DIPLOM_- 09.065


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
1


Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет імені Олеся αончара

Механіко
-
математичний факультет

Кафедра математичного аналізу і теорії функцій




ДИПЛОМНА РОБОТА


ПЕРШОαО (БАКАЛАВРСЬКОαО) РІВНЯ

ВИЩОЇ ОСВІТИ


АНАЛОαИ ТЕОРЕ
МИ ПОРІВНЯННЯ КОЛМОαОРОВА

ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ



Допускається до захисту:

т
.

в.

о. завідувача кафедри,

____________


(В.П. Моторний)

д. ф.
-
м. наук



Рецензент:




____________


(
О.О. Пипка
)

доцент кафедри МαА
,

к. ф.
-
м. наук




Керівник:




____________


(
О.В. Коваленко
)

доцент кафедри ММА
,

к. ф.
-
м. наук



Виконавець:



____________


(
К.Ю. Конограй
)

студентка

групи ММ
-
1
3
-
1






Д
ніпро

2017

2


РЕФЕРАТ

Дипломна робота освітньо
-

ква
ліфікаційного рівня бакалавр :
30

с., 1S

рис., 1
0

джерел.

Об‱єктом дослідження є
ідеальні сплайни Ейлера та їх аналоги.

Мета: отримання аналогів теореми порівняння Колмогорова.

Методи дослідження: класичні методи математичного та функціонального
аналізу.

Одержані теореми порівняння для
класу

ܹ

ǡ

ǡ

ǡ


(
ܴ
)

є новими.

Результати

дослідження можуть бути застосовані при дослідженні
екстремальних задач

функціонального аналізу та
теорії
наближення
.

Ключові слова: ТЕОРЕМА ПОРІВНЯННЯ КОЛМОαОРОВА, СПЛАЙНИ
ЕЙЛЕРА, НЕСИМЕТРИЧНІ СПЛАЙНИ.


3


SUMMARY

The graduation paper consists

of
30

pages,
13

pictures, and
1
0

references.

The

object of research is

i
deal

Euler splines
and their analo
gue
s
.

The objective of research is
proof

of


comparison theorem analogues.

Research methods are classic methods of math and functional analysis.

Obtai
ned

comparison theorems for the class

of functions

ܹ

ǡ

ǡ

ǡ


(
ܴ
)


are new.

The

results can be used for research of
extremal

problems

of Functional Analysis and
Approximation Theory
.

Key words
:
Kolmogorov`s compa
rison theorem, Euler splines, non
symmetrical
splines.













4


ЗМІСТ

ВСТУП
…………………………
…………………………………………………...
...5

Основні позначення
………………………………………………………………….6

Розділ 1. В
ідомі результати
…………………………
………………………
……

7

1.1

Теорема порівняння, симетричний випадок
………………………………..
.
8


1.2

Несиметричний випадок
……………………………………………
..
……..11


1.3
Випадок кла
су, який задається обмеженнями на декілька похідних
……
1
4

Розділ 2.
Функція
φ
α
ǡ
β
ǡ
γ
ǡ
δ
(
a
Ǣ
t
)

та її властивості

………………………
.
………
...1
9


2.1
Означення екстремальної функції
…………………………………………19


2.2 Деякі властивості екстремального сплайна
……………………………….
21

Р
озділ S.Основні результати
………………………………………………………
.2
2

ВИСНОВКИ
……………………………………………………………………...
....29

ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНИХ ДγЕРЕЛ
…………………………………………
.30









5



ВСТУП


Теоремами порівняння називають твердження, які дають оцінку тій чи іншій
характеристиці функц
ії із деякого класу через відповідну характеристику деякої
фіксованої функції. Останню функцію можна вважати еталонною або
стандартною для даного класу; її також називають функцією порівняння для
даного класу.


Перш
у теорему такого типу довів А. М
. Кол
могоров
. Він показав, що
ідеальні ейлерові сплайни є функціями порівняння для

функці
й з

класу
ܹ


(
ܴ
)
.


Як сам результат, так і метод його доведення зіграли велику р
оль
. Завдяки
теоремі порівняння були виведені точні нерівності для норм похідних
типу
відомої нерівності Колмогорова. Згодом використання

ідей, пов‱язаних із
теоремами порівняння,
дало можливість отримати ряд нових точних
результатів, які з‱ясовують екстремальні властивості функцій.


З огляду на вищевказане, тема роботи актуальна.




6


Основні позначення

R
-

множина усіх дійсних чисел
.

N
-

множина усіх натуральних чисел
.

ܥ
(
ܴ
)
-

множина неперервних на усій осі функцій
.



(
ݐ
)
-

ідеальний
сплайн Ейлера, порядку
r
.


ܮ

(
ܴ
)
-

простір вимірних і суттєво обмежених функцій
f
:
R

R

з нор
мою
|
|
݂
|
|
=
|
|
݂
|
|


(

)
=
݁ݏݏ
ݏݑ�


|
݂
(
ݐ
)
|
ǣ
ݐ

ܴ

.


ܮ


(
ܴ
)
,
ݎ

ܰ
-

простір функцій
f
:

R

R

таких, що похідна
݂
(


1
)
ǡ
݂
(
0
)
=
݂
ǡ

л
окально

абсолютно

неперервна

і
݂
(

)

ܮ

(
ܴ
)
.


ܮ

ǡ


(
ܴ
)

ܮ


(
ܴ
)


ܮ

(
ܴ
)
.

݂
+
(
ݐ
)
=
݉ܽ�
(
݂
(
ݐ
)
ǡ
0
)
,

ݐ
Ǥ

݂

(
ݐ
)
=
݉ܽ�
(

݂
(
ݐ
)
ǡ
0
)
,

ݐ
Ǥ

Для
ߟ
ǡ
ߤ
>
0

та
X
=
C
(
R
)

або
ܺ
=
ܮ

(
ܴ
)
ǡ
݂

ܺ
,

|
|
݂
|
|

ǡ

ǡ

=
|
|
ߟ

1

݂
+
+
ߤ

1

݂


|
|

.

ܹ


(
ܴ
)
=
{
݂
(
ݐ
)
ǣ
݂

ܮ

(
ܴ
)
ǡ
|
|
݂
(

)
|
|


1
}
Ǥ

ܹ

ǡ

ǡ

ǡ


(
ܴ
)
-

клас усіх функцій
f
,

які мають
r
-
1

похідну
,

݂
(


1
)
-

локально
абсолютно неперервна

і

|
|

(


1
)
|
|

Ǣ

ǡ


1
,
|
|

(


1
)
|
|


Ǣ

ǡ


1
.







7


Розділ 1. В
ідомі результати


Введемо поняття функції порівняння.


Скажемо, що




ܥ
(


Ǣ

)

є функцією порівняння для функції
f


ܥ
(


Ǣ

)
,
якщо

ܿ
ǡ
ߙ

ܴ

різниця

(
ݐ
)
-
[
f
(
t
+

ߙ
)+
c
]

на кожному проміжку монотонності

(
ݐ
)

або не змінює знак, або змінює один раз, до того ж з
©+ª

на
©
-
ª

там, де

(
ݐ
)

спадає, і з
©
-
ª

на
©+ª

там, де

(
ݐ
)

зростає. Зрозуміло, що якщо функція

(
ݐ
)

є
функцією порівняння для функції
f
(
t
)
, то функція

(
ݐ
+
ߚ
)

є функцією порівняння
для функції
f
(
t
)

.


Функції порівняння відомі для багатьох класів
(
див. наприкл.

[1]
,
[3], [6], [7]
,
[9]
,
[1
0
]

та інші
)
.

В

наступних підрозділах ми наводимо деякі з відомих
результатів стосовно цієї тематики.













8


1.1

Теорема порівняння, симетричний випадок


Нехай
ܮ


(
ܴ
)

(
r
=1,2,…
.)
-

множина заданих і
r
-
1

раз неперервно
диференційованих на усій осі функцій
f
(
t
)

т
аких, що
݂
(


1
)

ܣܥ
(


Ǣ

)

і
|
|
݂
(

)
|
|



݁ݏݏ
ݏݑ�


|
݂
(
ݐ
)
|
<


.




Покладемо
ܹ


(
ܴ
)
=

݂
(
ݐ
)
ǣ
݂

ܮ


(
ܴ
)
ǡ

݂
(

)



1

(
див
Ǥ

2

ǡ
c
Ǥ
119

)
Ǥ


У якості функцій порівняння будуть виступати
ідеальні сплайни Ейлера

(
див
.
[1]
,
c
. 64)
.

Для
ߣ
>
0

покладемо


ǡ

(
ݐ
)

ߣ




(
ߣݐ
)
ǡ

де


-

ідеальний сплайн Ейлера,
тобто
ݎ
-

та періодична первісна функції

sign

(
sin

(
t
))

(див
.

рис.1
,2
).

Тоді



ǡ

(
ݐ
)

ܹ


(
ܴ
)
.




9



рис
.1


рис.

2

1


1

t



ǡ

(

)



ǡ

(


1
)

λ

λ

10


Теорема порівняння у цьому випадку має вигляд (див.
[2]
, с. 119
) :


Теорема

А
.

Нехай
ݎ


ܰ
.
Якщо функція
݂

ܹ


(
ܴ
)

і число

λ

вибрано

так,
що
|
|
݂
|
|

|
|


ǡ

|
|
, т
о функція


ǡ


є функцією порівняння для функції
݂
.

Існує аналогічне
формулювання цієї теореми.


Теорема
B
.

Нехай

݂

ܹ


(
ܴ
)
ǡ
ݎ

ܰ

і при деякому
ߣ
>
0

|
|
݂
|
|

|
|


ǡ

|
|
.
Якщо


та

ߟ

такі, що
f
(
ξ
)=



ǡ

(
ߟ
)
, тоді
|
݂

(

)
|

|


ǡ


(
ߟ
)
|
.


















11


1.2
Несиметричний випадок


Існує певн
е коло задач аналізу, в якому замість ©симетричногоª класу
ܹ


(
ܴ
)

доводиться розглядати його ©несиметричнийª аналог. Далі буде
наведений ©несиметричнийª аналог теореми порівняння

(див.
[
2
]
, с. 127)
.


Для

чисел
ߙ
ǡ
ߚ
>
0

позначимо

|
|
݂
|
|

ǡ

ǡ


|
|
ߙ݂
+
+
ߚ݂
_
|
|

,

де
݂
+
(
ݐ
)

та
݂

(
ݐ
)
-

відповідно додатна та від‱ємна частини функції
f
(
t
)
, а через
ܹ

Ǣ


ǡ


(
ܴ
)

позначимо клас функцій

݂

ܮ

ǡ


(
ܴ
)
, таких, що

|
|
݂
(

)
|
|

Ǣ


1
ǡ


1

1
.


Екстремальною фун
кцією у цьому класі буде несиметричний ідеальний
сплайн Ейлера


ǡ

(
ݐ
Ǣ

ߙ
ǡ
ߚ
)

(
ߙ
ǡ
ߚ
>
0
)
, який визначається наступним чином:




ǡ
0
(
ݐ
Ǣ
ߙ
ǡ
ߚ
)
=
{
ߙ
ǡ
0
<
ݐ
<
ߛ
ǡ

ߚ
ǡ
ߛ
<
ݐ
<
2

ߣ

ǡ
0
ǡ
ݐ
=
0
ǡ
ߛ
ǡ

де число
γ=γ(α,β)

обрали так, щоб виконувалось рівнян
ня




ǡ
0
(
ݐ
Ǣ
ߙ
ǡ
ߚ
)
݀ݐ
=
0
ǡ
2



0

звідси
γ=
2
�ఉ
ఈఒ
+
ఉఒ

(
див
Ǥ

5

ǡ
с
Ǥ
68
)
Ǥ


Продовжимо її періодично на усю вісь.



ǡ

(
ݐ
Ǣ

ߙ
ǡ
ߚ
)
-

первісна із нульовим
середнім на періоді від функції



ǡ


1
(
ݐ
Ǣ

ߙ
ǡ
ߚ
)
,
тоді



ǡ

(
ݐ
Ǣ

ߙ
ǡ
ߚ
)

ܹ

Ǣ


ǡ


(
ܴ
)

(див
.

рис. S,4
)
.

12



рис
. 3

рис. 4

t

α

-
ߚ



ǡ

(

)
(
ݐ
Ǣ
ߙ
ǡ
ߚ
)



ǡ

(


1
)

λ

λ

13



У

несиметричному випадку справедлива наступна теорема порівняння (див.

2

ǡ
с
Ǥ
127
)
:


Теорема

C
.

Н
ехай
ݎ


ܰ
Ǣ

ߙ
ǡ
ߚ
>
0
;
݂


ܹ

Ǣ


ǡ


(
ܴ
)


і число λ обрали
так, що
для всіх
ݐ

ܴ


݉�݊





ǡ

(
ݐ
Ǣ
ߙ
ǡ
ߚ
)

݂
(
ݐ
)

݉ܽ�





ǡ

(
ݐ
Ǣ
ߙ
ǡ
ߚ
)
Ǥ


Тоді функція


ǡ


є функцією порівняння для функції
݂
.














14


1.3

Випадок класів, які

зада
ю
ться о
бмеженнями на декілька похідних


Введемо клас
и


ܹ


ǡ


1
(
ܯ
)
=

݂

ܮ

ǡ


(
ܴ
)
ǣ

݂
(

)



1
ǡ

݂
(


1
)



ܯ

.

ܹ


ǡ


2
(
ܯ
)
=

݂

ܮ

ǡ


(
ܴ
)
ǣ

݂
(

)



1
ǡ

݂
(


2
)



ܯ

.

ܹ


ǡ


1
ǡ


2
(
ܯ
Ǣ
ܰ
)
=

݂

ܮ

ǡ


(
ܴ
)
ǣ

݂
(

)



1
ǡ

݂
(


1
)



ܯ
ǡ

݂
(


2
)



ܰ

Ǥ



Нехай
ܽ
1
ǡ
ܽ
2

0
Ǥ

Визначимо
T
:=

ܽ
1
+
ܽ
2
+
2
.

Визначимо функцію

1
(
ܽ
1
ǡ
ܽ
2
Ǣ
ݐ
)

наступним чином

(див.
[4]
, с. 2)
.

На відрізку
[
0;
T
]

покладемо



1
(
ܽ
1
ǡ
ܽ
2
Ǣ
ݐ
)
=
ە
۔
ۓ
0
ǡ
ݐ


0
Ǣ
ܽ
1

ǡ
ݐ

ܽ
1
ǡ
ݐ


ܽ
1
Ǣ
ܽ
1
+
1

ǡ
1
ǡ
ݐ


ܽ
1
+
1
Ǣ
ܽ
1
+
ܽ
2
+
1

ǡ
2
+
ܽ
1
+
ܽ
2

ݐ
ǡ
ݐ


ܽ
1
+
ܽ
2
+
1
Ǣ
ܶ

Ǥ

(
див
.

рис.5
)


Продовжимо функцію

1
(
ܽ
1
ǡ
ܽ
2
Ǣ
ݐ
)

на відрізок
[
T
;2
T
]

рівнянням


1
(
ܽ
1
ǡ
ܽ
2
Ǣ
ݐ
)
=


1
(
ܽ
1
ǡ
ܽ
2
Ǣ
ݐ

ܶ
)
ǡ
ݐ


ܶ
Ǣ
2
ܶ

ǡ

а потім періодично із періодом
2
ܶ

на усю вісь.


Через


(
ݐ
)
,

де

ݎ

ܰ

будемо позначати сплайн Ейлера порядку
r

(тобто
ݎ
-

ту
періодичну первісну функції
sgn
(
sin
(
t
))

із середнім значенням нуль на періоді)
(
функції


(
ܽ
1
ǡ
ܽ
2
Ǣ
ݐ
)

вперше розглядав Родов

[8]
)
.


15



рис.5




Д
ля
ݎ

ܰ
,
ܽ
1
ǡ
ܽ
2

0
ǡ
ߣ
>
0

і
ܾ

ܴ

покладемо




1
ǡ

2
ǡ

ǡ

(
ݐ
)
=


Ǣ

1
ǡ

2
ǡ

ǡ

(
t
):=
ܾ
(

2

1
+
2

2
+
4
)



(
ܽ
1
ǡ
ܽ
2
Ǣ
2

1
+
2

2
+
4

ݐ
)
.


Відзначимо,
що функція


Ǣ

1
ǡ

2
ǡ

ǡ

(
ݐ
)

є
ߣ
-

періодичною

(див.
[4]
, с. S
)

Теорема

D
.

Н
ехай
ݎ


ܰ

і
݂

ܮ

ǡ


(
ܴ
)
. Нехай виконується одна із умов.

a)

Числа
ܽ
1
=
0
,
ܽ
2

0
,
λ

>
0

і
ܾ

0

такі, що

|
|
݂
(

)
|
|

|
|


Ǣ

1
ǡ

2
ǡ

ǡ

(

)
|
|
,



0
ǡ
ݎ

1
ǡ
ݎ


(
див
Ǥ
рис
Ǥ
6
)
Ǥ


1


-
1



1
(
ܽ
1
ǡ
ܽ
2
Ǣ
ݐ
)


16



рис
. 6

b)

Числа
ܽ
1

0
,
ܽ
2
=
0
,
λ

>
0

і
ܾ

0

такі, що


|
|
݂
(

)
|
|

|
|


Ǣ

1
ǡ

2
ǡ

ǡ

(

)
|
|
,



0
ǡ
ݎ

2
ǡ
ݎ


(
див
Ǥ
рис
Ǥ
7
ǡ
8
)
Ǥ


рис
. 7

1

-
1

1

-
1


1
(
0
ǡ
ܽ
2
Ǣ
ݐ
)


1
(
ܽ
1
ǡ
0
Ǣ
ݐ
)

17



рис. 8

c)

Числа
ܽ
1

0
,
ܽ
2

0
,
λ

>
0

і
ܾ

0

такі, що

|
|
݂
(

)
|
|

|
|


Ǣ

1
ǡ

2
ǡ

ǡ

(

)
|
|
,



0
ǡ
ݎ

1
ǡ
ݎ

2
ǡ
ݎ


(
див
Ǥ
рис
Ǥ
9
ǡ
10
)
Ǥ

Тоді
функція


Ǣ

1
ǡ

2
ǡ

ǡ


є функцією порівняння для функції
݂
.


рис
.
9


1

-
1

1

-
1


2
(
ܽ
1
ǡ
0
Ǣ
ݐ
)


1
(
ܽ
1
ǡ
ܽ
2
Ǣ
ݐ
)

18



рис. 10


Зауваження.

Попередня

теорема демонструє, що при відповідному підборі
параметрів
ܽ
1
=
0
,
ܽ
2

0
;
ܽ
1

0
,
ܽ
2
=
0
;

ܽ
1

0
ǡ

ܽ
2

0

функція


буде
функцією порівняння для функції
f

для класів
ܹ


ǡ


1
ǡ
ܹ


ǡ


2
ǡ

ܹ


ǡ


1
ǡ


2

відповідно.












2
(
ܽ
1
ǡ
ܽ
2
Ǣ
ݐ
)

19


Розділ 2.
Функція


ǡ

ǡ

ǡ

(

Ǣ

)

та її властивості

2.1
Означення екстремальної функції


У

даній роботі розглядається

клас
ܹ

ǡ

ǡ

ǡ


(
ܴ
)
,

на якому ми
зада
мо

несиметричний сплайн


ǡ

ǡ

ǡ

(
ܽ
Ǣ
ݐ
)
.


ܹ

ǡ

ǡ

ǡ


(
ܴ
)
-

клас усіх функцій
f
,

які мають
r
-
1

похідну
,

݂
(


1
)
-

локально
абсолютно неперервна

і

|
|

(


1
)
|
|

Ǣ

ǡ


1
,
|
|

(


1
)
|
|


Ǣ

ǡ


1
.


Нехай
ߛ
<
ߜ
ǡ

побудуємо

функцію



ǡ

ǡ

ǡ

(
ܽ
Ǣ
ݐ
)
.



Нехай
ܽ

0
,
ܽ
-

довільне,
ܾ
=


ܽ
,
ܽ
0
=
1
2
(
1

+
1

)

2


2

.



1
(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)
=
ە
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
۔
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
ۖ
ۓ
ߙݐ
ǡ
ݐ


0
Ǣ
ߛ
ߙ

ǡ
ߛ
ǡ
ݐ


ߛ
ߙ
Ǣ
ߛ
ߙ
+
ܽ
+
ܽ
0

ǡ

ߚ
(
ݐ

(
ߛ
ߙ
+
ܽ
+
ܽ
0
)
)
+
ߛ
ǡ
ݐ


ߛ
ߙ
+
ܽ
+
ܽ
0
Ǣ
ߜ
+
ߛ
ߚ
+
ߛ
ߙ
+
ܽ
+
ܽ
0
]
ǡ



ߜ
ǡ
ݐ

[
ߜ
+
ߛ
ߚ
+
ߛ
ߙ
+
ܽ
+
ܽ
0
Ǣ

ߜ
+
ߛ
ߚ
+
ߛ
ߙ
+
ܽ
+
ܽ
0
+
ߛ
ߜ
ܽ
]
ǡ
ߙ
(
ݐ

(
ߛ
+
ߜ
ߙ
+
ߜ
+
ߛ
ߚ
+
ܽ
+
ܽ
0
+
ߛ
ߜ
ܽ
)
)

ݐ

[
ߜ
+
ߛ
ߚ
+
ߛ
ߙ
+
ܽ
+
ܽ
0
ߛ
ߜ
ܽ
Ǣ
ߛ
+
ߜ
ߙ
+
ߜ
+
ߛ
ߚ
+
ܽ
+
ܽ
0
+
ߛ
ߜ
ܽ
]
Ǣ

(див. рис. 11
)

20



рис. 11

Продовжимо функцію

1
(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)

періодично на всю вісь з

періодом
T
=

+


+

+


+
ܽ
+
1
2
(
1

+
1

)

2


2

+


ܽ
.

Покажемо
ǡ
що




ǡ

ǡ

ǡ

(
ܽ
Ǣ
ݐ
)
݀
ݐ
=
0

0
Ǥ
Дійсно
ǣ




ǡ

ǡ

ǡ

(
ܽ
Ǣ
ݐ
)
݀ݐ
=
ܵ
1
+
ܵ
2
+
ܵ
3

ܵ
4

ܵ
5

ܵ
6
=

0

=
1
2
ߛ


+
(
ܽ
+
ܽ
0
)
ߛ
+
1
2
ߛ



(
1
2


ߜ
+
ܾߜ
+
1
2


ߜ
)
=
0
Ǥ





(
2.3.
1)

Розглянемо

2
(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)
,

що є первісною

1
(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)

з нульовим
середнім на періоді. Тоді в силу (
2.3.1
)

2
(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)
,
є також періодичною.
Аналогічно для будь
-

якого
r


.
,


(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)
-

це первісна функції



1
(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)
з нульовим середнім на періоді.

γ

-

З

y

t

0


S
1

ܵ
2

S
3

ܵ
4


ܵ
5


S
6


21


2.2

Деякі властивості екстремального сплайна


Відзначимо основні

властивості



(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)
.

З означення

1
(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)

ܹ

ǡ

ǡ

ǡ

1


ܽ

0
Ǥ

Оскільки



(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)
=

1
(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)
,

звідси випливає, що





(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)

ܹ

ǡ

ǡ

ǡ






ܽ

0
Ǥ




(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)

має два нулі на періоді і при
r

2

строго монотонна між
точками локального екстремуму.


Лема
. Нехай
f

належить простору
ܹ

ǡ

ǡ

ǡ


(
ܴ
)
.

Тоді


ܽ

0
:

݉�݊





(
ܽ
Ǣ
ݐ
)

݂
(
ݐ
)

݉ܽ�





(
ܽ
Ǣ
ݐ
)



ݐ

.


Доведення.
В силу означення


,
݉�݊





(
ܽ
Ǣ
ݐ
)



,
݉ܽ�





(
ܽ
Ǣ
ݐ
)


,

при


ܽ


Ǥ Тоді


ܽ

0
ǡ такеǡ що


݉�݊





(
ݐ
)

݂
(
ݐ
)

݉ܽ�





(
ݐ
)
Ǥ







22


Розділ S.

Основні результати


Теорема.

Я
кщо
f


ܹ

ǡ

ǡ

ǡ


(
R
),
ݎ

ܰ

і
ܽ

0

таке, що


݉�݊





(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)

݂
(
ݐ
)

݉ܽ�





(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)





























(
3
Ǥ
1
)


для будь
-

якого
ݐ

ܴ
, то
функція




(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
ǡ
ܽ
Ǣ
ݐ
)

є функцією порівняння для
функції
f
(
t
).


Доведення.

С
кори
стаємось методом математичної індукції.

Далі

для скорочення записів будемо писати
φ

замість
φ
α
ǡ
β
ǡ
γ
ǡ
δ
(
a
Ǣ
t
)
.


Базис:
Нехай
r
=1
.

Доведемо, що

якщо
f


ܹ

ǡ

ǡ

ǡ

1
(
ܴ
)

і

݉�݊




1
(
ݐ
)

݂
(
ݐ
)

݉ܽ�




1
(
ݐ
)
ǡ


ݐ

ܴ
ǡ

то

функція

1
(
ݐ
)

є функцією порівняння

для функції
f
(
t
).

Позначимо
ߜ
=
݂
(
ݐ
)


1
(
ݐ
)
.

Дов
едемо від протилежного
.

Нехай
функція

1
(
ݐ
)

не є функцією порівняння
для функції
f
(
t
)
.

Можемо вважати, що


проміжок монотонності функції

, де
функція



неспадна і

на цьому проміжку
ߜ

змінює з
нак з
©
-
ª

на
©+ª
, тобто


ݏ
1
<
ݏ
2
,
ߜ
(
ݏ
1
)
<
0

і
ߜ
(
ݏ
2
)
>
0























































































(
3
Ǥ
2
)

Нехай
ݐ
1
ǡ
ݐ
2

інтервал

неспадання

функції

1
, на якому функція

ߜ

змінює
знак з
©
-
ª

н
а
©+ª
.

Нехай
(
ݐ
1

,
ݐ
2

)

(
ݐ
1
ǡ
ݐ
2
)
-

проміжок строгої монотонності

1
.

Оскільки

1
(
ݐ
)

ߛ

на
(
ݐ
2

ǡ
ݐ
2
)
,

і


݂


ܹ

ǡ

ǡ

ǡ

1
(
R
)
,

то

о
тримаємо
ݏ
2
<
ݐ
2

Ǥ

23


Оскільки

1
(
ݐ
)


ߜ

на
(
ݐ
1
ǡ
ݐ
1


)
,

і
݂

ܹ

ǡ

ǡ

ǡ

1
(
R
)
,

то

о
тримаємо
ݏ
1
>
ݐ
1

.

Тоді
(
ݏ
1
ǡ
ݏ
2
)

(

ݐ
1

ǡ
ݐ
2

),

отже


1

(
ݐ
)
=
ߙ



ݐ


(
ݏ
1
ǡ
ݏ
2
)
.

݂
(
ݏ
2
)

݂
(
ݏ
1
)
=

=

݂

(
ݐ
)
݀ݐ

ߙ
(
ݏ
2

ݏ
1
)
=

ߙ݀ݐ
=


1

(
ݐ
)
݀ݐ
=

(
ݏ
2
)


(
ݏ
1
)

2

1

2

1

2

1
.

Отримали протиріччя

з (S
.2
)
, отже
φ

є функцією порівняння для
f

у випадку
r
=1
.



Індуктивне припущення. Нехай твердження справедливе при
r
=
k
-
1
,

тобто,

якщо
݂

ܹ

ǡ

ǡ

ǡ



1
(
ܴ
)

і

виконується


݉�݊






1
(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
Ǣ
ݐ
)

݂
(
ݐ
)

݉ܽ�






1
(
ߙ
ǡ
ߚ
ǡ
ߛ
ǡ
ߜ
Ǣ
ݐ
)
ǡ


т
о

функція




1
(
ݐ
)

є функцією порівняння для функції
f
(
t
).

Д
оведемо твердження при
r
=
k
. Нехай
݂

ܹ

ǡ

ǡ

ǡ


(
ܴ
)

і

݉�݊





(
ݐ
)

݂
(
ݐ
)

݉ܽ�





(
ݐ
)
Ǥ

Доведемо, що
функція



1
(
ݐ
)

є функцією порівняння для функції
f
(
t
).

Для цього

спочатку

д
оведемо, що


݉�݊






1
(
ݐ
)

݂

(
ݐ
)

݉ܽ�






1
(
ݐ
)





ݐ

ܴ
Ǥ































(
3
Ǥ
3
)



24



П
рипустимо супротивне. Нехай (S.S
) не виконується.

Це можливо у
наступних S випадках:

1 випадок:
݉ܽ�






(
ݐ
)
<
݉ܽ�



݂

(
ݐ
)
і

݉�݊






(
ݐ
)

݉�݊



݂

(
ݐ
)
Ǣ

2 випадок:
݉ܽ�






(
ݐ
)

݉ܽ�



݂

(
ݐ
)
і

݉�݊






(
ݐ
)
>
݉�݊



݂

(
ݐ
)
Ǣ

S випадок:

0
<
݉ܽ�






(
ݐ
)
<
݉ܽ�



݂

(
ݐ
)
і

0
>
݉�݊






(
ݐ
)
>
݉�݊



݂

(
ݐ
)
Ǥ


Розглянемо S випадок
, інші ви
падки розглядаються аналогічно.

Без зменшення загальності можемо вважати, що


|
௠௔�






(

)
௠௔�





(

)
|

|
௠�௡






(

)
௠�௡





(

)
|
Ǥ








































(3.4
)


Ос
кільки замість
݂
(
ݐ
)

ми можемо розглянути функцію
݂
(
ݐ
+

)
, де

-



число,
будемо

вважати, що



ݐ

ǣ


(
ݐ

)
=
݉ܽ�





(
ݐ
)

і

݂
(
ݐ

)
=
݉ܽ�



݂
(
ݐ
)
Ǥ

























































(
3
Ǥ
5
)


Нех
ай
ݐ
1
ǡ
ݐ
2
-

найближчі ліворуч та праворуч від
ݐ


нулі функції



1
, функція



1
(
ݐ
)

зростає на
(
ݐ
1
ǡ
ݐ

)

і спадає на
(
ݐ

ǡ
ݐ
2
)
.

В силу (S.1
)


݂

(
ݐ
)

2

1
݀ݐ
=
݂
(
ݐ
2
)

݂
(
ݐ
1
)

݉ܽ�



݂
(
ݐ
)

݉�݊



݂
(
ݐ
)

݉ܽ�






݉�݊





=

25












=


(
ݐ
2
)



(
ݐ
1
)
=




(
ݐ
)
݀ݐ

2

1




ߠ�

(
ݐ
1
ǡ
ݐ
2
)
:0
<
݂

(
ߠ
)
<



1
(
ߠ
).

Б
удемо вважати, що
ݐ
1
<
ߠ
<
ݐ

Ǥ

Розглянемо
функц
ію

݃
(
ݐ
)

௠௔�






1
(

)
௠௔�





(

)
݂
(
ݐ
)
, тоді
g

ܹ

ǡ

ǡ

ǡ



1
(
ܴ
)
,

݃
(
ߠ
)
<



1
(
ߠ
)
ǡ


















































































































(
3
Ǥ
6
)

݃
(
ݐ

)
=



1
(
ݐ

)
.

݉ܽ�



݃
(
ݐ
)
=
݃
(
ݐ

)
=
݉ܽ�






1
(
ݐ
)
݉ܽ�



݂

(
ݐ
)
݂
(
ݐ

)
=
݉ܽ�






1
ǡ

і в силу (S.4
)


݉�݊



݃
(
ݐ
)
=
݉ܽ�






1
(
ݐ
)
݉ܽ�



݂

(
ݐ
)
݉�݊



݂

(
ݐ
)

݉�݊






1
(
ݐ
)
݉�݊



݂

(
ݐ
)
݉�݊



݂

(
ݐ
)
=
݉�݊






1
(
ݐ
)
Ǥ


Тобтоǡ
для
g

усі умови індуктивного припущення виконуються.


ߝ
>
0

розглянемо

функцію
h
(
t
)
ǣ

h
(
t
)=
g
(
t
+

ߝ
)
.

В силу означення
h

для неї також
виконуються умови з ін
дуктивного припущення. Дійсно,

h

ܹ

ǡ

ǡ

ǡ



1
(
ܴ
)


݉�݊


=
݉�݊



݃
(
ݐ
)

݉�݊



݂

(
ݐ
)
ǡ

݉ܽ�


=
݉ܽ�



݃
(
ݐ
)
=
݉ܽ�



݂

(
ݐ
)
ǡ


26


крім того,

h
(
ݐ


ߝ
)=
g
(
ݐ

)
=



1
(
ݐ

)
>



1
(
ݐ


ߝ
)
,

в
раховуючи (
3.6
)

можемо
обрати
ߝ

настільки
ма
лим, щоб виконувалось
h
(
ߠ
)
<



1
(
ߠ
)
ǡ

тоді різниця





змінює знак

з
©
-
ª

на
©+ª
,

отже




1

не є функцією порівняння для
функції
h
,
що суперечить індуктивному припущенню
.

Таким чином ми довели
(3.3
).



Повернемось до доведення індуктивного припущення.

Нехай
r
=
k

і
f


ܹ

ǡ

ǡ

ǡ


(
ܴ
)
,

така, що

виконується (S.1
)
. Тоді справедливі
нерівності (S.S
).

Розглянемо різницю
ߜ
(
ݐ
)
=
݂
(
ݐ
)


(
ݐ
)
ǡ


ݐ

ܴ
.

При
пустимо супротивне
, що




не є функцією порівняння для функції
f
,

Можемо вважати, що на проміжку
зростання


,
є з
міни знаку

функції

ߜ

з
©
-
ª

на
©+ª
.

Нехай
ݐ
1
,
ݐ
2
-

проміжок зростання



і


ݏ
1
<
ݏ
2

(
ݐ
1
ǡ
ݐ
2
)

ߜ
(
ݏ
1
)
<
0
ǡ

ߜ
(
ݏ
2
)
>
0
Ǥ

Розглянемо
ߜ

(
t
)=
(1
-
ߝ
)
f
(
t
)
-


(
t
)
,
де
ߝ
>
0

вибрано так, щоб

ߜ

(
ݏ
1
)
<
0
ǡ

ߜ

(
ݏ
2
)
>
0
Ǥ

В силу (
3.1
)

ߜ

(
ݐ
1
)
>
0
ǡ

ߜ

(
ݐ
2
)
<
0

(див. рис. 12
).

27



рис
.
12

Тоді існують точки
А, В, С
:


ܣ
<
ܤ
<
ܥ

(
ݐ
1
ǡ
ݐ
2
)
ǣ

ߜ
(
ܣ
)
=
ߜ
(
ܤ
)
=
ߜ
(
ܥ
)
=
0

і
ߜ

(
ܣ
)
<
0
ǡ
ߜ

(
ܤ
)
>
0
ǡ
ߜ

(
ܥ
)
<
0


(див. рис.
13
).

ݐ
1

ݐ
2

A

B

C




28



рис
.

13

можемо вважати, що дві з S точок
ܣ
ǡ
ܤ
ǡ
ܥ

лежать на
(
ݐ
1
Ǣ
ݐ

)
ǡ
де

ݐ


(
ݐ
1
,
ݐ
2
)

така,
що




(
ݐ
)

зростає
на
(
ݐ
1
Ǣ
ݐ

)

і спадає на

(
ݐ

ǡ
ݐ
2
)
.

Але тоді функція
ߜ



змінює знак
з
©
-
ª

на
©+ª

на проміжку зростання
(
ݐ
1
Ǣ
ݐ

)

функції



1
, отже



1

не є
функцією порівняння для функції
(1
-
ߝ
)
f
, що суперечить індуктивному
припущенню.

Теорема доведена.



ݐ
1

ݐ
2

A

B

C




1

ݐ


2
9


ВИСНОВКИ


Дипломна робота присвячена отриманню аналогів теореми порівняння
Колмогорова для класу функцій, що задаються обмеженнями на несиметричні
норми старших похідних.


У першому розділі

була

розглянута

теорема порівняння Ко
лмогорова

для

різних класів.


У другому розділі була введена екстре
мальна функція та були доведен
і деякі
її властивості.


У третьому розділі
була доведена

теорема порівняння для класу

ܹ

ǡ

ǡ

ǡ


(
-

Ǣ

).














30


ПЕРЕЛІК

ВИКОРИСТАНИ
Х ДγЕРЕЛ

[1] Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближений
-

М.:
Наука. αлавная
редакция физико
-

математической литературы, 1984,

S52 с.,
с. 64
.

[2] Корнейчук Н. П Точные константы в теории приближения
-

М.: Наука . αл.
ред. физ.
-

мат. лит., 1987.
-
424 с., с.
94, с. 104, с. 119
.

[S] Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. αлавная
редакция физико
-

математической литературы изд
-

ва ©Наукаª, М., 1976, с. 11S
.

[4] В. Ф. Бабенко, О. В. Коваленко Теоремы сравнения производных и
некоторые их приложени
я.
Вісник ДНУ, 2012,Том 1, №1, 1
-
9

ISSN

9128
-

0912.

[
5
]

В. Ф. Бабенко
, Н.
П. Корнейчук, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов Неравенства
для производных и их приложения
, Киев,
Наукова думка, 200S, с. 66, с. 69
.

[6
]

Колмогоров А. Н. о неравенствах между верхними гр
анями
последовательных производных произвольной функции на бесконечном
интервале .// В кн. А. Н. Колмогоров, избранные труды, Математика и
механика, М. Наука, 1985, с. 252
-

263.

[7] Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства
полином
ов и сплайнов
.
-

Киев. Наук. думка 1992,
-
S04 с.

[8] Родов А. М. Зависимость между верхними гранями производных функций
действительного переменного // Изв. АН СССР. Сер. Мат.
-

1946. 10. с.
-

257
-
270
.

[9] Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. α. Аппроксима
ция с
ограничениями


Киев: Наукова думка, 1982,
-

250 с.

[1
0
] Babenko V. F., Kofanov V. A., Pichugov S. A. Inequalities for norms of
intermediate derivatives of periodic functions and their applications// Ibid.
-

N 3.
-

P.
251
-

376.


Приложенные файлы

  • pdf 1064753
    Размер файла: 637 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий