TEORIA_M.DOC

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
1. Кинематика
1.1. Основные понятия раздела “Кинематика”
Кинематика - это раздел механики, в котором изучаются способы математического описания движения без выяснения его физических причин.
В механике рассматривается не движение реальных объектов, а их моделей.
Материальная точка - тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.
Абсолютно твердое тело, или, короче, твердое тело - это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения.
Системой отсчета называется тело отсчета вместе с приборами для измерения расстояний и промежутков времени. С телом отсчета часто связывается система координат.
Траекторией называется линия, по которой материальная точка движется в пространстве.
Все возможные движения твердого тела можно делятся на пять видов: 1) поступательное, 2) вращение вокруг неподвижной оси, 3) плоское движение, 4) движение вокруг неподвижной точки и 5) свободное движение. Первые два движения являются основными, т.к. остальные виды можно свести к совокупности основных движений.
Поступательное движение твердого тела - это такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают одинаковые перемещения и поэтому скорости и ускорения всех точек тела в один и тот же момент времени одинаковы.
При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, которая называется осью вращения.
Существуют три способа описания движения: векторный, координатный и “естественный”. Приведем определения кинематических величин для каждого способа описания.
1.2. Определения кинематических величин
Положение и перемещение материальной точки
При векторном способе описания положение материальной точки определяется радиусом-вектором r(t), проведенным от некоторой неподвижной точки О выбранной системы отсчета к рассматриваемой точке. При координатном способе описания положение материальной точки определяется ее координатами x(t), y(t), z(t). При естественном способе описания положение точки задается с помощью криволинейной координаты s(t). Для этого на траектории указывается начало координат и положительное направление отсчета координаты s.








Вектор перемещения (r = r(t+(t)-r(t). Перемещения по осям координат (x = x(t+(t) - x(t), (y = y(t+(t) - y(t), могут быть как положительными (точка перемещается по оси координат), так и отрицательными (точка перемещается против оси координат). При естественном способе описания рассматривается изменение криволинейной координаты (s = s(t+(t) - s(t).
Скорость
Средней скоростью перемещения называется отношение вектора перемещения к тому промежутку времени, за который это перемещение произошло: 13 EMBED Equation.2 1415. При координатном способе описания вводятся средние значения проекций скорости 13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415. Средней путевой скоростью называется отношение пути s к тому промежутку времени t, за который этот путь пройден: 13 EMBED Equation.2 1415.
Мгновенная скорость - это скорость в данный момент времени. Устремив (t ( 0, получаем:
13 EMBED Equation.2 1415,
т.е. вектор скорости точки в данный момент времени равен производной от радиуса-вектора r по времени t. Аналогично определяются проекции вектора скорости:
13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415.
Модуль вектора мгновенной скорости легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении 13 EMBED Equation.2 1415. При естественном способе описания мгновенная скорость равна производной от криволинейной координаты по времени:
13 EMBED Equation.2 1415.
Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.
Ускорение
Ускорение характеризует быстроту изменения скорости.
При векторном способе описания среднее ускорение равно отношению изменения скорости к тому промежутку времени, за который это произошло это изменение:
13 EMBED Equation.2 1415
При координатном способе описания средние значения проекций ускорения определяются следующими выражениями:
13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415.
Чтобы перейти к мгновенным значениям ускорения, следует устремить (t ( 0.
13 EMBED Equation.2 1415,
т.е. ускорение равно производной вектора скорости по времени. Аналогичными выражениями определяются проекции вектора ускорения:
13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415.
Модуль вектора мгновенного ускорения легко находится по теореме Пифагора. При двумерном движении 13 EMBED Equation.2 1415.
Перейдем к естественному способу описания движения. Поскольку скорость может изменяться как по величине, так и по направлению, с каждым из этих изменений связана составляющая вектора полного ускорения.
Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по величине, называется тангенциальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным по касательной к траектории, как и сама скорость. При ускоренном движении тангенциальная составляющая совпадает с вектором скорости, при замедленном - противоположна. Величина тангенциального ускорения равна производной от модуля вектора скорости по времени:
13 EMBED Equation.2 1415.
Составляющая ускорения, характеризующая быстроту изменения скорости по направлению, называется нормальным ускорением. Она связана с приращением вектора скорости, направленным перпендикулярно касательной к траектории и равна
13 EMBED Equation.2 1415,
где R - радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории:
Вектор полного ускорения
13 EMBED Equation.2 1415
Его модуль легко найти по теореме Пифагора:
13 EMBED Equation.2 1415.
1.3. Кинематика вращательного движения
Положение точки при ее движении по окружности
При вращательном движении по окружности радиуса R ее положение можно задать угловой координатой ((t), а ее перемещение - изменением угловой координаты (( = ((t+(t) - ((t).
Бесконечно малый угол поворота d( можно рассматривать как псевдовектор, направление которого связано с направлением вращения правилом правого винта (или правилом буравчика). При движении по часовой стрелке d( направлен перпендикулярно плоскости рисунка “от нас”, при движении против часовой стрелки - “к нам”.
Число оборотов при вращательном движении связано с углом поворота соотношением: 13 EMBED Equation.2 1415.
Угловая скорость
Угловая скорость характеризует быстроту вращения. Средняя угловая скорость равна отношению угла поворота к тому промежутку времени, за который произошел этот поворот:
13 EMBED Equation.2 1415.
Мгновенная угловая скорость равна производной угловой координаты по времени:
13 EMBED Equation.2 1415.
Это псевдовектор, его направление связано с направлением вращения правилом буравчика.
Нередко вместо угловой скорости вводится частота вращения n, т.е. число оборотов за единицу времени, а также (в случае равномерного вращения) период T, т.е. время одного оборота.
13 EMBED Equation.2 1415.
Угловое ускорение
Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости. Среднее угловое ускорение равно отношению изменения угловой скорости к тому промежутку времени, за который произошло это изменение:
13 EMBED Equation.2 1415.
Мгновенное угловое ускорение равно производной от угловой скорости по времени:
13 EMBED Equation.2 1415.
Угловое ускорение - тоже псевдовектор; его направление совпадает с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположно ему - при замедленном вращении.
Связи между линейными и угловыми величинами
Движение по окружности - частный случай движения по криволинейной траектории. Поэтому оно характеризуется не только угловыми величинами - углом поворота, угловой скоростью и угловым ускорением, но и теми величинами, которые были введены при естественном способе описания, - криволинейной координатой s , скоростью, нормальным и тангенциальным ускорениями. Линейные и угловые величины связаны соотношениями:
13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415; 13 EMBED Equation.2 1415;
13 EMBED Equation.2 1415; 13 EMBED Equation.2 1415.
2. Законы динамики
2.1. Основные определения
Физические величины, характеризующие модели объектов
Масса m - мера инертности материальной точки или твердого тела при его поступательном движении. Инертностью называется свойство тел оказывать сопротивление при попытках привести его в движение или изменить величину или направление его скорости.
Момент инерции J - мера инертности при вращательном движении. Момент инерции материальной точки, находящейся на расстоянии r от оси вращения z, определяется формулой 13 EMBED Equation 1415. Момент инерции твердого тела как системы материальных точек равен 13 EMBED Equation 1415. Выражения для моментов инерции некоторых однородных твердых тел приведены в таблице 3:
Моменты инерции твердых тел Таблица 3
Твердое
тело
Ось
вращения
Момент
инерции

Шар радиуса R
Проходит через центр шара
2/5 13 EMBED Equation 1415

Сплошной цилиндр радиуса R
Совпадает с осью цилиндра
1/2 13 EMBED Equation 1415

Полый тонкостенный цилиндр радиуса R
Совпадает с осью цилиндра
13 EMBED Equation 1415

Тонкое кольцо радиуса R
Совпадает с осью кольца
13 EMBED Equation 1415


Совпадает с осью диска
1/2 13 EMBED Equation 1415

Тонкий диск радиуса R
Совпадает с диаметром диска
1/4 13 EMBED Equation 1415




Продолжение таблицы 3
Твердое
тело
Ось
вращения
Момент
инерции


Тонкий стержень длины l
Перпендикулярна стержню и проходит через его центр
1/12 13 EMBED Equation 1415


Перпендикулярна стержню и проходит через его конец
1/3 13 EMBED Equation 1415

Момент инерции относительно произвольной оси в ряде случаев можно рассчитать по теореме Штейнера: 13 EMBED Equation 1415, т.е. момент инерции J относительно произвольной оси z равен моменту инерции 13 EMBED Equation 1415 относительно оси 13 EMBED Equation 1415, параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния d между осями.
Физические величины, характеризующие воздействие на объект
Сила. В механике Ньютона количественной мерой взаимодействия тел является сила F. На тело, движение которого рассматривается в задаче, могут действовать тела, контактирующие с рассматриваемым телом, и поля - гравитационное, электрическое, магнитное (безконтактное взаимодействие).
Чаще всего на тело, движение которого описывается в задаче, действует не одна сила, а несколько: 13 EMBED Equation 1415 и т.д. В этом случае рассматривается равнодействующая сила, т.е. векторная сумма сил: 13 EMBED Equation 1415 .
Момент силы. При вращательном движении одна и та же сила может различным образом изменять скорость вращения. Мерой воздействия при вращательном движении является физическая величина, называемая моментом силы.
Моментом силы M относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора r, проведенного от точки О к точке приложения силы, и вектора силы F:
13 EMBED Equation 1415.
Модуль этого вектора равен:
13 EMBED Equation 1415,
где d - плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы.

Пусть твердое тело имеет неподвижную ось вращения z, вдоль которой направлены псевдовекторы угловой скорости ( и углового ускорения (. В этом случае на изменение характера вращения влияют только составляющие момента силы, ориентированные вдоль оси z. Следовательно, при применении законов динамики имеет смысл рассматривать только силы или составляющие сил, расположенные в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
2.2. Законы сил
Силы тяготения
Сила гравитационного притяжения действует между двумя материальными точками. В соответствии с законом всемирного тяготения эта сила пропорциональна произведению масс этих точек m1 и m2, обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти точки:
13 EMBED Equation.2 1415,
где G - гравитационная постоянная.
Гравитационным взаимодействием тела и космического объекта, в частности Земли, обусловлена сила тяжести mg. Гравитационную природу имеет и сила Архимеда.
Силы упругости.
Под действием внешних сил возникают деформации (т.е. изменения размеров и формы) тел. Если после прекращения действия внешних сил прежние формы и размеры тела восстанавливаются, то такая деформация называется упругой. В деформированном теле возникают упругие силы, которые уравновешивают внешние силы, вызвавшие деформацию. Установленный экспериментально закон Гука утверждает, что при упругой деформации величина деформации пропорциональна внешнему воздействию. Рассмотрим, как закон Гука можно записать для различных деформаций.
Деформация растяжения и сжатия
Пусть закрепленная одним концом пружина лежит свободно на гладком столе. Под действием внешней силы F, направленной по оси x, пружина растянулась, ее удлинение составило x. При деформации в пружине возникают силы упругости Fупр, равные по величине и противоположные по направлению приложенной внешней силе: Fупр = - F.
Закон Гука в данном случае имеет вид: 13 EMBED Equation.2 1415. Обычно индекс у силы упругости опускают и закон Гука записывается в виде:
13 EMBED Equation.2 1415.
Здесь Fx - проекция упругой силы на ось x. Коэффициент k называется жесткостью пружины.
Однородные стержни ведут себя при одностороннем сжатии подобно пружине. Деформация приводит к возникновению в стержне упругих сил.
Эти силы принято характеризовать напряжением (, которое определяют как модуль
силы, приходящейся на единицу площади поверхности:
13 EMBED Equation.2 1415
Здесь S - площадь поперечного сечения стержня, Fn - составляющая силы, перпендикулярная к площадке, на которую она действует, поэтому такое напряжение называется нормальным. Обозначив относительное удлинение стержня как 13 EMBED Equation.2 1415, запишем закон Гука в виде:
13 EMBED Equation.2 1415 или 13 EMBED Equation.2 1415.
Величина Е характеризует упругие свойства материала стержня и называется модулем Юнга.
Силами упругости являются такие силы, как сила нормального давления N и сила натяжения нити Т.
Деформации сдвига
Рассмотрим прямоугольный брусок, закрепленный неподвижно нижней гранью. Под действием касательной (тангенциальной) силы F(, приложенной к верхней грани, брусок получает деформацию, называемую сдвигом.
Величина, равная тангенсу угла сдвига 13 EMBED Equation.2 1415, называется относительным сдвигом. При упругих деформациях угол ( бывает очень мал, поэтому относительный сдвиг определяется формулой: 13 EMBED Equation.2 1415.
Деформация сдвига приводит к возникновению в каждой точке бруска тангенциального напряжения ((, которое определяется как модуль силы, действующей на единицу площади поверхности:
13 EMBED Equation.2 1415
Закон Гука для сдвиговых деформаций имеет вид:
13 EMBED Equation.2 1415,
где G зависит только от свойств материала и называется модулем сдвига. Для большинства однородных изотропных тел 13 EMBED Equation.2 1415. Модуль Юнга и модуль сдвига измеряются в Паскалях.
Деформации кручения
Рассмотрим стержень в виде прямого кругового цилиндра радиуса r, верхнее основание которого закреплено, а в некотором произвольном сечении, расположенном на расстоянии L от закрепленного, приложена пара касательных сил F(, момент которых по величине равен 13 EMBED Equation.2 1415 и направлен вдоль оси цилиндра.
Под действием вращающего момента все сечения цилиндра поворачиваются на угол ( тем больший, чем дальше эти сечения расположены от закрепленного основания. При упругих деформациях угол кручения пропорционален вращающему моменту:
13 EMBED Equation.2 1415
Деформации кручения являются частным случаем сдвиговых деформаций, поскольку любое нижнее сечение испытывает сдвиг относительно верхнего. Поэтому модуль кручения можно выразить через модуль сдвига. Детальный расчет приводит к следующему выражению:
13 EMBED Equation.2 1415
Силы трения
Трение, возникающее при относительном перемещении сухих поверхностей твердого тела, называется сухим трением. Различают три вида сухого
трения: трение покоя, скольжения и качения..
Если на тело действует сила , но тело сохраняет состояние покоя (неподвижно относительно поверхности, на которой оно находится), то это означает, что на тело одновременно действует сила, равная по величине и противоположная по направлению, - сила трения покоя. При увеличении силы , если тело сохраняет состояние покоя, то увеличивается и сила трения покоя. Сила трения покоя всегда равна по величине и противоположна по направлению внешней действующей силе.
Сила трения скольжения возникает при скольжении данного тела по поверхности другого тела. Чаще всего силу трения скольжения принимают равной максимальной силе трения покоя:
13 EMBED Equation.2 1415,
где ( - коэффициент трения скольжения, зависящий от природы и состояния соприкасающихся поверхностей (в частности, от их шероховатости), N - сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу.
Сила трения качения мала по сравнению силой трения скольжения.
При движении твердого тела в жидкости или газе на него действует сила, препятствующая движению. При малых скоростях сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости тела:
13 EMBED Equation.2 1415,
при больших скоростях - приблизительно пропорциональна квадрату скорости:
13 EMBED Equation.2 1415.
Коэффициенты сопротивления k1 и k2, а также область скоростей, в которой осуществляется переход от линейного закона к квадратичному, в сильной степени зависят от формы и размеров тела, направления его движения, состояния поверхности тела и от свойств окружающей среды.
Краткие сведения о законах, описывающих разные виды взаимодействий, приведены в таблице 4.
Информация о силах Таблица 4
Происхождение сил
Законы сил

Гравитационное притяжение материальных точек с массами m1 и m2, находящихся на расстоянии r
Закон всемирного тяготения
13 EMBED Equation 1415
(G - гравитационная постоянная)

Действие Земли с точки зрения наблюдателя, находящегося на Земле
Сила тяжести
13 EMBED Equation 1415

Действие растянутой или сжатой пружины жесткостью k
Закон Гука
13 EMBED Equation 1415
(x - смещение от положения равновесия)

Взаимодействие при контакте поверхностей твердых тел
Сила нормального давления N


Сила трения покоя 13 EMBED Equation 1415 или


сила трения скольжения 13 EMBED Equation 1415

Сопротивление движению твердого тела относительно жидкости или газа
Сила вязкого трения при малых
скоростях 13 EMBED Equation 1415


Сила вязкого трения при больших
скоростях 13 EMBED Equation 1415

Выталкивающая сила, действующая на твердое тело, находящееся в жидкости или газе
Закон Архимеда 13 EMBED Equation 1415
(m - масса вытесненной жидкости или газа)

Действие электрического поля на заряд q
13 EMBED Equation 1415
(E - напряженность поля)

Действие магнитного поля на движущийся заряд q
Сила Лоренца 13 EMBED Equation 1415
(B - вектор магнитной индукции)


2.3. Законы динамики
Законы Ньютона
Прежде всего напомним законы Ньютона. Они применяются при описании движения материальной точки или поступательного движения твердого тела.
В первом законе Ньютона утверждается, что существуют такие системы отсчета, относительно которых тело находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения, если на него не действуют силы или равнодействующая всех сил равна нулю. Такие системы отсчета называются инерциальными (ИСО). Любая система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью относительно ИСО, также является инерциальной.
Во втором законе Ньютона устанавливается связь между воздействием на тело - силой и реакцией на воздействие, которая проявляется в изменении скорости, т.е. в ускорении:
13 EMBED Equation 1415,
т.е. в инерциальных системах отсчета произведение массы тела на его ускорение равно силе, действующей на это тело. Если сил несколько, то под F понимается равнодействующая сила.
В третьем законе Ньютона утверждается, что действие равно противодействию, а именно, два тела взаимодействуют с силами, равными по величине, и противоположными по направлению:
13 EMBED Equation 1415
Отметим, что эти силы приложены к разным телам и никогда не компенсируют друг друга.
Уравнение движения центра масс
В любой системе материальных точек, а следовательно, и системе тел имеется одна замечательная точка С, которая называется центром масс или центром инерции системы. Ее положение определяется радиусом-вектором rc:
13 EMBED Equation 1415.
Для центра масс справедливо следующее утверждение: при движении любой системы частиц ее центр масс движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на систему. По форме уравнение движения центра масс совпадает со вторым законом Ньютона:
13 EMBED Equation 1415,
где 13 EMBED Equation 1415 - ускорение центра масс.
Уравнение динамики вращательного движения
При вращательном движении твердого тела аналогом второго закона Ньютона является основное уравнение динамики вращательного движения, которое имеет вид:
13 EMBED Equation 1415,
где ( - угловое ускорение, М - суммарный момент сил относительно оси вращения. Если момент инерции тела изменяется в процессе движения, то нужно применять этот закон в следующей форме:
13 EMBED Equation 1415,
где 13 EMBED Equation 1415 - момент импульса твердого тела.
Любое движение твердого тела может быть представлено как наложение двух основных видов движения - поступательного и вращательного. Например, качение шара можно рассматривать как перемещение с ускорением, равным ускорению центра масс, и вращение относительно оси, проходящей через центр масс. Каждое движение подчиняется, как показано в таблице 5, соответствующему закону.
Законы динамики в неинерциальных системах отсчета.
Силы инерции
Системы отсчета, движущиеся с ускорением относительно инерциальных систем, называются неинерциальными (НИСО), и в них не выполняются рассмотренные выше законы динамики: второй закон Ньютона, уравнение движения центра масс, уравнение динамики вращательного движения. Однако их можно сохранить и для неинерциальных систем, если кроме обычных сил взаимодействия F ввести еще “силы” особой природы Fин, называемые силами инерции. Их введение обусловлено ускорением движения неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной.
Законы динамики Таблица 5
Физическая ситуация
Применяемые законы

Прямолинейное движение материальной точки, поступательное движение твердого тела
Второй закон Ньютона
13 EMBED Equation 1415

Движение материальной точки по окружности или другой криволинейной траектории
Второй закон Ньютона
13 EMBED Equation 1415

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Основной закон динамики вращательного движения
13 EMBED Equation 1415

Сложное движение твердого тела
Уравнение движения центра масс
13 EMBED Equation 1415
и уравнение динамики вращательного движения
13 EMBED Equation 1415


В НИСО законы динамики примут вид:
второй закон Ньютона 13 EMBED Equation 1415 + 13 EMBED Equation 1415;
уравнение движения центра масс 13 EMBED Equation 1415 + 13 EMBED Equation 1415;
уравнение динамики вращательного движения 13 EMBED Equation 1415 + 13 EMBED Equation 1415.
Существует два основных типа неинерциальных систем. Обозначим символом К инерциальную систему отсчета, а 13 EMBED Equation 1415- неинерциальную.
1. 13 EMBED Equation 1415 движется относительно К с постоянным ускорением 13 EMBED Equation 1415. В этом случае в уравнениях динамики следует ввести силу инерции, равную 13 EMBED Equation 1415= - mac. Точкой приложения этой силы считать центр масс.
2. 13 EMBED Equation 1415 вращается относительно К с постоянной угловой скоростью (. В уравнения динамики следует ввести центробежную силу инерции, равную 13 EMBED Equation 1415. Если тело движется относительно 13 EMBED Equation 1415 со скоростью 13 EMBED Equation 1415, то кроме центробежной, требуется учесть кориолисову силу инерции:
13 EMBED Equation 1415.
Систему отсчета, связанную с Землей, приближенно можно считать инерциальной при решении большинства задач.
Земля как неинерциальная система отсчета. Сила тяжести.
Ускорение свободного падения
Применение неинерциальной вращающейся системы отсчета оказывается исключительно удобным при рассмотрении движения вблизи Земли (или другого космического объекта) и по ее поверхности.
Рассмотрим свободное тело массой m, находящееся в северном полушарии на широте ( и на высоте h. На него действует сила гравитационного притяжения
13 EMBED Equation.2 1415,
где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, 13 EMBED Equation.2 1415 - расстояние от тела (материальной точки) до центра Земли, которую в
большинстве случаев можно рассматривать как однородный шар, R - радиус Земли. Cила тяготения направлена к центру Земли.
Центробежная сила инерции равна 13 EMBED Equation 1415, где 13 EMBED Equation.2 1415 - расстояние от тела до оси вращения. Центробежная сила максимальна на экваторе и обращается в нуль на полюсах.
Под действием указанных двух сил тело движется относительно наблюдателя, находящегося в системе отсчета, связанной с Землей, с ускорением, называемым ускорением свободного падения g. Равнодействующую силы тяготения и центробежной силы инерции называют силой тяжести.
По второму закону Ньютона имеем:
13 EMBED Equation.2 1415.
Проанализируем полученное выражение. Как сила тяжести, так и ускорение свободного падения уменьшаются с увеличением высоты. Зависимость центробежной силы от широты приводит к тому, что сила тяжести на экваторе принимает наименьшее значение, а на полюсе - наибольшее, равное силе тяготения.
Фактически поверхность Земли не сферична, а имеет форму геоида, т.е. сплюснута с полюсов, что также влияет на зависимость ускорения свободного падения от географической широты. Кроме того, на ускорение свободного падения влияет неоднородность в распределении масс в Земле, что позволяет проводить поиск и разведку месторождений полезных ископаемых (методы гравиразведки). Для этого геофизикам приходится учитывать влияние на ускорение свободного падения рельефа местности, приливов и отливов и даже положение Луны в момент измерений.
3. Законы сохранения
3.1. Основные понятия
Несколько тел (частиц) называют системой тел. В систему может быть включено по нашему желанию любое число тел (два, три и т. д.). Твердое тело иногда рассматривают как систему большого числа материальных точек. Закономерности, установленные для системы частиц, можно применять и для отдельной частицы, полагая число частиц системы равным единице.
Состояние системы характеризуется одновременным заданием положений (координат) и скоростей всех ее частиц.
При движении системы ее состояние с течением времени изменяется. Тем не менее существуют такие величины, которые обладают весьма важным и замечательным свойством сохраняться во времени. В механике такими величинами являются энергия, импульс и момент импульса. Однако законы сохранения механической энергии, импульса и момента импульса применимы не для любых механических систем и не при всех видах взаимодействий.
Система тел, на которую не действуют никакие посторонние тела (или их воздействие пренебрежимо мало), называется замкнутой или изолированной.
Силы взаимодействия между частицами (телами) системы называют внутренними, а силы, обусловленные действием других тел, не входящими в данную систему, - внешними. В неинерциальных системах отсчета к внешним относят и силы инерции.
Потенциальными или консервативными называют силы, зависящие при данном характере взаимодействия только от конфигурации механической системы. К непотенциальным относят силы, не удовлетворяющие приведенному здесь определению потенциальных сил. Непотенциальными являются, в частности, диссипативные силы - силы трения и сопротивления. Суммарная работа внутренних непотенциальных сил рассматриваемой системы отрицательна.









3.2. Определения физических величин
Работа
Пусть частица под действием силы F совершает перемещение по некоторой траектории 1-2. В общем случае сила F в процессе движения может изменяться как по величине, так и по направлению. Рассмотрим элементарное (бесконечно малое) перемещение dr, в пределах которого силу F можно считать постоянной.
Действие силы F на перемещении dr характеризуется величиной
13 EMBED Equation.2 1415,
которую называют элементарной работой силы F на перемещении dr. Здесь ( - угол между направлениями силы и перемещением, Fs - проекция силы на направление перемещения.
Работу силы на всем пути от точки 1 до точки 2 найдем, интегрируя (суммируя) элементарные работы вдоль траектории от точки 1 до точки 2:
13 EMBED Equation.2 1415.
В случае постоянной силы последнее выражение примет вид:
13 EMBED Equation.2 1415.
Эти выражения применимы как для материальной точки, так и поступательного движения твердого тела.
Работа при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси
При повороте твердого тела, имеющего ось вращения z, под воздействием момента силы Mz относительно оси z совершается работа
13 EMBED Equation.2 1415.
Полная работа при повороте на угол ( равна
13 EMBED Equation.2 1415.
При постоянном моменте сил последнее выражение принимает вид:
13 EMBED Equation.2 1415.
Энергия
Энергия - мера способности тела совершить работу. Движущиеся тела обладают кинетической энергией. Поскольку существуют два основных вида движения - поступательное и вращательное, то кинетическая энергия представлена двумя формулами - для каждого вида движения. Потенциальная энергия - энергия взаимодействия. Убыль потенциальной энергии системы происходит вследствие работы потенциальных сил. Выражения для потенциальной энергии сил тяготения, тяжести и упругости, а также для кинетической энергии поступательного и вращательного движений приведены на схеме. Полная механическая энергия является суммой кинетической и потенциальной.











Импульс и момент импульса
Импульсом частицы p называется произведение массы частицы и ее скорости:
13 EMBED Equation.2 1415.
Моментом импульса L относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора r, определяющего положение частицы, и ее импульса p:
13 EMBED Equation 1415.
Модуль этого вектора равен:
13 EMBED Equation 1415.
Пусть твердое тело имеет неподвижную ось вращения z, вдоль которой направлен псевдовектор угловой скорости (.


Таблица 6
Кинетическая энергия, работа, импульс и момент импульса для различных моделей объектов и движений
Идеальная
Физические величины

модель
Кинетическая энергия
Импульс
Момент импульса
Работа

Материальная точка или твердое тело, движущееся поступательно. m - масса, v - скорость.
13 EMBED Equation.2 1415

13 EMBED Equation.2 1415

13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415.
При 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415

Твердое тело вращается с угловой скоростью (.
J - момент инерции,
vc - скорость движения центра масс.

13 EMBED Equation.2 1415


13 EMBED Equation.2 1415


13 EMBED Equation.2 1415

13 EMBED Equation.2 1415.
При 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415

Твердое тело совершает сложное плоское движение.
Jс- момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, vc - скорость движения центра масс. ( - угловая скорость.


13 EMBED Equation.2 1415



13 EMBED Equation.2 1415



13 EMBED Equation.2 1415



13 EMBED Equation.2 1415


Момент импульса вращающегося твердого тела совпадает по направлению с угловой скоростью и определяется как
13 EMBED Equation.2 1415.
Определения этих величин (математические выражения) для материальной точки и соответствующие формулы для твердого тела при различных формах движения приведены в таблице 4.
3.2. Формулировки законов
Теорема о кинетической энергии
Приращение кинетической энергии частицы равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу.
Приращение кинетической энергии системы тел равно работе, которую совершают все силы, действующих на все тела системы:
13 EMBED Equation.2 1415. (1)
Закон изменения механической энергии
Приращение полной механической энергии системы тел равно алгебраической сумме работ, которую совершают все внешние непотенциальные силы и внутренние диссипативные силы, действующих на все тела системы:
13 EMBED Equation.2 1415. (2)
Закон сохранения механической энергии
Если в выражении (2) правая часть обращается в нуль, то закон изменения механической энергии превращается в закон сохранения механической энергии:
13 EMBED Equation.2 1415. (3)
В частности, в инерциальной системе отсчета механическая энергия замкнутой системы тел при отсутствии диссипативных сил сохраняется в процессе движения.
Закон изменения импульса
Приращение импульса системы тел равно импульсу равнодействующей всех внешних сил, действующих на систему, за соответствующий промежуток времени:
13 EMBED Equation.2 1415. (4)
Если внешние силы не зависят от времени, выражение (4) принимает вид:
13 EMBED Equation.2 1415.
Закон сохранения импульса
Если правая часть в выражении (4) обращается в нуль, то закон изменения импульса превращается в закон сохранения, а именно:
13 EMBED Equation.2 1415. (5)
Чаще всего он применяется для двух взаимодействующих тел и записывается в векторном виде:
13 EMBED Equation.2 1415
Здесь v1 и v2 - скорости тел в состоянии I, u1 и u2 - скорости тел в состоянии II.
Сформулируем те условия, при выполнении которых можно применять закон сохранения импульса.
1) Система замкнута, т.е. 13 EMBED Equation.2 1415, следовательно,
13 EMBED Equation.2 1415
2) Система замкнута в некотором направлении, которое можно связать с осью x, т.е. 13 EMBED Equation.2 1415; 13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415. В этом случае, учитывая векторный характер величин, имеем:
13 EMBED Equation.2 1415.
3) Промежуток времени между состояниями I и II настолько мал (удар, взрыв), что внешние силы не могут заметно повлиять на скорости тел, т.е. при t ( 0
13 EMBED Equation.2 1415.
Закон изменения момента импульса
Приращение момента импульса системы тел равно импульсу суммарного момента всех внешних сил, действующих на систему, за соответствующий промежуток времени:
13 EMBED Equation.2 1415. (6)
Когда рассматривается движение вокруг неподвижной оси, то этот закон записывается в проекции на направление оси вращения (ось z):
13 EMBED Equation.2 1415.
Закон сохранения момента импульса
Если правая часть в выражении (6) обращается в нуль, то закон изменения момента импульса превращается в закон сохранения, а именно:
13 EMBED Equation.2 1415. (7)
Это возможно в следующих случаях.
1) Момент внешних сил, действующих на все тела системы, равен нулю.
При малости промежутка времени между состояниями I и II (удар, взрыв), т.е. при t ( 0.
3.3. Удар
Абсолютно упругий удар.
Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие немеханические, виды энергии.
При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Потенциальная энергия каждого тела в состояниях до и после удара одинакова, перераспределяется только кинетическая энергия. Поэтому закон сохранения энергии можно записать в виде:
13 EMBED Equation.2 1415
Типичным примером абсолютно упругого удара является удар шаров при игре в бильярд.
Абсолютно неупругий удар.
При абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия полностью или частично переходит во внутреннюю энергию, после удара тела движутся с одинаковой скоростью или покоятся.
Законы сохранения импульса и момента импульса принимают вид:
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
Количество тепла, выделившегося при ударе, или работа, затраченная на неупругую деформацию тел, равна уменьшению кинетической энергии системы.
13 EMBED Equation.2 1415
В частности, при взаимодействии материальных точек или поступательно движущихся твердых тел
13 EMBED Equation.2 1415.
13PAGE 15


13PAGE 145115


13PAGE 15



r(t+(t)

r(t)

(s

траектория

х

у

x(t)

x(t+(t)

(x

(r

y(t)

y(t+(t)

(y

О

s

a

an

a(

v

((

R

v

v

M

F

r

O

d

(

l0

x

x

Fупр

F

F

Fупр

x

l0

(l

Fупр

Fn

Fn

Fупр

(l

(

F(

S

(l

d

F(

F(

L

r

(

(

F

F

Fтр

N

mg

(

R



Fцб

mg

r

(

Силы

Внешние

Внутренние

Потенциальные

Диссипативные

Прочие

Потенциальные

Диссипативные

Прочие

1

2

dr

Fs

F

(

Энергия

Потенциальная

Кинетическая

Силы тяготения 13 EMBED Equation.2 1415

Силы тяжести 13 EMBED Equation.2 1415

Силы упругости 13 EMBED Equation.2 1415

Поступательного движения 13 EMBED Equation.2 1415

Вращательного движения 13 EMBED Equation.2 1415

L

p

r

O

d

(



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 119123
    Размер файла: 638 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий