DIPLOM_- 09.065


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
1 Міністерство освіти і науки України Дніпропетровський національний університет імені Олеся αончара Механіко - математичний факультет Кафедра математичного аналізу і теорії функцій ДИПЛОМНА РОБОТА ПЕРШОαО (БАКАЛАВРСЬКОαО) РІВНЯ ВИЩОЇ ОСВІТИ АНАЛОαИ ТЕОРЕ МИ ПОРІВНЯННЯ КОЛМОαОРОВА ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ Допускається до захисту: т . в. о. завідувача кафедри, ____________ (В.П. Моторний) д. ф. - м. наук Рецензент: ____________ ( О.О. Пипка ) доцент кафедри МαА , к. ф. - м. наук Керівник: ____________ ( О.В. Коваленко ) доцент кафедри ММА , к. ф. - м. наук Виконавець: ____________ ( К.Ю. Конограй ) студентка групи ММ - 1 3 - 1 Д ніпро 2017 2 РЕФЕРАТ Дипломна робота освітньо - ква ліфікаційного рівня бакалавр : 30 с., 1S рис., 1 0 джерел. Об‱єктом дослідження є ідеальні сплайни Ейлера та їх аналоги. Мета: отримання аналогів теореми порівняння Колмогорова. Методи дослідження: класичні методи математичного та функціонального аналізу. Одержані теореми порівняння для класу ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ ௥ ( ܴ ) є новими. Результати дослідження можуть бути застосовані при дослідженні екстремальних задач функціонального аналізу та теорії наближення . Ключові слова: ТЕОРЕМА ПОРІВНЯННЯ КОЛМОαОРОВА, СПЛАЙНИ ЕЙЛЕРА, НЕСИМЕТРИЧНІ СПЛАЙНИ. 3 SUMMARY The graduation paper consists of 30 pages, 13 pictures, and 1 0 references. The object of research is i deal Euler splines and their analo gue s . The objective of research is proof of 0 та X = C ( R ) або ܺ = ܮ ∞ ( ܴ ) ǡ ݂ ∈ ܺ , | | ݂ | | � ǡ � ǡ ఓ = | | ߟ − 1 ݂ + + ߤ − 1 ݂ − | | � . ܹ ∞ ௥ ( ܴ ) = { ݂ ( ݐ ) ǣ ݂ ∈ ܮ ௥ ( ܴ ) ǡ | | ݂ ( ௥ ) | | ∞ ≤ 1 } Ǥ ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ ௥ ( ܴ ) - клас усіх функцій f , які мають r - 1 похідну , ݂ ( ௥ − 1 ) - локально абсолютно неперервна і | | � ( ௥ − 1 ) | | � Ǣ ఊ ǡ ఋ ≤ 1 , | | � ( ௥ − 1 ) | | � ∞ Ǣ ఈ ǡ ఉ ≤ 1 . 7 Розділ 1. В ідомі результати Введемо поняття функції порівняння. Скажемо, що � ∈ ܥ ( − ∞ Ǣ ∞ ) є функцією порівняння для функції f ∈ ܥ ( − ∞ Ǣ ∞ ) , якщо ∀ ܿ ǡ ߙ ∈ ܴ різниця � ( ݐ ) - [ f ( t + ߙ )+ c ] на кожному проміжку монотонності � ( ݐ ) або не змінює знак, або змінює один раз, до того ж з ©+ª на © - ª там, де � ( ݐ ) спадає, і з © - ª на ©+ª там, де � ( ݐ ) зростає. Зрозуміло, що якщо функція � ( ݐ ) є функцією порівняння для функції f ( t ) , то функція � ( ݐ + ߚ ) є функцією порівняння для функції f ( t ) . Функції порівняння відомі для багатьох класів ( див. наприкл. [1] , [3], [6], [7] , [9] , [1 0 ] та інші ) . В наступних підрозділах ми наводимо деякі з відомих результатів стосовно цієї тематики. 8 1.1 Теорема порівняння, симетричний випадок Нехай ܮ ∞ ௥ ( ܴ ) ( r =1,2,… .) - множина заданих і r - 1 раз неперервно диференційованих на усій осі функцій f ( t ) т аких, що ݂ ( ௥ − 1 ) ∈ ܣܥ ( − ∞ Ǣ ∞ ) і | | ݂ ( ௥ ) | | ∞ ≔ ݁ݏݏ ݏݑ� ሼ | ݂ ( ݐ ) | < ∞ ሽ . Покладемо ܹ ∞ ௥ ( ܴ ) = ቄ ݂ ( ݐ ) ǣ ݂ ∈ ܮ ∞ ௥ ( ܴ ) ǡ ‖ ݂ ( ௥ ) ‖ ∞ ≤ 1 ቅ ( див Ǥ ሾ 2 ሿ ǡ c Ǥ 119 ) Ǥ У якості функцій порівняння будуть виступати ідеальні сплайни Ейлера ( див . [1] , c . 64) . Для ߣ > 0 покладемо � ఒ ǡ ௥ ( ݐ ) ≔ ߣ − ௥ � ௥ ( ߣݐ ) ǡ де � ௥ - ідеальний сплайн Ейлера, тобто ݎ - та періодична первісна функції sign ( sin ( t )) (див . рис.1 ,2 ). Тоді � ఒ ǡ ௥ ( ݐ ) ∈ ܹ ∞ ௥ ( ܴ ) . 9 рис .1 рис. 2 1 − 1 t � ఒ ǡ ௥ ( ௥ ) � ఒ ǡ ௥ ( ௥ − 1 ) λ λ 10 Теорема порівняння у цьому випадку має вигляд (див. [2] , с. 119 ) : Теорема А . Нехай ݎ ∈ ܰ . Якщо функція ݂ ∈ ܹ ∞ ௥ ( ܴ ) і число λ вибрано так, що | | ݂ | | ≤ | | � ఒ ǡ ௥ | | , т о функція � ఒ ǡ ௥ є функцією порівняння для функції ݂ . Існує аналогічне формулювання цієї теореми. Теорема B . Нехай ݂ ∈ ܹ ∞ ௥ ( ܴ ) ǡ ݎ ∈ ܰ і при деякому ߣ > 0 | | ݂ | | ≤ | | � ఒ ǡ ௥ | | . Якщо � та ߟ такі, що f ( ξ )= � ఒ ǡ ௥ ( ߟ ) , тоді | ݂ ′ ( � ) | ≤ | � ఒ ǡ ௥ ′ ( ߟ ) | . 11 1.2 Несиметричний випадок Існує певн е коло задач аналізу, в якому замість ©симетричногоª класу ܹ ∞ ௥ ( ܴ ) доводиться розглядати його ©несиметричнийª аналог. Далі буде наведений ©несиметричнийª аналог теореми порівняння (див. [ 2 ] , с. 127) . Для чисел ߙ ǡ ߚ > 0 позначимо | | ݂ | | ∞ ǡ ఈ ǡ ఉ ≔ | | ߙ݂ + + ߚ݂ _ | | ∞ , де ݂ + ( ݐ ) та ݂ − ( ݐ ) - відповідно додатна та від‱ємна частини функції f ( t ) , а через ܹ ∞ Ǣ ఈ ǡ ఉ ௥ ( ܴ ) позначимо клас функцій ݂ ∈ ܮ ∞ ǡ ∞ ௥ ( ܴ ) , таких, що | | ݂ ( ௥ ) | | ∞ Ǣ ఈ − 1 ǡ ఉ − 1 ≤ 1 . Екстремальною фун кцією у цьому класі буде несиметричний ідеальний сплайн Ейлера � ఒ ǡ ௥ ( ݐ Ǣ ߙ ǡ ߚ ) ( ߙ ǡ ߚ > 0 ) , який визначається наступним чином: � ఒ ǡ 0 ( ݐ Ǣ ߙ ǡ ߚ ) = { ߙ ǡ 0 < ݐ < ߛ ǡ − ߚ ǡ ߛ < ݐ < 2 � ߣ ⁄ ǡ 0 ǡ ݐ = 0 ǡ ߛ ǡ де число γ=γ(α,β) обрали так, щоб виконувалось рівнян ня ∫ � ఒ ǡ 0 ( ݐ Ǣ ߙ ǡ ߚ ) ݀ݐ = 0 ǡ 2 � ఒ ⁄ 0 звідси γ= 2 �ఉ ఈఒ + ఉఒ ( див Ǥ ሾ 5 ሿ ǡ с Ǥ 68 ) Ǥ Продовжимо її періодично на усю вісь. � ఒ ǡ ௥ ( ݐ Ǣ ߙ ǡ ߚ ) - первісна із нульовим середнім на періоді від функції � ఒ ǡ ௥ − 1 ( ݐ Ǣ ߙ ǡ ߚ ) , тоді � ఒ ǡ ௥ ( ݐ Ǣ ߙ ǡ ߚ ) ∈ ܹ ∞ Ǣ ఈ ǡ ఉ ௥ ( ܴ ) (див . рис. S,4 ) . 12 рис . 3 рис. 4 t α - ߚ � ఒ ǡ ௥ ( ௥ ) ( ݐ Ǣ ߙ ǡ ߚ ) � ఒ ǡ ௥ ( ௥ − 1 ) λ λ 13 У несиметричному випадку справедлива наступна теорема порівняння (див. ሾ 2 ሿ ǡ с Ǥ 127 ) : Теорема C . Н ехай ݎ ∈ ܰ Ǣ ߙ ǡ ߚ > 0 ; ݂ ∈ ܹ ∞ Ǣ ఈ ǡ ఉ ௥ ( ܴ ) і число λ обрали так, що для всіх ݐ ∈ ܴ ݉�݊ ௧ ∈ � � ఒ ǡ ௥ ( ݐ Ǣ ߙ ǡ ߚ ) ≤ ݂ ( ݐ ) ≤ ݉ܽ� ௧ ∈ � � ఒ ǡ ௥ ( ݐ Ǣ ߙ ǡ ߚ ) Ǥ Тоді функція � ఒ ǡ ௥ є функцією порівняння для функції ݂ . 14 1.3 Випадок класів, які зада ю ться о бмеженнями на декілька похідних Введемо клас и ܹ ∞ ௥ ǡ ௥ − 1 ( ܯ ) = ቄ ݂ ∈ ܮ ∞ ǡ ∞ ௥ ( ܴ ) ǣ ‖ ݂ ( ௥ ) ‖ ∞ ≤ 1 ǡ ‖ ݂ ( ௥ − 1 ) ‖ ∞ ≤ ܯ ቅ . ܹ ∞ ௥ ǡ ௥ − 2 ( ܯ ) = ቄ ݂ ∈ ܮ ∞ ǡ ∞ ௥ ( ܴ ) ǣ ‖ ݂ ( ௥ ) ‖ ∞ ≤ 1 ǡ ‖ ݂ ( ௥ − 2 ) ‖ ∞ ≤ ܯ ቅ . ܹ ∞ ௥ ǡ ௥ − 1 ǡ ௥ − 2 ( ܯ Ǣ ܰ ) = ቄ ݂ ∈ ܮ ∞ ǡ ∞ ௥ ( ܴ ) ǣ ‖ ݂ ( ௥ ) ‖ ∞ ≤ 1 ǡ ‖ ݂ ( ௥ − 1 ) ‖ ∞ ≤ ܯ ǡ ‖ ݂ ( ௥ − 2 ) ‖ ∞ ≤ ܰ ቅ Ǥ Нехай ܽ 1 ǡ ܽ 2 ≥ 0 Ǥ Визначимо T := ܽ 1 + ܽ 2 + 2 . Визначимо функцію � 1 ( ܽ 1 ǡ ܽ 2 Ǣ ݐ ) наступним чином (див. [4] , с. 2) . На відрізку [ 0; T ] покладемо � 1 ( ܽ 1 ǡ ܽ 2 Ǣ ݐ ) = ە ۔ ۓ 0 ǡ ݐ ∈ ሾ 0 Ǣ ܽ 1 ሿ ǡ ݐ − ܽ 1 ǡ ݐ ∈ ሾ ܽ 1 Ǣ ܽ 1 + 1 ሿ ǡ 1 ǡ ݐ ∈ ሾ ܽ 1 + 1 Ǣ ܽ 1 + ܽ 2 + 1 ሿ ǡ 2 + ܽ 1 + ܽ 2 − ݐ ǡ ݐ ∈ ሾ ܽ 1 + ܽ 2 + 1 Ǣ ܶ ሿ Ǥ ( див . рис.5 ) Продовжимо функцію � 1 ( ܽ 1 ǡ ܽ 2 Ǣ ݐ ) на відрізок [ T ;2 T ] рівнянням � 1 ( ܽ 1 ǡ ܽ 2 Ǣ ݐ ) = − � 1 ( ܽ 1 ǡ ܽ 2 Ǣ ݐ − ܶ ) ǡ ݐ ∈ ሾ ܶ Ǣ 2 ܶ ሿ ǡ а потім періодично із періодом 2 ܶ на усю вісь. Через � ௥ ( ݐ ) , де ݎ ∈ ܰ будемо позначати сплайн Ейлера порядку r (тобто ݎ - ту періодичну первісну функції sgn ( sin ( t )) із середнім значенням нуль на періоді) ( функції � ௥ ( ܽ 1 ǡ ܽ 2 Ǣ ݐ ) вперше розглядав Родов [8] ) . 15 рис.5 Д ля ݎ ∈ ܰ , ܽ 1 ǡ ܽ 2 ≥ 0 ǡ ߣ > 0 і ܾ ∈ ܴ покладемо � ௔ 1 ǡ ௔ 2 ǡ ௕ ǡ ఒ ( ݐ ) = � ௥ Ǣ ௔ 1 ǡ ௔ 2 ǡ ௕ ǡ ఒ ( t ):= ܾ ( ఒ 2 ௔ 1 + 2 ௔ 2 + 4 ) ௥ � ௥ ( ܽ 1 ǡ ܽ 2 Ǣ 2 ௔ 1 + 2 ௔ 2 + 4 ఒ ݐ ) . Відзначимо, що функція � ௥ Ǣ ௔ 1 ǡ ௔ 2 ǡ ௕ ǡ ఒ ( ݐ ) є ߣ - періодичною (див. [4] , с. S ) Теорема D . Н ехай ݎ ∈ ܰ і ݂ ∈ ܮ ∞ ǡ ∞ ௥ ( ܴ ) . Нехай виконується одна із умов. a) Числа ܽ 1 = 0 , ܽ 2 ≥ 0 , λ > 0 і ܾ ≠ 0 такі, що | | ݂ ( � ) | | ≤ | | � ௥ Ǣ ௔ 1 ǡ ௔ 2 ǡ ௕ ǡ ఒ ( � ) | | , � ∈ ሼ 0 ǡ ݎ − 1 ǡ ݎ ሽ ( див Ǥ рис Ǥ 6 ) Ǥ 1 - 1 � 1 ( ܽ 1 ǡ ܽ 2 Ǣ ݐ ) 16 рис . 6 b) Числа ܽ 1 ≥ 0 , ܽ 2 = 0 , λ > 0 і ܾ ≠ 0 такі, що | | ݂ ( � ) | | ≤ | | � ௥ Ǣ ௔ 1 ǡ ௔ 2 ǡ ௕ ǡ ఒ ( � ) | | , � ∈ ሼ 0 ǡ ݎ − 2 ǡ ݎ ሽ ( див Ǥ рис Ǥ 7 ǡ 8 ) Ǥ рис . 7 1 - 1 1 - 1 � 1 ( 0 ǡ ܽ 2 Ǣ ݐ ) � 1 ( ܽ 1 ǡ 0 Ǣ ݐ ) 17 рис. 8 c) Числа ܽ 1 ≥ 0 , ܽ 2 ≥ 0 , λ > 0 і ܾ ≠ 0 такі, що | | ݂ ( � ) | | ≤ | | � ௥ Ǣ ௔ 1 ǡ ௔ 2 ǡ ௕ ǡ ఒ ( � ) | | , � ∈ ሼ 0 ǡ ݎ − 1 ǡ ݎ − 2 ǡ ݎ ሽ ( див Ǥ рис Ǥ 9 ǡ 10 ) Ǥ Тоді функція � ௥ Ǣ ௔ 1 ǡ ௔ 2 ǡ ௕ ǡ ఒ є функцією порівняння для функції ݂ . рис . 9 1 - 1 1 - 1 � 2 ( ܽ 1 ǡ 0 Ǣ ݐ ) � 1 ( ܽ 1 ǡ ܽ 2 Ǣ ݐ ) 18 рис. 10 Зауваження. Попередня теорема демонструє, що при відповідному підборі параметрів ܽ 1 = 0 , ܽ 2 ≥ 0 ; ܽ 1 ≥ 0 , ܽ 2 = 0 ; ܽ 1 ≥ 0 ǡ ܽ 2 ≥ 0 функція � буде функцією порівняння для функції f для класів ܹ ∞ ௥ ǡ ௥ − 1 ǡ ܹ ∞ ௥ ǡ ௥ − 2 ǡ ܹ ∞ ௥ ǡ ௥ − 1 ǡ ௥ − 2 відповідно. � 2 ( ܽ 1 ǡ ܽ 2 Ǣ ݐ ) 19 Розділ 2. Функція � ࢻ ǡ ࢼ ǡ ࢽ ǡ ࢾ ( � Ǣ � ) та її властивості 2.1 Означення екстремальної функції У даній роботі розглядається клас ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ ௥ ( ܴ ) , на якому ми зада мо несиметричний сплайн � ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ ( ܽ Ǣ ݐ ) . ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ ௥ ( ܴ ) - клас усіх функцій f , які мають r - 1 похідну , ݂ ( ௥ − 1 ) - локально абсолютно неперервна і | | � ( ௥ − 1 ) | | � Ǣ ఊ ǡ ఋ ≤ 1 , | | � ( ௥ − 1 ) | | � ∞ Ǣ ఈ ǡ ఉ ≤ 1 . Нехай ߛ < ߜ ǡ побудуємо функцію � ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ ( ܽ Ǣ ݐ ) . Нехай ܽ ≥ 0 , ܽ - довільне, ܾ = ఊ ఋ ܽ , ܽ 0 = 1 2 ( 1 ఈ + 1 ఉ ) ఋ 2 − ఊ 2 ఊ . � 1 ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) = ە ۖ ۖ ۖ ۖ ۖ ۖ ۖ ۔ ۖ ۖ ۖ ۖ ۖ ۖ ۖ ۓ ߙݐ ǡ ݐ ∈ ቂ 0 Ǣ ߛ ߙ ቃ ǡ ߛ ǡ ݐ ∈ ቂ ߛ ߙ Ǣ ߛ ߙ + ܽ + ܽ 0 ቃ ǡ − ߚ ( ݐ − ( ߛ ߙ + ܽ + ܽ 0 ) ) + ߛ ǡ ݐ ∈ ቂ ߛ ߙ + ܽ + ܽ 0 Ǣ ߜ + ߛ ߚ + ߛ ߙ + ܽ + ܽ 0 ] ǡ − ߜ ǡ ݐ ∈ [ ߜ + ߛ ߚ + ߛ ߙ + ܽ + ܽ 0 Ǣ ߜ + ߛ ߚ + ߛ ߙ + ܽ + ܽ 0 + ߛ ߜ ܽ ] ǡ ߙ ( ݐ − ( ߛ + ߜ ߙ + ߜ + ߛ ߚ + ܽ + ܽ 0 + ߛ ߜ ܽ ) ) ݐ ∈ [ ߜ + ߛ ߚ + ߛ ߙ + ܽ + ܽ 0 ߛ ߜ ܽ Ǣ ߛ + ߜ ߙ + ߜ + ߛ ߚ + ܽ + ܽ 0 + ߛ ߜ ܽ ] Ǣ (див. рис. 11 ) 20 рис. 11 Продовжимо функцію � 1 ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) періодично на всю вісь з періодом T = ఊ + ఋ ఈ + ఋ + ఊ ఉ + ܽ + 1 2 ( 1 ఈ + 1 ఉ ) ఋ 2 − ఊ 2 ఊ + ఊ ఋ ܽ . Покажемо ǡ що ∫ � ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ ( ܽ Ǣ ݐ ) ݀ ݐ = 0 � 0 Ǥ Дійсно ǣ ∫ � ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ ( ܽ Ǣ ݐ ) ݀ݐ = ܵ 1 + ܵ 2 + ܵ 3 − ܵ 4 − ܵ 5 − ܵ 6 = � 0 = 1 2 ߛ ఊ ఈ + ( ܽ + ܽ 0 ) ߛ + 1 2 ߛ ఊ ఉ − ( 1 2 ఋ ఉ ߜ + ܾߜ + 1 2 ఋ ఈ ߜ ) = 0 Ǥ ( 2.3. 1) Розглянемо � 2 ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) , що є первісною � 1 ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) з нульовим середнім на періоді. Тоді в силу ( 2.3.1 ) � 2 ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) , є також періодичною. Аналогічно для будь - якого r ∈ . , � ௥ ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) - це первісна функції � ௥ − 1 ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) з нульовим середнім на періоді. γ - З y t 0 S 1 ܵ 2 S 3 ܵ 4 ܵ 5 S 6 21 2.2 Деякі властивості екстремального сплайна Відзначимо основні властивості � ௥ ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) . З означення � 1 ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) ∈ ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ 1 ∀ ܽ ≥ 0 Ǥ Оскільки � ௥ ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) = � 1 ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) , звідси випливає, що � ௥ ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) ∈ ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ ௥ ∀ ܽ ≥ 0 Ǥ � ௥ ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) має два нулі на періоді і при r ≥ 2 строго монотонна між точками локального екстремуму. Лема . Нехай f належить простору ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ ௥ ( ܴ ) . Тоді ∃ ܽ ≥ 0 : ݉�݊ ௧ ∈ � � ௥ ( ܽ Ǣ ݐ ) ≤ ݂ ( ݐ ) ≤ ݉ܽ� ௧ ∈ � � ௥ ( ܽ Ǣ ݐ ) ∀ ݐ . Доведення. В силу означення � ௥ , ݉�݊ ௧ ∈ � � ௥ ( ܽ Ǣ ݐ ) → − ∞ , ݉ܽ� ௧ ∈ � � ௥ ( ܽ Ǣ ݐ ) → ∞ , при ܽ → ∞ Ǥ Тоді ∃ ܽ ≥ 0 ǡ такеǡ що ݉�݊ ௧ ∈ � � ௥ ( ݐ ) ≤ ݂ ( ݐ ) ≤ ݉ܽ� ௧ ∈ � � ௥ ( ݐ ) Ǥ 22 Розділ S. Основні результати Теорема. Я кщо f ∈ ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ ௥ ( R ), ݎ ∈ ܰ і ܽ ≥ 0 таке, що ݉�݊ ௧ ∈ � � ௥ ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) ≤ ݂ ( ݐ ) ≤ ݉ܽ� ௧ ∈ � � ௥ ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) ( 3 Ǥ 1 ) для будь - якого ݐ ∈ ܴ , то функція � ௥ ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ ǡ ܽ Ǣ ݐ ) є функцією порівняння для функції f ( t ). Доведення. С кори стаємось методом математичної індукції. Далі для скорочення записів будемо писати φ замість φ α ǡ β ǡ γ ǡ δ ( a Ǣ t ) . Базис: Нехай r =1 . Доведемо, що якщо f ∈ ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ 1 ( ܴ ) і ݉�݊ ௧ ∈ � � 1 ( ݐ ) ≤ ݂ ( ݐ ) ≤ ݉ܽ� ௧ ∈ � � 1 ( ݐ ) ǡ ∀ ݐ ∈ ܴ ǡ то функція � 1 ( ݐ ) є функцією порівняння для функції f ( t ). Позначимо ߜ = ݂ ( ݐ ) − � 1 ( ݐ ) . Дов едемо від протилежного . Нехай функція � 1 ( ݐ ) не є функцією порівняння для функції f ( t ) . Можемо вважати, що ∃ проміжок монотонності функції � , де функція � неспадна і на цьому проміжку ߜ змінює з нак з © - ª на ©+ª , тобто ∃ ݏ 1 < ݏ 2 , ߜ ( ݏ 1 ) < 0 і ߜ ( ݏ 2 ) > 0 ( 3 Ǥ 2 ) Нехай ݐ 1 ǡ ݐ 2 − інтервал неспадання функції � 1 , на якому функція ߜ змінює знак з © - ª н а ©+ª . Нехай ( ݐ 1 ∗ , ݐ 2 ∗ ) ⊂ ( ݐ 1 ǡ ݐ 2 ) - проміжок строгої монотонності � 1 . Оскільки � 1 ( ݐ ) ≡ ߛ на ( ݐ 2 ∗ ǡ ݐ 2 ) , і ݂ ∈ ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ 1 ( R ) , то о тримаємо ݏ 2 < ݐ 2 ∗ Ǥ 23 Оскільки � 1 ( ݐ ) ≡ − ߜ на ( ݐ 1 ǡ ݐ 1 ∗ ) , і ݂ ∈ ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ 1 ( R ) , то о тримаємо ݏ 1 > ݐ 1 ∗ . Тоді ( ݏ 1 ǡ ݏ 2 ) ⊂ ( ݐ 1 ∗ ǡ ݐ 2 ∗ ), отже � 1 ′ ( ݐ ) = ߙ ∀ ݐ ∈ ( ݏ 1 ǡ ݏ 2 ) . ݂ ( ݏ 2 ) − ݂ ( ݏ 1 ) = = ∫ ݂ ′ ( ݐ ) ݀ݐ ≤ ߙ ( ݏ 2 − ݏ 1 ) = ∫ ߙ݀ݐ = ∫ � 1 ′ ( ݐ ) ݀ݐ = � ( ݏ 2 ) − � ( ݏ 1 ) ௦ 2 ௦ 1 ௦ 2 ௦ 1 ௦ 2 ௦ 1 . Отримали протиріччя з (S .2 ) , отже φ є функцією порівняння для f у випадку r =1 . Індуктивне припущення. Нехай твердження справедливе при r = k - 1 , тобто, якщо ݂ ∈ ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ � − 1 ( ܴ ) і виконується ݉�݊ ௧ ∈ � � � − 1 ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ Ǣ ݐ ) ≤ ݂ ( ݐ ) ≤ ݉ܽ� ௧ ∈ � � � − 1 ( ߙ ǡ ߚ ǡ ߛ ǡ ߜ Ǣ ݐ ) ǡ т о функція � � − 1 ( ݐ ) є функцією порівняння для функції f ( t ). Д оведемо твердження при r = k . Нехай ݂ ∈ ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ � ( ܴ ) і ݉�݊ ௧ ∈ � � � ( ݐ ) ≤ ݂ ( ݐ ) ≤ ݉ܽ� ௧ ∈ � � � ( ݐ ) Ǥ Доведемо, що функція � � − 1 ( ݐ ) є функцією порівняння для функції f ( t ). Для цього спочатку д оведемо, що ݉�݊ ௧ ∈ � � � − 1 ( ݐ ) ≤ ݂ ′ ( ݐ ) ≤ ݉ܽ� ௧ ∈ � � � − 1 ( ݐ ) ∀ ݐ ∈ ܴ Ǥ ( 3 Ǥ 3 ) 24 П рипустимо супротивне. Нехай (S.S ) не виконується. Це можливо у наступних S випадках: 1 випадок: ݉ܽ� ௧ ∈ � � � ′ ( ݐ ) < ݉ܽ� ௧ ∈ � ݂ ′ ( ݐ ) і ݉�݊ ௧ ∈ � � � ′ ( ݐ ) ≤ ݉�݊ ௧ ∈ � ݂ ′ ( ݐ ) Ǣ 2 випадок: ݉ܽ� ௧ ∈ � � � ′ ( ݐ ) ≥ ݉ܽ� ௧ ∈ � ݂ ′ ( ݐ ) і ݉�݊ ௧ ∈ � � � ′ ( ݐ ) > ݉�݊ ௧ ∈ � ݂ ′ ( ݐ ) Ǣ S випадок: 0 < ݉ܽ� ௧ ∈ � � � ′ ( ݐ ) < ݉ܽ� ௧ ∈ � ݂ ′ ( ݐ ) і 0 > ݉�݊ ௧ ∈ � � � ′ ( ݐ ) > ݉�݊ ௧ ∈ � ݂ ′ ( ݐ ) Ǥ Розглянемо S випадок , інші ви падки розглядаються аналогічно. Без зменшення загальності можемо вважати, що | ௠௔� � ∈ � � � ′ ( ௧ ) ௠௔� � ∈ � � ′ ( ௧ ) | ≥ | ௠�௡ � ∈ � � � ′ ( ௧ ) ௠�௡ � ∈ � � ′ ( ௧ ) | Ǥ (3.4 ) Ос кільки замість ݂ ( ݐ ) ми можемо розглянути функцію ݂ ( ݐ + � ) , де � - ∀ число, будемо вважати, що ∃ ݐ ∗ ǣ � � ( ݐ ∗ ) = ݉ܽ� ௧ ∈ � � � ( ݐ ) і ݂ ( ݐ ∗ ) = ݉ܽ� ௧ ∈ � ݂ ( ݐ ) Ǥ ( 3 Ǥ 5 ) Нех ай ݐ 1 ǡ ݐ 2 - найближчі ліворуч та праворуч від ݐ ∗ нулі функції � � − 1 , функція � � − 1 ( ݐ ) зростає на ( ݐ 1 ǡ ݐ ∗ ) і спадає на ( ݐ ∗ ǡ ݐ 2 ) . В силу (S.1 ) ∫ ݂ ′ ( ݐ ) ௧ 2 ௧ 1 ݀ݐ = ݂ ( ݐ 2 ) − ݂ ( ݐ 1 ) ≤ ݉ܽ� ௧ ∈ � ݂ ( ݐ ) − ݉�݊ ௧ ∈ � ݂ ( ݐ ) ≤ ݉ܽ� ௧ ∈ � � � − ݉�݊ ௧ ∈ � � � = 25 = � � ( ݐ 2 ) − � � ( ݐ 1 ) = ∫ � � ′ ( ݐ ) ݀ݐ ௧ 2 ௧ 1 ⇒ ⇒ ∃ ߠ� ( ݐ 1 ǡ ݐ 2 ) :0 < ݂ ′ ( ߠ ) < � � − 1 ( ߠ ). Б удемо вважати, що ݐ 1 < ߠ < ݐ ∗ Ǥ Розглянемо функц ію ݃ ( ݐ ) ≔ ௠௔� � ∈ � � � − 1 ( ௧ ) ௠௔� � ∈ � � ′ ( ௧ ) ݂ ( ݐ ) , тоді g ∈ ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ � − 1 ( ܴ ) , ݃ ( ߠ ) < � � − 1 ( ߠ ) ǡ ( 3 Ǥ 6 ) ݃ ( ݐ ∗ ) = � � − 1 ( ݐ ∗ ) . ݉ܽ� ௧ ∈ � ݃ ( ݐ ) = ݃ ( ݐ ∗ ) = ݉ܽ� ௧ ∈ � � � − 1 ( ݐ ) ݉ܽ� ௧ ∈ � ݂ ′ ( ݐ ) ݂ ( ݐ ∗ ) = ݉ܽ� ௧ ∈ � � � − 1 ǡ і в силу (S.4 ) ݉�݊ ௧ ∈ � ݃ ( ݐ ) = ݉ܽ� ௧ ∈ � � � − 1 ( ݐ ) ݉ܽ� ௧ ∈ � ݂ ′ ( ݐ ) ݉�݊ ௧ ∈ � ݂ ′ ( ݐ ) ≥ ݉�݊ ௧ ∈ � � � − 1 ( ݐ ) ݉�݊ ௧ ∈ � ݂ ′ ( ݐ ) ݉�݊ ௧ ∈ � ݂ ′ ( ݐ ) = ݉�݊ ௧ ∈ � � � − 1 ( ݐ ) Ǥ Тобтоǡ для g усі умови індуктивного припущення виконуються. ∀ ߝ > 0 розглянемо функцію h ( t ) ǣ h ( t )= g ( t + ߝ ) . В силу означення h для неї також виконуються умови з ін дуктивного припущення. Дійсно, h ∈ ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ � − 1 ( ܴ ) ݉�݊ ℎ = ݉�݊ ௧ ∈ � ݃ ( ݐ ) ≥ ݉�݊ ௧ ∈ � ݂ ′ ( ݐ ) ǡ ݉ܽ� ℎ = ݉ܽ� ௧ ∈ � ݃ ( ݐ ) = ݉ܽ� ௧ ∈ � ݂ ′ ( ݐ ) ǡ 26 крім того, h ( ݐ ∗ − ߝ )= g ( ݐ ∗ ) = � � − 1 ( ݐ ∗ ) > � � − 1 ( ݐ ∗ − ߝ ) , в раховуючи ( 3.6 ) можемо обрати ߝ настільки ма лим, щоб виконувалось h ( ߠ ) < � � − 1 ( ߠ ) ǡ тоді різниця � ′ − ℎ змінює знак з © - ª на ©+ª , отже � � − 1 не є функцією порівняння для функції h , що суперечить індуктивному припущенню . Таким чином ми довели (3.3 ). Повернемось до доведення індуктивного припущення. Нехай r = k і f ∈ ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ ௥ ( ܴ ) , така, що виконується (S.1 ) . Тоді справедливі нерівності (S.S ). Розглянемо різницю ߜ ( ݐ ) = ݂ ( ݐ ) − � ( ݐ ) ǡ ∀ ݐ ∈ ܴ . При пустимо супротивне , що � � не є функцією порівняння для функції f , Можемо вважати, що на проміжку зростання � , є з міни знаку функції ߜ з © - ª на ©+ª . Нехай ݐ 1 , ݐ 2 - проміжок зростання � і ݏ 1 < ݏ 2 ∈ ( ݐ 1 ǡ ݐ 2 ) ߜ ( ݏ 1 ) < 0 ǡ ߜ ( ݏ 2 ) > 0 Ǥ Розглянемо ߜ ఌ ( t )= (1 - ߝ ) f ( t ) - � � ( t ) , де ߝ > 0 вибрано так, щоб ߜ ఌ ( ݏ 1 ) < 0 ǡ ߜ ఌ ( ݏ 2 ) > 0 Ǥ В силу ( 3.1 ) ߜ ఌ ( ݐ 1 ) > 0 ǡ ߜ ఌ ( ݐ 2 ) < 0 (див. рис. 12 ). 27 рис . 12 Тоді існують точки А, В, С : ܣ < ܤ < ܥ ∈ ( ݐ 1 ǡ ݐ 2 ) ǣ ߜ ( ܣ ) = ߜ ( ܤ ) = ߜ ( ܥ ) = 0 і ߜ ′ ( ܣ ) < 0 ǡ ߜ ′ ( ܤ ) > 0 ǡ ߜ ′ ( ܥ ) < 0 (див. рис. 13 ). ݐ 1 ݐ 2 A B C � � 28 рис . 13 можемо вважати, що дві з S точок ܣ ǡ ܤ ǡ ܥ лежать на ( ݐ 1 Ǣ ݐ ∗ ) ǡ де ݐ ∗ ∈ ( ݐ 1 , ݐ 2 ) така, що � � ′ ( ݐ ) зростає на ( ݐ 1 Ǣ ݐ ∗ ) і спадає на ( ݐ ∗ ǡ ݐ 2 ) . Але тоді функція ߜ ఌ ′ змінює знак з © - ª на ©+ª на проміжку зростання ( ݐ 1 Ǣ ݐ ∗ ) функції � � − 1 , отже � � − 1 не є функцією порівняння для функції (1 - ߝ ) f , що суперечить індуктивному припущенню. Теорема доведена. ݐ 1 ݐ 2 A B C � � − 1 ݐ ∗ 2 9 ВИСНОВКИ Дипломна робота присвячена отриманню аналогів теореми порівняння Колмогорова для класу функцій, що задаються обмеженнями на несиметричні норми старших похідних. У першому розділі була розглянута теорема порівняння Ко лмогорова для різних класів. У другому розділі була введена екстре мальна функція та були доведен і деякі її властивості. У третьому розділі була доведена теорема порівняння для класу ܹ ఈ ǡ ఉ ǡ ఊ ǡ ఋ ௥ ( - ∞ Ǣ ∞ ). 30 ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНИ Х ДγЕРЕЛ [1] Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближений - М.: Наука. αлавная редакция физико - математической литературы, 1984, S52 с., с. 64 . [2] Корнейчук Н. П Точные константы в теории приближения - М.: Наука . αл. ред. физ. - мат. лит., 1987. - 424 с., с. 94, с. 104, с. 119 . [S] Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. αлавная редакция физико - математической литературы изд - ва ©Наукаª, М., 1976, с. 11S . [4] В. Ф. Бабенко, О. В. Коваленко Теоремы сравнения производных и некоторые их приложени я. Вісник ДНУ, 2012,Том 1, №1, 1 - 9 ISSN 9128 - 0912. [ 5 ] В. Ф. Бабенко , Н. П. Корнейчук, В. А. Кофанов, С. А. Пичугов Неравенства для производных и их приложения , Киев, Наукова думка, 200S, с. 66, с. 69 . [6 ] Колмогоров А. Н. о неравенствах между верхними гр анями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале .// В кн. А. Н. Колмогоров, избранные труды, Математика и механика, М. Наука, 1985, с. 252 - 263. [7] Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полином ов и сплайнов . - Киев. Наук. думка 1992, - S04 с. [8] Родов А. М. Зависимость между верхними гранями производных функций действительного переменного // Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1946. 10. с. - 257 - 270 . [9] Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. α. Аппроксима ция с ограничениями ‬ Киев: Наукова думка, 1982, - 250 с. [1 0 ] Babenko V. F., Kofanov V. A., Pichugov S. A. Inequalities for norms of intermediate derivatives of periodic functions and their applications// Ibid. - N 3. - P. 251 - 376.

Приложенные файлы

  • pdf 1064753
    Размер файла: 637 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий