Лабораторная работа 1 ТПР

Лабораторная работа № 1
Элементы теории нечетких множеств для принятия решений.

Цель работы:
познакомиться с понятием нечетких множеств;
рассмотреть операции, возможные на нечетких множествах;
изучить процесс принятия решений на основе теории нечетких множеств;
решить задачу поиска перспективного ассортимента предприятия оптовой торговли (по вариантам).

Теоретический материал
Теория нечетких множеств – раздел прикладной математики, посвященный методам анализа неопределенных данных, в которых описание неопределенностей реальных явлений и процессов проводится с помощью понятия о множествах, не имеющих четких границ.
Теория нечетких множеств – это расширение классической теории множеств. В классической теории множеств принадлежность элементов некоторому множеству понимается в бинарных терминах в соответствии с четким условием – элемент либо принадлежит, либо не принадлежит данному множеству. В теории нечетких множеств допускается градуированное понимание принадлежности элемента множеству; степень принадлежности элемента описывается при помощи [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Переход от принадлежности элементов заданному множеству к непринадлежности их этому множеству может происходить постепенно, не резко.
Нечеткие или размытые множества - понятие, предложенное американским специалистом в области теории управления Л.Л.Заде в 1965 г. для описания и исследования сложных систем, когда применение точного количественного анализа оказывается малоэффективным. Исходный термин - fuzzy set. Другие варианты перевода на русский язык - нечеткое, расплывчатое, размытое, туманное, пушистое множество. К настоящему времени уже можно говорить об обширном разделе нечеткая математика, который активно используется при рассмотрении задач экономического, социального, политического характера, в психологии, распознавании и классификации образов, в лингвистике и теории языков и т.д.
Элементы теории нечетких множеств успешно применяются для принятия решений, в теории и практике управления системами, в экономике и финансах для решения задач в условиях неопределенности ключевых показателей.

Теория нечетких множеств в определенном смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Пусть имеется некоторое (так называемое универсальное) множество А.

Нечеткое множество Х в А задается своей функцией принадлежности
·х, ставящей в соответствие каждому элементу х множества А определенное число
·х(х), из отрезка [0, 1], которое интерпретируется как степень принадлежности элемента х нечеткому множеству Х. Функция принадлежности
·A(x) количественно градуирует принадлежность элементов x фундаментальному множеству X. Отображение элемента в значение 0 означает, что элемент не принадлежит данному множеству, значение 1 описывает полную принадлежность элемента множеству. Значения, лежащие строго между 0 и 1, характеризуют «нечёткие» элементы.
Пустому нечеткому множеству соответствует функция принадлежности, тождественно равная нулю на множестве А.
Нечеткое множество унимодально,
·A(x)=1 только на одном х из А.
Нечеткие множества Х и Y считают равными и при этом пишут X = Y, если совпадают их функции принадлежности. Нечеткое множество Х называется подмножеством нечеткого множества Y, если их функции принадлежности связаны неравенством
·х(х)(
·Y(х) для всех х из множества А.

Примерами нечетких множеств могут служить множества «чисел, близких к нулю», «очень больших чисел», «новых предприятий», «больших городов», «знаков, похожих на букву А» и т.д.
В прикладных задачах конкретный вид функции принадлежности определяется с учетом специфики задачи и иногда это может оказаться непростым делом.
В теории нечетких множеств по аналогии с обычной теорией множеств вводятся операции объединения, пересечения, дополнения и др., которые чаще всего определяются как нечеткие множества с функциями принадлежности соответственно
13EMBED Equation.31415
для каждого х из множества А. Многие известные свойства теоретико-множественных операций справедливы и для нечетких множеств. Но существуют и отличия. Например, объединение дополнения данного множества с самим этим множеством не обязательно совпадает с универсальным множеством А.
Обычные множества представляют собой частный случай нечетких множеств, когда функция принадлежности принимает лишь два значения - 0 либо 1. При этом приведенные выше операции над нечеткими множествами в случае такой функции принадлежности превращаются в известные теоретико-множественные операциями над обычными множествами.
Нечеткое число определяется как нечеткое подмножество множества вещественных чисел, т. е как функция, заданная на множестве чисел и принимающая значения в пределах от нуля до единицы.
Нечеткая функция из Х в Y определяется как нечеткое множество на (четком) декартовом произведении Х х Y. Иными словами, нечеткая функция указывает каждой паре х, у из соответствующих множеств некоторое число в пределах от нуля до единицы, которое можно интерпретировать как степень соответствия.
В настоящее время существуют такие понятия как нечеткая производная, нечеткий интеграл и многие другие обобщения широко известных понятий математики.
Активно разрабатывается раздел нечеткая логика. Это направление имеет многочисленные применения в практике. Например, уже сравнительно давно на мировом рынке компьютеров продаются модели, основанные на нечеткой логике. При решении определенных задач они оказываются эффективнее обычных компьютеров.
Величина называется высотой нечеткого множества Х. Нечеткое множество Х нормально, если его высота равна 1, т.е верхняя граница его функции принадлежности равна 1 . При нечеткое множество называется субнормальным.

Необходимость введения нечетких множеств (НМ) обоснована тем, что по мере роста сложности систем падает наша способность делать точные и значащие утверждения относительно поведения системы.
Таблица 1

Классические системы
В размытом множестве

Предикаты
«истинно» и «ложно»
«высокий», «большой», «скоро» и т.д.

Модификатор предикатов
отрицание
«очень», «более или менее», «вполне»

Кванторы
Существования, всеобщности
«несколько», «главным образом», «почти всегда»


Таблица 2.
Пример 1. Понятие «высокий»
Рост
(A (ui)

2,20
2,10
2,00
1,90
1,80
1,70
1,60
1
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0

Отличие (A(ui) от функции распределения случайной величины: ( - функция, определяющая субъективное мнение специалиста, а функция распределения – это объективный закон, независимый от отношения специалиста к этому явлению.

Способы задания отношений га нечетком множестве:
теоретико-множественный, матричный, графический и с помощью нечетких предикатов.

Теоретико-множественный: перечисление X= (Xi( и задание 13EMBED Equation.31415 = ((F (xi, xj), (xi, xj)(, где (xi, xj)(X2.
Матричный: задается матрица смежности R( , где на пересечении i-ой строки и j – го столбца стоит rij = (F (xi, xj).
Можно задать 13EMBED Equation.31415 в виде графа с множеством вершин X, дугами (xi, xj), которым приписано (F (xi, xj).
13EMBED Equation.31415 = ( X, 13EMBED Equation.31415) – нечеткое отношение, если (F (a, b) ( F; a, b ( X, то a13EMBED Equation.31415 b – нечеткое логическое высказывание, значение истинности которого (F (a, b).

Размытое число (РЧ) используется для обозначения неточно определяемой величины, такой как «около 5». РЧ – это любое подмножество ( = (x, (m (x)(, где x – число на прямой R и , (m (x)( (0,1(.
Два числа равны, если их меры членства равны.
РЧ может быть представлено в дискретной или непрерывной форме.

Лингвистическая переменная (ЛП) - переменная, заданная на некоторой количественной шкале и принимающая значения в виде слов и словосочетаний естественного языка.
Значение ЛП описывается нечеткими переменными. Любая ЛП связана с конкретной количественной шкалой. Эта шкала называется базовой. Масштаб шкалы может быть любой.

Трапезоидные нечеткие числа
Исследуем некоторую квазистатистику и зададим лингвистическую переменную
( = «Значение параметра U», где U – множество значений носителя квазистатистики. Выделим два терм-множества значений: T1 = «U у лежит в диапазоне примерно от a до b» с нечетким подмножеством М1 и безымянное значение T2 с нечетким подмножеством М2, причем выполняется М2 = ( М1. Тогда функция принадлежности (T1(u) имеет трапезоидный вид, как показано на рисунке 1.
13EMBED Excel.Chart.81415
Рис. 1. Функция принадлежности трапециевидного нечеткого числа
Поскольку границы интервала заданы нечетко, то разумно ввести абсциссы вершин трапеции следующим образом:
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415,
(1)

при этом отстояние вершин а1, а2 и b1, b2 соответственно друг от друга обуславливается тем, что какую семантику мы вкладываем в понятие «примерно»: чем больше разброс квазистатистики, тем боковые ребра трапеции являются более пологими. В предельном случае понятие «примерно» вырождается в понятие «где угодно».
Если мы оцениваем параметр качественно, например, высказавшись «Это значение параметра является средним», необходимо ввести уточняющее высказывание типа «Среднее значение – это примерно от a до b», которое есть предмет экспертной оценки (нечеткой классификации), и тогда можно использовать для моделирования нечетких классификаций трапезоидные числа. На самом деле, это самый естественной способ неуверенной классификации.

Треугольные нечеткие числа
Теперь для той же лингвистической переменной зададим терм-множество Т1={U приблизительно равно а}. Ясно, что а ( ( ( а, причем по мере убывания ( до нуля степень уверенности в оценке растет до единицы. Это, с точки зрения функции принадлежности, придает последней треугольный вид (рис. 2), причем степень приближения характеризуется экспертом.
13EMBED Excel.Chart.81415
Рис. 2. Функция принадлежности треугольного нечеткого числа
Треугольные числа – это самый часто используемый на практике тип нечетких чисел, причем чаще всего - в качестве прогнозных значений параметра.

Из существа операций с трапезоидными числами можно сделать ряд важных утверждений (без доказательства):
- действительное число есть частный случай треугольного нечеткого числа;
- сумма треугольных чисел есть треугольное число;
- треугольное (трапезоидное) число, умноженное на действительное число, есть треугольное (трапезоидное) число;
- сумма трапезоидных чисел есть трапезоидное число;
- сумма треугольного и трапезоидного чисел есть трапезоидное число.

Методы построения функций принадлежности нечетких множеств
В классических множествах подмножества формируются так, что принадлежность элементов носителя этим подмножествам является абсолютной. Например, если носитель – множество действительных чисел, а подмножество – целые положительные числа, то все соответствующие точки носителя (1,2, 3, ) принадлежат этому подмножеству со степенью принадлежности 1.
Другое дело, если носитель – человеческий возраст, а подмножество этого носителя – «взрослые люди». Тогда эксперт, устанавливающий связь между множеством возрастов и подмножеством взрослых людей, может испытывать известные затруднения в ходе такой «мягкой» классификации. Может даже показаться, что такая классификация – дело сугубо субъективное. Однако в большинстве случаев дефиниции качественных понятий существует некая конвенциональная, разделяемая большинством человеческого сообщества, точка зрения, которая, к тому же, опирается на распространённые физические измерители. Так, «высокая температура» у человека начинается с 37 градусов по Цельсию, и с этим никто спорить не станет. Точно так же, понятие «оптимальный возраст работника» базируется на способности человека к долговременному труду, к накоплению и переработке информации и т. д., и эта способность снижается по мере старения. Все это дает основания для «мягкой» классификации.
Итак, нечёткое множество – это подмножество некоторого множества-носителя, принадлежность элементов носителя к которому устанавливается введенной экспертом или экспертным сообществом функцией принадлежности. Очень часто нечёткое множество применяется как инструмент установления связи между количественными данными и качественными классами, организованными на этих данных.
При использовании прямых методов построения функций принадлежности нечетких множеств эксперт либо просто задает для каждого 13EMBED Equation.31415 значение 13EMBED Equation.31415, либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, давления, температура и т.д., или когда выделяются полярные значения.
Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить набор признаков и для каждого из них определить полярные значения, соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1.
Например, в задаче распознавания лиц можно выделить следующие шкалы:

0
1

х1
Высота лба
низкий
широкий

х2
Длина носа
короткий
длинный

х3
Разрез глаз
узкие
широкие

х4
Цвет глаз
светлые
темные

х5
Форма подбородка
остроконечный
квадратный

х6
Толщина губ
тонкие
толстые

х7
Цвет лица
темный
светлый

х8
Очертание лица
овальное
квадратное

Для конкретного лица Х эксперт, исходя из приведенной шкалы, задает 13EMBED Equation.31415, формируя векторную функцию принадлежности 13EMBED Equation.31415.
При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо, и каждый должен дать один из двух ответов: «этот человек лысый» или «этот человек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение 13EMBED Equation.31415(данного лица).
Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, 13EMBED Equation.31415, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений 13EMBED Equation.31415 (операция деления).
На практике сам эксперт формирует матрицу Х, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричный относительно диагонали 13EMBED Equation.31415, т.е. если один элемент оценивается в
· раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/
· раз сильнее, чем первый. В общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида 13EMBED Equation.31415– наибольшее собственное значение матрицы Х. Поскольку матрица Х положительна по построению, решение данной задачи существует и является положительным.
Экспертные оценки альтернативных вариантов по критериям могут быть представлены как нечеткие множества или числа, выраженные с помощью функций принадлежности. Для упорядочения нечетких чисел существует множество методов, которые отличаются друг от друга способом свертки и построения нечетких отношений. Последние можно определить как отношения предпочтительности между объектами. Рассмотрим одну из математических постановок задач принятия решений на основе теории нечетких множеств для поиска перспективного ассортимента оптового предприятия.

Методика выполнения
Конкретные примеры решения такого рода задач довольно громоздки ввиду объемных вычислений с использованием матриц больших размеров. На складах оптовых предприятий, например, могут находиться сотни наименований товаров одного профиля, эти предприятия осуществляют поставки десяткам потребителей – розничных магазинов. Для получения более или менее адекватной модели используется до двух десятков признаков, а построение функции принадлежности осуществляется с помощью нескольких экспертов, после чего производятся дополнительные «сглаживающие» вычисления.
В приведенной ниже задаче рассмотрен условный случай. Оптовое предприятие обслуживает всего четыре потребителя и поставляет им менее десяти наименований товаров. При оценке используются всего четыре признака.
Пример 2. Вычисление проводится для летнего сезона.
Дано Х= {x1, x2, x3, x4, x5, x6} – шесть наименований обувных товаров, имеющихся на складе оптового торгового предприятия или выдвигаемых в качестве коммерческих предложений, а именно: x1 –валенки; x2 – пляжные шлепанцы; x3 – резиновые сапоги; x4 – туфли из натуральной кожи; x5 – кроссовки; x6 – парусиновые туфли.
Y= {y1, y2, y3, y4} – множество признаков товаров, а именно; у1 – сезонность; у2 – цена; у3 – качество; у4 – внешний вид.
Z = {z1, z2, z3, z4} – множество розничных торговых предприятий, а именно: z1 – рынок; z2 – сетевой магазин; z3 – бутик; z4 – эконом.
Функции принадлежности нечетких бинарных отношений
·R : X x Y [0, 1] и
·: Y x Z [0, 1] представляются в виде матриц R и S следующим образом:





Определите перспективный ассортимент предприятия оптовой торговли, т.е. набор xj для удовлетворения предполагаемых запросов из Z.
Решение. Из матриц R и S получаем матрицу Т, элементы которой определяются по формуле







Далее строится матрица:



где ^ означает операцию попарного минимума.
Порог разделения l ассортимента ограничивается условием

Для определения порога определяем максимальные значения
· в каждом из столбцов матрицы W. Это числа 0,5; 0,611; 0,533; 0,5 и 0,367. Следовательно, l < 0,367. Находим в матрице Т наибольшее значение, меньшее 0,367, и получаем 0,356. Итак, l = 0,356.
После того как порог l выбран, z определяется уровневое множество:

Ответ. М1 = {x2, x4, x5, x6}; М2 = {x1, x2, x3, x4, x5, x6}; М3 = {x2, x4, x5}; М4 = {x1, x2, x3, x6}.
Как видно из условия задачи, для потребителя z1 (рынок) наиболее важными характеристиками товаров являются сезонность и внешний вид. Поэтому в множество М1 попали товары ходовые, легко реализуемые летом и к тому же способные украсить витрину (шлепанцы, кожаные и парусиновые туфли, кроссовки). Сетевой магазин z2, ориентирующийся на самый широкий спектр покупателей и к тому же не стесненный в складских помещениях, готов принять любые товары из имеющихся на складе оптового предприятия. Относительно потребителей z3 и z4 выводы сделайте самостоятельно.

Задания на лабораторную работу
Вариант 1. Решите эту же задачу при условии, что вычисления проводятся для осеннего сезона.
Дано:
Х= {x1, x2, x3, x4, x5, x6} – товары, Z = {z1, z2, z3, z4} – магазины, Y= {y1, y2, y3, y4} – множество признаков товаров. С наступлением осени меняется сезонная характеристика товаров (первый столбец матрицы R), а матрица S остается без изменений:

Определите перспективный ассортимент предприятия оптовой торговли.
Вариант 2. На оптовом рынке появляется новый товар – зимние сапоги на меху, все остальные условия предыдущего задания сохраняются, вычисления производятся для осеннего сезона.
Дано:
Х= {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} – товары, причем x7 –новый товар, а первые шесть – прежние. Z = {z1, z2, z3, z4} – магазины, Y= {y1, y2, y3, y4} – множество признаков товаров. Матрица R принимает размерность 7 х 4, а матрица S остается без изменений:

Определите перспективный ассортимент предприятия оптовой торговли.

Вариант 3. Производитель парусиновых туфель прекратил их изготовление. Одновременно на оптовом рынке появляется еще один товар – зимние ботинки из кожзаменителя. Обозначим его за х6 взамен выбывшего товара. Все остальные условия предыдущего задания сохраняются, вычисления проводятся для осеннего сезона.
Дано:
Х= {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} – товары, причем x6 –зимние ботинки, x7 –зимние сапоги, а первые пять – прежние товары. Z = {z1, z2, z3, z4} – магазины, Y= {y1, y2, y3, y4} – множество признаков товаров. В матрице R меняется шестая строка, а матрица S остается без изменений:

Определите перспективный ассортимент предприятия оптовой торговли.

Порядок выполнения работы
Изучить теоретическую часть.
Построить функцию принадлежности нечетких множеств (по вариантам).
Решить задачу на основе метода нечетких множеств.

Контрольные вопросы:
Чем теория нечетких множеств отличается от классической теории множеств?
Какое множество называется нечетким или размытым?
Что называется функцией принадлежности?
Какое множество называется: а) пустым; б) унимодальным; в) подмножеством?
Приведите примеры нечетких множеств.
Перечислите операции, допустимые на нечетких множествах.
Что называется нечетким числом?
Перечислите методы построения функций принадлежности нечетких множеств.



Рисунок 278Рисунок 280Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native_-* #,##0_р_._-;\-* #,##0_р_._-;_-* "-"_р_._-;[email protected]_-О{,;
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0.00_р_._-;\-* #,##0.00_р_._-;_-* "-"??_р_._-;[email protected]_-О ¤
·
·
·
·
·
·Ф 20% - Акцент1
·

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·20% - Акцент3
·13

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·20% - Акцент5
·15

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·40% - Акцент1
·

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·40% - Акцент3
·

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·40% - Акцент5
·

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·60% - Акцент1
·

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·60% - Акцент3
·

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·60% - Акцент5
·!

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Акцент1
·13#

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Акцент3
·13%

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Акцент5
·13'

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ввод
·

Приложенные файлы

  • doc 220663
    Размер файла: 638 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий