МУ-балка-стенка в ЛИРЕ

Министерство образования и науки РФ
Рязанский институт (филиал)
федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения
высшего профессионального образования
«Московский государственный открытый университет
им. В. С. Черномырдина »

Кафедра архитектуры и градостроительства

Г. С. Нечипорук



решение плоской задачи теории упругости
с применением пк лира


Методические указания для
студентов строительных специальностей









Рязань 2012

УДК 539.3
Н – 59


Г. С. Нечипорук

Решение плоской задачи теории упругости с применение ПК ЛИРА. Методические указания для студентов строительных специальностей. Рязанский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения «Московский государственный открытый университет им. В. С. Черномырдина», 2012


В методических указаниях дана постановка плоской задачи теории упругости. Приводится порядок решения указанной задачи с применением программного комплекса ЛИРА, реализующего метод конечных элементов. Приведены примеры по определению напряженно-деформированного состояния балки-стенки. Даны схемы и исходные данные для выполнения расчетно-графических работ.



Печатается по решению методического совета вуза







© Рязанский институт (филиал) МГОУ им. В. С. Черномырдина, 2012
© Г. С. Нечипорук

Оглавление

1) Плоская задача теории упругости. Краткие сведения из теории ..3
2) Решение плоской задачи с применением ПК ЛИРА ..........6
2.1 Режим запуска программы6
2.2 Режим формирования расчетной схемы .7
2.3 Режим - расчет задачи.11
2.4 Режим - анализ результатов расчета...11
3) Приложение А – Задание для выполнения РГР 1. Расчет балки-стенки...21





1 Плоская задача теории упругости. краткие сведения из теории

В общем виде задача теории упругости может быть сформулирована следующим образом: известен объект исследования (геометрические размеры, материал, условия опирания заданного объекта, действующая на объект нагрузка). Требуется определить:
для плоской задачи: три функции напряжений
·x(x,y),
·y(x,y),
·xy(x,y); три функции деформаций
·x(x,y),
·x(x,y),
·xy(x,y) и две функции перемещений u(x,y), v(x,y). Поскольку задача плоская, то все функции, описывающие напряженно-деформированное состояние области являются функциями двух координат.
При решении плоской задачи можно использовать:
два дифференциальных уравнения равновесия (1) - уравнения Навье:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
одно уравнение совместности деформаций в напряжениях (2):
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
где 13 EMBED Equation.3 1415 дифференциальный оператор (гармонический оператор Лапласа),
три уравнения Коши (3), связывающих деформации и перемещения:
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
три уравнения закона Гука, связывающих деформации и напряжения. При плоском напряженном состоянии они имеют вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)пнс
в случае плоской деформации:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)пд
y

·
·
·
·
Y
·
·
·
·
·
·
·
·

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·

·x X
· x

·xy

·y

Рисунок 1
Решая систему из трех дифференциальных уравнений (1) и (2) с использованием статических граничных условий (5),
X
·
·
·
·
·xl +
·xym,
Y
·
·
·
·
·xyl +
·ym, (5)

связывающих внешние усилия с напряжениями внутри тела у поверхности (рисунок 1), можно найти выражения для напряжений.
В выражении (5) l = cos
· и m = sin
· – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности тела.
Далее, по закону Гука (4) определяются деформации и, по соотношениям Коши, перемещения. Такой путь решения задачи принято называть – решение в напряжениях.
Если воспользоваться соотношениями Эри (6):
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
то решение плоской задачи можно свести к решению одного уравнения (7), которое называется бигармоническим уравнением совместности:
13 EMBED Equation.3 1415 (7)
Соотношения Эри записаны в предположении, что внешними объемными силами пренебрегаем.
Аналитического (замкнутого) решения уравнения (7) не получено, хотя доказана единственность его решения. Поэтому при решении задачи прямым методом используют численные методы интегрирования: метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод граничных элементов, вариационные методы.
При решении плоской задачи обратным методом, когда решением уравнения (6), т. е. функцией
·(x,y) задаемся и проверяем, каким граничным условиям оно соответствует, довольно часто используется решение в полиномах.
Ниже рассматривается решение плоской задачи прямым методом с применением программного комплекса ПК ЛИРА, реализующего метод конечных элементов.
При использовании МКЭ в форме метода перемещений стоит задача решения уравнения
13 EMBED Equation.3 1415, (8)
где: 13 EMBED Equation.3 1415- вектор неизвестных перемещений узлов конечного элемента,
13 EMBED Equation.3 1415 - матрица жесткости системы КЭ, которая формируется с использованием уравнений Коши (3) и закона Гука (4),
13 EMBED Equation.3 1415 - вектор узловых сил (реакции).
Таким образом, решение задачи интегрирования уравнений теории упругости сводится к решению системы алгебраических уравнений.
Недостатком рассматриваемого метода является то, что напряжения в пределах элемента постоянны (однородное напряженное состояние), и потому для получения достаточной точности решения часто приходится использовать весьма густую сетку (особенно в местах с быстро изменяющимся напряженным состоянием и вблизи особенностей – мест приложения сосредоточенных усилий, углов штампа). Это приводит к системам уравнений высокого порядка. Для современных ЭВМ, имеющих большую скорость быстродействия и значительный объем памяти размер задачи не вызывает затруднений.



















2 Решение плоской задачи с применением ПК ЛИРА

Программный комплекс (ПК) ЛИРА представляет собой многофункциональный программный комплекс для расчета, исследования и проектирования конструкций различного назначения. Программные комплексы семейства ЛИРА разработаны в НИИАСС (Киев) и имеют более чем 40-летнюю историю создания, развития и применения.
Настоящие методические указания дают возможность познакомиться с одним из наиболее применяемых в расчетной практике программных комплексов на примере расчета балки-стенки при различных условиях опирания и произвольной нагрузке.
Ниже будет рассмотрен пример расчета балки – стенки размерами 4,8 х 3 м, толщиной 40 см, свободно опертой по нижнему контуру с применением указанного программного комплекса. Балка нагружена по левой кромке сосредоточенной силой и распределенной нагрузкой по верхнему краю.

13 EMBED Word.Picture.8 1415

Процесс выполнения задания по теории упругости по расчету балки-стенки с применением ПК ЛИРА можно условно разделить на следующие этапы.


Рисунок 3




2.1 Режим запуска программы. При первоначальной загрузке ПК ЛИРА на экране появится функциональное меню экрана начальной загрузки (рисунок 3) которое состоит из следующих позиций: файл, расчет, опции и окно.


Рисунок 4
Для создания первой (новой) задачи курсор устанавливается на кнопке «Файл» и нажимается левая кнопка мыши. В падающем меню (рисунке 4) нажимается кнопка «Новый ». На экране появляется диалоговое окно (рисунок 5), в котором заполняется имя задачи и ее шифр, и указывается число степеней свободы в узлах конечного элемента рассматриваемого объекта.


Рисунок 5

Прямоугольный конечный элемент балки-стенки имеет две степени свободы в узле (два перемещения). Столько же степеней свободы имеет узел конечного элемента фермы. Конечный элемент плоской стержневой системы рамы - три степени свободы (два перемещения и поворот), прямоугольный элемент пластинки тоже три перемещения в узле (перемещение (прогиб) и два поворота).
При необходимости заполняется окно «описание задачи». Запуск программы оканчивается нажатием клавши «Подтвердить».

2.2 Режим формирования расчетной схемы



Рисунок 6

Для задания расчетной схемы необходимо в основном меню открыть окно «Схема», в падающем меню открыть строку «Создание» и затем строку «Регулярные фрагменты и сети» (рисунок 6). На экране появляется окно
«Создание плоских элементов и сетей» (рисунок 7, показана верхняя часть окна). Вызвать это окно можно кнопкой , расположенной на основном меню.



Рисунок 7

Для ввода исходных данных расчетной схемы балки-стенки в вызванном окне необходимо активизировать кнопку «балка- стенка» , ввести значения размеров конечных элементов и количество элементов вдоль осей х (первая ось) и z (вторая ось) и нажать кнопку «применить».
На экране появится схема заданной балки-стенки и название задачи (рисунок 8).



Рисунок 8



Рисунок 9
2.2.2 Для задания условий опирания балки-стенки необходимо в основном меню активизировать кнопку «отметка узлов» и мышью поочередно указать узлы (нажимая левую кнопку), в которых установлены связи. После отметки узла (узел окрашивается в красный цвет) либо кнопкой «связи», либо через окно «схема» (рисунок 6) открывается окно «Связи в узлах» (рисунок 9). Для установления шарнирной неподвижной опоры необходимо запретить (назначить) линейные связи в направлении осей х и z, для шарнирной подвижной – в направлении оси z, и для установления жесткой связи назначить линейные связи по осям х и z и запретить поворот вокруг оси у (uy). После установления связей узел окрашивается в синий цвет. Сами связи не показываются. Кнопка служит либо для удаления установленных ранее связей при смене расчетной схемы, либо при ошибочном назначении связей.

2.2.3 Для задания жесткости конечных элементов необходимо в основном меню активизировать окно «Жесткости». При этом будет открыто диалоговое окно «Жесткости элементов» (рисунок 10). Для задания жесткости конечного элемента балки-стенки необходимо активизировать клавишу «Добавить», при этом откроется окно новых типов жесткости. Нам необходимо задавать жесткость, выраженную в EI, поэтому открывается окно с обозначением EI и двойным щелчком по левой клавише выбирается объект «Пластина». В выпадающем окне заносятся модуль упругости Е, коэффициент Пуассона v , толщина пластины (балки-стенки) и при необходимости удельный вес. При введении параметров жесткости необходимо следить за размерностями вводимых параметров, и за тем, что для десятичных чисел целая часть отделяется от дробной точкой. Вводим Е = 2
·107 кН/м2, v = 0.2 h = 40 см.
После ввода исходных данных жесткости рассматриваемый объект получает тип жесткости, нумеруемый по толщине конечного элемента. В нашем случае это Пластина Н 40. Курсором активизируется запись «1. Пластина Н-40», затем дается команда «Установить как текущий тип».
Используя клавишу «отметка элементов» обозначаются элементы, для которых будет задана установленная жесткость. При этом элементы будут окрашены в красный цвет. Далее дается команда «Назначить» и цвет элементов восстанавливается. То есть выделенные элементы имеют установленную жесткость «1. Пластина Н-40». После этого нажать кнопку «закрыть»


Рисунок 10

2.2.4 Для ввода нагрузки в основном меню активизируется окно «Нагрузки». В падающем меню выбирается опция «Нагрузка на узлы и элементы». В результате имеем диалоговое окно «Задание нагрузок» (рисунок 11 (показано не полностью)). В нашей задаче необходима нагрузка в узлах в глобальной системе координат. При действии вертикальной нагрузки активизируется направление z, при действии горизонтальной нагрузки – направление х.


Рисунок 11

Для ввода сосредоточенной силы необходимо нажать кнопку и отметить узел, на который действует сосредоточенная сила. Затем активизировать кнопку , ввести значение нагрузки.
Для ввода распределенной нагрузки активизируется кнопка . Предварительно необходимо курсором указать узлы, на которые действует эта нагрузка. В нашем примере мы задали сосредоточенную силу Р = 120 кН в верхнем углу левой кромки и равномерно распределенную нагрузку по верхнему контуру балки-стенки q = 30 кН/м. На рисунке 12 показана балка-стенка после ввода распределенной нагрузки по верхней грани области вдоль оси х. Нижние выделенные узлы – опорные.



Рисунок 12



Рисунок 13

2.3 Режим - расчет задачи
После задания расчетной схемы, связей, жесткости и нагрузки производится расчет задачи, для чего в окне «Режим» (рисунок 13) необходимо активизировать строку «Выполнить расчет».

2.4 Режим - анализ результатов расчета
При окончании вычислений в этом же окне переходим к анализу результатов расчета с использованием строки «результаты расчета».
На экране появляется новое меню (рисунки 14, 15) и схема объекта.



Рисунок 14

Подводя курсор к той или иной клавише можно узнать их назначение. Для демонстрации деформированного вида области необходимо нажать отмеченную на рисунке 14 кнопку .



Рисунок 15


Рисунок 16. Изополе напряжений Nх

Для получения изополей напряжений (в ПК ЛИРА приняты следующие обозначения
·х – Nx.
·z – Nx ) необходимо нажать кнопку (рис. 15). Внизу экрана появятся кнопки с обозначением напряжений Nx. Nz и
·хz. Нажав клавишу Nx, получим изополе напряжений Nx (рисунок 16). Изополя напряжений Nz и Тхz показаны на рисунках 18 и 20.
Величину напряжений можно оценить либо по интенсивности цвета области (красный цвет соответствует положительным, то есть растягивающим напряжениям, синий – отрицательным, сжимающим), либо численно. При нажатии правой клавиши мыши на экране появится выпадающее меню, в котором вверху активизируется строка «Информация об узле или элементе».
Наводя курсор на заданный узел при нажатии левой клавиши мыши, на экране появляется окно с указанием номера узла и величины его перемещений вдоль осей х и z. Для определения величины напряжений курсор мыши необходимо установить в середине элемента и при нажатии левой клавиши на экране появляется окно с номером элемента и значениями всех трех напряжений. Выход на опцию «Информация об узле или элементе» можно получить с использованием клавиши основного меню .


Рисунок 17. Эпюра напряжений Nх в сечении I-I
(слева значения напряжений в верхней части балки-стенки)

Использование клавиши «эпюра по разрезу» позволяет получить эпюры напряжений в сечении. Для отметки сечения курсором с нажатой левой клавишей мыши проводится линия в нужном направлении. Так на рисунке 17 показана эпюра напряжений Nх в среднем вертикальном сечении области (сечение I-I). На рисунке 19 приведена эпюра напряжений Nz в горизонтальном сечении (сечение II-II), проведенном на половине высоте балки-стенки (рисунок 18). Необходимо отметить, что как бы мы не проводили сечение (горизонтально, вертикально или наклонно), эпюра любого параметра будет построена на горизонтальной базе.



Рисунок 18. Изополе напряжений Nz



Рисунок 19. Эпюра напряжений Nz в сечении II-II


На рисунке 20 приведено поле касательных напряжений, а на рисунке 21 эпюра касательных напряжений в сечении 2.



Рисунок 20. Изополе напряжений Тхz



Рисунок 21. Эпюра напряжений Тхz в сечении II-II


Для получения значений главных и эквивалентных напряжений, необходимых для оценки прочности конструкции, следует нажать кнопку «Изополя главных и эквивалентных напряжений» и активизировать клавишу «Литера». Система ЛИТЕРА реализует вычисление главных и эквивалентных напряжений по различным теориям прочности.



Рисунок 22

На экране появляется окно «Вычисление главных и эквивалентных напряжений» (рисунок 22). Отметив на нем необходимые позиции и клавишу «Подтвердить», на экране выпадает окно «Теории напряжений» (рисунок 23), необходимых при вычислении эквивалентных напряжений. Здесь необходимо отметить нужную теорию.
После вычислений на экране справа появятся кнопки с индексами искомых напряжений (рисунок 24). В верхней части находятся кнопки со стрелками, которые позволяют увидеть направление главных напряжений внутри конечных элементов.


Рисунок 24














Рисунок 23





На рисунках 25 и 26 показаны поля главных напряжений N1 и N2 (аналоги напряжений
·1 и
·3) и эквивалентных напряжений Nэ (рисунок 27), подсчитанных по третьей теории прочности (теории наибольших касательных напряжений).




Рисунок 25. Изополе главных напряжений N1




Рисунок 26. Изополе главных напряжений N3




Рисунок 27. Изополе эквивалентных напряжений Nэ

После анализа решения задачу следует сохранить.
Ниже показаны результаты расчета той же балки – стенки, но имеющей сквозное отверстие размерами 4
· х 2
·.
Для получения отверстия необходимо вернуться в режим «расчетная схем», используя кнопку «отметка элементов» обозначить удаляемые элементы. Нажатие правой клавиши мыши даст падающее меню, в котором выбираем команду «Удалить». В результате отмеченные элементы будут удалены. В случае ошибочного выделения элементов кнопкой «отмена выбора» отмеченные для удаления элементы будут восстановлены.
Поскольку связи и нагрузка не изменились, сразу переходим к режиму расчета (рисунок 11) и затем к результатам расчета, которые приводятся ниже.


Рисунок 28. деформированный вид балки-стенки



Рисунок 29. Изополе напряжений Nx



Рисунок 30. Эпюра напряжений Nх в сечении I-I



Рисунок 31. Изополе напряжений Nz



Рисунок 32. Эпюра напряжений Nz в сечении II-II





Рисунок 33. Изополе напряжений Txz



Рисунок 34. Эпюра напряжений Тхz в сечении II-II




Рисунок 35. Изополе напряжений Nz

Наличие отверстия привело к следующим изменения напряжений и деформаций в контрольных элементах и узлах.


Напряжения, прогибы
Сплошная
балка-стенка
Балка-стенка
с отверстием
Изменение
(%)

Элемент № 71 (нижний край)
Nx (МПа)
0,8207
0,8268



Nz (МПа)
0,0028
-0,00002




·xz (МПа)
0,0136
0,0367


Элемент № 80 (верхний край)
Nx (МПа)
-0,660
-0,729
+10%


Nz (МПа)
-0,244
-0,236




·xz (МПа)
0,017
0,0367


Узел № 9 (нижний край)
z (мм)
-0.272
-0.271


Узел № 179 (верхний край)
z (мм)
-0.284
-0.288
+ 1,4%




Рисунок 36
Нумерация узлов начинается с нижнего левого узла и проводится по горизонталям слева направо. Нумерация элементов так же начинается с левого нижнего элемента и нумеруется по вертикалям снизу вверх. Номера узлов и элементов можно вывести на экран. Для этого в основном меню в режиме расчетная схема выбираем пункт меню «опции», затем «флаги рисования» (кнопка на панели инструментов). Появляется диалоговое окно «Показать» (рисунок 36), отмечаем закладку «элементы» и флажком устанавливаем номера элементов. Далее отмечаем вторую закладку «узлы» и флажком устанавливаем номера узлов. Щелчок по кнопке - «Перерисовать» даст рассматриваемый объект с обозначенными узлами и элементами (рисунок 37).
Повторный щелчок по кнопкам , и по кнопке приведет к снятию нумерации.





Рисунок 37

Расчетную схему балки – стенки с отверстием сохраняем под другим именем – «Балка – стенка2».


Приложение А

Задание для выполнения
РГР 1. «Расчет балки-стенки»

Для заданной балки-стенки (рисунок А.1) с размерами и нагрузкой, взятыми в соответствии с шифром студента* из таблицы А.1 необходимо, применяя ПК ЛИРА, реализующего МКЭ, выполнить анализ НДС области. Для чего:
1. Получить деформированный вид балки-стенки и определить наибольшие перемещения узлов.
2. Получить изополя напряжений
·x,
·у,
·zy,
·1,
·2,
·е и определить наибольшие напряжения с указанием номера элемента.
3. Построить эпюры
·x в сечении I – I,
·y в сечении II – II и
·zy в сечениях I – I и II – II.
Рассмотреть 4 варианта задачи – два нагружения сплошной балки-стенки отдельно вертикальной и горизонтальной нагрузкой и два нагружения балки-стенки с отверстием той же нагрузкой.
4. Дать оценку - как изменятся напряжения и перемещения при наличии в центре балки-стенки проема размерами m x n (проем показан пунктиром).
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рисунок А.1

При расчетах принять: материал изделия бетон (модуль упругости Е = 2
·104 МПа, коэффициент Пуассона v = 0,2), толщина балки – стенки задается по выбору студента в пределах 20 – 40 см.
Высоту балки-стенки принять равной h = 10
·.






Таблица А.1

Номер
строки
Предпоследняя цифра шифра*
Последняя цифра шифра*


q1 (кН/м)

·

· (
·)
m (
·)
q2 (кН/м)
h(м)
n (
·)

1
12
1,2
0
2
5
4
2

2
9
1,4
1
3
6
3,6
4

3
10
1,6
2
4
7
3,2
6

4
14
1,8
3
5
8
2,8
2

5
12
2,0
4
2
5
3,0
4

6
7
2,2
1
3
6
4,0
6

7
11
1,1
0
4
7
3,6
2

8
13
1,3
2
5
8
3,2
4

9
15
1,5
3
2
5
2,8
6

0
8
1,7
4
3
6
3,0
2


В отчете по выполнению РГР необходимо привести исходные данные, полученные в соответствии с шифром, схему балки-стенки с указанием номеров узлов и элементов и данные по пунктам 1, 3, 4 и 5.




*) Шифром являются две последние цифры номера зачетной книжки студента.


















Учебное издание





Нечипорук Геннадий Савельевич


решение плоской задачи теории упругости
с применением пк лира


Методические указания для
студентов строительных специальностей












Компьютерная верстка Нечипорук Г. С.
Подписано в печать 13. 05. 2012.
Формат 60(84/1 16. Бумага типограф.
Печать офсетная.
Уч.-изд. л. 1,5
Тираж 60 экз.
Заказ № 92 181

Рязанский институт (филиал) МГОУ
390000, г. Рязань, ул. Право-Лыбедская,26/33














13PAGE 15


13PAGE 14615





Приложенные файлы

  • doc 2543138
    Размер файла: 650 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий