МФКР УМК Начисление процентов


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Министерство
образования и науки РФ

Федеральное
государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«
СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт управления бизнес
-
процессами и экономики

Кафедра «Экономика и менеджм
ент»










НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ


Курс лекций

по
дисциплине
«Методы финансовых и коммерческих операций»

для студентов экономического факультета специальностей

080502.65 «Экономика и управление на предприятии»

080507.65 «Менеджмент в организации»

и

080
801.65 «Прикладная информатика«















Красноярск 20
11


2

АННОТАЦИЯ

Курс «Методы финансовых и коммерческих вычислений» охватывает
определенный круг методов вычислений, необходимость в которых возник
а-
ет всякий раз, когда в условиях сделки или финансово
-
банковской операции
оговариваются конкретные значения трех видов п
а
раметров, а именно:

стоимостные характеристики (размеры платежей, долговых обяз
а-
тельств, кредитов и т.д.),

временные данные (даты или сроки выплат, продолжительность льго
т-
ных периодов ил
и отсрочки платежей и т.д.),

а также процентные ставки.

На практике финансовая математика применяется в финансов
ом м
е-
неджменте
, банковском и сберегательном деле, страховании, в работе ф
и-
нансовых организаций, торговых фирм и инвестиционных компаний, фонд
о-
вых и в
а
лютных бирж.

Финансовая математика

область знаний, которая дает целостную ко
н-
цепцию количественного финансового анализа условий и результатов ф
и-
нансово
-
кредитных и коммерческих сделок, связанных с использование д
е-
нег в любой форме.

Потребность в

них возникает и всякий раз, когда осуществляется инв
е-
стирование средств тем или иным образом и затем поступление дохода с
этих средств: при ссудных операциях, размещении средств в ценные бумаги,
пр
о
изводственном инвестировании.

В этих случаях появляется
задача приведения в соответствие размеров и
сроков платежей со временем расчетов и правилами сделки. В конечном сч
е-
те, главная роль финансовой математики заключается в том, что она позв
о-
ляет эффективно осуществлять инвестиционную деятельность, проводить
пр
о
ектный анализ, управление финансами.

Объем курса: 34 часа лекций и 34 часа семинарских занятий, в том чи
с-
ле 17 часов лабораторных работ. К содержанию курса «Методы финансовых
и коммерческих расчетов» прилагается: список рекомендованной литерат
у-
ры.

Курс ле
кций
предназначен для студентов дневного и заочного отдел
е-
ния экономического факультета специальностей 080502 «Экономика и
управление на предприятии (по отраслям)», 080507.65 «Менеджмент в орг
а-
низации» и 080801.65 «Прикладная информатика
».


3

ВВЕДЕНИЕ

Дисцип
лина «Методы финансовых и коммерческих расчетов» предста
в-
ляет собой одну из основных специальных дисциплин подготовки эконом
и-
стов
-
менеджеров по специальностям 080502.65 «Экономика и управление на
предприятии», 080507.65 «Менеджмент в организации» и 080801.
65 «Пр
и-
кладная информатика».

Целью преподавания дисциплины является изучение слушателями:


методов количественного финансового анализа;


методик финансово
-
экономических расчетов, используемых при ра
з-
работке инвестиционных проектов, контрактов, измерении эффе
к-
тивности различного вида финансовых и коммерческих операций.

Основными задачами курса являются:


овладение слушателями методами начисления процентов и диско
н-
тирования разовых выплат и потоков платежей в различных услов
и-
ях;


применение методов финансовых и к
оммерческих расчетов при ра
з-
работке планов погашения задолженности, оценке ценных бумаг,
анализе портфеля векселей, сравнении коммерческих контрактов,
анализе инвестиц
и
онных проектов и пр.

В результате изучения дисциплины студент должен приобрести знания,
умения и навыки, необходимые для его профессиональной деятельности в
качестве экономиста
-
менеджера по соответствующей специал
ь
ности.

В результате изучения курса студент должен
знать
:


методы начисления простых и сложных процентов;


методы расчета обобщающих
характеристик различных потоков пл
а-
тежей;


методы учета влияния факторов инфляции и налогообложения на р
е-
зультаты финансовой операции.

В результате изучения дисциплины студент должен
уметь
:


определять конечные финансовые результаты операции для каждой
из уч
аствующих сторон;


изучать зависимость этих результатов от основных параметров оп
е-
рации, определять предельные значения;


планировать финансовую операцию;


определять безубыточное изменение параметров операции.

Изучение дисциплины базируется на материалах пре
дшествующих о
б-
щих математических и естественнонаучных дисциплин, таких как «Инфо
р-
мационные технологии в экономике», а также общепрофессиональных ди
с-

4

циплин «Экономическая теория», «Экономика предприятия» и «Статист
и-
ка».


5

ГЛАВА 1. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТО
В

Любая финансовая, коммерческая операция или сделка включает сов
о-
купность нескольких согласованных элементов:

сумм
ы

платежа
,
срок
ов

пл
а-
тежа
,
ставк
и

процентов.

Влияние этих параметров на финансовые результаты
операции не всегда оч
е
видно.

Цель изучения

ме
тодов

финансовых и коммерческих расчетов
(МФКР)

изучение финансовых результатов операций в сложных ситуациях. Методы
ФКР п
о
зволяют:

1)

Определить конечные результаты для каждой из участвующих ст
о-
рон;

2)

Изучить зависимость этих результатов от основных парамет
ров оп
е-
рации, определить предельные значения;

3)

Планировать финансовую операцию;

4)

Определить безубыточное изменение параметров операции.

1.1.
Основные понятия количестве
н
ного анализа

Одним из факторов финансовых расчетов является время. Так,
принцип
нера
в
ноце
нности

денег во времени

основан на том, что одна и та же сумма,
рассматриваемая в разные моменты времени, обладает различной ценн
о-
стью. Это параметр можно рассма
т
ривать в трех аспектах:


денежная наличность обесценивается за определенный промежуток
времени
под влиянием
инфляции
;


стоимость денег связана с
обращением капитала
;


субъективные
предпочтения.

Основное следствие принципа неравноценности денежных сумм во
времени

неправомерность суммирования денежных величин, относящихся
к разным моментам вр
е
мени.

Корпорация
«Юнион Карбайд» в Индии предложила компенсацию
-

$
200 млн. в течение 35 лет. Расчеты показали, что сумма, которую
необходимо положить в банк всего под 10 %, составляет $ 57,5 млн.
Т.е. $ 57,5 млн. сегодня стоят столько же, сколько $ 200 млн
., в
ыпл
а-
ченные
в теч
е
ние 35 лет.

Введем несколько основных понятий количественного ан
а
лиза.

Первоначальный капитал

(текущая или современная величина)


P
.

Проценты (процентные деньги)


абсолютная величина дохода от и
с-
польз
о
вания денег в любой форме

I
.


6

Наращ
ение


первоначальная сумма капитала с начисленными проце
н-
тами на определенный момент времени в б
у
дущем


S
.



S
=
P + I
.

(
1
)



Далее будем говорить, что
S

и

P

являются
эквивалентными

суммами,
т.е. обе эти величины являются одной и той же суммой, но рассм
атр
и
ваемой
в разные моменты времени. Такое представление согласуется с принципом
н
е
равноценности денег.

Ставка


относительная величина дохода (в долях единицы) за фикс
и-
рованный
интервал

времени.

Период начисления


интервал времени, к которому приурочена

ставка.
Чаще используется понятие «ставка год
о
вых».

Рассмотрим простейшую финансовую операцию.

Однократно предоставляется в долг некоторая сумма P с условием,
что через некоторое время n будет возвр
а
щена сумма S.

Эффективность подобной операции может быть

охарактеризована о
д-
ной из двух величин:

темпом прироста

i

или темпом снижения
d
.

Темп прироста характеризует относительную величину дохода в сра
в-
нении с первоначально вложенной суммой
:



i
= (
S


P
)

/
P
,

(
2
)

г
де

i


ставка процента
.



Темп снижения харак
теризует относительную величину дохода в сра
в-
нении с наращением, т.е. конечным финансовым результатом операции
:



d
= (
S


P
)

/
S
,

(
3
)

г
де

d


учетная ставка.


Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны. Различие состоит в том, какая
величина берется за базу
сравнения. Проценты, рас
считанные по процентной
ставке,
называются

декурсивными
, по учетной

антисип
а
тивными
.


7

Процесс перехода от исходной суммы
P

к ее значению в будущем наз
ы-
вается
наращением
. Процесс перехода от будущей возвращаемой суммы
S

к
ее значени
ю в настоящем времени называется
дисконтиров
а
нием.

В зависимости от базы начисления ставки могут быть:


простые ставки

база начисления постоянная;


сложные ставки

за базу принимается сумма, полученная на пред
ы-
дущем эт
а
пе наращения.

В зависимости от спосо
ба фиксации ставки:


фиксированные

определяются контрактом изначально;


плавающие

фиксируется не сама ставка, а изменяющаяся во врем
е-
ни «баз
о
вая» ставка и размер надбавки к ней

маржи
.



i

=
i
б

+
i
м
,

(4)

г
де

i
б


базовая ставка,

i
м


маржа.



Примеры п
лавающих ставок:

ЛИБОР

(
London InterBank Offered Rate
)


усредненная по четырем
крупнейшим банкам объявленная лондонская межбанковская ставка по
предоставлению кредитов (ставка предложения).

MIBID
1

(
Moscow InterBank Bid
)


объявленная ставка по привлечению

кредитов (не менее 100 банков).

МIBOR
(
Moscow InterBank Offered Rate
)


объявленная ставка по
предоставлению кредитов. Получена РБК усреднением от заявленных кру
п-
нейшими банками (в базе не менее 100 ба
н
ков).

MIACR

(
Moscow InterBank Actual Credit Rate
)


ф
актическая ставка по
предо
с
тавлению кредитов.

В зависимости от интервалов начисления ставки разделяют на:


дискретные

используются для начисления за фиксированные и
н-
тервалы времени;


непрерывные

используются для оценки непрерывных процессов
при пр
о
веден
ии финансового анализа.




1

Рассчитываются РИА «РосБизнесКонсалтинг» и Информационным Консорциумом ЦБ
РФ


8

Таблица
1

Ставки по рублевым
межбанковским кредитам
на 2
2
.0
7
.
20
0
5

Срок
кредита
(дни)

MIBID

MIBOR

MIACR

с
ег
о
дня

вчера

нед
е
лю

назад

сег
о
дня

вчера

нед
е
лю

назад

сег
о
дня

вчера

нед
е
лю

назад

1

4
,
2
6

3
,
60

1
,
61

6
,
24

5
,
37

2
,
97

--

7
,
1
0

3
,
17

2
-
7

3
,
51

3
,
59

2
,
0
7

5
,
61

5
,
69

4
,
30

--

6
,
52

2
,
83

8
-
30

3
,
84

4
,
03

3
,
33

5
,
79

5
,
97

5
,
32

--

5
,
76

3
,
15

31
-
90

4
,
4
7

4
,
46

4
,
16

6
,
76

6
,
81

6
,
38

--

5
,
79

5
,
36

91
-
180

5
,
09

5
,
12

4
,
86

7
,
56

7
,
59

7
,
33

--

--

4
,
50

181
-
365

6
,
16

6
,
26

6
,
02

8
,
9
0

8
,
80

8
,
48

--

--

--

1.2.
Начисление простых процентов

Использование метода начисления простых процентов предполагает,
что доход за каждый период времени начисляется на одно и ту же первон
а-
чал
ь
ную величину
P
.

Пусть срок операции
n

= 2
. Необходимо найти наращение на конец вт
о-
рого го
да при условии начисления простых процентов. Используя (1) и (2)
п
о
лучаем на конце первого года (
n

= 1
):



S

=
P

+
I

=
P

+
Pi

=
P
(1

+

i
)
.




Применив ту же процедуру, получаем на конец второго года
:



S

=
P
(1 +
i
) +
Pi
=
P
(1

+

2
i
)




и т.д. по правилам а
рифметической прогрессии получаем формулу
наращ
е-
ния по
просты
м

процент
ам

(рис. 1)
:



S

=
P
(1 +
ni)
,

(5)


9

г
де

(1 +
ni
)

множитель наращения,
отражающий, чему будет равна одна с
о-
временная денежная единица через
n
периодов при заданной процентной
ставке
i
.




Рисунок
1



Наращение простых процентов


Простые проценты обычно используются для операций сроком не более
года. Пр
о
центы обычно определяют за год, но срок использования капитала
может не быть кратным

году и исчисляться в днях, т.е.



n

=
t

/
K
,


где

t


число дней пользования кап
и
талом
;

K


временная база (число дней в году)
.



В зависимости от
K

различают:


обыкновенные (коммерческие) проценты (
K

= 360 дней)
;


точные проценты (
K
= 365 или 366 дней
, т.
е.
календарному

году
)
.

В зависимости от
t
различают:


проценты с точным числом дней, т.е. подсчет срока операции
пров
о-
дится с
тр
о
го по календарю;


проценты с приближенным числом дней. В этом случае месяц пр
и-
нимается равным 30 дням, и общий срок операции расс
читывается
как
:



t
= 30
R

+
t
’,



10

г
де

R


число полных месяцев,

t


число оставшихся дней.



Обычно первый и последний дни принимают за один. Комбинируя эти
способы можно получить три варианта расчета простых процентов:


точные проценты с точным числом дн
ей
(Португалия, США, Вел
и-
кобритания)
;


обыкновенные проценты с точным числом дней
(Франция, Бельгия,
Испания, Швейц
а
рия)
;


обыкновенные проценты с приближенным числом дней
(Германия,
Дания, Швеция).

Т
очные проценты с приближенным числом дней смысла не имеют.

1.3.
Начисление процентов в условиях дискретно изменяющихся пр
о-
центных ставок. Реинвестирование.

При использовании капитала ставка может
дискретно
изменяться во
времени

(рис. 2)
.

То есть в интервале времени
n
1

начисление процентов в
е-
дется по простой ставк
е
i
1
, в интервале времени
n
2

начисление ведется по
ставке
i
2

т.д.




Рисунок
2



Наращение процентов при дискретном изменении процен
т
ных
ставок


В этом случае наращение рассчитывают следующим образом:


S

=
P
(1 +
n
1
i
1
+
n
2
i
2
+...) =
P
(1 +
n
t
i
t
)
.



11


В практике при инвестировании средств часто прибегают к неоднокра
т-
ному п
о
вторению операции в пределах заданного срока
N

(операция типа
«положил

снял

положил на других условиях»). В этом случае говорят о

реинвестировании
, т.е. в периоде
n
1

начисление производится не на перв
о-
начальную сумму, а на
P
1
.

Наращение в такой ситуации рассчитывается как
:



S

=
P
(1 +
n
1
i
1
)(1 +
n
2
i
2
)(...)
,


n
j

=
N
.


1.4.
Математическое дисконтирование и банковский учет

Под
учетной

операцией

в количественном финансовом анализе пон
и-
мается операция удержания процентов вперед. А именно, в результате какой
-
либо операции, по которой в будущем будет выплачена некоторая сумма,
сегодня выплачивается другая, меньшая сумма. Таким образом, баз
ой в
учетной операции естественно будет будущая сумма, определенная в резул
ь-
тате оп
е
рации, т.е. наращенная сумма.

Соответствующий процент для такой операции называют
дисконтом

(
di
s
count


скидка).



S


P

=
D
,

(6)

г
де

D



дисконт
.



В
еличина
P
, найденная
дисконтированием,
называется
п
риведенн
ой
(современн
ой
) величин
ой
.

Известна сумма, которую надо вернуть S, известен срок n, задана
ставка (i или d). Найти современную величину P.

Существует два способа дисконтирования:


математическое дисконтирование;


банков
ский учет.

При математическом дисконтировании

предполагается использование
формулы (5)
:


P

=
S

/ (1 +
ni
),

(7)


12

г
де

1 / (1 +
ni
)

дисконтный множитель, отражающий, сколько сегодня ст
о
ит
одна д
е
нежная единица будущего дохода

при использовании ставки
i
.



Б
анковский учет основан на применении учетных ставок согласно фо
р-
муле (3). При этом необходимо помнить, что учетная ставка
d

не может быть
больше
100 %
.



D

= (
S


P
) /
S
.




Пр
и

сроке операции в один год
n

=

1

получаем



P

=
S


D

=
S


Sd

=
S
(1

d
)
.




При сроке операции
n

= 2



P

=
S


2
D

=
S


Sd

Sd

=
S
(1

2
d
)
.




При неопределенном
n

получаем
:



P

=
S


D

=
S

n
Sd

=
S
(1

nd
)

(
8
)

г
де

(1

nd
)

дисконтный множитель, отражающий, сколько сегодня стоит
одна денежная единица будущего дохода

при исп
ользовании учетной
ставки
d
.

ГЛАВА 2.


НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Начисление простых процентов применяется в практике в краткосро
ч-
ных периодах. В долгосрочных финансовых операциях проценты не выпл
а-
чиваются после их начисления, а присоединяются к основно
й сумме, т.е.
происходит их
капитализация
. База для начисления процентов в каждом

13

последующем периоде регулярно изменяется. В этом случае говорят об и
с-
польз
о
вании сложных процентов.

Если в процессе реинвестирования предположить, что ставка проце
н
тов
и инте
рвалы времени одинаковы, то мы получим формулу сложных проце
н-
тов

(
рис. 3)
:



S

=
P
(1 +
i
)
n
,

(
9
)

г
де

i


ставка сложного процента,

(1 +
i
)
n


множитель наращения

по сложным процентам.



Рисунок
3



Нара
щение сложных процентов


Необходимо отметить, что сила роста по сложным процентам приводит
порой к
впечатляющим р
езультатам.

Остров
Манхэттен

был «куплен» в 1624 году у индейского вождя за
$24. Через 350 лет (1974 год) стоимость земли оценив
а
лась в $40 млр
д.
Ставка сложных годовых про

центов
составила 6
.25

%.

2.1.
Дискретное начисление сложных процентов несколько раз в году

Проценты, как правило, капитализируются не один, а несколько раз в
году. Изначально же оговаривается годовая ставка
j

с указанием перио
да
начисления

m
. В этом случае наращение
S

будет определяться как
:



S

=
P
(1 +
j/m
)
mn
,

(
10)

г
де

j


номинальная годовая ставка процента
;


14

m

число периодов начисления в году
;

j

/
m


ставка в течение периода
;

mn


число начислений
процентов
весь срок

опер
ации.



В зависимости от частоты начисления процентов наращение суммы
происходит различными темпами, причем с возрастанием частоты накопле
н-
ная сумма увеличив
а
ется.

Ставки процента могут изменяться во времени (плавающие ставки)
:



S

=
P
(1 +
i
1
)
n
1
(1 +
i
2
)
n2
(
…)
.




Часто срок начисления не является целым числом. В правилах банков
для нек
о
торых операций в этих случаях существуют два метода:

1)

общий метод

расчет ведется по формулам сложных процентов.

2)

смешанный метод

за целое число лет
начисляются
сложны
е

пр
о-
ц
ент
ы
, за дробную часть

прост
ые
.



S

=
P
(1+
i
)
a
(1+
bi
),


г
де

a

+
b

=
n



период операции
,

a



целое

число лет
,

b



дробн
ая

часть года.



Если дата начала операции и дата окончания операции лежат в смежных
периодах, то начисленные проценты не могут быть ц
еликом отнесены к о
д-
ному из периодов
. Это характерно для ситуаций, возникающих в
бухгалте
р-
ск
ом учете,
налогообложени
и
, финансов
ом

ан
а
лиз
е
.

В случае простых процентов имеем
:



I

=
I
1

+
I
2

=
Pn
1
i

+
Pn
2
i
.




При условии начисления сложных процентов
:



15

I

=
I
1

+
I
2
,

I
1

=
P

(1

+

i
)
n
1


1
,

I
2

=
P

(1

+

i
)
n
1
(1

+

i
)
n
2


1
.


2.2.
Непрерывное начисление сложных процентов

Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном
дробл
е
нии годового интервала, т.е. при
m


. Это имеет большее значение
в количес
твенном финансово
-
экономическом анализе сложных произво
д-
ственных и хозяйственных объе
к
тов и явлений
, например
при обосновании и
выборе инвестиционных решений.

Необходимость применени
я

непрерывного наращения (или непреры
в-
ных процессов) определяются тем, что

многие экономические явления по
своей природе непрерывны, поэтому их аналитическое описание с помощью
непрерывных процентов более аде
к
ватно.

При непрерывном наращении используется особый вид процентной
ставки

сила

роста

(
). Сила роста характеризует отн
осительный прирост
н
а
ращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени (номинальная
ста
в
ка при
m


). Сила роста может быть постоянной или изменяться
во
врем
е
ни.

Так
,
из курса математического анализа известно, что
,
то
гда

.

Таким образом
,



S
=
Pe
n
,

(
11)

где



сила роста.




Возможно использование переменной силы роста, когда

изменяется,
следуя определенному закону, т.е.
t

=
f

(
t
)

функция, тогда




и
.



16



Наибол
ее часто встречаю
тся в аналитических расчетах линейные и эк
с-
поненциальные
функции
.

В случае линейного изменения силы роста
:



t

=
0

+
at
,


г
де

0


начальное значение

силы роста
,

a


абсолютный пр
и
рост
.



.




В случае
экспоненциаль
н
ого изменения силы роста
:



t

=
0
a
t
,


г
де

0


начальное значение

силы роста
,

a

постоянный темп ро
с
та



.


2.3.
Дисконтирование по сложн
ым процентам

По сложным процентам проводится и дисконтирование. Математич
е-
ское дисконтирован
ие

основывается на использовании форм
у
л (9), (10), (11)
:



P

=
S

(1 +
j
/
m
)
-
mn

P

=
S
e
-
n
.





17

Банковский учет

предполагает использование сложной учетной ставки
:



P
=
S
(1

d
c
)
n
,

(12)

г
де

d
c


сложная учетная ставка.



Если дисконтирование проводится
m

ра
з в году,
то предполагается и
с-
пользование номинальной учетной ставки
f
:



P

=
S
(1

f/m
)
mn

(13)

г
де

f


номинальная годовая
учетная
ставка
;

m

число периодов
дисконтирования
в году
;

f

/
m


учетная
ставка в течение периода
;

mn


число
процедур дисконтиро
вания за
весь срок

операции.

2.4.
Принцип финансовой эквивалентности

Процентные и учетные ставки решают один и те же задачи: определяют
степень доходности при операциях наращения или размеры дисконтирова
н-
ных сумм при учетных операциях. В связи с этим возмо
жен выбор таких
процентных или учетных ставок, при использовании которых финансовые
п
о
следствия окажутся равноценными.

Можно утверждать, что
п
ринцип финансовой эквивалентности

собл
ю-
дается, если при
изменении любых параметров операции
финансовый
р
е-
зультат
не измен
яется
.

Применение принципа финансовой эквивалентности
позволяет решать ц
е
лый класс аналитических задач.

Эквивалентные ставки


ставки, использование которых приводит к
одинак
о
вым финансовым результатам
.
Эквивалентная ставка, которая будет
давать т
от же результат, что и оговоренная изначально величина,

эффе
к-
тивная ставка
.

Решения задачи и нахождение эквивалентных ставок основывается на
равенстве финансовых результатов на выбранный момент времени (на нач
а-
ло или конец операции) по вариантам.
Ниже пр
иводятся некоторые соотн
о-
шения эквивалентности, которые представляют собой наибольшее практич
е-
ское значение.

Эквивалентность сложных процентных ставок

может быть описана на
о
с
но
вании
формул (
9) и (10) следующим образом
:


18



(1 +
i
э
)
n

= (1 +
j
/
m
)
mn
,

откуда

i
э

= (1 +
j
/
m
)
m


1
.




Эквивалентность сложных учетных ставок

может быть определена на
основании (12) и (13)
:



(1

f

/
m
)
mn

= (1


d
э
)
n
,
откуда

d
э

= 1

(1

f / m
)
m
.




Эквивалентность простых процентных и учетных ставок

выводится и
с-
ходя из
(5) и (8)
:



(1 +
ni
) = (1

nd
)
-
1
,

откуда

i

=
d

/ (1

nd
)

или


d

=
i

/(1 +
ni
)
.




Эквивалентность простых и сложных процентных ставок

определяется с
использованием формул (5) и (9)
:



(1 +
ni
) = (1 +
i
c
)
n
,

откуда


i

= ((1 +
i
c
)
n


1) /
n

.




Определение э
квивалентност
и

сложных дискретных и непрерывных
процентов

основано на формулах (10) и (11)
:




19

(1 +
j
/
m
)
m

=
e
, откуда

j

= (
e
/
m


1)
m

или

=
m

ln
(1 +
j
/
m
)
.




Эквивалентность сложных учетных ставок и ставок непрерывных пр
о-
центов:



d
c

= 1

e
-


=

ln (1

d
c
)
.




Таким образом,
решение
задач
и

сводится к сравнению либо множителей
наращения, л
и
бо дисконтных множителей.

ГЛАВА 3.
КОНВЕРСИЯ ВАЛЮТ

3.1.
Конверсия и наращение простых процентов

Задача состоит в сравнение операции обмена одно
й валюты на другую и
размещения средств на депозит и операции непосредственного ра
з
мещения
денежных средств на депозит и определения:

1)

конечного финансового результата операции и влияния
на него
о
с-
новных факторов;

2)

эффективности операции
;

3)

о
пределение критич
еских значений параметров операции
;

4)

допустимого значения обменных курсов
.

Варианты проведения операции:


с конверсией (
USD

RUR

RUR’

USD’

и
RUR

USD

USD’

RUR’)
;


без конверсии (
USD

USD’

и
RUR

RUR’)
.

Источник
ами
дохода в данной операции

являются

наращение проце
н-
тов
, которое можно рассчитать в момент начала операции, т.к. известны з
а-
ранее все параметры, и
результат
изменени
я

обменных курсов
, который
з
а-
ранее не определен
,
т.к. курс на конец операции неизве
с
тен
.

Условные обозначения:


20

P
v

сумма депози
та в иностранной валюте
;

P
r

сумма депозита в национальной валюте
;

S
v

наращение в иностранной валюте
;

S
r

наращение в национальной валюте
;

K
0

курс обмена на начало операции (прямая котировка)
;

K
1

курс обмена на конец операции (прямая котировка)
;

n

срок депоз
ита
;

i
r


процентная ставка в национальной валюте
;

i
v


процентная ставка в иностранной валюте
.

3.1.1.
Вариант
с конверсией
USD
-

RUR
-

RUR’
-

USD’

Операция проводится в несколько этапов. Начальную сумму в ин
о-
странной валюте
P
v

мы конвертируем по текущему об
менному курсу
K
0
, з
а-
тем п
о
лученный эквивалент в национальной валюте размещаем под ставку
i
r

на

депозит сроком
n
. Далее наращенную сумму в национальной валюте ко
н-
верт
и
руем в исходную иностранную валюту по курсу
K
1
.

Наращение в данном варианте определяется с
ледующим образом:



S
v

=
P
v

K
0

(1 +
ni
r
) /
K
1
.




Множитель наращения
наглядно представляет
два фактора
, влияющие на конечный финансовый результат операции: ставка
i
r

и
конечный обменный курс
K
1
. Зависимость от ставки процентов можно
о
п
ределить как линейную
:



.



От фактора конечного
обменн
ого курса
K
1


зависимость обра
т
ная
:




21

.




Далее, о
ценим эффективность
операции
в виде
эквивалентной
ставки
простых процентов
i
Э
.

Из формулы наращения по п
ростым процентам
(5) и
на основании принципа финансовой эквивалентности
пол
у
чим
:



,


где
k

=
K
1

/

K
0


темп роста курса
.



Изобразим графически зависимость эффективности операции
i
Э

от те
м-
па изменения обменного курса
k

(рис. 4).

С рос
том
k

эффективность опер
а-
ции снижается.



Рисунок
4



Зависимость
эффективности
операции от темпа роста курса


Если
k

= 1, то
i
Э

=
i
r
, т.е.

эффективности операции определяет еди
н-
ственный источник дохода


наращение процентов на депозите, а обмен в
а-
лют никакого дополнительного вклада не вносит. А значит,
варианты с ко
н-
вертацией и без конвертации ра
в
нозначны.

Если
k

1 (
K
1


K
0
), то
i
Э


i
r
, т.е.
конвертация приносит дополнител
ь-
ный к процентному доход, и
вариант с конве
р
тацией более выгоден
.


22

Если
k
� 1 (
K
1


K
0
), то
i
Э


i
r
, т.е.
результаты конвертации снижают о
б-
щую эффективность операции, и
выгодно простое размещение средств на
д
е
позит.

На рис. 4 мы видим также точку
b
,
в которой общая эффективность оп
е-
ра
ции
i
Э

= 0

или множитель наращения
M

= 1
. Необходимо найти соотве
т-
ствующее значение
k
*
, которое может быть названо критическим или бар
ь-
ерным.



, откуда

k
*

= (1 +
ni
r
) или

K
1
*

=
K
0
(1 +
ni
r
)
.




Если ожидаемые значения
k

и
K
1

больше пр
едельных, то операция явно
убыточна.

Т
ак как
значение
K
1

и
k

в момент заключения операции неизвестны, то
полезно определить максимально допустимые их значения, при которых
двойная конвертация не дает никакой дополнительной выгоды
. Сделать это
можно с
помощ
ью сравнения множителей наращения

на основании принц
и-
па фина
н
совой эквивалентности
.



,

откуда

k
max

= (1 +
ni
r
) / (1 +
ni
v
)

K
1
max

=
K
0

(1 +
ni
r
) / (1 +
ni
v
)
.


3.1.2.
Вариант
с конверсией
RUR
-

USD
-

USD’
-

RUR’

Операция проводится так
же в несколько этапов. Начальную сумму в
наци
о
нальной валюте
P
r

мы конвертируем по текущему обменному курсу
K
0
,
затем полученный эквивалент в иностранной валюте размещаем под ста
в
ку
i
v

на

депозит сроком
n
. Далее наращенную сумму в национальной валюте ко
н-
ве
ртируем в исходную валюту по курсу
K
1
.


23

Наращение в данном варианте определяется следующим образом:



S
r

=
P
r

(1

+

n
i
v
)

K
1

/

K
0
.



Множитель наращения
M

наглядно представляет два фактора, завис
и-
мости от кот
о
рых носят линейный характер
:



.



Далее, о
ценим эффективность
операции
в виде
эквивалентной
ставки
простых процентов
i
Э
.

Из формулы наращения по простым процентам
(5) и
на основании принципа финансовой эквивалентности
пол
у
чим
:



,


где
k

=
K
1

/

K
0


темп роста к
урса
.


Изобразим графически зависимость эффективности операции
i
Э

от те
м-
па изменения обменного курса
k

(рис. 5).

С ростом
k

эффективность опер
а-
ции
повышается
.





24

Рисунок
5



Зависимость эффективности оп
ерации от темпа роста курса


Если
k

= 1, то
i
Э

=
i
v
, т.е.

эффективности операции определяет еди
н-
ственный источник дохода

наращение процентов на депозите, а обмен в
а-
лют никакого дополнительного вклада не вносит. А значит,
варианты с ко
н-
вертацией и без кон
вертации ра
в
нозначны.

Если
k

1 (
K
1


K
0
), то
i
Э


i
v
, т.е.
изменение валютных курсов неблаг
о-
приятно и снижает общий доход от операции. В данном случае вариант без
ко
н
версии выгоднее.

Если
k

� 1 (
K
1


K
0
), то
i
Э


i
v
, т.е. вариант с конвертацией более вы
годен

благодаря тому, что благоприятное изменение обменных курсов дает допо
л-
нительный доход.

На рис. 5 мы видим также точку
a
, в которой общая эффективность оп
е-
рации
i
Э

= 0

или множитель наращения
M

= 1
. Необходимо найти соотве
т-
ствующее критическое значен
ие
k
*
.



,

откуда

k
*

= 1

/

(1

+

n
i
v
)
,

K
1
*

=
K
0

/

(1

+

n
i
v
)
.




Т
ак как
значение
K
1

и
k

в момент заключения операции неизвестны, то
полезно определить
минимально
допустимые их значения, при которых
двойная конвертация не дает никакой до
полнительной выгоды
. Сделать это
можно с
помощью сравнения множителей наращения

на основании принц
и-
па финансовой экв
и
валентности
.


,
откуда

k
m
in

= (1 +
ni
r
) / (1 +
ni
v
)
,

K
1
m
in

=
K
0

(1 +
ni
r
) / (1 +
ni
v
)
.



25

3.
2
.
К
онверсия и н
аращение сл
ожных процентов

3.2.1. Вариант с конверсией USD
-

RUR
-

RUR’
-

USD’

Операция проводится в несколько этапов. Начальную сумму в ин
о-
странной валюте
P
v

мы конвертируем по текущему обменному курсу
K
0
, з
а-
тем п
о
лученный эквивалент в национальной валюте размещаем
под ставку

сложных процентов
i
r

на

депозит сроком
n
. Далее наращенную сумму в
национальной валюте конвертируем в исходную иностранную валюту по
курсу
K
1
.

Наращение в данном варианте определяется следующим образом:



S
v

=
P
v

K
0

(1 +
i
r
)
n

/
K
1
.




Множитель

наращения
M

наглядно представляет два фактора
. Завис
и-
мость наращения от ставки
i
r

степенная возрастающая, от конечного обме
н-
ного курса
K
1


обратная
:



.




Далее, о
ценим эффективность
операции
в виде
эквивалентной
ставки
простых проц
ентов
i
Э
.

Из формулы наращения по
сложным
процентам
(9) и
на основании принципа финансовой эквивалентности
пол
у
чим
:

,


где
k

=
K
1

/

K
0


темп роста курса
.


Изобразим графически зависимость эффективности операции
i
Э

от те
м-
па изменения о
бменного курса
k

(рис. 6).

С ростом
k

эффективность опер
а-
ции
снижается
.


26



Рисунок
6



Зависимость
эффективности
операции от темпа роста курса


Определим далее
критическое значение
k
*
, при котором
i
Э

= 0 (точка
b

на граф
и
ке), или
при котором
множитель наращения
M

= 1.



,

откуда

k
*

= (1 +
i
r
)
n
,

K
1
*

=
K
0
(1 +
i
r
)
n





Если ожидаемые значения
k

и
K
1

больше предельных, то операция явно
убыточна.
Поскольку
значени
я

K
1

и
k

в момент закл
ючения операции неи
з-
вестны, то полезно определить максимально допустимые их значения, при
которых двойная конвертация не дает никакой дополнительной выгоды, с
помощью сравнения множителей наращения.


, откуда

k
max

= (1

+

i
r
)
n

/ (1

+

i
v
)
n
,

K
1
max

=
K
0

(1

+

i
r
)
n

/ (1

+

i
v
)
n
.



27

ГЛАВА 4.
КРИВЫЕ ДОХОДНОСТИ

Любая финансовая операция предполагает использование значения
процентной ставки, с которой согласны все стороны по операции. Значение
ста
в
ки зависит от множества факторов. Наиболее фундамен
тальный фактор

риск невозврата средств
, зависит в свою очередь от ряда факторов, гла
в-
ный из которых

время

(т.е. срок операции). При всех прочих равных усл
о-
виях финансовая операция сроком на 5 лет более рискованна, чем операция
ср
о
ком 2 года.

Компенсаци
я риска

повышение доходности в виде ставки процентов.
Поэтому «доходность

риск» можно охарактеризовать соотношением «д
о-
ходность

срок». Подобная зависимость, представленная в графической
форме,
кривая доходности

(рис.
7
).

Кривая доходности дает предст
авл
е
ние о
временной зависимости

процентных ставок.



Рисунок
7


Основные
виды кривых доходности


Существует три основные теории, объясняющие поведение кривых:

1)

теория непредвзятых ожиданий;

2)

теория наилу
чшей ликвидности;

3)

теория сегментации рынка.

Т
еория непредвзятых ожиданий

объясняет н
абор возрастающих ставок
тем, что рынок
, т.е.
подавляющее большинство инвесторов
,
ожидает в буд
у-
щем роста ставок. Наоборот, набор убывающих ставок может быть объяснен
рыноч
ными ожиданиями убывания ставок.

Рассмотрим ситуацию на след
у-
ющем примере.

Инвестор может инвестировать 1$ на два года. i
1

= 7

%, i
2

= 8

%. В
о-
прос состоит в том, почему эти ставки различаются (возра
с
тают)?


28

Стратегия вложения до погашения

предполагает

поме
стить
сумму
сразу на весь срок по ста
в
ке
i
2
.



S
п

= 1$
·

(1 + 0
,
08)
2

= 1
,
1664$




Стратегия реинвестирования

предполагает

поместить
сумму на один
год по ставке
i
1
, затем еще на год по ставке
i
1

.

Хотя инвестор не знает, какой будет ставка
i
1

через год, он

может
ож
и-
дать
, что
i
1

= 10 %. В случае использования второй стратегии он пол
у
чит
больше



S
р

= 1$
·

(1 + 0
,
07)

·
(1 + 0.1) = 1
,
177$
.




Однако ожидаемая ставка 10

% не может представлять общих ожиданий
на рынке, т.к.
S
п


S
р

и стратегия реинвестирования
выгоднее. Предложение
денег для двухгодичных займов под 8

% было бы меньше спроса на них, и
ставка
i
2

выросла. С другой стороны, предложение денег на г
о
дичные займы
под 7

% превышало бы спрос, приводя к быстрому уменьшению годовой
ставки. Т
аким образом,
та
кой набор ставок, включая
i
1

= 10

% не может с
о-
ответств
о
вать равновесной ситуации. Аналогичные выводы можно сделать и
для ожидаемой ставки
i
1


= 6

%. В этом случае все инвесторы будут выб
и
рать
стратегию «до погашения», что тоже не будет соответствовать сос
то
я
нию
равновесия. Какая же ставка
i
1


будет соответствовать состоянию равн
о
весия,
когда обе стратегии будут приносить од
и
наковый доход?



(1 +
i
1
)(1 +
i
1

) = (1

+

i
2
)
2
,

i
1


= 9
,
01 %
.


Таким образом, теория непредвзятых ожиданий утверждает, что ожид
а-
емая
будущая ставка равна величине соответствующей эквивалентной ста
в-
ки. Т.е., в соответствии с теорией, общественное мнение ожидает, что ч
е
рез
год ставка
i
1


= 9
,
01

%.

Это ожидаемое увеличение годовой ставки является причиной возраст
а-
ния кривой доходности, на
которой двухгодовая ставка больше год
о
вой. При
убывающей кривой доходности общественное мнение ожидает убывания г
о-
дичных ставок в будущем.


29

Анализ истории временных зависимостей сталкивается со следующей
проблемой. Для данной теории было бы логичным предпол
ожить, что вер
о-
ятность возникновения возрастающих временных зависимостей дол
ж
на быть
примерно равна вероятности возникновения убывающих. В действительн
о-
сти же возрастающие кривые встречаются чаще
. Теория наилучшей ликви
д-
ности предлагает объяснения этих явл
ений.

Т
еория наилучшей ликвидности

основывается на наблюдении того фа
к-
та, что инвесторы заинтересованы преимущественно в осуществлении кра
т-
косрочных вложений. А именно, даже если некоторые инвесторы могут
иметь долгосрочные вложения, все же имеется тенденц
ия к предпочтению
краткосрочных вложений. Эта тенденция объясняется двумя причин
а
ми:

1)

инвесторы осознают, что их инвестированные средства могут им п
о-
надобиться раньше, чем ожидалось

2)

в случае инвестиций в краткосрочные вложения их вложения меньше
подвержены
риску изменения процентной ставки.

Если инвестор, вкладывая деньги на 2 года (см.
пример вы
ше), хочет
иметь возможность получить деньги в конце первого года, то он предпо
ч
тет
стратегию реинвестирования. Если бы он следовал стратегии вложения до
погашения,
то в случае необходимости он должен был бы изъять свои сре
д-
ства через год. Однако
,

неизвестно
,

каким образом и в каком объеме он смог
бы это сделать. Т
аким образом,
стратегия вложения до погашения имеет
элемент дополнительного риска, который отсутствует пр
и следовании стр
а-
тегии реинвест
и
рования.

В результате если доходы по двум стратегиям будут одинаковыми, то
инвестор предпочтет стратегию реинвестирования, а не вложения до пог
а-
шения. Только если доход, ожидаемый по стратегии «до погашения» будет
выше, чем

по стратегии реинвестирования, то инвестор осуществит инвест
и-
цию на срок два года сразу. Поэтому заемщики должны предлагать инвест
о-
ру некоторую премию за риск в форме увеличенного ожидаемого д
о
хода для
того, чтобы он был заинтересован в инвестировании на
два г
о
да.

Заемщики заинтересованы в том, чтобы платить больше за более долг
о-
срочные займы:


частое привлечение денежных средств может быть дорогостоящим
(регистрация, ре
к
лама, бухгалтерский учет)
;


для заемщиков долгосрочные займы

менее рискованный источн
ик
займа, т.к. не придется беспокоиться о дополнительном займе по б
о-
лее высоким процен
т
ным ставкам.

В нашем примере
i
1

= 7

%,
i
2

= 8

%. В соответствии с теорией наилучшей
ликвидности инвестор согласится следовать стратегии вложения до погаш
е-
ния, если ожида
емый доход от этой стратегии больше, чем при реинвестир
о-

30

вании. Это означает, что ожидаемая годовая ставка должна быть меньше э
к-
вивалентной ставки, возможно
i
1

= 8
,
6

%.

Разность между эквивалентной ставкой и ожидаемой годовой ставкой


премия за

ликвидност
ь


дополнительный доход, предлагаемый инвест
о
рам
для привлечения их инвестированию на более длительные сроки. В н
а
шем
случае
L

= 9
,
01

%

8
,
6

% = 0
,
41

%.



(1 +
i
1
)

(1 +
i
1

) (1

+

i
2
)
2
.




Убывающие кривые доходности наблюдаются, когда рынок ожидает
с
ущественного уменьшения процентных ставок:
i
1

= 7

%,
i
2

= 6

%. Нераве
н-
ство будет выпо
л
няться, если
i
1

7

%. Если премия за ликвидность
L

= 0
,
41

%, то ставка
i
1

= 4
,
6

%. Т
аким образом,
временная зависимость будет убыв
а-
ющей вследс
т
вие ожиданий того, что го
довая ставка 7

% снизится до 4
,
6

%
(теория непре
д
взятых ожиданий

до 5
,
01

%).

Постоянные кривые доходности наблюдаются, когда рынок ожидает
снижения процентных ставок (теория непредвзятых ожиданий

неизменный
уровень ставок). Возрастающие кривые доходнос
ти

рынок может ожидать
как снижения процентных ставок, так и их повышения. Все зависит от кр
у-
тизны наклона кривой

чем круче наклон, тем вероятнее, что рынок ожид
а-
ет п
о
вышения ставок.

Согласно

же
теори
и

сегментации рынка
, с
читается, что различные и
н-
вест
оры и заемщики привязаны законами, предпочтения и привычками к
определенным срокам инвестирования.
С
тавки определяются спросом и
предложением на каждом рынке в отдельности
, поэтому
возрастающая вр
е-
менная зависимость возникает, если пересечению кривых спрос
а и предл
о-
жения для краткосрочных инвестиций соответствует меньшая пр
о
центная
ставка, чем для рынка долгосрочных инвестиций (для убывающей зависим
о-
сти

наоб
о
рот).

Кривые доходности используются для сравнения доходности разных
финанс
о
вых инструментов, корр
ектировке портфелей активов и т.д.

ГЛАВА 5.
ЗАДАЧА ИЗМЕНЕНИЯ УСЛОВИЙ ВЫПЛАТЫ
ПЛАТЕЖЕЙ

Принцип эквивалентности лежит в основе достаточно распространенной

финансовой операции

изменение условий инвестированная, когда пров
о-

31

дится либо консолидация платежей (
несколько

на один), либо разбиение
платежей (из одного

н
е
сколько).

Естественно, что предлагаемые изменения
условий должны быть безубыточными для обеих сторон.

Рассмотрим задачу в следующей постановке (рис. 8). Пусть и
звестн
ы

даты и размеры
платежей
, и
т
ребуется определить один или несколько зам
е-
няющих
.

Дополнительным требованием является также согласование пр
о-
центной ставки, с использованием которой будет проходит
ь

замена, а также
определение какой из заменяющих параметров останется свободным и сб
а-
ланси
рует итоговый результат.



Рисунок
8



Постановка задачи замены платежей


Первым шагом в решении задачи является определение момента прив
е-
дения, т.е. того момента времени, на который будут рассчитывать
ся (прив
о-
дится) финансовые результаты каждого из вариантов.

Допустим, вложения краткосрочные с начислением простых процентов.
Мы должны найти
S
5

при известных
остальных параметрах. Воспользуемся
формул
ой
наращения по простым процентам

(5)
. Выразим
конечны
е фина
н-
совые результаты
А
исх

и
А
зам

по обеим схемам на выбранный момент прив
е-
дения. П
о
лучаем



,



32

,

где

S
t



суммы платежей по вариантам;

d
t



сроки платежей

в днях
, исчисленные от начала операции;

K



временн
ая база;

i



согласованная сторонами процентная ставка.



Приравнивая оба уравнения
,
выражаем искомую величин
y

S
5
:



.




Аналогичным путем решаются задачи по консолидации и
ли

разбиению
платежей, нахождению уравновешивающей процентн
ой ставки, новых ср
о-
ков и т.д.

Единственным условием остается безубыточная замена параме
т-
ров, о
с
нованная на принципе финансовой эквивалентности.

ГЛАВА 6.
НАРАЩЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ В РЕАЛЬНЫХ
УСЛОВИЯХ

6.1.
Наращение процентов и налоги

Пусть
x


ставка налогооблож
ения в зависимости от вида операции (
24

%
,
15 %
, 13%
)
.

При начислении простых процентов

фактически применяется
ставка
i
(1

x
), и
наращение за вычетом налогов
S
x

с
о
ставит:

S
x

=
S


(
S


P
)
x

=
P
(1

+

ni
(1

x
))
.




Если п
ри начислении сложных процентов

есл
и общая сумма налога
X

начисляется за весь срок сразу
, то



X

=
P

(1

+

i
)
n


1

x
,

а




33

S
x

=
S


(
S


P
)
x

=
P

(1

+

i
)
n
(1

x
) +
x
)
.



Если на
лог начисляется последовательно, например, в конце каждого
года
X
t
,
то можно рассматривать его как
переменн
ую

в
еличин
у
,
и
рассчит
ать
с помощью рекуррентных выражений.



X
t

=
I
t
x

= (
S
t


S
t
-
1
)
x

=
P

(1

+

i
)
t


(1

+

i
)
t
-
1

x
.




Сумма налогов за весь срок от метода начисления не зав
и
сит.

6.2.
Наращение процентов и инфляция

Инфляция


повышение общего уровня цен
и обесценение денег, в
ы-
званное нарушением равновесия между денежной массой и товарным п
о-
крытием.

В расчетах наиболее сложным моментом становится выбор показателя
инфляции. Степень изменения индексов цен по
-
своему измеряет темпы и
н-
фляции

(табл.

2
)
, эти тем
пы могут существенно отличаться друг от др
у
га, но,
тем не менее, дают некоторое представление об инфляционных проце
с
сах в
экономике.


34

Таблица
2

Методика расчета
показателей инфляции

Показатели

Индекс потребительских цен и
индекс о
пт
о
вых цен

Дефлятор валового национальн
о-
го / внутреннего пр
о
дукта

Механизм фо
р-
мирования наб
о
ра
товаров для ра
с-
четов

фиксированная «корзина» огр
а-
ниченного набора благ (потреб
и-
тельских или производственных),
которая периодически пересма
т-
рив
а
ется

основан на
вычислениях, учит
ы-
вающих
все блага
, произведе
н
ные
в экономике за данный о
т
четный
п
е
риод

Формула для ра
с-
четов инде
к
сов
цен

-


индекс Ласпейраса


-

индекс Пааше

Качество оценки
уровня инфл
я
ции

переоценивает реа
льную инфл
я-
цию

недооценивает реальную инфл
я-
цию

Недостатки

1.

Не учитывает изменение
качества

товаров, входящих в «корзину»,
в течение отчетного периода. Нельзя сравнивать цену товара в
начале и в конце года, т.к. продукт может иметь другие качестве
н-
ные хара
ктеристики. Цена новой «Тойоты» может быть на 5 % в
ы-
ше, чем на аналогичную модель года назад, но на новой машине
могут стоять новые шины. Т.о., нельзя утверждать, что цена на ук
а-
за
н
ный вид товаров выросла на 5 % за год.

2.

Более важно то, что практически не
делается поправок на

относ
и-
тельное

изменение цен
. Рациональный покупатель может сн
и
зить
стоимость достижения определенного жизненного уровня, заменяя
относительно подорожавшие товары теми, цена которых росла
медленнее (эффект замещения). Например, цена гов
ядины выросла
на 20 % за год, а цена цыплят
-

на 10 %. Покупатель м
о
жет начать
потреблять больше цыплят и меньше говядины Неспособность
учесть это изменение (фиксировано либо
q
0
, либо
q
1
) приводит к
завышенной или заниже
н
ной оценке уровня цен.

Устранение

нед
о-
статков



«идеальный» индекс Фишера


Российская статистика предусматривает расчет и публикацию следу
ю-
щих основных и
н
дексов
.

Индекс потребительских цен

(ИПЦ)

характеризует изменение во врем
е-
ни общего уровня цен и тарифов на то
вары и услуги, приобретаемые насел
е-
нием для непроизводственного потребления. Измеряет отношение стоимости

35

фиксированного набора товаров и услуг в текущем периоде к его стоим
о
сти
в предыдущем периоде. В набор товаров и услуг включены 390 товаров
(услуг)
-
пре
дставителей. Наблюдение за ценами и тарифами пр
о
изводится во
всех столицах республик, центрах краев, областей, автономных округов, г
о-
родах федерального значения и выборочно

в районных центрах, отобра
н-
ных с учетом их представительности в отражении социаль
но
-
экономического и географическ
о
го положения регионов.

Индекс цен предприятий
-
производителей на промышленную продукцию

рассчитывается на основании регистрации цен на товары
-
представители в
базовых промышленных предприятиях. Наблюдение за ценами производи
т
е-
лей осуществляется более чем в 6,5 тыс. промышленных предприятий. Ра
с-
чет средних цен и индексов цен производится более чем по 800 товарам
-
представителям. Цены производителей представляют собой фактически
сложившиеся на момент регистрации цены промышленны
х предприятий на
пр
о
изведенную продукцию, предназначенную для реализации на внутреннем
рынке (без косвенных товарных налогов

нал
о
га на добавленную стоимость,

акциза и т.п.). Рассчитанные по товарам
-
представителям индексы цен прои
з-
водителей последовательн
о агрегирую
т
ся в индексы цен соответствующих
подотраслей, отраслей и на промышленность в целом. В качестве весов и
с-
пользуются данные об объеме производства в стоимостном выражении б
а-
зисного п
е
риода

Расчет

индекса
цен на строительно
-
монтажные работы

проводи
тся на
основе данных формы отчетности о ценах на материалы, детали и констру
к-
ции, приобретенные в базовых подрядных организациях на всей террит
о
рии
России, а также на базе технологических моделей, разработанных по отра
с-
лям экономики с учетом территориальны
х особенностей строительс
т
ва.

Индекс тарифов на грузовые перевозки

характеризует изменение фа
к-
тически действующих тарифов на грузовые перевозки за отчетный п
е
риод
без учета изменения за этот период структуры перевезенных грузов по ра
з-
нообразным признакам:

по виду и размеру отправки груза, скорости доста
в-
ки, расстоянию перевозки, территории перевозки, типу подвижного состава,
степени использования его грузоподъемности и по другим признакам. Сво
д-
ный индекс тарифов на грузовые перевозки всеми видами транспорт
а ра
с-
считывается исходя из индексов тарифов на перевозку грузов о
т
дельными
видами транспорта (железнодорожным, трубопроводным, морским, вну
т-
ренним водным, автомобильным, воздушным), взвешенных на объемы дох
о-
дов от перевозки грузов соответствующим видом тра
нспорта за базисный
п
е
риод.

Фактические темпы инфляции в России за период с
2000

по 200
4

годы
приведены в табл
. 3
.


36

Таблица
3

Индексы инфляции


Индекс потреб
и-
тельских цен

Индекс цен на
промышле
н
ную
продукцию

Индекс цен на
строите
льно
-
монтажные р
а-
боты

Индекс тар
и
фов
на грузовые п
е-
рево
з
ки

2002

115,1

117,1

114,7

118,3

2003

112,0

113,1

110,6

123,5

2004

111,7

128,8

118,6

109,3

2005





2006






Показатели указаны в процентах к предыдущему пери
о
ду.

Пусть
S


номинальная сумма ден
ег, подлежащая выплате в конце года,
по номинальной ставке
i
B
(брутто
-
ставка, учитывающая инфляцию). В теч
е-
ние года наблюдалась инфляция
,
и годовой индекс цен составил
I
p
. И
н
декс
цен можно представить в следующем в
и
де:



I
p

=1 +
,


г
де



годовой темп

инфляции (прирост).



Номинальная сумма, подлежащая выплате, составит в соответствии с
условиями
:



S

=
P
(1 +
i
В
)
n
=1
.




Реальная же стоимость вложенных средств (с покупательной способн
о-
стью н
а
чала года
P
) к концу периода составит
:



C

=
S

/
I
p

или

C

=
P
(1 +
i
B
) / (1 +
)
.




37

Пользуясь принципом финансовой эквивалентности можно определить
реальную эффективную ставку
i
P
, которая приводит к тому же р
е
зультату,
что ставка
i
B

при сложившемся уровне и
н
фляции
:



P
(1 +
i
B
) =
P
(1 +
i
P
) (1 +
)
.




Полная взаимо
связь реальной и номинальной ставок определяется сл
е-
дующим образом:



i
B

=
i
P

+

+
i
P
.

(
14
)



Если множитель
i
P

<< 1 (т.е. инфляция 2

7

% в год), то пользуются
приближенной формулой Ф
и
шера
:



i
B


i
P

+
.

(
15
)



Экономический смысл полной формулы сле
дующий: при высоких те
м-
пах инфляции необходимо иметь в виду не только обесценение капитальной
суммы, но и снижение р
е
альной стоимости процента.

В финансовых расчетах фигурирует уровень не фактической, а
ожида
е-
мой

инфляции, который не поддается точному изм
ерению. Существ
у
ют две
гипотезы, которые описывают механизм формирования инфляционных ож
и-
даний.

Гипотеза

теори
и

адаптивных ожиданий

была разработана в 50
-
х и 60
-
х
годах XX века и состоит в том, что инфляционные ожидания о
с
новываются
на характере изменения

инфляции в прошлом. Т
о есть
, в условиях адапти
в-
ных ожиданий темп инфляции, ожидаемый в будущем, принимается ра
в
ным
темпу инфляции прошлого периода или на момент оценки финансовой оп
е-
рации.


Прогноз ведется на основе номинальных ставок и сложившегося
уровн
я инфляции. При вычислениях расчет реальной процентной
ставки ведется, как правило, на годовой основе. При этом:


38

1)

Если срок инвестирования по рассматриваемой процентной ставке
составляет один год, то номинальная процентная ставка сравнив
а-
ется с годовой инфл
яц
и
ей.

2)

Если срок инвестирования менее года, то используется эффекти
в-
ная процентная ставка, рассчитываемая как сложный годовой пр
о-
цент


Прогноз ведется на основе фактических темпов инфляции и реальной
доходности инвестиций, при этом формируются инфляционные

ож
и-
дания, которые отражаются на стоимости ценных бумаг и процен
т-
ных ставок.

За
свою
теори
ю
рациональных ожиданий

ее

а
вторы

Роберт Лукас (Ч
и-
кагский университет) и Томас Сарджент (Университет Миннесоты) получ
и-
ли Ноб
е
левскую премию в 90
-
х годах.

Первая гип
отеза рациональных ожиданий предполагает, что ожидания
инфляции (или любой другой экономической переменной) основываю
т
ся на
всей доступной информации и будущем характере изменения этой переме
н-
ной.

Вторая основная гипотеза рациональных ожиданий предполагае
т, что
люди не совершают
систематических ошибок
(например, постоянно нед
о-
оцениваемая инфляция) при формировании своих ожиданий. Систематич
е-
ские ошибки обнаруживаются и исправляются, а люди соответствующим о
б-
разом меняют способ формирования ожиданий. В сред
нем, ожидания пр
а-
вильны, потому что люди понимают окружающую их обстановку. Разумее
т-
ся, время от времени люди совершают ошибки, однако они не делают сист
е-
матических ошибок.

Фактическая инфляция часто отличается от ожидаемой.


e


п
о-
грешность

прогноза
,

являющаяся результатом непредсказуемого поведения
ры
н
ка.

6.3.
Корректировка налогов с учетом инфляции

Никакая ставка налога на прибыль не сможет удовлетворить все заинт
е-
ресованные группы. Политика в этом вопросе тесно переплетается с экон
о-
микой. Несмотря

на все противоречия, одна несправедливая особенность
проц
е
дуры налогообложения требует внимания: налогообложение дохода,
который просто компенсирует инфляцию за то время, пока инве
сторы вл
а-
деют этим капиталом.

Предположим, что приобретена акция корпораци
и по цене 100 $, а через
год она была продана по цене 110 $, т.е. номинальная доходность сост
а
вила
:



39


i
В

= (
S


P
) /
P

= (110 $

100 $) / 100 $ = 0,1 или 10%
.




Из
-
за ставки налога на прибыль
x
=
24

% реальная доходность после
налогообложения сост
а
вит



i
P

=
i
В
(1

x
) = 0,1
·

(1

0,24) = 0,076 или 7,6%
.




Пусть темп инфляции за год составил

= 5

%. Нам необходима 5

% р
е-
альная отд
а
ча после налогообложения, чтобы благосостояние инвестора не
изменилось по сравнению с началом года. Т
аким образом,
первы
е 5

% дох
о-
да от операции в 10

%

просто возврат обесцененного капитала, а не пр
и-
быль. Доходность до налогообложения должна с
о
ставить
:



i
В

= (
S


P
’) /
P
’ = (110 $

105 $) / 105 $ = 0,048
или

4,8%
.




Тем не менее, государство облагает налогом на прибыл
ь и компонент,
компенсирующий инфляцию, и компонент, приносящий прибыль. Р
е
альный
доход после в
ы
чета налогов будет составлять
:



i
P

= ((
S


P
’)

x
(
S


P
)) /
P
’ = (5$

0,24
·

10$) / 105 $ = 0,025
или

2,5%
.




С другой точки зрения, если реальный доход со
ставил 5$, а государство
взяло
2,4
5$ налогов, то р
е
альная ставка налогообложения составила не
24

%,
а
:



x

=
X

/
I

= 2,4$ / 5$ = 0,48 или 48

%.





40

Решение, принятое в случае такой несправедливости, включает инде
к-
сацию базовой стоимости инвестиции в завис
имости от инфляции. Только
пр
и
быль, полученная сверх индексированной базовой стоимости, подлежит
н
а
логообложению.

Естественным образом может возникать задача определения номинал
ь-
ной процентной ставки, которая компенсирует и инфляцию, и выплаченные
налоги.

Таким образом, без учета налогов
S

=
P
(1 +
i
P
)(1 +
), а с учетом
налогов
S
=
P
(1 +
i
B
(1

x
)). Приравн
и
вая множители наращения
,

получаем



(1 +
i
P
)(1 +
) = 1 +
i
B
(1

x
) ,

откуда


или

,


г
де

i
P

/ (1

x
)

реальная ставка процента до налогообложения
;

(

+
i
P

) / (1

x
)

инфляционная
«
премия» до налогообложения.

ГЛАВА 7.
АНАЛИЗ ПРОСТЫХ ОПЕРАЦИЙ

7.1.
Простые проценты

В ряде ситуаций возникает необходимость обобщить эффективность н
е-
скольких проведенных опер
аций за определенный период времени.
Решение
задачи сводится к нахождению некоторой средней процентной ставки

i
ср
, к
о-
торая обобщает все проведенные за период операции
и является эквивален
т-
ной ставкой тем, которые характеризуют доходность операций.

Пусть за

периоды
n
1
,
n
2
, ...
n
k

начисляются проценты по
соответству
ю-
щим
ставкам
i
1
,
i
2
, ...
i
k
.

В случае если суммы
P
t

равны между собой, то средняя простая пр
о-
центная ставка рассчитывается по формуле средней арифметической взв
е-
шенной, где весами служат временные

периоды, в течение которых действ
о-
вали соо
т
ветствующие ставки
. Уравнение эквивалентности имеет вид



, откуда



41

,

г
де

N

=
n
t


общий срок наращения

или период анализа.



Аналогичным образом проводится расчет

средней простой учетной
ставки
:



.




При операциях с различными по величине суммами
P
t
, приносящих ра
з-
личную доходность, средняя ставка тоже вычисляется по формуле сре
д
ней
арифметической, но весами в этом случае будут
являться

пр
оизвед
е
ния сумм
P
t

на срок, на которые они выд
а
ны
:



, откуда

.


7.2.
Сложные проценты

Средняя ставка по сложным процентам определяется исходя из след
у-
ющего уравнения эквивалентности



,

откуда



42

.



Если в качестве весов
выступают
размеры первоначальн
ых
вклад
ов, то
:



.



Во всех других случаях применяются методы потоков платежей.


43

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ф
инансовая математика


прикладная специальная д
исциплина, кот
о
рая
является важны
м

и

поле
з
ным ин
с
тр
у
м
е
нто
м

для
решения широкого

к
руга
эконо
м
иче
с
ких и финансовых
задач
: от простейших расчетов плана погаш
е-
ния кредита до планирования портфелей ценных бумаг и анализа инвестиц
и-
онных проектов.

Отправной точко
й для понимания сути
дисциплины является
изучение
двух основных принципов финансового управления


временной стоим
о
сти
денег и финансовой эквивалентности. Именно эти принципы
отделяют ф
и-
нансовую математику от иных прикладных экономических и учетных ди
с-
ципл
ин, меняя
взгляд на само

содержание финансовой операции и процедуру
ее ан
а
лиза.


Вторым важным моментом является учет интересов всех сторон, учас
т-
вующих прямо или косвенно в финансовой операции. Финансовая мат
е
мат
и-
ка

дает возможность рассчитывать финансовы
е результаты для всех у
ч
ас
т-
ников, проводить расчеты
по вариантам,
«играя»

исходны
ми

параметр
ами
оп
е
раций
,

и
обоснованно
выбирать ту или иную процедуру
их

проведения.

В данном учебном пособии рассмотрены начальные понятия финанс
о-
вой математики: введен широк
ий круг основных понятий, рассмотрены су
щ-
ность и методы начисления процентов,
продемонстрированы процедуры
анализа
простейши
х

финансовых операций
.

В последующем данный материал будет служить основой для рассмо
т-
рения более сложных понятий и методов, связанн
ых с анализом потоков
платежей и практическими приложениями количественного финансового
анал
и
за.


44

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.

Ковалев
,
В.В. Финансы организаций (предприятий)

/ В.В. Ковалев.
М.:
Финансы и ст
а
тистика, 2005. 352 с.

2.

Койли
,
Б. Финансовые инвестици
и и риск (пер. с англ.)

/ Б.
Койли
, Т.
Райс
.
М.: 1995.

3.

Мелкумов
,
Я.С. Финансовые вычисления: Теория и практика
:
Уче
б
но
-
справочное пособие

/ Я.С.
Мелкумов
. М.: ИНФРА
-
М, 2001. 384 с.

4.

Лукасевич
,
И.Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника
вычисле
ний
/ И.Я.
Лукасевич
.

М.
: Финансы, ЮНИТИ, 1998. 400 с.

5.

Финансовое управление компанией

/
Общ. ред.
Е.В.
Кузнецовой
.
М.:
Фонд «Правовая культура», 1995
.

6.

Четыркин
,
Е.М. Финансовая математика
:
Учебник

/ Е.М.
Четыркин
.
М.:
«Дело Лтд», 2005. 400 с.

7.

Четыркин
,
Е.
М. Финансовый анализ производственных инвестиций

/ Е.М.
Ч
е
тыркин
. М.: «Дело Лтд», 2002. 256 с.


45

ОГЛАВЛЕНИЕ

АННОТАЦИЯ

................................
................................
................................
..........

2

ВВЕДЕНИЕ

................................
................................
................................
..............

3

ГЛАВА 1. НАЧИСЛЕНИЕ
ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

................................
.......

5

1.1.

О
СНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КОЛИ
ЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА

................................
......

5

1.2.

Н
АЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ПР
ОЦЕНТОВ

................................
...............................

8

1.3.

Н
АЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ
В УСЛОВИЯХ ДИСКРЕТНО

ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ
ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК
.

Р
ЕИНВЕСТИРОВАНИЕ
.

................................
......................

10

1.4.

М
АТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОН
ТИРОВАНИЕ И БАНКОВСК
ИЙ УЧЕТ

....................

11

ГЛАВА 2. НАЧИСЛЕНИЕ
СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
................................
....

12

2.1
.

Д
ИСКРЕТНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ

СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ НЕ
СКОЛЬКО РАЗ В ГОДУ

13

2.2.

Н
ЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИ
Е СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

................................
....

15

2.3.

Д
ИСКОНТИ
РОВАНИЕ ПО СЛОЖНЫМ П
РОЦЕНТАМ

................................
..........

16

2.4.

П
РИНЦИП ФИНАНСОВОЙ ЭК
ВИВАЛЕНТНОСТИ

................................
...............

17

ГЛАВА 3. КОНВЕРСИЯ В
АЛЮТ

................................
................................
......

19

3.1.

К
ОНВЕРСИЯ И НАРАЩЕНИЕ

ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

................................
........

19

3.2.

К
ОНВЕРСИЯ И НАРАЩЕНИЕ

СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

................................
......

25

ГЛАВА 4. КРИВЫЕ ДОХО
ДНОСТИ

................................
................................
.

27

ГЛАВА 5. ЗАДАЧА ИЗМЕ
НЕНИЯ УСЛОВИЙ ВЫПЛАТ
Ы ПЛАТЕЖЕЙ

...

30

ГЛАВА 6. НАРАЩЕНИЕ П
РОЦЕНТОВ В РЕАЛЬН
ЫХ УСЛОВИЯХ
..........

32

6.1.

Н
АРАЩЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ И

НАЛОГИ

................................
..............................

32

6.2.

Н
АРАЩЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ И

ИНФЛЯЦИЯ

................................
.........................

33

6.3.

К
ОРРЕКТИРОВКА НАЛОГОВ

С УЧЕТОМ ИНФЛЯЦИИ

................................
........

38

ГЛАВА 7. АНАЛИЗ ПРОС
ТЫХ ОПЕРАЦИЙ

................................
..................

40

7.1.

П
РОСТЫЕ ПРОЦ
ЕНТЫ

................................
................................
.....................

40

7.2.

С
ЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

................................
................................
....................

41

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

................................
................................
................................
.....

43

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ

СПИСОК

................................
................................
.

44



Приложенные файлы

  • pdf 7286097
    Размер файла: 640 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий