Неопределенный интеграл_лекции


Неопределенный интеграл
Понятие неопределенного интеграла
Рассмотрим задачу: Дана функция . Требуется найти такую функцию , производная которой равна , т.е. .
Определение: Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство или .
Пример. Найти первообразную от функции . Из определения первообразной следует, что функция является первообразной, так как . Очевидно, что первообразными будут также любые функции , где С – постоянная, поскольку .
Теорема. Если функция является первообразной для функции на , то множество всех первообразных для задается формулой , где С – постоянное число.
Функция является первообразной для . Действительно, .
Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . Таким образом, по определению .
называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, - знаком неопределенного интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Геометрически неопределенный интеграл представляет семейство «параллельных» кривых . График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.
Для всякой ли функции существуют первообразные (а значит, и неопределенный интеграл)? Оказывается, что не для всякой. Если функция непрерывна на ,то для этой функции существует первообразная а следовательно, и неопределенный интеграл.
Нахождение первообразной для данной функции f(x) называется интегрированием функции f(x).
Свойства неопределенного интеграла
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если , то и

Производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
, - постоянная.
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций.

Инвариантность формулы интегрирования. Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.
Таблица интегралов
1. . 11. .
2. . 12.
3. . 13. .
4. . 14. .
5. . 15. .
6. . 16. .
7. . 17. .
8. 18.
9. . 19. .
10. . 20.
21.
При вычислении неопределенных интегралов бывает полезно иметь в виду следующие правила.
Если , то
Если то
Если то .
Пример 1.

=
Пример 2.
=
=
Пример 3.

Пример 4.

Основные методы интегрирования
Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»).







Пример 1.
.
Пример 2.

Пример 3.
.
Метод интегрирования способом подстановки (замены переменой)
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.
Пусть требуется найти интеграл . Сделаем подстановку , где - функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой
.
Формула также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла в правой части равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной х.
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде , тогда , где . Т. е. формулу можно применять справа налево.
Функцию следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2).
Приведем несколько примеров на интегрирование с помощью замены переменных.
Пример 1.
Найти .
Сделаем подстановку , тогда и, следовательно,
Пример 2.
Найти . Полагаем , тогда и

Пример 3.
Найти Полагаем ; тогда ,

Пример 4.
Найти . Полагаем ; тогда ,
(предполагается, что a>0).
Пример 5.
Найти . Полагаем , тогда
.
Пример 6.
Найти . Полагаем , тогда ,

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. Изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.
Метод интегрирования по частям
Пусть и - функции имеющие непрерывные производные. Тогда . Интегрируя это равенство, получаем
или .
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким – либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv; затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям.
Некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.
Интегралы вида , , , где - многочлен, k – число. Удобно положить , а за dv обозначить остальные сомножители.
Интегралы вида , , , , . Удобно положить , а за u обозначить остальные сомножители.
Интегралы вида , , где a и b – числа. За можно принять функцию .
Пример 1.
Найти .
Положим , , тогда , .Следовательно,
.
Замечание. При определении функции v по дифференциалу dv можно брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит. Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.
Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям.
Пример 2.
Требуется вычислить . Положим , , тогда . Следовательно,
Пример 3.
Требуется вычислить .
Положим тогда .
Последний интеграл снова интегрируем по частям, полагая
Тогда
. Окончательно будем иметь
.
Интегрирование тригонометрических функций.
Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными , , над которыми выполняются рациональные действия принято обозначать , где R - знак рациональной функции.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Вычисление неопределенных интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.
Действительно, , , , . Поэтому ,
где - рациональная функция от t.
Удобны следующие правила:
Если функция нечетна относительно , т. е. , то делается подстановка ;
Если функция нечетна относительно , т. е. , то делается подстановка ;
Если функция четна относительно и , т. е. , то делается подстановка . Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид .
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение: Т.к. подынтегральная функция не меняется при перемене знака у , то применим подстановку , тогда .

.
Пример 2. Вычислить .
Решение: Здесь можно использовать универсальную подстановку, но поскольку , положим . Тогда

.
Интегралы типа , .
Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы:
Подстановка , если – целое положительное нечетное число, т.е. .

Мы получили интеграл от рациональной функции.
Подстановка , если – целое положительное нечетное число, т.е. .
Если и - целые неотрицательные четные числа (), то подынтегральное выражение преобразуют с помощью следующих формул понижения степени: .
Подстановка , если - четное отрицательное целое число.
Пример 3. Вычислить .
Решение:.
Пример 4. Вычислить .
Решение: Подынтегральная функция меняет знак при перемене знака у , то применим подстановку . Тогда
.
Пример 5. Вычислить .
Решение: Подынтегральная функция меняет знак при перемене знака у , то применим подстановку . Тогда

.
Пример 6. Вычислить .
Решение: Подынтегральная функция представляет собой произведение четных степеней синуса и косинуса, поэтому применим формулы понижения степени:.
Пример 7. Вычислить .
Решение: Воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:


Пример 8. Вычислить .
Решение: Понизим степень тангенса:


.
Использование тригонометрических преобразований
Интегралы типа , , вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:



Интегрирование иррациональных функций.
Квадратичные иррациональности
Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.
Интегралы типа , , называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат и сделать подстановку . При этом два первые интеграла приводятся к табличным, а третий – к сумме двух табличных интегралов.Пример 1. Найти интеграл .
Решение: Так как , то . Сделаем подстановку . Тогда .
Пример 2. Найти интеграл .
Решение: Тек как , то подстановка имеет вид .
Тогда,
.
Интегралы типа , где - многочлен степени n, можно вычислять, пользуясь формулой , где - многочлен степени с неопределенными коэффициентами, - также неопределенный коэффициент.
Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства
, после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной x.
Дробно – линейная подстановка
Интегралы типа , где – рациональная функция, a, b, c, d – действительные числа, – натуральные числа.
Интегралы такого вида вычисляются с помощью подстановки
,
где n – общий знаменатель дробей (наименьшее общее кратное чисел ). В результате этой подстановки подынтегральная функция преобразуется в рациональную.
Пример 3. Вычислить .
Решение: Положим ; тогда и

Интегрирование дифференциального бинома
Интегралы типа , где a, b – действительные числа, m, n, p – рациональные числа.
Подынтегральное выражение называют дифференциальным биномом.
Данный интеграл выражается в конечном виде (т.е. первообразная представляет собой элементарную функцию) лишь в следующих трех случаях (этот результат получен выдающимся русским математиком и механиком Пафнутием Львовичем Чебышёвым (1821 – 1894):если p – целое число, то применяется подстановка , где k – наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;
если – целое число. Тогда применяется подстановка , где – знаменатель дроби ;
если – целое число. В этом случае используется подстановка , где – знаменатель дроби p.
Пример 4. Вычислить .
Решение: Перепишем исходный интеграл .
Это интеграл от дифференциального бинома, где ; . Следовательно, имеет место случай 2) интегрируемости.
Подстановка дает: .
Поэтому, ,
где .
Тригонометрическая подстановка
Интегралы типа , , приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью тригонометрических подстановок: для первого интеграла; для второго интеграла; для третьего интеграла.
Интегралы типа , где – рациональная функция относительно x и .
Один из возможных методов интегрирования состоит в следующем.
Выделяем полный квадрат в квадратном трехчлене и совершаем замену переменной по формуле , после этого исходный интеграл сводится к одному из следующих трех типов:
;
;
.
Эти три типа интегралов вычисляются с помощью тригонометрической подстановки соответственно.
,
,
.
В результате этих подстановок указанные интегралы приводятся к виду или .
В частном случае, когда требуется вычислить интегралы типа и , можно обойтись без замены переменной. Вычислим первый из них:.
Для вычисления последнего интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям: .
Тогда .
Вернемся к исходному интегралу: .
Из последнего равенства получаем , и, разделив обе части на два, найдем .
Поступая аналогично для , получим .
Замечание. Интеграл типа целесообразно находить с помощью подстановки .

Приложенные файлы

  • docx 6150177
    Размер файла: 637 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий