rolshikov_v_e_modeli_upravleniya_zapasami

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Челябинский государственный университет»
Кафедра математических методов в экономике





Методические указания
Модели управления запасами


для студентов экономического факультета всех специальностей









Челябинск
2008

УДК – 332.64



Методические указания «Модели управления запасами» Челябинск, ГОУВПО «ЧелГУ», 2008, 47 с.



Методические указания содержат краткую теоретическую справку по теме «Модели управления запасами», набор задач для практических занятий по соответствующему разделу дисциплины «Математика». Приводятся примеры решения задач.



Предназначены для студентов 2-3 курсов экономического факультета.
Составители: В.Е. Рольщиков, канд. физ. – мат. наук, доцент, каф. Математические методы в экономике.
П.С. Кабанов, преподаватель каф. Математические методы в экономике.
О.С. Лямина, преподаватель каф. Математические методы в экономике.
Рецензент: Е.Г. Белов, канд. физ. – мат. наук, доцент кафедры Теория управления и оптимизации.
ВВЕДЕНИЕ

Задача управления запасами возникает, когда необходимо сделать запас материальных ресурсов или предметов потребления с целью удовлетворения спроса на заданном интервале времени (конечном или бесконечном).
Исследование любой модели управления запасами, в конечном счете, должно дать ответ на два вопроса:
Какое количество продукции заказывать (размер заказа)?
Когда заказывать?
Ответ на первый вопрос обычно получается из решения задачи минимизации суммарных затрат в выбранную единицу времени. Ответ на второй вопрос зависит от типа системы контроля над уровнем запаса.
Наиболее часто используется два вида контроля над уровнем запаса: периодический и непрерывный. При периодическом контроле время заказа совпадает с одним из моментов периодической проверки. При непрерывном контроле заказ производится в момент, когда количество запаса на складе достигает вычисляемого уровня R. Величина R называется точкой заказа.
Модели управления запасами можно классифицировать следующим образом.
Детерминированные ( все параметры модели являются детерминированными величинами.
Вероятностные ( какие – либо параметры модели являются случайными величинами.
Каждый из этих типов моделей можно разбить еще на два:
( стационарные (параметры модели не меняются на рассматриваемом интервале времени);
( динамические (некоторые параметры модели меняются на рассматриваемом интервале времени).
Наиболее важными характеристиками моделей управления запасами являются следующие.
Величину спроса, будем обозначать ( (в рассматриваемых ниже моделях может быть постоянной детерминированной или случайной величиной, величиной зависящей от времени).
Сроки выполнения заказов, будем обозначать t*.
Способ пополнения запасов (мгновенный или равномерный в течение некоторого интервала времени).
Период времени ( интервал, в течение которого осуществляется регулировка заказа.
Число пунктов накопления запаса.
Число видов складируемой продукции.
Перейдем к рассмотрению некоторых моделей.

2. Детерминированные модели

2.1. Однопродуктовая статическая модель без дефицита

Эту модель можно интерпретировать как модель управления запасами в магазине. Для упрощения задачи рассматривается только один товар. Руководство магазина закупает товар у оптовиков по цене c1 за единицу товара, если объем закупаемой партии y меньше величины q. В случае, если объем закупаемой партии больше или равен q, делается скидка и цена единицы товара становится равной c2< c1. Затраты при закупке товара состоят из двух величин. Условно постоянной величины (например, аренды автомобиля для доставки товара от оптового склада до магазина), будем называть ее стоимостью оформления заказа, и обозначать буквой K. Переменной величины ( стоимости закупаемой партии равной c(y)y. Здесь c(y) равно c1 ,если y < q и равно c2 , если y ( q . В рассматриваемой модели предполагается, что в магазине спрос на товар в единицу времени является величиной постоянной и принимает значение равное (.
Магазин также, несет расходы по хранению товара на собственном складе. В каждую единицу времени (час, день ит.д.) эти расходы составляют величину h за каждую единицу товара, находящуюся на складе в эту единицу времени. Можно интерпретировать эту величину как стоимость «омертвления средств» в виде товарного запаса.
После оформления заказа товар поступает на склад магазина через интервал времени длиной t*.
Руководству нужно определить, какое количество y товара заказывать, и точку заказа R с тем, чтобы суммарные затраты в единицу времени на закупку продаваемого товара и хранение товара на складе было минимальным.
Будем считать, что величина y меняется непрерывно. Это допущение при большом объеме товара не является жестким ограничением. Затраты в рассматриваемом случае будут состоять из суммы трех величин: затрат на приобретение продаваемого товара, затрат на оформление заказа, затрат на хранение товара на собственном складе.
Можно показать [3, с. 9 – 11], что при минимальных затратах новая партия поступает на склад магазина в момент, когда весь товар израсходован. Следовательно, максимальное количество товара на складе равно y в момент поставки. График зависимости количества товара на складе от времени показан на рисунке 2. Ось x ( ось времени, а ось y ( значение величины запаса на складе.
Вычислим средние затраты в единицу времени S(y). Отметим, что это можно сделать для одного периода [0; D1], так как на остальных периодах все вычисления будут полностью совпадать.
В момент t=0 на складе имеется максимальное количество запаса равное y. В единицу времени расходуется ( единиц запаса, следовательно, весь запас будет израсходован за время
( = y/( (1)

y


B


A C F

R

0 E G D1 D2 D3 t


За рассматриваемое время заказ будет оформляться один раз, а расходы на оформление заказа в единицу времени составят
K/( = K(/y . (2)
Так как величина запаса будет различной в каждую единицу времени, то и расходы по хранению будут различны. Проведем в (0В D1 среднюю линию AC и опустим перпендикуляр CE .В силу равенства треугольников (ABC и (ECD1, величина запаса в любой точке левее точки E больше величины 0A=y/2 настолько, насколько меньше этой величины в точке, симметричной относительно E. Поэтому на всем отрезке [0; D1] можно считать, что в среднем хранится величина y/2. Таким образом, для величины средних затрат в единицу времени получаем следующее выражение
S1(y)= c1
· + K(/y + hy/2, (3)
если yS2(y)= c2
· + K(/y + hy/2 (4)
в противном случае. Здесь первое слагаемое выражает затраты на закупку товара продаваемого магазином в единицу времени. Второе затраты на оформление заказа отнесенные к единице времени. Третье средние затраты на хранение запаса в единицу времени. Так как первое слагаемое в зависимости от y меняется один раз на постоянную величину, то минимум у этих функций достигается в одной точке.
Найдем минимум этого выражения по величине заказа y. Для этого вычислим производную и приравняем ее нулю.
13 EMBED Equation.3 1415-K(/y2 + h/2 = 0. i=1,2 (5)
Из равенства (5) получаем формулу экономичного размера заказа Уилсона
y*=13 EMBED Equation.3 1415 . (6)
Если бы цена на товар была постоянной (не зависела от объема закупаемой партии), то величина y* была бы оптимальной. Действительно, вторая производная функции Si(y) больше нуля в области y(0. Следовательно, функция Si(y) выпуклая в этой области, а точка y* доставляет минимум этой функции.
В случае разрыва цен величина оптимальной партии yopt зависит от величины q .
S1(q)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Если y* ( q , тогда yopt = y*. Так как в этом случае при закупке партии в объеме y* будет получена скидка и суммарные затраты в единицу времени составят наименьшую из всех величину S2(y*). Пусть y* < q , тогда yopt = q , если q ( y1. Здесь y1 ( больший корень уравнения
S1(y*) = S2(y) . (7)
Если же q > y1 , то yopt = y*. Таким образом, если q ( y1 , то выгодно воспользоваться скидкой, в противном случае ( нет (смотри рис. 2).
Пусть оптимальный объем заказываемой партии определен и равен yopt . Точку заказа R определяется из соотношений
R = ((t* , t* < ( ;
R = ((( t*-m(() ,
где m ( целая часть от деления t* на ( , а (= yopt /(. Так на рис 1 величина t* равна длине отрезка [G; D3]. При этом m=2, а величина R показана на оси y.
Пример 1. Магазин закупает товар для продажи. Ежедневный спрос на товар в магазине ( 30 единиц (ед.), стоимость хранения одной единицы товара на складе составляет 0.15 денежных единиц (д.ед.), стоимость оформления заказа ( 100д.ед. Цена одной единицы товара 10 д.ед., если объем закупаемой партии меньше 300 ед. и 8д.ед. в противном случае. Определить объем закупаемой партии и точку заказа, если время выполнения заказа ( 12 суток.
Решение . Найдем y*. По формуле (6) получаем
y*= 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как y* меньше объема q= 300, за который дают скидку, то нужно сравнить q и y1 . Найдем y1, решая уравнение (7).
13 EMBED Equation.3 1415 .
Приводим к общему знаменателю и решаем квадратное уравнение
13 EMBED Equation.3 1415.
Наибольший корень этого уравнения равен
y1=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415.
Так как y1 >q , то yopt = q =300, следовательно,
(= yopt /( =300/30 = 10.
Для нахождения точки заказа найдем число m=13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
R=30(12-1(10)=60.
Ответ. Необходимо заказывать 300 единиц товара, когда на складе останется 60 единиц товара.

2.2. Однопродуктовая статическая модель при допущении дефицита

В отличие от предыдущего пункта в данной модели предполагается, что цена на товар величина постоянная. Допускается дефицит. Как и ранее товар поставляется партиями через некоторые промежутки времени (. Интервал [0;C] длиной ( делится на два (смотри рис.3). В течение первого интервала [0;A) длительностью (1 непрерывный спрос интенсивностью ( удовлетворяется из запаса, имеющегося на складе. В течение второго интервала [A;C] длительностью (2 спрос не удовлетворяется. Накопленный неудовлетворенный спрос покрывается немедленно при поступлении следующей партии товара. За несвоевременную поставку товара взимается штраф.
Штраф может толковаться и как штрафные санкции, и как упущенная прибыль. Будем предполагать, что взимается p денежных единиц за единицу недопоставленного товара в течение единицы времени.
y


B





0 А С

D E



Обозначим: y ( объем заказываемой партии (длина отрезка [D;B]); q ( максимальное количество товара на складе (длина отрезка [0;B]). В рассматриваемой задаче нужно выбрать два параметра: y и q. Цель – минимизация суммарных затрат в единицу времени.
Как и в предыдущем случае, можно найти суммарные затраты на периоде от момента поставки товара до следующего момента поставки. Затем разделить их на длину периода и получить суммарные затраты в единицу времени. Далее, как и предыдущей задаче, будем обозначать:
K ( стоимость оформления заказа;
h ( стоимость хранения единицы товара в единицу времени;
H ( суммарные затраты на периоде между поставками (например [0;C]);
t* ( время выполнения заказа;
( ( длина интервала [0, C] между поставками;
(1 ( длина интервала [0, A];
(2 ( длина интервала [A, C].
Выразим величины (1 и (2 через величину (. Из подобия треугольников (DBE, (0BC и (ACE получаем:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 .
Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 (8)
На рассматриваемом интервале [0, C] только в течение интервала [0, A] на складе имеется запас товара и, следовательно, затраты по хранению товара. Аналогично, только на интервале [A, C] имеется дефицит и затраты связанные с ним. Как и в предыдущей задаче, средний уровень запаса на складе на интервале [0, A] равен q/2 . Средний уровень дефицита в течение интервала [A, C] равен (y-q)/2 . Тогда затраты на хранение и потери от дефицита на отрезке [0, C] будут, соответственно, следующие:
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
Суммарные затраты на отрезке [0, C] будут состоять из этих затрат и затрат на оформление заказа. Заменяя (1 и (2 из соотношения (8), получим
13 EMBED Equation.3 1415. (9)
Найдем суммарные затраты в единицу времени, разделив величину H на длину рассматриваемого интервала ( (как и в предыдущей задаче ( =y/().
13 EMBED Equation.3 1415. (10)
Запишем необходимое условие минимума.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Разрешая данные уравнения относительно y и q, получаем:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. (11)
При этом длина периода и минимальные суммарные затраты будут задаваться соотношениями
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. (12)
Отметим, что при этом 13 EMBED Equation.3 1415,
т.е. отношение стоимостей хранения и стоимости дефицита единицы товара в единицу времени обратно пропорционально отношению максимального объема запаса и максимального объема дефицита.
Найдем теперь точку заказа R. В отличие от предыдущей модели в момент заказа на складе может либо быть некоторое количество товара, либо накоплен некоторый объем дефицита. Поэтому под точкой заказа будем понимать объем либо товара, либо дефицита при котором нужно делать новый заказ. Так же как и в модели без дефицита, нужно для оптимального объема заказа y* определить величину (* (смотри (12)). Затем найти число m равное целой части от деления t* на (* и число t* = t* - m((* . Тогда точку заказа можно найти из соотношения
13 EMBED Equation.3 1415 (13)
Первая строчка соответствует точке заказа равной объему товара, при котором нужно делать новый заказ, а вторая объему дефицита.
Пример 2. Мелкооптовый магазин закупает товар партиями для реализации. Спрос на товар составляет 10ед. в день. Если товара нет на складе, то он поставляется позже при закупке магазином следующей партии. За несвоевременную поставку товара магазин выплачивает штраф в размере 0.6 денежных единиц за просрочку поставки единицы товара на одну единицу времени. Стоимость хранения единицы товара на складе магазина в течение единицы времени составляет 0.3 денежных единиц. Стоимость оформления заказа составляет 9 денежных единиц. Время поставки товара в магазин ( 5 дней. Требуется определить объем закупаемой магазином партии товара и точку заказа с тем, чтобы суммарные затраты в единицу времени были минимальны.
Решение. В соответствие с условиями задачи имеем:
K=9; (=10; p=0.6; h=0.3.
По формулам (11) находим оптимальный объем заказываемой магазином партии и максимальный объем товара на складе
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
По формуле (13) найдем длину периода (*, а по формуле (8) длину интервала времени при котором имеется дефицит (2 .
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь определим числа m и t*
m=[5/3]=[1.67]=1, t* = t* ( m((* =5 (1(3=2.
Так как t* >(2, то точка заказа будет считаться по верхней строчке формулы (13)
R=(t* (- (2)( = (2 (1)(10=10.
Таким образом, с целью минимизации средних суммарных затрат в день необходимо заказывать 30 единиц товара, когда на складе осталось 10 единиц. При этом максимальная величина продукции на складе составит 20 единиц.

2.3. Однопродуктовая статическая модель при непрерывном поступлении заказа без дефицита
Пусть продукция поступает на склад непрерывно с производственной линии с интенсивностью ( единиц в единицу времени. Продукция отпускается со склада непрерывно с интенсивностью ( единиц в единицу времени на сборочный конвейер. Поставка продукции на склад продолжается до тех пор, пока объем поставленной партии не станет равным y. После этого поставка прекращается и возобновляется в момент полного истощения запаса. Таким образом, каждая новая партия продукции начинает поступать на склад в момент, когда уровень запаса становится равным нулю. Отметим, что такое возможно только при условии ( > (.
По прежнему K ( затраты на оформление заказа; h ( стоимость хранения единицы продукции в течение единицы времени.
Требуется определить размер заказываемой партии y так, чтобы суммарные расходы в единицу времени были минимальны.
График зависимости объема запаса от времени показан на рисунке 4. На отрезке[0, A] длиной (1 запас увеличивается с интенсивностью равной ((( единиц продукции в единицу времени, а на отрезке [A, B] длиной (2 запас уменьшается с интенсивностью равной ( единиц продукции в единицу времени. Пополнение и расходование запаса на складе происходит циклически. Обозначим длину такого отрезка [0, B] символом (. Пусть q ( максимальная величина продукции на складе. За время (1 на склад поставляется партия продукции объемом y, следовательно, справедливо соотношение

y



q
0 A B


13 EMBED Equation.3 1415 (14)
Так как величина q полностью расходуется за интервал длительностью (2 при интенсивности расходования равной (, а накапливается за интервал длительностью (1 при интенсивности накопления равной (((, то справедливы равенства:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. (15)
Подставим (14) в (15) и приравняем правые части равенств (15)
13 EMBED Equation.3 1415 (16)
Величина ( определяется из условия, что за это время со склада выдается объем продукции равный y
( = y/(. (17)
Величина среднего запаса на отрезке [0, B] равна q/2. Подставляя в первую формулу (15) выражение для (2, найдем значение q. Тогда затраты на хранение за период составят
13 EMBED Equation.3 1415.
Суммарные затраты на периоде будут состоять из затрат на хранение

и затрат на оформление заказа. Разделив их на длину периода (17) получим средние суммарные затраты в единицу времени
13 EMBED Equation.3 1415 (18)
Запишем необходимые условия минимума
13 EMBED Equation.3 1415. (19)
Из равенства (19) легко находим оптимальный размер партии
13 EMBED Equation.3 1415. (20)
Так как вторая производная функции S(y) больше нуля всюду за исключением точки 0, то y* (20) действительно является точкой минимума этой функции. При этом длина цикла и минимальное значение средних затрат в единицу времени задаются соотношениями
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3. Компания "ZZZ" продает упаковочную тару. В одном здании располагается производственный цех и склад-магазин. Максимальная мощность производственного цеха – 1000 коробок в час. Средняя величина спроса составляется 600 коробок в час. Т.к. у компании "ZZZ" нет дополнительных складских помещений, то излишне произведенные коробки хранятся прямо на территории склада магазина. Руководство фирмы оценивает свои затраты на хранении в 10 копеек в час на одну коробку. Стоимость запуска оборудования в производственном цехе оценивается в 1200 рублей. Определите оптимальный размер партии для производственного цеха, с учетом того, что фирма минимизирует свои затраты на производство и хранение. Определите величину затрат в единицу времени для выбранного объема производства и доля времени в одном цикле, которую производственный цех будет простаивать.
Решение. В соответствие с условиями задачи имеем:
K=1200; (=600;
·=1000; h=0.1
По формуле (20) находим оптимальный объем заказываемой магазином партии
13 EMBED Equation.3 1415
По формуле (18) найдем средние суммарные затраты в единицу времени
13 EMBED Equation.3 1415;
Теперь определим (2 по формуле (16)
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, с целью минимизации средних суммарных затрат в час необходимо производственному цеху производить 6000 коробок непрерывно. При этом величина средних суммарных затрат в час составит 120 рублей, а протяженность простоя производственного цеха между двумя рабочими циклами составит 4 часа.

2.4. Однопродуктовая статическая модель при непрерывном поступлении заказа при допущении дефицита

Продукция поступает на склад непрерывно с производственной линии с интенсивностью ( единиц в единицу времени. Продукция отпускается со склада непрерывно с интенсивностью ( единиц в единицу времени на сборочный конвейер. По достижению некоторого уровня запаса поставка на склад прекращается. Возобновление поставки товара на склад осуществляется в момент, когда дефицит достигает некоторого значения. График уровня запаса смотри на рис.5.
Здесь q ( максимальный объем продукции на складе, d ( максимальный объем дефицита. Обозначим: (1 ( длина интервала [0; B]; (2 ( длина интервала [B; C]; (3 ( длина интервала [C; D]; (4 ( длина интервала [D; F], y ( объем поставляемой партии.

y



q A
d


Требуется найти объем партии y и величину максимального дефицита d, доставляющих минимум суммарным затратам в единицу времени.
Вычислим затраты на хранение запаса на интервале [0; C]. Как и в предыдущих случаях, средний уровень запаса на этом интервале составляет q/2. Поэтому затраты на хранение будут равны
h((1 + (2 )q/2 . (21)
Аналогично потери от дефицита на интервале [C; F] составят
p((3 + (4 )d/2 . (22)
Величина максимального запаса q накапливается за время (1 с интенсивностью ( ( ( , следовательно
q = (( ( ()(1 (23)
С другой стороны этот запас расходуется с интенсивностью ( за время (2
q =(((2 (24)
Из соотношений (22) и (23) получаем
(((2 = (( ( ()(1 (25)
Из аналогичных рассуждений для величины максимального дефицита d получаем
d = (((3 = (( ( ()(4 . (26)
За весь цикл расходуется весь объем партии, поэтому
(1 + (2 +(3 + (4 =y/( (27)
Запишем суммарные расходы за цикл
H = K + h13 EMBED Equation.3 1415 + p13 EMBED Equation.3 1415 (28)
Здесь первое слагаемое выражает затраты на оформление заказа, второе слагаемое ( затраты за хранение продукции на складе, а третье ( потери от дефицита (смотри (21), (22) соответственно). Выразим (i i=1,,4 из соотношений (23) ( (26) через q, d, (, ( подставим в равенство (28)
H = K + h13 EMBED Equation.3 1415 + p13 EMBED Equation.3 1415.
Разделим это выражение на длину цикла, полученную из соотношений для (i i=1,,4
(1 + (2 +(3 + (4 = 13 EMBED Equation.3 1415, (29)
и получим выражение для средних суммарных затрат в единицу времени
S(q, d)=13 EMBED Equation.3 1415.
Введем новую переменную z=q + d вместо переменной d. Тогда выражение для S(q, d) примет следующий вид
S(q, z) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Приравняем нулю производные от этой функции по q и z:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Разрешая эти уравнения относительно q и z, а затем, заменяя z на q+d, получим следующие равенства для q и d
q=13 EMBED Equation.3 1415 d=q13 EMBED Equation.3 1415.
Из последних равенств и соотношений (27), (29) получим оптимальные размеры заказываемой партии и максимального дефицита:
y*=13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. (30)
Пример 4. Компания K.D.M. производит одноразовую стерильную одежду для различных нужд. Производственный процесс состоит из двух этапов. На первом этапе, в цехе А, производится собственно одежда, а на втором этапе, в цехе Б, производится стерилизация одежды и ее упаковка по 1 шт. Максимальная мощность цеха А – 2000 изделий в час. В цехе Б за этот же временной интервал можно обработать только 1600 изделий. Проверка и запуск оборудования в цехе А на один производственный цикл обходится компании в 4000 рублей. Производственный процесс не предусматривает складирования изделий, в силу чего излишки, произведенные в цехе А, временно размещаются в складской зоне. Использование площади не по назначению обходится компании в 20 копеек в час на одно, хранящееся изделие. С другой стороны, в цехе Б работает ряд инженеров, контролирующих процесс и если цех Б простаивает, в силу отсутствия изделий, нуждающихся в стерилизации, то компания вынуждена фактически платить зарплату неработающим сотрудникам. Отталкиваясь от мощности цеха Б это оценивается в 30 копеек в час на одно изделие. Компания хочет минимизировать свои затраты связанные с этими двумя цехами. Определите оптимальный размер партии, которую необходимо производить в цехе А? Определите максимальный размер дефицита и максимальный запас товар на складе, а также длину интервала времени в течении которого будет работать цех А.
Решение. В соответствие с условиями задачи имеем:
K=4000; (=1600;
·=2000; h=0.2; p=0,3;
По формулам (30) находим оптимальный объем партии, производимой непрерывно в цехе А и максимальный размер дефицита
13 EMBED Equation.3 1415
Теперь определим максимальный запас товара на складе
13 EMBED Equation.3 1415;
Теперь определим (1 по формуле (23)
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, с целью минимизации средних суммарных затрат в час необходимо цеху А производить 23904 коробки непрерывно. При это максимальный запас товар на складе составит 2772 штуки, а максимальный дефицит – 1848 штук. Протяженность непрерывной работы цеха А – 6 часов 58 минут.

2.5. Однопродуктовая n ( этапная динамическая модель без дефицита
В данной модели предполагается, что уровень запаса контролируется периодически, а запаздывание с поставкой товара либо равно нулю, либо кратно периоду контроля. Поэтому будем считать, что пополнение запаса происходит мгновенно в начале этапа. Спрос также удовлетворяется мгновенно в начале этапа. Дефицит не допускается. Рассматривается конечный горизонт (n этапов) планирования. Отметим, что параметры этой модели меняются от этапа к этапу, то есть зависят от времени. Время меняется дискретно на величину этапа.
Обозначим:
yi ( количество заказываемой продукции на i – ом этапе;
(i ( спрос на продукцию на i – ом этапе;
xi ( запас продукции на начало i – го этапа;
hi ( затраты на хранение единицы продукции, переходящей с этапа i на этап i+1;
Ki ( затраты на оформление заказа на i – ом этапе;
ci(y) ( затраты на закупку продукции на i – ом этапе при условии, что объем закупаемой партии равен y.
Требуется найти значения 13 EMBED Equation.3 1415 на всех этапах i=1,,n, минимизирующие суммарные затраты по всем этапам.
Обозначим Ci(y) все затраты на закупку продукции объемом y на этапе i, тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Для дальнейшего рассмотрения удобно представлять процесс поступления на склад и расходования со склада продукции в виде схемы

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Для решения задачи будет применяться метод динамического программирования. Этот метод позволяет разбить исходную задачу поиска оптимума на всем горизонте планирования на n подзадач поиска экстремума на каждом этапе. Пусть состоянием системы на i – ом этапе будет объем запаса xi+1 . Так как планируется минимизация затрат только на этапах от 1 до n, то величина xn+1 должна быть равна нулю. В этом случае объем запаса xi не должен превышать величину суммарного спроса на этапах i,, n,
13 EMBED Equation.3 1415 (31)
Пусть fi(xi+1) ( минимальные суммарные затраты на этапах 1,,i при заданной величине запаса xi+1 на конец этапа i . Тогда рекуррентное уравнение будет иметь вид
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, на первом этапе по заданному запасу x2 величина y1 определяется однозначно. На последующих этапах величина yi определяется из условия минимума суммарных затрат на этапе i (первые два слагаемых) и на всех предыдущих этапах 1,,i-1 (третье слагаемое). Аргумент функции fi-1(xi) вычислен из соотношения
13 EMBED Equation.3 1415. (32)
Следуя методу динамического программирования последовательно находятся значения функций f1, f2, ,fn . Это прямая прогонка. Затем, начиная с номера n и до номера 1, вычисляются оптимальные значения 13 EMBED Equation.3 1415 ( обратная прогонка.
Пример. Рассмотрим 3 – этапную систему управления запасами. Пусть начальный запас равен 1 единице продукции. Стоимость закупки единицы продукции составляет 10 денежных единиц за каждую из первых трех единиц продукции и 20 ( за каждую единицу продукции сверх 3. Остальные данные представлены в таблице
i
(I
Ki
hi

1
3
3
1

2
2
7
3

3
4
6
2

В рассматриваемой задаче затраты на закупку можно записать следующим образом
13 EMBED Equation.3 1415
Вычисление функций 13 EMBED Equation.3 1415, i = 1,,n производится по этапам.
Этап 1. Вычисление значений функции 13 EMBED Equation.3 1415 сведем в таблицу
x2
h1x2
y1
C1(y1)
13 EMBED Equation.3 1415

0
0
2
23
23

1
1
3
33
34

2
2
4
53
55

3
3
5
73
76

4
4
6
93
97

5
5
7
113
118

6
6
8
133
139

Здесь интервал изменения x2 вычислен по формуле (31)
0 ( x2 ( (2 + (3 =2 + 4 = 6,
а величина y1 для каждого x2 находится из соотношения (32)
y1 = x2 ( x1 + (1 .
Этап 2. Интервал изменения x3 будет от 0 до 4. Вычисление значений функции f2(x3) приведено в следующей таблице
x3
h2x3
y2=0
1
2
3
4
5
6
f2(x3)
13 EMBED Equation.3 1415



C2=0
17
27
37
57
77
97



0
0
55
51
50
(
(
(
(
50
2

1
3
79
75
64
63
(
(
(
63
3

2
6
103
99
88
77
86
(
(
77
3

3
9
127
123
112
101
100
109
(
100
4

4
12
151
147
136
125
124
123
132
123
5

Для каждого значения x3 (соответствующая строка) и каждого значения y2 (соответствующий столбец) в ячейке таблицы находится значение выражения
13 EMBED Equation.3 1415, (33)
где в силу (32) x2 = x3 ( y2 + (2 .Величина y2 изменяется в интервале
0( y2 ( x3 ( x2 + (2 .
При этом максимальное значение y2 будет достигаться при максимальном значении x3 и минимальном значении x2 . Следовательно,
0( y2 (6.
Отметим, что этот интервал совпадает с интервалом изменения x2 . Покажем нахождение этих значений для двух случаев x3 =0 и x3 =1. Для x3 =0 получаем
13 EMBED Equation.3 1415=0+0+55,
13 EMBED Equation.3 1415=17+0+34=51,
13 EMBED Equation.3 1415=27+0+23=50.
Вычисление 13 EMBED Equation.3 1415 для y2 >2 невозможно, так как значение аргумента функции f1 будет отрицательным, что недопустимо по условиям задачи. Поэтому в соответствующих ячейках стоит прочерк. Минимальное значение по строке 50 равно значению функции f2(0) и расположено в столбце f2(x3) таблицы. В столбце 13 EMBED Equation.3 1415 этой таблицы расположено значение y2 , при котором достигается это минимальное значение (в рассматриваемом случае это y2 =2). Для x3 = 1 будем иметь
13 EMBED Equation.3 14150+3+76=79;
13 EMBED Equation.3 141517+3+55=75;
13 EMBED Equation.3 141527+3+34=64;
13 EMBED Equation.3 141537+3+23=63.
Вычисление 13 EMBED Equation.3 1415 для y2 >3 невозможно по причине аналогичной предыдущей. Минимальное значение по строке 63 равно значению функции f2(1) и расположено в столбце f2(x3) таблицы. В столбце 13 EMBED Equation.3 1415 этой таблицы расположено значение y2 , при котором достигается это минимальное значение (в рассматриваемом случае это y2 =3).
Этап 3. Переменная x4 может принимать единственное значение равное нулю, y3 изменяется в пределах от 0 до 4. Соответствующие значения 13 EMBED Equation.3 1415 и f3(0) приведены в следующей таблице
x4
h3x4
y3=0
y3=1
y3=2
y3=3
y3=4
f3(x3)
13 EMBED Equation.3 1415



C3=0
C3=16
C3=26
C3=36
C3=56



0
0
123
116
103
99
106
99
3

В соответствии с полученным результатом минимальные суммарные затраты равны 99. Теперь нужно найти величины 13 EMBED Equation.3 1415. Будем находить их, двигаясь по таблицам в обратном направлении. Величину 13 EMBED Equation.3 1415 = 3, получим из последней таблицы. Найдем 13 EMBED Equation.3 1415 из соотношения (32)
13 EMBED Equation.3 1415=x4 ( 13 EMBED Equation.3 1415 + (3=0 ( 3 + 4=1.
Теперь из предпоследней таблицы в строке 13 EMBED Equation.3 1415 = 1 находим 13 EMBED Equation.3 1415 = 3. Соответственно.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415 + (2=1 ( 3 + 2 = 0.
Из первой таблицы в строке 13 EMBED Equation.3 1415 = 0 находим 13 EMBED Equation.3 1415 = 2.
Ответ. Для минимизации суммарных затрат необходимо на первом этапе заказать 2 единицы продукции, на втором ( 3 единицы, а на третьем также 3 единицы. При этом суммарные затраты составят 99 денежных единиц.

Частный случай постоянных или убывающих предельных затрат
Рассмотрим отдельно на каждом этапе затраты на хранение и затраты на закупку продукции. В общем случае на каждом этапе затраты на хранение каждой новой единицы продукции и затраты на закупку каждой новой единицы продукции зависят от объема закупаемой продукции на этом этапе. Так в предыдущем примере, затраты на закупку одной единицы продукции были равны 10 при yi
·3, а в противном случае каждая новая единица стоила 20 денежных единиц (т.е. являлись возрастающей функцией). Затраты за хранение одной единицы продукции на этапе в этом примере были постоянными.
В рассматриваемом частном случае будем предполагать, что на каждом этапе в отдельности затраты на закупку и на хранение каждой новой единицы продукции являются либо постоянными, либо убывающими функциями от объема закупаемой партии на этапе. При этом, эти величины могут меняться от этапа к этапу различным образом. Будем также предполагать, что начальный запас x1 = 0. Последнее ограничение не является существенным, так как, уменьшив спрос на первом этапе на величину начального запаса, можно всегда считать это условие выполненным. При сделанных предположениях будут справедливы следующие два свойства [1, c463].
1. На всех этапах выполняется равенство
13 EMBED Equation.3 1415.
2. Размер оптимального заказа 13 EMBED Equation.3 1415 может принимать только одно из следующих значений
0, (i, (i + (i+1 , , (i + + (n .
Отметим, что эти свойства позволяют существенно сократить объем вычислений. Приведем пример. Расчеты проводятся аналогично предыдущему случаю за исключением множеств возможных значений xi , и yi .
Пример. Рассмотрим 4 – этапную систему управления запасами. Пусть начальный запас равен 2 единицам продукции. Стоимость закупки единицы продукции составляет 4 денежных единицы для всех этапов, а стоимость хранения единицы продукции переходящей с этапа i на этап i + 1 составляет одну денежную единицу для всех этапов. Величины спроса на этапах и стоимость оформления заказов имеют следующие значения: (3; 3), (3; 2), (4; 1), (3; 4).
Чтобы свести задачу к частному случаю нужно из спроса на первом этапе вычесть начальный запас. Соответствующие значения спроса и стоимости оформления заказа по этапам будут иметь вид: (1; 3), (3; 2), (4; 1), (3; 4).

Этап 1. В соответствии со свойством 2 величина x2 может принимать следующие значения:
0, (2 =3, (2 + (3 = 3 + 4 = 7, (2 + (3 + (4 = 3 + 4 + 3 = 10.

x2
h1x2
y1
C1(y1)
f1(x2)

0
0
1
7
7

3
3
4
19
22

7
7
8
35
42

10
10
11
47
57


Этап 2. Возможные значения величины x3
0, (3 = 4, (3 + (4 = 4 + 3 = 7, . x3({0; 4; 7}.
Величина y2 может принимать значения, совпадающие с возможными значениями x2 y2({0; 3; 5; 6}. Значения функций 13 EMBED Equation.3 1415, f2(x3) и соответствующие 13 EMBED Equation.3 1415 приведены в следующей таблице

x3
h2x3
y2=0
y2=3
y2=7
y2=10
f2(x3)
13 EMBED Equation.3 1415



C2=0
C2=14
C2=30
C2=42



0
0
22
21
(
(
21
3

4
4
46
(
41
(
41
7

7
7
64
63
59
56
56
10

Покажем нахождение значений функции 13 EMBED Equation.3 1415 (33) для двух случаев x3 =4 и x3=7 . Рассмотрим сначала случай x3 = 4
13 EMBED Equation.3 1415 = C2(0) + 1(4 + f1(4(0+3) = 0 + 4 + 42 = 46;
13 EMBED Equation.3 1415 = C2(3) + 1(4 + f1(4(3+3)
Так как данного значения x2 = 4(3+3=4 нет в первой таблице, в соответствующей клетке для функции 13 EMBED Equation.3 1415 стоит прочерк.
13 EMBED Equation.3 1415 = C2(7) + 1(4 + f1(4(7+3) = 30 + 1(4 + 7 = 41.
Для значения y2 = 10 получается отрицательное значение x2 , что недопустимо по условиям задачи (дефицит не допускается). Поэтому в соответствующей клетке стоит прочерк. Теперь случай x3 = 7.
13 EMBED Equation.3 1415 = C2(0) + 1(7 + f1(7(0+3) = 0 + 7 + 57;
13 EMBED Equation.3 1415 = C2(3) + 1(7 + f1(7(3+3) = 14 + 7 + 42 = 63;
13 EMBED Equation.3 1415 = C2(7) + 1(7 + f1(7(7+3) = 30 + 7 + 22 = 59;
13 EMBED Equation.3 1415 = C2(10) + 1(7 + f1(7(10+3) = 42 + 7 + 7 = 56.

Этап 3. Возможны только два значения величины x4
0, (4 = 3.

x4
h3x4
y3=0
y3=4
y3=7
f3(x4)
13 EMBED Equation.3 1415



C3=0
C3=17
C3=29



0
0
41
38
(
38
4

3
3
59
(
53
53
7


Этап 4. Величины x5 принимает единственное значение x5=0.

x5
h4x5
y4=0
y4=3
f4(x5)
13 EMBED Equation.3 1415



C4=0
C4=16



0
0
53
54
53
0

Итак, минимальные суммарные затраты равны 53. Теперь нужно найти величины 13 EMBED Equation.3 1415. Будем находить их, двигаясь по таблицам в обратном направлении. Из последней таблицы 13 EMBED Equation.3 1415=0. Тогда из соотношения (32) при i=4 получим 13 EMBED Equation.3 1415=3. Из таблицы третьего этапа в строке с этим значением находим 13 EMBED Equation.3 1415=7. Снова из соотношения (32) при i=3 получим 13 EMBED Equation.3 1415=0. В таблице второго этапа в соответствующей строке находим 13 EMBED Equation.3 1415=3. Опять из (32) при i=2 получим 13 EMBED Equation.3 1415=0. Далее, из таблицы первого этапа 13 EMBED Equation.3 1415=1. Таким образом, на первом этапе нужно заказывать одну единицу продукции, на втором ( три, на третьем ( семь, а на четвертом заказывать не надо. При этом суммарные затраты составят 53 денежных единицы.

Вероятностные модели

3.1. Одноэтапная модель с мгновенным спросом при отсутствии затрат на оформление заказа
Предполагается, что спрос за некоторый период времени, называемый этапом, удовлетворяется сразу в начале этапа. Удовлетворение спроса происходит за счет начального запаса и заказанной продукции, которая поступает на склад так же в начале этапа, чуть ранее момента удовлетворения спроса. Спрос является случайной величиной и имеет известный закон распределения. В зависимости от величины спроса и объема продукции на складе в начале этапа возникают либо излишки продукции (запас), либо нехватка некоторого количества продукции (дефицит). Суммарные затраты за этап складываются из затрат на закупку заказанной продукции, хранении запаса и потерь от дефицита. Введем обозначения:
x ( начальный запас продукции на складе;
y ( количество закупаемой продукции (величина заказа);
q ( максимальный уровень запаса на складе после поставки заказа;
( ( величина спроса на этапе;
h ( стоимость хранения единицы продукции в течении этапа;
p ( потери от дефицита единицы продукции в течении этапа;
c ( стоимость закупки единицы продукции;
((() ( функция плотности распределения вероятностей величины спроса.
При заданных величинах q и ( величина запаса, который хранится на складе в течение этапа, определяется соотношением
H(q,() = 13 EMBED Equation.3 1415.
Величина дефицита определяется аналогичным равенством
G(q,() = 13 EMBED Equation.3 1415.
Отметим, что величины q,y,x связаны соотношением
q = y+ x (34)
При сделанных предположениях математическое ожидание суммарных затрат на этапе определяется соотношением
M{S(q)} = c(q ( x) + h13 EMBED Equation.3 1415 + p13 EMBED Equation.3 1415 =
= c(q ( x) + h13 EMBED Equation.3 1415 + p13 EMBED Equation.3 1415.
Запишем необходимое условие экстремума
13 EMBED Equation.3 1415 = c + h13 EMBED Equation.3 1415 ( p13 EMBED Equation.3 1415 = 0 . (35)
Используя свойство функции плотности
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 1,
из (35) получаем
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 (36)
Решая уравнение (36), находим q*, а затем из соотношения (34) находим оптимальную величину заказа y* = q* ( x . Отметим, что значение q* определено только при условии p ( c . Если величина y* получается отрицательной, то полагаем y* = 0.
Пример. Пусть начальный запас равен 2 единицам, стоимость хранения единицы продукции в течение этапа ( 0.5 денежных единиц, потери от дефицита одной единицы продукции в течение этапа ( 4.5 денежных единиц, стоимость закупки одной единицы продукции ( 0.5 денежных единиц. Функция плотности распределения вероятностей спроса имеет следующий вид
((() = 13 EMBED Equation.3 1415
Получаем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
следовательно, из соотношения (36) находим
q* = 10, y* = 8.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Задачи к разделу 2.1
1. Лошадь съедает 1 кг очень полезного корма в день. Очень полезный корм продается в мешках по 20 кг. и доставляется из Москвы в течении 3-х недель с момента размещения заказа. Стоимость хранения мешка корма составляет 5 рублей в день, а затраты на оформление заказа составляют 5000 рублей. Составьте ежемесячный оптимальный план управления запасами, чтобы не оставить голодными 4 лошади

2. Косметический салон выбрал для себя стратегию заказа 500 ед. товара ежемесячно. Товар расходуется в ходе проведения косметических процедур. Затраты салона на оформление заказа составляют 3000 денежных единиц, затраты на хранение одной единицы товара составляют 0,5 денежных единиц в день. При каком спросе на услуги салона, такая стратегия управления запасами будет оптимальной?

3. Кафе заказывает по 40 кг муки ежемесячно для производства печенья, пирожных и тортов собственного приготовления. В день потребляется в 1,2 кг муки. Фиксированная стоимость размещения заказа составляет 15 д.е. Стоимость хранения 1 кг муки 0,01 д.е. в день
Определите: а) оптимальную стратегию управления запасами в предположении, что время выполнения заказа от момента его размещения до реальной поставки равно 1 неделе; b)квартальные затраты кафе на муку, связанные с существующей стратегией создания запаса; с) еженедельную экономию кафе, которая определяется оптимальной стратегией управления запасами муки.

4. Компания знает, что спрос на её продукцию меняется ежемесячно в течение года от 1000 единиц в месяц до 5000 единиц в месяц. Компания ставит перед 2 рабочими группами отдела снабжения разработать стратегию заказа комплектующих изделий. Стоимость хранения одного комплектующего изделия на складе 10 рублей в день. Первая группа предлагает заказывать 100 единиц продукции ежемесячно у поставщика А, затраты на оформление заказа с которым равны 2500 рублей. Вторая группа предлагает заказывать 300 единиц продукции 1 раз в 2 месяца у поставщика В, затраты на оформление заказа с которым равны 3000 рублей. Если бы вы отвечали за разработку стратегии управления запасами, какова была бы ваша рекомендация? С какой вероятностью компания будет применять вторую стратегию? (Рекомендации к решению: следует найти затраты на ед. продукции в единицу времени для стратегий 1-ой и 2-ой группы, а затем определить при каком спросе использовать стратегию 1 или 2.)

5. Эстетический центр пластической хирургии «Молодость» оказывает косметологические услуги, с использованием препарата для подкожных инъекций VFI-5, который потребляется со средней интенсивностью 250 ампул в неделю или 25 упаковок. Все препараты, используемые центром косметологических услуг, производит швейцарская фармацевтическая компания, чем обусловлены достаточно большие расходы на оформление заказа и его доставку. Эти затраты составляют 50000 рублей. Стоимость хранения 1 упаковки (с соблюдением особого температурного режима) составляет 150 рублей в день. Срок выполнения заказа от момента его размещения до момента реальной поставки равен 2 неделям. Определите оптимальную стратегию заказа препарата VFI-5.

6. Фирма решает вопрос об использовании услуг производственного аутсорсинга либо использовании собственных основных фондов. Стоимость заключения контракта на производство нужных компании изделий третьими лицами составляет 10000 рублей, а так же производство каждого изделия обойдётся в 15 рублей за штуку, стоимость хранения метра кубического на складе аутсорсера составляет 8 рубля в день. В метр кубический входит 4 единицы изделия. Собственное оборудование компаний устарела и для соответствия нормам качества компании придется инвестировать в собственное оборудование при каждом его запуске 25000 рублей, однако стоимость производства единицы продукции в таком случае составит 5 рублей, а хранение продукции на собственном складе обойдётся не более 1 рубля за штуку. Потребление изделия фирмой оценивается в 6000 единиц в год. Если предположить, что фирма работает без дефицита, определите, что выгоднее – закупать или производить изделия? (Рекомендации: а) оптимальный объем производства округлите до большего целого; б) сравнивать S(y) c учетом c (стоимости производства)).

7. Компания производит сельскохозяйственную продукцию. Выход готового продукта 1 тонна в день; продукт фасуется в мешки по 20 кг. Стоимость хранения одного мешка продукции на собственном складе компании составляет 5 руб в день. Перед компанией стоит вопрос о вывозе своей продукции в магазины региона. Транспортная компания – партнёр компании производителя устанавливает оплату в размере 1000 рублей за аренду грузовика плюс три рубля за перевоз каждого мешка, а так же предлагает скидку в размере 20% от стоимости перевозки одного килограмма, если объём перевозимой продукции превышает 5 тонн. Стоит ли компании воспользоваться скидкой? Изобразите графически изменение количества готовой продукции на складе компании.

8. ОАО «Молочный завод «Волгоградский» производит ежедневно 375 кг сметаны «Софита» 15% в ст. по 0,25 кг. Для данного производства требуется 4,5 кг крахмала модифицированного Emden XVH 1050. Отдел снабжения заказывает крахмал с определенной периодичностью в Московской области. Стоимость килограмма крахмала составляет 55 рублей при заказе менее 200 килограмм, и 45 рублей при заказе от 200 и более килограмм. Стоимость оформления заказа и доставки составляет 10000 рублей. Стоимость хранения одного килограмма крахмала на складе составляет 3 рубля в день. Определите оптимальную стратегию управления запасами для компании и скажите, необходимо ли ей пользоваться скидкой. Определите оптимальный размер заказа, а также точку возобновления заказа, если поставка осуществляется в течение 7 дней.

9. Спортивный клуб предоставляет своим клиентам питьевую воду, которую заказывает в компании «ФУКС-вода». Клиенты выпивают более 80 литров воды ежедневно, а как известно самая большая бутылка «ФУКС-воды» содержит 20 литров. Складские помещения спортивного клуба не велики и альтернативная стоимость хранение 20-ти литровой бутылки воды составляет 2 рубля в день. Для потребления «ФУКС-воды» спортивному клубу требуется не менее 4 кулеров. При интенсивном использовании кулер служит не более одного года, а затем его меняют на новый. Стоимость каждого кулера 9000 рублей. Затраты на покупку четырех кулеров в год бухгалтерией считаются как увеличение стоимости заказа одной 20-ти литровой бутылки воды на 20,5%. Стоимость оформления заказа равно 225 рублям. Стоимость одной 20-ти литровой бутылки120 рублей. Компания «ФУКС-вода» предоставляет 4 бесплатных кулера при заказе более 200 штук 20-ти литровых. Месяц = 30 дней. Определите: а) еженедельный и ежемесячный оптимальные планы заказа «ФУКС-воды»; b) стоит ли клубу воспользоваться специальным предложением компании «ФУКС-вода» при ежемесячной стратегии заказа воды?

10. Компания «Русмедупак» производит перчатки. Она заключила контракт на поставку своих изделий для лечебно-профилактических учреждений области на год. Потребность ЛПУ в неделю составляет 100 000 пар перчаток. Компания закупает латекс для производства в Юго-восточной Азии. Для производства одной перчатки требует 20 грамм латекса. Стоимость одного килограмма латекса составляет 70 рублей при закупке менее 3 тонн, и 50 рублей при закупе 3 тонн и более. Стоимость таможенного оформления и доставки любой партии латекса до 10 тонн составляет 35000 рублей. Стоимость хранения одного килограмма латекса на складе составляет 5 рублей в день. Определите оптимальный размер заказываемой партии и скажите, необходимо ли пользоваться скидкой. Предполагается, что произведенные перчатки сразу поступают на отгрузку и компания их фактически не хранит на складе. Укажите в ответе оптимальный размер партии, которую необходимо заказывать, точку восстановления запаса, если поставка осуществляется в течение 25 дней, и средние издержки в единицу времени.

11. После того, как Томская компания "Том-Ком" заключила долгосрочный договор с компанией с дистрибьютором комплектующих деталей компании TRUST, она может воспользоваться 10% скидкой при закупке более 5 тысяч различных комплектующих. Не вдаваясь в подробности, скажем, что средняя закупочная стоимость комплектующих – 300 рублей, а средняя величина спроса 3600 наименований в месяц (месяц = 30 дней). Затраты связанные с оформлением бумаг и доставкой товара из Москвы в Томск равняются приблизительно 20000 тыс. рублей. Хранение коробки с комплектующими деталями (в коробке, в среднем, 10 единиц товара) обходится в 21 рубль в неделю. Определите, имеет ли смысл "Том-Кому" пользоваться обозначенной в договоре скидкой, какое количество комплектующих будет оптимальным заказом. Найдите точку восстановления заказа, если грузовой поезд едет из Москвы до Томска 6 дней, а оформление заказа на складе дистрибьютора занимает 2 дня.

Задачи к разделу 2.2

12. Завод выпускает на рынок новый вид инструментов. Именно в данной ситуации, необходимо обеспечивать постоянное наличие товара на складе. В связи с этим, руководитель планового отдела, вместе с менеджерами оценили примерные издержки от отсутствия одного изделия на складе в том момент, когда на него есть спрос. Они равняются 6720 рублей в месяц. Запуск оборудования в цехе по производству инструментов обходится в 50000 рублей. Хранение одного изделия обходится в 100 рублей в день. По прогнозам отдела маркетинга спрос на новые инструменты должен составить 40 штук в неделю. Руководителю планового отдела необходимо определить задание производственному цеху (количество производимых изделий и когда производить), исходя из критерия минимизации реальных и возможных (возникающих при отсутствии товара на складе) затрат. Ответ округлите до целого (Месяц = 4 недели).

13. Производитель подшипников и завод по сборке коленвалов заключили соглашение, согласно которому, возможны отклонения в размере поставляемой партии, если у производителя отсутствует необходимое количество товара на складе, но при этом он должен будет платить 15 рублей в день за каждый недопоставленный подшипник. Стоимость запуска производства подшипников составляет 20 тысяч рублей, хранение одного изделия обходится в 0,5 рублей в день. Себестоимость одного изделия при продаже его заводу – 30 рублей, а спрос ориентировочно будет составлять 1800 штук в месяц. Определите: размер партии подшипников, которую необходимо производить для минимизации затрат; максимальный объем дефицита, который возникнет при выбранной объеме производства (Месяц = 30 дней).

14. Компания "NetОгня" заключила государственный контракт на поставку противопожарных систем для учреждений Министерства образования. Согласно контракту каждый месяц компания обязана установить противопожарные системы в 12 школ (Месяц = 4 недели). Компания закупает противопожарные системы за рубежом. Стоимость хранения одной системы на складе компании обходится в 1000 рублей в неделю. Стоимость оформления заказа на поставку, включая доставку и таможенные платежи, составляет 30000 рублей. Если компания не выполняет график Министерства образования, и не успевает осуществить установку систем в текущем месяце во всех школах, то она обязана сделать это в следующем месяце и помимо прочего заплатить неустойку в размере 16000 тысяч рублей за каждую систему, установленную с опозданием на месяц. Время доставки систем от производителя до склада компании "NetОгня" составляет 2 недели.
Определите оптимальный размер заказа противопожарных систем, если компания планирует минимизировать свои издержки связанные с исполнением контракта. Укажите также точку восстановления заказа и максимальный размер дефицита.

15. Представитель компании Eastman Kodak и Fuji в Екатеринбурге поставляет в больницы расходное оборудование для рентгенологии (пленки, проявители и прочее). Среднее количество поставок в месяц – 18. При этом, согласно декларируемым компанией условиями, если комплекта расходных материалов не оказалось на складе в момент заказа, то больница получит заказ в следующем месяце со скидкой в 10% от стоимости комплекта. Цена одного набора расходных материалов – 40 тысяч рублей. Стоимость хранения одного комплекта, достаточно высока и составляет 500 рублей в месяц. Затраты на доставку товара со склада представительств Kodak и Fuji в Москве составляют 16 000 рублей, а машина идет до Екатеринбурга 5 дней. (Месяц = 30 дней). Определите оптимальное количество комплектов, которые следует заказывать, точку восстановления заказа и затраты компании на один период поставки.

16. Фирма «СпецОилТех» реализует оборудование для заправочных станций. При этом покупатели заключают с фирмой специальный контракт на поставку по требованию, поскольку им необходимо быть уверенными заранее в том, какое оборудование будет стоят на их заправочных станциях. Согласно стандартного договора, «СпецОилТех» будет вынуждена платить неустойку покупатели в случае отсутствия заправочных колонок на складе компании в тот день, когда они понадобятся покупателю. При цене одной колонки в 80 тысяч рублей неустойка составляет 5 тысяч рублей в неделю. В среднем «СпецОилТех» обеспечивает оборудованием ежемесячно 4 станции (Месяц = 4 недели). Затраты на хранение одного комплекта оборудования на специальном складе, где исключается возможность допуска к оборудованию посторонних людей, составляет 1250 в неделю. Затраты на оформление и сопровождение оборудования со склада поставщика до склада «СпецОилТех» составляют 50 000 рублей. Определите, сколько комплектов оборудования необходимо заказывать, чтобы издержки были минимальны. Каким является максимальное количество колонок на складе, если фирме придется покрывать дефицит (недопоставку) за счет пришедшей партии?

17. Управление здравоохранения города N при заключении договора с поставщиками лекарственных средств указывает, что в случае несвоевременной поставки продукции, поставщик выплачивает штраф в размере 0,25 процента стоимости лекарственного средства за каждый день просрочки. Просчитайте оптимальный размер заказа для представителя компания Novartis в городе N и его затраты на один период поставки, если по его оценкам, спрос на лекарственные средства из его ассортимента составляет 3600 упаковок в месяц (ответ округлите до целого числа). Хранение в специальных температурных условиях в пересчете на 1 упаковку лекарств составляет 4 рубля в день. Приблизительная стоимость оформления доставки груза со склада компании Novartis в Москве – 6000 рублей. Стоимость одной упаковки лекарственных средств, согласно договора с Управлением – 2000 рублей. (Месяц = 30 дней).

18. Спортивный клуб предоставляет своим клиентам питьевую воду, которую заказывает в компании «ФУКС-вода». Клиенты выпивают более 70 литров воды ежедневно, а, как известно, самая большая бутылка «ФУКС-воды» содержит 20 литров. Складские помещения спортивного клуба не велики и альтернативная стоимость хранение 20-ти литровой бутылки воды составляет 2 рубля в день. Компания «ФУКС-вода» размещает заказ на доставку любого количества воды за 220 рублей. Время поставки воды в спорт клуб – 3 дня. Разработайте оптимальную еженедельную стратегию управления запасами «ФУКС-воды» (точку заказа, оптимальный объем партии и максимальный объем бутылок воды на складе), разлитой в 20 литровые бутылки, если известно, что сумма затрат на удовлетворение жалоб клиентов на отсутствие воды еженедельно составляет 200 рублей на 1 бутылку

19. Цех по производству офисной мебели решет вопрос об объемах и периодичности заказа фурнитуры. Мебельные ручки - это завершающий штрих в создании красивой и стильной мебели. Среднемесячное потребление мебельных ручек цехом составляет 600 штук. Вся фурнитура доставляется из Москвы в течении 15 дней с момента. Стоимость размещения заказа, включающая оформление всей необходимой документации составляет 700руб. Стоимость хранения коробки содержащей 30 мебельных ручек составляет 15 рублей в сутки. В том случае если ручек на выполнение заказа не достаточно, мебель поставляется без ручек, а при следующей поставке мастер их устанавливает, «переплачивая» за каждую ручку в среднем 10 рублей в день (фактически фирма теряет эти деньги, предлагая клиентам скидку за несвоевременную поставку). Определите оптимальный объем закупаемой партии максимально допустимый объем дефицита, минимальные суммарные затраты цеха на мебельные ручки и точку возобновления запаса.

Задачи к разделу 2.3

20. На станке производятся детали в количестве 12000 единиц в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке, производительностью 4000 единиц в месяц. Оставшиеся детали образуют запас и продаются в конце года сторонним организациям. Издержки хранения составляют 1,5 рубля за одну деталь в месяц. Стоимость производственного цикла на первом станке равняется 8000 рублей. Определите, сколько деталей необходимо производить на первом станке непрерывно, с какой периодичностью запускать производство и каковы затраты в единицу времени?

21. Стоимость запуска печатного станка составляет 5 тыс руб. Альтернативные издержки на хранение каждой непроданной копии журнала 3 рубля в день. Технологические мощности станка позволяют печатать полиграфическую продукцию тиражом до 45 000 экземпляров в день. Спрос на модный журнал составляет 280 000 экземпляров в неделю. Определите оптимальный объём тиража на один производственный цикл и средние суммарные издержки в единицу времени.

22. В сборочном цехе завода Световод в ручном режиме украшают люстры хрустальными элементами. 30 человек занимаются этой работой и каждый делает две люстры в час. На заводе 8-ми часовой рабочий день. Металлические заготовки для люстр делаются во вспомогательном цехе с интенсивность 140 штук в час. Затраты на хранение не обработанных заготовок составляют 2,5 рубля в час. Стоимость запуска станка по производству заготовок составляет приблизительно 4300 тысячи рублей и включает в себя перенастройку, наладку, возможный ремонт и з/п мастера. Определите оптимальный размер партии заготовок для люстр, которые необходимо делать во вспомогательном цехе, если завод хочет минимизировать издержки, связанные с запуском производства.

23. На фабрике кондитерских изделий "Радуга вкуса" производство тортов построено по принципу "стандартные бисквиты – разная начинка", поэтому первая и вторая часть производственного процесса разведены по разным цехам. Бисквиты выпекаются в цехе №1 со средней интенсивностью 225 коржей в час. Собственно приготовление тортов происходит в цехе №2. Некоторая часть работы здесь является ручной, поэтому средняя скорость появления готовых тортов составляет 100 тортов в час. В цехе №1 также могут выпекаться бисквиты для печения, поэтому перенастройка оборудования на производство бисквитов для тортов с учетом затраченного времени наладчика и перенастройки техники обходится в 1000 рублей. Хранение бисквитов, с целью сохранения их свойств, происходит в специальной камере. Стоимость хранения в переводе на бисквит для одного торта составляет 1 рубль в час. Завод работает в две смены, что составляет в общей сложности 16 рабочих часов. Определите какой объем бисквитов, следует производить за раз в цехе №1, что затраты на хранение готовых бисквитов и переналадку оборудования были минимальны. Рассчитайте среднюю величину затрат в единицу времени при выбранном объеме заказа для цеха №1.


24. Предприятие занимается захоронение отходов под землей. Работа состоит из двух этапов: сначала упаковки мусора на специальном лифте опускаются под землю, затем специальная роботизированная бригада развозит мусор по штрекам. Стоимость запуска лифта – 40000 рублей, максимальная грузоподъемность – 5 тонн, на один рейс уходит 1 час. Роботы развозят мусор с интенсивностью 1000 кг в час. Нельзя допустить ситуацию, когда у роботов не будет мусора для его размещения по штрекам шахты, поскольку это потребует вызова мастера и перенастройки программы. Условная стоимость нахождения мусора в основном стволе шахты до того, как он будет развезен роботом, составляет 100 рублей за кг за час. Эти затраты возникают потому, что, согласно договору с областными властями полное захоронение отходов должно происходить за менее чем часовой срок. Определите оптимальный размер загрузки лифта и периодичность его работы, исходя из того, что предприятие желает минимизировать свои затраты связанные со спуском и развозкой мусора.

25. Семья Ивановых живет в деревне и содержит подсобное хозяйство, в том числе кур-несушек разных пород. Яйценоскость разных пород кур оценивается по-разному, однако бабушка Иванова – Мария Владимировна подсчитала, что в среднем их 5 кур приносят 90 яиц в месяц. На содержание всех кур Ивановы тратят около 150 рублей в месяц. Вся семья Ивановых за месяц потребляет 30 яиц, излишки бабушка продает соседям, не постоянно проживающим в деревне, но приезжающим на каждые выходные, по 3р за яйцо. Соседи охотно покупают качественные, экологически чистые яйца, в оригинальной упаковке. Упаковка представляет собой плетёный короб, который делает внук Марии Владимировны Петя. Петя мог бы отдавать короба бесплатно, но бабушка стимулирует работу внука и за каждый короб дает внуку 15 рублей. Марии Владимировне требуется всего лишь 1 короб каждую неделю, так как в него она складывает все яйца снесённые курами за неделю, а в конце недели отдаёт вместе с неиспользованными яйцами соседям. Определите размер ежемесячных затрат/прибыли семьи Ивановых от содержания кур и еженедельные издержки Марии Владимировны на одно яйцо и одну курицу. Определите, какое количество кур, будет достаточным, чтобы удовлетворять потребности семьи?

26. За более чем 60 - летнее существование экструзионных технологий появилось большое разнообразие конструкций машин для их реализации.
Экструзия - кратковременный высокотемпературный процесс, который с успехом применяется как в пищевой, так и в комбикормовой промышленностях. Экструзия сложный физико-химический процесс, который протекает под действием механических усилий при условии присутствия влаги и высокотемпературного воздействия. Для реализации процесса экструзии применяется шнековый экструдер. Рабочую часть экструдера с учетом стадий процесса обработки можно условно разделить на три зоны: I - зона приема сырья; II - зона  пластификации и сжатия; III - зона выпрессовывания продукта.
Зона приема сырья способна принимать в день до 5 тонн сырья, пропускная способность зоны пластификации и сжатия около 3–х тонн в день, которые полностью впрессовывается в готовый продукт. Затраты на предпусковую обработку, разогрев и запуск экструдера составляют около 10 000 рублей. Экструдированный продукт необходимо просушивать. Затраты на хранение и просушивание на собственной территории ста килограммов продукта компания оценивает в 50 рублей в день. Месяц – 4 недели.
Определите: 1. Какой объем сырья нужно закупать ежемесячно для обеспечения минимальных издержек экструдирования, если известно, что спрос на продукцию в неделю в среднем 17 тонн, а так же ежемесячные издержки экструдирования. 2. Объем спроса готовой продукции, если компания приняла стратегию производства 1,5 тонн в день.

27. Челябинская автомобильная компания «Эл – Плюс» еженедельно получает автомобили от производителя в Тольятти. Автомобили доставляются автовозами. Каждый автовоз вмещает 8 автомобилей. Максимальное количество автовозов которое может прийти в Челябинск в неделю – 5 штук. Затраты, связанные с организацией доставки машин, независимо от количества автовозов, составляют 50 000 рублей. Стоимость простоя автомобиля на парковке «Эл – Плюса» 40 рублей в день.
Определите сколько автовозов в неделю должно приходить в Челябинск, чтобы обеспечить спрос на автомобили в размере 15 штук в неделю, при условии, что компания не допускает случая нехватки автомобиля.

Задачи к разделу 2.4

28. Чаеразвесочная фабрика TeaBom закупила новое оборудование для формирования чайного сырья, т.е. будущего содержимого чайных пакетиков. Мощность данного оборудования 500 кг за 5 часов. Приготовленное сырье перемещается в фасовочный цех, где делаются чайные пакетики, либо в хранилище, где необходимо выдерживать специальный влажностный и температурный режим. С учетом затрат на оборудование в комнате хранения и текущих расходов, стоимость хранения оценивается в 5 рублей за 10 кг чая в час. Фасовочный цех может делать 200000 пакетиков в тот же 5 часовой промежуток. На каждый пакетик используется 2 грамма чайной массы. Определите, партиями какого объема необходимого заготавливать чайную массу, если стоимость запуска оборудования в первом цехе – 2000 рублей, а дополнительные расходы, которые компания понесет в случае простоя оборудования в фасовочном цехе, равняются 1 рублю на 1 кг чая. Какова величина затрат компании на один производственный цикл?

29. Со склада компании «Дом стекла» продаются готовые стеклопакеты для крупных застройщиков. Цех компании может производить до 450 стеклопакетов в неделю. Стандартный договор компании с покупателями содержит пункт о том, что в случае отсутствия достаточного количества стеклопакетов на складе, компания осуществляет допоставку позже, но при этом выплачивает пеню в 350 рублей за каждый стеклопакет за неделю ожидания. Стоимость хранения одного готового стеклопакета на складе обходится в 50 рублей в день. Еженедельный спрос составляет в среднем 350 стеклопакетов в неделю. Стоимость запуска производственного цикла в цехе, независимо от количества произведенных стеклопакетов, экономисты оцениваю в 5000 рублей. Определите величину максимального дефицита, который может возникнуть на складе компании, если она пытается минимизировать свои затраты, связанные с хранением товара, размещением заказа и возможными потерями от дефицита. Также рассчитайте оптимальный размер партии стеклопакетов, которую необходимо производить компании. Неделя = 7 дней, все рабочие.

30. В настоящий момент поставщик мебельной фурнитуры позволяет себе заключать договора на непроизведенный товар в количестве 100 единиц. Согласно таким договорам покупатель платит за каждую единицу фурнитуры на 2% меньше ее продажной цены за каждый день просрочки. Средняя стоимость продукции завода 500 рублей. Затраты связанные с запуском производственного цеха составляют 16000 рублей. Максимальная мощность производственного отдела 800 изделий в неделю. Хранение одного изделия в магазине обходится в 5 рублей в день. Спрос составляет в среднем 80 изделий в день. Определите, насколько выбранный компанией объем договоров на непроизведенный товар соответствует оптимальному возможному дефициту, если бы компания оптимизировала свои затраты. Рассчитайте издержки компании в единицу времени с учетом упущенной выгоды, если себестоимость одной единицы фурнитуры 200 рублей, и оптимальный размер заказа. Неделя = 7 дней, все рабочие.

31. Компания "Цветик-семицветик" продает семена. Компания получает заказы со всей России и рассылает заказы почтой или транспортными компаниями, в зависимости от объема заказа. При этом, в своей рекламе компания утверждает, что отправка заказов осуществляется в день поступления заказа. Если же у компании не оказывается необходимого количества упаковок семян, она досылает их позже, но при этом покупатели платят за них на 20% меньше за каждую неделю просрочки. Упаковочная линия компании способна работать с максимальной интенсивностью 150000 упаковок семян в неделю. Еженедельный спрос составляет в среднем 12000 упаковок. Затраты на хранение семян в специальном холодильнике составляют 4 рубля в неделю. Одна пачка семян стоит в среднем 80 рублей. Запуск фасовочной линии с учетом необходимости наладки, покупки упаковочных материалов и прочего обходится в 6000 рублей. Определите оптимальный объем партии, которую необходимо готовить фасовочному цеху, с учетом средней стоимости одной упаковки в розничной продаже, равной 80 рублям. Отдел продаж и цех работают 7 дней в неделю. Определите протяженность интервала времени, в течении которого у фирмы будет отсутствовать товар на складе. На начало сезона продаж на складе уже находится 20000 упаковок. На какой день после начала продаж необходимо запустить производство?

32. На медицинском заводе "Фарммед" в Хабаровске установили новую линию для фасовки бахил в индивидуальные упаковки по 1 паре. Производственный цех изготавливает 50 000 штук бахил в час. Фасовочная линия может произвести за час 20000 пар бахил в индивидуальной упаковке. На заводе 8-часовой рабочий день. Неиспользованные сразу на линии фасовки простые бахилы хранятся в цехе фасовки и их хранение обходится в 70 копеек за упаковку 50 пар в неделю. Необходимые операции для начала производства бахил в производственном цехе оцениваются в 500 рублей. Весь дневной объем производства вечером отправляется поездом в Новосибирск, где находится торговое звено компании. Для этого с транспортной компанией заключен договор, согласно которому компания получает емкости, рассчитанные на дневной объем производства. Если же компания по каким-либо причинам не использует этот объем, то затем она должна оплатить дополнительные транспортные услуги за допоставку товара (10 копеек за каждую пару за неделю). Определите оптимальный объем производства для производственного цеха при условии, что компания желает минимизировать все свои затраты, и максимальный объем товара на складе.

33. Кафе "Неаполь" предлагает своим посетителям делать заказы "на вынос". Кухня может делать в среднем 15 пицц в час. Посетители в среднем заказывают пиццу "на вынос" каждые 6 минут. При этом руководство кафе утвердило следующий порядок работы: если в момент заказа готовой пиццы нет, то кафе осуществляет доставку до любого названного клиентом адреса за свой счет. Себестоимость доставки в среднем составляет 50 рублей. Хранение готовой пиццы в специальном, подогревающем, отсеке печи обходится в 15 рублей в час. Подготовка печи к работе и прочие единовременные расходы оцениваются в 300 рублей. Стоимость одной пиццы в среднем составляет 300 рублей, а стоимость продуктов для ее приготовления – 120 рублей.
Определите, какое количество пицц необходимо производить кухне, чтобы постараться удовлетворить спрос и чтобы при этом, издержки кафе были минимальны. Определите прибыль кафе в единицу времени. Ответ округлите.

34. В сборочном цехе компьютерной фирмы "dRaft" системные блоки собираются из комплектующих деталей, подготовленных сортировщиками. В среднем производительность сборщиков – 10 системных блоков в час. Сортировщики работают быстрее, и за час собирают 15 наборов комплектующих. Хранение одной коробки, которая вышла с сортировочной линии, но еще не используется сборщиками, оценивается в 10 рублей в час. Если же объем подготовленных комплектов меньше, чем готовы обработать сборщики, то фирм несет убытки, поскольку она вынуждена платить зарплату простаивающим сборщикам. Зарплата одного сборщика 160 рублей в час, а за час он собирает и тестирует 2 системных блока.
Определите, сколько наборов комплектующих и как часто необходимо собирать за раз сортировщикам, если необходимо минимизировать затраты компании, а запуск сортировочной ленты и подготовка комплектующих к сортировке обходятся в 300 рублей. Какую долю времени будут простаивать сборщики, при выбранном объеме производства?

35. Транспортная компания осуществляет доставку грузов, прибывших морем в глубь страны железнодорожным транспортом. Решается вопрос о том, какого типа кран и автопогрузчики необходимо установить на разгрузочном терминале, чтобы минимизировать издержки компании. Первый тип разгрузочных машин, может подготавливать грузы к погрузке в ЖД вагон с максимальной интенсивностью 12 тн в час, а второй – 10 тн в час. Погрузочная станция на ЖД платформе может обслужить лишь 9 тн в час. Если груза нет для погрузки в ЖД вагоны, то компания платит за простой вагона на погрузочной платформе. В переводе на 1 кг груза это составляет приблизительно 30 копеек в час. Стоимость запуска первого оборудования (с учетом наладки, контроля и прочего) – 8000 рублей, второго - 7000 рублей. Для хранения подвезенного, но еще не погруженного груза есть специальная платформа, хранение товара на которой обходится в 25 копеек в час за кг груза.
Определите суммарные издержки в единицу времени для первого и второго типов оборудования, сформулируйте, какую комбинацию кран + погрузчик лучше использовать, каково оптимальное количество выгружаемого груза в единице времени. И сколько времени понадобится компании, для разгрузки выбранным способом корабля, вмещающего 400 тонн груза.

Задачи к разделу 2.5

36. Компании, производящей сельскохозяйственную продукцию, необходимо удовлетворить спрос на её продукцию в течение полугода. Компания выпускает продукцию в мешках по 20 кг, затраты на производство продукции составляют 0,4 денежных единицы за один мешок. Известно, что спрос уменьшается ежемесячно в связи с появлением подножного корма животных и составляет в январе 5 тонн, в феврале 4,7 тонны, в марте 4,3 тонны, в апреле 3,5 тонны, а в мае и июне уменьшается, соответственно, до 2,4 тонн и 2 тонн. Также компания знает, что чем ближе к лету, тем сложнее заключить контракт на поставку товара и средние затраты на оформление заказа зимой составляют 15 денежных единиц, весной 18 денежных единиц, а летом возрастают до 20. Затраты на хранение 1-го мешка продукции весной выше, чем в любое другое время года в марте и апреле они составляют 0,3 денежные единицы, в мае 0,2 денежные единицы, тогда как в январе, феврале и июне они составляют 0,1 денежную единицу.
Найти: план производства продукции, минимизирующий затраты; насколько изменятся затраты если к январю на складе скапливается 200 мешков готовой к реализации продукции.

37. Требуется найти оптимальную стратегию управления запасами в четырех этапной системе, если известно, что затраты на приобретение продукции в количестве до 10 штук составляют 15 денежных единиц и 12 денежных единиц за каждую дополнительную единицу товара.
Период
Спрос
Затраты на оформление заказа
Затраты на хранение

1
4
4
8

2
3
8
6

3
3
10
4

4
2
12
2


38. Требуется найти оптимальную стратегию в трехэтапной системе управления запасами, которая формулируется ниже. Начальный запас равен x1=1 единице продукции. Предполагается, что предельные затраты на приобретение продукции составляют 2$ за каждую единицу для первых четырех единиц и 3$ за каждую дополнительную единицу.
Период, i
Спрос,
(единицы)
Затраты на оформление заказа, $
Затраты на хранение, $

1
2
4
2

2
3
5
3

3
5
7
1


39. В меню столовой пансионата «Нефтяник» ежедневно предусмотрено для каждого отдыхающего 3 мясных блюда (на завтрак, обед и ужин). Медицинская сестра по диетпитанию составляет меню-раскладку в начале каждой недели и делает заказ необходимого количества мяса. Ежедневная порция мяса на 1 отдыхающего составляет 300 грамм в день. Количество отдыхающих в пансионате в течение 4 недель марта составляет 550, 470, 340, 490 человек. Данные о количестве отдыхающих поступают от отдела продаж путевок. Затраты на оформление заказа, включая справку из ветслужбы о годности продукта и доставку, следующие. В первую и вторую неделю марта 15000 рублей, а в третью и четвертую неделю, в связи, с подорожанием бензина составляют 20000 и 22000 рублей соответственно. Закуп мяса производится у крупных поставщиков по 130 рублей за килограмм до 1 тонны, и предоставляют 10% скидку при заказе более 1 тонны. Стоимость хранения 1-ого килограмма мяса на складе (включая заморозку) обходится пансионату в 5 рублей в день. Определите оптимальный размер заказа мяса на 4 недели марта с учетом описанных выше особенностей.

40. Типография университета к началу учебного года должна выпускать сборники методических указаний по основным курсам. Количество сборников должно равняться числу принятых студентов. С учетом запланированной структуры финансирования и возможностей университета, величина планируемых к приему студентов на ближайшие 5 лет типографии известна. Она составляет 200, 320, 280, 240, 240 человек. Необходимость обновления методических указаний в связи с модернизацией учебных планов в третий год, по оценке типографии, приведет к появлению дополнительных расходов (на оплату труда преподавателей, пишущих метод. указания и проч.) в размере 20000 рублей. Следовательно, в третий четвертый и пятый год должны будут печататься только новые методички. Собственно запуск печатного оборудования стоит 20000 рублей и по предварительной оценке, эти затраты с каждым годом будут увеличиваться на 5%. Методические указания могут выпускаться партиями по 40 штук. При выпуске партии менее 320 штук затраты на сырье составляют 20 рублей на один экземпляр метод. указаний, при производстве 320 и более экземпляров – зартраты составят 18 рублей. Стоимость хранения одной партии составляет приблизительно 800 рублей в год. Определите оптимальный план выпуска методических указаний на 5 лет с учетом описанных выше особенностей и представьте структуру расходов для каждого года.

41. Принципы работы завода авиационных двигателей позволяют ему точно определить объем продаж, поскольку он определяется заключенными контрактами с точным указанием необходимого количества двигателей к поставке. В ближайшие три года, по заключенным договорам, необходимо будет поставить 30, 50 и 40 двигателей, соответственно. С четвертого года, необходимо будет поставлять не только текущую модель двигателя, но и модернизированные двигатели. Оценочная стоимость перенастройки оборудования и обучения персонала составит 4000000 рублей. Объемы поставки модернизированных двигателей на 4 и 5-ый года составляют 30 и 40 штук. В тоже время необходимо будет поставить также по 5 старых двигателей в 4 и 5-м годах. Но, начиная с четвертого года, эти двигатели уже нельзя будет произвести, а значит, предприятию, необходимо будет сделать запас. Проверка оборудования и подготовка его к запуску, оформление технической документации и заключение договора с транспортной компанией, которая будет осуществлять доставку двигателей до заказчиков выливается для завода в затраты, описываемые следующей функцией 2000000 + 100000Xi, где Xi – количество необходимых к поставке в текущем году двигателей. Затраты на хранение одного двигателя составляют 60000 в год. Стоимость производства одного двигателя оценивается в 400000 рублей. Определите оптимальный объем производства для каждого года и затраты для каждого года. Примечание: производство завода настроено на выпуск двигателей партиями по 10 штук.

42. Компания «ПОГОДОФФ» осуществляет установку кондиционеров. От установки одного кондиционера компания получает прибыль 15 тыс. рублей. Затраты компании на приобретение 1 го кондиционера у производителя 50 тыс. рублей. Компания имеет собственный склад. Содержание единицы продукции на складе, включая работу персонала, оплату услуг охранного предприятия, оплату коммунальных услуг, составляет 1,5 тыс. рублей в месяц. Компания «ПОГОДОФФ» лидер на рынке установки кондиционеров в городе Ч., такого успеха компания добилась за 7 лет существования. Пользуясь накопленной статистической информацией предыдущих лет, компания может предположить, что спрос на установку кондиционеров в апреле больше чем в марте в 2 раза, мае больше чем в апреле на 15 штук, а в июне в 5 раз больше, чем в марте. Сегодня 26 марта и до конца месяца компания планирует установить только один кондиционер, а за прошедшие дни марта было установлено 8 агрегатов. Затраты компании на размещение заказа и доставку кондиционеров от производителя в город Ч. в апреле в связи с весенней слякотью и состоянием дорог после зимы составляют 6 тыс. рублей, в мае расходы сокращаются до 4,5 тыс. рублей, в июле же компания производитель кондиционеров получает огромное количество заказов, и стоимость оформления и отгрузки заказа в срок возрастает снова до 6 тыс. рублей. Разработайте оптимальную стратегию управления запасами на следующие 3 месяца компании «ПОГОДОФФ» и в соответствии с ней найдите максимальную прибыль компании на следующие 3 месяца.

43. Фирма по установке балконов заранее планирует свою работу, в силу малочисленности работников. На следующие три недели запланировано остекление и внутренняя отделка 3, 4, 2 балконов, соответственно. Склад и офис у компании находятся в одном месте, поэтому хранение комплектующих для, так сказать, модернизации балкона, обходится достаточно дорого за один комплект, в 500 рублей в неделю. Весь набор стекол, металлических рам, и дерева для внутренний обшивки стандратного балкона обходится в 5000 рублей при покупке менее 5 комплектов, и в 4000 при покупке 5 и более комплектов. В тоже время, если закупается менее 5 комплектов, то товар увозится на машине мастера, старенькой 8-ке, а при покупке 5 и более комплектов приходится заказывать Газель. В первом случае доставка обходится в 200 рублей, а во втором в 600. Определите оптимальный план закупа комплектующих для ремонта на ближайшие три недели. На начало этих трех недель на складе есть 2 комплекта материалов.

44. На заводе нетканных материалов «
·-waterlaid», производящем одноразовую одежду и гигиенические средства, специалистам отдела закупок поступило распоряжение от совета директоров. Согласно распоряжению, им необходимо составить план закупок спанбонда, минимизирующий затраты компанию на транспортировку, хранение материала и прочие накладные расходы, на 5 месяцев. Отдел продаж предоставил прогноз продаж на этот период, который отдел закупок перевел в единицы необходимого сырья. План потребления сырья выглядит следующим образом:

Месяц
апрель
май
июнь
июль
август

Объем сырья, тонн
15
20
25
25
20

Сырье производится на фабрике в Италии и доставляется фурами. Стоимость спанбонда составляет 2,5 евро за кг. При закупке свыше 30 тонн, завод производитель предоставляет скидку в 20%. Стандартная норма отгрузки – 5 тонный контейнер. Партиями меньшего размера спанбонд не отпускается. Фура может перевозить до 20 тонн, но при этом стоимость транспортировки недогруженной фуры не уменьшается. До конца второго квартала, доставка продукции на фуре будет стоить 2500 евро. С третьего квартала, стоимость транспортировки возрастет до 2800 евро. Накладные расходы на транспортировку, зависят от размера закупаемой партии и составляют 20% от стоимости груза при закупке до 30 тонн, 15% - при закупке до 50 тонн, и 10% - при закупке 50 тонн и выше. Стоимость хранения 10 кг спанбонда составляет 1 евро в месяц. При этом, отделу закупок необходимо учесть тот, факт, что в конце июня планируется переезд на новый склад, что приведет к подорожанию затрат на хранение в июне до 1,6 евро за 10 кг в месяц, затем эта стоимость вернется на прежний уровень. На начало рассматриваемого периода на складе компании имеется 5 тонн материала.

Задачи к разделу 3.1

45. Случайный спрос на изделия в течение одного этапа описывается следующей плотностью вероятности:
13 EMBED Equation.3 1415
Спрос возникает мгновенно в начале этапа, а удельные затраты на хранение и потери от штрафов за дефицит в течение этапа равны 10 и 40 рублей соответственно. Удельные затраты на приобретение изделия составляют 30 рублей. Найти оптимальный размер заказа при исходном запасе 9 изделий.

46. Спрос на выпускаемое цехом изделие в течение 36 месяцев колебался в пределах от 40 до 80 штук в месяц. Себестоимость производства одного изделия ( 20 ден. ед., потери от нехватки одного изделия (в том числе, упущенная прибыль) оценивается руководством в 50 ден. ед., стоимость хранения одного изделия (сюда входит и стоимость «омертвленных» средств) полагается равным 10 ден. ед. Считая, что спрос является случайной величиной с равномерным законом распределения вероятностей, определить какое количество приборов нужно изготовить в текущем месяце с тем, чтобы ожидаемые издержки были минимальны, если на складе цеха имеется 12 изделий.

47. Случайный спрос на изделия в течение одного этапа описывается следующей функцией плотности вероятности:
13 EMBED Equation.3 1415
Спрос возникает мгновенно в начале этапа, а удельные затраты на хранение и потери от штрафов за дефицит в течение этапа равны 3 и 9 рублей соответственно. Удельные затраты на приобретение изделия составляют 5 рублей. Найти оптимальный размер заказа при исходном запасе в 35 изделий.

48. Новый менеджер завода "ДрамМашина" обнаружил, что спрос на продукцию завода (специальные барабаны), за два последних года ни разу не был меньше 20 и больше 60 штук в месяц. Заказ материалов для барабана у поставщика носил хаотичный характер, не смотря на то, что за не своевременную поставку готовых барабанов завод платил издержки в размере 18000 рублей за один барабан. Используя свои знания в области статистики, он оценил плотность вероятности спроса. И хотя его оценка не была идеальной, она должна ему помочь в определении оптимального размера заказа. Пусть оценка функции плотности распределения имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
Затраты на закупку материалов для одного барабана равнялись 12000 рублей, а затраты на хранение одного комплекта материалов – 2000 в месяц. Определите оптимальную величину заказа.

49. Футбольному клубу "Спартак" в течение текущего сезона необходимо отремонтировать свой стадион. При этом для ускорения процесса, ремонт и модернизацию стадиона можно начать в течение сезона, закрыв на стадионе несколько секторов. Общая вместимость стадиона составляет 30000 человек. Посещаемость в течение сезона зависит от результатов команды, качества игры, и уровня соперника в каждом конкретном матче. Президент клуба поручил аналитическому отделу исследовать посещаемость по статистке предыдущих двух сезонов. Аналитический отдел пришел к выводу, что посещаемость распределена (с некоторыми допущениями) по равномерному закону распределения на интервале от 5000 до 28000. Предложите ваш вариант решения вопроса о том, какое количество мест на стадионе можно закрыть на реконструкцию, исходя из полученных данных по посещаемости, и минимизации затрат клуба на подготовку стадиона к матчам, поддержание его в нормальном состояние, а также минимизации незапланированных потерь от нехватки билетов. Средняя стоимость билета в новом сезоне – 200 рублей. Затраты на подготовку стадиона к матчу в пересчете на одно место равняются 100 рублям, а поддержание одного места на стадионе в нормальном состоянии (уборка, ремонт, покраска) составляют в среднем 40 рублей.

50. Производитель спортивной одежды компания "Reemok" определяет необходимые для максимального удовлетворения спроса объемы производства спортивной амуниции для гольфа. Согласно наблюдениям отдела маркетинга компании, спрос на указанную амуницию распределен по нормальному закону распределения со средним 3000 комплектов и стандартным отклонением, равным 400. Стоимость одно комплекта амуниции составляется 300 долларов, а затраты на его производство и доставку до магазинов 120 долларов. Затраты на хранение для компании не представляются существенными, поскольку поставки осуществляются напрямую в магазины. Компании очень важно определить наиболее оптимальные объемы производства и не произвести лишних комплектов, поскольку на каждый новый сезон Reemok разрабатывает новую коллекцию. Предложите ваше решение данной проблемы.

51. Стоимость закупки ткани, раскроя и пошива горнолыжного костюма 25 денежных единиц. Горнолыжные костюмы товар сезонный, который продается особенно хорошо в период с ноября по февраль, спрос на них в этот период распределён равномерно на интервале [30;190]. Предположим, что удельные затраты на хранение одного костюма составляют 5 денежных единиц. Определите, какой размер удельных потерь от неудовлетворённого спроса предполагается в оптимальных условиях, если принята стратегия производства 120 костюмов в сезон.

52. Затраты на приобретение единицы необходимой в производстве продукции равны 15 денежных единиц, затраты на хранение единицы такой продукции а течении этапа составляют 6 денежных единиц, штраф за нехватку единицы продукции равен p денежных единицы. Найдите наибольшее возможное значение p, если размер заказа равен 5 штук. В таблице приведены возможные значения спроса и соответствующие им вероятности.


·
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9


·(
·)
0,05
0,07
0,12
0,18
0,24
0,19
0,06
0,04
0,04
0,01


5. ОТВЕТЫ
1. y*=24 мешка, R=3 мешка.
2.
·=625.
3. y*=60, R=51,6 кг; квартальные затраты ( 67,5 д.е.; Экономия – 0,35 д.е.
4. Если спрос менее 2000 единиц, то применять первую стратегию, в обратном случае – вторую. Вторая стратегия используется с вероятностью 75%.
5. y*=49, R=2.
6. S(y*1)= 119 383,87; S(y*2)= 47 320,50. Выгоднее производить изделия.
7. yопт=142 мешка, скидкой пользоваться не стоит.
8. yопт=200, необходимо воспользоваться скидкой; R=31,5.
9. yопт=30 бутылок. Не стоит пользоваться спецпредложением.
10. yопт =3000 кг, скидкой необходимо пользоваться. Заказ нужно оформлять, когда на складе осталось 1140 кг латекса, S(y)13 EMBED Equation.3 1415225 833 рублей.
11. Скидкой необходимо пользоваться, yопт =5000 штук комплектующих изделий. Заказ необходимо делать, когда на складе осталось 960 штук комплектующих изделий.
12. y*=90, R=26.5 инструментов.
13. y* =800, y* -q*=200.
14. y* =15, R= 3, (y* -q*)=3.
15. y* =36 комплектов, R=1 комплект. S(y)=32000 рублей.
16. y*=10, q*=8.
17. y*=805, S(y) 13 EMBED Equation.3 141512000 рублей.
18. y*=28, q*=26, R=15.5
19. y*=1329, d=63, R=970, S(y*,q*)=632.45.
20. y*=8000, (*=2, S(y*)=8000.
21. y*=34641, S(y*)=11 547,01.
22. y*=601.
23. y*=600, S(y*)=303.03.
24. y*=1000 кг, (=1.
25. Прибыль 30 рублей в месяц, издержки Марии Владимировны на одно яйцо 7,9р в неделю а на одну курицу 35,55р, максимум 2 курицы.
26. 1. y*=22,58, S(y*)=60 221,81; 2. (=10.055 тн.
27. y*=245, т.е. необходимо заказывать 31 автовоз.
28. y*=2190.8 кг, H=2668 рублей
29. d*=3.17, y*=300.
30. d*=160, S(q*,d*)=123200, y*=1600.
31. y*=15000, 13 EMBED Equation.3 14150,35 дня, на 12 день.
32. y*=4 039 801 шт, q*=792 118 шт
33. y*=40, P(q*,d*)=1648,09.
34. y*=45, около 10 минут в час.
35. S1=3415.65, S2=2510.79, y*2=96124.92 кг. Разгрузка займет 44 часа 16 минут.
36. y1=250, y2=235, y3=215, y4=175, y5=120, y6=100; S(y1,..,y6)=542; затраты уменьшаться на 80 д.е.
37. y1=4, y2=3, y3=5, y4=0,C(y1..4)=150.
38. y1=1, y2=3, y3=5.
39. y1=2142, y2=,0, y3=714, y4=1029, S(y1,..,y4)=255 213.
40. y1=520, y2=0, y3=760, y4=0, y5=0, S(y1,...,y5)=105 890.
41.первый вариант y1=130, y2=0, y3=0, y4=30, y5=40, S(y1,...,y5)=105 400;
второй вариант y1=80, y2=0, y3=50, y4=30, y5=40, S(y1,...,y5)=105 890
42. y1=18, y2=33, y3=45, S(y1, y2, ,y3)=4816,5; Прибыль – 1440.
43. y1=1, y2=6, y3=0, S(y1, y2, ,y3)= 30 800.
44. y1=30 000 кг, y2=0, y3=50 000, y4=0, y5=20 000, S(y1,...,y5) = 246 800.
45. Необходимо заказывать 5 изделий.
46. Необходимо произвести 48 изделий.
47. Необходимо заказывать 45 изделий.
48. y*=32.
49. y*13 EMBED Equation.3 141514591, Закрыть на ремонт можно максимум 15409 мест.
50. y*13 EMBED Equation.3 14153101, для решения воспользуйтесь программой Excel, функция «Нормобр».
51. p=63,57 д.е.
52. p=134.

Литература
Таха Х.А. Введение в исследование операций, 6-е издание.: Пер. с англ. – М.:Издательский дом «Вильямс», 2001.
· 912с.
Костевич Л.С., Лапко А.А. Теория игр. Исследование операций:[Учеб. пособие для эконом. cпец. вузов].
· Мн.: Выш. школа, 1981.
· 231с.
Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие.
· 2-е изд., перераб. и испр. / Под науч. ред. проф. Б.А. Суслакова.
· М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Кє», 2006.
·352с.

СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение 3
2. Детерминированные модели. 4
2.1. Однопродуктовая статическая модель без дефицита 4
2.2. Однопродуктовая статическая модель
при допущении дефицита 7
2.3. Однопродуктовая статическая модель при
непрерывном поступлении заказа без дефицита 11
Однопродуктовая статическая модель при
непрерывном поступлении заказа при допущении дефицита 13
Однопродуктовая n ( этапная динамическая
модель без дефицита.. 16
3. Вероятностные модели 23
Одноэтапная модель с мгновенным спросом при
отсутствии затрат на оформление заказа.. 23
4. Задачи для самостоятельного решения 24
Задачи к разделу 2.1. 24
Задачи к разделу 2.2.. 28
Задачи к разделу 2.3. 31
Задачи к разделу 2.4.. 34
Задачи к разделу 2.5.. 37
Задачи к разделу 3.1.. 42
5. Ответы. 44
6. Литература.. 46










13PAGE 15


13PAGE 142415



Рис 1

Рис 3

Рис 4

Рис 5

0 B

D

F

С

S1(y)

S2(y)

0

S1(y*)

y* q

y1

Рис. 2

S2(q)


q

S2(q)



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeЎ: 15Times New Roman

Приложенные файлы

  • doc 434116
    Размер файла: 639 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий