модуль 2.19


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
1 ФИЗИКА Модуль 2.19 9 Диф ракция света. Принцип Гюйгенса. Принцип Гюйгенса – Френеля При распространении света в среде с резкими неоднородностями, например, вблизи границ непрозрачных тел или сквозь малые отверстия, наблюдается отклонение от законов геоме трической оптики. Дифракцией света называется явление огибания световыми волнами встреченных препятствий и, как следствие, проникновение световой волны в область геометрической тени. Например, если волна, идущая от источника, проходит через небольшое кругл ое отверстие, диаметр которого , то на экране наблюдаются чередующиеся светлые и темные окружности (кольца). Эту картину называют дифракци онной . При прохождении света через узкую прямую щель мы увидим чередование светлых и темных пол ос. Проникновение света в область геометрической тени объясняет принцип Гюйгенса . Пусть на плоскую преграду с отверстием падает параллельный ей фронт волны (рис. 11). Рис. 11 По Гюйгенсу каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта является источником вторичных сферических волн. Новое положение фронта волны представляет собой огибающую вторичных волн. На рис. 11 видно, что за отверстием волна проникает в область геометрической тени, огибая край. Однако принцип Гюйгенса не дает никаких указаний об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Этот недостаток был устранен Френелем. Согласно принципу Гюйгенса – Френеля каждый элемент волновой пове рхности (рис. 12) служит источником вторичной сферической волны, амплитуда которой пропорциональна площади элемента . Амплитуда сферической волны убывает с расстоянием от источника по закону . 2 Рис. 12 Следовательно, от каждого элемента волновой поверхности в точку , лежащую перед этой поверхностью, приходит колебание (12.36) В этом выражении - фаза колебаний в месте расположения волновой поверхности , - волновое число, - расстояние от элемента поверхности до точки , - амплитуда светового колебания в том месте, где находится . Коэффициент зависит от угла между нормалью к площадке и направлением от к . При - максимален, при - . Результирующее колебание в точке равно: (12.37) Рис. 13 3 Эта формула является аналитическим выражением принципа Гюйгенса – Френеля. Различают два вида дифракции. Если источник света и точка наблюдения расположены от препятствия настолько далеко, что лучи, падающие на препятствие, и лучи, идущие в точку , образуют практически параллельные пучки, говорят о дифракции в параллельных лучах или о дифракции Фраунгофера . В противном случае говорят о дифракции Френеля . Дифракцию Фраунгофера можно наблюдать, поместив за источником света и перед точкой наблюдения по линзе так, чтобы точки и оказались в фокальн ой плоскости этих линз (рис. 13) . 10 Дифракция Фраунгофера на щели Рассмотрим случай дифракции Фраунгофера, когда на предмет падает параллельный пучок лучей. Таким примером является дифракция плоской световой волны на узкой длинной щели. Схема дифракции на щели приведена на рис. 14. Рис. 14 На узкую длинную щель шириной падает плоская монохроматическая волна с длиной . За щелью помещается фокусирующая линза. На экране Э, помещенном в фокальной плоск ости линзы, получается ряд темных и светлых полос, быстро убывающих по интенсивности. Структуру этих полос можно рассчитать, воспользовавшись принципом Гюйгенса – Френеля. Каждая точка волнового фронта в плоскости щели является источником когерентных втори чных сферических волн. Лучи света от этих точек распространяются в области за щелью по всем направлениям. Выделим лучи, идущие под углом к направлению распространения света, падающего на щель. Все лучи, идущие под этим углом, собир аются на экране Э в одной и той же точке , расположенной в фокальной плоскости линзы, и в этой точке будут интерферировать. Пусть щель освещается монохроматической волной, уравнение которой в плоскости щели имеет вид . Выделим луч, идущий от точки, расположенной на расстоянии от левого края щели (луч 2). Будем считать, что этот луч имеет толщину, равную , тогда амплитуда 4 этого луча будет равняться , а разность фаз между лучами 1 и 2 буде т равна , где (см. рис. 14). Поэтому уравнение волны, идущей из точки с координатой , будет записано в виде Волна, достигающая точку на экране, будет представлять сумму волн, идущих от всех точек поверхности щели. Уравнение этой волны можно получить, вычислив интеграл Сделаем замену переменной , то гда . Подставив, получим , и ли после интегрирования . Учитывая, что , перепишем последнее равенство . В результате мы получим, что волновой п роцесс, достигший точки , представляет собой колебание, происходящее с частотой волны, падающей на щель, и с амплитудой , зависящей от угла , под которым идут вторичные волны. Интенсивнос ть света, приходящего в точку , равна , где (12.38) Вид этой зависимости показан на рис. 15. При функция имеет максимальное значение, р авно е . Из формулы (12.38) вытекает, что интенсивность обращается в нуль, когда или , (12.39) 5 Рис. 15 Таким образом, условие (12.39) определяет положени я минимумов интенсивности. Из этого условия следует, что . Модуль синуса не может превысить единицу. Поэтому , откуда . (12.40) При ширине щели, меньшей длины волны, т.е. при , минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины дифракционной картины к ее краям. 11 Дифракционная решетка Дифракционная решетка является важнейшим спектральным прибором, предназначенны м для разложения света в спектр и измерения длин волн. Она представляет собой стеклянную или металлическую пластинку, на которую нанесено очень много (иногда до сотен тысяч) прямых равноотстоящих штрихов. Рассмотрим простейшую решетку, состоящую из одинако вых, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние щелей. Пусть ширина каждой щели равна , а период решетки - . Расположим параллельно решетке собирающую линзу, в фокальной плоскости которой поместим экран (рис. 16). Пусть плоская монохроматическая волна падает на решетку нормально. Если имеется одинаковых параллельных щелей, то они дают одинаковые дифракционные картины, изображенные на рис. 15. Вследствие наложения этих картин друг на друга интенсивность суммарной дифракционной картины усиливается. Эта картина характеризуется тем, что при углах, определяемых условием (12.39), в ней возникают минимумы интенсивности. Кроме того, в фокальной плоскости линзы происходит интерференция пар волн, идущих от 1 и 2 - ой щелей, от 2 - ой и 3 - ей, от 3 - ей и 4 - ой и т.д. 6 Рис. 16 В результате взаимодействия этих пар когерентных волн возникают дополнительные максимумы, которых не было в дифракционной картине, создаваемой одной щелью. Эти максимум ы называются главными и они возникают при условии, что , (12.41) , - порядок главного максимума. Рис. 17 Главные минимумы наблюдаются под такими углами дифракции , для которых свет от разных частей каждой щели полностью гасится в результате интерференции. 7 Условие главных минимумов совпадает с условием интерференционных минимумов на щели: ( ) (12.42) Максимум нулевого порядка только один, максимумов 1 - го, 2 - го и т.д. порядков по два. Всего будет - максимумов. Картина дифракции, возникающая при прохождении света через дифракционную решетку , показана на рис. 17. Положение главных максимумов зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращен к центру дифракционной картины, а красный – наружу (рис . 18). Рис. 18 Максимумы могут перекрываться. Дифракционная решетка является одним из простейших достаточно точных устройств для измерения длин волн. 12 Поляризация света Поляризованным называется свет, у которого направления колебаний световог о вектора упорядочены каким - либо образом. Рассмотрим два взаимно перпендикулярных электрических колебания, совершающихся вдоль осей и и отличающихся по фазе на : , (12.43) Результирующая напряженность (рис. 19). Рис. 19 Угол между направлениями векторов и равен (12.44) 8 Допустим, что световые волны и когерентны, причем или . Тогда согласно (12.44) . Следовательно , рез ультирующее колебание совершается в фиксированном направлении – волна оказывается плоско - поляризованной. Из теории колебаний известно, что два взаимно перпендикулярных гармонических колебания одинаковой частоты при сложении дают в общем случае эллип с (см м одуль 1.6, формула (6.10) ) . (12.45) Следовательно, две когерентные плоско - поляризованные световые волны, плоскости колебаний которых взаимно перпендикулярны, при наложении друг на друга дают эллиптически - поляризованную светову ю волну (рис. 20). Рис. 20 При разности фаз или , эллипс вырождается в прямую и получается плоско - поляризованный свет. При и эллипс превращается в ок ружность – получается свет, поляризованный по кругу. Плоскость, в которой колеблется световой вектор в плоско - поляризованной волне, называется плоскостью колебаний или плоскостью поляризации . Естественным неполяризованным светом наз ываются световые волны, у которых направления колебаний вектора хаотически меняются так, что равновероятны все направления колебаний. Устройства, которые служат для преобразования естественного света в поляризованный, называются пол яризаторами . Простейший поляризатор – кристалл турмалина, обладающий способность ю пропускать световые волны с колебаниями вектора , лежащими в одной плоскости. В кристалле одна из сторон совпадает с осью симметрии и называется плоско стью поляризатора. Убедить ся в том, что свет, прошедший через кристалл турмалина, оказывается плоско - поляризованным, можно с помощью второго кристалла турмалина, играющего роль анализатора . Если оба кристалла располагаются так, что их оси и параллельны 9 друг другу, то свет полностью происходит через оба кристалла (рис. 21 а), если оси и взаимно перпендикулярны, то свет полностью гасится в анализаторе (рис. 21 б). а) б) Рис. 21 13 Закон Малюса (Этьен Луи Малюс, фр. физик) Рассмотрим плоско - поляризованный свет интенсивности , падающий на поляризатор. Колебание амплитуды , совершающееся в плоскости, о бразующей с плоско стью поляризатора угол , можно разложить на два колебания и (рис. 22). Колебания пройдет через прибор, будет задержано. Интенсивность ~ . Рис. 22 Поэтому интенсивность света, прошедшего через поляризатор , называется законом Малюса определяется выражением , (12.46) где - угол между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью поляризатора. Соотношение (12.46) носит название закон Малюса. 10 14 Поляризация свет а при отражении и преломлении. Закон Брюстера (шотл. ф изик Дэвид Брюстер) Если угол падения света на грани цу раздела двух прозрачных диэлектриков (например, на поверхность стеклянной пластинки) отличен от нуля, то отраженный и преломленный лучи оказываются частично поляризованными. В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные к плоскости падения ( ·) , в преломленном луче – колебания, параллельные плоскости падения ( ) (рис. 23). Степень поляризации зависит от угла падения. Рис. 23 Закон Брюстера: (12.47) При угле падения, равном , отраженный луч полностью поляризован (он содержит только колебания, перпендикулярные к плоскости падения). Степень поляризации преломленного луча при угле достигает наибольшего значения, однако этот луч остается частично поляризованным (рис. 24). При падении света под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны. Рис. 24 11 15 Дисперсия света Дисперсия света – это явления, обус ловленные зависимостью показателя преломления вещества от длины волны или частоты ( ) падающего на вещество света или (12.48) где - длина волны света в вакууме. Из определения следует, что дисперсия света может определяться как явление зависимости скорости распространения волны в веществе от ее частоты . (12 .49) Производная называется дисперсией вещества. Для прозрачных бесцветных веществ график зависимости в видимой части спектра имеет вид, показанный на рис. 25 а, а на рис. 25 б. а ) б) Рис. 25 а) б) Рис. 26 12 Интервал длин волн, в котором (как на рис 25 а), соответствует нормальной дисперсии . Те же интервалы длин волн, где дисперсия вещества , соответствует аномальной дисперсии . На рис. 26 а,б показаны графики зависимости и с участками нормальной и аномальной дисперсии. Все вещества в той или иной степени являются диспергирующими. Вакуум, как показали тщательные исследования, дисперсией не обладает. Зависимость в области нормальной дисперсии для не слишком больших интервалов длин волн может быть представлена приближенной формулой , (12.50) где и положительные постоянные, значения которых для каждого вещества определяются из опыта. На рис. 27 изображен призматический или дисперсионный спектр . Рис. 27 Так как ( ) и ~ , то ~ , поэтому преломляется под большим углом. 13 Задачи 1. На дифракционную решетку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки  2 мкм. Какого наибольшего порядка дифракционный максимум дает эта решетка в случае красного света (  0,7 мкм) и в случае фиолетового ( = 0,41 мкм)? Решение Из формулы , где - период решетки, - угол дифракции, - длина волны монохроматического света, выразим - порядок дифра кционного максимума Положив , мы получим максимальное значение , т.е. . Подставив числовые значения, найдем для красных лучей , , для фиолетовых лучей 2. Какова должна быть длина дифракционной решетки с постоянной м, чтобы разрешить спектральные линии с длинами волн 6000,00  и 6000,50  в спектре второго порядка. Решение Разрешающая способность решетки равна , где и - длины волн двух близких спектральных линий, которые еще видны раздельно, - порядок спектра, - общее число щелей решетки. В нашем случае , тогда , откуда Подставив численные значения, получим 14 3. Е стественный луч света падает на поверхность стеклянной пластинки , , погруженной в жидкость. Отраженный от пластины луч образует угол с падающим лучом (рис.). Определить показатель преломления жидкости, если от раженный свет максимально поляризован. Определить угол преломления луча . Решение Согласно закону Брюстера луч света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован, если , где - показатель преломления второй среды (стекла), - показатель преломления первой среды (жидкости). Так как угол падения равен углу отражения, то , и, следовательно, , откуда . Вычислим При падении света под углом Брюстера, отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны. Докажем это утверждение. Согласно закону преломления По закону Брюстера или . 15 Отсюда , т.е. . Отсюда искомый угол 4. Естественный свет проходит через поляризатор и анализатор, поставленные так, что угол между их главными плоско стями равен . Как поляризатор, так и анализатор, поглощают 8% падающего на них света. Известно, что интенсивность луча, вышедшего из анализатора, равна 9% интенсивности естественного света, падающего на поляри затор. Найти угол (рис.). Решение При прохождении естественного света через поляризатор интенсивность его уменьшается вдвое. Учитывая потери на отражение и поглощение для интенсивности света, прошедшего через поляризатор, получим , где  0,08 учитывает потери на отражение и поглощение. Интенсивность света, прошедшего через анализатор , связана с законом Малюса. У читывая и здесь потери на отражение и поглощение, получим Тогда Учитывая, что по условию задачи, получим , , откуда 16 Тесты 1. Согласно принципу Гюйгенса каждая точка среды, до которой доходит волна, является источником: 1) когерентных волн; 2) вторичных волн; 3) монохроматических волн; 4) световых лучей; 5) упругих волн 2. При прохождении белого света через трех гранную призму наблюдается его разложение в спектр. Это явление объясняется: 1) интерференцией света; 2) дисперсией света; 3) поляризацией света; 4) дифракцией света; 5) рефракцией света. 3. Имеются 4 решетки с различными постоянными, освещаемые одним и тем же монохроматическим излучением различной интенсивности. Какой рисунок иллюстрирует положение главных максимумов, создаваемых дифракционной решеткой с наименьшей постоянной решетки? ( J - интенсивность света; φ - угол дифракции) Рис. 1 17 4. Формул а , в которой d является периодом дифракционной решетки, определяет. 1) угол, под которым монохроматический свет падает на дифракционную решетку; 2) положение главных минимумов дифракционной картины; 3) положение вторичных макс имумов дифракционной картины; 4) положение главных максимумов дифракционной картины; 5) угловую ширину главного максимума дифракционной решетки. 5. Разрешающая способность дифракционной решетки, имеющей N штрихов, определяется соотношением , где δλ - наименьшая разность длин волн, разделяемых в спектре m - го порядка. Определить ширину дифракционной решетки, если решетка может разрешить разность длин волн 0,01 нм в красной области спектра (длина волны 650 нм) в спектре третьего порядк а. Постоянная решетки равна 1мкм. 1. 1,9 см; 2. 2,0 см; 3. 2,1 см; 4. 2,2 см; 5. 2,5 см. 6. Выражение принято называть: 1. законом Брюстера ; 2. законом полного внутреннего отражения; 3. законом Снелиуса; 4. законом Малюса; 5. за коном Клапейрона. 7. Угол Брюстера должен удовлетворять соотношению: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . 8. На пути естественного света интенсивностью I 0 помещены две пластинки турмалина (рис. 2). После прохождения пластинки 1 свет полностью поляризован. Если угол φ между направлениями OO и O ’ O ’ равен 60 0 , то интенсивность I 2 света, прошедшего через обе пластинки, связана с I 0 соотношением: Рис. 2 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . 18 9. Мыльные пузыри в отраженном свете имеют радужную окраску, если глаз сфокусирован на них. Какое из перечисленных ниже я влений лежит в основе наблюдающегося эффекта: 1) дисперсия; 2) дифракция; 3) интерференция; 4) отражение света; 5) поляризация. 10. Узкая щель S шириной a = 35 мкм освещается монохроматическим излучением с плоским фронтом ( λ  620 нм , рис. 3 ). На экране P наблюдается дифракция Фраунгофера с характерным размером x . Определите величину x , если расстояние S 0 = 80 см. Рис. 3 1) 21,3 мм; 2) 28,4 мм; 3) 14,2 мм; 4) 7,1 мм; 5) правильного ответа нет. 11. Условие главных максимумов дифракционной решетки выражается соотношением: 1. ,; 2. ; 3. ; 4. ; 5. главный максимум можно наблюдать только при нормальном падении лучей. Здесь - постоянная решетка, - угол, под которым наблюдается максимум в спектре - го порядка 12. Определить угол дифракции для спектра второго порядка излучения атомов натрия с длиной волны 589 нм, если на 1 мм дифракционной решетки приходится 5 ш трихов. 1) 11,6·10 - 3 рад; 2) π /12 рад; 3) 5,9·10 - 3 рад; 4) π /100 рад; 5) 8,85·10 - 3 рад. 13. Интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализатор изменяется по закону Малюса. Какое из приведенных выражений является законом Малюса: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . 19 14. Поляризацией света называют: 1) отражение света от диэлектрика; 2) отражение света от проводящей поверхности; 3) от ражение света от зеркала при углах отражения близких к 90 градусов; 4) явление пропускания света через оптически активную среду; 5) выделение линейно поляризованного света из естественного или частично поляризованного. 15. На пути естественного света помещены две пластинки турмалина (рис. 2 ). После прохождения пластинки 1 свет полностью поляризован. Если и - интенсивности света, прошедшего пластинки 1 и 2 соответственно, и , тогда угол межд у направлениями ОО и О’ O ’ равен 1) 0 ; 2) 60 ; 3) 30 ; 4) 90 ; 5) 45 . 16. Рассмотрим расположенные один за другим два поляроида. Ось поляроид а А вертикальна (т.е. он не поглощает вертикально поляризованный свет). Справа от него расположен поляроид В, ось которого ориентирована под углом 45 к вертикали. Чему равна интенсивность света , прошедшего дв а поляроида, если вертикально поляризованный свет интенсивности падает на поляроиды справа? 1. ; 2. ; 3. ; 4. . 17. Условия минимума и нтенсивности при дифракции Фраунгофера на бесконечной щели имеет вид ( - ширина щели, 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . 18. Определить наибольший порядок спектра, который может образовать дифракционная решетка, имеющая 500 штрихов на 1мм, если длина волны падающего света 590 нм. 1) 4 ; 2) 6 ; 3) 2 ; 4) 1 ; 5) 3 . 19. Показатель преломления отражающей г раницы диэлектрика - , - угол преломления. При полной поляризации отраженного луча угол падения света удовлетворяет выражению: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . 20 20. Вертикально поляризованный свет с интенсивностью проходит 4 идеальных поляроида. Ось первого поляроида составляет 30 0 с верти калью, осью второго повернута еще на 30 0 и т.д. Чему равна результирующая интенсивность прошедшего света ? 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5 . . 21. Чему равен угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света после прохождения через поляризатор и анализатор уменьшилась в 3/8 раза? Потерями света при отражении пренебречь. 1) 1 5º ; 2) 30º ; 3) 45º ; 4) 60º ; 5) 75º . 22. Согласно принципу Гюйгенса - Френеля точки волнового фронта являются источниками: 1. плоских монохроматических волн; 2. поляризованных волн; 3. когерентных волн; 4. волн Фраунгофера; 5. волн Френеля. 23. В области нормаль ной дисперсии света показатель преломления вещества как функция длины световой волны 1) возрастает; 2) убывает; 3) изменяется не монотонно; 4) изменяет знак на противоположный; 5) не изменяется. 24. Интенсивность света, испытавшего дифракцию и падающего на экра н под углом к нормали, дается выражением , где - длина волны света, испытавшего дифракцию, - характерный размер препятствия, - интенсивност ь, наблюдаемая под нулевым углом. В этом случае свет, испытавший дифракцию 1) прошел через тонкую щель; 2) прошел через круглое отверстие; 3) отразился от плоскопараллельной пластинки; 4) прошел через дифракционную решетку; 5) прошел интерферометр Юнга .

Приложенные файлы

  • pdf 1250281
    Размер файла: 637 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий