Лекция № 1, математика Множества

1
по математике
Тема: «Множества и операции над ними»
План:
Введение
Понятие множества и элемента множества
Способы задания множеств
Отношения между множествами
Пересечение множеств
Объединение множеств
Свойства пересечения и объединения множеств
Вычитание множеств. Дополнение множества
Понятие разбиения множества на классы
Декартово произведение
Число элементов в объединении и разности конечных множеств
Число элементов в декартовом произведении конечных множеств

1. Введение
Изучая математику в школе, колледже, вузе, необходимо усвоить определенную систему понятий, предложений и доказательств, но чтобы овладеть этой системой и затем успешно применять приобретенные знания и умения, обучая младших школьников и решая задачу их развития средствами математики, необходимо сначала понять, каковы особенности математических понятий, как устроены их определения, предложения, выражающие свойства понятий, и доказательства. Такие знания нужны учителю начальных классов еще и потому, что он первым вводит детей в мир математических знаний, и от того, как грамотно и успешно он это делает, зависит и отношение ребенка к изучению математики в дальнейшем.
Изучение этого материала связано с овладением теоретико-множественным языком, который будет использоваться не только при рассмотрении логической структуры математических понятий, предложений и доказательств, но и при построении всего курса.
В конце XIX века в математической науке возникла необходимость уточнить смысл таких ведущих понятий, как функция, непрерывность и т.д. Для этого нужно было строго определить, что такое натуральное число. Поиски ответа на эти сложные вопросы способствовали развитию новых математических идей, поэтому в конце XIX - начале XX столетий происходил пересмотр старых представлений буквально во всех областях математических знаний. В результате в конце XIX века возникла новая область математики - теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математик Георг Кантор. За небольшой срок теория множеств стала фундаментом всей математики.
В предлагаемом курсе мы познакомимся с некоторыми основными понятиями теории множеств. Знания в этой области нужны учителю начальных классов, во-первых, для понимания содержания начального курса математики, независимо от того, явно или неявно в нем используются теоретико-множественные понятия; во-вторых, для освоения таких важных с профессиональной точки зрения понятий, как взаимно однозначное соответствие, отношение, число, геометрическая фигура.

2. Понятие множества и элемента множества
В математике часто рассматриваются те или иные группы объектов как единое целое: натуральные числа, треугольники, квадраты и т.д. Все эти различные совокупности называют множествами.
Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве натуральных чисел, о множестве треугольников.
Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обыденной речи, где его связывают с большим числом предметов. В математике этого не требуется. Здесь можно рассматривать множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.
Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,..., Z.
Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустым и обозначается символом Ш.
Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.
Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, с,.... z.
В математике нередко приходится выяснять, принадлежит какой-либо объект рассматриваемому множеству или не принадлежит. Например, мы говорим, что 5 - число натуральное, а 0,75 не является натуральным числом. Другими словами, мы утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а число 0,75 ему не принадлежит. Чтобы записать эти утверждения, вводятся символы 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415. Предложение «Объект а принадлежит множеству А» можно записать, используя символы – а 13 EMBED Equation.3 1415А. Предложение «Объект а не принадлежит множеству А» можно записать так: а 13 EMBED Equation.3 1415А.
Например, если А - множество однозначных чисел, то утверждение «Число 3 - однозначное» можно записать в таком виде: 3 13 EMBED Equation.3 1415А. Запись 12 13 EMBED Equation.3 1415А означает, что «Число 12 не является однозначным», или «Число 12 не принадлежит множеству А», или «Множество А не содержит числа 12».
Заметим, что в геометрии, которая возникла значительно раньше теории множеств, если точка является элементом какого-либо множества, то ее обозначают заглавной буквой. Например, если Х - множество точек отрезка АВ, то предложение «Точка Р лежит на отрезке АВ» можно записать: Р 13 EMBED Equation.3 1415X или Р 13 EMBED Equation.3 1415АВ.
Множества бывают конечные и бесконечные. Эти понятия мы принимаем без определения. Поясним их на примерах. Так, конечными являются множество дней недели, множество месяцев в году, а бесконечными - множество точек на прямой, множество натуральных чисел.
Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
Q - множество рациональных чисел;
R - множество действительных чисел.

3. Способы задания множеств
Понятие множества мы используем без определения. Но как узнать, является та или иная совокупность множеством или не является?
Считают, что множество определяется своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.
Множество можно задать, перечислив все его элементы. Например, если мы скажем, что множество А состоит из чисел 3, 4, 5 и 6, то мы зададим это множество, поскольку все его элементы окажутся перечисленными. При этом возможна запись, в которой перечисляемые элементы заключаются в фигурные скобки: А = {3,4, 5,6}.
Однако если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. Трудно задать таким способом и конечное множество с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множества: указывают характеристическое свойство его элементов.
Характеристическое свойство- это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Рассмотрим, например, множество А двузначных чисел: свойство, которым обладает каждый элемент данного множества, - «быть двузначным числом». Это характеристическое свойство дает возможность решать вопрос о том, принадлежит какой-либо объект множеству А или не принадлежит. Так, число 45 содержится в множестве А, поскольку оно двузначное, а число 145 множеству А не принадлежит, так как оно не является двузначным.
Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными смежными сторонами и как множество ромбов с прямым углом.
В тех случаях, когда характеристическое свойство элементов множества можно представить в символической форме, возможна соответствующая запись множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших 7, можно задать так: А = {х | х13 EMBED Equation.3 1415N и х<7}.
При такой записи буквой х обозначается элемент множества А. Для этих целей можно использовать и другие буквы латинского алфавита.
Итак, для того чтобы задать некоторое множество, достаточно либо перечислить все его элементы, либо указать их характеристическое свойство. Второй способ более общий: он позволяет задавать и конечные, и бесконечные множества.
Очень важно умение переходить от одного способа задания множества к другому. Этому обучаются уже младшие школьники, выполняя упражнения такого характера.
З а д а ч а 1. Запишите числа, которые больше, чем 65 и меньше, чем 75.
Р е ш е н и е. Множество чисел задано при помощи характеристического свойства «быть больше 65 и меньше 75». Требу-
ется перечислить элементы этого множества: 66, 67, 68,69, 70, 71,72,73,74.
З а д а ч а 2. Укажите характеристическое свойство элементов множества А = {12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82,92}.
Р е ш е н и е. Перечислены все элементы множества А. Их характеристическое свойство: «быть двузначным и оканчиваться цифрой 2».

4. Отношения между множествами
В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например, нам известно, что все натуральные числа являются целыми. Понятие множества позволяет обобщить конкретные случаи взаимосвязи между различными совокупностями, позволяет посмотреть на них с единой точки зрения.
Если множества А я В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.
Например, если А = {а, b, с, d, е}, В = {b, d, k,m), С = {х, у, z}, то можно утверждать, что множества А и В пересекаются, так как имеют общие элементы b и d, а множества А и С, В и С не пересекаются, поскольку не имеют общих элементов.
Рассмотрим теперь множества А = {а, b, с, d, е} и В = {с, d, e). Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А или что множество В является подмножеством множества А и пишут B13 EMBED Equation.3 1415A.
Определение. Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.
Из определения следует, что если В13 EMBED Equation.3 1415А, то множество В может быть пустым, и тогда Ш13 EMBED Equation.3 1415А, и, кроме того, множество В может совпадать с А, и тогда А 13 EMBED Equation.3 1415 А. Поэтому среди всех подмножеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А.
Образуем, например, все подмножества множества А = {2, 3, 4}. Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3}, {4}, двухэлементные: {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, а также само множество А и пустое множество 0. Таким образом, данное трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.
Доказано, что если множество А содержит и элементов, то у него 2n различных подмножеств.
Рассмотрим теперь множества А = {а, b, с, d, e} и В = {с, а, d, b, e}. Они пересекаются, и каждый элемент множества А является элементом множества В, т.е. А с В, и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А, т.е. В с. А. В этом случае говорят, что множества А и В равны и пишут А-В.
Определение. Множества А и В называются равными, если А13 EMBED Equation.3 1415В и В13 EMBED Equation.3 1415А.
Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов множества не существен.
Отношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера.
Для этого множества представляют в виде кругов, овалов или любых других геометрических фигур. В том случае, если множества А и В имеют общие элементы, но ни одно из них не является подмножеством другого, их изображают так, как

показано на рис. 4а. Если множество В является подмножеством А, то круг, изображающий множество В, целиком находится в круге, изображающем множество А (рис. 46). Если А с В, то множества А и В изображают так, как на рисунке 4в. Равные множества представляют в виде одного круга (рис. 4г).
Если множества А и В не пересекаются, то их изображают в виде двух фигур, не имеющих общих точек (рис. 5).
Понятие подмножества является обобщением понятия части и целого, которые осваивают младшие школьники, выполняя разные задания. Например: «Назови среди данных чисел четные», «Среди данных четырехугольников найди прямоугольники».


5. Пересечение множеств
Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества. Пусть даны два множества: А = {2, 4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В, т.е. С = {6, 8}. Так полученное множество С называют пересечением множеств А и В.
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
Пересечение множеств А и В обозначают А13 EMBED Equation.3 1415В. Таким образом, по определению, А13 EMBED Equation.3 1415В = {х|х13 EMBED Equation.3 1415А и х13 EMBED Equation.3 1415В).
Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечением данных множеств является заштрихованная область (рис. 7).

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А13 EMBED Equation.3 1415В = Ш.
Выясним, как находить пересечение множеств в конкретных случаях.
Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А 13 EMBED Equation.3 1415В, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.
А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами своих элементов?
Из определения пересечения следует, что характеристическое свойство множества А 13 EMBED Equation.3 1415В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».
Найдем, например, пересечение множества А - четных натуральных чисел и множества В - двузначных чисел. Характеристическое свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а характеристическое свойство элементов множества В - «быть двузначным числом». Тогда, согласно определению, элементы пересечения данных множеств должны обладать свойством «быть четными натуральными и двузначными числами». Таким образом, множество А13 EMBED Equation.3 1415В состоит из четных двузначных чисел (союз «и» в данном случае можно опустить). Полученное множество не пусто. Например, 24 13 EMBED Equation.3 1415А 13 EMBED Equation.3 1415В, поскольку число 24 четное и двузначное.
Рассмотрим теперь случай, когда находят пересечение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А 13 EMBED Equation.3 1415В - В и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества А13 EMBED Equation.3 1415В будет таким, как и свойство элементов множества В.

6. Объединение множеств
Пусть даны два множества: А = {2,4, 6, 8} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество D, в которое включим элементы, принадлежащие хотя бы одному из данных множеств, т.е. множеству А или множеству В. D = {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}. Так полученное множество D называют объединением множеств А я В.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
Объединение множеств А и В обозначают А 13 EMBED Equation.3 1415В. Таким образом, по определению, А 13 EMBED Equation.3 1415В = {x|x 13 EMBED Equation.3 1415 А или х 13 EMBED Equation.3 1415В}.
Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 8).
Выясним, как находить объединение множеств в конкретных случаях.
Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А 13 EMBED Equation.3 1415В,

достаточно перечислить элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.
А как быть, если множества заданы характеристическими свойствами их элементов? Из определения объединения следует, что характеристическое свойство элементов множества А13 EMBED Equation.3 1415В составляется из характеристических свойств элементов множеств А и В с помощью союза «или». Найдем, например, объединение множества А - четных натуральных чисел и множества В - двузначных чисел. Так как свойство элементов множества А - «быть четным натуральным числом», а свойство элементов множества В - «быть двузначным числом», то в объединение данных множеств войдут числа, характеристическое свойство которых - «быть четным натуральным или двузначным числом». Такие числа образуют бесконечное множество, но сформулированное характеристическое свойство позволяет однозначно определять, содержится тот или иной элемент в объединении множеств А и В или не содержится. Например, в A13 EMBED Equation.3 1415B есть число 8, поскольку оно четное; есть число 36 - оно четное и двузначное.
Рассмотрим теперь случай, когда находят объединение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А13 EMBED Equation.3 1415В = А и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества A13 EMBED Equation.3 1415 В будет таким, как и свойство элементов множества А.

7. Свойства пересечения и объединения множеств
Из школьного курса математики известно, что операция, при помощи которой находят сумму чисел, называется сложением. Над числами выполняют и другие операции, например умножение, вычитание, деление; при этом результат умножения чисел называют произведением, деления - частным, т.е. для операций над числами и результатов этих операций существуют разные термины. Для рассмотренных операций над множествами ситуация иная: операции, при помощи которых находят пересечение и объединение множеств, называются соответственно пересечением и объединением.
Из школьного курса математики нам также известно, что операции над числами обладают рядом свойств. Например, сложение действительных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: для любых действительных чисел а и Ь справедливо равенство а + b = b + а, а для любых чисел a, b и с - равенство (а + b)+ с = а + b+ с).
Аналогичными свойствами обладает умножение действительных чисел. Кроме того, для сложения и умножения выполняется распределительное свойство: для любых действительных чисел а, b и с справедливо равенство: (а+b) · с = а · с + b ·с.
Выясним, обладают ли «похожими» свойствами пересечение и объединение множеств.
Если обратиться к определениям пересечения и объединения множеств, то можно увидеть, что в них не фиксируется порядок оперирования множествами. Например, выполняя объединение, можно к элементам одного множества присоединить элементы другого, а можно поступить наоборот: к элементам второго множества присоединить элементы первого. (При этом надо только помнить, что в новом множестве не должно быть повторяющихся элементов.) Аналогичная ситуация и в случае, когда выполняется пересечение множеств. Это означает, что пересечение и объединение множеств обладают переместительным, или, как говорят в математике, коммутативным свойством: для любых множеств А и В выполняются равенства: А13 EMBED Equation.3 1415В = В13 EMBED Equation.3 1415A и A13 EMBED Equation.3 1415B = B13 EMBED Equation.3 1415A.
Пересечение и объединение множеств обладают также сочетательным, или ассоциативным, свойством: для любых множеств А, В и С выполняются равенства:
(А 13 EMBED Equation.3 1415В) 13 EMBED Equation.3 1415С = А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С и (А 13 EMBED Equation.3 1415В) 13 EMBED Equation.3 1415С = А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С).
Заметим, что назначение скобок в этих записях то же, что и в записях операций над числами.
Свойство ассоциативности для пересечения и объединения множеств не столь очевидно, как свойство коммутативности, и поэтому нуждается в доказательстве. Но прежде можно эти свойства проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим, например, ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов (рис. 9).
В выражении (А 13 EMBED Equation.3 1415В) 13 EMBED Equation.3 1415С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В - оно показано на рисунке 9а вертикальной штриховкой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изображать множество (А 13 EMBED Equation.3 1415В) 13 EMBED Equation.3 1415С.
Представим теперь наглядно множество А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С). В соответствии с указанным порядком действий сначала


надо найти пересечение множеств В и С - на рисунке 96 оно показано вертикальной штриховкой, а затем выполнить пересечение множества А с полученным множеством. Если отметить множество А горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С).
Видим, что области, представляющие на рисунке 9 множества (А 13 EMBED Equation.3 1415В) 13 EMBED Equation.3 1415С и А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С), одинаковы, что и подтверждает справедливость свойства ассоциативности для пересечения множеств.
Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств.
В чем важность ассоциативного свойства пересечения и объединения множеств? Во-первых, можно находить пересечение и объединение трех множеств, зная, как это делать для двух. Во-вторых, на основании этого свойства в выражениях А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С), (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) 13 EMBED Equation.3 1415 С, А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С), (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) 13 EMBED Equation.3 1415 С можно опускать скобки и писать А 13 EMBED Equation.3 1415В 13 EMBED Equation.3 1415С или А 13 EMBED Equation.3 1415В 13 EMBED Equation.3 1415С, что облегчает запись.
Рассмотрим строгое доказательство свойства ассоциативности одной из операций над множествами, например объединения, т.е. докажем, что для любых множеств А,В и С справедливо равенство (А13 EMBED Equation.3 1415B) 13 EMBED Equation.3 1415C = А13 EMBED Equation.3 1415 (B13 EMBED Equation.3 1415С).
Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедиться в том, что каждый элемент множества (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) 13 EMBED Equation.3 1415С содержится в множестве А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С), и наоборот.
1. Пусть х - любой элемент множества (А 13 EMBED Equation.3 1415В) 13 EMBED Equation.3 1415С. Тогда, по определению объединения, х 13 EMBED Equation.3 1415А 13 EMBED Equation.3 1415В или х 13 EMBED Equation.3 1415С.
Если х 13 EMBED Equation.3 1415А 13 EMBED Equation.3 1415В, то, по определению объединения, х 13 EMBED Equation.3 1415А или х 13 EMBED Equation.3 1415 В. В том случае, когда х 13 EMBED Equation.3 1415А, то, также по определению объединения, х 13 EMBED Equation.3 1415А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С).
Если х 13 EMBED Equation.3 1415В, то имеем, что х 13 EMBED Equation.3 1415В 13 EMBED Equation.3 1415С, а значит, х 13 EMBED Equation.3 1415А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С). Случай, когда х 13 EMBED Equation.3 1415А и х 13 EMBED Equation.3 1415В, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что х 13 EMBED Equation.3 1415А 13 EMBED Equation.3 1415В, следует, что х 13 EMBED Equation.3 1415А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С).
Если х 13 EMBED Equation.3 1415С, то, по определению объединения, х 13 EMBED Equation.3 1415В 13 EMBED Equation.3 1415С, и следовательно, х 13 EMBED Equation.3 1415А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С).
Случай, когда х13 EMBED Equation.3 1415А13 EMBED Equation.3 1415В и х13 EMBED Equation.3 1415С, сводится к рассмотренным выше.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества (А 13 EMBED Equation.3 1415В) 13 EMBED Equation.3 1415С содержится и в множестве А 13 EMBED Equation.3 1415(В 13 EMBED Equation.3 1415С), т.е. (А 13 EMBED Equation.3 1415В) 13 EMBED Equation.3 1415С 13 EMBED Equation.3 1415А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С).
2. Пусть y - любой элемент множества А 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С). Тогда, по определению объединения, у 13 EMBED Equation.3 1415 А или у 13 EMBED Equation.3 1415 В 13 EMBED Equation.3 1415С.
Если y 13 EMBED Equation.3 1415 А, то, по определению объединения, у 13 EMBED Equation.3 1415А 13 EMBED Equation.3 1415В и, следовательно, у 13 EMBED Equation.3 1415А и13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С).
Если y 13 EMBED Equation.3 1415В 13 EMBED Equation.3 1415С, то у 13 EMBED Equation.3 1415В или у 13 EMBED Equation.3 1415C. B том случае, когда у 13 EMBED Equation.3 1415В, то у 13 EMBED Equation.3 1415А 13 EMBED Equation.3 1415В и, значит, у 13 EMBED Equation.3 1415 (А 13 EMBED Equation.3 1415В) и С. Когда же у 13 EMBED Equation.3 1415С, то у13 EMBED Equation.3 1415 (А13 EMBED Equation.3 1415B) 13 EMBED Equation.3 1415C. Случай, когда у 13 EMBED Equation.3 1415В и у 13 EMBED Equation.3 1415С, сводится к уже рассмотренным.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества А13 EMBED Equation.3 1415 (B13 EMBED Equation.3 1415С) содержится в множестве (A 13 EMBED Equation.3 1415В) 13 EMBED Equation.3 1415 С, т.е. А13 EMBED Equation.3 1415(В13 EMBED Equation.3 1415С) 13 EMBED Equation.3 1415(А13 EMBED Equation.3 1415В) 13 EMBED Equation.3 1415С.
Согласно определению равных множеств заключаем, что (А 13 EMBED Equation.3 1415В) 13 EMBED Equation.3 1415С = А 13 EMBED Equation.3 1415 (В13 EMBED Equation.3 1415С), что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается и ассоциативное свойство пересечения множеств.
Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отражается в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих операций. Таких свойств два:
1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В к С выполняется равенство
(А 13 EMBED Equation.3 1415В) 13 EMBED Equation.3 1415С = (А 13 EMBED Equation.3 1415С) 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С).
2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство
(А 13 EMBED Equation.3 1415В) 13 EMBED Equation.3 1415С = (А 13 EMBED Equation.3 1415С) 13 EMBED Equation.3 1415 (В 13 EMBED Equation.3 1415С).
Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение. В связи со сказанным запись дистрибутивного свойства пересечения относительно объединения можно упростить, опустив скобки в правой части равенства.
Убедиться в справедливости сформулированных свойств можно путем доказательства, которое аналогично доказательству свойства ассоциативности объединения.
Проиллюстрировать свойства дистрибутивности можно, используя круги Эйлера.
Если провести аналогию с действиями над числами, то можно увидеть, что дистрибутивное свойство пересечения относительно объединения сопоставимо с распределительным свойством умножения относительно сложения, при условии, что в качестве операции, аналогичной пересечению, рассматривать умножение, а для объединения - сложение.
Но для дистрибутивного свойства объединения множеств относительно пересечения аналогичного свойства над числами нет.
Действительно, наличие такого свойства означало бы, что для всех чисел выполняется равенство а b + с = (а + с) (b + с), что невозможно. Подмеченное отличие говорит о том, что наряду с тем, что пересечение и объединение множеств обладают рядом свойств, аналогичных свойствам сложения и умножения чисел, операции над множествами обладают свойствами, которых нет у операций над числами.
Завершая рассмотрение свойств пересечения и объединения множеств, отметим еще следующее.
Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств:
А113 EMBED Equation.3 1415 А2 13 EMBED Equation.3 1415 ... 13 EMBED Equation.3 1415Аn = {х | х 13 EMBED Equation.3 1415 А1 и х 13 EMBED Equation.3 1415А2 и... и х 13 EMBED Equation.3 1415Аn},
А1 13 EMBED Equation.3 1415 А2 13 EMBED Equation.3 1415... 13 EMBED Equation.3 1415Аn = {х | х 13 EMBED Equation.3 1415 А1 или х 13 EMBED Equation.3 1415А2 или ... или х 13 EMBED Equation.3 1415Аn},
Аналогично можно поступить и по отношению к рассмотренным свойствам данных операций.

8. Вычитание множеств. Дополнение множества
Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следующим образом.
Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Разность множеств А и В обозначают А \ В. Тогда, по определению, имеем: А\В={х |х 13 EMBED Equation.3 1415А и х 13 EMBED Equation.3 1415 В}.
Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность А\В изобразится заштрихованной областью (рис. 10).


Рис. 10 Рис. 11
В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств А\В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В/А, а наглядно изображают так, как представлено на рисунке 11.
Определение. Пусть В с А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.
Как уже было сказано, в случае когда В 13 EMBED Equation.3 1415 A, A\B = В/А.
Из определения следует, что В/А = {х | х 13 EMBED Equation.3 1415 А и х 13 EMBED Equation.3 1415 В}.
Выясним, как находить дополнение подмножества на конкретных примерах.
Если элементы множеств А и В перечислены и В 13 EMBED Equation.3 1415 А, то, чтобы найти дополнение множества В до множества А, достаточно перечислить элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В. Так, если А = {1, 2, 3, 4, 5}, а В = {2,4},то В/А = {1,3,5}.
В том случае, когда указаны характеристические свойства элементов множеств А и В и известно, что В 13 EMBED Equation.3 1415 А, то множество В/А задают также с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х 13 EMBED Equation.3 1415 А и х 13 EMBED Equation.3 1415 В». Так, если А - множество четных чисел, а В - множество чисел, кратных 4, то В/А - это множество, содержащее такие четные числа, которые не делятся на 4. Например, 22 13 EMBED Equation.3 1415 В/А, т.к. 22 13 EMBED Equation.3 1415 А (т.е. оно четное) и 22 13 EMBED Equation.3 1415 В (т.е. оно не кратно 4).
Вычитание - это третья операция над множествами, с которыми мы уже познакомились. Нам известно, что пересечение множеств более сильная операция, чем объединение. А как быть с вычитанием? Например, каков порядок выполнения действий в выражении А\В 13 EMBED Equation.3 1415 С? Условились считать, что пересечение - более «сильная» операция, чем вычитание. Поэтому порядок выполнения действий в выражении А\В 13 EMBED Equation.3 1415 С такой: сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А.
Что касается объединения и вычитания множеств, то их считают равноправными. Например, в выражении А\ В 13 EMBED Equation.3 1415 С надо сначала выполнить вычитание (из А вычесть В), а затем полученное множество объединить с множеством С.
Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности, можно доказать, что для любых множеств А, В и С справедливы следующие равенства:
1) (А\В)\С = (А\С)\В;
2) (А 13 EMBED Equation.3 1415В) \С=(А\С) 13 EMBED Equation.3 1415(В\С);
3) (А\В) 13 EMBED Equation.3 1415С=(А13 EMBED Equation.3 1415С) \(В13 EMBED Equation.3 1415С);
4) А\(В13 EMBED Equation.3 1415С)=(А\В) 13 EMBED Equation.3 1415(А\С);
5) А\(В13 EMBED Equation.3 1415С)+(А\В) 13 EMBED Equation.3 1415(А\С).

9. Понятие разбиения множества на классы
Понятия множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации - действии распределения объектов по классам.
Классификацию мы выполняем достаточно часто. Так, натуральные числа представляем как два класса - четные и нечетные. Углы на плоскости разбиваем на три класса: прямые, острые и тупые.
Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество X разбито на классы X1, Х2,..., Хп, если:
1) подмножества X1, Х2,..., Хп попарно не пересекаются;
2) объединение подмножеств X1, Х2,..., Хп совпадает с множеством X.
Если не выполнено хотя бы одно из условий, классификацию считают неправильной. Например, если из множества X треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, поскольку подмножества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторонние треугольники являются равнобедренными). В данном случае не выполнено первое условие разбиения множества на классы.
Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять мри помощи свойств элементов множеств.
Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Положим, что нас интересуют числа, обладающие свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда
про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества натуральных чисел (рис. 12). Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством натуральных чисел, то имеем разбиение этого множества на два класса.


Вообще, если на множестве X задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый- это класс объектов, обладающих этим свойством, а второй- дополнение первого класса до множества X. Во втором классе содержатся такие объекты множества X, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. Например, какие свойства натуральных чисел, как «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N натуральных чисел можно выделить дна подмножества: А - подмножество чисел, кратных 3, и В - подмножество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 13).



Проанализируем получившийся рисунок. Конечно, разбиения множества натуральных чисел на подмножества А и В не произошло. Но круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей - на рисунке они пронумерованы. Каждая область изображает некоторое подмножество множества N. Подмножество I состоит из чисел, кратных 3 и 5; подмножество II - из чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножество III -из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IV- из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств есть множество N.
Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.
Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается на три класса (рис. 14):


Рис. 14

I - класс чисел, кратных 6; II - класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III - класс чисел, не кратных 3.

10. Декартово произведение
Используя две цифры, например, 3 и 5, можно записать четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.
Упорядоченную пару, образованную из элементов а и b, принято записывать, используя круглые скобки: (а; b). Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b - второй координатой (компонентой) пары.
Пары (а; b) и (с; d) равны в том и только в том случае, когда a =c и b = d.
В упорядоченной паре (а; b) может быть, что а = b. Так, запись чисел 33 и 55 можно рассматривать как упорядоченные пары (3; 3) и (5; 5).
Упорядоченные пары можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств. Пусть, например, 4 = {1, 2, 3}, В = {3, 5}. Образуем упорядоченные пары так, чтобы первая компонента принадлежала множеству А, а вторая- множеству В. Если мы перечислим все такие пары, то получим множество:
{(1;3),(1;5),(2;5),(3;3),(3;5)}.
Видим, что имея два множества А и В, мы получили новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это множество называют декартовым произведением множеств Аи В.
Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.
Декартово произведение множеств А и В обозначают Ах В. Используя это обозначение, определение декартова произведения можно записать так:
А х В= {(х;у) |х 13 EMBED Equation.3 1415А и у 13 EMBED Equation.3 1415В}.
З а д а ч а 1. Найдите декартово произведение множеств А и В, если:
a)A = {m;p},B={e,f,k};
б)А=В={3,5}.
Решение. а) Действуем согласно определению- образуем все пары, первая компонента которых выбирается из А, а вторая - из В:
А х В= {( m; е), (m; f), (m; k), (p; e), (p;f), (p; к)}.
б) Декартово произведение равных множеств находят, образуя всевозможные пары из элементов данного множества:
А х А={(3;3), (3;5), (5;3), (5;5)}
Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым умножением. Выясним, какими свойствами обладает эта операция. Так как декартовы произведения А х В и В х А состоят из различных элементов, то декартово умножение множеств А и В свойством коммутативности не обладает. Можно доказать, что для декартова умножения не выполняется и свойство ассоциативности. Но декартово произведение дистрибутивно относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:
(А 13 EMBED Equation.3 1415 В) х С = (А х С) 13 EMBED Equation.3 1415 (В х С),
(А \ В) х С = (А х В) \ (В х С).
З а д а ч а 2. Проверьте справедливость свойства дистрибутивности декартова умножения относительно объединения, если:
А = {3; 4; 5}, В ={5; 7}, С ={7; 8}.
Решение. Найдем объединение множеств А и В: А 13 EMBED Equation.3 1415 В = {3,4,5,7}. Далее перечислим элементы множества (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) х С, используя определение декартова произведения: (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) х С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.
Чтобы найти элементы множества (А х С) 13 EMBED Equation.3 1415 (В х С), перечислим сначала элементы множеств А х С и В х С:
А х С = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)}
В х С={(5;7),(5;8),(7;7),(7;8)}.
Найдем объединение полученных декартовых произведений: (А х С) 13 EMBED Equation.3 1415 (В х С) = {(3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8)}.
Видим, что множества (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) х С и (А х С) 13 EMBED Equation.3 1415 (В х С) состоят из одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А, В и С справедливо равенство (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) х С = = (А х С) 13 EMBED Equation.3 1415 (В х С).
Выясним теперь, как можно наглядно представлять декартово произведение множеств.
Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи графа или таблицы. Например, декартово произведение множеств А = {1, 2, 3} и В = {3, 5} можно представить так, как показано на рисунке 17(а, б).

В
А
3
5

1
(1,3)
(1,5)

2
(2,3)
(2,3)

3
(3,3)
(3,3)


б) Рис. 17
Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости. Например, декартово произведение А хВ множеств А = {1, 2, 3} и В = = (3, 5} на координатной плоскости будет выглядеть так, как показано на рисунке 18.
у

5

3



0 1 2 3 х Рис.18
Заметим, что элементы множества А мы изобразили на оси Ох, а элементы множества В - на оси Оу.
Такой способ наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.
Задача 3. Изобразить на координатной плоскости декартово произведение Ах В, если:
а) А = {1,2,3},В = [3,5];
б) А = [1,3], В = [3,5];
в) A = R, В = [3,5];
г) А = R, В = R.
Р е ш е н и е, а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа от 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение А х В будет состоять из бесконечного множества нар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая-любое действительное число из промежутка [3, 5]. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками (рис. 19).
у

5

3



0 1 2 3 х Рис. 19


б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой пары, принадлежащей множеству Ах В, может быть любое число из промежутка [1,3], и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств А и В, образуют квадрат (рис. 20).
у

5

3



0 1 2 3 х Рис. 20


Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать.
в) Этот случай отличается от предыдущего тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества А х В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3,5]. Множество таких точек образует полосу (рис. 21).
у

5

3



0 х Рис. 21

г) Декартово произведение R x R состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R x R содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости.
В математике и других науках рассматривают не только упорядоченные пары, но и упорядоченные наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Например, запись числа 367- это упорядоченный набор из трех элементов, а запись слова «математика» - это упорядоченный набор из 10 элементов.
Упорядоченные наборы часто называют кортежами и различают по длине. Длина кортежа - это число элементов, из которых он состоит. Например, (3; 6; 7) - это кортеж длины 3, (м, а, т, е, м, а, т, и, к, а) - это кортеж длины 10.
Рассматривают в математике и декартово произведение трех, четырех и вообще и множеств.
Определение. Декартовым произведением множеств A1, А2,..., Аn называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству A1, вторая - множеству А2,..., n-я - множеству An.
Декартово произведение множеств A1, А2,..., Аn обозначают так: A1 х А2 х... х Аn.
З а д а ч а 4. Даны множества: A1 = {2, b), А2 = {3, 4, 5}, А3 = {6,7}. Найти A1 х А2 х А3.
Ре ш е н и е. Элементами множества A1х А2х А3 будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству A1, вторая - множеству А2, третья - множеству А3.
A1х А2х А3 = {(2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7),
(2, 5, 6), (2, 5,7), (3,3,6), (3,3, 7),
(3,4, 6), (3,4,7), (3,5,6), (3,5,7)}.

11. Число элементов в объединении и разности конечных множеств
Нам известно, как находят объединение двух конечных непересекающихся множеств. Например, если А = {х, у, z}, а В = {к, l , m, р), то А 13 EMBED Equation.3 1415В = {х, у, z, к, I, m , р}. Чтобы ответить на вопрос: «Сколько элементов в полученном множестве?» - достаточно пересчитать их.
А как определять число элементов в объединении конечных множеств, не образуя его и не обращаясь к пересчету элементов?
Условимся предложение «Множество А содержит а элементов» записывать в таком виде: n (А) = а. Например, если А = {х, у, z, } то утверждение «Множество А содержит три элемента» можно записать так: n (А) = 3.
Можно доказать, что если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В – b элементов и множества А и В не пересекаются, то в объединении множеств А и В содержится а + Ъ элементов, т.е.
n (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) = n (А) + n (В) = а + b (1).
Это правило нахождения числа элементов в объединении двух конечных непересекающихся множеств, его можно обобщить на случай t попарно непересекающихся множеств, т.е. если множества А1, А2, , А t, попарно не пересекаются, то n(A1 13 EMBED Equation.3 1415 А2 13 EMBED Equation.3 1415... 13 EMBED Equation.3 1415 А) = n (А1) + n (А2) + ... + n (А t,).
Пусть, например, А = {х, у, г }, В = {к, I, т, р }, С = {q, s}. Найдем число элементов в объединении данных множеств.
Пересчитав элементы данных множеств, получаем, что n (А) =3, n (В) = 4, n(С) = 2. Видим, что А 13 EMBED Equation.3 1415 В = 0, А 13 EMBED Equation.3 1415 С = 0, В 13 EMBED Equation.3 1415 С = Ш, т.е. данные множества попарно не пересекаются. Тогда, согласно правилу нахождения числа элементов в объединении конечных множеств, получаем:
n (А 13 EMBED Equation.3 1415 В 13 EMBED Equation.3 1415 С) = n (А) + n (В) + n (С) = 3 + 4 + 2 = 9.
Таким образом, в объединении заданных трех множеств содержится 9 элементов.
Нетрудно убедиться в том, что если В 13 EMBED Equation.3 1415 А, то n (В/А) = n (А) – n (В), т.е. число элементов дополнения подмножества В до данного конечного множества А равно разности численностей этих множеств.
Пусть, например, А = {х, y, z, p, t}, а B = {х, p, t}.Найдем число элементов в дополнении подмножества В до множества А.
Пересчитав элементы множеств А и В, получаем, что n (А) = 5, n (В) = 3. Тогда n ( В/А) = n (А) - n (В) = 5-3 = 2. Таким образом, в дополнении множества В до множества А содержится два элемента.
Формула (1) позволяет находить число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств. А если множества А и В имеют общие элементы, то как найти число элементов в их объединении?
Пусть, например, А = {х, у, z }, а В = {х, z, p, s, к}. Тогда А 13 EMBED Equation.3 1415 В = {х, у, z, р, s, к}, т.е. если n (А) = 3, а n (В) = 5 и А 13 EMBED Equation.3 1415 В
· Ш, то n (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) = 6. Нетрудно видеть, что в данном случае n (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) = 2 и, значит, общие элементы множеств А и В и объединении этих множеств записаны только один раз.
В общем виде правило подсчета элементов в объединении двух конечных множеств может быть представлено в виде формулы:
n (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) = n (А) + n (В) - n (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) (2).
Полученные формулы для подсчета числа элементов в объединении двух и более множеств можно использовать для решения текстовых задач следующего вида.
З а д а ч а 1. Из 40 студентов курса 32 изучают английский язык, 21 - немецкий язык, а 15- английский и немецкий языки. Сколько студентов курса не изучает ни английский, ни немецкий языки?
Р е ш е н и е. Пусть А- множество студентов курса, изучающих английский язык, В - множество студентов курса, изучающих немецкий язык. По условию задачи: n (А) = 32, n (В) = 21, n (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) = 15. Требуется найти число студентов курса, не изучающих ни английского, ни немецкого языка.
1 способ.
1) Найдем число элементов в объединении данных множеств А и В. Для этого воспользуемся формулой (2):
n (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) = n (А) + n (В) - n (А 13 EMBED Equation.3 1415 В) = 32 + 21 - 15 = 38.
2) Найдем число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки: 40 - 38 = 2.
2 способ.
I) Изобразим данные множества при помощи кругов Эйлера и определим число элементов в каждом из непересекающихся подмножеств (рис. 23).

Рис .23
n (С)=40
Так как в пересечении множеств А и В содержится 15 элементов, то студентов, изучающих только английский язык, будет 17 (32- 15 = 17), а студентов, изучающих только немецкий, - 6 (21 - 15 = 6). Тогда n (А 13 EMBED Equation.3 1415В) = 17 + 15 + 6 = 38, и, следовательно, число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки, будет 40 - 38 = 2.

12. Число элементов в декартовом произведении конечных множеств
Нам известно, как находят декартово произведение конечных множеств. Например, если А = {х, у, z }, В = { m, р }, то А х В= {(х, m), (х, р), (у, m), (у, р), (z, m), (z, р)}. Чтобы ответить на вопрос «Сколько элементов в полученном множестве?», - достаточно пересчитать их. А как определить число элементов в декартовом произведении множеств, не образуя его и не обращаясь к пересчету элементов?
Можно доказать, что если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В - b элементов, то в декартовом произведении множеств А и В содержится a - b элементов, т.е.
n (АхВ)= n(А)· n (В)=а· b
Правило распространяется на случай t множеств, т.е. n (А1х А2 х ... хА t,) = n (А1,) · n (А2) ·... · n (Аt,).
Например, если в множестве А содержится 3 элемента, в множестве В - 4 элемента, в множестве С- 5 элементов, то в их декартовом произведении будет содержаться 3·4·5 = 60 упорядоченных наборов из трех элементов.
Полученные формулы можно использовать при решении задач.
З а д а ч а 1. У Маши 3 различных юбки и 4 различных кофты. Сколько различных комплектов, состоящих из юбки и кофты, она может составить?
Р е ш е н и е. Пусть А - множество юбок у Маши, В - множество кофт у нее. Тогда, по условию задачи, n (А) = 3, n (В) = 4. Требуется найти число возможных пар, образованных из элементов множеств А и В, т.е. n (А х В). Но согласно правилу n (А х В) = n (А) · n (В) = 3·4 = 12. Таким образом, из 3 юбок и 4 кофт Маша может составить 12 различных комплектов.
З а д а ч а 2. Сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 5,4 и 7?
Р е ш е н и е. Запись любого двузначного числа состоит из двух цифр и представляет собой упорядоченную пару. В данном случае эти пары образуются из элементов множества А = {5, 4, 7}. В задаче требуется узнать число таких пар, т.е. число элементов в декартовом произведении А х А. Согласно правилу n (А х А) = n (А) · n (А) = 3·3 = 9. Значит, двузначных чисел, записанных с помощью цифр 5, 4 и 7, будет 9.
Часто при решении задач, аналогичных рассмотренным выше, требуется не только ответить на вопрос о том, сколько существует возможных вариантов ее решения, но и осуществить перебор этих вариантов. Например, в задаче 2 можно предложить записать все двузначные числа, используя цифры 5,4 и 7.
Существует единый подход к осуществлению такого перебора - строится схема, называемая деревом возможных вариантов. Так, для задачи 2 она будет иметь вид (рис. 25):



Эта схема действительно похожа на дерево, правда, растет оно вниз и у него нет ствола. То, что дерево растет как бы «вверх ногами», удобно при построении схем такого вида. Знак * изображает корень дерева, ветвями которого являются различные варианты решения задачи. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать цифру десятков - для этого есть три варианта: 5, 4 или 7. Поэтому из * проведены три отрезка и на их концах поставлены цифры 5, 4 и 7. Затем надо выбрать цифру единиц, а для этого также есть три варианта: 5, 4 или 7. Поэтому от цифр 5, 4 и 7 проведено по три отрезка, на концах которых опять стоят цифры 5, 4 или 7. Чтобы прочитать полученные варианты, надо пройти по всем ветвям построенного дерева сверху вниз.









13PAGE 15


13PAGE 14115




14 DFHJVXZfhjvxzЂ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·hRoot EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 5868393
    Размер файла: 637 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий