контролю та приклад його виконання
........

65

6
Перелік тестових задач
...................................................................

68

7 Питання для самопідготовки
..........................................................

70

Додаток А
..........................................................
..................................

73

Додаток Б
.............................................................................................

74

Список
літератури
..............................................................................

75





















76


Навчальне видання


Методичні вказівки
до виконання
завдан
ь
модуля „
випадкові події та випадкові
величини

з курсу „Вища математика” для
бакалаврів
напрям
ів
підготовки

6.040106
;
6.050202; 6.050502;
6.060101;
6
.060103





Укладачі: Аршава Олена
Олександрівна

Ізмайлова Світлана Георгіївна

Щелкунова Любов Іванівна







Відповідальний за випуск

О.О. Аршава




Редактор
Л
.І.
Хр
истенко











План 200
9
р., поз.
7
8

Підп. до друку

Формат 60х84 1/16.

Надрукова
но на р
и
зографі.


Умов. друк. арк.
3
.6

Тираж 100 прим
.

Обл.
-
вид. арк.
3
.8.

Папір друк. №2.





Зам. №
15
9
7
Безкоштовно.

__
________________________________________________________________

ХДТУБА, Україна, 61002, Харків, вул. Сумська, 40

__________________________________________________________________


Підготовлено та надруковано РВВ Харківського державного технічного
універс
итету будівництва та архітектури


Приложенные файлы

  • pdf 1293271
    Размер файла: 653 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий